高中数学第三章三角恒等变形2第2课时两角和与差的正切函数教学案北师大版
高中数学第三章三角恒等变形3.2.13.2.2两角和与差的正弦余弦函数学案北师大版
2．1 两角差的余弦函数 2．2 两角和与差的正弦、余弦函数1．了解两角差的余弦公式的推导过程．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦公式，两角和的正弦、余弦公式．(重点) 3．会利用公式解决简单的化简求值问题．(难点)[基础·初探]教材整理 两角和与差的正弦、余弦函数 阅读教材P 118～P 120练习以上部分，完成下列问题． 1．两角差的余弦公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(C α－β) 2．两角和的余弦公式cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.(C α＋β) 3．两角和与差的正弦公式(1)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(S α＋β)， (2)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(S α－β)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的余弦公式中，角α，β是任意的．( ) (2)sin(α＋β)＝sin α＋sin β一定不成立．( ) (3)sin(α－β)＝sin βcos α－sin αcos β.( ) (4)存在α，β，使cos(α－β)＝cos α＋cos β.( ) 【解析】 (1)√.(2)×.如当α＝π6，β＝－π6时，则sin(α＋β)＝0.sin α＋sin β＝sin π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0，∴当α＝π6，β＝－π6时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β.(3)×.sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. (4)√.如α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cos α＋cos β. 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]求值：(1)sin 15°＋cos 15°；(2)sin 119°sin 181°－sin 91°sin 29°.【精彩点拨】 解答本题首先把非特殊角向特殊角转化成创造条件逆用公式，然后再应用公式求解．【自主解答】 (1)法一：sin 15°＋cos 15° ＝sin(45°－30°)＋cos(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45° sin 30°＋cos 45°cos 30°＋ sin 45° sin 30° ＝22×32－22×12＋22×32＋22×12＝62. 法二：sin 15°＋cos 15° ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22·sin 15°＋22·cos 15°＝2sin(15°＋45°) ＝2sin 60°＝62. (2)原式＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)·sin 29° ＝cos 29°(－sin 1°)－cos 1°sin 29° ＝－(sin 29° cos 1°＋cos 29° sin 1°) ＝－sin(29°＋1°)＝－sin 30°＝－12.1．解决此类问题的关键是将非特殊角的三角函数求值问题，转化为特殊角的三角函数求值问题．2．化为特殊角的和与差的形式，公式中只有两个角，运用公式时，务必熟记公式的结构特征和符号规律．[再练一题]1．求值：(1)cos(x ＋27°)·cos(x －18°)＋sin(x ＋27°)· sin(x －18°)；(2)cos 105°＋sin 195°的值．【解】 (1)cos(x ＋27°)cos(x －18°)＋sin(x ＋27°)·sin(x －18°) ＝cos[(x ＋27°)－(x －18°)] ＝cos 45° ＝22. (2)cos 105°＋sin 195°＝cos 105°－sin 15° ＝cos(60°＋45°)－sin(60°－45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°·sin 45°－sin 60°cos 45°＋cos 60°·sin 45° ＝12×22－32×22－32×22＋12×22 ＝2－62.已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35.求sin 2α的值．【精彩点拨】 由于2α＝(α－β)＋(α＋β)，故可用两角和的正弦公式求解． 【自主解答】 ∵π2<β<α<3π4，∴0<α－β<π4，π<α＋β<3π2，∴sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝513， cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－45.∴sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35 ＝－5665.1．给值求值问题主要有两类：一是直接利用公式展开后求值．二是变角求值．即将问题中的角表示成已知角的和或差整体求值．在计算中要注意根据角的取值范围确定三角函数值的符号．2．常见的变角技巧： 2α＝(α＋β)＋(α－β)， 2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α等．[再练一题]2．已知α，β是锐角，且sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，求sin β的值.【导学号：66470067】【解】 ∵α是锐角，且sin α＝437，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4372＝17. 