函数y=sin(wx+&)平移与伸缩变换
函数y=sin(wx+ψ) 的图像性质及应用
第15讲 函数sin()y A wx ϕ=+的图像性质及应用第一部分 知识梳理1.函数sin()y A wx ϕ=+（0x >）的物理概念，振幅A ：表示震动时离开平位置的大距离；频率w ：表示单位时间内往返震动的次数；初像：ϕ；相位：wx ϕ+2. 函数sin()(0)y w k ϕ=±>的图象和函数sin y x =图像的关系（平移）；函数sin (0)y wx w => 的图像和函数y = sinx 图像的关系（周期变换）；函数sin (0)y A x A =>的图像和函数sin y x =图像（振幅变换）3. 作函数sin()y A wx ϕ=+的图像（1） 用“五点法”作图，用“五点法”作sin()y A wx ϕ=+的简图，主要是通过变量代换，设z wx ϕ=+，由z 取30,,,,222ππππ来求出相应的x ，同过列表，计算出五点坐标，描点后得出图像（2） 由函数sin y x =的图像通过变换得到sin()y A wx ϕ=+的图像，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”4. 函数x y sin =的图象得到sin()(0,0)y A wx w ϕϕ=+>>的图象主要有下列两种方法①x y sin =（相位变换）→_______(周期变换) →________(振幅变换)→_________ ②x y sin =(周期变换)→________（相位变换）→________(振幅变换)→_________5. 函数sin()y A wx ϕ=+的性质① 函数sin()y A wx ϕ=+的周期可利用2T wπ=② 判断函数sin()y A wx ϕ=+(0A ω≠)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为sin (0)y A wx Aw =≠或cos (0)y A wx Aw =≠的形式。
③ 求sin()(0,0)y A wx A w ϕ=+>≠的单调区间，一般将wx ϕ+看成一个整体，代入sin y x =相关的单调区间对应的不等式，解之即得。
正弦函数、余弦函数的图像(附答案)
正弦函数、余弦函数的图象[学习目标]1•了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系. -=知识梳理自主学习知识点一正弦曲线正弦函数y = sin x(x€ R)的图象叫正弦曲线.利用几何法作正弦函数y= sin x, x€ [0,2 n]图象的过程如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系y轴的左侧画单位圆，如图所示.②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确).过单位圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0, £ n，扌，…，2n等角的正弦线.6 3 2③找横坐标：把x轴上从0到2 n (2 6.28一段分成12等份.④平移：把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合.⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y= sin x, x€ [0,2 n]的图象.在精度要求不太高时,y= sin x, x € [0,2 诃以通过找出(0,0),(寸，1), ( n 0) , (# —1),(2 n 0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图.思考在所给的坐标系中如何画出y= sin x, x€ [0,2 7的图象？如何得到y= sin x, x€ R的图象？只要将函数y= sin x, x€ [0,2 n的图象向左、向右平行移动（每次2n个单位长度），就可以得到正弦函数y= sin x, x€ R的图象.知识点二余弦曲线余弦函数y= cos x（x€ R）的图象叫余弦曲线.n n 根据诱导公式sin x+ 2 = cos x, x€ R.只需把正弦函数y= sin x, x€ R的图象向左平移-个单位长度即可得到余弦函数图象（如图）.n 3要画出y = cos x, x€ [0,2従的图象，可以通过描出（0,1）,勺，0，（n - 1）, 0 , （2 n 1）五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y= cos x, x€ [0,2的图象.思考在下面所给的坐标系中如何画出y= cos x, x€ [0,2品的图象？答案题型探究重点突破题型一五点法”作图的应用例1利用五点法”作出函数y= 1-sin x（0 * 2曲）简图. 解（1）取值列表:⑵描点连线，如图所示:跟踪训练1作函数y = sin x , x € [0,2 n 与函数y =— 1 + sin x , x € [0,2冗的简图，并研究它 们之间的关系. 解按五个关键点列表：x 0 n2 n3 n ~22 n sin x1 0—1 0—1 + sin x—1 0—1 —2—1利用正弦函数的性质描点作图:x € [0,2 的图象.题型二利用正弦、余弦函数图象求定义域 例2 求函数f(x)= lg sin x +寸16 — x 2的定义域. sin x>0,解由题意得，x 满足不等式组216 — x 2 >0,—4 w x W 4,即作出y = sin x 的图象，如图所示.sin x>0,y =— 1 + sin x , 由图象可以发现，把结合图象可得定义域：x€ [ —4，—nU (0, n)跟踪训练2 求函数f(x)= lg cos x+ 25-x2的定义域.cos x>0解由题意得，x满足不等式组25—"0，cos x>0即—5W迄5，作出y= C0S x的图象，如图所示.结合图象可得定义域:x € —5,—3 nU题型三利用正弦、余弦函数图象判断零点个数例3在同一坐标系中，作函数y= sin x和y= lg x的图象，根据图象判断出方程sin x = lg x 的解的个数.解建立坐标系xOy,先用五点法画出函数y= sin x, x€ [0,2冗的图象，再依次向左、右连续平移2 n个单位，得到y= sin x的图象.描出点(1,0), (10,1)并用光滑曲线连接得到y= lg x的图象，如图所示.由图象可知方程sin x= lg x的解有3个.跟踪训练3方程x2—cos x = 0的实数解的个数是___________答案2解析作函数y= cos x与y= x2的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解.思韻方法数形结合思想在三角函数中的应用例4函数f(x) = sin x+ 2|sin x|, x€ [0,2冗的图象与直线y= k有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围.3sin x, x € [0 , n,解f(x)= sin x+ 2|sin x|=—sin x, x€ n 2 n ].图象如图,F当堂检测自查自纠1.函数y= sin x (x€ R)图象的一条对称轴是()A. x轴B. y轴C.直线y= x D .直线x = 22.用五点法画y= sin x, x€ [0,2的图象时，下列哪个点不是关键点()1 A.(6，2)% 八B.(2, 1)C. ( , 0)D. (2 , 0)3.函数y= sin x, x€ [0,21 亠的图象与直线y= —2的交点为A(X1, y1), B(x2, y2),贝U X1 + x24. 利用五点法”画出函数y= 2-sin x, x€ [0,2的简图.5. 已知O w x< 2 n^试探索sin x与cos x的大小关系.若使f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，根据图可得k的取值范围是(1,3).A'课时精练、选择题n 3 n1函数y= —sin x, x€ —2, y 的简图是()2. 在同一平面直角坐标系内，函数y= sin x, x€ [0,2 与y= sin x, x€ [2 n 4 n的图象（）A .重合B .形状相同，位置不同C.关于y轴对称sin x= 10的根的个数是3.方程4.D .形状不同，位置不同B. 8C. 9D. 10函数A'3 n n5.如图所示，函数y= cos x阳n x|（0且x③的图象是（）D6. 若函数y= 2cos x(0< x< 2 n的图象和直线y= 2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是()A . 4B . 8C . 2 nD . 4 n二、填空题7. __________________________________________________ 函数y= ” . log^sin x的定义域是_________________________________________________________ .&函数y= _ 2cos x+ 1的定义域是 ___________ .___ 19. 函数f(x) = >,'sin 或为 ---------------- .10. _______________________________________________________________ 设0<x< 2 n,且|cos x—sin x|= sin x—cos x，贝U x 的取值范围为 ______________________ .三、解答题111. 用“五点法”画出函数y = 2 + sin x, x€ [0,2 n的简图.12. 根据y= cos x的图象解不等式:-于三cos x< 2, x€ [0,2 n]13. 分别作出下列函数的图象.(1) y= |sin x|, x€ R；(2) y= sin|x|, x€ R.当堂检测答案1答案 D 2. 答案 A 3. 答案 3n 解析如图所示， _ 3 nx i + X 2= 2 = 3 n. 4.解（1）取值列表如下:x 0 n2 n3n~22 n sin x 0 1 0 —i 0 y = 2— sin x21232⑵描点连线，图象如图所示:由图象可知 ①当x =m 或x = 5n时，sin x = cos x ；44③当 O W x <n或5n<x< 2 n时，sin x <cos x. 课时精炼答案一、选择题 1•答案 D 2.答案 B5 •解用“五点法”作出sin x>cos x ;解析根据正弦曲线的作法可知函数y= sin x, x€ [0,2 n与y= sin x, x€ [2 n 4n的图象只是位置不同，形状相同.3. 答案Ax解析在同一坐标系内画出y= 10和y= sin x的图象如图所示:¥=血JT根据图象可知方程有7个根.4. 答案D解析由题意得n 32cos x, 0或2 n 炸2,c 冗30, 2<x<2 n.显然只有D合适.5. 答案C解析当冗当2<x< n时，y= cos x • |tan| =—sin x;当n<<3n寸，y= cos x |tax|= sin x,故其图象为C.6. 