二次函数补充及复习课
二次函数复习课教学设计
《二次函数复习课》教学设计《二次函数复习课》教学设计教学目标1.能熟练通过二次函数表达式，求出二次函数图像的顶点坐标、开口方向、对称轴。
2.能根据二次函数图像，判断a、b、c的符号及△的符号。
3.在教学中渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦。
重点难点已知二次函数的解析式，说出函数性质。
设计思路：不把复习课简单地看作知识点的复习和习题的训练，而是通过复习，拓展学生思维，提高学生学习能力，增强学生分析问题，解决问题的能力。
教学过程：根据教材的结构特点，紧紧抓住新旧知识的内在联系，运用类比、联想、转化的思想，突破难点。
（一）、出示《2013年陕西省中考说明》中关于二次函数的考试要求,让学生明确考点,学习有的放矢,我通过课标要求和中考说明将二次函数具体分为七个知识点,本课主要讲三个知识点：1、二次函数的定义,2、二次函数的图像及性质,3、a，b，c及相关符号的确定.在回顾二次函数定义和要点后进行两道随堂练习。
练习：1、y=2x²-2/x，y=100-5 x²，y=sx+4，教学目标1.能熟练通过二次函数表达式，求出二次函数图像的顶点坐标、开口方向、对称轴。
2.能根据二次函数图像，判断a、b、c的符号及△的符号。
3.在教学中渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦。
重点难点已知二次函数的解析式，说出函数性质。
设计思路：不把复习课简单地看作知识点的复习和习题的训练，而是通过复习，拓展学生思维，提高学生学习能力，增强学生分析问题，解决问题的能力。
教学过程：根据教材的结构特点，紧紧抓住新旧知识的内在联系，运用类比、联想、转化的思想，突破难点。
（一）、出示《2013年陕西省中考说明》中关于二次函数的考试要求,让学生明确考点,学习有的放矢,我通过课标要求和中考说明将二次函数具体分为七个知识点,本课主要讲三个知识点：1、二次函数的定义,2、二次函数的图像及性质,3、a，b，c及相关符号的确定.在回顾二次函数定义和要点后进行两道随堂练习。
二次函数(复习课)课件
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
01
02
03
04
05
06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
《二次函数》的复习教学设计
《二次函数》的复习教学设计复习教学设计：二次函数一、教学目标：1.理解二次函数的定义及其特点；2.掌握二次函数的图像、顶点、轴、对称轴等性质；3.能够根据二次函数的特点解决实际问题。
二、教学内容：1.二次函数的定义和基本形式；2.二次函数的图像和性质；3.二次函数的最值、零点及其应用。
三、教学步骤：步骤一：导入新知1.导入教学话题：“二次函数”，以回顾前几节课所学内容，引发学生对二次函数的认识和兴趣。
2.提问：“你能简单回忆一下二次函数是什么吗？”让学生简单复述二次函数的定义。
步骤二：概念及定义讲解1. 讲解二次函数的定义和基本形式，即f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为实数。
2.引导学生理解a、b和c对二次函数图像的影响，如a决定了抛物线的开口方向和宽度，b决定了抛物线的位置偏移，c决定了抛物线与y轴的交点位置。
步骤三：图像及性质讲解1.讲解二次函数图像的性质，包括图像的开口方向、顶点、对称轴等。
2.通过示例分析，引导学生找出二次函数的顶点、对称轴及其它特征，让学生能够根据函数表达式确定图像的形状。
步骤四：实例分析及概念巩固1.给出一些具体的函数表达式，引导学生根据图像的特征进行分析，并求出对应的顶点、对称轴、开口方向等。
2.提问：“当a为正数时，抛物线的开口方向是向上还是向下？当a为负数时又怎样？”让学生总结出结论。
3.给出一些特殊情况的函数表达式，让学生分析并给出对应的图像和性质。
步骤五：最值、零点及应用讲解1.讲解二次函数的最值和零点，包括二次函数最值的判断和求解，以及二次函数零点的判断和求解。
2.引导学生通过实例分析，掌握解二次函数实际问题的方法和步骤。
3.给出一些实际问题，让学生通过建立等式或不等式解决，加深对二次函数的运用和理解。
步骤六：巩固练习1.布置相应的练习题，让学生通过计算和绘图巩固所学内容。
2.引导学生将练习题的解答和图像进行对比，分析解题方法和图像的关系。
二次函数复习课
与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （5）a+b+c的符号：
由x=1时抛物线上的点的位置确定 （6）a-b+c的符号：
由x=-1时抛物线上的点的位置确定
一．选择题 1．二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ A ）
B（9，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（ ） A
A ﹣1≤x≤9
B ﹣1≤x＜9
C ﹣1＜x≤9
D x≤﹣1或x≥9
❖ 10、如图，抛物线 y x2 bx c ， 与轴交于两点A(1,0) B(3,0)
❖ （1）求该抛物线的解析式； ❖ （2）设（1）中的抛物线上有一个点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置
没有哪门学科能比数学更为清晰地阐 明自然界的和谐性
——卡罗斯 数学是科学的皇后
——高 斯
生活无处不数学
1.二次函数的定义
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常 数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的 整式
（2）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项 和常数项，但不能没有二次项.