又∵sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－11142＝5314， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β) sin α＝5314×17－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×437＝32.[探究共研型]探究1 【提示】 给值求角即求该角的某种三角函数值． 探究2 给值求角的关键是什么？【提示】 关键是变角，把所求角用含已知角的式子表示． 探究3 常用的角的变换技巧有哪些？【提示】 互余或互补关系的应用，如π4－α与π4＋α互余，π4＋α与34π－α互补等．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210，求α. 【精彩点拨】 先计算sin α后再根据α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2确定角α大小．【自主解答】 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α－β∈(0，π)． ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，sin β＝－210，∴cos β＝7210， ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×7210＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＝22. 又∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π4.1．解决这类问题，关键有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围．一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图像，便可求解．2．确定求所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定. 注意本题解答中如果求出sin(α＋β)＝22，可能就会导致α＋β＝π4或3π4.[再练一题]3．已知α，β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010.求α＋β的值． 【解】 因为α，β都是锐角，所以0<α<π2，0<β<π2，0<α＋β<π，又sin α＝55，sin β＝1010， 所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝31010，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.又0<α＋β<π， 所以α＋β＝π4.1．cos 66°·cos 36°＋cos 24°·cos 54°的值为( ) A ．0 B ．12 C.32D ．－12【解析】 cos 66°·cos 36°＋cos 24°·cos 54° ＝cos 66°·cos 36°＋sin 66°·sin 36° ＝cos(66°－36°)＝cos 30° ＝32. 【答案】 C2．若a ＝(cos 60°，sin 60°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则a ·b ＝________. 【解析】 a ·b ＝cos 60° ·cos 15°＋sin 60°·sin 15° ＝cos(60°－15°) ＝cos 45° ＝32. 【答案】323．cos 345°的值为________.【导学号：66470068】【解析】 cos 345°＝cos(360°－15°)＝cos 15° ＝cos(45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30° ＝2＋64. 【答案】2＋644．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. 【解析】 因为α为第三象限的角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin α·cos π4＋cos α·sin π4＝ －35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－710 2. 【答案】 －71025．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513，求cos 2α－sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.【解】 cos 2α－sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos α－sin αcos α＋sin α22cos α＋sin α＝2(cos α－sin α) ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22cos α－22sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1013.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________。
高中数学 第三章 三角恒等变换 第二节 简单的三角恒等变换(第二课时)示范教案数学教案
第三章第二节简单的三角恒等变换第二课时导入新课思路 1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(π4＋α)－(π4－α)，π4＋α＝π2－(π4－α)等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开． 思路2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，本节主要研究函数y ＝a sin x ＋b cos x 的周期、最值等性质．三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具．高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段．三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能． 推进新课新知探究 提出问题①三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期，最大值和最小值是多少？ ②函数y ＝a sin x ＋b cos x 的变形与应用是怎样的？ ③三角变换在几何问题中有什么应用？活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质．而且正弦函数，余弦函数的周期都是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期都是2π.三角函数的自变量的系数变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y ＝sin x 的周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，且最小正周期是2π，函数y ＝sin2x 的周期是k π(k ∈Z 且k ≠0)，且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是－1，所以这两个函数的值域都是[－1,1]．函数y ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(a a 2＋b2sin x ＋b a 2＋b2cos x )，∵(a a 2＋b2)2＋(b a 2＋b2)2＝1，从而可令a a 2＋b2＝cos φ，b a 2＋b 2＝sin φ，则有a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)．因此，我们有如下结论：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a.在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题．我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系．几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法．讨论结果：①y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是－1.②～③(略)见活动．应用示例思路1例1如图1，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值．找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：S ＝AB ·BC ＝(cos α－33sin α)sin α＝sin αcos α－33sin 2α. 求这种y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成A sin(ωx ＋φ)型的三角函数求最值．教师引导学生思考：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，可分两步进行： (1)找出S 与α之间的函数关系； (2)由得出的函数关系，求S 的最大值． 解：在Rt△OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α，图1在Rt△OAD 中，DA OA＝tan60°＝3，所以OA ＝33DA ＝33BC ＝33sin α. 所以AB ＝OB －OA ＝cos α－33sin α. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB ·BC ＝(cos α－33sin α)sin α ＝sin αcos α－33sin 2α ＝12sin2α＋36cos2α－36 ＝13(32sin2α＋12cos2α)－36＝13sin(2α＋π6)－36.由于0<α<π3，所以当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S 最大＝13－36＝36.因此，当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36.点评：可以看到，通过三角变换，我们把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而使问题得到简化．这个过程中蕴涵了化归思想．此题可引申即可以去掉“记∠COP ＝α”，结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD ＝x ，S ＝x (1－x 2－33x )，尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.[0，π]上的单调递增区间．活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识．先用二倍角公式把函数化成最简形式，然后再解决与此相关的问题．解：y＝sin4x＋23sin x cos x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋3sin2x＝3sin2x－cos2x＝2sin(2x －π6)．故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；在[0，π]上单调增区间是[0，π3]，[5π6，π]．点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.例1已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M (3π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值． 活动：学生在解此题时，对f (x )是偶函数这一条件的运用不存在问题，而在对“f (x )的图象关于M (3π4，0)对称”这一条件的使用上，多数考生都存在一定问题．一般地，定义在R 上的函数y ＝f (x )对定义域内任意x 满足条件：f (x ＋a )＝2b －f (a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称，反之亦然．教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练．解：由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即sin(－ωx ＋φ)＝sin(ωx ＋φ)，所以－cos φsin ωx ＝cos φsin ωx 对任意x 都成立．又ω>0，所以，得cos φ＝0.依题设0≤φ≤π，所以，解得φ＝π2.