中山市2010年初三数学竞赛试题参考答案
2010年全国初中数学联合竞赛试题,答案及详解
2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-=（ B ） 1. 由已知可推得011a b b c a c -=⎧⇒-=±⎨-=±⎩ 或 110a b b c a c -=±⎧⇒-=±⎨-=⎩，分别代入即得。
A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为（ C ） 2. 由已知，693)15121512c b b b b ==-=-≤，∴2c ≤. A ．0. B ．1. C ．2. D ．3. 3．若ba ,是两个正数，且,0111=+-+-ab b a 则（ C ）3. 当a b =时，可计算得23a b ==，从而43a b +=。
观察4个选项，只能选CA ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤.4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ A ）4. 由已知：42x ax bx c +++一定能被231x x --整除。
∵4222(31)(310)[(333)(10)]x ax bx c x x x x a a b x a c +++=--+++++++++∴(333)(10)0a b x a c +++++=，故3330213100a b a b c a c ++=⎧⇒+-=-⎨++=⎩A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B ) 5. 如图，由已知，ADE 是正三角形。
2010年全国 初中数学联赛(含答案)
12010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．若a ，b ，c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】 B【解析】 因为()()10101a b a c ---=，而左边的两个加数都是非负整数，所以一个等于0，另一个等于1，也就是说，a ，b ，c 三个数中有两个相等，另一个和它们相差1．因此，所求的和式中，两项等于1，另一项等于2，结果为2．2．若实数a ，b ，c 满足等式3||6a b =，49||6a b c =，则c 可能取的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】 C【解析】 为了使c 尽量大，a 应该尽量大，b 应该尽量小．因为它们都是非负数，3a ，0b =，不难观察到所求答案为2．3．若a ，b 是两个正数，且1110,a b b a--++= 则（ ）2A ．103a b <+≤B ．113a b <+≤C ．413a b <+≤D ．423a b <+≤. 【答案】 C【解析】 去分母之后得到()()110a a b b ab -+-+=，即220a ab b a b ++--=．给定a 和b 是两个正数，那么如果让它们中的一个等于0，则另一个等于0或14．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ）A ．13-B ．9-C ．6D ．0【答案】 A【解析】 这需要使得前者是后者的因式，用综合除法可得，余式为()()33310a b x a c +++++，它应该等于0．所以两个系数都为0，特别地，()()333210a b a c ++-++，所以所求答案为13-．5．在ABC △中，已知60CAB ∠=︒，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且60AED ∠=︒，ED DB CE +=，2CDB CDE ∠=∠,则DCB ∠= ( )A ．15oB ．20oC ．25oD ．30o【答案】 B【解析】 观察可得ADE △为正三角形，6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则312320092010a a a a a +++++=L （ ）A ．28062B ．28065C ．28067D ．28068.【答案】 D【解析】 根据弃九法，它和1到2010的和被9除的余数相等．每连续9个自然数之和被9整除，2010被9除余3，1236++=，所以只有D 符合．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数x ，y 满足方程组33191x y x y ⎧+=⎨+=⎩，，则22x y += ．【答案】 13【解析】 第一式除以第二式可得2219x xy y -+=，第二式平方可得2221x xy y ++=，那么所求答案就是()1921313⨯+÷=．2．二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知3AB ，30CAO ∠=︒，则c = ．【答案】 19【解析】 观察可知A 必须在B 左边，否则B 会跑到x 轴负半轴上．设A 的横坐标为a ，则C 的纵坐标3，23AC =，2AB a =．因此，考虑两根之积，33a a ⨯，3a =319=． 3．在等腰直角ABC △中，5AB BC ==，P 是ABC △内一点，且5PA ，5PC =，则PB = ．4【答案】 10【解析】 设()00B ，，()50A ，，()05C ，，根据熟知的勾三股四弦五，可观察到()31P ，，（另一个点在三角形外，不符合），所以10PB =．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放 个球．【答案】 15【解析】 也就是说，编号之差为6或11的两个球颜色相同．下面从1号球开始，依次写出颜色相同的球的编号：11261711516104159314821371→→→→→→→→→→→→→→→→→也就是说，如果有17个球，则全部同色；如果超过17个，则任何连续17个同色，也不行．如果有16个，则上面的圈去掉17号球仍然是一条链，仍然不行；如果有15个，则上面的圈去掉17号球和16号球后断成两部分，所以可以．