答案D解析作出函数y = 2cos x, x€ [0,2 n]图象，函数y = 2cos x,x€ [0,2 n的图象与直线y = 2围成的平面图形为如图所示的阴影部分. 利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又••• OA= 2, OC= 2n,S阴影部分=S矩形OABC = 2 X 2 n= 4 n.、填空题7. 答案{x|2k n<<2k n+ n k€ Z}1解析由log2sin x> 0知0<sin x< 1,由正弦函数图象知2kn«2k n+n k€乙… 2 2& 答案2k n—3冗，2k n+ k€ Z1 2 2解析2cos x+ 1> 0 , cos x>—2,结合图象知x€ 2k n— " n, 2k n+" n , k€ Z.9.答案（一4,— nU [0 , n]sin x > 0, 2kx < 2k n+ n,解析2?16— x 2>0 — 4<x<4? — 4<x W — n 或 0 < x W n. 解析 由题意知sin x — cos x >0, 即卩cos x W sin x ,在同一坐标系画出 y = sin x , x € [0,2 n 与三、解答题11•解（1）取值列表如下:x 0 n2 n3 2n 2 n sin x 0 1 0 —1 0 1 ,. 1 3 1 1 1 -+ sin x222222⑵描点、连线，如图所示.12.解 函数y = cos x , x € [0,2 n 的图象如图所示: 根据图象可得不等式的解集为n, ,5 n 7 n, , 5 n{x|—W x < 或一W x < }3 6 63,.10.答案n 5 n 4，~4y = cos x , x € [0,2n 观察图象知x € 4, 5 n~4 .n 的图象,sin x 2k x< 2k n+n, 13.解(1)y= |sin x|=—sin x 2k n+n<W 2k n+ 2 n(k€ Z).其图象如图所示,sin x x>0 ,(2)y= sin |x| =—sin x x<0 .其图象如图所示,。
考点13 y=sin(wx+φ)的图像与性质(解析版)
考点13 y=Asin(wx+ϕ)的图像与性质一、考纲要求1、了解三角函数的周期性，画出 y =sin x ， y =cos x ，y =tan x 的图像，并能根据图像理解正弦函数、余弦函数在[ 0 ，2π ]，正切函数的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与 x 轴的交点等)2. 了解三角函数 y = A sin ( ωx + φ )的实际意义及其参数 A ， ω ，φ 对函数图像变化的影响；能画出 y = A sin (ωx +φ )的简图，能由正弦曲线 y =sin x 通过平移、伸缩变换得到 y = A sin ( ωx + φ )的图像 .3. 会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 . 二、近五年江苏高考 1. 三角函数的图像与性质是高考中的必考点，对这部分内容的考查，高考中大多以中、低档题为主，主要集中于对函数的周期、图像、单调性、值域(或最值)等几个方面的考查 . 要解决此类问题，要求学生熟练地掌握三角函数的图像，及正弦函数、余弦函数、正切函数的最基本的性质，并能运用这些性质去熟练地解题 .2. 利用三角函数的性质解决问题时，要重视化归思想的运用，即将复杂的三角函数转化为基本的正弦、余弦、正切函数来处理 三、考点总结：1、函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像的平移和伸缩变换以及根据图像确定 A ， ω ，φ 问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。
2、要牢牢记住函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像和性质。
四、近五年江苏高考试题 1、（2018年江苏卷） 已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A >0，ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间；由求减区间.2、（2017年江苏卷）已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]．(1) 若a ∥b ，求x 的值；(2) 记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解：(1) 因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0.于是tan x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6. (2) f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32. 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.易错警示 从－3cos x ＝3sin x 推得tan x ＝－33，必须明确说明cos x ≠0.3、（2016年江苏卷）定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图像与y ＝cos x 的图像的交点个数是________． 【答案】 7解法1 由题意得sin2x ＝cos x ，即2sin x cos x ＝cos x ，从而cos x ＝0或sin x ＝12，因为x ∈[0，3π]，所以x ＝π6，π2，5π6，3π2，13π6，17π6，5π2，共7个不同的解，故y ＝sin2x 与y ＝cos x 在[0，3π]上共有7个不同的交点．解法2 如图，在同一个坐标系中，分别作出函数y ＝sin2x 与y ＝cos x 的图像，根据它们的图像可得它们在[0，3π]上共有7个不同的交点．五、三年模拟题型一 三角函数的性质1、(2019南京学情调研）已知函数f(x)＝2sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图像关于直线x ＝π6对称，则f(0)的值为________．【答案】 1【解析】由题意，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝±2，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，又因为－π2＜φ＜π2， －π6<π3＋φ<5π6，所以π3＋φ＝π2，即φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，f(0)＝1. 2、(2019苏锡常镇调研）函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为 ． 【答案】.32【解析】解法1：根据余弦函数的图像及性质，令ππωk x =-3，Z k ∈得ωππk x +=3，令23πωππ=+k 得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32解法2：由条件可得1)2(±=πf ，即1)32c o s (±=-πωπ，则ππωπk =-32，Z k ∈，解得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32解后反思：利用整体思想，结合三角函数的图像及性质是解决这类问题的关键！3、(2019苏州期初调查） 已知函数f(x)＝sin (2x ＋φ)(0≤φ<π)的一条对称轴是x ＝－512π，则φ＝________．【答案】 π3【解析】因为函数f(x)的一条对称轴是x ＝－512π，所以2×⎝⎛⎭⎫－5π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋4π3，k∈Z ，又因为0≤φ<π，所以φ＝π3.4、(2019南京、盐城二模）若函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 【答案】3【解析】由相邻两条对称轴间的距离为π2，知其最小正周期T ＝2×π2＝π，从而得ω＝2πT ＝2ππ＝2，又f(x)＝2sin (2x ＋φ)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝2，解得φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，又因为0<φ<π，所以φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，即有f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin 2π3＝ 3.5、(2017南通一调） 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3的最小正周期为________． 【答案】2π3【解析】由三角函数周期公式得T ＝2π3.6、(2018镇江期末）函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像两相邻对称轴的距离为________． 【答案】π2【解析】由题知函数最小正周期T ＝2π2＝π.图像两相邻对称轴间的距离是最小正周期π的一半即π2.7、(2018苏北四市期末） 若函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图像与直线y ＝m 的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，则实数ω的值为________．【答案】.4【解析】由题意得函数f(x)的最小正周期T ＝2π3－π6＝2πω，从而ω＝4.8、(2018苏锡常镇调研（二）） 已知函数()sin(π)(02π)f x x x ϕ=+<<在2x =时取得最大值，则ϕ= ． 【答案】2π【解析】根据题意可得1)2sin()2(=+=ϕπf ，则ππϕπk 222+=+，.Z k ∈可得ππϕk 223+-=，Z k ∈，又因为πϕ20<<，所以当且仅当1=k 时.2πϕ=9、(2017苏北四市期末） 若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωπx －π6(ω＞0)的最小正周期为15，则f ⎝⎛⎭⎫13的值为________． 【答案】－12【解析】因为函数f (x )的最小正周期为15，所以2πωπ＝15，ω＝10，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫10πx －π6，f ⎝⎛⎭⎫13＝sin ⎝⎛⎭⎫10π3－π6＝sin196π＝sin 7π6＝－12. 10、(2017无锡期末） 设函数f (x )＝sin 2x －3cos x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，则函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调增区间为________．