A. y=（x﹣2）2 B．y=（x﹣2）2+6 C.y=x2+6
D．y=x2
8.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0 的解集是
（ D）
二次函数(高三复习课)
二次函数（高三复习）【考纲解读】1. 理解并掌握二次函数的定义、图象及性质；2. 会求二次函数在闭区间上的最值；3. 运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题。
【命题规律】从近几年的高考试题来看，二次函数图象的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题种关键的一步的形式出现，能力要求一应用为主，考察数形结合思想，多为中等难度试题。
【知识梳理】1.二次函数定义形如()()02≠++=a c bx ax x f 的函数叫做二次函数。
2.二次函数的表示形式（1）一般式：()()02≠++=a c bx ax x f（2）顶点式：()()()02≠+-=a k h x a x f （()k h ,为顶点坐标）（3）两根式：()()()()021≠--=a x x x x a x f （又叫零点式）思考：求函数解析式通常用待定系数法，不同的形式有什么特点？适用范围分别是什么？（小组内互相研究）点评：（1）已知三个点的坐标宜用一般式；（2）已知顶点坐标、对称轴或最大(小)值，宜用顶点式；（3）已知函数图象与x 轴两交点的坐标，宜用两根式。
（题型见后面例1）3.二次函数的图象与性质 ()()02≠++=a c bx ax x f 0>a 0<a图象开口向上的抛物线 开口向下的抛物线 定义域R 值域 ,442⎢⎣⎡-a b ac +∞) (－∞,⎥⎦⎤-a b ac 442 单调性在(-∞，a b 2-）上单调递减，在（a b 2-，+∞）上单调递增在(-∞，a b 2-）上单调递增， 在（a b 2-，+∞）上单调递减 奇偶性当0=b 时为偶函数，0≠b 时为非奇非偶函数 对称性图象关于直线a b x 2-=对称 顶点 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22 c b a ,,的作用 a 决定图象开口方向，a 与b 决定对称轴，c 决定与y 轴的交点，a 、b 、c 共同决定图象的顶点.（此表以小组形式合作完成，各小组一半做0>a 一半做0<a 的情况，之后相互交换检查，推荐两名学生各完成一种情况，最后点评总结）【典例剖析】题型一 求二次函数的解析式例1 已知二次函数的图象过点A （0，1），对称轴为2=x ，最小值为-1，求此函数的解析式。
第22章《二次函数》复习课PPT课件(人教版)
三、课堂练习
N M
N
重视知识归纳； 重视基本概念； 重视典型题型； 重视每日小练； 重视错题整理； 避免盲目大意。
九年级数学
第22章 《二次函数》 复习（2）
定形图 性 义式象 质
坦洲实验中学初三数学
一、知识回顾
归纳知识：
（1）开a口的向符上号：由抛物a线>0的开口y 方向确定
开口向下
（2）c的符号：
a<0
o
x
由抛物线与y轴的交点位置确定.
