高三年级6月周测(理科数学)
2020届河南省郑州市高三上学期第六次周考数学(理)试卷 PDF版
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21.己知在 6.ABC 中，α， b, C分别为角 A, B, C的对应边，点D为 BC 边的
二 中点， 6.ABC 的面积为 ＿！＿！：＿ ． 3sin B Cl）求 sinζBAD· sin LEDA 的值： (6分） (2）若BC= 6AB, AD= 2.fi.， 求 b. (6 分）
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D.重心
9.己知函数
f ( x)
=
_!_ x3 3
+
_!_ ax2 2
+ bx +
c在
x，
处取得极大值，在
X2
处取得极小值，
满足 x，
ε
（ -1,0), X2
ε
（0,1），则
。
＋ 2b+4
α＋ 2
的取值范围是（
）
A. (0,2) B. (l,3)
C. [0,3]
D. [1,3]
贵州省黔南布依族苗族自治州数学高三毕业班理数6月质量检查试卷
贵州省黔南布依族苗族自治州数学高三毕业班理数 6 月质量检查试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019 高一上·武功月考) 幂函数过点，则的单调递减区间是（ ）A.B.C.D.2. （2 分） 某工厂 10 年来某种产品总产量 C 与时间 t（年）的函数关系如下图所示，下列四种说法，其中说 法正确的是:①前五年中产量增长的速度越来越快②前五年中产量增长的速度越来越慢③第五年后，这种产品停止生产④第五年后，这种产品的产量保持不变A . ②③ B . ②④ C . ①③ D . ①④3. （2 分） (2020·厦门模拟) 设实数 x、y 满足约束条件第 1 页 共 14 页，则的最大值是（ ）A.2 B.0 C . -4 D . -24. （2 分） (2020·厦门模拟) 已知 是椭圆 交于 A，B 两点，点 C 与 A 关于原点 O 对称，则A.2 B.3 C.6 D . 12的左焦点，过 的面积为（ ）且与 轴垂直的直线与5. （2 分） (2020·厦门模拟) 如图，已知电路中 3 个开关闭合的概率都是 概率为（ ），且是相互独立的，则灯亮的A.B. C.D.6. （2 分） (2020·厦门模拟) 若平面 （）平面 ， 是 内的任意一条直线，则下列结论正确的是第 2 页 共 14 页A . 任意直线，都有B . 存在直线，使得C . 任意直线，都有D . 存在直线，使得7. （2 分） (2020·厦门模拟) 已知，，A.B.C.D..则 a，b，c 的大小关系是（ ）8. （2 分） (2020·厦门模拟) 已知函数 的取值范围是（ ）A . (1，2) B.C.D.，是单调递增函数，则实数 a9. （2 分） (2020·厦门模拟) 记数列 的前 n 项和为 ，设前 10 项和为（ ）A.B. C.，则数列 的第 3 页 共 14 页D.10. （2 分） (2020·厦门模拟) 已知函数 的最小值为（ ），若.且，则A.B. C.D.11. （2 分） (2020·厦门模拟) 闰月年指农历里有闰月的年份，比如 2020 年是闰月年，4 月 23 日至 5 月 22日为农历四月，5 月 23 日至 6 月 20 日为农历闰四月.农历置闰月是为了农历年的平均长度接近回归年：农历年中的朔望月的平均长度为 29.5306 日，日，回归年的总长度为 365.2422 日，两者相差 10.875日.因此，每 19 年相差 206.625 日，约等于 7 个朔望月.这样每 19 年就有 7 个闰月年.以下是 1640 年至 1694 年间所有的闰月年：1640 1659 16781642 1661 16801645 1648 1664 1667 1 683 16861651 1670 16891653 1672 16911656 1675 1694则从 2020 年至 2049 年，这 30 年间闰月年的个数为（ ）A . 10B . 11C . 12D . 1312. （2 分） (2020·厦门模拟) 在正方体中，点 是线段上的动点，以下结论：① 与平面平面；②所成角最大.；③三棱锥，体积不变；④ 为中点时，直线第 4 页 共 14 页其中正确的序号为（ ） A . ①④ B . ②④ C . ①②③ D . ①②③④二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） 已知 范围是________满足对任意成立，那么 的取值14. （1 分） (2016 高二上·桂林期中) 函数 y=的定义域是________．15. （1 分） (2020·厦门模拟) 某学校贯彻“科学防疫”，实行“佩戴口罩，间隔而坐” .一排 8 个座位， 安排 4 名同学就坐，共有________种不同的安排方法.(用数字作答)16. （1 分） (2020·厦门模拟) 双曲线的直线与 的左､右两支分别交于 A，B 两点，点 M 在 x 轴上， 离心率为________.三、 解答题 (共 7 题；共 70 分)的左､右焦点分别为 ､ ，过，平分，则 的17. （10 分） 已知函数 f（x）=2sinx，将函数 y=f（x）的图象向右平移 个单位，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数 y=g（x）的图象，求函数 y=g（x）的解析式，并写出它的单调递增区间．18. （10 分） 某校一个校园景观的主题为“托起明天的太阳”，其主体是一个半径为 5 米的球体，需设计一个透明的支撑物将其托起，该支撑物为等边圆柱形的侧面，厚度忽略不计．轴截面如图所示，设．(注：底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱．)第 5 页 共 14 页（1） 用 表示圆柱的高；（2） 实践表明，当球心 O 和圆柱底面圆周上的点 D 的距离达到最大时，景观的观赏效果最佳，试求出 OD 最 大值，并求出此时 的值．19. （10 分） (2020·厦门模拟) 近年来，政府相关部门引导乡村发展旅游的同时，鼓励农户建设温室大棚种 植高品质农作物.为了解某农作物的大棚种植面积对种植管理成本的影响，甲，乙两同学一起收集 6 家农户的数据，进行回归分折，得到两个回归摸型：模型①： 两个回归方程进行残差分析，得到下表：，模型②：，对以上种植面积 (亩)234579每亩种植管理成本252421221614(百元)模型①估计值 残差25.27 -0.2723.62 0.3821.97 -0.9717.0213.72-1.020.28模型②26.84 -1.8420.1718.8317.3116.460.833.17-1.31-2.46（1） 将以上表格补充完整，并根据残差平方和判断哪个模型拟合效果更好；（2） 视残差 重新求回归方程.的绝对值超过 1.5 的数据视为异常数据，针对（1）中拟合效果较好的模型，剔除异常数据后，附：，；第 6 页 共 14 页20. （10 分） (2020·厦门模拟) 已知动圆 C 过点且与直线相切.（1） 求圆心 C 的轨迹 的方程；（2） 过 F 的直线与 E 交于 A，B 两点，分别过 A，B 做 的垂线，垂足为 ， ，线段 M.①求证：；的中点为②记四边形，的面积分别为 ， ，若，求 .21. （10 分） (2020·厦门模拟) 已知函数.（1） 讨论的单调性；（2） 若有两个不同的零点，，且.(其中 22. （10 分） (2020·厦门模拟) 在平面直角坐标系是自然对数的底数) 中， 的方程为，（ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1） 求 l 和 C 的极坐标方程；，求证： ，C 的参数方程为（2） 直线与 交于点 A，与 交于点 B（异于 O），求23. （10 分） (2020·厦门模拟) 已知函数是奇函数.的最大值.（1） 求 m，并解不等式；（2） 记得最大值为 M，若 、，且，证明.第 7 页 共 14 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 14 页16-1、三、 解答题 (共 7 题；共 70 分)17-1、18-1、18-2、第 9 页 共 14 页19-1、19-2、20-1、第 10 页 共 14 页21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
甘肃省平凉市数学高三理数六月份毕业班教学质量检查试卷
甘肃省平凉市数学高三理数六月份毕业班教学质量检查试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高二下·河南期中) 复数等于（）A . 1+2iB . 1﹣2iC . 2+iD . 2﹣i2. （2分）不等式的解集是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高三上·重庆期中) 《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，其中卷六《均输》里有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等．”（“钱”是古代的一种重量单位），则其中第二人分得的钱数是（）A .B . 1C .D .4. （2分）(2014·陕西理) 设样本数据x1 ， x2 ，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1 ， y2 ，…，y10的均值和方差分别为（）A . 1+a，4B . 1+a，4+aC . 1，4D . 1，4+a5. （2分） (2016高一下·中山期中) 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A . 3B . 4C . 5D . 86. （2分） (2020·广东模拟) 2019年庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就.装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”，见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注，还得到了无数外国人的关注.某单位有6位外国人，其中关注此次大阅兵的有5位，若从这6位外国人中任意选取2位做一次采访，则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）已知,均为单位向量，且=0．若|-4|+|-3|=5，则|+|的取值范围是（）A . [3,]B . [3，5]C . [3，4]D . [,5]8. （2分） (2016高二上·清城期中) 若不等式2xlnx≥﹣x2+ax﹣3对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，0）B . （0，+∞）C . （﹣∞，4]D . [4，+∞）9. （2分）(2018·重庆模拟) 已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，与双曲线的右支交于点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率是（）A .B .C .D .10. （2分）已知抛物线上一定点B(-1,0)和两个动点，当时，点的横坐标的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）设数列{an}的前n项和Sn=n2 ，则a8的值为（）A . 15B . 