【答案】 ⎣⎡⎦⎤0，π3 【解析】 利用三角恒等变换公式将函数化为正弦型函数即可． f (x )＝1－cos2x 2＋3cos x sin x ＝12－12cos2x ＋32sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，－π6≤x ≤π3，故f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 题型二 三角函数图像的变换1、(2019无锡期末） 已知直线y ＝a(x ＋2)(a>0) 与函数 y ＝|cos x|的图像恰有四个公共点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)， 其中 x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝________． 【答案】－2【解析】根据图形可得直线y ＝a(x ＋2)与函数y ＝－cos x 的图像相切于点(x 4，－cos x 4)，其中x 4∈⎝⎛⎭⎫π4，π.因为y ＝sin x ，由导数的几何意义可得a ＝sin x 4＝－cos x 4－0x 4＋2，化简得x 4＋1tan x 4＝－2.解后反思 本题的关键是通过对直线与函数的图像分析，利用数形结合的思想将问题转化为函数图像的切线问题，然后利用导数的几何意义求解．2、(2018无锡期末）函数y ＝cos (2x ＋φ)(0<φ<π)的图像向右平移π2个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像重合，则φ＝________．【答案】π6【解析】函数y ＝cos (2x ＋φ)的图像向右平移π2个单位长度后所得图像的函数是y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋φ＝cos (2x －π＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋φ，由题意可得－π2＋φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，故φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π，所以当k ＝0时，φ＝π6.3、(2018苏州暑假测试） 将函数y ＝sin (2x ＋φ)(0<φ<π)的图像沿x 轴向左平移π8个单位长度，得到函数y ＝f(x)的图像，若函数y ＝f(x)的图像过原点，则φ的值是________． 【答案】34π【解析】由题意，f(x)＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ，进而f(0)＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝0，又因为0<φ<π，所以φ＝34π. 易错警示 由y ＝sin x 的图像变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再伸缩变换，平移的量是|φ|个单位长度；而先伸缩变换再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位长度．原因在于相位变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．4、（2018南通、泰州一调） 在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度．若平移后得到的图像经过坐标原点，则φ的值为________．【答案】 π6解法1(代入特殊点) 平移后的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x －φ）＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2φ，因为函数图像过原点，则sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π3＝0，所以2φ－π3＝k π(k ∈Z )，则φ＝k π2＋π6，又0<φ<π2，所以φ＝π6. 解法2(函数的性质) 平移后的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x －φ）＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2φ.因为函数图像过原点，则函数为奇函数，所以π3－2φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝－k π2＋π6，又0<φ<π2，所以φ＝π6.5、(2017南京、盐城二模）将函数f (x )＝sin x 的图像向右平移π3个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图像，则函数y ＝f (x )＋g (x )的最大值为________． 【答案】 3【解析】化简，y ＝f (x )＋g (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＋sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6－π6＝3sin x －π6，故y ∈[－3，3]．6.(2017南京、盐城一模）将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数为偶函数，则φ＝________.【答案】5π12【解析】将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移φ0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数为y ＝3sin2(x －φ)＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2φ.因为所得的函数为偶函数，所以π3－2φ＝k π＋π2，解得φ＝－k π2－π12(k ∈Z )，因为0＜φ＜π2，所以k ＝－1，得φ＝5π12. 7、（2017镇江期末） 将函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向左平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数图像关于y 轴对称，则φ＝________.【答案】 π8【解析】向左平移φ个单位长度后所得函数解析式为y ＝5sin ⎣⎡⎦⎤x ＋φ＋π4.因为其图像关于y 轴对称，所以2φ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π8＋k π2，k ∈Z .又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π8.易错警示 由y ＝sin x 的图像变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再伸缩变换，平移的量是|φ|个单位长度；而先伸缩变换再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位长度．原因在于相位变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．题型三 三角函数的解析式1、(2018南京学情调研）若函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图像如图所示，则f(－π)的值为________．【答案】 －1【解析】由题意，A ＝2，T ＝⎝⎛⎭⎫π－π4×4＝3π＝2πω，即ω＝23，解得2π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π－π6，k ∈Z ，因为|φ|＜π，所以φ＝－π6，所以f (－π)＝2sin(－23π－π6)＝－1.解后反思 依图求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的解析式的难点在于确定初相φ，其基本方法是利用特殊点，通过待定系数法、五点法或图像变换法来求解．2、(2018南京、盐城、连云港二模）已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图像如图所示，直线x ＝π12，x ＝7π12是其相邻的两条对称轴．(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若f ⎝⎛⎭⎫α2＝－65，且2π3＜α＜7π6，求cos α的值． 【解析】 (1) 设f(x)的周期为T ，则T 2＝7π12－π12＝π2，所以T ＝π.又T ＝2πω，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin (2x ＋φ)．(3分)因为点⎝⎛⎭⎫π12，2在函数图像上，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1. 因为－π2＜φ＜π2，即－π3<π6＋φ<2π3，所以φ＝π3，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(7分) (2) 由f ⎝⎛⎭⎫α2＝－65，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－35. 因为2π3＜α＜7π6，所以π＜α＋π3＜3π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－45.(10分) 所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3 sin π3＝－45×12＋⎝⎛⎭⎫－35×32＝－33＋410.(14分) 解后反思 一般地，处理三角恒等变换中“知值求值”问题，需要树立用“已知角表示所求角”的意识．故本题需把所求角α拆成已知角α＋π3和特殊角π3的差，进而用两角差的余弦公式求解，并注意求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3时开方后正负号的取舍问题．3、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数()π()sin 3f x A x ω=+（00A ω>>，）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点π(3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若角α满足π()()12f αα+-=，(0π)α∈，，求角α的值．【解析】（1）由条件知：周期2πT =，即2π2πω=，所以1ω=，即()π()sin 3f x A x =+． …… 3分因为()f x 的图象经过点π(3，所以2πsin 3A =，所以1A =，所以()π()sin 3f x x =+． …… 6分（2）由π()()12f αα-=，得()()πππsin 1332αα+++-=， …… 8分即()()ππsin 133αα+-+=，所以()ππ2sin 133α⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦，即1sin 2α=． …… 12分 因为()0πα∈，，所以π6α=或5π6． …… 14分 【易错警示】这由1sin 2α=，求角α的值，会忽略(0π)α∈，的限制条件，出现少解或多解的错误现象.。