由f (x )的图象关于点M 对称，得f (3π4－x )＝－f (3π4＋x )．取x ＝0，得f (3π4)＝－f (3π4)，所以f (3π4)＝0.∵f (3π4)＝sin(3ωπ4＋π2)＝cos 3ωπ4，∴cos 3ωπ4＝0.又ω>0，得3ωπ4＝π2＋k π，k ＝0,1,2，….∴ω＝23(2k ＋1)，k ＝0,1,2，….当k ＝0时，ω＝23，f (x )＝sin(23x ＋π2)在[0，π2]上是减函数；当k ＝1时，ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋π2)在[0，π2]上是减函数；当k ≥2时，ω≥103，f (x )＝sin(ωx ＋π2)在[0，π2]上不是单调函数．所以，综合得ω＝23或ω＝2.点评：本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题.变式训练已知如图2的Rt△ABC 中，∠A ＝90°，a 为斜边，∠B 、∠C 的内角平分线BD 、CE 的长分别为m 、n ，且a 2＝2mn .问：是否能在区间(π，2π]中找到角θ，恰使等式cos θ－sin θ＝4(cosB ＋C2－cosB －C2)成立？若能，找出这样的角θ；若不能，请说明理由．图2解：在Rt△BAD 中，AB m ＝cos B 2，在Rt△BAC 中，ABa＝sin C ，∴m cos B2＝a sin C .同理，n cos C2＝a sin B .∴mn cos B 2cos C2＝a 2sin B sin C .而a 2＝2mn ，∴cos B 2cos C 2＝2sin B sin C ＝8sin B 2·cos B 2cos C 2sin C 2.∴sin B 2sin C 2＝18.积化和差，得4(cosB ＋C2－cosB －C2)＝－1，若存在θ使等式cos θ－sin θ＝4(cos B ＋C2－cosB －C2)成立，则2cos(θ＋π4)＝－1，∴cos(θ＋π4)＝－22.而π<θ≤2π，∴5π4<θ＋π4≤9π4.∴这样的θ不存在． 点评：对于不确定的开放式问题，通常称之为存在性问题．处理这类问题的一般思路是先假设结论是肯定的，再进行演绎推理，若推证出现矛盾，即可否定假设；若推出合理结果，即假设成立．这个探索结论的过程可概括为假设——推证——定论. 例2已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解：∵2α－β＝2(α－β)＋β，tan(α－β)＝12，∴tan2(α－β)＝2tan α－β1－tan 2α－β＝43.从而tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan2α－β＋tan β1－tan2α－βtan β＝43－171＋43×17＝25212521＝1.又∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝13<1.且0<α<π，∴0<α<π4.∴0<2α<π2.又tan β＝－17<0，且β∈(0，π)，∴π2<β<π，－π<－β<－π2.∴－π<2α－β<0.∴2α－β＝－3π4.点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0，π)，则求cos α；若α∈(－π2，π2)，则求sin α等．知能训练课本本节练习4.解答：4.(1)y ＝12sin4x .最小正周期为π2，递增区间为[－π8＋k π2，π8＋k π2](k ∈Z )，最大值为12；(2)y ＝cos x ＋2.最小正周期为2π，递增区间为[π＋2k π，2π＋2k π](k ∈Z )，最大值为3；(3)y ＝2sin(4x ＋π3)．最小正周期为π2，递增区间为[－5π24＋k π2，π24＋k π2](k ∈Z )，最大值为2.课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等变形，把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的，充分体现出“活”的数学．作业课本复习参考题A组11、12.设计感想1．本节课主要是三角恒等变换的应用，通过三角恒等变形，把形如y＝a sin x＋b cos x 的函数转化为形如y＝A sin(ωx＋φ)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的．在教学中教师要强调：分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的解析式变形化简，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．因此，三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤．但需注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、合并等原因，函数的定义域往往会发生一些变化，从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价．因此，在对三角函数式进行三角恒等变换后，还要确定原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析其性质．2．在三角恒等变化中，首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此导出角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式，以此作为基本训练．其次要搞清楚各公式之间的内在联系，自己画出知识结构图．第三就是在三角恒等变换中，要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识，对三角知识有整体的把握．3．今后高考对三角变换的考查估计仍以考查求值为主．和、差、倍、半角的三角函数公式、同角关系的运用仍然是重点考查的地方，应该引起足够重视，特别是对角的范围的讨论，从而确定符号．另外，在三角形中的三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问题将是高考的热点．对三角函数综合应用的考查，估计仍然以三角与数列、不等式、平面向量、解析几何、三角与解三角形的实际应用为主，题型主要是选择题、填空题，也可能以解答题形式出现，难度不会太大．应注意新情景立意下的三角综合应用也是考试的热点．