16C . 49D . 6412. （2分） (2020高三上·青浦期末) 过抛物线（）的焦点作两条相互垂直的弦和，则的值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高三上·泰兴期中) 若函数f（x）=k•cosx的图象过点P（，1），则该函数图象在P 点处的切线倾斜角等于________．14. （1分）已知满足不等式则的最大值为________．15. （2分）梯形ABCD中,AB∥CD,若梯形不在平面α内,则它在平面α上的平行射影是________.16. （1分） (2019高三上·吉林月考) 已知函数（，）的部分图象如图所示，则 ________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2017高一下·静海期末) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin （x﹣A）+sinA（x∈R）在x= 处取得最大值．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）若a=7且sinB+sinC= ，求△ABC的面积．18. （10分）如图，已知四棱锥的侧棱PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥C D，AB=AD=CD=2，点M在侧棱上．（1）求证：BC⊥平面BDP；（2）若侧棱PC与底面ABCD所成角的正切值为，点M为侧棱PC的中点，求异面直线BM与PA所成角的余弦值．19. （10分）(2017·莆田模拟) 已知椭圆E：的离心率为，F1 ， F2分别是它的左、右焦点，且存在直线l，使F1 ， F2关于l的对称点恰好为圆C：x2+y2﹣4mx﹣2my+5m2﹣4=0（m∈R，m≠0）的一条直径的两个端点．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线l与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A，B两点，射线F1A，F1B与椭圆E分别相交于点M，N，试探究：是否存在数集D，当且仅当p∈D时，总存在m，使点F1在以线段MN为直径的圆内？若存在，求出数集D；若不存在，请说明理由．20. （10分）(2017·扬州模拟) 某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈赏析》两场讲座．已知A、B两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场．若A组1人选听《生活趣味数学》，其余4人选听《校园舞蹈赏析》；B组2人选听《生活趣味数学》，其余3人选听《校园舞蹈赏析》．（1）若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率；（2）若从A、B两组中各任选2人，设X为选出的4人中选听《生活趣味数学》的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．21. （10分）(2016·天津模拟) 已知函数f（x）=ax2﹣lnx（a∈R）（1）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；（2）若∀x∈（0，1]，|f（x）|≥1恒成立，求a的取值范围；（3）若a= ，证明：ex﹣1f（x）≥x．22. （10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与C交于P1 ， P2两点．（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）已知Q（3，0），求||P1Q|﹣|P2Q||的值．23. （10分）(2014·广东理) 设函数f（x）= ，其中k＜﹣2．（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、。
湖北省黄冈中学2020届高三六月第三次模拟考试理科数学参考答案
2
2
500 0.0228 11.4 ，
估计 2019 年有 11.4 万的游客在本市的年旅游费用支出不低于 1820 元． ……………5 分
（2）
(i)P3
1
1 8
7 8
，
P4
1
2 1 16
13 16
，
………………………………7 分
由
P3 P4
aP2 aP3
1 4 1 4
P1 P2
bP0 bP1
3) ．
3x 0
同理平面 ACF 的法向量为 n2 (1, 3 , 0) …………………………10 分
cos
n1
,
n2
|
n1 n1 |
n2 |
|
21 ………………………………11 分 7
所以二面角 E AF C 的余弦值为 21 ．………………………………12 分 7
19.解：（1）设 T (x0 ,
1 i 1 i (1 i)(1 i)
3.解析：由二项式定理可得通项公式 Tr1
C5r (x2 )5r
(2)r x
C5r 2r
x103r
，令10 3r
4 ，得
r 2 ，所以 x4 的系数为 C52 22 40 ．
4.解析： a (2a b) 2 a b 2 (1) 3 ．
26
2
3
3
[2k ， 2k 4 ]， k Z ．
3
3
8.解析：补成直四棱柱．
9.解析：由题意可得直线 l
的方程为：
y
1 (x 2
c)
与渐近线
y
b a
x
联立可得
x
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高三下学期6月模拟考试数学理科试题
高三下学期6月模拟考试数学（理科）试题─、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数212ii+-的共轭复数是（ ） A ．i -B ．iC ．35i -D ．35i2．已知集合2{}1|,A x x x Z =-<≤∈，则集合A 中元素的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．已知:2|1p x +>，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．3a ≤-C ．1a ≥-D ．a ≥14．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2c =，60C =︒，则B =（ ）A ．45︒B ．45︒或135︒C ．30︒D ．30︒或150︒5．非负实数x ，y 满足()ln 10x y +-≤，则关于x y -的最大值和最小值分别为（ ）A ．2和1B ．2和1-C ．1和1-D ．2和2-6．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线．若要在构造过程中使得到的折线的长度达到或超过初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）．（取lg30.4771≈，lg20.3010≈）A ．16B ．17C ．24D ．257．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则311b b +=（ ）A ．3B ．6C ．7D ．88．已知双曲线2221(0)4x y b b -=>右焦点为1F ，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，抛物线216y x =-的焦点为F ，若ABF 为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．1()2++∞ B ．)+∞C ．()1,3D ．1(1,2+ 9．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由孔子提出“”仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”将“仁、义、礼、智、信”排成一排，“仁”排在第一位，且“智、信”相邻的概率为（ ） A ．110B ．15C ．310D ．2510．已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是APB ∠的角平分线，I 为PC 上一点，满足(0)||||AC AP BI BA AC AP λλ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，||||4PA PB -=，||10PA PB -=，则||BI BABA ⋅的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．511．在三棱锥A -SBC 中，AB =4BS ASC C π∠=∠=，AC AS =，BC BS =，若该三棱锥的体积，则三棱锥S -ABC 外接球的体积为（ ）A ．πB ．CD ．3π 12．已知等差数列{}n a 的公差为2020，若函数()cos f x x x =-，且()()()122020f a f a f a +++1010π=，记n S 为{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为（ ）A ．1010πB ．20212π C ．2020π D ．40412π 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为P ，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种―盆栽植物10株，设X 为其中成活的株数，若X 的方差 2.1DX =，()()37P X P X =<=，则p =_______． 14．设()()612f x x =-，则x 的奇次项的系数和为_______．15．函数3sin 4cos y x x =-在x θ=处取得最大值，则sin θ=_______．16．点M 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 在11B C 上，112NB NC =，DM BN ⊥，若球O 的体积为，则动点M 的轨迹的长度为_______． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项．数列{}n b 中，12b =，点()1,n n P b b +在直线2y x =+上．（1）求1a 和2a 的值；（2）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式：（3）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c {c}的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥M -ABCD 中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，MB MD ==（1）证明：AM ⊥平面ABCD ；（2）若E 是BM 的中点，//CD AB ，2CD AB =，求二面角E -CD -M 的余弦值． 19．（本小题满分12分）某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次（单位：＋人次），统计数据如表1所示：表1：根据以上数据，绘制了散点图．