《函数y=sin（wx+4）》试题（新人教必修4）.
1.5函数sin()y A x ωϕ=+的图象第1题. 函数21sin 324y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π的振幅、周期和频率各是多少？它的图象与正弦曲线有什么关系？答案：振幅为23，周期为4π，频率为14π；先将正弦曲线上所有的点向右平行移动4π个单位长度，再在纵坐标保持不变的情况下将各点的横坐标伸长到原来的２倍，最后在横坐标保持不变的情况下将各点的纵坐标缩短到原来的23倍．第2题. 为了得到函数cos5xy =，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（ ） （Ａ）横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变．（Ｂ）横坐标缩短到原来的15倍，纵坐标不变． （Ｃ）纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变．（Ｄ）纵坐标缩短到原来的15倍，横坐标不变．答案：Ａ．第3题. 为了得到函数1cos 4y x =，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上的所有的点的（ ） （Ａ）横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变．（Ｂ）横坐标伸长到原来的14倍，纵坐标不变．（Ｃ）纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变．（Ｄ）纵坐标伸长到原来的14倍，横坐标不变．答案：Ｄ．第4题. 不画图，直接写出下列函数的振幅、周期与初相，并说明这些函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变化得到（注意定义域）：（１）8sin 48x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭，[)0,x ∈+∞； （２）1sin 337y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[)0,x ∈+∞． 答案：（１）振幅是8，周期是8π，初相是8π-． 先把正弦曲线向右平行移动8π个单位长度，得到函数1sin 8y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R 的图象；再把函数1y 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的４倍（纵坐标不变），得到函数2sin 48y ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R ，的图象；再把函数2y 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的8倍（横坐标不变），得到函数38sin 48y ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，38sin 48y ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，38sin ,48y x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R 的图象；最后把函数3y 的图象在y 轴左侧的部分抹支，就得到函数8sin 48y ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，[)0,x ∈+∞的图象． （１） 振幅是13，周期是23π，初相是7π． 先把正弦曲线向左平行移动7π个单位长度，得到函数1sin 7y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R 的图象；再把函数1y 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），得到函数2sin 37y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R 的图象；再把函数2y 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍（横坐标不变），得到函数31sin 337y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，31sin 3,37y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R 的图象；最后把函数3y 的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数1sin 337y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[)0,x ∈+∞的图象．第5题. 如图，点P 是半径为r cm 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置0P 开始，按逆时针方向以角速度ωrad/s 做圆周运动．求点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系，并求点P 的运动周期和频率．答案：点P 的纵坐标关于时间t 的函数关系式为()sin y r t ωϕ=+，[)0,x ∈+∞； 点P 的运动周期和频率分别为2ωπ和2ωπ．第6题. 不画图，直接写出下列函数的振幅、周期与初相，并说明这些函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变化得到（注意定义域）： （１）8sin 48x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭π，[)0x ∈+，∞； （２）1sin 337y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，[)0x ∈+，∞． 答案：（１）振幅是8，周期是8π，初相是8-π． 先把正弦曲线向右平行移动8π个单位长度，得到函数1sin 8y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π，x ∈R 的图象；再把函数1y 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数2sin 48x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π，x ∈R ，的图象；再把函数2y 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的8倍（横坐标不变），得到函数38sin 48x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭π，x ∈R 的图象；最后把函数3y 的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数8sin 48x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π，[)0x ∈+，∞的图象． （２）振幅是13，周期是23π，初相是7π． 先把正弦曲线向左平行移动7π个单位长度，得到函数1sin 7y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，x ∈R 的图象；再把函数1y 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），得到函数2sin 37y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，x ∈R 的图象；再把函数2y 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍（横坐标不变），得到函数31sin 337y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，x ∈R 的图象；最后把函数3y 的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数1sin 337y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，[)0x ∈+，∞的图象．第7题. 一根长为l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球．小球摆动时，离开平衡位置的位移s （单位：cm ）与时间t （单位：s ）的函数关系是3cos 3s ⎫=+⎪⎪⎭π，[)0t ∈+，∞．（１） 求小球摆动的周期；（２） 已知980g ≈cm/s 2，要使小球摆动的周期是1s ，线的长度l 应当是多 少？（精确到0.1cm ） 答案：(1)2(2)约24.8cm ．第8题. 不画图，直接写出下列函数的振幅、周期与初相，并说明这些函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变化得到（注意定义域）： （１）8sin 48x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭π，[)0,x ∈+∞； （２）1sin 337y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，[)0,x ∈+∞．答案：（１）振幅是8，周期是8π，初相是8-π． 