上外附中2014学年第一学期高一年级数学期中考试试卷4
最新上海市复旦附中2018-2019学年高一(上)期中数学模拟试卷
2018-2019学年上海市复旦附中高一（上）期中数学模拟试卷一．填空题（共12小题，满分54分）1．若实数a满足：a2∈{1，4，a}，则实数a的取值集合为．2．函数y=+lg（3﹣x）的定义域为．3．命题“若ab=0，则b=0”的逆否命题是．4．函数y=+2的单调区间是．5．已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（1+x），则当x＜0时，f （x）=．6．已知符号函数sgn（x）=，则函数f（x）=sgn（x）﹣2x的所有零点构成的集合为．7．函数的值域为．8．已知a＞0，b＞0，则的最小值为．9．设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=10．若y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，且f（x）＜f（2x﹣2），则x 的取值范围．11．若函数f（x）=，则f（5）=．12．定义：若平面点集A中的任一个点（x0，y0），总存在正实数r，使得集合（x，y）|?A，则称A为一个开集．给出下列集合：①{（x，y）|x2+y2=1}；②{（x，y）|x+y+2＞0}；③{（x，y）||x+y|≤6}；④．其中不是开集的是．（请写出所有符合条件的序号）二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“ｘ2﹣x﹣6＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．已知函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=sinx+x的零点依次为x1，x2，x3，则以下排列正确的是（）A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x3＜x1＜x2D．x2＜x3＜x115．已知非空集合M满足：若x∈M，则∈M，则当4∈M时，集合M的所有元素之积等于（）A．0B．1C．﹣1D．不确定16．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于x=1对称B．f（x）的最大值与最小值之和为2C．方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根D．当x∈[2，3]时，f（x）=2x+2﹣1三．解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（14分）已知函数y=f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时（Ⅰ）试求f（﹣2）的值；（Ⅱ）指出f（x）的单调递增区间；（直接写出结论即可）；（Ⅲ）求出f（x）的零点．19．（14分）已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+3|．（1）求不等式f（x）≤15的解集；（2）若﹣x2+a≤f（x）对x∈R恒成立，求a的取值范围．20．（16分）函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2）．（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；（3）如果f（4）=1，f（x﹣1）＜2，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．21．（18分）已知函数，a∈R．（1）若函数f（x）是奇函数，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，判断函数y=f（x）与函数y=lg2x的图象公共点个数，并说明理由；（3）当x∈[1，2）时，函数y=f（2x）的图象始终在函数y=lg（4﹣2x）的图象上方，求实数a的取值范围．2018-2019学年上海市复旦附中高一（上）期中数学模拟试卷参考答案与试题解析一．填空题（共12小题，满分54分）1．若实数a满足：a2∈{1，4，a}，则实数a的取值集合为{﹣1，﹣2，2，0} ．【分析】由实数a满足：a2∈{1，4，a}，得到a2=1或a2=4，或a2=a，由此能求出实数a的取值集合．【解答】解：∵实数a满足：a2∈{1，4，a}，∴a2=1或a2=4，或a2=a，解得a=﹣2或a=2或a=﹣1或a=1或a=0，当a=1时，{1，4，1}不成立，当a=﹣1，或a=±2，或a=0时，都成立．∴实数a的取值集合为{﹣1，﹣2，2，0}．故答案为：{﹣1，﹣2，2，0}．【点评】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意集合中元素的性质的合理运用．2．函数y=+lg（3﹣x）的定义域为[﹣2，3）．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得﹣2≤x＜3．∴函数y=+lg（3﹣x）的定义域为：[﹣2，3）．故答案为：[﹣2，3）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3．命题“若ab=0，则b=0”的逆否命题是若b≠0，则ab≠0．【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，直接写出答案即可．【解答】解：根据原命题与逆否命题的关系，知：命题“若ab=0，则b=0”的逆否命题是“若b≠0，则ab≠0”．故答案为：若b≠0，则ab≠0．【点评】本题考查了原命题与它的逆否命题之间的相互转化问题，解题时应明确四种命题之间的关系，是基础题．4．函数y=+2的单调区间是（﹣∞，0）和（0，+∞）．【分析】求出函数的定义域，利用反比例函数的单调性可求得答案．【解答】解：函数y=+2的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），由y=在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递减，知函数y=+2的单调减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞），故答案为：（﹣∞，0）和（0，+∞）．【点评】该题考查函数的单调性及单调区间的求解，属基础题，熟练掌握常见基本函数的单调性是解题基础．5．已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（1+x），则当x＜0时，f （x）=x（1﹣x）．【分析】根据f（x）是奇函数可得出f（﹣x）=﹣f（x），根据xx≥0时，f（x）=x（1+x），可设x＜0，从而可求出f（﹣x）=﹣x（1﹣x）=﹣f（x）．【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x）；又x≥0时，f（x）=x（1+x）；∴设x＜0，﹣x＞0，则f（﹣x）=﹣x（1﹣x）=﹣f（x）；∴f（x）=x（1﹣x）．故答案为：x（1﹣x）．【点评】考查奇函数的定义，函数解析式的定义及求法．6．已知符号函数sgn（x）=，则函数f（x）=sgn（x）﹣2x的所有零点构成的集合为{} ．【分析】分类讨论，分别求出等价函数，分别求解其零点个数，然后相加即可．【解答】解：①x＞0时，函数f（x）=sgn（x）﹣2x转化为函数f（x）=1﹣2x，令1﹣2x=0，得x=，即当x＞0时．函数f（x）=sgn（x）﹣2x的零点是；②x=0时，函数f（x）=sgn（x）﹣2x转化为函数f（x）=0，函数f（x）=sgn（x）﹣2x的零点是0；③x＜0时，函数f（x）=sgn（x）﹣2x转化为函数f（x）=﹣1﹣2x，令﹣1﹣2x=0，得x=﹣，即当x＜0时．函数f（x）=sgn（x）﹣2x的零点是﹣；综上函数f（x）=sgn（x）﹣x的零点的集合为：{}．故答案为：{}．【点评】本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，考查转化思想，分类讨论思想，是基础题．7．函数的值域为（0，+∞）．【分析】根据8x＞0即可得出8x+1＞1，从而可求出，即得出f（x）的值域．【解答】解：8x＞0；∴8x+1＞1；∴；∴f（x）的值域为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．【点评】考查函数值域的概念及求法，指数函数的值域，对数函数的单调性．8．已知a＞0，b＞0，则的最小值为4．【分析】构造基本不等式的性质即可求解．【解答】解：由==（a+2b）+，∵a＞0，b＞0，∴（a+2b）+≥2=4，当且仅当a+2b=2时取等号．则的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了“构造思想”与基本不等式的性质运用，属于基础题．9．设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C={1，2，4}【分析】根据并集与交集的定义计算即可．【解答】解：集合A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，又集合C={x|﹣1≤x≤5，x∈R}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故答案为：{1，2，4}．【点评】本题考查了交集与并集的运算问题，是基础题．10．若y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，且f（x）＜f（2x﹣2），则x 的取值范围（﹣∞，2）．【分析】根据y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数即可由f（x）＜f（2x﹣2）得出x＞2x﹣2，这样即可解出x的取值范围．【解答】解：∵y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数；∴由f（x）＜f（2x﹣2）得：x＞2x﹣2；∴x＜2；∴x的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．【点评】考查单调减函数的定义，以及一元一次不等式的解法．11．若函数f（x）=，则f（5）=1．【分析】推导出f（5）=f（3）=f（1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（5）=f（3）=f（1）=1．故答案为：1．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12．定义：若平面点集A中的任一个点（x0，y0），总存在正实数r，使得集合（x，y）|?A，则称A为一个开集．给出下列集合：①{（x，y）|x2+y2=1}；②{（x，y）|x+y+2＞0}；③{（x，y）||x+y|≤6}；④．其中不是开集的是①③．（请写出所有符合条件的序号）【分析】根据新定义进行计算后判断，弄清开集的定义是解决本题的关键．即所选的集合需要满足存在以该集合内任意点为圆心，任意正实数为半径的圆内部分均在该集合内．初步确定该集合不含边界【解答】解：对于①：A={（x，y）|x2+y2=1}表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足B={（x，y）|＜r}?A，故①不是开集．对于②：A={（x，y）|x+y+2＞0}平面点集A中的任一点（x0，y0），则该点到直线的距离为d，取r=d，则满足B={（x，y）|＜r}?A，故②是开集；对于③：A={（x，y）||x+y|≤6}，在曲线|x+y|=6任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足B={（x，y）|＜r}?A，故该集合不是开集；对于④：A=表示以点（0，）为圆心，1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A中的任一点（x0，y0），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足B={（x，y）|＜r}?A，故该集合是开集；故答案为：①③．【点评】本题属于集合的新定义型问题，考查学生即时掌握信息，解决问题的能力．正确理解好集的定义是解决本题的关键二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“ｘ2﹣x﹣6＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据绝对值不等式和一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3由x2﹣x﹣6＜0得﹣2＜x＜3，即“|x﹣2|＜1”是“ｘ2﹣x﹣6＜0”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键．14．已知函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=sinx+x的零点依次为x1，x2，x3，则以下排列正确的是（）A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x3＜x1＜x2D．x2＜x3＜x1【分析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可．【解答】解：函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=sinx+x的零点依次为x1，x2，x3，在坐标系中画出y=3x，y=log3x，y=sinx与y=﹣x的图象如图：可知x1＜0，x2＞0，x3=0，满足x1＜x3＜x2．故选：B．【点评】本题考查了函数的零点的判定理，数形结合的应用，属于基础题．15．已知非空集合M满足：若x∈M，则∈M，则当4∈M时，集合M的所有元素之积等于（）A．0B．1C．﹣1D．不确定【分析】根据新定义运算法则“若x∈M，则∈M”求得集合M的所有元素，然后求其积即可．【解答】解：依题意，得当4∈M时，有=﹣∈M，从而=∈M，=4∈M，于是集合M的元素只有4，﹣，，所有元素之积等于4×（﹣）×=﹣1．故选：C．【点评】本题考查了元素与集合关系的判断．解题的关键是根据“若x∈M，则∈M”得到集合M的所有元素．16．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于x=1对称B．f（x）的最大值与最小值之和为2C．方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根D．当x∈[2，3]时，f（x）=2x+2﹣1【分析】根据奇函数的性质和周期性可得f（x）关于（1，0）对称，求出x∈（﹣1，0]时，函数的解析式，再根据函数的周期性，即可得到函数y=f（x）的图象，再画出y=lg|x|的图象，由图象即可判断．【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），可得f（x）为周期为2的奇函数，可得f（﹣x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），即有f（x）的图象关于点（1，0）对称，故A错误；当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，由x∈[2，3]时，x﹣2∈[0，1]时，可得f（x﹣2）=f（x）=2x﹣2﹣1，故D错误；当x∈[﹣1，0）时，﹣x∈[0，1）时，f（﹣x）=2﹣x﹣1=﹣f（x），即f（x）=1﹣2﹣x，可得f（x）无最小值和最大值，故B错误；画出函数y=f（x）与y=lg|x|的图象，如图所示，结合图象可得函数f（x）无对称轴，f（x）的最大值与最小值之和为0，当x＞0时，y=f（x）与y=lg|x|有个交点，当x＜0y=f（x）与y=lg|x|有5个交点，故方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根，故C正确．故选：C．【点评】本题考查了函数的奇偶性周期性，对称性，以及函数零点的问题，考查了转化能力和运算能力，属于中档题．三．解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）运用真值表判断命题真假即可；（2）运用充分必要条件的判断可解出．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a，当a=1时，1＜x＜3，即p为真时，实数x的范围是1＜x＜3由q为真时，实数x的范围是﹣2≤x≤3，若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是（1，3）．（2）￢p：x≤a或x≥3a，￢q：x＜﹣2或x＞3，由￢q是￢p的充分不必要条件，有得0＜a≤1，显然此时￢p≠＞￢q，即a的取值范围为（0，1]．【点评】本题考查充分必要条件和命题真假的判断．18．（14分）已知函数y=f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时（Ⅰ）试求f（﹣2）的值；（Ⅱ）指出f（x）的单调递增区间；（直接写出结论即可）；（Ⅲ）求出f（x）的零点．【分析】（Ⅰ）利用函数的奇偶性以及函数的解析式真假求解f（﹣2）的值；（Ⅱ）利用函数的奇偶性以及分段函数的解析式写出f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）f（x）的零点转化为方程的根，求解即可．【解答】本题满分（12分）解：（I）由已知f（﹣2）=﹣f（2），2∈（0，3]，所以（II）函数y=f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，，单调递增区间为（﹣∞，﹣3）和（3，+∞）（8分）（III）由，且0＜x≤3，解得又f（x）为奇函数，可得另一个零点为综上：f（x）的零点为和（12分）【点评】本题考查分段函数的应用幂函数的奇偶性以及函数值的求法，函数的零点的求法，考查计算能力．19．（14分）已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+3|．（1）求不等式f（x）≤15的解集；（2）若﹣x2+a≤f（x）对x∈R恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）化简函数为分段函数，然后求解不等式f（x）≤15的解集；（2）若﹣x2+a≤f（x）对x∈R恒成立，求出函数的最小值，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）因为，所以当x＜﹣3时，由f（x）≤15得﹣8≤x＜﹣3；当﹣3≤x≤2时，由f（x）≤15得﹣3≤x＜2；当x＞2时，由f（x）≤15得﹣2＜x≤7．综上，f（x）≤15的解集为[﹣8，7]．（2）由﹣x2+a≤f（x）得a≤x2+f（x），因为f（x）≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，当且仅当﹣3≤x≤2取等号，所以当﹣3≤x≤2时，f（x）取得最小值5，所以当x=0时，x2+f（x）取得最小值5，故a≤5，取a的取值范围为（﹣∞，5]．【点评】本题考查不等式的解法，函数恒成立条件的应用，考查转化思想以及计算能力．20．（16分）函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2）．