（1）根据散点图判断，在推广期内，y a bx =+与xy c d =⋅（c ，d 均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）； （2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（3）推广期结束后，为更好的服务乘客，车队随机调查了100人次的乘车支付方式，得到如下结果： 20．（本小题满分12分）（1）若x ∀∈R ，xa e x ≤-恒成立，求实数a 的最大值0a ；（2）在（1）的条件下，求证：函数0(s )co xe f x a x xx =++在区间(),0π-内存在唯一的极大值点0x ． 表2已知该线路公交车票价2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据调查结果发现：使用扫码支付的乘客中有5名乘客享受7折优惠，有10名乘客享受8折优惠，有15名乘客享受9折优惠．预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其他因素的条件下，按照上述收费标准，试估计该车队一辆车一年的总收入．参考数据：其中11lg ,7ni i i i t y t t ===∑．参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211ˆnniii i i i n ni ii i u u vv u vnu v u u unu β====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆv u αβ=-． 21．（本小题满分12分〉已知椭圆Γ的左、右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ．经过点1F 且倾斜角为()0θθπ<<的直线l 与椭圆Γ交于A ﹑B 两点（其中点A 在x 轴上方），2ABF 的周长为8．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）如图，把平面xOy 沿x 轴折起来，使y 轴正半轴和x 轴确定的半平面，与y 负半轴和x 轴所确定的半平面互相垂直，若折叠后2ABF 的周长为152，求tan θ的大小． 22．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x t y kt =+⎧⎨=⎩，（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x mmy k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（I ）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为枚轴建立极坐标系，设3:(cos sin )0l ρθθ+=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．23．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】已知函数24()|||2|(0)a f x x x a a+=+++<，()83g x x =-+． （1）当1a =-时，求不等式()11f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集包含[]2,1--，求a 的取值集合．。
河北省衡水中学2018届高三下学期第6周周考数学(理)试题(精校Word版含答案)
理数周日测试6 一、选择题1.已知集合{}{}2,,1,0,2,3,4,8A x x n n Z B ==∈=-，则()R A B ⋂=ð（ ） A. {}1,2,6 B. {}0,1,2 C. {}1,3- D.{}1,6- 2.已知i 是虚数单位，则2331i i i -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭（ ）A. 32i --B. 33i --C. 24i -+D. 22i -- 3.已知2sin 3α=，则()3tan sin 2ππαα⎛⎫++= ⎪⎝⎭（ ） A. 23-B. 23C.4.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且椭圆的长轴与焦距之差为4，则该椭圆为方程为（ ）A. 22142x y +=B. 22184x y +=C. 221164x y +=D.2211612x y += 5.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是：3.1415926 3.1415927π<<，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们从小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6随机选取两位数字，整数部分3不变，那么得到的数字大于3.14的概率为（ ） A.2831 B. 1921 C. 2231 D.1721 6.运行如图所示的程序，输出的结果为（ ）A. 8B. 6C. 5D.47.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 6πB. 8πC. 6π+6D.8π+48.已知直线1:1l y x =+与2:l y x m =+之间的距离为2，则直线2l 被圆()22:18C x y ++=截得的弦长为（ ）A. 4B.3C.2D.19.已知实数,x y 满足不等式组10201x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数3z x y =-的最大值为（ ）A.1B.2C.53 D. 7310.在边长为1的正ABC ∆中，点D 在边BC 上，点E 是AC 中点，若316AD BE =-，则BDBC=（ ） A.14 B. 12 C. 34 D. 7811.已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()()f m x f m x x R +=-∈，且1x ≥时，()22x n f x -+=，图象如图所示，则满足()2n mf x -≥的实数x 的取值范围是（ ） A. []-1,3 B. 1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C. []0,2 D. 15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12.已知函数()()23sin cos 4cos 0f x x x x ωωωω=->的最小正周期为π，且()12f θ=，则2f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A. 52-B. 92-C. 112-D. 132- 二、填空题13.在正方体1111ABCD A BC D -中，点M 是11C D 的中点，则1A M 与AB 所成角的正切值为. 14.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，过双曲线的右焦点垂直于x 轴的直线被双曲线截得的弦长为m ，则ma=. 15.已知函数()()()()ln 0ln 0x x f x x x >⎧⎪=⎨--<⎪⎩，若()()()20,0f a f b a b =><，且224a b +的最小值为m ，则()22log mab +-=.16.已知ABC ∆的三个内角所对的边分别为,,a b c ，且cos cos 2cos b C c B a B +=，sin 3sin B A =，则a c=. 三、解答题17.（12分）已知等比数列{}n a 满足：112a =，且895618a a a a +=+. （1）求{}n a 的通项公式及前n 项和； （2）若n nb na =，求{}n b 的前n 项和n T .18.（12分）如图，三棱锥P ABC -中，PAB ABC ⊥平面平面，PA PB =，且AB PC ⊥.（1）求证：CA CB =；（2）若2,PA PB AB PC ====P ABC -的体积.19.（12分）某搜索引擎广告按照付费价格对搜索结果进行排名，点击一次付费价格排名越靠前，被点击的次数也可能会提高，已知某关键词被甲、乙等多个公司竞争，其中甲、乙付费情况与每小时点击量结果绘制成如下的折线图.（1）试根据所给数据计算每小时点击次数的均值方差并分析两组数据的特征；（2）若把乙公司设置的每次点击价格为x ，每小时点击次数为y ，则点（x ，y ）近似在一条直线附近.试根据前5次价格与每小时点击次数的关系，求y 关于x 的回归直线ˆˆˆybx a =+.（附：回归方程系数公式：1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxybay bx xnx =-=-==--∑∑） 20.（12分）如图，直线10l y ++=与y 轴交于点A ，与抛物线()2:20C x py p =>交于P ，Q ，点B 与点A 关于x 轴对称，连接QB ，BP 并延长分别与x 轴交于点M ，N. （1）若PQ =，求抛物线C 的方程；（2）若3MN =，求BMN ∆外接圆的方程.21.（12分）已知函数()()2ln f x x axa R =+∈.（1）若()y f x =在2x =处的切线与x 轴平行，求()f x 的极值；（2）若函数()()1g x f x x =--在()0∞，+上单调递增，求实数a 的取值范围. 选考题22.（10分）选修4-4坐标系与参数方程以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()253cos28ρθ-=，直线l的参数方程为22x m t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中t 为参数）.（1）把曲线C 的极坐标方程化为普通方程；（2）若直线l 与曲线C 有两个公共点，求实数m 的取值范围.23.（10分）选修4-5不等式选讲 已知函数()12f x x x =-+.（1）关于x 的不等式()2f x <的解集为M ，且(),12m m M -⊆，求实数m 的取值范围； （2）求()()22g x f x x x =-+-的最小值，及对应的x 的取值范围. 附加题. 已知函数()()()2ln f x x g x ax bx a b ==-，、为常数.（Ⅰ）求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）当函数()2g x x =在处取得极值-2，求函数()g x 的解析式；（Ⅲ）当12a=时，设()()()h x f x g x=+，若函数()h x在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围.河北衡水中学2018届高三数学复习 周日测答案1.【答案】C 【解析】由条件可知A 为偶数集，故(){}R 1,3A B =-I ð.2.【答案】B 【解析】()()()22231i 3i 3i i i 12i i 33i 1i 2轾--骣-÷犏ç-=+=-+=--÷ç÷犏ç桫+臌. 3.【答案】A 【解析】()()32tan sin tan cos sin 23p p a a a a a 骣÷ç++=-=-=-÷ç÷ç桫. 4.【答案】D 【解析】设椭圆的焦距为2c ，由条件可得12c a =，故2a c =，由椭圆的长轴与焦距之差为4可得()24a c -=，即2a c -=，所以，4a =，2c =，故22212b a c =-=，故该椭圆的方程为2211612x y +=.5.