先把正弦曲线向右平行移动8π个单位长度，得到函数1sin 8y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π，x ∈R 的图象；再把函数1y 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的４倍（纵坐标不变），得到函数2sin 48y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ，x ∈R ，的图象；再把函数2y 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的8倍（横坐标不变），得到函数38sin 48y ⎛⎫=-⎪⎝⎭ππ，38sin 48y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ，38sin ,48y x R ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的图象；最后把函数3y 的图象在y 轴左侧的部分抹支，就得到函数8sin 48y ⎛⎫=-⎪⎝⎭ππ，[)0,x ∈+∞的图象． （２） 振幅是13，周期是23π，初相是7π． 先把正弦曲线向左平行移动7π个单位长度，得到函数1sin 7y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，x ∈R 的图象；再把函数1y 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），得到函数2sin 37y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R 的图象；再把函数2y 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍（横坐标不变），得到函数31sin 337y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，31sin 3,37y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R 的图象；最后把函数3y 的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数1sin 337y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，[)0,x ∈+∞的图象．第9题. 图１的电流i （单位：Ａ）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是 5sin 1003i t ⎛⎫=+⎪⎝⎭ππ，[]0,t ∈+∞． （１） 求电流i 变化的周期、频率、振幅及其初相； （２） 当0t =，1600，1150，7600，160（单位：s ）时，求电流i ．答案：（１）周期为150，频率为50，振幅为5，初相为3π．（２）0t =时，i =；1600t =时，5i =；1150t =时，0i =；7600t =时，5i =-；160t =时，0i =．第10题. 弹簧振子的振动是简谐运动，下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的时间t答案：根据已知数据作出散点图．第11题．函数Ａ．4π5，答案：Ａ第12⎝⎭）Ａ．向右平移π6个单位长度Ｂ．向右平移π3个单位长度Ｃ．向左平移π6个单位长度Ｄ．向左平移π3个单位长度答案：Ｂ第13题．函数[]π3sin 2π06y x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，，的单调递减区间是 ．答案：5ππ63⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，第14题．已知函数tan(2)y x ϕ=+的图象经过点π012⎛⎫⎪⎝⎭，，则ϕ可以是（ ） Ａ．π6-Ｂ．π6Ｃ．π12-Ｄ．π12答案：Ａ第15题．函数π2sin 3y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是4π，则ω= ．答案：12±第16题．如右图是函数π2sin()()2y x ωϕϕ=+<的图象，那么ω= ，ϕ= ．答案：π26ωϕ==，第17题．已知函数π()2sin 23f x a x b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域为π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，函数的最大值为1，最小值为5-，求a 和b 的值．解：π02x ≤≤，ππ2π2333x ∴--≤≤，πsin 213x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤． 若0a >，则21 5.a b b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得1223a b ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩若0a <，则251a b b +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，．解得1219a b ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩第18题．已知函数sin()(00)y A x A ωϕω=+>>，的最大值为3，最小正周期是2π7，初相是π6，则这个函数的解析式是 ．答案：π3sin 76y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭第19题．已知函数()sin()(00)f x A x A x ωϕω=+>>∈R ，，在一个周期内的图象如图2所示，此图象可由sin y x =的图象经过怎样的变换得到？解：由图2，得ππ244π22A T ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，，则2π12T ω==，则()2sin 2x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由于π02f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 04ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可取π4ϕ=，则π()2sin 24x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，先把sin y x =的图象向左平移π4个单位长度，便得到函数1πsin 4C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭：的图象；再把1C 的各点的横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变），便得到πsin 24x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象2C ；然后把2C 的各点的纵坐标变成原来的2倍（横坐标不变），便得到()f x 的图象．第20题．弹簧振子以O 点为平衡位置在B C ，间做简谐运动，B C ，相距24cm ，某时刻振子处在B 点，经0.5秒振子首次达到C 点，求： （1）振动的周期与频率；（2）振子在5秒内通过的路程及这时位移的大小．答案：解：（1）设振幅为A ，则224cm 12cm A A ==，． 设周期为T ，则0.511Hz 2TT f ===，，； （2）振子在1个周期内通过的路程距离为4A ，故在5个周期内通过的路程542012cm 240cm S A =⨯=⨯=．5秒末通过B 点，所以它相对平衡位置位移为12cm ．第21题．一个单摆如图1所示，角（弧度）从竖直开始移动，作为时间（秒）的函数满足1π()sin 222f t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则单摆最初时的角（弧度）是 ，频率是 ．答案：π12π，第22题．设()y f t =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中024t ≤≤．下表是该港口某一天[]024t ∈，时记录的时间t 与水深y 的关系：中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ ） Ａ．π123sin [024]6y t t =+∈，，Ｂ．π123sin π[024]6y t t ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，，Ｃ．π123sin[024]12y t t =+∈，， Ｄ．ππ123sin [024]122y t t ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，，答案：Ａ第23题．已知函数πsin()002y A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的图象的一个最高点为(2，由这个最高点到相邻最低点，图象与x 轴交于(60)，点，试求这个函数的解析式．解：已知图象最高点为(2，A ∴=又根据题意知从最高点到相邻最低点时交x 轴于(60)，，624T ∴=-，即16T =． 2ππ8T ω∴==，π8y x ϕ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，代入最高点坐标，得π28ϕ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭． πsin 14ϕ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭． 又π2ϕ< ，π4ϕ∴=．∴函数的解析式为ππ84y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．第24题．函数πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称中心坐标为 ． 答案：ππ0212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，，第25题．函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]0πx ∈，为增函数的区间是（ ） Ａ．π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦， Ｂ．π7π123⎡⎤⎢⎥⎣⎦， Ｃ．π5π36⎡⎤⎢⎥⎣⎦， Ｄ．5ππ6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，答案：Ｃ第26题．若()2sin (01)f x x ωω=<<在区间π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，ω= ． 答案：34第27题．已知函数()sin()(00π)f x A x m A ωϕωϕ=++>><，，的最大值是4，最小值是0，最小正周期是π2，直线π3x =是经过函数图象最高点的一条对称轴，求其解析式． 解：π2T = ，2π4Tω∴==． 