备课资料一、三角函数的综合问题三角函数是中学学习的重要的基本初等函数之一，近年来，高考每年都要考查三角函数的图象和性质的基础知识．在综合题中，也常常会涉及三角函数的基础知识的应用．因此，对本单元的学习要落实在基础知识、基本技能和基本方法的前提下，还应注意与其他部分知识的综合运用．三角函数同其他函数一样，具有奇偶性、单调性、最值等问题，我们还要研究三角函数的周期性、图象及图象的变化，有关三角函数的求值、化简、证明等问题．应熟知三角函数的基本性质，并能以此为依据，研究解析式为三角式的函数的性质，掌握判断周期性，确定单调区间的方法，能准确认识三角函数的图象，会做简图、对图象进行变化．二、备用习题 1.sin10°＋sin20°cos10°＋cos20°的值是( )A ．tan10°＋tan20° B.33C ．tan5°D ．2－ 3 答案：D2．若α－β＝π4，则sin αsin β的最大值是( )A.2－24 B.2＋24C.34 D ．1 答案：B3．若cos αsin x ＝12，则函数y ＝sin αcos x 的值域是( )A ．[－32，12]B ．[－12，12]C ．[－12，32] D ．[－1,1]答案：B4．log 2(1＋tan19°)＋log 2(1＋tan26°)＝________. 答案：15．已知函数f (x )＝cos2x cos(π3－2x )，求f (x )的单调递减区间、最小正周期及最大值．答案：解：f (x )＝12[cos π3＋cos(4x －π3)]＝12cos(4x －π3)＋14，由2k π≤4x －π3≤2k π＋π(k ∈Z )，得原函数的单调递减区间是[k π2＋π12，k π2＋π3](k ∈Z )，T ＝π2，最大值是34. 6．已知sin A ＝－35，cos B ＝－941，A ∈(3π2，2π)，B ∈(π，3π2)，求sin(2A －B2)的值，并判定2A －B2所在的象限．答案：解：cos A ＝45，sin2A ＝－2425，cos2A ＝1－2sin 2A ＝725， ∵B ∈(π，3π2)， ∴B 2∈(π2，3π4)． ∴sin B 2＝541，cos B 2＝－441. ∴sin(2A －B 2)＝sin2A cos B 2－cos2A sin B 2＝61411 025. 又cos(2A －B 2)＝cos2A cos B 2＋sin2A sin B 2<0， ∴2A －B 2是第二象限角． 7．已知f (0)＝a ，f (π2)＝b ，解函数方程：f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·cos y . 答案：解：分别取⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝t ，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝π2＋t ，y ＝π2，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝π2，y ＝π2＋t ，代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ f t ＋f －t ＝2f 0·cos t ， ①f π＋t ＋f t ＝0， ②f π＋t ＋f －t ＝－2f π2·sin t ， ③①＋②－③，得2f (t )＝2f (0)cos t ＋2f (π2)sin t . ∵f (0)＝a ，f (π2)＝b ， ∴f (x )＝a cos x ＋b sin x .。
(新)高中数学第三章三角恒等变形3_2两角和与差的三角函数课堂导学案北师大版必修41
3.2 两角和与差的三角函数课堂导学三点剖析1.两角和与差的三角函数公式的简单运用【例1】 若sinα=55,sinβ=1010且α、β是锐角，求α+β的值. 思路分析:可先求出α+β的某种三角函数值，然后再确定α+β的值.解:∵α、β是锐角，∴cosα=552)55(12=-,cosβ=10103)1010(12=-. ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=22. 又∵sinα=55<21,sinβ=1010<21， ∴0°<α<30°，0°<β<30°.∴0°<α+β<60°.∴α+β=45°.各个击破类题演练 1计算sin33°cos27°+sin57°cos63°的值.解析:原式=sin33°cos27°+cos33°sin27°=sin(33°+27°)=sin60°=23， 或：原式=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos(57°-27°) =cos30°=23. 变式提升 1sin163°sin223°＋sin253°sin313°=___________.解析：原式=sin(180°-17°)·sin(180°+43°)+sin(270°-17°)+sin(270°+43°) =-sin17°sin43°+cos17°cos43° =cos(17°+43°)=cos60°=21. 答案：21 2.两角差的余弦公式的运用 【例2】 已知cos(α+β)=31,cos(α-β)=51，求tan αtan β的值. 思路分析：题目中要求的是单角α与 β的函数值，所以自然要想到用和差公式分解，然后用商式求解.解：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+)2.(51sin sin cos cos )1(,31sin sin cos cos .51)cos(,31)cos(βαβαβαβαβαβα得①+②得cosαcosβ=154, ②-①得sinαsinβ=151-, ∴tanαtanβ=βαβαcos cos sin sin =41-. 友情提示在利用两角和差公式的同时，运用同角三角函数关系，把不同类型的公式放在一起使用是本章题目的特点.类题演练 2设a∈(0,2π),若sinα=53,则2cos(α+4π)等于（ ） A.57 B.51 C.57- D.-51 解析：∵α∈(0,2π)，sinα=53,∴cosα=54, 又2cos(α+4π)=2(cos α·cos 4π-sin α·sin 4π) =cos α-sin α=51. 答案：B变式提升 2已知α、β为锐角，且cosα=71，cos(α+β)=1411-，求β的值. 解析：∵α是锐角，cosα=71,∴sinα=734)71(12=-. ∵α、β均为锐角，∴0<α+β<π.又cos(α+β)=1411-,∴sin(α+β)=1435)1411(12=--. ∴cosβ=cos［(α+β)-α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=（1411-）·71+7341435•=21. 