第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数()a b c a b c ≥≥，，为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长5不超过30的三角形的个数．【解析】 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令a b m -=，b c n -=，则a c m n -=+，其中m ，n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于m ，n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m ，n 只有两组：31m n =⎧⎨=⎩，，和13.m n =⎧⎨=⎩，⑴ 当3m =，1n =时，1b c =+，34a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤． 因此2533c <≤， 所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.6⑵ 当1m =，3n =时，3b c =+，14a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤． 因此2313c <≤， 所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形．综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611+=．二．（本题满分25分）已知等腰三角形ABC △中，AB AC =，C ∠的平分线与AB 边交于点P ，M 为ABC △的内切圆I e 与BC 边的切点，作MD AC ∥，交I e 于点D ．证明：PD 是I e 的切线．【解析】 过点P 作I e 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N ．因为CP 为ACB ∠的平分线，所以ACP BCP ∠=∠．又因为PA 、PQ 均为I e 的切线，所以APC NPC ∠=∠．IP QNB7又CP 公共，所以ACP NCP △≌△，所以PAC PNC ∠=∠．由NM QN =，BA BC =，所以QNM BAC △≌△，故NMQ ACB ∠=∠，所以MQ AC ∥．又因为MD AC ∥，所以MD 和MQ 为同一条直线．又点Q 、D 均在I e 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是I e 的切线．三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点()1P a ，，()210Q a ，． ⑴ 如果a ，b ，c 都是整数，且8c b a <<，求a ，b ，c 的值．⑵ 设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ．如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求ABC △的面积．【解析】 点()1P a ，、()210Q a ，在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=，解得93b a =-，82c a =-．⑴ 由8c b a <<知8293938a a a a -<-⎧⎨-<⎩，，解得13a <<．又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=．⑵ 设m ，n 是方程的两个整数根，且m n ≤，旗开得胜8由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=．所以9819810m n -=⎧⎨-=⎩，，或982985m n -=⎧⎨-=⎩，，或9810981m n -=-⎧⎨-=-⎩，，或985982m n -=-⎧⎨-=-⎩，，解得12m n =⎧⎨=⎩，，或109139m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，或2979m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，或19323m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，又m ，n 是整数，所以后面三组解舍去，故1m =，2n =．因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+．易求得点A 、B 的坐标为()10，和()20，，点C 的坐标为()02，， 所以ABC △的面积为1(21)212⨯-⨯=．第二试 （B ）旗开得胜9一．（本题满分20分）设整数a ，b ，c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）．【解析】 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令a b m -=，b c n -=，则a c m n -=+，其中m ，n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于m ，n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m ，n 只有两组：31m n =⎧⎨=⎩，，和13.m n =⎧⎨=⎩，⑴ 当3m =，1n =时，1b c =+，34a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤． 因此2533c <≤，旗开得胜10所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.⑵ 当1m =，3n =时，3b c =+，14a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤． 