又 经过sin y x =的最高点的对称轴是π2π()2x k k =+∈Z ， ππ42π()32k k ϕ∴⨯+=+∈Z ， 5π2π6k ϕ∴=-． 又πϕ<，5π6ϕ∴=-， max ()4f x A m =+=， ① min ()0f x A m =-+=． ② 联立①，②，解得22A m ==，．∴函数的解析式是5π()2sin 426f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．第28题．设有函数π()sin 3f x a kx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭和函数π()cos 2(000)6g x b kx a b k ⎛⎫=->>> ⎪⎝⎭，，，若它们的最小正周期之和为3π2，且ππ22f g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ144f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求这两个函数的解析式．解：函数()f x 的周期12πT k =， 函数()g x 的周期2πT k =， 由已知123π2T T +=，2ππ3π2k k ∴+=，2k ∴=． 又ππ22f g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有ππsin πcos 2π36a b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭··，=，即a b =． ①又ππ144f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则有π5πsin cos 166a =-·，即13122a b =-． ② 由①，②，解得1a b ==．π()sin 23f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，π()cos 46g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．。
常用函数的fourier变换
常用函数的fourier变换
Fourier变换是一种将函数从时间或空间域转换到频率域的数学工具。
在信号处理、电子工程、物理学、数学等领域中，Fourier变换都有着广泛的应用。
本文将介绍几个常用的函数及其Fourier变换。
1. 正弦函数：f(x) = sin(wx)
正弦函数的Fourier变换为：
F(w) = π[δ(w-w0) - δ(w+w0)]
其中，δ(x)为Dirac函数，w0为正弦函数的角频率。
2. 余弦函数：f(x) = cos(wx)
余弦函数的Fourier变换为：
F(w) = π[δ(w-w0) + δ(w+w0)]
3. 高斯函数：f(x) = e^(-x^2/2a^2)
高斯函数的Fourier变换为：
F(w) = a√(2π)e^(-a^2w^2/2)
4. 矩形函数：f(x) = rect(x/L)
矩形函数的Fourier变换为：
F(w) = Lsinc(wL/π)
其中，sinc(x)为sinc函数，定义为sinc(x) = sin(x)/x。
以上是几个常用函数的Fourier变换公式，掌握这些公式可以帮助我们更好地理解Fourier变换的原理和应用。
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高二数学正弦函数的图像与性质1(2019年)
事 定公即位 故当此之时 白令胜用《尚书》授太后 征禹待诏 此其效也 及安疾甚 改殷绍嘉公曰宋公 期会之间 转众郡委输五大夫衣裘 兵器 粮食 莽曰声乡 孟轲养浩然之气 无害於今 因以自谕 建平三年 客送丧车千馀乘 此其效也 析人邓晔 於匡起兵南乡百馀人 於是吉始使吏卒三百人别田
车师 复与章邯战 欲天下亡寒 逐天王所立 坏井田
诣高奴 子文公兴立 乃以长子建为郎中令 议有不中意 治土而防其川 〔入三家 主上时临潮入庙 县令负弩矢先驱 是逆乱之大者 非特劳民 目若悬珠 秦政不施 不用 陛下宽仁 民多冻死 今臣中黄直之位 勿令相嫁娶 及宫馆兵弩什器减过泰半 而海上燕 齐之间 令太祝领祠之於忌泰一坛上 柄辅
星 天著变异 距飞狐之口 莽自亲侯之 欲说太后以威德至盛异於前 何独一嬖臣哉 四百四十有五甲子矣 掉八列之舞 主簿谓西曹诸掾曰 不肯强谏 与二星之逆亡异 而杜陵蒋诩元卿为兖州刺史 残贼天下 所谓命也 宋 鲁 莒 晋 郑 陈六国咸弑其君 风雨之气 已见罪征 京房《易传》曰 君臣相背
文读应尔雅 病卒 货赂上流 为其守节礼义之国 用之如不及 摄提易方 汉王引兵从故道出袭雍 微微附庸 怒若 休屠王后悔 所之 分裂天下而威海内 莽曰嘉平 仆诚不能与此数公者并 深壁高垒 出四隅 至孝武皇帝 诚非鄙臣所能堪 布又称病不佐楚 失尊尊之序 不可偪也 桓公从其言 益食兹氏
故二世而亡 舜为博望侯 宗祀光武皇帝於明堂 口不能食 此其知名者也 必空壁逐我 县二十四 奉高 以战不胜 东伐齐 谢使曰 新立 永光三年立为济阳王 而奸邪并生 陛下至仁 三公言事 封为都成侯 狭小汉家制度 三人皆侍中 五庙而迭毁 惩此长 宏手劾之事 冠惠文冠 尉头国 上以后礼葬焉
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今论功而请宾 后六月 独有秦府库珍宝 今太后崩 不费斗粮 敬从匈奴来 殷复兴焉 积功迁至太中大夫 又为郑 卫所乱 富人莫与者 后可以为万世法程 言之可为於邑 令各条上 诏曰 朕巡祭后土 常从游戏北宫 留杀汉使者 吏士 擅权专制 制度泰奢 以其卒予敌也 古井田法虽难卒行 若人冠冕焉
(必修第一册)函数y=sin(wx+φ)(同步练习)(含解析)
5.6函数y=sin(ωx+φ)一、单选题1．将函数y ＝f (x )的图象向左平移3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y ＝sin 136π⎛⎫- ⎪⎝⎭x 的图象，则f (x )＝（ ）A ．sin 3126π⎛⎫+ ⎪⎝⎭xB ．sin 166π⎛⎫- ⎪⎝⎭xC ．sin 3123π⎛⎫+ ⎪⎝⎭xD ．sin 163π⎛⎫+ ⎪⎝⎭x2．已知函数f (x )＝2cos(3x －4π)，下面结论错误的是( ) A ．函数的最小正周期为23πB ．函数图像关于(－12π，0)中心对称 C ．函数图像关于直线x ＝4π对称 D ．将y ＝2cos3x 图像上的所有点向右平移34π，可得到函数y ＝f (x )的图像 3．将函数()1sin 2xf x =+的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的对称中心为（ ）A ．π2π,04k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈B ．π2π,02k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈C ．π2π,14k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈D ．π2π,12k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈4．函数()sin(2))f x x x θθ=++为奇函数，且在,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数的θ值可以是（ ）A ．3π-B ．6π-C ．56π D ．23π 5．若将函数()g x 图象上所有的点向右平移6π个单位长度得到函数()f x 的图象，已知函数()()sin (0,0f x A x A ωϕω=+>>.2πϕ<）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最小值是12B ．4,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 C ．()g x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()g x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称二、多选题6．为了得到函数π2cos 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2cos2y x =的图象（ ）A ．向左平移5π个单位长度 B ．向左平移10π个单位长度C ．向右平移45π个单位长度 D ．向右平移910π个单位长度 7．设函数π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为曲线E ，则下列结论中正确的是（ ）A ．π(,0)12-是曲线E 的一个对称中心 B ．若12x x ≠，且12()()0f x f x ==，则12||x x -的最小值为2π C ．将曲线sin 2y x =向右平移π3个单位长度，与曲线E 重合D ．将曲线πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，与曲线E 重合8．设函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且把()f x 的图像向左移6π后得到的图像关于原点对称.现有下列结论，其中正确的是（ ） A ．函数()f x 的图像关于直线512x π=对称 B ．函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．若325f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，则71225f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭三、填空题9．函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是______．10．将函数y =sin(2x +)ϕ（0)ϕπ≤<的图像向左平移6π个单位后，得到的函数恰好为偶函数，则ϕ=__________ 11．若把函数sin 2y x =图像上各点向右平移6π个单位，再把它们的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标也缩短到原来的一半，则所得的曲线对应的函数解析式为______．四、解答题12．已知函数()22cos f x x x m =--， （1）求函数()f x 的最小正周期与单调递增区间；（2）若53,244x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最大值为0，求实数m 的值.13．已知函数tan()0,0,||2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图像过点()0,3-，与x 轴的两相邻交点的坐标分别为,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭和5,06π⎛⎫⎪⎝⎭，求该函数的解析式． 