交点在y轴正半轴
c>0
y
交点在y轴负半轴
c<0
交点是坐标原点
c=0
ox
∴ OE=DE=1.5 即D(1.5,-1.5)
设直线OD为y=kx,代入D点坐标得y= -x
令x2-2x-3 = -x
二、典型例题
证明: b2-4ac=[-(2m-1)]2-4×1×(m2-m-2) =4m2-4m+1-4m2+4m+8 =9
即b2-4ac ＞0 ∴ 抛物线与x轴有两个不同的交点
三、课堂练习
C
一次函数y=ax+b经过的象限与a, b符号关系 A选项，经过一二四象限， a＜0, b＞0 B选项，经过一二三象限，a＞0, b＞0 C选项，经过一三四象限， a＞0, b＜0 D选项，经过一三四象限，a＞0, b＜0
三、课堂练习
·B
A2
6
三、课堂练习
-1·
·5
与x,y轴交点
-5·
二、典型例题
解：令x=0,解得y=m2-m-2 令y=0,得x2-(2m-1) x+m2-m-2=0 [x-(m-2)][x-(m+1)]=0
初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件
面积问题
面积问题
在二次函数中，可以通过求函数与坐标轴的交点来计算图形的面积。例如，当函数与x轴交于两点时 ，可以计算这两点之间的面积；当函数与y轴交于一点时，可以计算这一点与原点之间的面积。这些 方法在解决实际问题时非常有用，例如在计算利润、产量等方面。
求解方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求出二次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后根据这些坐标计算图形的面积。对于更复杂的问题，可能 需要使用积分或其他数学方法来求解。
05
综合练习与提高
基础练习题
巩固基础 覆盖全面 由浅入深
基础练习题主要针对二次函数的基本概念、性质和公 式进行设计，旨在帮助学生巩固基础知识，提高解题的 准确性和速度。
基础练习题应涵盖二次函数的各个方面，包括开口方 向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点等，确保学生 对二次函数有全面的了解。
题目难度应从易到难，逐步引导学生深入理解二次函 数，从简单的计算到复杂的综合题，逐步提高学生的解 题能力。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)ppt课 件
目录 Contents
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像与性质 • 二次函数的实际应用 • 综合练习与提高
01
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义是掌握其性 质和图像的基础。
详细描述
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b, c$是 常数，且$a neq 0$。这个定义表 明二次函数具有两个变量$x$和 $y$，并且$x$的最高次数为2。
03
二次函数的图像与性质
开口方向
总结词：根据二次项系数a的正负判断开口方向 a>0时，开口向上
第四课时二次函数复习课1
四、根据二次函数材
y ax bx c 的图象
2
b 2 , b 4ac , a b c, a b c 判断解析式中字母 a, b, c及代数式 2a
的大小，会根据系数a、b、C的取值画出函数的大致图象。
一、知识点1：定义、图像、性质、最值
1．下列函数中，是二次函数的有 ( （1）（3）（5）) (1)y=3(x-1)² +1 (4)y=(x+3)² - x² (2)
(5) s=10πr²
1 y x x
(3)s=3-2t² (6) y=2²+2x
一般地，形如ｙ=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0） 的函数称为二次函数，其中x是自变量，y是x的函数.
x=0时，y有最小值0 x=0时，y有最大值0
y轴
x=0时，y有最小值C
y轴
直线x=-h
(0,C) (-h,0)
x=0时，y有最大值C x=-h时，y有最小值0 x=-h时，y有最大值0 x=-h时，y有最小值 k x=-h时，y有最大值k
a>0 开口向上 直线x=-h (-h,k) 开口向下 a<0
例题：抛物线y=ax2+bx+c如图1所示，试确定a、b、c、 y b2-4ac的符号： a＞0、 b＜0、c＞0、 o
b2-4ac ＞0. x a ＞ 0 、 b ＞ 0 、 c =0 、 b2-4ac ＞0.