（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；（3）如果f（4）=1，f（x﹣1）＜2，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．【分析】（1）令x1=x2=1，代入已知条件，即可求解得f（1）．（2）f（x）为偶函数．利用偶函数的定义证明即可．（3）求解f（4×4）=2，由（2）知，f（x）是偶函数，转化f（x﹣1）＜2?f（|x﹣1|）＜f（16）．然后求解即可．【解答】解：（1）∵对于任意x1，x2∈D，有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），∴令x1=x2=1，得f（1）=2f（1），∴f（1）=0．（2）f（x）为偶函数．证明：令x1=x2=﹣1，有f（1）=f（﹣1）+f（﹣1），∴f（﹣1）=f（1）=0．令x1=﹣1，x2=x有f（﹣x）=f（﹣1）+f（x），∴f（﹣x）=f（x），∴f（x）为偶函数．（3）依题设有f（4×4）=f（4）+f（4）=2，由（2）知，f（x）是偶函数，∴f（x﹣1）＜2?f（|x﹣1|）＜f（16）．又f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴0＜|x﹣1|＜16，解之得﹣15＜x＜17且x≠1，∴x的取值范围是{x|﹣15＜x＜17且x ≠1}．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，考查计算能力．21．（18分）已知函数，a∈R．（1）若函数f（x）是奇函数，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，判断函数y=f（x）与函数y=lg2x的图象公共点个数，并说明理由；（3）当x∈[1，2）时，函数y=f（2x）的图象始终在函数y=lg（4﹣2x）的图象上方，求实数a的取值范围．【分析】（1）运用奇函数的定义，以及对数的运算性质，结合恒成立思想解方程可得a 的值；（2）求得f（x）的定义域，要求方程解的个数，即求方程在定义域D上的解的个数．构造函数，运用函数零点存在定理，即可得到所求零点个数；（3）要使x∈[1，2）时，函数y=f（2x）的图象始终在函数y=lg（4﹣2x）的图象的上方，必须使在x∈[1，2）上恒成立，令t=2x，则t∈[2，4），上式整理得t2+（a﹣5）t+6﹣a＞0在t∈[2，4）恒成立．由参数分离和基本不等式可得最值，进而得到所求范围．【解答】解：（1）函数为奇函数，所以对于定义域内任意x，都有f（x）+f（﹣x）=0，即，∴，显然x≠1，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有x≠﹣1．上面等式左右两边同时乘以（x﹣1）（x+1）得[a（x﹣1）+2]?[a（x+1）﹣2]=x2﹣1，化简得（a2﹣1）x2﹣（a2﹣4a+3）=0，上式对定义域内任意x恒成立，所以必有，解得a=1；（2）由（1）知a=1，所以，即，由得x＜﹣1或x＞1，所以函数f（x）定义域D=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），由题意，要求方程解的个数，即求方程在定义域D上的解的个数．令，显然F（x）在区间（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）均单调递增，又，，且，，所以函数F（x）在区间和上各有一个零点，即方程在定义域D上有2个解，所以函数y=f（x）与函数y=lg2x的图象有2个公共点；（3）要使x∈[1，2）时，函数y=f（2x）的图象始终在函数y=lg（4﹣2x）的图象的上方，必须使在x∈[1，2）上恒成立，令t=2x，则t∈[2，4），上式整理得t2+（a﹣5）t+6﹣a＞0在t∈[2，4）恒成立．因为t2+（a﹣5）t+6﹣a＞0在t∈[2，4）恒成立．即（t﹣1）a＞﹣t2+5t﹣6，又1≤t﹣1＜3，所以得在t∈[2，4）恒成立，令u=t﹣1，则u∈[1，3），且t=u+1，所以，由基本不等式可知（当且仅当时，等号成立）即，所以，所以a的取值范围是．【点评】本题考查函数的性质和运用，主要是奇偶性的定义和性质，考查函数零点存在定理的应用以及参数分离、构造函数和基本不等式的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题．。
上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题(含答案)
复旦大学附属中学2023-2024学年高三上学期期中数学试题2023.11(满分 150分, 时间120分钟)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：_________一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)1.已知复数 (i是虚数单位)，则z的虚部是 .2.已知3sinα=cosα,则tan(π-α)的值是 .3.已知某班全体学生在某次数学考试中的成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则图中a所代表的数值是 .4.已知两点P(3,4),Q(-5,6),则以线段PQ为直径的圆的标准方程是 .5.已知向量则向量在向量上的投影向量的坐标为 .6 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为8π，则该圆锥的体积等于 .7.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现各从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为 .8.已知一组数据: 10, 11, 12, 13, 13, 14, 15, 16, 记这组数据的第60百分位数为a, 众数为b,则a和b的大小关系是 . (用“<”,“>”,“=”连接)9.已知函数f(x)=3sinx+2cosx, 当f(x)取得最大值时,= .10.已知则abc的值为 .11. 如图在△ABC中, AB=2,AC=．5,∠BAC=60°,边BC、 AC上的中线AM、 BN相交于点P,则cos∠MPN= .l2.已知函数若有且仅有一个正整数使得不等式成立，则实数a的取值范围是 .二、选择题(本大题共有4题, 13、14每题4分, 15、16每题5分, 满分18分)13. 设ab>0, 则“a>b”是的 ( ) .A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件14. 定义在区间(-∞,0)∪(0,+∞)的函数f(x), 如果对于任意给定的非常数等比数列{an},{f(an)}仍是 等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”，下列函数是“保等比数列函数”的是( ) .B. f(x)=2x+1 D. f(x)=log ₃|x|15.《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺， 捕影而视之， 空正掩目，而日应空之孔.”意为：“取竹空这一望筒，当望筒直径d 是一寸，筒长t 是八尺时(注：一尺等于十寸)，从筒中搜捕太阳的边缘观察， 则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔.”如图所示， O 为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB 的正切值为 ( ) . A.16. 已知F ₁、F ₂是椭圆的左、右焦点，Q 是Γ上一动点，记 ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ 若 ₁ ₂ ₂ ₁ 则的值为( ) .三、解答题(本题共5道题，满分78分)17. (本题满分14分,第1题 6分, 第2题8分)如图，长方体 ₁ ₁ ₁ ₁的底面ABCD 是正方形, 点E 在棱AA ₁上, BE⊥EC ₁. (1)证明: BE⊥平面EB ₁C ₁;(2)若AA ₁=2,AB=1, 求四棱锥 ₁ ₁ 的体积.18. (本题满分14分,第1题6分,第2题8分)已知数列 ，若对于任意正整数n ， ₂ ₁仍为数列 中的项，则称数列 为“回归数列”. (1)已知 判断数列 是否为“回归数列”，并说明理由；(2)若数列 为“回归数列”，且对于任意正整数n ，均有 ₁成立，证明：数列 为等差数列.19. (本题满分14分,第1题6分, 第2题8分)“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我.”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块平面四边形ABCD的麦田里成为守望者.如图所示，为了分割麦田，他将B、D连接,经测量知AB=BC=CD=1,AD=2.(1) 霍尔顿发现无论BD多长，2cosA-cosC都为一个定值. 请你证明霍尔顿的结论，并求出这个定值；(2) 霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和呈正相关关系. 记△ABD与的面积分别为S₁和S₂，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值.20.(本题满分18分,第1题4分, 第2题6分,第3小题满分8分)已知椭圆过点且Γ的左焦点为直线l与Γ交于M,N两点.(1)求椭圆Γ的方程;(2)若且点P的坐标为(0，1)，求直线l的斜率；(3)若其中O为坐标原点，求△MON面积的最大值.21. (本题满分18分,第1题4分,第2题6分,第3小题满分8分)已知函数其中λ为实数.(1)若y=h(x)是定义域上的单调函数，求实数λ的取值范围；(2)若函数y=h(x)有两个不同的零点，求实数λ的取值范围；(3)记g(x)=h(x)-λx,若p,q(p<q)为g(x)的两个驻点,当λ在区间上变化时，求|g(p)-g(q)|的取值范围.复旦大学附属中学2023-2024学年高三上学期期中数学试题解析 2023.11(满分 150分, 时间120分钟)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：_________一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)1. 2.3.0.0154. =175.6.7.8.= 9.10. 或者11.12.10. 或者【详解】 得 ,由 得所以 所以 1；即 即 所以 或故答案为：10或11.【分析】根据题意建立直角坐标系，从而得到 各点坐标，进而利用向量夹角余弦的坐标表示即可得解. 【详解】依题意，以A 为原点，AC 所在直线为x 轴， 过A 作AC 的垂线为y 轴，如图所示，因为所以 ， ，则，即为向量 与 的夹角，则, 则故答案为：12.【详解】 函数 有且仅有一个正整数 使得不等式 成立，① ②③恒成立， 由②-①且③-②得：④ ⑤恒成立，恒成立,.二、选择题(本大题共有4题, 13、14每题4分, 15、16每题5分, 满分18分)13. C 14.A 15.B 16.A14.A.【分析】根据等比数列的定义及函数的性质计算即可一一选定.【详解】不妨设的公比为即；对于A项，仍是常数，即B项符合题意；对于B项，由题意可得，因为an非常数，则非常数，故非常数，即B项不符合题意；对于C项，,同B项可知，该比值非常数，即C项不符合题意；对于D项，，同B项可知，该比值非常数，即D项不符合题意.故选: A.16.A.【详解】中由勾股定理得：===即=,= ===,又 ₁ ₂ ₂ ₁，6=4,,=, c=a=, 故选A三、解答题(本题共5道题，满分78分)17.(1)证明：由长方体的性质可知，平面 ₁ ₁ 平面 ₁ ₁∴⊥平面E .(2)取棱 ₁的中点F, 连接EF、 ₁ 则由(1)知, ₁由题设可知， ₁ ₁₁ ₁ ₁∵在长方体 ₁ ₁ ₁ ₁中, ₁ 平面 ₁ ₁ ₁平面 ₁ ₁ ∴点E到平面 ₁ ₁ 的距离∴四棱锥 ₁ ₁ 的体积棱锥侧18.(1)对于任意仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”.己知则 ₂ ₁显然不是数列中的项，故：数列不为“回归数列”.(2)由题意知:必存在使得： ₂ ₁由题意可知： ₁₂ ₁故 ₂ 因此即: ₂ ₁ ₁整理得： ₂ ₁ ₁则数列为等差数列.19.【详解】(1)在中,在中,,则为定值.(2)因为设则,所以，当时,取得最大值即时,的最大值为.20.【详解】(1)由题意得解得:∴椭圆C的标准方程为(2)设 ₁ ₁ ₂ ₂直线l的方程为代入椭圆的方程消去y得：①②，,=-2代入①和②得：③④③④得：=-2，解得：;(2)设 ₁ ₁ ₂ ₂直线l的方程为代入椭圆的方程消去y得：①②由解得=③把①和②代入③得：=4,④又+=16,又,,④中当且仅当即时，等号成立，的面积的最大值为21.已知函数其中λ为实数.(1)若y=h(x)是定义域上的单调函数，求实数λ的取值范围；(2)若函数y=h(x)有两个不同的零点，求实数λ的取值范围；(3)记g(x)=h(x)-λx,若p,q(p<q)为g(x)的两个驻点,当λ在区间上变化时，求|g(p)-g(q)|的取值范围.【详解】(1)易得定义域为，-=,①当且仅当0时，恒成立，y=h(x)是定义域上的单调递增函数，符合题意；而当0时，既不恒正，也不恒负，即y=h(x)不是定义域上的单调函数，不符合题意，舍去；所以，由题意得:实数λ的取值范围为，；(2)函数y=h(x)有两个不同的零点，y=h(x)不是定义域上的单调函数，即0；由①得：y=h(x)在上为单调递减函数，在，上为单调递增函数，函数y=h(x)有两个不同的零点=;(3)p,q(p<q)为g(x)=h(x)-λx=-λx的两个驻点,p,q(0p<q)为=--λ=0一元二次方程-x+的两个不同的正根，即, 又，===又=或者=, =- =,在p上为单调递增函数，=，.。
2023-2024学年雅礼教育高一数学上学期期中考试卷附答案解析
2023-2024学年雅礼教育高一数学上学期期中考试卷2023.11（试卷满分150分，考试用时120分钟.）一、单选题（本大题共8小题，共40分）1．设{}1A x x =>，{}2230B x x x =--<，则()RA B ⋂=ð（）A ．{}11x x -<≤B ．{}31x x -<≤C ．{}11x x -<<D ．{}1x x >-2．下列函数中在定义域上既是奇函数又是增函数的为（）A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x2C ．y ＝x3D ．1y x =-3．设,a b R ∈，则下列命题正确的是（）A ．若x y >，a b >，则a x b y ->-B ．若a b >，则11a b<C ．若x y >，a b >则ax by>D ．若||a b >，则22a b>4．对于函数(),y f x x R =∈,“()y f x =的图象关于轴对称”是“=()f x 是奇函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5．若0.22023a =，0.2log 2023b =，20230.2c =，则（）A ．a b c>>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b>>6．函数()11((142x x f x =-+在[]1,2-的最小值是（）A ．1B ．1316C ．34D ．37．已知函数32()2,()log ,()x f x x g x x x h x x x =+=+=+的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A ．a b c>>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c>>8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若对任意120x x <<，均有211212()()x f x x f x x x ->-．且(2)2f =，则不等式()0f x x ->的解集为（）A ．(,2)(2,)-∞-+∞B ．(2,2)-C ．(2,0)(0,2)- D ．(2,0)(2,)-+∞ 二、多选题（本大题共4小题，每小题全对5分，选对不全对得2分，共20分）9．函数2()23x f x x =-的零点所在的区间是（）A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(7,8)10．下列说法正确的是（）A ．若函数()2f x 的定义域为[02]，，则函数()f x 的定义域为[]01，B ．若函数()y f x =过定点()01，，则函数()11y f x =-+经过定点()12，C ．幂函数23y x -=在()0-∞，是减函数D ．()212x f x x -=+图象关于点()22-，成中心对称11．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3.143=，[]1.62-=-，定义函数:[]()f x x x =-，则下列命题正确的是（）A ．(0.8)0.2f -=B ．当12x ≤<时，()1f x x =-C ．函数()f x 的定义域为R ，值域为[)0,1D ．函数()f x 是增函数､奇函数12．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则称区间[],m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（）A ．()f x xB ．()222f x x x =-+C ．()1f x x x=+D ．()1f x x=三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．函数ln(4)()3x f x x -=-的定义域为．14．设{}28150A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 组成的集合C =．15．设f(x)是奇函数，当x ＞0时，f(x)＝log2x ，则当x ＜0时，f(x)的表达式为．16．古希腊数学家希波克拉底曾研究过如下图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .若以斜边BC 为直径的半圆面积为π，则以AB ，AC 为直径的两个半圆的弧长之和的最大值为.四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．计算下列各式：(1)1020.5231(22(2)(0.01)54--+⨯-；(2)515521log 352log 2log log 1450+--.18．求下列式子的最值．(1)已知32x >，求2123y x x =-+-的最小值；(2)已知0x >，0y >，且141x y +=，求x y +的最小值．19．已知函数()()22log 23f x x ax =-+．(1)当1a =-时，求函数()f x 的值域；(2)当2a =-时，求函数()f x 的单调区间．20．已知0a >且满足不等式215222a a +->．(1)求实数a 的取值范围，并解不等式log (31)log (75)a a x x +<-．(2)若函数log (21)a y x =-在区间[1,3]有最小值为2-，求实数a 的值．21．已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且满足()()12xf xg x --=．