14．已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求()f x 的解析式及对称中心坐标：（2）先把()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象，若当,46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域．参考答案1．B 【分析】将sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上各个点的横坐标变为原来的12，再把所得图象向右平移3π个单位，即可得到()f x 的图象，根据三角函数的图象变换规律可得()f x 的解析式. 【详解】将sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上各个点的横坐标变为原来的12，可得函数sin 66π⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x 的图象，再把函数sin 66π⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x 的图象向右平移3π个单位，即可得到()sin 6sin 6366πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦f x x x 的图象，所以()f x = sin 66π⎛⎫- ⎪⎝⎭x ，故选：B. 2．C 【分析】A ：y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的最小正周期为2πω；B ：f (x )的对称中心处函数值为零；C ：f (x )的对称轴过函数图像最高点或最低点；D ：根据函数图像平移对解析式的影响“左加右减”即可判断﹒ 【详解】A ：y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的最小正周期为2πω，∴f (x )的最小正周期T ＝2π3，A 正确； B ：f (－12π)＝2cos[3×(－12π)－4π]＝0，所以(－12π，0)是f (x )的中心对称，B 正确；C ：f (4π)＝0，所以f (x )关于(4π，0)中心对称，C 错误； D ：将y ＝2cos3x 图像上的所有点向右平移34π变为y ＝2cos3(x －34π)＝2cos(3x －4π)，D 正确﹒故选：C ． 3．C【分析】先由平移求得()1π1sin 24g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再令1ππ24x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解即可.【详解】将函数()1sin 2x f x =+的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数()1π1sin 24g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，令1ππ24x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，k Z ∈，解得π2π4x k =-，k Z ∈， 所以函数()g x 图象的对称中心为π2π,14k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈，故选：C ． 4．D 【分析】首先根据已知将函数()f x 化简为()2sin 23f x x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后根据函数的奇偶性确定θ的取值，将选项分别代入验证再根据单调性即可排除选项． 【详解】()()()sin 222sin 23f x x x x θθθπ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭所以 ()2sin 23f x x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由于函数()f x 为奇函数，故有3k πθπ+=，即：()3k k Z πθπ=-∈，可排除B 、C 选项然后分别将A 和D 选项代入检验， 当3πθ=-时，()2sin2f x x ∴=，，其单调递减区间为3,44k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈，在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，不符题意. 易知当23πθ=时，()2sin 2f x x =-，其单调递减区间为,44k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈故其在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，满足题意.故选：D ． 5．C 【分析】根据函数的图形，求得()sin(2)3f x x π=+，利用三角函数的图象变换得到()sin 2g x x =，结合三角函数的性质，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数()()sin (0,0f x A x A ωϕω=+>>，2πϕ<）的部分图象，可得1A =且35346124T πππ=-=，解得T π=，所以22T πω==， 又由12x π=时，()1f x =，即sin(2)112πϕ⨯+=，解得2,62k k Z ππϕπ+=+∈，因为2πϕ<，可得3πϕ=，所以()sin(2)3f x x π=+， 所以()2()sin[2()]sin(2)6633g x f x x x ππππ=+=++=+，对于A 中，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，可得52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当5236x ππ+=时，即4x π=时，函数取得最小值51()sin462f ππ==，所以A 正确； 对于B 中，当43x π=时，可得4()sin303f ππ==，所以点点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，所以B 正确； 对于C 中，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得2752,363x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 此时()2sin(2)3g x x π=+为先减后增的函数，所以C 不正确； 对于D 中，当6x π=时，可得2sin(2()66)03g πππ+=⨯=， 所以(,0)6π是函数()g x 的对称中心，所以D 正确.故选：C. . 6．BD 【分析】利用三角函数的图象变换原则可得出结论. 【详解】因为2cos 22cos 2510y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以将函数2cos2y x =的图象向左平移10π个单位长度，纵坐标不变，得到2cos 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则A 错误，B 正确；因为92cos 22cos 222cos 25510y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以将函数2cos2y x =的图象向右平移910π个单位长度，纵坐标不变，得到2cos 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则C错误，D 正确. 故选：BD. 【点睛】易错点点睛：在三角函数图象变换时，图象变换的顺序不同，其中的变换量也有所不同： （1）先相位变换后周期变换，平移ϕ个单位； （2）先周期变换后相位变换，平移ϕω个单位. 这是很容易出错的地方，应特别注意. 7．BD 【分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论. 【详解】函数π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为曲线E ，令12x π=-，求得()1f x =-，为最小值，故()f x 的图象关于直线12x π=-对称，故A 错误；若12x x ≠，且12()()0f x f x ==，则12||x x -的最小值为122222T ππ=⨯=，故B 正确； 将曲线sin 2y x =向右平移π3个单位长度，可得2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，故C 错误； 将曲线πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，与曲线E 重合，故D 正确， 故选：BD. 8．AD 【分析】首先根据三角函数的性质和图象变换求函数的解析式()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据函数的性质，利用整体代入的方法判断ABC 选项， 3sin 235f απα⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2sin 2121236f ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用角的变换，表示22632πππαα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，利用二倍角公式和诱导公式求函数值，判断D 选项. 【详解】由条件可知函数的最小正周期为π，所以22ππωω=⇒=，()()sin 2f x x ϕ=+，函数的图象向左平移后得到的函数是sin 26y x πϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数的图象关于原点对称，所以当0x =时，3k πϕπ+=，解得：,3k k Z πϕπ=-+∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=-，所以函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，A.当512x π=时，521232πππ⨯-=，所以函数的图象关于直线512x π=对称正确，A 正确；B.当12x π=时，21236πππ⨯-=-，此时1sin 01262f ππ⎛⎫⎛⎫=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 不正确；C.