沪科版八年级数学13.1命题与证明

基础练习：
1.证明三角形内角和定理：三角形的三个内 A 角和等于180°. 已知：如图，△ABC
B
C
求证： ∠ A+∠B+ ∠C=180°.
基础练习：
证明：如图，延长BC至D，以 A 点C位定点、CD为一边作 ∠2=∠B， ∵ ∠2=∠B ∴ CE∥BA ∴∠A=∠1
1
E
2
B
注意：1.辅助线用虚线表示 ； 2.证明的开始要交代清楚， 后添加的字母也要交代清楚.
假
当堂检测：
1．判断下列命题是真命题还是假命 题．如果是假命题，举出一个反例． (1)邻补角是互补的角； (2)互补的角是邻补角； (3)如果一个数能被2整除，那么这个数 也能被4整除； (4)不等式的两边都乘以同一个数，不 等号的方向不变； (5) 两个锐角的和是锐角．
命题与证明（二）
• 1.公理的概念？定理的概念？ • 2.证明的概念？证明的一般步骤？
两直线平行
提高训练
你还有其他方法来证明三 角形内角和定理吗？
A
添加辅助线思路：1、构造平角2、构造同旁内角 A E
E A F E C
F
1 2 B D
图3
3
4
C
B 图1
C B
D
图2
开启… … 智慧 … …
提高训练
下面的正六边形，你能根据自己的知识求出六边 形的内角和吗？
4个三角形： 180°×4＝720°
A
1
∴ ∠ 1=180°—∠BAC= ∠B+ ∠C （三角形内角和定理）
C
基础练习：
A
3.已知：如图， ∠ 1、∠2、∠3 是△ABC的三个外角. 求证： ∠ 1+ ∠2+ ∠3=360° 证明：∵ ∠1= ∠ABC+ ∠ACB ∠2= ∠BAC+ ∠ACB ∠3= ∠BAC+ ∠ABC B
2 3 1
与它不相邻的两个内角的和； 推论2：三角形的一个外角等于________________ ；
与它不相邻的任何一个内角 推论3：三角形的一个外角大于________________ 2.证明推论2 已知：如图， ∠ 1是△ABC的一个外角 求证： ∠ 1= ∠B+ ∠C 证明： B ∵ ∠ 1+∠BAC=180°（平角的定义）
当堂检测：
1. 求证：同旁内角互补，两直线平行.
2.已知：如图，AB与CD相交于点O，
∠1=∠D，∠2=∠C。 求证：AD∥BC
D O 1 A C 2 B
本节课学习了什么内容？
命题与证明（三）
本节课学习目标
• 1.如何证明三角形内角和等于180°？ 理解将三角形内角和转化为“平角” 的 化归思想。 • 2.什么是辅助线？ 添加辅助线应注意的事项？ • 3.掌握三角形内角和定理的推论1.
2.判断下列命题是真命题还是假命题： （1）若a>0,b>0,则a+b>0； 真命题
真命题 （2）两直线相交，只有一个交点；
（3）若a2 +b2=0，则a=b=0；真命题
假命题 （4）若ab<0,则a>0,b<0；
（5)如果三角形的两条边的长为1cm,2cm
那么另外一边的长一定是2cm. 假命题
基础练习：
C
D
基础练习：
1.证明三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于180°. 已知：如图，△ABC 求证： ∠ A+∠B+ ∠C=180°. 证法3：过A作EF∥BA，
E
A
2
1
F
B ∵ EF∥BA（作图） ∴∠B=∠2(两直线平行,内错角相等) ∠C=∠1(两直线平行,内错角相等) 又 ∵∠2+∠1+∠BAC=180°（平角的定义） ∴∠B+∠C+∠BAC=180°
六角螺母的面是六边形， 它的内角都相等， 则这个六边形的每个内角 是 120° 。
提高训练
分析研究表格，你能从中发现什么规律？
n边形
5 2
360°
6 4
n
3
n
540° 720°180°× (n－2)
当堂检测：
1.证明课本81页的推论1. 2.等边三角形的一个内角是多少度? 并证明你的结论.
本节课学习了什么内容？
提高训练
证明: 如果一条直线和两条平行线中的一 E 条垂直，那么这条直线也和另一条垂直。 已知 AB∥CD，EF⊥AB
A 1 B
求证 EF⊥CD
证明 ∵AB∥CD （已知）
C F
2
D
∴∠1=∠2 （两直线平行,同位角相等）
∵EF⊥AB （已知） ∴∠1=90°（垂直定义） ∴∠2=90°（等量代换）
三角形内角和定理
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800. 三角形内角和定理的几种变形:
∠A=1800 –(∠B+∠C). ∠B=1800 –(∠A+∠C). ∠C=1800 –(∠A+∠B). B ∠A+∠B=1800-∠C. ∠B+∠C=1800-∠A. ∠A+∠C=1800-∠B. 这里的结论,以后可以直接运用.