(1)求()f x ，()g x ；(2)若()()()112h x f x g x =+-⎡⎤⎣⎦，且方程()()21204h x k h x k -⋅+-=⎡⎤⎣⎦有三个解，求实数k 的取值范围．22．为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由子此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元，设屋子的左右两面墙的长度均为x 米()15x ≤≤.（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价.（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为()18001a x x +元()0a >，苦无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围.1．A【分析】解不等式可得集合B ，再根据集合间的运算可得解.【详解】由{}{}223013B x x x x x =--<=-<<，又{}1A x x =>，所以{}R 1A x x =≤ð，所以(){}R11A B x x ⋂=-<≤ð，故选：A.2．C【分析】依据奇偶性和单调性依次判断每个选项即可.【详解】y ＝x ＋1是非奇非偶函数，y ＝－x2是偶函数，y ＝x3由幂函数的性质，是定义在R 上的奇函数，且为单调递增，1y x =-在定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，不是定义域上的单调增函数，故选：C【点睛】此题考查函数奇偶性单调性的判断，要求对奇偶性和单调性的判断方式熟练掌握，是简单题目.3．D【解析】利用特殊值排除判断ABC ，由不等式的性质判断D 即可.【详解】当1,0x a y b ====时，a x b y ->-不成立，故A 错误；当1,1a b ==-时，11a b <不成立，故B 错误；当2,1,0,2x y a b ==-==-时，ax by >不成立，故C 错误；||0a b >≥ ，由不等式性质知222||a b b >=，故D 正确.故选：D 4．B【详解】由奇函数，偶函数的定义,容易得选项B 正确.5．C【分析】根据指数函数、对数函数的性质比较大小.【详解】因为0.20120232023a >==，所以1a >，因为0.20.2log 2023log 10b =<=，所以0b <，因为2023010.20.2c <==，且202300.2c =>，所以01c <<，所以a c b >>，故选：C.6．C【分析】设1()2x t =，得到11([,2]24=∈x t ，进而得到()213()24f t t =-+，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数()21111((1()(14222x x x x f x =-+=-+，设1(2x t =，因为[]1,2x ∈-，则11()[,2]24=∈x t ，则函数()22131()24f t t t t =-+=-+，当12t =时，取得最小值()min 34f t =.故选：C.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，以及结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.7．B【分析】首先可求出0c =，再由()0f x =得2x x =-，由()0g x =得2log x x=-，将其转化为2x y =、2log y x=与y x =-的交点，数形结合即可判断.【详解】解：由3()0h x x x =+=得0x =，0c ∴=，由()0f x =得2x x =-，由()0g x =得2log x x=-.在同一平面直角坐标系中画出2xy =、2log y x=、y x =-的图象，由图象知a<0，0b >，a c b ∴<<.故选：B【点睛】本题考查函数的零点，函数方程思想，对数函数、指数函数的图象的应用，属于中档题.8．D【分析】利用函数单调性的定义以及函数的单调性和奇偶性综合解抽象函数不等式.【详解】因为120x x <<，所以2112()()0x f x x f x -<，所以1212()()f x f x x x <，设函数()()f x g x x =，则函数()()f x g x x =在(0,)+∞单调递增，且(2)(2)12f g ==，当0x >时，不等式()0f x x ->等价于()f x x >，即()1f x x >，即()(2)g x g >，解得2x >，又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，所以当0x =时，不等式()0f x x ->无解，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x g x x =为偶函数，且在(,0)-∞单调递减，当0x <时，不等式()0f x x ->等价于()f x x >，即()1f x x <，即()(2)g x g <-，解得20x -<<，综上不等式()0f x x ->的解集为(2,0)(2,)-+∞ ，故选：D.9．BC【分析】把函数2()23x f x x =-的零点问题转化为函数2x y =和23y x =的图象的交点问题，数形结合即可得解.【详解】如图，作出函数2x y =和23y x =的图象，观察交点可得交点在(1,0)-和(0,1)区间上，故选：BC.10．BD【分析】根据复合函数定义域判断A ；根据函数图像平移判断BD ；根据幂函数的性质判断C.【详解】解：对于A ，若函数()2f x 的定义域为[02]，，则函数()f x 的定义域为[]04，，故错误；对于B ，函数()y f x =向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数()11y f x =-+图像，由于()y f x =过定点()01，，故函数()11y f x =-+经过定点()12，，正确；对于C ，幂函数23y x-=在()0,∞+是减函数，由于()2332g x xx -==，定义域为()(),00,∞-+∞U ，()()()322311g x g x xx -=-，23y x -=为偶函数，故幂函数23y x-=在()0-∞，是增函数，故错误；对于D ，()()2252152222x x f x x x x +--===-+++，其图像由5y x =-向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，且5y x =-图像关于原点对称，故()212x f x x -=+图像关于点()22-，成中心对称，正确.故选：BD 11．ABC【分析】将0.8x =-代入解析式，即可判断A 项；当12x ≤<时，[]1x =，得出()1f x x =-，从而判断B 项；由[]x 表示不超过x 的最大整数，得出0[]1x x -< ，从而判断C 项；取特殊值，判断D 项.【详解】对于A 项，(0.8)0.8[0.8]0.8(1)0.2f -=---=---=，则A 正确；对于B 项，当12x ≤<时，[]1x =，得出()1f x x =-，则B 正确；对于C 项，函数()f x 的定义域为R ，因为[]x表示不超过x 的最大整数，所以0[]1x x -< ，则C 正确；对于D 项，(1)1[1]1(1)0f -=---=---=，(1.5) 1.5[1.5] 1.5(2)0.5f -=---=---=(1.5) 1.5[1.5] 1.510.5f =-=-=(1.5)(1)f f ->- ，(1.5)(1.5)0.5f f -==∴函数()f x 既不是增函数也不是奇函数，则D 错误；故选：ABC【点睛】本题主要考查了求函数值，解析式，定义域，值域，判断函数的单调性以及奇偶性，属于中档题.12．ABD【分析】根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m n f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，再对各个选项进行运算求解,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.【详解】解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，A ：())0f x x x =≥，若()()f m m m f n n n ⎧=⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩，所以()f x x=“和谐区间”[]0,1；B ：()()222f x x x x R =-+∈，若存在和谐区间[],m n ，则m 1≥，故()f x 在[],m n 为增函数，故()()222222f m m m m f n n n n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩，所以()222f x x x =-+存在“和谐区间”[]1,2；C ：()()10f x x x x =+≠，若存在和谐区间[],m n ，则0mn >，若0,0m n >>，则2m ≥，故()1f x x x =+在[],m n 上为增函数，故()()11f m m m m f n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1010m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；若0,0m n <<，则2n ≤-，故()1f x x x =+在[],m n 上为增函数，同上，无解.所以()1f x x x =+不存在“和谐区间”；D ：()()10f x x x =≠，函数在()()0+-0∞∞，，，单调递减，则()()11f m n m f n mn ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，不妨令122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以()1f x x =存在“和谐区间”1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；综上得：存在“和谐区间”的是ABD.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.13．()(),33,4∞-⋃【分析】根据对数的真数大于0、分母不为0可得答案.【详解】要使函数ln(4)()3x f x x -=-有意义，只需4030x x ->⎧⎨-≠⎩，解得4x <且3x ≠，所以函数的定义域为()(),33,4∞-⋃.故答案为：()(),33,4∞-⋃.14．110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】先求出A 的元素，再由B ⊆A ，分B φ=和B≠φ求出a 值即可.【详解】∵A ＝{x|x2﹣8x+15＝0}，∴A ＝{3，5}又∵B ＝{x|ax ﹣1＝0}，∴①B φ=时，a ＝0，显然B ⊆A ②B φ≠时，B ＝{1a }，由于B ⊆A ∴135a =或∴1135a =或故答案为{11035，，}【点睛】本题主要考查由集合间基本关系求参数值或范围的问题，属于基础题．15．f(x)＝－log2(－x)【分析】由题意结合奇函数的性质确定函数的表达式即可.【详解】设0x <，则0x ->，结合奇函数的定义可知：()()()2log f x f x x =--=--.【点睛】本题主要考查由函数的奇偶性求解函数的解析式的方法，属于基础题.16．2π【分析】设AB a =，AC b =，所以222BC a b =+，由以斜边BC 为直径的半圆面积为π可求得228a b +=，再由基本不等式即可求得a b +的最大值，即可求得弧长之和的最大值.【详解】设AB a =，AC b =，所以222BC a b =+，即22BC a b =+因为以斜边BC 为直径的半圆面积为π，所以21ππ22BC ⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭，所以228a b +=，因为()()222222216a b a b ab a b +=++≤+=，所以4a b +≤，当且仅当2a b ==时等号成立，所以以AB ，AC 为直径的两个半圆的弧长之和为()111πππ2π222a b a b ⨯+⨯=⨯⨯+≤，即以AB ，AC 为直径的两个半圆的弧长之和的最大值为2π.故答案为：2π.17．(1)1615(2)2【分析】（1）根据题意，由指数幂的运算，即可得到结果；（2）根据题意，由对数的运算，即可得到结果.【详解】（1）原式1411116114910061015=+=+-=.（2）原式()1251521log 3550142log log 12513122-⎛⎫=⨯÷+=-=-= ⎪⎝⎭.18．(1)52(2)9【分析】（1）利用基本不等式求解；（2）利用基本不等式“1”的妙用求解.【详解】（1）因为32x >，所以230x ->，()()2121121512322323223222322y x x x x x x =-+=-++≥-⋅+=---，当且仅当()1223223x x -=-，即52x =时取得等号，所以函数2123y x x =-+-的最小值为52.（2）()14445259y x x y xx y x y x x y y y ++=⎛⎫=++≥⋅= ⎪⎝⎭+,当且仅当4y xx y =，即2y x =，即3,6x y ==时取得等号，所以x y +的最小值为9.19．(1)[)1,+∞(2)增区间为()1,-+∞，减区间为(),3-∞-【分析】（1）当1a =-时，可得出()()22log 23f x x x =++，求出223x x ++的取值范围，再结合对数函数的单调性可得出函数()f x 的值域；（2）当2a =-时，求出函数()f x 的定义域，再利用复合函数法可得出函数()f x 的增区间和减区间.【详解】（1）解：当1a =-时，()()22log 23f x x x =++，则()2223122x x x ++=++≥，所以，()()222log 23log 21f x x x =++≥=，即函数()f x 的值域为[)1,+∞.（2）解：当2a =-时，()()22log 43f x x x =++，由2430x x ++>可得3x <-或1x >-，所以，函数()f x 的定义域为()(),31,-∞--+∞ ，因为内层函数243u x x =++在区间(),3-∞-上为减函数，在()1,-+∞上为增函数，外层函数2log y u =在()0,∞+上为增函数，所以，函数()f x 的增区间为()1,-+∞，减区间为(),3-∞-.20．(1)01a <<,解集为37,45⎛⎫⎪⎝⎭.(2)55a =【分析】（1）根据指数函数的性质解不等式求得01a <<，再根据对数函数的性质解不等式；（2）利用对数函数的单调性与最值的关系求参数a 的值.【详解】（1）由0a >且满足不等式215222a a +->可得，21520a a a +>-⎧⎨>⎩，解得01a <<，由log (31)log (75)a a x x +<-可得，31750x x +>->，解得3745x <<，所以原不等式的解集为37,45⎛⎫⎪⎝⎭.（2）因为01a <<,所以函数log (21)a y x =-在定义域1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减,所以函数log (21)a y x =-在区间[1,3]有最小值为min log 52a y ==-,解得5a =.21．(1)()22x x f x -=+，()22x x g x -=-(2)34k ≥或14k =【分析】（1）结合函数奇偶性将x -代入条件中可得答案；（2）转化为1212x -=、12124x k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭共有三个解求k 的取值范围，结合图象可得答案.【详解】（1）因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x -=-，由()()12xf xg x --=①，得()()12x f x g x +---=即()()12x f x g x ++=②，①+②可得()22x x f x -=+，①-②可得()22x x g x -=-；（2）由（1）()()()11212x h x f x g x =+-=-⎡⎤⎣⎦，方程()()()()2111220424h x k h x k h x h x k ⎡⎤⎡⎤⎛⎫-⋅+-=---=⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦，可得()12h x =或()124h x k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1212x -=或12124x k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，当1212x -=时，由下图可得21x y =-与12y =的图象有两个交点，所以要使方程()()21204h x k h x k -⋅+-=⎡⎤⎣⎦有三个解，只需12124x k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭有一解即可，即21x y =-与124y k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象只有一个交点即可，由图象可得1214y k ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭或1204y k ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得34k ≥或14k =.综上，实数k 的取值范围为34k ≥或14k =．【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键点是转化为1212x -=，12124x k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭有三个解求k 的取值范围，结合图象求答案.22．（1）当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元；（2）012a <<.【分析】（1）甲工程队的总造价为y 元，求出()1618001440015y x x x ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求解；（2）由题意可得()1800116180014400a x x x x +⎛⎫++> ⎪⎝⎭对任意的[]1,5x ∈恒成立，化简得()241x a x +>+恒成立，利用基本不等式求函数()241x y x +=+的最小值得解.【详解】（1）甲工程队的总造价为y 元，则()2416330024001440018001440015y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+=++≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1616180014400180021440028800x x x x ⎛⎫++≥⨯⨯⋅+= ⎪⎝⎭.当且仅当16x x =，即4x =时等号成立.即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元.（2）由题意可得，()1800116180014400a x x x x +⎛⎫++> ⎪⎝⎭对任意的[]1,5x ∈恒成立.即()()241x a x x x ++>，从而()241x a x +>+恒成立，令[]12,6x t +=∈，()()224399626121x t t t x t t t ++==++≥⋅=+，故min 12y =.所以012a <<.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查不等式的恒成立问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