因此2313c <≤， 所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形．综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611+=．二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）11一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数2(1)4y x px k p =+++-的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．【解析】 由题意知，方程2(1)40x px k p +++-=的两根1x ，2x 中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得12x x p +=-，12(1)4x x k p =+-，从而有()()()()12121222241x x x x x x k p ++=+++=- ①⑴ 若1k =，则方程为22(2)0x px p ++-=，它有两个整数根2-和2p -．⑵ 若1k >，则10k ->.因为12x x p +=-为整数，如果1x ，2x 中至少有一个为整数，则1x ，2x 都是整数.又因为p 为质数，由①式知1|2p x +或2|2p x +．不妨设1|2p x +，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m-+=，12故()()12122k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+， 即1(1)4k m p m-++= ② 如果m 为正整数，则(1)(11)36m p ++⨯=≥，10k m->， 从而1(1)6k m p m-++>，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m-<， 从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾. 因此，1k >时，方程2(1)40x px k p +++-=不可能有整数根．综上所述，1k =．旗开得胜13。
中山市中考数学试题及答案(WORD版)zwh.doc
2010年广东省中山市初中毕业生学业考试数 学 试 题说明：1．全卷共6页，考试用时100分钟，满分为120分。
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、试室号、座位号。
用2B 铅笔把对应该号码的标号涂黑。
3．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上。
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
5．考生务必保持答题卡的整洁。
考试结束时，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。
1．－3的相反数是（ ）A ．3B ．31C ．－3D ．31-2．如图，已知∠1 = 70º，如果CD ∥BE ，那么∠B 的度数为（ ）A ．70ºB ．100ºC ．110ºD ．120º3．某学习小组7位同学，为玉树地震灾区捐款，捐款金额分别为5元，10元，6元，6元，7元， 8元，9元，则这组数据的中位数与众数分别为（ ） A ．6，6B ．7，6C ．7，8D ．6，84．左下图为主视方向的几何体，它的俯视图是（ ）5．下列式子运算正确的是（ ） A ．123=- B ．248=C ．331= D ．4321321=-++A ．B ． D ．C ．第4题图第2题图B CEDA 1(二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上。
6． 据中新网上海6月1日电：世博会开园一个月来，客流平稳，累计至当晚19时，参观者已超过8000000 人次。
中山市2010年初三数学竞赛试题参考答案
中山市2010年初三数学竞赛试题参考答案一、选择题1．B 解：由题设得12012101111110a ab bc b c b +++===+++． 2．D 解：因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21202b ab a -++= 21()41(2)2a a ∆--⨯⨯+＝≥0, 解得a≤2-或 a≥4． 3．C 解：如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ，F ．由已知可得，CF＝DF ＝于是 EF ＝4过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得AD ==2+4．B 解：由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭可得 11x =，22x =，33x =，44x =， 51x =，62x =，73x =，84x =，……因为2010=4×502+2，所以2010x =2．5．C 解：由已知可以得到，点1P ，2P 的坐标分别为（2，0），（2，2-）． 记222 )P a b （，，其中222,2a b ==-．根据对称关系，依次可以求得： 322(42)P a b --，－－，422(2)P a b ++，4，522(2)P a b ---，，622(4)P a b +，． 令662(,)P a b ，同样可以求得，点10P 的坐标为（624,a b +），即10P （2242,a b ⨯+）， 由于2010=4⨯502+2，所以点2010P 的坐标为（2010，2-）． 二、填空题6．1解：由已知得 (a ＋1)2＝5，所以a 2＋2a ＝4，于是2a 3＋7a 2－2a －12＝2a 3＋4a 2＋3a 2－2a －11＝3a 2＋6a －11＝17．