【答案】A 【解析】从1，4，1，5，9，2，6这7位数字中任选两位数字的不同情况有：14，11，15，19，12，16，41，45，49，42，46，59，52，56，92，96，26，51，91，21，61，54，94，24，64，95，25，65，29，69，62，共31种不同情况，其中使得到的数字不大于3.14的情况有3种不同情况，故所求概率为32813131-=. 6.【答案】D 【解析】所给程序的运行过程如下：1b =，3a =；2b =，7a =；3b =，15a =；4b =，31a =，不满足30a <，输出b 的值为4.7.【答案】C 【解析】由三视图可知，该几何体是一个圆柱的34，故表面积为()232123213664p p p ??创=+.8.【答案】A 【解析】由条件可知，直线1l 过圆心():1,0C -，则圆心C 到直线2l 的距离等于直线1l 与2l 之间的距离2，故直线2l 被圆C 截得的弦长为4. 9.【答案】B 【解析】不等式组表示的平面区域如下图中的阴影部分所示：且点12,33A 骣÷ç-÷ç÷ç桫，()1,2B ，()1,2C -，易得目标函数3z x y =-在点C 处取得最大值5.10.【答案】C 【解析】设AB =uu u r a ，AC =uuu r b ，BD BC l =uu u r uu u r，则()()1AD AB BD l l l =+=+-=-+u u u r u u u r u u u r a b a a b ，12BE AE AB =-=-u u u r u u u r u u u r b a ，则()()()()()()2211111312221133131142416AD BE l l l l l l l l l 骣÷ç轾?-+?=-?-+÷ç臌÷ç桫=-+-+=-=-uuu r uu u r a b b a a b a b故34l =，即34BD BC =. 11.【答案】B 【解析】由条件可知，()f x 的图象关于直线1x =对称，结合()()()f m x f m x x +=-?R 可得1m =，而()11f =，即221n -+=，解之得2n =，由()2n m f x -≥可得()12f x ≥，当1x ≥时，由22122x -+≥，解之得32x ≤，所以，312x ≤≤，再结合对称性可得x 的取值范围是13,22轾犏犏臌.12.【答案】B 【解析】()()2353sin cos 4cos sin 22cos22sin 2222f x x x x x x x w w w w w w j =-=--=--，其中4sin 5j =，3cos 5j =，由()12f q =可得()sin 21wq j -=，即()f x 关于x q =对称，而2x p q =+与x q =的距离为12个周期，故sin 212p w q j 轾骣÷ç犏+-=-÷ç÷ç犏桫臌，所以，592222f p q 骣÷ç+=--=-÷ç÷ç桫. 13.【答案】2【解析】11MA B Ð即为1A M 与AB 所成角，取11A B 中点N ，连接MN ，则11MN A B ^，则111tan 2MNMA B A N?=. 14.【答案】6【解析】设双曲线的焦距为2c ，则2ca=，即2c a =，则b =2x c a==代入双曲线可得2b y a =?，故22b m a =，所以，2226m b a a==.15.【答案】3【解析】由()()()20,0f a f b a b =><可得()ln ln 2a b =--，即21ab -=，∴12ab =-，则2242242a b a bab +?=≥，当且仅当122ab a b ìïï=-ïíïï=-ïî，即112a b ì=ïïïíï=-ïïî时，224a b +取得最小值2.故()22212log 2log 32m ab +=+=.16.cos cos 2cos b C c B a B +=及正弦定理可得sin cos sin 2sin cos B C Ccos B A B +=，即()sin 2sin cos B C A B +=，而()sin sin 0A B C =+>，∴1cos 2B =.由sin 3sin B A =可得3b a =，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即2229a a c ac =+-，解之得a c=（舍去负值）. 17.【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由895618a a a a +=+可得318q =，∴12q =，∴12n n a =，∴11112211212n n n S 骣÷ç-÷ç÷ç桫==--.（5分） （2）由（1）可得2n n n b =，则231232222n n nT =++++L ① 所以，2341112322222n n nT +=++++L ②由①-②可得2311111111111222112222222212n n n n n n n n n T +++骣÷ç-÷ç÷ç桫+=++++-=-=--L ， 所以，222n nn T +=-.（12分） 18.【解析】（1）取AB 的中点O ，连接PO ，PC .∵PA PB =，∴PO AB ^， ∵AB PC ^，PC PO P =I ，PC ，PO Ì平面POC ， ∴AB ^平面POC ，又∵OC Ì平面POC ，∴AB OC ^， 而O 是AB 的中点，∴CA CB =.（6分）（2）∵平面PAB ^平面ABC ，PO Ì平面PAB ，平面PAB I 平面ABC AB =， ∴PO ^平面ABC，由条件可得PO =OC =.则11222ABC S AB OC =?创V ∴三棱锥P ABC -的体积为：1133ABC V S PO =?V .（12分）19.【解析】（1）由题图可知，甲公司每小时点击次数为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，乙公司每小时点击次数为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10. 甲公司每小时点击次数的平均数为：9578768677710x +++++++++==甲，乙公司每小时点击次数的平均数为：24687789071091x +++++++++==乙.甲公司每小时点击次数的方差为：()()222222122212140 1.210S 轾=+-+??+?犏臌甲；乙公司每小时点击次数的方差为：()()()22222222153******** 5.410S 轾=-+-+-+??+?犏臌乙，由计算已知，甲、乙公司每小时点击次数的均值相同，但是甲的方差较小，所以，甲公司每小时点击次数更加稳定.（6分）（2）根据折线图可得数据如下：则3x =， 5.4y =，则5152215 1.4i i i ii x y xy b x n x=-=-==-åå$， 1.2a =$， ∴所求回归直线方程为： 1.4 1.2y x =+$.（12分）20.【解析】（1）由2102y x py++=ï=ïî可得220x p ++=， 设点()11,P x y ，()22,Q x y，则()280p D=->，即1p >，12x x +=-，122x x p =，故12PQ x =-=.由2p =（舍去负值）， ∴抛物线C 的方程为24x y =.（5分）（2）设直线BN ，BM 的斜率分别为1k ，2k 点，21221111212111111122222x y x p x x x x x p k x x px px p-----=====，22222221221222221122222x y x p x x x x x p k x x px px p-----=====， ∴120k k +=.直线BN 的方程为：11y k x =+，直线BM 的方程为：21y k x =+，则11,0N k 骣÷ç÷-ç÷ç÷桫，21,0M k 骣÷ç÷-ç÷ç÷桫，则12211211k k MN k k k k -=-==，由120k k +=可得12k k =-，∴1212k k =，∴1k =2k =120k k <，故tan tan BNM BMN ??， 即BMN V 是等腰三角形，且1OB =，则BMN V 的外接圆的圆心一定在y 轴上，设为()0,t ，由圆心到点M ，B 的距离相等可得()2221t t -=+桫，解之得16t =-，外接圆方程为22149636x y 骣÷ç++=÷ç÷ç桫.（12分） 21.【解析】（1）∵()2ln f x x ax =+，∴()()120f x ax x x ¢=+>， 由条件可得()11402f a ¢=+=，解之得18a =-， ∴()21ln 8f x x x =-，()()()()2211044x x f x x x x x --+¢=-=>， 令()0f x ¢=可得2x =或2x =-（舍去）当02x <<时，()0f x ¢>；当2x >时，()0f x ¢<即()f x 在()0,2上单调递增，在()2,+?上单调递减，故()f x 有极大值()12ln 22f =-，无极小值（5分） （2）()2ln 1g x x ax x =+--，则()()2121210ax x g x ax x x x-+¢=+-=> 设()221h x ax x =-+，①当0a =时，()1x g x x-¢=-，当01x <<时，()0g x ¢>， 当1x >时，()0g x ¢<，即()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+?上单调递减，不满足条件；②当0a <时，()221h x ax x =-+是开口向下的抛物线，方程2210ax x -+=有两个实根，设较大实根为0x .当0x x >时，有()0h x <，即()0g x ¢<，∴()g x 在()0,x +?上单调递减，故不符合条件（8分）③当0a >时，由()0g x ¢≥可得()221h x ax x =-+在()0,+?上恒成立，故只需()0010400h a a ìïïïï-ïï-ïíïïD >ïïïï>ïî≥≤或0D ≤，即101041800a a a ìïïïïïïïíïï->ïïïï>ïî≥≤或1800a a ì-ïïíï>ïî≤，解之得18a ≥. 综上可知，实数a 的取值范围是1,8轹÷ê+?÷÷êøë.（12分） 22.【解析】（1）方程()253cos28r q -=可化为()22532cos 18r q 轾--=犏臌，即22243cos 4r r q -=，把222c o s x x y r r q ìï=+ïíï=ïî代入可得()222434x y x +-=，整理可得2214x y +=.（5分）（2）把x m y ìïï=-ïïïíïïï=ïïî代入2214x y +=可得225280t m -+-=，由条件可得()()2220280m D =--->，解之得m -<即实数m的取值范围是(-.（10分）23.【解析】（1）当1x ≤时，不等式()2f x <可变为()122x x --+<，解之得1x <，∴1x <；当1x >时，不等式()2f x <可变为()122x x -+<，解之得1x <，∴x 不存在. 综上可知，不等式()2f x <的解集为(),1M =-?.由(),12m m M -?，可得12121m m m ì<-ïïíï-ïî≤，解之得103m <≤，即实数m 的取值范围是10,3轹÷ê÷÷êøë.（5分）（2）()()()()2212121g x f x x x x x x x =-+-=-+----=≥，当且仅当()()120x x --≤，即12x ≤≤时，()g x 取得最小值1，此时，实数x 的取值范围是[]1,2.（10分）附加题（1）1y x =-（2）()2122g x x x =-（3）()2,b ∈+∞ 试题解析：(Ⅰ)由()ln f x x =(0x >)，可得()1'f x x =(0x >)， ∴()f x 在点()()1,1f 处的切线方程是()()()111y f f x '-=-，即1y x =-，所求切线方程为1y x =-. (Ⅱ)∵又()2g x ax bx =-可得()2g x ax b '=-，且()g x 在2x =处取得极值2-. ∴()()20,22,g g '⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得40,422,a b a b -=-=-⎧⎨⎩解得12a =，2b =. 所求()2122g x x x =-（x R ∈）. (Ⅲ)∵()()()21ln 2h x f x g x x x bx =+=+-，()21x bx h x x -+'=(0x >). 依题存在0x >使()210x bx h x x-+'=<，∴即存在0x >使210x bx -+<， 不等式210x bx -+<等价于1b x x >+(*) 令()1x x x=+λ（0x >），∵()()()221111(0)x x x x x x λ+-'=-=>. ∴()x λ在()0,1上递减，在[)1,+∞上递增，故()[)12,x x x=+∈+∞λ， ∵存在0x >，不等式(*)成立，∴2b >，所求()2,b ∈+∞.。