如果a2 =b2 那么a=b;假命题
（2）等角的余角相等；
如果两个角的余角相等， 那么这 两个角也相等;真命题
（3）同位角相等，两直线平行．
两条直线平行，同位角相等;真命题
6.选择题 （1）下列语句中，属于命题的是（C ）． （A）直线AB和CD垂直吗（B）过线段AB的 中点C画AB的垂线 （C）同旁内角不互补，两直线不平行 （D） 连结A，B两点 7．下列命题中，属于假命题的是（ A ） （A）若a⊥c，b⊥c，则a⊥b （B）若 a∥b，b∥c，则a∥c （C）若a⊥c，b⊥c，则a∥b （D）若 a⊥c，b∥a，则b⊥c
（4）等角的补角相等。
如果两个角相等，那么它们的补角也相等。
基础练习：
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
如果一个四边形有三个角是直角，那么这个四边形是矩形
（6）同角的补角相等；
如果两个角是相等，那么这两个角的补角也相等
（7）两个无理数的积仍是无理数．
如果两个数是无理数，那么这两个数的积仍是无理数．
∵∠FGE是△AGD的一个外角 G ∴∠A+∠C=∠FGE ∵∠EFG是△BFD的一个外角 ∴∠B+∠F=∠EFG C D ∴ ∠ A+∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E= ∠FGE + ∠EFG + ∠E=180°
B
F E
提高训练
3.如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角， 那么这个三角形的形状是( B ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形 4.如图，∠1＝20°，∠2＝25°，∠A＝35°， 则∠BDC的度数等于( C ) A.60° B.70° C.80° D.无法确定
3.把下列命题改写成“如果p,那么q”的形式： （1）两直线相交，只有一个交点；
如果两条直线相交，那么交点只有一个
（2）直线AB⊥直线CD，交点为O，有 ∠AOC=90°；
如果直线AB⊥直线CD，且交点为O，那么∠AOC=90°
（3）两直线平行，同位角相等；
如果两条平行的直线被第三条直线所截，那么所 形成同位角相等
基础练习：
1.证明的步骤：
根据题意画出图形； （1）________________ ； 根据题设、结论，结合图形，
（2）________________ 写出已知、求证； 经过分析，找出已知条件推出结 （3）论的途径，写出证明过程； ________________
基础练习：
2.证明：“内错角相等，两直线平行”。 分析:(1)画出图形
C
2.已知：如图，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD． 求证：AB∥CD． 证明：∵AD∥BC，两直线平行， ∠2 ∴∠1＝________(________) ． 内错角相等 又∠BAD＝∠BCD， ∴∠BAD－∠1＝∠BCD－∠2， 即∠3＝∠4． 内错角相等， CD ∴AB∥________(________) ．
C 三角形外角 和等于360°
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴ ∠ 1+ ∠2+ ∠3=2（ ∠ABC+ ∠ACB+ ∠BAC）（等式性质）
∵ ∠ABC+ ∠ACB+ ∠BAC=180° （三角形内角和定理）
∴ ∠ 1+ ∠2+ ∠3=360°
基础练习：
50° 4. （1）如图，∠ABC= __________ ，∠ABD= __________ 130° 90° （2）直角三角形中，与直角相邻的外角的度数是__________ 5.如下图，点P是△ABC内任一点， A 连接BP并延长交AC于点D，连接 CP，用不等号表示∠A， ∠ 60° BPC， ∠ PDC的大小关系，并说 明理由。 110° ∵∠PDC是△ABD的一个外角 E D B C ∴∠PDC>∠A A ∵∠BPC是△PDC的一个外角 ∴∠BPC>∠PDC ∴ ∠BPC> ∠PDC>∠A B
• 8．下列四个命题中，属于真命题的是 （C ）． （A）互补的两角必有一条公共边 （B）同旁内角互补 （C）同位角不相等，两直线不平行 （D）一个角的补角大于这个角 9．命题“垂直于同一条直线的两条直线 D 互相平行”的题设是（ ）． （A）垂直 （B）两条直线 （C）同一条直线 （D）两条直线垂直 于同一条直线
5.如图，将三角形纸片ABC的一角折叠， 折痕为EF，若∠A＝80°，∠B＝68°， ∠CFB＝22°，则∠CEA＝ 42° .