10.二次函数
y ax bx c(a 0)的图象如图4
2
所示，则下列说法不正确的是（ D）
（1）函数
1 2 y x 4
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二次函数复习课1
一、知识回顾
1、 二次函数的一般形式是什么？
应用：1、判断下列函数是否是二次函数？
x y 4= 2)1(2-+=x y 1
212
-+=
x x y 12
-=x y 22)1(x x y -+= x y 322-= )2)(1(-+=x x y
2、若2
2
)2(-+=k x k y 是二次函数，求k
3、若x m x m y m m
)1()1(2
32-++=--
（1）m 为何值时，它是二次函数？
（2）m 为何值时，它是正比例函数？
4、已知点（-5, y 1),(-6, y 2)在抛物线y=7x²上，则y 1 ＿y 2。
5、若点A （x 1,y 1）B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)抛物线y=﹣3
2
x ²上，且x 1＞ x 2＞ x ＞30，则y 1，y 2，y 3的大小关系是＿＿＿＿＿＿＿＿。
6、已知a ＜﹣1，点（a －1, y 1）（a, y 2）（a+1, y 3）都在函数y=6x²的的图像上，则则y 1，y 2，y 3的大小关系是＿＿＿＿＿＿＿＿。
7、下列函数（1）y=x (2) y=-﹣2x (3) y=-﹣x
1
(4) y=x² 当x ＜0时，y 的值随x 的增大而减小的有＿
8在同一坐标系中作出二次函数（1）y=-2
1x² （2）y=-x²（3）y=2x²的图象，其中开口最大的应是＿。
二、平移与旋转
问题：二次函数的表达式有哪些？
应用：1、抛物线342
+-=x x y 如何移动变成2
x y =，反之呢？
若绕其顶点旋转0
180后的抛物线是什么？方法：
练习：1.（ 2010•桂林）将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）．
A ．221216y x x =--+
B ．221216y x x =-+-
C ．221219y x x =-+-
D ．221220y x x =-+-
2.求(2010•兰州市) 抛物线
c bx x y ++=2
图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为
322
--=x x y ，则b 、c 的值为 A . b=2， c=2 B. b=2，c=0
C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2
3.（2010•山东省泰安市）．将121222--=x x y 变为n m x a y +-=2)(的形式，则
n m ⋅=________。
2.抛物线342+-=x x y 关于y 轴对称的抛物线是什么?关于x 轴对称的抛物线是什么 归纳方法：
练习.1422
-+=x x y 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于原点对称
三.：求抛物线的顶点坐标方法：
抛物线3198052
-+-=x x y 的顶点坐标是 抛物线322+-=x x y 的顶点坐标是
练习1、抛物线C x x y +-=42
的顶点在x 轴上，则 C=
归纳方法：①△=0 ②a
b a
c 442-=0 ③ 化成k h x a y +-=2
)(形式 k=0
2抛物线3)1(2++-=x m x y 顶点在y 轴上，则m= 归纳方法：①a
b
2-
=0 ②一次项系数=0 3、抛物线c x x y +--=22顶点在x 轴上方，则 C 取值范围
归纳方法：a
b a
c 442
->0
4、若抛物线)5(23
42
-+=--m x y m m
的顶点在x 轴下方，则m=
2342=--m m
m-5<0
5、抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，则a= ①X 轴上 ②y 轴上
6、抛物线3)1(2---=x y 与y 轴交点是
7、抛物线12+-+-=k x x y 经过原点，则k= 8.已知二次函数3)2(2-+-=m m x y （1）当m 为何值时，顶点在x 轴上？ （2）当m 为何值时，顶点在y 轴上？ （3）当m 为何值时，图像过原点
四、:探索归纳抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）与坐标轴的交点。
提示：其与x 轴交点个数与相应一元二次方程根的判别式有关。
与y 轴交点 呢？ 举例：x x y 22
+= 122
+-=x x y 222
+-=x x y
总结：△>0 有两个交点
△=0 有一个公共点（顶点在x 轴上）
△<0 没有公共点，当a>0，△<0 ,图像在x 轴上方（恒为正）；
当a<0 △<0 图像在x 轴下方（恒为负） 巩固练习1、抛物线32
12
+-=x x y 与x 轴有几个交点？若有，求出来。
2.抛物线232-+-=x x y 呢？若与x 轴交于A,B 与y 轴交于C,求S △ABC,若顶点为D ，求△ABD 关于对称性
3.(2010•新疆建设兵团).抛物线2y x bx c =-++的部分图象如图所示，若0y >，则x 的取值范围是_________.
4.（2010•绥化）．抛物线y ＝x 2－4x ＋m
2
与x 轴的一个交点的坐标为(1，0)，则此抛物线
与x 轴的另一个交点的坐标是_______________．
5.(2010•日照市)．如图，是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x =1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2+bx+c ＜0的解集是 .
(2010•河北省)6．如图5，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ，
B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为 （0，3），则点B 的坐标为D
A ．（2，3）
B ．（3，2）
C ．（3，3）
D ．（4，3）
（第14题图）
O x
y
1
-
1 3
O
x
y
A
图5
x = 2
B。