2014学年上外附中七上期末数学试卷(解析版)
2014学年上外附中七上期末数学试卷(解析版)2014-2015学年上海市上外附中七年级（上）期末数学试卷一、填空（每空2分，共38分）1．（4分）图形的运动方式有平移、_________和翻折，在这些运动过程中图形的_________和大小不变．2．（4分）等边三角形既是轴对称图形，也是_________对称图形，旋转角为_________度．3．（4分）圆有_________条对称轴，它的对称轴是_________．4．（2分）=_________．5．（2分）因式分解：x2﹣5x+6=_________．6．（2分）分解因式：x4﹣x2y2+16y4=_________．7．（2分）用科学记数法表示：﹣0.00002004=_________．8．（2分）计算：=_________．9．（2分）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m=_________．10．（2分）若4x 2+9y2﹣4x﹣12y+5=0，则=_________．11．（2分）若分式是非负数，则x_________．12．（2分）a=2010x+2010，b=2010x+2011，c=2010x+2012，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=_________．13．（2分）已知a﹣2b﹣c=0，2a﹣b﹣5c=0，则=_________．14．（2分）若方程有增根，则k=_________．15．（2分）当x_________时，．16．（2分）（a2+b2）（a2+1+b2）=12，则a2+b2=_________．二、选择题（每题3分，共18分）17．（3分）两个三次多项式的差是（）A三次多项式B低于三次的整式C ． 不高于三次的整式D ．不低于三次的整式18．（3分）分式有意义，则（ ）A ． x ≠3B ．x ≠﹣2 C ． x ≠3或x ≠﹣2D ．x ≠﹣319．（3分）x 3﹣x 2﹣7x+t 有一个因式为x+1，则t=（ ） A ． 1 B ．﹣1 C ．5 D ．﹣520．（3分）以下运动属于平移运动的是（ ） A ． 彩旗飘飘 B ．荡秋千 C ．电梯升降 D ．折纸21．（3分）已知a+b=4，ab=2，那么a 2+b 2的值是（ ） A ． 12 B ．14 C ．16 D ．1822．（3分）若分式中a 和b 都扩大到原来的4倍，则分式的值（ ） A 不变B 扩大到原来的4倍C ． 扩大到原来的5倍D ．缩小到原来的倍三、简答题（6分）23．（6分）等边△ABC 中，D 在边BC 上，△ADC 绕顶点A 旋转到△AEB 的位置，（1）指出旋转中心，旋转方向，其中一个旋转角及其大小． （2）指出∠DBE 的大小以及连接DE 后△ADE 的形状．四、计算题（24～29题每题3分，30、31题每题4分，共26分） 24．（3分）．25．（3分），求A 、B 的值．26．（3分）已知a+b+c=0且abc ≠0，求的值．27．（3分）计算．28．（3分）解方程：．29．（3分）化简．30．（4分）已知x 2﹣3x+1=0，求（1）；（2）．31．（4分）已知xyz≠0且，求k的值．五、因式分解（每题3分，共12分）32．（3分）6x2﹣5xy﹣6y2+2x+23y﹣20．33．（3分）36a2b2﹣（a2+9b2﹣1）2．34．（3分）ax8﹣5ax4﹣36a．35．（3分）a3（b﹣c）+b3（c﹣a）+c3（a﹣b）2014-2015学年上海市上外附中七年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空（每空2分，共38分）1．（4分）图形的运动方式有平移、 旋转 和翻折，在这些运动过程中图形的 形状 和大小不变．考点：几何变换的类型．分析：根据常见的几何变换的类型有平移、旋转和翻折，它们都是全等变换，全等变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小解答．解答： 解：图形的运动方式有平移、旋转和翻折，在这些运动过程中图形的形状和大小不变．故答案为：旋转；形状．点评： 本题考查了几何变换的类型，熟记中学阶段的几何变换类型有平移、旋转、翻折是解题的关键．2．（4分）等边三角形既是轴对称图形，也是 旋转 对称图形，旋转角为 120 度．考旋转对称图形；等边三角形的性质．点：分析：根据旋转对称图形和轴对称图形的定义，得出答案即可． 解答：解：根据旋转对称图形的定义：旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，故等边三角形既是轴对称图形，也是旋转对称图形，旋转角为120度． 故答案为：旋转，120．点评： 此题主要考查了旋转对称图形的定义以及等边三角形的性质，熟练掌握旋转对称图形的定义是解题关键．3．（4分）圆有 无数 条对称轴，它的对称轴是 过圆心的直线 ．考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得到答案．解答： 解：圆有无数条对称轴，它的对称轴是过圆心的直线； 故答案为：无数；过圆心的直线．点评：此题主要考查了轴对称图形，关键是找到图形的对称轴．4．（2分）= 32 ．考点：负整数指数幂．分析： 先根据积的乘方的性质以及负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数的性质进行运算，再根据分式的除法进行计算即可得解．解答： 解：（2a ﹣2）3÷（﹣a ﹣3）2， =÷，=×4a 6， =32．故答案为：32．点评：本题主要考查了积的乘方的性质以及负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．5．（2分）（2002•湘西州）因式分解：x 2﹣5x+6= （x ﹣2）（x ﹣3） ．考点：因式分解-十字相乘法等．专压轴题．题：分析：根据十字相乘法分解因式进行分解即可． 解答：解：x 2﹣5x+6=（x ﹣2）（x ﹣3）． 点评：本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．6．（2分）分解因式：x 4﹣x 2y 2+16y 4= （x 2+y 2+3xy ）（x 2+y 2﹣3xy ） ．考点：因式分解-分组分解法．分析： 先把式子变成能完全平方的形式，再用平方差公式进行分解．解答： 解：x 4﹣x 2y 2+16y 4，=x 4+8x 2y 2+16y 4﹣9x 2y 2=（x 2+y 2）2﹣9x 2y 2=（x 2+y 2+3xy ）（x 2+y 2﹣3xy ）． 故答案为：（x 2+y 2+3xy ）（x 2+y 2﹣3xy ）．点评： 此题主要考查了分组分解法分解因式，把式子变成能完全平方的形式是解题的关键．7．（2分）用科学记数法表示：﹣0.00002004= ﹣2.004×10﹣5．考点：科学记数法—表示较小的数．分析： 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 解答：解：﹣0.000 020 04=﹣2.004×10﹣5．点评： 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10﹣n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．8．（2分）计算：= ．考点：分式的加减法．分析： 先算乘法，再通分后根据同分母的分式相加进行计算即可．解答： 解：x+3• =x+=，故答案为：，点评： 本题考查了分式的混合运算，注意：运算顺序，先乘法再加减．9．（2分）若x 2+2（m ﹣3）x+16是完全平方式，则m= ﹣1或7 ．考点：完全平方式．分析： 本题考查的是完全平方式，这里首末两项是x 和4的平方，那么中间项为加上或减去x 和4的乘积的2倍，故2（m ﹣3）=±8，解得m 的值即可．解答： 解：由于（x ±4）2=x 2±8x+16=x 2+2（m ﹣3）x+16， ∴2（m ﹣3）=±8，解得m=﹣1或m=7． 故本题答案为：﹣1；7．点评： 本题考查了完全平方式的应用，根据其结构特征：两数的平方和，加上或减去它们乘积的2倍，在已知首尾两项式子的情况下，可求出中间项的代数式，列出相应等式，进而求出相应数值．10．（2分）若4x 2+9y 2﹣4x ﹣12y+5=0，则= 2 ．考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方．专题：计算题． 分析： 将已知等式左边结合后，利用完全平方公式化简，利用两个非负数之和为0，得到两非负数分别为0，求出x 与y 的值，代入所求式子中计算，即可求出值．解答： 解：∵4x 2+9y 2﹣4x ﹣12y+5=（4x 2﹣4x+1）+（9y 2﹣12y+4）=（2x ﹣1）2+（3y ﹣2）2=0，∴2x ﹣1=0且3y ﹣2=0，解得：x=，y=，则2x+y=2×+×=1+1=2． 故答案为：2点评： 此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．11．（2分）若分式是非负数，则x ≥﹣1且x ≠0 ．考点：分式的值．分析：根据分式是非负数，又x 2在分母上必须是正数，即可解答：解：∵分式是非负数，又x 2在分母上必须是正数， ∴x+1≥0，x ≠0，解得：x ≥﹣1且x ≠0． 故答案为：≥﹣1且x ≠0．点评： 此题主要考查了分式的性质，利用分式的性质得出x+1的符号是解题关键．12．（2分）a=2010x+2010，b=2010x+2011，c=2010x+2012，则a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ca= 3 ．考点：完全平方公式．专题：计算题． 分析：由已知的a ，b 及c ，求出a ﹣b ，b ﹣c 及c ﹣a 的值，将所求式子提取后，利用完全平方公式变形，把a ﹣b ，b ﹣c 及c ﹣a 的值代入计算，即可求出值．解答： 解：∵a=2010x+2010，b=2010x+2011，c=2010x+2012， ∴a ﹣b=（2010x+2010）﹣（2010+2011）=﹣1，b ﹣c=（2010x+2011）﹣（2010x+2012）=﹣1，c ﹣a=（2010x+2012）﹣（2010x+2010）=2，则a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ca=（2a 2+2b 2+2c 2﹣2ab ﹣2bc ﹣2ca ）=[（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2]=×（1+1+4）故答案为：3点评： 此题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．13．（2分）已知a ﹣2b ﹣c=0，2a ﹣b ﹣5c=0，则= ﹣ ．考点：代数式求值．分析： 首先根据已知条件表示出b 、c 之间的关系，然后代入分式求解即可．解答： 解：等式a ﹣2b ﹣c=0两边都乘以2得：2a ﹣4b ﹣2c=0①， ①减去2a ﹣b ﹣5c=0得：﹣3b+3c=0，解得：b=c ，由2a ﹣b ﹣5c=0得2a=b+5c ∴====﹣，故答案为：﹣．点评： 本题考查了代数式求值的知识，解题的关键是根据已知条件用一个未知数表示出另一个未知数．14．（2分）若方程有增根，则k= 2 ．考分式方程的增根．专题：常规题型． 分析： 增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．解答： 解：方成两边都乘以（x ﹣1）得， 2=x ﹣1+k ，∵方程有增根， ∴x ﹣1=0， 解得x=1， ∴2=1﹣1+k ， 解得k=2． 故答案为：2．点评： 本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．15．（2分）当x 为≠3的非负数 时，．考点：分式的值．专计算题．分析： 由已知等式相等，得到分子与分母相等，且分母不为0，利用绝对值等于本身的数为非负数得到x 的范围． 解答：解：∵=1， ∴|x|﹣3=x ﹣3，且x ﹣3≠0，可得：|x|=x ，且x ≠3， 则x 为≠3的非负数． 故答案为：为≠3的非负数点评： 此题考查了分式的值，以及绝对值的代数意义，特别注意分式分母不为0这个隐含条件．16．（2分）（a 2+b 2）（a 2+1+b 2）=12，则a 2+b 2= 3 ．考点：因式分解的应用．分析： 先设a 2+b 2=t ，则方程即可变形为t （t+1）=12，解方程即可求得t ，即a 2+b 2的值．解答： 解：设a 2+b 2=t （t ≥0）．在由原方程，得 t （t+1）=12，即（t ﹣3）（t+4）=0，解得，t=﹣4（不合题意，舍去），或t=3， ∴t=3，即a 2+b 2=3． 故答案是：3．点评：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，二、选择题（每题3分，共18分） 17．（3分）两个三次多项式的差是（ ） A ．三次多项式 B ．低于三次的整式 C ． 不高于三次的整式 D ．不低于三次的整式考点：整式的加减．分析：整式加减后的次数不大于整式加减前的最高次数． 解答： 解：两个三次多项式相减其结果不超过三次． 故选C ．点评： 本题考查整式的加减，注意整式的加减次数不相加减，而是把次数高的项当作整式的次数．18．（3分）分式有意义，则（ ）A ． x ≠3B ．x ≠﹣2 C ． x ≠3或x ≠﹣2D ．x ≠﹣3考点：分式有意义的条件．析：解答： 解：根据题意知，x 2﹣x ﹣6≠0，即（x ﹣3）（x+2）≠0， 解得x ≠3或x ≠﹣2．故选C ．点评： 本题考查了分式有意义的条件：分式有意义的条件是分母不等于零．19．（3分）x 3﹣x 2﹣7x+t 有一个因式为x+1，则t=（ ） A ． 1 B ．﹣1 C ．5 D ．﹣5考点：因式分解的意义．分析： 根据x 3﹣x 2﹣7x+t 有一个因式为x+1设x 3﹣x 2﹣7x+t=（x+1）（x 2+ax+b ），展开后合并，根据对应系数相等即可得出a+1=﹣1，b+a=﹣7，b=t ，求出即可． 解答： 解：∵x 3﹣x 2﹣7x+t 有一个因式为x+1， ∴设x 3﹣x 2﹣7x+t=（x+1）（x 2+ax+b ），（x+1）（x 2+ax+b ）=x 3+ax 2+bx+x 2+ax+b=x 3+（a+1）x 2+（b+a ）x+b即a+1=﹣1，b+a=﹣7，b=t ， 解得：a=﹣2，b=﹣5，t=﹣5， 故选D ．3评： x 2﹣7x+t=（x+1）（x 2+ax+b ）．20．（3分）以下运动属于平移运动的是（ ） A ． 彩旗飘飘 B ．荡秋千 C ．电梯升降 D ．折纸考点：生活中的平移现象．分析：判断是否是平移现象，要根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． 解答： 解：A 、不属于平移，故此选项错误； B 、属于旋转，故此选项错误；C 、属于平移，故此选项正确；D 、属于翻折变换，故此选项错误； 故选：C ．点评：此题主要考查了平移定义，平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．21．（3分）已知a+b=4，ab=2，那么a 2+b 2的值是（ ） A ． 12 B ．14 C ．16 D ．18考点：完全平方公式．分析： 把a+b=4两边平方，即可得到a 2+b 2+2ab=16，然后把ab=2代入即可求解．解答： 解：∵（a+b ）2=a 2+b 2+2ab=16， 即a 2+b 2+4=16，∴a 2+b 2=12． 故选A ．点评： 本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2．22．（3分）若分式中a 和b 都扩大到原来的4倍，则分式的值（ ） A ．不变 B ．扩大到原来的4倍 C ． 扩大到原来的5倍 D ．缩小到原来的倍考点：分式的基本性质．分析： 根据题意得到新的分式，再根据分式的基本性质进行约分，观察前后代数式的变化． 解答：解：根据题意，得==．故选A ．点评： 此题考查了分式的基本性质，能够根据分式的基本性质进行约分．注意：这里的a 和b 要同时扩大4倍．三、简答题（6分）23．（6分）等边△ABC 中，D 在边BC 上，△ADC 绕顶点A 旋转到△AEB 的位置，（1）指出旋转中心，旋转方向，其中一个旋转角及其大小． （2）指出∠DBE 的大小以及连接DE 后△ADE 的形状．考点：旋转的性质；等边三角形的性质．分析： （1）根据旋转的意义，利用△ADC 绕顶点A 旋转到△AEB 的位置关键得出旋转方向和旋转角即可．（2）利用△ADC ≌△AEB ，以及等边三角形的判定得出即可．解答： 解：（1）∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC=60°，△ADC 绕顶点A 旋转到△AEB 的位置，B 点和C点对应，旋转角是∠BAC ，∴△ADC 绕A 点顺时针旋转60°到△AEB 位置；（2）根据旋转可得∠C=∠ABE=60°， ∵∠ABC=60°，∴∠EBD=60°+60°=120°， 根据旋转可得△ADC ≌△AEB ， ∴AE=AD ，∠CAD=∠BAE ， ∵∠CAD+∠DAB=60°， ∴∠BAE+∠BAD=60°， ∴△ADE 是等边三角形．点评： 此题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的判定，得出∠BAE+∠BAD=60°是解题关键．四、计算题（24～29题每题3分，30、31题每题4分，共26分） 24．（3分）．考点：分式的加减法．分首先把分式的分子分母分解因式，然后先约分再进行减析： 法运算即可． 解答：解：原式=﹣，=﹣，=，=， =．点评： 此题主要考查了分式的加减运算，关键是正确的把分子分母分解因式，进行约分．25．（3分），求A 、B 的值．考点：分式的加减法．分析： 把方程的右边通分变成和方程左边相同的分母，合并后得出关于A B 的方程组，求出A B 即可． 解答：解：∵， ∴=， =，即A+B=3，3A ﹣2B=4， 解方程组得：，即A=2，B=1．点评： 本题考查了分式的加减法和解方程组，解此题的关键是得出关于A B 的方程组．26．（3分）已知a+b+c=0且abc ≠0，求的值．考点：分式的化简求值．专题：计算题． 分析： 由已知a+b+c=0，得到a=﹣b ﹣c ，代入所求式子中，利用完全平方公式化简，去括号合并后，将b+c=﹣a 代入，通分并利用同分母分式的加法法则计算，将a+b+c=0代入即可求出值．解答： 解：∵a+b+c=0，即a=﹣（b+c ），b+c=﹣a ， ∴原式=++=++=﹣﹣=++==0．点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．27．（3分）计算．考点：分式的加减法．分析：设2x 2+3x=y ，原式可变形为﹣+，再通分化简计算即可． 解答： 解：设2x 2+3x=y ，则 原式=﹣+===．点评： 此题主要考查了分式的加减运算，关键是掌握换元法的应用．28．（3分）解方程：．考点：解分式方程．分析： 移项后通分，再方程两边都乘以（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）得出整式方程，求出方程的解，最后进行检验即可．