2021年高三上学期第六次周考数学(理)试题 含答案
2021年高三上学期第六次周考数学（理）试题 含答案一、选择题1．若复数（1+ai ）2﹣2i （i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（ ）A ．0B ．±1C ．1D ．﹣12. 已知复数z=﹣2i （其中i 为虚数单位），则|z|=（ ）A ．3B ．3C ．2D ．23．已知向量，若，则实数的值为（ ）A ．-3B ．C ．D ．24．已知tanα＜0，sinα=﹣，则sin2α=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣5. 已知中，，则B 等于( )A. B.或 C. D.或6．将函数f （x ）=cos （x +）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，则函数g （x ）的一个减区间是（ ）A ．[﹣，]B ．[﹣，]C ．[﹣，]D ．[﹣，]7．已知向量，满足||=3，||=2，|﹣2|≤4，则在上的投影长度取值范围是（ ）A ．[，2]B ．[，+∞）C ．[，2]D ．（0，]8．函数（其中）的图像如图所示，为了得到的图像，只需将的图像( )（A ）向左平移个长度单位 （B ）向右平移个长度单位（C ）向左平移个长度单位 （D ）向右平移个长度单位 9．在△ABC 中，cosA=，3sinB=2sinC ，且△ABC 的面积为2，则边BC 的长为（ ） π7πxA．2 B．3 C．2 D．10.在中，角、、的对边分别为，，，且，若的面积为，则的最小值为（）A.B.C. D.请将选择题的答案填在下列答题卡处1 2 3 4 5 6 7 8 9 10二、填空题11.设i是虚数单位，复数z满足（z﹣i）（1+i）2=2i，则复数z对应复平面上的点位于第象限.12. 计算：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°=．13．已知平面向量，的夹角为120°，||=2，||=2，则与的夹角是．14．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°．若A，B两点相距130m，则塔的高度CD=m．三、解答题15．已知：=（﹣sinωx，cosωx），=（cosωx，cosωx），ω＞0，记函数f（x）=•，且f（x）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递减区间．16．在△ABC中，角A，B，C所对的分别为a，b，c，且acosB=（3c﹣b）cosA．（1）若asinB=2，求b；（2）若a=2，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．17．在中，角所对的边分别为，已知向量，且.（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若，求的取值范围．18．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．（Ⅰ）求∠ABC；（Ⅱ）若∠A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．参考答案：一、选择题1．【xx届广东省深圳市宝安区高三（上）摸底】若复数（1+ai）2﹣2i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（）A．0 B．±1 C．1 D．﹣1【答案】D【解析】（1+ai）2﹣2i=1﹣a2+2ai﹣2i，∵（1+ai）2﹣2i是纯虚数，∴，即a=﹣1．2. 【xx学年湖北省部分重点中学高三（上）月考】已知复数z=﹣2i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A．3 B．3 C．2 D．2【答案】B【解析】z=﹣2i=﹣2i=3﹣i﹣2i=3﹣3i，则|z|=3.3．【xx届河南周口淮阳中学高三年级第二次月考】已知向量，若，则实数的值为（）A．-3 B． C． D．2【答案】A【解析】由，得，又由，故，得，故选项为A.4．【xx年黑龙江省大庆一中高考数学三模试卷（理科）】已知tanα＜0，sinα=﹣，则sin2α=（）A． B．﹣C． D．﹣【答案】B【解析】∵tanα=＜0，sinα=﹣＜0，∴cosα＞0，即cosα==，则sin2α=2sinαcosα=﹣2××=﹣，5.【哈师大附中xx届高三上学期第一次月考考试】已知中，，则B等于( )A. B.或 C. D.或【答案】D【解析】因为或6．【xx年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）】将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g （x）的图象，则函数g（x）的一个减区间是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【答案】D【解答】将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，则y=cos（2x+），即g（x）=cos（2x+），由2k π≤2x +≤2k π+π，k ∈Z ，得k π﹣≤x ≤k π+，k ∈Z ，即函数的单调递减区间为[k π﹣，k π+]，k ∈Z ，当k=0时，单调递减区间为[﹣，]，7．【xx 年江西省上饶市重点中学高考数学二模试卷（理科）】已知向量，满足||=3，||=2，|﹣2|≤4，则在上的投影长度取值范围是（ ）A ．[，2]B ．[，+∞）C ．[，2]D ．（0，]【答案】C 【解析】∵|﹣2|≤4，∴||2﹣4•+4||2≤16，∴9﹣4•+16≤16，∴•≥，设，的夹角为θ，则cos θ=≥，又∵cos θ≤1，∴≤cos θ≤1，∴≤||cos θ≤28．【广东汕头城郊中学xx 届高三入学考试】函数（其中）的图像如图所示，为了得到的图像，只需将的图像( )（A ）向左平移个长度单位 （B ）向右平移个长度单位（C ）向左平移个长度单位 （D ）向右平移个长度单位【答案】D 【解析】由图像知，，， ，，得，所以，为了得到的图像，所以只需将的图象向右平移个长度单位即可，故选D ．9．【xx 年山东省临沂市高考数学一模试卷（理科）】在△ABC 中，cosA=，3sinB=2sinC ，且△ABC 的面积为2，则边BC 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ． 【答案】B 【解析】∵cosA=，A ∈（0，π），∴sinA==，∵3sinB=2sinC ，且△ABC 的面积为2，∴3b=2c ， =2，解得b=2，c=3．∴a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=22+32﹣2×2×3×=9，解得a=3．10.【xx 江苏南通模拟卷（6）改编】在中，角、、的对边分别为，，，且，若的面积为，则的最小值为 （ ）A .B .C .D .【答案】D 【解析】由正弦定理及得，因此2sin cos 2sin()sin 2sin cos 2cos sin sin C B B C B B C B C B =+-=+-，即，由于在中，所以，，π7πx，，由余弦定理得2222=+-=+-≥-=，，ab a b ab C a b ab ab ab ab22cos2222当且仅当时取等号，所以最小值为4.故选D.二、填空题11.【xx年四川省南充市高考数学二模试卷（理科）】设i是虚数单位，复数z满足（z﹣i）（1+i）2=2i，则复数z对应复平面上的点位于第象限.【答案】一【解答】（z﹣i）（1+i）2=2i，∴（z﹣i）2i=2i，∴z=1+i，所以复数z对应复平面上的点位于第一象限.12. 【xx年四川省成都市高考数学三诊试卷（文科）】计算：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°=．【答案】【解析】sin65°cos35°﹣sin25°sin35°=cos25°cos35°﹣sin25°sin35°=cos（25°+35°）=cos60°=．13．【xx届河南省信阳市息县一中高三（上）第一次段考】已知平面向量，的夹角为120°，||=2，||=2，则与的夹角是．【答案】60°．【解析】由题意可得=2×2×cos120°=﹣2，又=++2=4，∴||=2，∴（）•=+=2．设与的夹角是θ，则（）•=||•||=2•2•cosθ，∴2•2•cosθ=2，解得cosθ=．再由0≤θ≤π，可得θ=60°，14．【xx年湖北省七市（州）高三三月联考数学试卷（理科）】如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°．若A，B两点相距130m，则塔的高度CD=m．【答案】10．【解析】作出平面ABD的方位图如图所示：由题意可知∠W AD=20°，∠EAD=40°，设∠ABE=θ，则∠WAB=θ，∴∠DBA+∠DAB=40°﹣θ+20°+θ=60°，∴∠ABD=120°，设BD=x，AD=y，则由余弦定理得AB2=x2+y2﹣2xycos∠ADB，即16900=x2+y2+xy．在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=，∴CD=，在Rt△ACD中，∵tan∠CAD=，∴CD=．∴x=3y．解方程组得．∴CD==10．三、解答题15．【xx届湖南省岳阳一中高三（上）第一次段考】已知：=（﹣sinωx，cosωx），=（cosωx，cosωx），ω＞0，记函数f（x）=•，且f（x）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递减区间．【解析】（1）∵=（﹣sinωx，cosωx），=（cosωx，cosωx），∴==，∵f（x）的最小正周期为π，∴T==π，得ω=1．（2）由（1）得f（x）=cos（2x+）+由2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，k∈Z．即函数的单调递减区间为[﹣+kπ，kπ+]，k∈Z．16．【xx学年河北省石家庄市正定中学高三（上）第一次月考】在△ABC中，角A，B，C所对的分别为a，b，c，且acosB=（3c﹣b）cosA．（1）若asinB=2，求b；（2）若a=2，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解析】（1）∵acosB=（3c﹣b）cosA，∴sinAcosB=（3sinC﹣sinB）cosA，∴sin（A+B）=sinC=3sinCcosA，sinC≠0，∴cosA=，sinA==．∵，∴．（2）∵△ABC的面积为，∴，得bc=3，∵，∴，∴，即（b+c）2=16，∵b＞0，c＞0，∴b+c=4，∴△ABC的周长为．17．【海南中学xx届高三第三次月考】在中，角所对的边分别为，已知向量，且。