15解：设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a b c ，，（千米/分），并设货车经x 分钟追上客车，由题意得()10a b S -=， ① ()152a c S -=， ② ()x b c S -=． ③由①②，得30b c S -=（），所以，x=30． 故 3010515t =--=（分）．8． 11133y x =-+解：如图，延长BC 交x 轴于点F ；连接OB ，AF ；连接CE ，DF ，且相交于点N ．由已知得点M （2，3）是OB ，AF 的中点，即点M 为矩形ABFO 的中心，所以直线l 把矩形ABFO 分成面积相等的两部分．又因为点N （5，2）是矩形CDEF 的中心，所以，过点N （5，2）的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分．于是，直线l ．设直线l 的函数表达式为y kx b =+，则2352k b k b =⎧⎨+=⎩+，， 解得 1311.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故所求直线l 的函数表达式为11133y x =-+． 9． 215- 解：见题图，设,FC m AF n ==．因为Rt △AFB ∽Rt △ABC ，所以2AB AF AC =⋅． 又因为 FC ＝DC ＝AB ，所以 2()m n n m =+，即 2()10n n m m +-=，解得n m =，或n m =（舍去）． 又Rt △AFE ∽Rt △CFB ，所以AE AE AF n AD BC FC m ====即AE AD 10．9解：因为1n +为2 3 k ，，，的倍数，所以n 的最小值0n 满足 []012 3 n k += ，，，，其中[]2 3 k ，，，表示2 3 k ，，，的最小公倍数． 由于[][]2 3 88402 3 92520 == ，，，，，，，， [][]2 3 1025202 3 1127720== ，，，，，，，， 因此满足020003000n <<的正整数k 的最小值为9．三、解答题11．解：由2231085100a ab b a b -++-= 可得()()23450a b a b --+=，（6分） 所以 20a b -=，或 3450a b -+=. …………（8分）（i ）当20a b -=时， ()22297223672236134u a b b b b =++=++=+-， 于是1b =-时，u 的最小值为34-，此时2a =-，1b =-. …………（13分）（ii ）当3450a b -+=时，()222972216322716111u a b b b b =++=++=++， 于是1b =-时，u 的最小值为11，此时3a =-，1b =-. …………（18分）综上可知，u 的最小值为34-. …………（20分）12、解：(1)如图，连接OD .因为AD 平分∠BAC ,所以∠1=∠2.又因为OA =OD ,所以∠1=∠3.所以∠2=∠3.所以OD ∥AE .因为DE ⊥AE ,所以DE ⊥OD .而点D 在⊙O 上,所以DE 是⊙O 的切线. …………（7分）(2)如图,连接BE 与OD 交于点H ，作OG ⊥AE 于点G. 则 OG = DE =3， EG = DO =5，所以AG = ，AE = 4+5= 9…………（10分）,因为EA ∥OD ， AO=OB ，所以HO=12AE =92，HD = 5-92=12，故HE = =（20分）13．解：设1x ，2x ，…，008 2x 中有q 个0，r 个-1，s 个1，t 个2. …………（2分） 则220042008r s t r s t -++=⎧⎨++=⎩① …………（5分） 两式相加得31104s t +=.故0368t ≤≤. …………（10分）由33312200886200x x x r s t t ++⋅⋅⋅+=-++=+, …………（12分）得33312200820063682002408x x x ≤++⋅⋅⋅+≤⨯+=.…………（15分）由方程组①知:当0,1104,904t s r ===时,++3231x x …+3008 2x 取最小值200; ……（17分）当368,0,536t s r ===时, ++3231x x …+3008 2x 取最小值2408. …………（20分）14．解：(1)易得14b =，B 1(7121，),…………（3分） 设其解析式为27(1)(0),12y a x a =-+≠由1(,0),A d 得2712(1)a d =--，…………（7分） 于是2277(1)12(1)12y x d =--+-为所求；…………（8分） （或者由12(,0),(2,0)A d A d -为该抛物线与x 轴的两个交点，设其解析式为()(2)(0)y a x d x d a =--+≠，再代入点17(1,)12B ，同样可得） （2）根据对称性易得12345...A A A A A 、、、、的横坐标依次为d,2-d,2+d,4-d,4+d,6-d,…（10分）1223344522,2,22,2...A A d A A d A A d A A d =-==-=，（12分） 要使三角形为直角三角形，则斜边上中线等于斜边的一半，因为0＜d ＜1,斜边长都小于2，所以只要高123,,...y y y 小于1才能构成直角三角形，…………（14分）当>3x 时，所对应的函数值都大于1，可以得到符合要求的顶点为1B 、2B ，………（16分）再求得相应的d 的值为512或1112.…………（20分）。
中山市2010年初中数学竞赛试卷及答案