解答：解：﹣=﹣， ==方程两边都乘以（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）得：（x+3）（x+4）=（x+1）（x+2） 解方程得：x=﹣，经检验x=﹣是原方程的解， 即原方程的解为x=﹣．点评： 本题考查了解分式方程，关键是选择适当的方法解此分式方程，题目比较好．29．（3分）化简．考点：分式的加减法．分析：先把分母分解得出++，根据分式的除法得出+++++，把互为相反数的数相加即可． 解答：解：原式=++=+++++=﹣+﹣+﹣=0+0+0 =0．点评： 本题考查了分式的加减混合运算，题目比较典型，并且有一定的难度．30．（4分）已知x 2﹣3x+1=0，求（1）；（2）．考点：完全平方公式．分析：（1）由等式x 2﹣3x+1=0，可知x ≠0，将等式两边同时除以x ，整理即可得出x+=3； （2）先将等式x+=3的两边分别平方和立方，整理得出x 2+=7，x 3+=18，再将（x 2+）与（x 3+）相乘，根据多项式的乘法法则展开，整理后即可得出的值．解答： 解：（1）∵x 2﹣3x+1=0， ∴x ≠0，方程两边同时除以x ， 得x ﹣3+=0， ∴x+=3；（2）∵x+=3，∴（x+）2=9，（x+）3=27， 即x 2+2+=9，x 3+3x++=27， ∴x 2+=7，x 3+=18， ∴（x 2+）（x 3+）=7×18， ∴+x+=126， ∴=123．点评： 本题主要考查了完全平方公式，多项式的乘法及代数式求值，根据已知条件得出x ≠0，进而将等式两边同时除以x ，得出x+=3是解题的关键．31．（4分）已知xyz ≠0且，求k 的值．考点：比例的性质．专题：计算题． 分析： 分①当x+y+z ≠0时，利用等比性质解答，②当x+y+z=0时，用一个字母表示出另两个字母的和，然后求解即可． 解答： 解：∵xyz ≠0， ∴x 、y 、z 均不为0，①当x+y+z ≠0时，∵===k ，∴k==2，②当x+y+z=0时，x+y=﹣z ，z+x=﹣y ，y+z=﹣x ， 所以，k=﹣1， 综上所述，k=2或﹣1．点评：本题主要考查了等比性质的应用，比较简单，熟记性质是解题的关键，根据合比性质的分母的情况要注意分情况讨论．五、因式分解（每题3分，共12分） 32．（3分）6x 2﹣5xy ﹣6y 2+2x+23y ﹣20．考点：因式分解-分组分解法．分析： 首先利用﹣5xy 与2x 组合，﹣6y 2，+23y ，﹣20组合利用十字相乘法得出原式6x 2﹣x （5y ﹣2）﹣（2y ﹣5）（3y﹣4），再将原始看做是关于x 的二次三项式，利用十字相乘法因式分解即可． 解答： 解：6x 2﹣5xy ﹣6y 2+2x+23y ﹣20 =6x 2﹣x （5y ﹣2）﹣（6y 2﹣23y+20），=6x 2﹣x （5y ﹣2）﹣（2y ﹣5）（3y ﹣4）， =（2x ﹣3y+4）（3x+2y ﹣5）．点评： 此题主要考查了分组分解法以及十字相乘法分解因式，根据已知得出6x 2﹣x （5y ﹣2）﹣（2y ﹣5）（3y ﹣4）是关于x 的二次三项式进而利用十字相乘法分解因式是解题关键．33．（3分）36a 2b 2﹣（a 2+9b 2﹣1）2．考点：因式分解-运用公式法．分析：首先利用平方差公式进行分解，再利用完全平方公式进行分组分解，最后再次利用平方差公式进行三次分解即可．解答： 解：原式=（6ab+a 2+9b 2﹣1）（6ab ﹣a 2﹣9b 2+1）， =﹣[（a+3b ）2﹣1][（a ﹣3b ）2﹣1]，=﹣（a+3b+1）（a+3b ﹣1）（a ﹣3b ﹣1）（a ﹣3b+1）． 点评： 此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式和完全平方公式，平方差公式：a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）；完全平方公式：a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2．34．（3分）ax 8﹣5ax 4﹣36a ．考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解-提公因式法． 分析： 首先提取公因式a ，再利用十字相乘法分解因式，进而利用平方差公式进行再次分解即可．解答： 解：ax 8﹣5ax 4﹣36a ，=a （x 8﹣5x 4﹣36），=a （x 4﹣9）（x 4+4），=a （x 2+3）（x 2﹣3）（x 4+4），=a （x 2+3）（x ﹣）（x+）（x 4+4）．点评：此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．35．（3分）a 3（b ﹣c ）+b 3（c ﹣a ）+c 3（a ﹣b ）考点：因式分解-分组分解法．分析： 首先去括号，再利用分组分解法重新分组，利用平方差公式和提取公因式法进行分解，进而得出答案． 解答： 解：a 3（b ﹣c ）+b 3（c ﹣a ）+c 3（a ﹣b ）=a 3b ﹣a 3c+b 3c ﹣b 3a+c 3a ﹣c 3b=a 3b ﹣b 3a ﹣（a 3c ﹣b 3c ）+c 3（a ﹣b ）=ab （a 2﹣b 2）﹣c （a 3﹣b 3）+c 3（a ﹣b ）=ab （a+b ）（a ﹣b ）﹣c （a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）+c 3（a ﹣b ） =（a ﹣b ）[ab （a+b ）﹣c （a 2+ab+b 2）+c 3]=（a ﹣b ）[b 2（a ﹣c ）﹣c （a 2﹣c 2）+ab （a ﹣c ）] =（a ﹣b ）（a ﹣c ）[b 2﹣c （a+c ）+ab ]=（a ﹣b ）（a ﹣c ）[（b 2﹣c 2）+a （b ﹣c ）]=（a+b+c ）（a ﹣b ）（b ﹣c ）（c ﹣a ）．点评： 本题考查了分解因式的方法：分组分解法，分组分解法得关键是分组后再利用利用提公因式法再分解．。
【必考题】高一数学上期中试题(及答案)
【必考题】高一数学上期中试题(及答案)一、选择题1．已知函数()1ln 1xf x x -=+，则不等式()()130f x f x +-≥的解集为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 3．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③4．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)25．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =A ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，， 6．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.57．已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（） A ．(,1]-∞-B ．[1)-+∞，C ．[1,1)-D ．(3,1]--8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-9．函数()2log ,0,2,0,x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x f x f x =-+的零点个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．610．已知()()2,11,1x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（ ）A ．7B ．72C ．74D ．7811．函数2y 34x x =--+的定义域为（ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 12．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知函数2()121()f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则实数a =_________.14．1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________．15．已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______． 16．已知()f x 是定义在[)(]2,00,2-⋃上的奇函数，当0x >，()f x 的图象如图所示，那么()f x 的值域是______．17．非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．18．已知函数42()(0)f x x ax bx c c =+++<，若函数是偶函数，且4((0))f f c c =+，则函数()f x 的零点共有________个.19．函数2()log 1f x x =-________．20．已知函数()266,34,x x f x x ⎧-+=⎨+⎩0x x ≥<，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________． 三、解答题21．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x <0时，()111f x x =+-. (1)求f (2)的值；(2)用定义法判断y ＝f (x )在区间(－∞，0）上的单调性． (3)求0()x f x >时，的解析式 22．已知2256x ≤且21log 2x ≥，求函数22()log log 22x xf x =⋅的最大值和最小值． 23．已知函数()f x 对任意的实数m ,n 都有()()()1f m n f m f n +=+-,且当0x >时,有()1f x >.(1)求()0f ;(2)求证:()f x 在R 上为增函数;(3)若()12f =,且关于x 的不等式()()223f ax f x x -+-<对任意的[)1,x ∈+∞恒成立,求实数a 的取值范围. 24．计算下列各式的值：（Ⅰ)322log 3lg25lg4log (log 16)++- （Ⅱ）2102329273()( 6.9)()()482-----+25．函数是奇函数．求的解析式；当时，恒成立，求m 的取值范围．26．有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数301log lg 2100xv x =-，单位是min km ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（参考数据：lg 20.30=， 1.23 3.74=， 1.43 4.66=）（1）若02x =，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少min km ？ （2）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（3）若雄鸟的飞行速度为2.5min km ，雌鸟的飞行速度为1.5min km ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【解析】 【分析】根据题意可得函数()f x 的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为()()31f x f x ≥-，求解可得x 的取值范围，即可得出结论． 【详解】根据题意，函数()1ln 1xf x x-=+， 则有101xx->+，解可得11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，关于原点对称， 又由()()11lnln 11x xf x f x x x+--==-=--+， 即函数()f x 为奇函数， 设11xt x -=+，则y lnt =， 12111x t x x -==-++，在()1,1-上为减函数， 而y lnt =在()0,∞+上为增函数， 故()1ln1xf x x-=+在区间()1,1-上为减函数， ()()()()13013f x f x f x f x +-≥⇒≥-- ()()3131111311x x f x f x x x ≤-⎧⎪⇒≥-⇒-<<⎨⎪-<-<⎩，解可得：1223x ≤<，即不等式的解集为12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭； 故选:D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题时不要忽略函数的定义域，属于中档题．2．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内3．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．4．B解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.5．A解析：A 【解析】 由题意{1,2,3,4}AB ，故选A.点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．6．D解析：D 【解析】 【分析】利用换元法 将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论 【详解】 设t=f （x ）-e x ，则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1， 令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1， ∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．7．D解析：D 【解析】 【分析】求得函数()f x 的定义域为(3,1)-，根据二次函数的性质，求得()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，再由(0)0f <，得到01a <<，利用复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数2()log (23)a f x x x =--+满足2230x x --+>，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，又由函数()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，因为(0)0f <，即(0)log 30a f =<，所以01a <<，根据复合函数的单调性可得，函数()f x 的单调递减区间为(3,1]--， 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．A解析：A 【解析】 【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数．【详解】 函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A . 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．10．C解析：C 【解析】 【分析】根据函数的周期性以及分段函数的表达式，结合对数的运算法则，代入即可得到结论． 【详解】2222log 4log 7log 83=<<=，20log 721∴<-<，()()2log 72227log 7log 7224f f -∴=-==. 故选：C . 【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性进行转化是解决本题的关键．11．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<<故选C12．B解析：B 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<， 则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以，函数()y f x =为奇函数，由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数， 由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，所以，11112121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】【分析】设计算可得再结合图象即可求出答案【详解】解：设则则由于函数的最小值为0作出函数的大致图象结合图象得所以故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质考查转化思想考查数形结合思想属解析：±1. 【解析】【分析】 设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，计算可得2(),()()()2(),()()g x g x h x f x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，再结合图象即可求出答案． 【详解】解：设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，则22()()1g x x ax h x x ⎧=+⎨=-⎩， 则()()()()()f x g x h x g x h x =++-2(),()()2(),()()g x g x h x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩， 由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()g x ，()h x 的大致图象，结合图象，210x -=，得1x =±， 所以1a =±， 故答案为：±1． 【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题．14．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数解析：2 【解析】 【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））. 【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.15．【解析】【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值【详解】可化为令由得则在上递减当时取得最大值为所以故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质函数恒成立解析：3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值． 【详解】1240xxa ++⋅>可化为212224xx x x a --+>-=--，令2x t -=，由(],1x ∈-∞，得1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭， 则2a t t >--，2213()24t t t --=-++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递减，当12t =时2t t --取得最大值为34-，所以34a >-． 