2020届高三6月模拟考试数学(理)试题 Word版含解析
高三模拟考试理科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =（ ）A. {2}B. {1,0}-C. {}1-D. {1,0,1}-【★答案★】B 【解析】 【分析】求出集合B ，利用集合的基本运算即可得到结论. 【详解】由10x ->，得1x <，则集合{}|1B x x =<， 所以，{}1,0A B ⋂=-. 故选：B.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合B 是解决本题的关键，属于基础题.2.已知复数z 满足i z11=-，则z =（ ） A.1122i + B.1122i - C. 1122-+iD. 1122i --【★答案★】B 【解析】 【分析】利用复数的代数运算法则化简即可得到结论.【详解】由i z11=-，得()()11111111222i i z i i i i ++====+--+， 所以，1122z i =-. 故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题. 3.已知向量a b (3,1),(3,3)=-=，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ）A. 3-B. 3C. 1-D. 1【★答案★】A 【解析】 【分析】投影即为cos a b b aθ⋅⋅=，利用数量积运算即可得到结论.【详解】设向量a 与向量b 的夹角为θ， 由题意，得331323a b ⋅=-⨯+⨯=-，()22312a =-+=，所以，向量b 在向量a 方向上的投影为23cos 32a b b a θ⋅-⋅===-. 故选：A.【点睛】本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题.4.已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是（ ）A. m ∥n m n ,,αβ⊂⊂B. m ∥n m n ,,αβ⊥⊥C. m n m ,⊥∥,n α∥βD. m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥【★答案★】D 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.【详解】对于A ，当//m n ，m α⊂，n β⊂时，则平面α与平面β可能相交，αβ⊥，//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故A 错误；对于B ，当//m n ，m α⊥，n β⊥时，则//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故B 错误；对于C ，当m n ⊥，//m α，//n β时，则平面α与平面β相交，αβ⊥，//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故C 错误；对于D ，当m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则一定能得到αβ⊥，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查了面面垂直的判断问题，属于基础题.5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.103B. 3C. 83D.73【★答案★】A 【解析】 【分析】根据题意，可得几何体，利用体积计算即可. 【详解】由题意，该几何体如图所示：该几何体的体积11110222222323V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．6.人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为()f x dB ，则有12()10lg110x f x -=⨯⨯，则90dB 的声音与50dB 的声音强度之比为（ ）A. 10B. 100C. 1000D. 10000【★答案★】D 【解析】 【分析】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ，由题意1219010lg110x -=⨯⨯，1225010lg110x -=⨯⨯，计算即可得解.【详解】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ， 由题意1219010lg110x -=⨯⨯，1225010lg110x -=⨯⨯，所以3110x -=，7210x -=，所以3417210101000010x x --===. 故选：D.【点睛】本题考查了对数运算的应用，考查了对于新概念的理解，属于基础题. 7.把函数()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()()0g x m m ->是偶函数，则实数m 的最小值是（ ） A.512πB.56π C.6π D.12π【★答案★】A 【解析】 【分析】先求出()g x 的解析式，再求出()()0g x m m ->的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数m 满足的等式，从而可求其最小值.【详解】()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度， 所得图象对应的函数解析式为()2sin 2sin 2263g x A x A x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()2sin 223g x m A x m π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭. 令22232x m k πππ--=+，k Z ∈，解得7122k x m ππ=++，k Z ∈. 因为()y g x m =-为偶函数，故直线0x =为其图象的对称轴，令07122ππ++=k m ，k Z ∈，故7122k m ππ=--，k Z ∈， 因0m >，故2k ≤-，当2k =-时，min 512m π=. 故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量x 做加减，比如把()2y f x =的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为()()2122y f x f x =-=-⎡⎤⎣⎦，另外，如果x m =为正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ图象的对称轴，则有()=±f m A ，本题属于中档题．8.已知数列{}n a 为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=（ ） A.1318B.1318或1936C.139 D.136【★答案★】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得25968736a a a a a ⋅=⋅==，通分化简即可. 【详解】由题意，数列{}n a 为等比数列，则25968736a a a a a ⋅=⋅==，又a a a 76826++=，即68726a a a +=-，所以，()()76877786867678777683636261113636a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +⋅++⋅-⋅+⋅+⋅++===⋅⋅⋅⋅， ()277777777773626362636263626133636363618a a a a a a a a a a +⋅-+⋅-+⋅-⋅=====⋅⋅⋅⋅.故选：A.【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.9.椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若2||2PF =，则12F PF ∠的大小为（ ）A. 150︒B. 135︒C. 120︒D. 90︒【★答案★】C 【解析】【分析】根据椭圆的定义可得14PF =，1227F F =，再利用余弦定理即可得到结论. 【详解】由题意，1227F F =，126PF PF +=，又22PF =，则14PF =， 由余弦定理可得22212121212164281cos 22242PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===-⋅⨯⨯.故12120F PF ︒∠=.故选：C.【点睛】本题考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查运算能力，属于基础题.10.已知b a bc a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c << B. c a b <<C. a c b <<D. b c a <<【★答案★】B 【解析】 【分析】利用函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12log y x =互为反函数，可得01a b <<<，再利用对数运算性质比较a,c 进而可得结论.【详解】依题意，函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12log y x =关于直线y x =对称，则0.21210log 0.22⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即01a b <<<，又0.211220.2log 0.2log 0.20.20.20.211110.22252b c a a ⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====<= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，c a b <<. 故选：B.【点睛】本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题.11.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A F F A 2'''=，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（ ）A.21313 B.413C. 277D.47【★答案★】D 【解析】 【分析】设AF a '=，则2A F a ''=，小正六边形的边长为2A F a ''=，利用余弦定理可得大正六边形的边长为7ABa ，再利用面积之比可得结论.