中山市2010年初中数学竞赛试卷及答案（七年级）（竞赛时间：2010年4月11日上午9:00-11:00）一、选择题（共5小题，每小题5分，共25分. 每道小题有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．有理数a 、b 、c 在数轴上对应的点如图所示，则下面式子中正确的是（ A ）xcoba（A ）<bc ab （B ）<ab bc （C ）>ac ab （D ）>a b b c ++ 2．如果单项式423a b x y --与313a b x y +是同类项，那么这两个单项式的和是 （ D ）（A ）64x y - （B ）32x y - （C ）2283x y （D ）3283x y -3．如图,直线//,a b 点B 在直线b 上,且,155,AB BC ⊥∠= 则2∠的度数为 （ A ） （A ）35（B ）45 （C ）55（D ）1254．平面直角坐标系内，点(,1)A n n -一定不在（ C ）（A ）第一象限 （B ） 第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 5．设a 、b 、c 的平均数为M ，a 、b 的平均数为N ，N 与c 的平均数为P ，若,a b c >>则 （ B ）（A ）M N P << （B ）P M N << （C ）P N M << （D ）M P N << 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）6．多项式2352x x +-与另一多项式的和是224x x -+，那么另一个多项式是2276x x --+．7．定义1a b a b ab+*=-是有理数范围内的一种运算,则111258⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫**=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1 ．8．已知关于x 的方程 9314x kx -=+有整数解，那么满足条件的所有整数k 的值为 -8，8， 10，26 ．9．一条直线上有2010个点122010,,,A A A ⋅⋅⋅，则这条直线上共有线段 2019045 条. 10．由n 个相同的小正方体搭成的几何体的视图如图所示，则n = 5 ．三、解答题（共4小题，共70分）11．（本题满分15分）设()()1234,1234,1234,a b c =÷÷÷=÷÷÷=÷÷÷()1234,d =÷÷÷计算：()()()a b c d a c ⎡⎤--+÷-⎣⎦.解：因为11111,23424a =⨯⨯⨯=……………（3分）11126,34b ⎛⎫=÷⨯⨯= ⎪⎝⎭……………（5分）3131,248c =⨯⨯=……………（7分）13142.24233d =÷=⨯=……………（10分）所以()()()132136+2483248a b c d a c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+÷-=--÷-⎡⎤⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()2325157321.24243⎛⎫⎛⎫=--÷-=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………（15分）12．（本题满分15分）李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟；若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟．现在李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站,求李伟此时骑摩托车的速度应该是多少?解法1：设李伟家到火车站的距离为x 千米,则由火车开车时间固定这一等量关系可得方程：151530601860x x +=-. ……………（5分） 解得 452x =（千米）. ……………（10分）李伟从家里出发到火车正点开车的时间为4515213060+=(小时). ……………（12分）所以，所求的速度为452271051606x==-(千米/小时). ……………（14分）答：李伟骑摩托车的速度应该是27千米/小时. ……………（15分）解法2 :设李伟从家里出发到火车正点开车的时间为y 小时,则由距离相等可列方程： 151530()18().6060y y -=+……………（5分）解得1y =……………（10分）所以，要在火车开车前10分钟到达火车站，李伟骑摩托车的速度为151530()30(1)606027101016060y y --==--（千米/小时）. ……………（14分）答：李伟骑摩托车的速度应该是27千米/小时. ……………（15分）13．（本题满分20分）已知m 是整数，方程组436626x y x my -=⎧⎨+=⎩有整数解，求m 的值.解: 436626x y x m y -=⎨+=②23,⨯-⨯②①得(29)34,m y +=……………（3分）所以，3429y m =+，……………（5分）因为m 为整数，所以290,29m m +≠+也是整数.要使y 为整数，则291m +=±或2±或17±或34.±……………（15分）经检验，当291m +=±或17±时，m 为整数，且x 也为整数，符合题意， 故4,5,4,13.m =--- ……………（20分）14．（本题满分20分）设abcde 是一个五位数，其中a 、b 、c 、d 、e 是阿拉伯数字，且<<<a b c d ，试求y a b b c c d d e =-+-+-+-的最大值.解：(1)当d e ≤时,(),(),a b a b b c b c -=---=--(),().c d c d d e d e -=---=--……………（5分）所以()()()()y a b b c c d d e e a =--------=-.……………（7分）因为a e 、只能取0-9这10个数字，且0a ≠，所以当9,1e a ==时,y 取得最大值为8. ……（10分）(2)当>d e 时,()()()()2.y a b b c c d d e d a e =------+-=--……………（15分）当9,1,0d a e ===时, y 取得最大值为17. ……………（18分） 综上可知, y 的最大值为17. ……………（20分）。
2010——2012年中山市初三数学竞赛试题真题以及详细答案
2010——2012年中山市初三数学竞赛试题真题以及详细答案中山市2010年初三数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）1.若 a/(ba+c) = 20.c/(cb+a) = 10，则 b 的值为（B）。