故答案为3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．属中档题.16．【解析】【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象欲求的值域分两类讨论：；结合图象即可解决问题【详解】是定义在上的奇函数作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象如图由图可知：的值域是故答案 解析：][()2,33,2⋃--【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象，欲求()f x 的值域，分两类讨论：0x >①；0.x <②结合图象即可解决问题．【详解】()f x 是定义在(][2,00,2-⋃上的奇函数，∴作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象，如图．由图可知：()f x 的值域是][()2,33,2⋃--． 故答案为][()2,33,2⋃--． 【点睛】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．17．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【解析：{0,1}或{－1,1}， 【解析】 【分析】因S 中有两个元素，故可利用S 中的元素对乘法封闭求出这两个元素． 【详解】设{}(),S a b a b =<，根据题意有22,,a ab b S ∈，所以22,,a b ab 必有两个相等元素．若22a b =，则=-a b ，故2ab a =-，又2a a =或2a b a ==-，所以0a =（舎）或1a =或1a =-，此时{}1,1S =-．若 2a ab =，则0a =，此时2b b =，故1b = ，此时{}0,1S =． 若2b ab =，则0b =，此时2a a =，故1a =，此时{}0,1S =． 综上，{}0,1S =或{}1,1S =-，填{}0,1或{}1,1-． 【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．18．2【解析】因为是偶函数则解得又所以故令所以故有2个零点点睛：本题涉及函数零点方程图像等概念和知识综合性较强属于中档题一般讨论函数零点个数问题都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题本题解析：2 【解析】因为()42(0)f x x ax bx c c =+++<是偶函数，则()()f x f x -=，解得0b =，又()()4240()f f f c c ac c c c ==++=+，所以0a =，故4()f x x c =+，令4()0f x x c =+=，40x c =->，所以x =2个零点.点睛：本题涉及函数零点，方程，图像等概念和知识，综合性较强，属于中档题.一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑方程来解决，转化为方程根的个数，同时注意偶函数性质在本题中的应用.19．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题解析：[2，+∞） 【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.20．【解析】【分析】画出分段函数的图像由图像结合对称性即可得出【详解】函数的图像如下图所示不妨设则关于直线对称所以且满足则故的取值范围是【点睛】解决本题的关键是要会画分段函数的图像由图像结合对称性经过计解析：11(,6)3【解析】 【分析】画出分段函数的图像，由图像结合对称性即可得出。
上海高一上学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
上海市高一第一学期数学期中考试试卷满分：100分 考试时间：90分钟一、 填空题（每小题3分,满分36分）1．已知集合{}1,A x =，则x 的取值范围是___________________.2．命题“若0>a 且0>b ，则0ab >”的否命题为__ _ ____ . 3．已知集合M ⊂≠{4,7,8},则这样的集合M 共有 个.4．用描述法表示“平面直角坐标系内第四象限的点组成的集合”：______________ ___. 5．设全集}7,6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，集合}5,3{=B ，() .U A C B ⋂= 6.11 .x<不等式的解集是 7．不等式｜2x －1｜＜ 2的解集是 . 8. 已知0x >，当2x x+取到最小值时，x 的值为_____ _. 9．已知集合}1|{≤=x x M ，}|{t x x P >=，若M P ⋂=∅，则实数t 的取值范围是 .10. 关于x 的不等式22210x kx k k -++->的解集为{},x x a x R ≠∈，则实数a =___________.11. 已知24120x x +->是8x a -≤≤的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是______________________。
12.若不等式210 kx kx k A A -+-<≠∅的解集为，且，则实数k 的范围为 .二、选择题(本大题共4小题，每小题3分，满分12分)13. 设U 为全集，()U BB C A =，则AB 为 ( )A. AB. BC. U C BD. ∅14. 若不等式b x a >的解集是()0，∞-，则必有 （ ） A 00=>b a ， B 00=<b a ， C 00<=b a ， D 00>=b a ，15、下列结论正确的是 ( ) A. xx y 1+=有最小值2； B. 21222+++=x x y 有最小值2；C. 0<ab 时，b aa b y +=有最大值-2； D. 2>x 时，21-+=x x y 有最小值2； 16.“1a >”是“对任意的正数x ，21ax x+>”的 （ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件三、解答题（本大题共5小题，满分52分）17．（10分）设集合{}2560A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若B A B =，求实数a 的值。
2019-2020学年上海市上海外国语大学附属中学高一上学期期中数学试题(含答案解析)
2019-2020学年上海市上海外国语大学附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题 1．集合2{|1}A y y x ==-，2}{|1B x y x ==-，则下列关系式正确的是（ ）A ．AB = B ．A B ⊆C ．B A⊆D ．[1,)A B ⋂=+∞【答案】D【解析】先分别求得集合A 与集合B,进而即可得集合A 与集合B 的关系. 【详解】 集合2{|1}A y y x ==-,2}{|1B x y x ==-则{|0}A y y =≥,|11}{B x x x =≥≤-或 对比四个选项可知,A 、B 、C 均错误.因为{|0}|11}[1,){A B y y x x x ⋂=≥⋂≥≤-=+∞或 所以D 正确 故选:D 【点睛】本题考查了集合的交集运算,注意集合表示的元素属性和特征,属于基础题. 2．已知命题p 且q 为假命题，则可以肯定（ ） A ．p 为真命题 B ．q 为假命题C ．,p q 都是假命题D ．,p q 中至少有一个是假命题【答案】D【解析】本题考察的是复合命题．由条件可知，只有当都是真命题时“”才为真命题．所以应选D ．3．若:,1A a R a ∈<,:B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】:,11120A a R a a a ∈<⇒-<<⇒-<，即两根之积小于零，充分性成立，反之不成立，A 是B 的充分不必要条件，故选A.4．买4个苹果和5只桃子的金额之和小于22元，而买6个苹果和3只桃子的金额之和大于24元，那么买2个苹果和买3只桃子的金额比较，其结果是（ ） A ．2个苹果贵 B ．3只桃子C ．相同D ．不能确定【答案】A【解析】设苹果的单价为a ,桃子的单价为b ,再列出不等式进行求解即可. 【详解】设苹果的单价为a ,桃子的单价为b ,由题可得45226324a b a b +<⎧⎨+>⎩,故1215663015120a b a b +<⎧⎨+>⎩,由不等式性质可知()()1206630151215a b a b -<+-+,化简得3a >.又12156612648a b a b +<⎧⎨+>⎩,由不等式性质可知()()66481215126a b a b ->+-+,化简得2b <.故362b a <<,即买2个苹果贵. 故选：A 【点睛】本题主要考查了根据讲实际中的情景利用数学语言表达,再根据不等式的性质判断分析的方法等.属于中档题.二、填空题5．用列举法表示集合：4,1M mZ m Z m ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭=_______________. 【答案】{}5,3,2,0,1,3---【解析】易得1m +为4的因数,再分别列举即可. 【详解】 由题41Z m ∈+,故1m +为4的因数,故14,2,1,1,2,4m +=---,故5,3,2,0,1,3m =---.故{}5,3,2,0,1,3M =---. 故答案为：{}5,3,2,0,1,3--- 【点睛】本题主要考查了集合的元素求解,属于基础题.6．若集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A ∪B=A ，则m 的值为 ． 【答案】1或﹣1或0【解析】试题分析：由已知中集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A ∪B=A ，我们易得到集合A 是集合B 的子集，结合子集的定义，我们分A=∅与A≠∅两种情况讨论，即可求出满足条件的m 的值． 解：∵A ∪B=A ， ∴B ⊆A当m=0时，B=∅满足条件 当m≠∅时，B={1}，或B={﹣1} 即m=1，或m=﹣1 故m 的值为：1或﹣1或0 故答案：1或﹣1或0【考点】集合的包含关系判断及应用．7．满足{}{},,,,M a b a b c d ⋃=的集合M 有___________个. 【答案】4【解析】由集合{}{},,,,M a b a b c d ⋃=，根据集合并集的运算，列举出所有的可能，即可得到答案. 【详解】由题意，集合满足{}{},,,,M a b a b c d ⋃=，则集合M 可能为{,},{,,},{,,},{,,,}c d a c d b c d a b c d ，共有4种可能，故答案为4个. 【点睛】本题主要考查了集合的并集运算及其应用，其中解答中熟记集合的并集运算，合理列举是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．设集合{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|327}B x y x y =+=，则满足()C A B ⊆I 的集合C 为________.【答案】(){}1,2或∅【解析】先求解A B I ,再根据集合间的关系求解即可. 【详解】因为{(,)|46}A x y x y =+=,{(,)|327}B x y x y =+=,又4613272x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩, 故{(1,2)}A B ⋂=,又()C A B ⊆I ,故(){}1,2C =或C =∅. 故答案为：(){}1,2或∅ 【点睛】本题主要考查了根据集合间的关系求解集合的问题,属于基础题.9．设全集{}22,3,3U a a =+-，集合{},3A a =，{}2U C A =，则a =___________.【解析】根据{}2U C A =与{}22,3,3U a a =+-可知{}23,3A a a =+-,再根据集合相等求解即可. 【详解】由{}2U C A =,{}22,3,3U a a =+-可知{}23,3A a a =+-,即{}{}23,3,3aa a +-=.故232,3a a a a ⎧+-=⎪⎨≠⎪⎩ .当0a ≥时,23a a a a +-=⇒=当0a <时,23a a a +-=-即()()2230130a a a a +-=⇒-+=,故3a =-.不满足2,3a ≠.故a =【点睛】本题主要考查了根据集合的基本关系求解参数的问题,需要根据题意分情况讨论,同时注意集合的互异性,属于中档题.10．命题“末位数字是0或5的整数能被5整除”的逆否命题是_____________. 【答案】不能被5整除的整数末位不是0且不是5 【解析】根据逆否命题的定义直接写出即可. 【详解】命题“末位数字是0或5的整数能被5整除”的逆否命题是“不能被5整除的整数末位不是0且不是5”.故答案为：不能被5整除的整数末位不是0且不是5 【点睛】本题主要考查了原命题的逆否命题,属于基础题.11．有限集S 中的元素个数记作()n S ，设A 、B 是有限集合，给出下列命题： （1）A B =∅I 的充分不必要条件是()()()n A B n A n B =+U ； （2）A B ⊆的必要不充分条件是()()n A n B ≤； （3）A B =的充要条件是()()n A n B = 其中假命题是（写题号）________________. 【答案】(1)(3)【解析】(1)分别判断充分性与必要性证明即可.(2)根据元素与集合的关系以及充分与必要条件的定义判断即可. (3)根据集合相等的定义判断即可. 【详解】(1)当A B =∅I 时,()n A B U 即为集合,A B 的元素个数之和,即为()()n A n B +. 又当()()()n A B n A n B =+U 时,,A B 中的元素个数和等于A B U 中的元素个数,故A B =∅I .故A B =∅I 是()()()n A B n A n B =+U 的充要条件.故(1)错误.(2)当A B ⊆时,A 中的元素个数小于等于B 中的元素个数,故()()n A n B ≤, 但当()()n A n B ≤时A 也可能有不属于B 的元素.故A B ⊆是()()n A n B ≤的充分不必要条件,即A B ⊆的必要不充分条件是()()n A n B ≤.故(2)正确.(3)当()()n A n B =意为,A B 中的元素个数相等,并不一定有A B =.故(3)错误. 故答案为：(1)(3) 【点睛】本题主要考查了集合的基本关系与充分必要条件等的判定,属于基础题.12．集合{}0,1,2,3,4,5S =，A 是S 的一个子集，当x A ∈时，若有1x A -∉且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 的4元子集中无“孤立元素”的子集个数是__________． 【答案】6个【解析】根据孤立元素的定义，并且结合集合S 可以把S 的4元子集进行一一列举，即可得到答案． 【详解】由孤立元素的定义可得：{0S =，1，2，3，4，5}中不含“孤立元素”的集合4个元素有：{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}，所以S 中无“孤立元素”的4个元素的子集A 的个数是6个． 故答案为6个． 【点睛】本题主要考查有关集合的新定义，解决此类问题的关键是正确理解新定义“孤立元素”，并且正确理解S 的4元子集，而在列举时应当做到不重不漏． 13．已知12a b -<<<，则2b a -的范围是______________. 【答案】()1,5-【解析】根据不等式的性质运算求解即可. 【详解】由题12a b -<<<,故12,12a b -<<-<<,0a b -<.故21a -<-<,224b -<<,则425b a -<-<,又1,0b b a >-->,故21b a ->-. 故125b a -<-<. 故答案为：()1,5- 【点睛】本题主要考查了利用不等式的性质求解范围的问题,属于中档题.14．不等式组222230x x x a ⎧+-≥⎨<⎩的解集是空集，则正数a 的取值范围是______________. 【答案】(]0,1【解析】由题可知22x a <有解但与2230x x +-≥无交集在根据区间端点满足的关系式求解即可. 【详解】由题因为正数a ,故22x a a a x ⇒-<<<,又()()2230130x x x x +-≥⇒-+≥,解得1x ≥或3x ≤-.由题意有a x a -<<与1x ≥或3x ≤-无交集,故113a a a ≤⎧⇒≤⎨-≥-⎩. 故正数a 的取值范围是(]0,1. 故答案为：(]0,1 【点睛】本题主要考查了根据集合的解求解参数范围的问题,需要根据题意分别求得不等式的取值范围,再列出区间端点满足的关系式求解即可.属于基础题. 15．关于x 的不等式0ax b ->的解集为(1,)+∞，则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集为______【答案】()(),12,-∞-+∞U【解析】不等式0ax b ->的解集为(1,)+∞可以确定a 的正负以及,a b 的关系，从而可得02ax bx +>-的解. 【详解】不等式0ax b ->的解集为(1,)+∞，故0a >且0a b -=，故02ax bx +>-可化为()102a x x +>-即()()120x x +->， 它的解为()(),12,-∞-+∞U ，填()(),12,-∞-+∞U . 【点睛】本题考查一元一次不等式的解与对应方程之间的关系及分式不等式的解法，属于容易题.16．不等式|1||1|x x m ++-≥的解集是R ，则实数m 的取值范围是____________. 【答案】(],2-∞【解析】利用绝对值不等式分段求解的方法求得()|1||1|f x x x =++-的最小值,再利用恒成立问题求得实数m 的取值范围即可. 【详解】设()|1||1|f x x x =++-2,12,112,1x x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩,故min ()2f x =.故2m ≤.故答案为：(],2-∞ 【点睛】本题主要考查了去绝对值求解绝对值函数的最值问题,属于基础题.17．已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使()0f x >，则实数p 的取值范围是__________.【答案】3(3,)2-【解析】试题分析：因为二次函数()f x 在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的否定是：“函数()f x 在区间[1,1]-内任意实数x ，使()0f x ≤”，所以(1)0{(1)0f f ≤-≤，即2242(2)210{42(2)210p p p p p p ----+≤+---+≤，整理得222390{210p p p p +-≥--≥，解得32p ≥或3p ≤-，所以二次函数在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的实数p 的取值范围是3(3,)2-.【考点】一元二次方程的根与系数的关系.【方法点晴】本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中解答中涉及到一元二次函数的图象与性质、不等式组的求解、命题的转化等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线，得到对于区间[1,1]-内的任意一个x 都有()0f x >时，得到不等式组是解答的关键，属于中档试题.18．