又∵β为锐角，∴β=3π. 3.两角和与差的三角函数的变式应用【例3】 已知α,β∈(-2π,2π)，tanα,tanβ是一元二次方程x 2+33x+4=0的两根，求 α+β.思路分析：由根与系数关系可得tanα+tanβ、tanαtanβ，因此可先求tan(α+β).解：由题意知tanα+tanβ=-33,tanαtanβ=4,① ∴tan(α+β)=3tan tan 1tan tan =-+βαβα.又∵α,β∈(-2π,2π)且由①知α∈(-2π,0),β∈(-2π,0),∴α+β∈(-π,0). ∴α+β=32π-.类题演练 3计算tan10°+tan50°+3tan10°tan50°的值.解析：原式=tan(10°+50°)(1-tan10°tan50°)+3tan10°tan50° =3(1-tan10°tan50°)+3tan10°tan50°=3.变式提升 3求值:tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°.解析：原式=tan10°tan20°+3(tan10°+tan20°) =tan10°tan20°+3tan30°(1-tan10°tan20°)=1.。
高中数学 第3章 三角恒等变形 2 2.3 两角和与差的正切函数(教师用书)教案 北师大版必修4-北
2.3 两角和与差的正切函数学 习 目 标核 心 素 养1.能利用两角和(或差)的正弦、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式．(重点)2.掌握公式T (α±β)及其变形式，并能利用这些公式解决化简、求值、证明等问题．(难点)1.通过利用两角和(或差)的正弦、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式，提升逻辑推理素养．2.通过T (α±β)及其公式解决化简、求值、证明等，培养数学运算素养．两角和与差的正切公式 名称 简记符号公式使用条件两角和的正切 T (α＋β)tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan βα，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )且tan α·tan β≠1 两角差的正切T (α－β)tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan βα，β，α－β≠k π＋π2(k ∈Z )且tan α·tan β≠－1tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β)； tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan 〔α＋β〕.(2)公式的特例 tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α； tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.思考：怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？ [提示]tan (α＋β)＝sin 〔α＋β〕cos 〔α＋β〕＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β， 分子分母同除以cos αcos β，便可得到．1．假设tan α＝3，tan β＝43，那么tan (α－β)＝( )A ．13B ．12C ．－13 D ．－3A [因为tan α＝3，tan β＝43，所以tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.]2．设α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝17，tan β＝43，那么α－β等于( ) A ．π3B ．π4C ．3π4D ．－π4D [tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝17－431＋17×43＝－1.∵－π2＜α－β＜π2，∴α－β＝－π4.]3.1＋tan 15°1－tan 15°的值为( )A ． 2B ．－ 2C ． 3D ．－3C [原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝ 3.]4.tan 82°－tan 22°1＋tan 82°tan 22°＝________．3[tan 82°－tan 22°1＋tan 82°tan 22°＝tan (82°－22°)＝tan 60°＝ 3.]化简求值[例1] 求以下各式的值： (1)3＋tan 15°1－3tan 15°； (2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°. [解](1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan (60°＋15°)＝tan 75°＝tan (30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋ 3.(2)∵tan 45°＝tan 15°＋tan 30°1－tan 15°tan 30°＝1，∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°， ∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.在三角函数的化简、求值过程中，通常存在着两种形式的逆用：公式的逆用和特殊角三角函数的逆用．当式子中出现12，1，32，3这些特殊角的三角函数值时，往往就是“由值变角〞的一种提示，可以根据问题的需要，将常数用三角函数式表示出来，以构成适合公式的形式，从而达到化简的目的．1．(1)sin 15°－cos 15°sin 15°＋cos 15°；(2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°. [解](1)∵tan 15°＝tan (45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3.