2.若实数 a，b 满足 a - ab + b + 2 = 0，则 a 的取值范围是（C）。
3.如图，在四边形 ABCD 中，∠B = 135°，∠C = 120°，AB = 23，BC = 4 - √22，CD = 42，则 AD 边的长为2 + 2√6.4.在一列数 x1，x2，x3，…… 中，已知 x1 = 1，且当k ≥ 2 时，xk = xk-1 + [k-1/4] - [k-2/4]，（取整符号 [a] 表示不超过实数 a 的最大整数），则 x2010 等于（B）。
5.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，等腰梯形 ABCD 的顶点坐标分别为 A（1，1），B（2，-1），C（-2，-1），D （-1，1）。
y 轴上一点 P（0，2）绕点 A 旋转 180°得点 P1，点 P1 绕点 B 旋转 180°得点 P2，点 P2 绕点 C 旋转 180°得点P3，点 P3 绕点 D 旋转 180°得点 P4，……，重复操作依次得到点 P2010，P2010 的坐标是（A）（2010，2）。
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6.已知 a = 5 - √2，则 2a^3 + 7a^2 - 2a - 11 的值等于 267 - 94√2.7.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶。
在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间。
过了 10 分钟，小轿车追上了货车；又过了 5 分钟，小轿车追上了客车；再过 t 分钟，货车追上了客车，则 t = 15.8.在平面直角坐标系xOy中，有一个五边形OABCDE，其顶点坐标分别为O(0,0)，A(0,6)，B(4,6)，C(4,4)，D(6,4)，E(6,0)。
2010全国初中数学联赛决赛试题以及答案
2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-=（ B ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （ C ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3.3．若b a ,是两个正数，且 1110,a b b a--++= 则 （ C ） A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ A ） A ．－13. B ．－9. C ．6. D ． 0.5．在△ABC 中，已知60CAB ∠=︒，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且60AED ∠=︒，ED DB CE +=，2CDB CDE ∠=∠,则DCB ∠= ( B )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++= （ D ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += 13 . 2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AB =，︒=∠30CAO ，则c = 19．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA ，PC ＝5，则PB ＝．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球. 第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. （2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形. 综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线. 证明 过点P 作⊙I 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC于点N.因为CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP ＝∠BCP.又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC ＝∠NPC.又CP 公共，所以△ACP ≌△NCP ，所以∠PAC ＝∠PNC. 由NM ＝QN ，BA ＝CA ，所以△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，所以MQ//AC.又因为MD//AC ，所以MD 和MQ 为同一条直线.又点Q 、D 均在⊙I 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.解 点P (1,)a 、Q (2,10)a 在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=， 解得93b a =-，82c a =-.（1）由8c b a <<知8293,938,a a a a -<-⎧⎨-<⎩解得13a <<. 又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=.(2) 设,m n 是方程的两个整数根，且m n ≤.由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-， 两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=.所以981,9810,m n -=⎧⎨-=⎩或982,985,m n -=⎧⎨-=⎩或9810,981,m n -=-⎧⎨-=-⎩或985,982,m n -=-⎧⎨-=-⎩解得1,2,m n =⎧⎨=⎩或10,913,9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,97,9m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,932,3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又,m n 是整数，所以后面三组解舍去，故1,2m n ==.