已知01b a <<+，如果关于x 的不等式222()x b a x ->的解集中恰有3个整数解，则实数a 的取值范围是_______________. 【答案】()1,3【解析】因式分解求222()x b a x ->的解集,再根据解集中恰有3个整数解可求得区间端点满足的不等式再列式求解即可. 【详解】关于x 的不等式222()x b a x ->即()222120a x bx b -+-<, , 化简得()()110a x b a x b +--+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∵()()110a x b a x b +--+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集中的整数恰有3个,故二次函数()()1(1)a x b a x x b f ⎡⎤⎡⎤+--+⎣⎦⎣=⎦开口向上,又因为01b a <<+所以10,1a a ->>.∴不等式的解集为11b b x a a -<<-+,因为01b a <<+所以011ba<<+,所以解集里的整数是2,1,0--三个.∴321ba -≤-<--, ∴321ba -≤-<--化简得2233ab a -<≤-,∵1b a <+, ∴221a a -<+, ∴3a < 综上有13a << 故答案为：()1,3 【点睛】本题主要考查了根据不等式的解集求解参数的有关问题,需要注意含参数的二次不等式因式分解求解的方法,同时需要根据函数零点的区间列出对应的不等式求解的方法,属于难题.三、解答题19．已知全集U ，集合A 、B 、C 的关系如图，请在图中用阴影线表示下列集合的运算结果：（1）()U U A C B B C C I U I（2）()()U U A B C C C C B U I U I 【答案】(1)(2)【解析】(1)先分析U A C B ⋂与U B C C I ,再求并集即可. (2)先判断()U A B C C U I 与U C C B I ,再求并集即可. 【详解】(1) 先分析U A C B ⋂与U B C C I ,再求并集可得如图阴影部分.(2) 先判断()U A B C C U I 与U C C B I ,再求并集可得如图阴影部分.【点睛】本题主要考查了根据集合的运算与韦恩图关系的问题,需要根据题意分段分步分析,属于基础题.20．某商场将进货单价是40元的商品按销售单价50元售出时，每月能卖出500件该商品.如果这批商品在销售单价的基础上每涨1元，每月就减少销售10件，问此商品销售价为何值时每月可以获得最大利润？【答案】此商品销售价为70元时每月可以获得最大利润【解析】设售价为x 元,求出销售量与利润再分析最值即可.【详解】设售价为x 元,总利润为y 元,则()()240500105010140040000y x x x x =---=-+-⎡⎤⎣⎦()210709000x =--+,故当70x =元时, y 取得最大值9000.故此商品销售价为70元时每月可以获得最大利润.【点睛】本题主要考查了建立二次函数模型解决实际问题的最优解的问题,需要根据题意建立利润y 与售价x 间的关系,再根据二次的最值求解即可.属于基础题.21．已知不等式3514x x -≤-的解集是A ，不等式1||2x m x ->的解集是B ． （1）当4m =时，求A B I ； （2）如果A B ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】(1) 831|2x x ⎧<⎫≤⎨⎬⎩⎭；(2) 6m ≥或14m < 【解析】(1)根据分值不等式的求解方法求解集合,A B ,再求交集即可.(2) 先求解1||2x m x ->,再分m 的正负进行讨论,再利用A B ⊆列出区间端点满足的表达式求解即可.【详解】 3535211100444x x x x x x ---≤⇒-≤⇒≤---即()()214040x x x ⎧--≤⎨-≠⎩.解得142x ≤<. (1) 当4m =时, 求解1|4|2x x ->, 当4x <时有18423x x x ->⇒<. 当4x ≥时1482x x x ->⇒>.综上有83x <或8x >.此时A B =I 831|2x x ⎧<⎫≤⎨⎬⎩⎭ (2)先求解集合:B 1||2x m x ->当x m <时, 1223m x x x m ->⇒<；当x m ≥时, 122x m x x m ->⇒>. 故当0m <时,集合B R =,此时A B ⊆恒成立.当0m ≥,因为A B ⊆,且1:|42A x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭,3:2|2x m x x m B ⎧>⎭<⎫⎨⎬⎩或. 此时243m ≤或122m >,解得6m ≥或14m <,即6m ≥或104m ≤< 综上所述, 6m ≥或14m < 【点睛】本题主要考查了分式不等式与绝对值不等式的求解以及根据不等式的解集求解参数范围的问题,需要根据题意分情况讨论求解含参的不等式,再根据集合的基本关系列出区间端点满足的关系式进行求解.属于中档题.22．已知二次函数2()(0,0)f x ax bx c a c =++>>的图像与x 轴有两个不同的交点，其中一个交点坐标是(),0c ，且当0x c <<时，恒有()0f x >.（1）求不等式()0f x <的解（用a 、c 表示）；（2）若不等式2210m km b ac -+++≥对所有[]1,1k ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1) 1,c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2) 2m ≤-或0m =或2m ≥ 【解析】(1)根据二次函数2()(0,0)f x ax bx c a c =++>>的图像与x 轴有两个不同的交点可知20ax bx c ++=有两个不同的实数根,利用过(),0c 与韦达定理可求得20ax bx c ++=的两根,再根据二次函数开口方向求解即可.(2)由题()0f c =可得10ac b ++=,代入2210m km b ac -+++≥有220m km -≥,对所有[]1,1k ∈-恒成立,再分m 与0的大小关系分类讨论即可.【详解】(1) 2()f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点,且过(),0c 可设另一个根为2x ,利用韦达定理有221c cx x a a=⇒=,又0,0a c >>,且当0x c <<时,恒有()0f x >,则1c a<. ∴()0f x <的解集为1,c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)∵()0f c =∴20ac bc c ++=,又∵0c >,∴10ac b ++=故要使2210m km b ac -+++≥即220m km -≥,对所有[]1,1k ∈-恒成立,则 当0m >时, 2m k ≥恒成立,故 2m ≥当0m <时, 2m k ≤恒成立,故 2m ≤-当0m =时, 20200k -⋅≥对所有[]1,1k ∈-恒成立从而实数m 的取值范围为2m ≤-或0m =或2m ≥【点睛】本题主要考查了二次函数的方程的根与不等式的关系等,同时也考查了恒成立的问题,需要分类讨论进行求解,属于中档题.23．已知集合{}()1,2,3,,2A n n N *=⋅⋅⋅∈，对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素1s 、2s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P . （1）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}31,C x A x k k N*=∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由；（2）当1000n =时，若集合S 具有性质P . ①那么集合{}2001T x x S =-∈是否一定具有性质P ？并说明理由；②求集合S 中元素个数的最大值.【答案】（1）B 不具有性质P ，C 具有性质P ，理由见解析；（2）①T 具有性质P ，理由见解析；②1333.【解析】（1）当10n =时，集合{}1,2,3,.19,20A =L ，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=L ，根据性质P 的定义可知其不具有性质P ；{}31,C x A x k k N *=∈=-∈，令110m =<，利用性质P 的定义即可验证； （2）当1000n =，则{}1,2,3,,1999,2000A =L .①根据{}2001T x x S =-∈，任取02001t x T =-∈，其中0x S ∈，可得0120012000x ≤-≤，利用性质P 的定义加以验证即可说明集合{}2001T x x S =-∈具有性质P ；②设集合S 有k 个元素，由①可知，任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 与2001x -中必有1个不超过1000，从而得到集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，然后利用性质P 的定义进行分析即可求得20002k k k t +≤+≤，即20002k k +≤，解此不等式得1333k ≤. 【详解】（1）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =L ，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=L 不具有性质P .因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到该集合中的两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m +=成立. 集合{}31,C x A x k k N *=∈=-∈具有性质P .因为可取110m =<，对于该集合中任一元素1131c k =-，2231c k =-，1k 、2k N *∈. 都有121231c c k k -=-≠；（2）当1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A =L .①若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P . 首先因为{}2001T x x S =-∈，任取02001t x T =-∈，其中0x S ∈.因为S A ⊆，所以{}01,2,3,,2000x ∈L .从而0120012000x ≤-≤，即t A ∈，所以T A ⊆.由S 具有性质P ，可知存在不大于1000的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素1s 、2s ，都有12s s m -≠.对于上述正整数m ，从集合{}2001T x x S =-∈中任取一对元素112001t x =-，222001t x =-，其中1x 、2x S ∈，则有1212t t s s m -=-≠. 所以，集合{}2001T x x S =-∈具有性质P ；②设集合S 有k 个元素，由①可知，若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P .任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 与2001x -中必有一个不超过1000.所以集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000.不妨设S 中有2k t t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭个元素1b 、2b 、L 、t b 不超过1000. 由集合S 具有性质P ，可知存在正整数1000m ≤.使得对S 中任意两个元素1s 、2s ，都有12s s m -≠.所以一定有1b m +、2b m +、L 、t b m S +∉.又100010002000i b m +≤+=，故1b m +、2b m +、L 、t b m A +∈.即集合A 中至少有t 个元素不在子集S 中， 因此20002k k k t +≤+≤，所以20002k k +≤，得1333k ≤. 当{}1,2,,665,666,1334,,1999,2000S =L L 时，取667m =，则易知对集合S 中的任意两个元素1y 、2y ，都有12667y y -≠，即集合S 具有性质P .而此时集合S 中有1333个元素，因此，集合S 元素个数的最大值为1333.【点睛】本题考查集合之间包含关系的判断方法，以及元素与集合之间的关系等基础知识，是新定义问题，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键，此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析，属于难题.。
上海市高一期中数学试卷
2015-2016学年上海市格致中学高一（上）期中数学试卷一、填空题B= ．1．已知全集U=R，，则A∩∁U2．若函数，则f（x）•g（x）= ．3．函数y=的定义域是．4．不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），则不等式bx﹣a≥0的解集为．5．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间（，1）上为增函数，那么f（2）的取值范围是．6．已知集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}，若A∩B=B，则实数m的取值范围是．7．“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是．8．设f（x）是R上的偶函数，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，则（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是．9．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是．10．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=1，若f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是．11．已知的解集为[m，n]，则m+n的值为．二、选择题12．给出下列命题：（1）∅={0}；（2）方程组的解集是{1，﹣2}；（3）若A∪B=B∪C，则A=C；B．（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，则A⊆∁U其中正确命题的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．413．“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”的（）A．充要条件 B．必要非充分条件C．充分非必要条件D．非充分非必要条件14．已知a∈R，不等式的解集为P，且﹣4∉P，则a的取值范围是（）A．a≥﹣4 B．﹣3＜a≤4C．a≥4或a≤﹣3 D．a≥4或a＜﹣315．函数f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]三、解答题（8+8+10+14分）16．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a=3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．17．设α：A={x|﹣1＜x＜1}，β：B={x|b﹣a＜x＜b+a}．（1）设a=2，若α是β的充分不必要条件，求实数b的取值范围；（2）在什么条件下，可使α是β的必要不充分条件．18．设函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）（1）设a＞c＞0，若f（x）＞c2﹣2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，求c的取值范围；（2）函数f（x）在区间（0，1）内是否有零点，有几个零点？为什么？19．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域（0，+∞）内存在x0，使函数f（x+1）≤f（x）f（1）成立；（1）请给出一个x的值，使函数；（2）函数f（x）=x2﹣x﹣2是否是集合M中的元素？若是，请求出所有x组成的集合；若不是，请说明理由；（3）设函数，求实数a的取值范围．2015-2016学年上海市格致中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题B= {0} ．1．已知全集U=R，，则A∩∁U【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．【分析】先确定集合A={0，3}，再确定CB={x|x≤}，最后根据交集定义运算得出结果．U【解答】解：因为A={x|x2﹣3x=0}={0，3}，而B={x|x＞}，且U=R，B={x|x≤}，所以，CU所以，{x|x≤}∩{0，3}={0}，即A∩CB={0}，U故答案为：{0}．【点评】本题主要考查了集合间交集，补集的混合运算，涉及一元二次方程的解法，交集和补集的定义，属于基础题．2．若函数，则f（x）•g（x）= x（x＞0）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的解析式化简求解即可．【解答】解：函数，则f（x）•g（x）==x，x＞0．故答案为：x（x＞0）．【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力．3．函数y=的定义域是{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用分母不为0，开偶次方被开方数方法，列出不等式组求解可得函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，可得：，解得：﹣1≤x＜1或1＜x≤4．函数的定义域为：{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．故答案为：{x|﹣1≤x＜1或1＜x≤4}．【点评】本题考查函数的定义域的求法，是基础题．4．不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），则不等式bx﹣a≥0的解集为（﹣∞，] ．【考点】其他不等式的解法．【专题】方程思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得a＜0，且﹣2a+b=0，解得b=2a，代入要解的不等式可得．【解答】解：∵不等式ax+b＜0的解集A=（﹣2，+∞），∴a＜0，且﹣2a+b=0，解得b=2a，∴不等式bx﹣a≥0可化为2ax﹣a≥0，两边同除以a（a＜0）可得2x﹣1≤0，解得x≤故答案为：（﹣∞，]．【点评】本题考查不等式的解集，得出a的正负是解决问题的关键，属基础题．5．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5在区间（，1）上为增函数，那么f（2）的取值范围是[﹣7，+∞）．