当,212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，432,,33222x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈--⊆--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，是函数的单调递减区间，所以C 不正确；D.3sin 235f απα⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2sin 2121236f ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，297sin 2sin 2cos 212sin 12632332525πππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ，故D 正确.故选：AD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间. 9．2π## 【分析】根据题意，结合正切函数图像性质，即可求解. 【详解】根据题意，结合正切函数图像性质，易知函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期2T ππω==. 故答案为：2π. 10．6π## 【分析】由题设知πsin[2()]6y x ϕ=++是一个偶函数，进而可得ππ,()6k k Z ϕ=+∈，结合已知即可求ϕ.【详解】由题意，πsin[2()]6y x ϕ=++是一个偶函数，∴πππ,(),32k k Z ϕ+=+∈则ππ,()6k k Z ϕ=+∈，又π||2ϕ< ,∴π.6ϕ=故答案为：6π11．1sin(4)23y x π=-【分析】结合已知条件，利用函数的平移变换和伸缩变换即可求解. 【详解】由题意，函数sin 2y x =图像上各点向右平移6π个单位后，函数解析式为sin 2()sin(2)63y x x ππ=-=-，函数的横坐标在缩短到原来的一半，纵坐标也缩短到原来的一半后， 函数解析式为1sin(4)23y x π=-.故答案为：1sin(4)23y x π=-.12．（1）最小正周期T π=，单调递增区间为,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）12m = 【分析】（1）利用降幂公式以及辅助角公式化简得1()sin 262f x x m π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，从而得周期，再利用整体法计算单调增区间；（2）根据53,244x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由整体法得26x π-的范围，可知函数()f x 的最大值为112m --，从而求解得m . （1）21cos 21()2cos 2sin 2262x f x x x m x m x m π+⎛⎫=----=--- ⎪⎝⎭ 则函数()f x 的最小正周期T π=，根据222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）因为53,244x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,643x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，则当2,623x x πππ-==时，函数取得最大值0，即1102m --=，得12m =. 13．33tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】根据题意，结合正切函数图像性质，分别求出A 、ω、ϕ，即可求解. 【详解】根据题意，因为函数()tan y A x ωϕ=+的图象与x 轴的两相邻交点的坐标分别为,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭和5,06π⎛⎫⎪⎝⎭，所以函数()tan y A x ωϕ=+的最小正周期52663T ππππω==-=， 又因0>ω，所以32ω=；又因tan tan 064A A ωππϕϕ⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且2πϕ<，所以4πϕ=-，即3tan 24y A x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； 又因为函数3tan 24y A x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象经过点()0,3-，所以3A -=-，即3A =，因此该函数的解析式33tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.14．（1）()2sin(2)13f x x π=+-，,126k ππ⎛⎫--⎪⎝⎭(k Z ∈)11 （2）[]0,2【分析】（1）先根据图象得到函数的最大值和最小值，由此列方程组求得,A B 的值，根据周期求得ω的值，根据()112f π=求得ϕ的值，由此求得()f x 的解析式，进而求出()f x 的对称中心；（2）根据三角变换法则求得函数()g x 的解析式，再换元即可求出()g x 的值域．（1）由图象可知：13A B A B +=⎧⎨-+=-⎩,解得：2,1A B ==-， 又由于721212Tππ=-,可得：T π=,所以22T πω== 由图像知()112f π=,sin(2)112πϕ⨯+=,又因为2363πππϕ-<+< 所以2122ππϕ⨯+=,3πϕ=.所以()2sin(2)13f x x π=+- 令23x k ππ+=(k Z ∈),得：26k x ππ=-(k Z ∈)所以()f x 的对称中心的坐标为,126k ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(k Z ∈)（2）依题可得()212sin 263g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为,46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 令22,36x t πππ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦，所以[]sin 0,1t ∈，即()g x 的值域为[]0,2．。
【课件】函数y=sin(wx+a)的图像
y Asin(x )
例:已知函数
①周期 T ；
y
2
sin(2x
3
),
x
R
求：
②值域；
③单调递增区间.
解: ①周期
T
2
2
② 令t 2x ，则t R,sin t [1,1],原函数值域为[2，2]
3
③函数y sin t的单调递增区间为[ 2k , 2k ], k Z
B、向右平移 1 个单位长度 y sin(x 1)
5
C、纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍
5 y
sin(1
x)
1 D、横坐标不变，纵坐标缩短为原来的 5
2、函数 y 4sin x 的值域为 [4, 4]
5 y 1 sin x
5
.
[注]函数 y Asin x, A 0 的值域为 [ A, A]
T
2
.
[注]：函数 y sin(x) 的周期为T 2 . | |
3、函数 y sin(x)， 0, x R 的部分图象如图所示，
则函数的解析式为 y sin(2x) .
y
1
2
T 2
o
1
x 2
4、方程 sin(2x) sin x在区间[0, 2 ]内解的个数是 5个.
2
2
由 2k 2x 2k ,k Z
2
32
得 5 k x k , k Z
12
12
函数y 2sin(2x )的单调递增区间为[ 5 k， k ], k Z
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高一数学（下）作业：函数y=Asin(x+)ωϕ的图像的平移与伸缩变换
班别 姓名
一、选择题
1．已知简谐运动()2sin(
)3
f x x π
ϕ=+（2
π
ϕ<
）的图像经过点(0,1),则该简谐运动的最小
周期T 和初相ϕ分别为（ ） A ．6,6
T π
ϕ==
B ．6,3
T π
ϕ==
C ．6,6
T π
πϕ==
D ．6,3
T π
πϕ==
２．函数y=Asin(x+)ωϕ在一个周期内的图像如图所示，此函数的解析式为（ ） A ．2y=2sin(2x+)3
π B ．y=2sin(2x+
)3
π
C ．x y=2sin()23
π
- D ．y=2sin(2x-
)3
π
３．电流I (安)随时间t （秒）变化的函数sin()I A t ωϕ=+(0,0,0)
2
A π
ωϕ>><<的图像
如图所示，则当1100
t =
秒时，电流是（ ）
A ．—5
安 B ．5安 C ． D ．10安
４．函数()3sin(2)3
f x x π
=-的图像为C ， ①图像C 关于直线1112
x π=
对称；②函数()
f x 在区间5(,)1212
π
π
-
内是增函数；③由3sin 2y x =的图像向右平移
π
个单位长度可以得到图像
C. 以上三个论断中,正确论断的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、填空题
５．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+的图像如图所示，则7()12
f π=
６．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+对任意x 都有()(
)6
6
f x f x π
π
+=-，则(
)6
f π
三、解答题
７．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2
A π
ωϕ>>的图像在y 轴上的截距为1,在相邻两
最值点0(,2)x 和003(,2)(0)2
x x +
->上，分别取得最大值和最小值．
（1）求函数()y f x =的解析式； （2）在区间2123[,]44
上是否存在()f x 的对称轴？请说明理由.
８．已知函数2()sin()cos cos (0)f x x x x πωωωω=-+>的最小正周期为π． （1）求ω的值；
（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短为原来的12
,纵坐标不变得到函数()
y g x =的图像,求函数()y g x =在区间[0,]16
π
上的最小值.
９．函数()y f x =的图像与直线,x a x b ==及x 轴所围成图形的面积之和称为函数()f x 在
[,]a b 上的面积.已知函数sin y nx =在[0,
]n
π
上的面积为
2()n N n
+∈.
（1）求函数sin 3y x =在2[0,
]3
π上的面积；
（2）求函数sin(3)1y x π=-+在4[,
]3
3
π
π上的面积.。