因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+. 易求得点A 、B 的坐标为（1,0）和（2,0），点C 的坐标为（0,2），所以△ABC 的面积为1(21)212⨯-⨯=. 第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.解 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即 NC2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. （2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c cc c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形. 综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．解 由题意知，方程04)1(2=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++ ①（1）若1k =，则方程为0)2(22=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -．（2）若1k >，则01>-k .因为12x x p +=-为整数，如果21,x x 中至少有一个为整数，则21,x x 都是整数.又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+x p ．不妨设2|1+x p ，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m -+=， 故121(2)(2)k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+，即 41)1(=-++mk p m ② 如果m 为正整数，则(1)(11)36m p +≥+⨯=，10k m ->，从而1(1)6k m p m-++>，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m -<，从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾. 因此，1>k 时，方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根．综上所述，1=k ．。
2010年全国初中数学联赛试题和答案
2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3.3．若b a ,是两个正数，且,0111=+-+-ab b a 则 （ ） A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bxc +++=的根，则2a b c +-的值为 （）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++= （ ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA PC ＝5，则PB ＝_____．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为 C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积..第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.第二试 （C ）三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．。
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中山市2010年初三数学竞赛试题参考答案
一、选择题
1．B 解：由题设得1
201210
111
1110
a a
b b
c b c b +++===
+++． 2．D 解：因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程2
1
202
b ab a -+
+= 21
()41(2)2
a a ∆--⨯⨯+＝≥0, 解得a≤2-或 a≥4．
3．C 解：如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ，F ． 由已知可得
CF
＝DF ＝
于是 EF ＝4
过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得
AD =
=
2+
4．B 解：由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫
⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢
⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎝⎭
可得 11x =，22x =，33x =，44x =， 51x =，62x =，73x =，84x =，…… 因为2010=4×502+2，所以2010x =2．
5．C 解：由已知可以得到，点1P ，2P 的坐标分别为（2，0），（2，2-）． 记222 )P a b （，
，其中222,2a b ==-．根据对称关系，依次可以求得： 322(42)P a b --，－－，422(2)P a b ++，4，522(2)P a b ---，，622(4)P a b +，