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】求得二次函数的对称轴，由题意可得≤，求得a的范围，再由不等式的性质，可得f（2）的范围．【解答】解：函数f（x）=x2﹣（a﹣1）x+5的对称轴为x=，由题意可得≤，解得a≤2，则f（2）=4﹣2（a﹣1）+5=11﹣2a≥﹣7．故答案为：[﹣7，+∞）．【点评】本题考查二次函数的单调性的运用，考查不等式的性质，属于中档题．6．已知集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}，若A∩B=B，则实数m的取值范围是[3，+∞）．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．【分析】先求出集合B，再利用交集定义和不等式性质求解．【解答】解：∵集合A={x|x≥2}，B={x||x﹣m|≤1}={x|m﹣1≤x≤m+1}，A∩B=B，∴m﹣1≥2，解得m≥3，∴实数m的取值范围是[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．7．“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”．【考点】四种命题．【专题】演绎法；简易逻辑．【分析】根据否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案．【解答】解：“若a+b＞2，则a＞2或b＞2”的否命题是“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”，故答案为：“若a+b≤2，则a≤2且b≤2”【点评】本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握四种命题的概念，是解答的关键．8．设f（x）是R上的偶函数，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，则（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集是（0，1）∪（2，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系先求出f（x）＞0和f（x）＜0的解集，进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数，∴f（﹣1）=f（1）=0，则函数f（x）对应的图象如图：即当x＞1或x＜﹣1时，f（x）＞0，当0＜x＜1或﹣1＜x＜0时，f（x）＜0，则不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0等价为或，即或，即或，即x＞2或0＜x＜1，即不等式的解集为（0，1）∪（2，+∞），故答案为：（0，1）∪（2，+∞）【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合求出f（x）＞0和f（x）＜0的解集是解决本题的关键．9．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0）．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围．【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）．【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．10．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=1，若f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题．【分析】先利用f（x）是R上的偶函数，且f（2）=1，得到f（2）=f（﹣2）=1；再由f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，导出﹣2﹣x≤a≤2﹣x在x∈[﹣1，1]上恒成立，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，且f（2）=1，∴f（2）=f（﹣2）=1；∵f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x+a）≤1对x∈[﹣1，1]恒成立，∴﹣2≤x+a≤2，即﹣2﹣x≤a≤2﹣x在x∈[﹣1，1]上恒成立，∴﹣1≤a≤1，故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查函数恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的奇偶性、单调性的灵活运用．11．已知的解集为[m，n]，则m+n的值为 3 ．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】利用二次函数的单调性、一元二次不等式的解法即可得出．【解答】解：解：∵ x2﹣2x+3=（2x2﹣6x+9）= [（x﹣3）2+x2]≥，令n2﹣2n+3=n，得2n2﹣9n+9=0，解得n=（舍去），n=3；令x2﹣2x+3=3，解得x=0或3．取m=0．∴m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了二次函数的单调性、一元二次不等式的解法，属于基础题．二、选择题12．给出下列命题：（1）∅={0}；（2）方程组的解集是{1，﹣2}；（3）若A∪B=B∪C，则A=C；B．（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，则A⊆∁U其中正确命题的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；集合思想；数形结合法；集合．【分析】由集合间的关系判断（1）；写出方程组的解集判断（2）；由A∪B=B∪C，可得A=C或A、C均为B的子集判断（3）；画图说明（4）正确．【解答】解：（1）∅⊆{0}．故（1）错误；（2）方程组的解集是{（1，﹣2）}．故（2）错误；（3）若A∪B=B∪C，则A=C或A、C均为B的子集．故（3）错误；（4）若U为全集，A，B⊆U，且A∩B=∅，如图，B．故（4）正确．则A⊆∁U∴正确命题的个数是1个．故选：A．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了集合的表示法及集合间的关系，是基础题．13．“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”的（）A．充要条件 B．必要非充分条件C．充分非必要条件D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】方程思想；判别式法；简易逻辑．【分析】一元二次方程x2+ax+1=0没有实根，则△＜0．解出即可判断出．【解答】解：若一元二次方程x2+ax+1=0没有实根，则△=a2﹣4＜0．解得﹣2＜a＜2．∴“﹣2≤a≤2”是“一元二次方程x2+ax+1=0没有实根”必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程有实数根与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知a∈R，不等式的解集为P，且﹣4∉P，则a的取值范围是（）A．a≥﹣4 B．﹣3＜a≤4C．a≥4或a≤﹣3 D．a≥4或a＜﹣3【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】原不等式化为＜0，分类讨论即可得到答案．【解答】解：化为式﹣1＞0，即＞0，即＜0，当a+3＞0时，即a＞﹣3时，原不等式为x+a＜0，即x＜﹣a，∵﹣4∉P，∴a≥4；当a+3＜0时，即a＜﹣3时，原不等式为x+a＞0，即x＞﹣a，∴﹣4∉P，∴a＜﹣3；当a+3=0时，即x∈∅，∴﹣4∉P，综上所述：a的取值范围为a≥4，或a≤﹣3，故选：C．【点评】本题考查分式不等式解法的运用，关键是分类讨论，属于与基础题．15．函数f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】由分段函数可得当x=0时，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x++a，x＞0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值2+a，解不等式a2≤2+a，即可得到a的取值范围．【解答】解：由于f（x）=，则当x=0时，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x++a，x＞0恒成立，由x+≥2=2，当且仅当x=1取最小值2，则a2≤2+a，解得﹣1≤a≤2．综上，a的取值范围为[0，2]．故选：D．【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的应用，是一道中档题三、解答题（8+8+10+14分）16．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a=3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法；绝对值不等式的解法．【分析】（I）分式不等式的解法，可转化为整式不等式（x﹣a）（x+1）＜0来解；对于（II）中条件Q⊆P，应结合数轴来解决．【解答】解：（I）由，得P={x|﹣1＜x＜3}．（II）Q={x||x﹣1|≤1}={x|0≤x≤2}．由a＞0，得P={x|﹣1＜x＜a}，又Q⊆P，结合图形所以a＞2，即a的取值范围是（2，+∞）．【点评】对于条件Q⊆P的问题，应结合数轴来解决，这样来得直观清楚，便于理解．17．设α：A={x|﹣1＜x＜1}，β：B={x|b﹣a＜x＜b+a}．（1）设a=2，若α是β的充分不必要条件，求实数b的取值范围；（2）在什么条件下，可使α是β的必要不充分条件．【考点】充要条件．【专题】转化思想；集合思想；简易逻辑．【分析】（1）若α是β的充分不必要条件，则A⊊B，即，解得实数b的取值范围；（2）若α是β的必要不充分条件，则B⊊A，即且两个等号不同时成立，进而得到结论．【解答】解：（1）∵a=2，∴β：B={x|b﹣2＜x＜b+2}．若α是β的充分不必要条件，则A⊊B，即，解得：b∈[﹣1，1]；（2）若α是β的必要不充分条件，则B⊊A，即且两个等号不同时成立，即a＜1，b≤|a﹣1|【点评】本题考查的知识点是充要条件，正确理解并熟练掌握充要条件的概念，是解答的关键．18．设函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）（1）设a＞c＞0，若f（x）＞c2﹣2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，求c的取值范围；（2）函数f（x）在区间（0，1）内是否有零点，有几个零点？为什么？【考点】函数零点的判定定理；二次函数的性质．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可得：二次函数的对称轴为x=，由条件可得：2a＞a+c，所以x=＜＜1，进而得到f（x）在区间[1，+∞）是增函数，求出函数的最小值，即可得到答案．（2）二次函数的对称轴是x=，讨论f（0）=c＞0，f（1）=a﹣c＞0，而f（）=﹣＜0，根据根的存在性定理即可得到答案．【解答】解：（1）因为二次函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c的图象的对称轴x=，因为由条件a＞c＞0，得2a＞a+c，所以x=＜＜1，所以二次函数f（x）的对称轴在区间[1，+∞）的左边，且抛物线的开口向上，所以f（x）在区间[1，+∞）是增函数．所以f（x）=f（1）=a﹣c，min因为f（x）＞c2﹣2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，所以a﹣c＞c2﹣2c+a，所以0＜c＜1；（2）二次函数f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c图象的对称轴是x=．若f（0）=c＞0，f（1）=a﹣c＞0，而f（）=﹣＜0，所以函数f（x）在区间（0，）和（，1）内分别有一零点．故函数f（x）在区间（0，1）内有两个零点；若f（0）=c＜0，f（1）=a﹣c＞0，而f（）=﹣＜0，故函数f （x ）在区间（0，1）内有一个零点．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，以及根的存在性定理．19．已知集合M 是满足下列性质的函数f （x ）的全体：在定义域（0，+∞）内存在x 0，使函数f （x 0+1）≤f（x 0）f （1）成立；（1）请给出一个x 0的值，使函数；（2）函数f （x ）=x 2﹣x ﹣2是否是集合M 中的元素？若是，请求出所有x 0组成的集合；若不是，请说明理由；（3）设函数，求实数a 的取值范围．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】应用题；新定义；函数思想．【分析】（1）取值带入即可；（2）根据函数f （x ）的定义求解x 0即可；（3）利用函数的思想求解．【解答】解：（1）令x 0=2，则，成立；（2）假设函数f （x ）=x 2﹣x ﹣2是集合M 中的元素，则存在x 0，使f （x 0+1）≤f（x 0）f （1）成立，即（x 0+1）2﹣（x 0+1）﹣2≤（）（﹣2），解得：，故x 0组成的集合是：{x 0|}；（3）∵函数f （x ）=，∴，设g （x ）==，∴0＜g （x ）＜3，2a=0时显然成立，当a ＞0时，a ＞g （x ），∴a＞3；a ＜0时，a ＜g （x ），∴a＜0；综上，a≤0或a ＞3【点评】本题考查新定义及运用，考查运算和推理能力，考查函数的性质和应用，正确理解定义是迅速解题的关键，属于中档题。
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2014学年第一学期高一年级数学期中考试试卷
一、填空题（共12题，每题3分，满分36分）
1、已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则B A = .
2、不等式01
32≥+-x x 的解集为_____________（用区间表示）. 3、已知全集R U =，集合}065|{2≥--=x x x P ，那么U C P = . 4、函数()x x y -++=320π的定义域是.______________ 5、已知R x ∈，命题“若52<<x ，则01072<+-x x ”的逆否命题是 ._________________________________________ 6、若0,0>>y x ，且12=+y x 则代数式y x 11+的最小值为 . 7、若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 . ①1ab ≤
≤ ③222a b +≥ ④112a b +≥. （把正确序号都填上） 8、二次函数c ax x f -=2)(，若5)2(1,1)1(4≤≤--≤≤-f f ，则)4(f 的取值范围是 ._________________ 9、已知⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈21,0x ，则当______=x 时，函数2413x x y -=的最大值为.________ 10、已知R x ∈,设[]x 表示不大于x 的最大整数，如[π]=3，[.]-=-122，⎡⎤=⎢⎥⎣⎦102，则使 []411=--x 成立的x 的取值范围是 ．
11、一张长和宽分别为32cm 和20cm 的长方形铁皮，将它的四个角各剪去一个边长为x cm 的小正方形铁皮，再将它围成一个没有盖的长方体盒子，则盒子最大容积为_______.3
cm 12、已知函数a
ax x a x a x x f 2422)1(2)(22-++--+=的定义域是使得解析式有意义的x 的集合，如果对于定义域内的任意实数x ，函数值均为正，则实数a 的取值范围是 .________
班级 学号 姓名 密 封 线
二、选择题（每题只有一个正确选项，每题3分，满分12分）
13、设命题甲为“50<<x ”，命题乙为“32<-x ”，那么甲是乙的：
（A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件； （ ）
（C ）充要条件； （D ）既非充分又非必要条件
14、已知,,a b c R ∈，下列给出四个命题，其中假命题是 （ ）
（A ）若0a b c >>>，则ac bc >； (B) 若a R ∈，则221232a a ++
≥+ (C)若a b >，则22a b >； （D ）若0,0a b ≥≥
，则a b +≥15、下列各组函数是同一函数的是： （ ）
①()f x =
()g x = ②()f x x =
与()g x ③0()f x x =与01()g x x
=； ④2()21f x x x =--与2()21g t t t =-- (A) ① ② (B) ① ③ (C) ③ ④ (D) ① ④
16、已知+∈R z y x ,,，且108=++zx yz xy ，则y
zx x yz z xy ++的最小值是 (A) 18 (B) 21 (C) 24 (D) 36 （ ）
三、解答题（本大题共5题，满分52分，'14'12'10'8'8++++）
17、已知全集为R ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=031|
x x x A ，集合{}
312>+=x x B ，求)(B C A R ．
18、解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--+>+0
82112x x x x x x ．
19、为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了旧城拆建工程，按合同规定工期为4个月（计120天），若按期完成可获利800万元；若提前完成，则每提前一天可额外获得2万元奖金，但要投入追加费用，追加投入的费用按以下关系计算：11837846-++
x x （万元），其中x 表示提前完工的天数。
问：
（1）设公司承包该工程获得的利润为S ，求函数)(x f S =的解析式；
（2）试问提前多少天，才能使公司获得最大的利润，并求出最大利润.
20、（1）若)(x f 是一次函数，且x x f x f 217)1(3)1(2--=+--，求)(x f 的表达式；
（2）已知函数)(x f 满足x x f x f =+)1(3)(2，求)(x f 的表达式；
（3）已知函数)(x f 满足331)1(x
x x x f +=+，求)15(+f 的值。
班级 学号 姓名 密 封 线
21、已知二次函数2()(0,0)f x ax bx c a c =++>>的图像与x 轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为)0,(c ，且当0x c <<时，恒有()0f x >.
（1）当1a =，4
1=c 时，求不等式()0f x <的解集； （2）函数)(x f 的图像与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为12，求a 的取值范围；
（3）不等式0722≥+++--ac b k km m 对所有1->m 恒成立，求实数k 的取值范围.。