【详解】由题意，设AF a '=，则2A F a ''=，即小正六边形的边长为2A F a ''=， 所以，3FF a '=，3AF F π'∠=，在AF F '∆中，由余弦定理得2222cos AF AF FF AF FF AF F '''''=+-⋅⋅∠， 即()222323cos3AF a a a a π=+-⋅⋅，解得7AF a =，所以，大正六边形的边长为7AF a =，所以，小正六边形的面积为21132222236322S a a a a a =⨯⨯⨯⨯+⨯=， 大正六边形的面积为2213213772721222S a a a a a =⨯⨯⨯⨯+⨯=， 所以，此点取自小正六边形的概率1247S P S ==. 故选：D.【点睛】本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．12.已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，若12PF F ∆的面积为b 2233，则双曲线的离心率为（ ） A. 3 B. 2C. 5D. 3【★答案★】B 【解析】 【分析】根据题意，设点()00,P x y 在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论. 【详解】由题意，设点()00,P x y 在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 所以，00by x a=， 又以12F F 为直径的圆经过点P ，则OP c =，即22200x y c +=，解得0x a =，0y b =，所以，1220123223PF F S c y c b b ∆=⋅⋅=⋅=，即233c b =，即()22243c c a =-，所以，双曲线的离心率为2e =. 故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出a 与c 的关系，属于基础题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把★答案★填在答题卡的相应位置． 13.在()52x -的展开式中，3x 项的系数是__________（用数字作答）． 【★答案★】40- 【解析】()52x -的展开式的通项为：552()r rr C x --.令3r =，得5352()40rrr C x x --=-.★答案★为：-40.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.14.已知两圆相交于两点(),3A a ,()1,1B -，若两圆圆心都在直线0x y b ++=上，则+a b 的值是________________ . 【★答案★】1- 【解析】 【分析】根据题意，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得AB 与直线0x y b ++=垂直，且AB 的中点在这条直线0x y b ++=上，列出方程解得即可得到结论. 【详解】由(),3A a ,()1,1B -，设AB 的中点为1,22a M -⎛⎫⎪⎝⎭， 根据题意，可得1202a b -++=,且3111AB k a -==+， 解得，1a =,2b =-，故1a b +=-. 故★答案★为：1-.【点睛】本题考查相交弦的性质，解题的关键在于利用相交弦的性质，即两圆的连心线垂直平分相交弦，属于基础题.15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34310a S ==，，则11nk kS ==∑_____. 【★答案★】21nn + 【解析】 【分析】 计算得到()12n n n S +=，再利用裂项相消法计算得到★答案★. 【详解】3123a a d =+=，414610S a d =+=，故11a d ==，故()12n n n S +=， ()1111211122211111nn nk k k k n S k k k k n n ===⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 故★答案★为：21nn +. 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和，裂项相消法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．【★答案★】 (1).26(2).86729π【解析】【分析】(1)先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的2倍，即可得出该六面体的体积；(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得★答案★.【详解】(1)每个三角形面积是1331224S⎛⎫=⨯⨯=⎪⎪⎝⎭，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的，可求出该四面体的高为236133⎛⎫-=⎪⎪⎝⎭，故四面体体积为136234312⨯⨯=，因此该六面体体积是正四面体的2倍，所以六面体体积是26；(2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为R，所以213666349R R⎛⎫=⨯⨯⨯⇒=⎪⎪⎝⎭，所以球的体积3344686339729V Rπππ⎛⎫===⎪⎪⎝⎭.故★答案★为：26；86729π.【点睛】本题考查由平面图形折成空间几何体、考查空间几何体的表面积、体积计算，考查逻辑推理能力和空间想象能力求解球的体积关键是判断在什么情况下，其体积达到最大，考查运算求解能力.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1721题为必考题，（一）必考题：共60分17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若a b C C 3(sin 3cos )=+. （1）求角B 的大小； （2）若3A π=，D 为ABC ∆外一点，DB CD 2,1==，求四边形ABDC 面积的最大值.【★答案★】（1）3B π=（2）5324+ 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简等式可得tan 3B =，即3B π=；（2）根据题意，利用余弦定理可得254cos BC D =-，再表示出sin BDC S D ∆=，表示出四边形ABCD S ，进而可得最值.【详解】（1）3(sin 3cos )a b C C =+，由正弦定理得： 3sin sin (sin 3cos )A B C C =+在ABC ∆中，()sin sin A B C =+，则3sin()sin sin 3sin cos B C B C B C +=+， 即3cos sin sin sin B C B C =，sin 0,3cos sin C B B ≠∴=，即tan 3B =()0,,3B B ππ∈∴=.（2）在BCD ∆中，2,1BD CD ==22212212cos BC D ∴=+-⨯⨯⨯54cos D =- 又3A π=，则ABC ∆等边三角形，21sin 23ABCSBC π=⨯=533cos 4D - 又1sin sin 2BDCSBD DC D D =⨯⨯⨯=， 53sin 3cos 4ABCD S D D ∴=+-=532sin()43D π+-- ∴当56D π=时，四边形ABCD 的面积取最大值，最大值为5324+. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题．18.在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后得到如下22⨯列联表：分数不少于120分 分数不足120分 合计 线上学习时间不少于5小时 4 19 线上学习时间不足5小时 合计45（1）请完成上面22⨯列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差. （下面的临界值表供参考）20()P K k ≥ 0.100.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++）【★答案★】（1）填表见解析；有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）①详见解析②期望12；方差4.8 【解析】 【分析】（1）完成列联表，代入数据即可判断；（2）利用分层抽样可得X 的取值，进而得到概率，列出分布列；根据分析知(20,0.6)Y B ，计算出期望与方差. 【详解】（1）分数不少于120分 分数不足120分 合计 线上学习时间不少于5小时 15 4 19 线上学习时间不足5小时 10 16 26 合计 2520452245(1516104)7.29 6.63525201926K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”.（2）①由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取209445⨯=人， X 的可能取值为0，1，2，3，4，44420(0)C P X C ==，31416420(1)C C P X C ==，22416420(2)C C P X C ==13416420(3)C C P X C ==，416420(4)C P X C ==，所以，X 的分布列：X1234P44420C C 31416420C C C 22416420C C C 13416420C C C 416420C C②从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，此人每周上线时间不少于5小时的概率为150.625=，设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为Y ，则(20,0.6)YB ，故()200.612E Y =⨯=，()200.6(10.6) 4.8D Y =⨯⨯-=.【点睛】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的计算问题，属于基础题.19.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，AD AB CD DAB 1,602==∠=︒，点,E F 分别为CD AP ,的中点.（1）证明：PC ∥面BEF ；（2）若PA PD ⊥，且PA PD =，面PAD ⊥面ABCD ，求二面角F BE A --的余弦值. 【★答案★】（1）证明见解析（2）23913【解析】 【分析】（1）根据题意，连接AC 交BE 于H ，连接FH ，利用三角形全等得//FH PC ，进而可得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用向量求得平面的法向量，进而可得二面角F BE A --的余弦值. 【详解】（1）证明：连接AC 交BE 于H ，连接FH ，,,AB CE HAB HCE =∠=∠BHA CHA ∠=∠，ABH ∴∆≌CEH ∆，AH CH ∴=且//FH PC ，FH ⊂面,FBE PC ⊄面FBE ，//PC ∴面FBE ，（2）取AD 中点O ，连PO ，OB .