． 令662(,)P a b ，同样可以求得，点10P 的坐标为（624,a b +），即10P （2242,a b ⨯+）
， 由于2010=4⨯502+2，所以点2010P 的坐标为（2010，
2-）． 二、填空题
6．1
解：由已知得 (a ＋1)2＝5，所以a 2＋2a ＝4，于是2a 3＋7a 2－2a －12＝2a 3＋4a 2＋3a 2－2a －11＝3a 2＋6a －11＝1
7．15
解：设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a b c ，，（千米/分），并设货车经x 分钟追上客车，由题意得
()10a b S -=， ① ()152a c S -=， ② ()x b c S -=． ③
由①②，得30b c S -=（），所以，x=30． 故 3010515t =--=（分）．
8． 111
33
y x =-
+ 解：如图，延长BC 交x 轴于点F ；连接OB ，AF ；连接CE ，DF ，且相交于点N ． 的中心，所以直线l
由已知得点M （2，3）是OB ，AF 的中点，即点M 为矩形ABFO 把矩形ABFO 分成面积相等的两部分．又因为点N （5，2）是矩形CDEF 的中心，所
以，
直线MN 即为所求
过点N （5，2）的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分．于是，的直线l ．
设直线l 的函数表达式为y kx b =+，则2352k b k b =⎧⎨
+=⎩+，
，
解得 13
11
.3k b ⎧
=-⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
， 故所求直线l 的函数表达式为11133y x =-+． 9．
2
1
5- 解：见题图，设,FC m AF n ==．因为Rt △AFB ∽Rt △ABC ， 所以2
AB AF AC =⋅． 又因为 FC ＝DC ＝AB ，所以 2()m n n m =+，即
2()10n n m m +-=
，解得n m =
，或n m =（舍去）． 又Rt △AFE ∽Rt △CFB ，所以AE AE AF n AD BC FC m ===
=即AE AD
10．9
解：因为1n +为2 3 k ，，
，的倍数，所以n 的最小值0n 满足 []012 3 n k += ，，，，其中[]2 3 k ，，，表示2 3 k ，，
，的最小公倍数． 由于[][]2 3 88402 3 92520 == ，，，，，，
，， [][]2 3 1025202 3 1127720== ，，，，，，
，， 因此满足020003000n <<的正整数k 的最小值为9．
三、解答题
11．解：由2
2
31085100a ab b a b -++-= 可得()()23450a b a b --+=，（6分）
所以 20a b -=，或 3450a b -+=. …………（8分）
（i ）当20a b -=时， ()2
22
97223672236134u a b b b b =++=++=+-，
于是1b =-时，u 的最小值为34-，此时2a =-，1b =-. …………（13分）
（ii ）当3450a b -+=时，()2
22
972216322716111u a b b b b =++=++=++，
于是1b =-时，u 的最小值为11，此时3a =-，1b =-. …………（18分）
综上可知，u 的最小值为34-. …………（20分） 12、解：(1)如图，连接OD .因为AD 平分∠BAC ,所以∠1=∠2.又因为OA =OD ,所以∠1=∠3.所以∠2=∠3.所以OD ∥AE .因为DE ⊥AE ,所以DE ⊥OD .而点D 在⊙O 上,所以DE 是⊙O 的切线. …………（7分）
(2)如图,连接BE 与OD 交于点H ，作OG ⊥AE 于点G. 则 OG = DE =3， EG = DO =5，所以
AG = = 4，AE
= 4+5= 9…………（10分）,因为EA ∥OD ， AO=OB ，所以HO=12AE =92，
HD = 5-92=1
2，故
HE =
=
（20分）
13．解：设1x ，2x ，…，008 2x 中有q 个0，r 个-1，s 个1，t 个2. …………（2分） 则2200
42008r s t r s t -++=⎧⎨++=⎩
① …………（5分）
两式相加得31104s t +=.故0368t ≤≤. …………（10分）
由333
1
2200886200x x x r s t t ++⋅⋅⋅+=-++=+, …………（12分） 得333
1
2200820063682002408x x x ≤++⋅⋅⋅+≤⨯+=.…………（15分）
由方程组①知:当0,1104,904t s r ===时,++3231x x …+3
008 2x 取最小值200; ……（17分） 当368,0,536t s r ===时, ++3231x x …+3008 2x 取最小值2408. …………（20分）
14．解：(1)易得14b =
，B 1(7
12
1，),…………（3分） 设其解析式为27
(1)(0),12
y a x a =-+≠由1(,0),A d 得2712(1)a d =--，…………（7分）
于是2
277(1)12(1)12
y x d =--+-为所求；…………（8分）
（或者由12(,0),(2,0)A d A d -为该抛物线与x 轴的两个交点，设其解析式为()(2)(0)y a x d x d a =--+≠，再代入点
17
(1,
)12
B ，同样可得） （2）根据对称性易得12345...A A A A A 、、、、的横坐标依次为d,2-d,2+d,4-d,4+d,6-d,…（10
分）
1223
3
44522,2,
22
,2...A A d A A d A A d A A d =-==-
=，（
12分） 要使三角形为直角三角形，则斜边上中线等于斜边的一半，因为0＜d ＜1,斜边长都小于2，所以只要高123,,...y y y 小于1才能构成直角三角形，…………（14分）
当>3x 时，所对应的函数值都大于1，可以得到符合要求的顶点为1B 、2B ，………（16分） 再求得相应的d 的值为512或11
12
.…………（20分）。