由PA PD =，PO AD ∴⊥ 面PAD ⊥面ABCDPO ∴⊥面ABCD ，又由60DAB ∠=，AD AB = OB AD ∴⊥以,,OA OB OP 分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设2AD =，则(1,0,0)A ，(0,3,0)B ，(1,0,0)D -，11(0,0,1),(,0,)22P F ，(2,0,0)EB DA ==，11(,3,)22BF =-，1(0,0,1)n =为面BEA 的一个法向量，设面FBE 的法向量为2000(,,)n x y z =，依题意，2200EB n BF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即000020113022x x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 令03y =，解得06z =，00x =所以，平面FBE 的法向量2(0,3,6)n =，121212,6239cos ,1339n n n n n n ===⋅，又因二面角为锐角，故二面角F BE A --的余弦值为23913. 【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意中位线和向量法的合理运用，属于基础题. 20.已知倾斜角为4π的直线经过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C 相交于A 、B 两点，且||8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）设P 为抛物线C 上任意一点（异于顶点），过P 做倾斜角互补的两条直线1l 、2l ，交抛物线C 于另两点C 、D ，记抛物线C 在点P 的切线l 的倾斜角为α，直线CD 的倾斜角为β，求证：α与β互补.【★答案★】（1）24x y =（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，设直线方程为2py x =+，联立方程，根据抛物线的定义即可得到结论； （2）根据题意，设1l 的方程为()2004x y k x x -=-，联立方程得04C x x k +=，同理可得04D x x k +=-，进而得到02C D x x x +=-，再利用点差法得直线CD 的斜率，利用切线与导数的关系得直线l 的斜率，进而可得α与β互补. 【详解】（1）由题意设直线AB 的方程为2py x =+，令11(,)A x y 、22(,)B x y ， 联立222p y x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得22304p y py -+=123y y p ∴+=，根据抛物线的定义得124AB y y p p =++=， 又8AB =，48,2p p ∴== 故所求抛物线方程为24x y =.（2）依题意，设200(,)4x P x ，2(,)4C C x C x ，2(,)4DD x D x设1l 的方程为200()4x y k x x -=-，与24x y =联立消去y 得2200440x kx kx x -+-=，04C x x k ∴+=，同理04D x x k +=- 02C D x x x ∴+=-，直线CD 的斜率2221214()CDx x k x x -=-=1()4C D x x +012x =- 切线l 的斜率0012l x x k y x =='=， 由0l CD k k +=，即α与β互补.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线斜率的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．21.已知函数2()ln (1)1(,).f x x ax a b x b a b R =-+--++∈ （1）若0a =，试讨论()f x 的单调性；（2）若02,1a b <<=，实数12,x x 为方程2()f x m ax =-的两不等实根，求证：121142a x x +>-. 【★答案★】（1）★答案★不唯一，具体见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得()f x '，分1b ≤-与1b >-讨论即可得到函数()f x 的单调性； （2）根据题意构造函数()g x ，得12()()g x g x m ==，参变分离得2112ln ln 2x x a x x --=-，分析不等式121142a x x +>-，即转化为1222112ln x x x x x x -<-，设21(1)x t t x =>，再构造函数()12ln g t t t t=-+，利用导数得单调性，进而得证.【详解】（1）依题意0x >，当0a =时，1()(1)f x b x'=-+， ①当1b ≤-时，()0f x '>恒成立，此时()f x 在定义域上单调递增；②当1b >-时，若10,1x b ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，()0f x '>；若1,1x b ⎛⎫∈+∞⎪+⎝⎭，()0f x '<； 故此时()f x 的单调递增区间为10,1b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，单调递减区间为1,1b ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭.（2）方法1：由2()f x m ax =-得ln (2)20x a x m +-+-= 令()ln (2)2g x x a x =+-+，则12()()g x g x m ==， 依题意有1122ln (2)ln (2)x a x x a x +-=+-，即2112ln ln 2x x a x x --=-，要证121142a x x +>-，只需证()211212122ln ln 2(2)x x x x a x x x x --+>-=-（不妨设12x x <），即证1222112ln x x x x x x -<-， 令21(1)x t t x =>，设()12ln g t t t t=-+，则22211()1(1)0g t t t t '=--=--<， ()g t ∴在(1,)+∞单调递减，即()(1)0g t g <=，从而有121142a x x +>-. 方法2：由2()f x m ax =-得ln (2)20x a x m +-+-= 令()ln (2)2g x x a x =+-+，则12()()g x g x m ==，1()(2)g x a x'=-- 当1(0,)2x a ∈-时()0g x '>，1(,)2x a∈+∞-时()0g x '<， 故()g x 1(0,)2a -上单调递增，在1(,)2a+∞-上单调递减， 不妨设12x x <，则12102x x a<<<-， 要证121142a x x +>-，只需证212(42)1x x a x <--，易知221(0,)(42)12x a x a ∈---， 故只需证212()()(42)1x g x g a x <--，即证222()()(42)1x g x g a x <--令()()()(42)1x h x g x g a x =---，（12x a>-），则()21()()()(42)1421xh x g x g a x a x '''=+----⎡⎤⎣⎦=()21(2)1(2)1421a x a x x x a x ----⎡⎤+⎢⎥⎣⎦--⎡⎤⎣⎦=()()224(2)210421a a x a x ----⎡⎤⎣⎦<--⎡⎤⎣⎦， （也可代入后再求导）()h x ∴在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上单调递减，1()()02h x h a ∴<=-，故对于12x a >-时，总有()()(42)1x g x g a x <--.由此得121142a x x +>- 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()26πρθ+=.（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设,A B 为曲线1C 上位于第一，二象限的两个动点，且2AOB π∠=，射线,OA OB 交曲线2C 分别于,D C ，求AOB ∆面积的最小值，并求此时四边形ABCD 的面积.【★答案★】（1）2213x y +=；340x y +-=（2）AOB 面积的最小值为34；四边形的面积为294【解析】 【分析】（1）将曲线1C 消去参数即可得到1C 的普通方程，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线2C 的极坐标方程即可；（2）由（1）得曲线1C 的极坐标方程，设1,()A ρθ，2(,)2B πρθ+，3(,)D ρθ，4(,)2C πρθ+ 利用方程可得22121143ρρ+=，再利用基本不等式得22121221143ρρρρ≤+=，即可得121324AOB S ρρ∆=≥，根据题意知ABCD COD AOB S S S ∆∆=-，进而可得四边形ABCD 的面积. 【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）消去参数得2213xy +=曲线2C 的极坐标方程为sin()26πρθ+=，即sin cos cos sin266ππρθρθ+=，所以，曲线2C 的直角坐标方程340x y +-=. （2）依题意得1C 的极坐标方程为2222cos sin 13ρθρθ+=设1,()A ρθ，2(,)2B πρθ+，3(,)D ρθ，4(,)2C πρθ+则222211cos sin 13ρθρθ+=，222222sin cos 13ρθρθ+=，故22121143ρρ+=22121221143ρρρρ∴≤+=，当且仅当12ρρ=（即4πθ=）时取“=”， 故121324AOB S ρρ∆=≥，即AOB ∆面积的最小值为34. 此时34112222sin()cos()4646COD S ρρππππ∆==⋅++48cos 3π==， 故所求四边形的面积为329844ABCD COD AOB S S S ∆∆=-=-=. 【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 23.已知,,a b c 均为正实数，函数()2221114f x x x a b c =++-+的最小值为1.证明： （1）22249a b c ++≥； （2）111122ab bc ac++≤. 【★答案★】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值，再运用柯西不等式，即可得到最小值.（2）利用基本不等式即可得到结论，注意等号成立的条件. 【详解】（1）由题意,,0a b c >，则函数222111()4f x x x a b c =++-+222111()4x x a b c ≥+--+2221114a b c =++， 又函数()f x 的最小值为1，即2221114a b c++1=， 由柯西不等式得222(4)a b c ++2221114a b c ⎛⎫++⎪⎝⎭2(111)9≥++=， 当且仅当23a b c ===时取“=”.故22249a b c ++≥.（2）由题意，利用基本不等式可得22121a b ab ，221114b c bc +≥，221114a cac +≥， （以上三式当且仅当23a b c ===时同时取“=”）由（1）知，22211114a b c ++=， 所以，将以上三式相加得211ab bc ac ++≤222111224a b c ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ 即111122ab bc ac++≤. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。