∴sin 15°－cos 15°sin 15°＋cos 15°＝tan 15°－1tan 15°＋1 ＝2－3－12－3＋1＝1－33〔3－1〕 ＝－33. (2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝tan (10°＋50°)(1－tan 10°tan 50°)＋3tan 10°tan 50° ＝tan 60°－3tan 10°tan 50°＋3tan 10°tan 50° ＝tan 60°＝ 3.给值求值(或求角)[例2](1)tan ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝2，tan ⎝⎛⎭⎫β－π3＝2 2.求： ①tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4；②tan (α＋β). (2)设方程x 2＋33x ＋4＝0的两根为tan α，tan β，且0＜|α|＜π2，0＜|β|＜π2，求α＋β的值．[解](1)①tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋⎝⎛⎭⎫β－π3 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋tan ⎝⎛⎭⎫β－π31－tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12tan ⎝⎛⎭⎫β－π3＝2＋221－2×22＝－ 2.②tan (α＋β)＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4tanπ4＝－2＋11－〔－2〕×1＝22－3.(2)由，得tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4.所以tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，且tan α＜0，tan β＜0， 所以－π2＜α＜0，－π2＜β＜0，所以－π＜α＋β＜0， 所以α＋β＝－23π.1．“给值求值〞即给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于先用公式分析待求问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向转化．解题过程中须多加注意角的X 围，必要时实行拆分角．2．某三角函数值求角问题，通常分两步：(1)先求角的某个三角函数值(由题中名称和X 围确定)；(2)根据角的X 围确定角，必要时可利用值缩小角的X 围．2．tan α＝13，tan β＝－2，且0＜α＜π2＜β＜π，求：(1)tan (α－β)的值； (2)角α＋β的值．[解](1)因为tan α＝13，tan β＝－2，所以tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝13＋21－23＝7.(2)tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13－21＋23＝－1，因为0＜α＜π2＜β＜π，所以π2＜α＋β＜3π2，所以α＋β＝3π4.正切公式的综合应用 [探究问题]1．假设α＋β＝π，那么tan α与tan β存在怎样关系？ [提示]tan α＝tan (π－β)＝－tan β.2．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C 与tan A tan B tan C 有何关系？ [提示]∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ， ∴tan (A ＋B )＝－tan C ， ∴tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－tan C ，∴tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C . 3．在△ABC 中，A ，B ，C 三个角有什么关系？[提示]A ＋B ＋C ＝π或A 2＋B 2＝π2－C2.[例3] 在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，判断△ABC 的形状．[思路探究]可先求出tan (B ＋C )和tan (A ＋B )的值．再由诱导公式分别求tan A 和tan C 的值，从而可得A ，B ，C ，即可判断三角形形状．[解]tan A ＝tan [π－(B ＋C )]＝－tan (B ＋C ) ＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1＝3－3tan B tan Ctan B tan C －1＝－3， 又0°<A <180°，∴A ＝120°，而tan C ＝tan [π－(A ＋B )]＝tan A ＋tan Btan A tan B －1＝tan A ＋tan B3tan A ＋3tan B ＝33.又0°<C <180°，∴C ＝30°，∴B ＝30°. ∴△ABC 是顶角为120°的等腰三角形．将例3中的条件变为“△ABC 中，∠C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233〞，试求tan A ·tan B的值．[解] 因为A ＋B ＋C ＝180°，∠C ＝120°， 所以tan (A ＋B )＝tan 60°＝ 3.又tan (A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A ·tan B，所以2331－tan A ·tan B ＝3，解得tan A ·tan B ＝13.1．等式中同时出现tan A ±tan B 与tan A ·tan B 时，一般是构造tan (A ±B )，利用两角和与差的正切公式求解．2．在三角形中要注意应用A ＋B ＋C ＝π这一隐含条件．1．公式T (α±β)的适用X 围由正切函数的定义可知α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z ).2．公式T (α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换． 如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．要特别注意tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α. 3．公式T (α±β)的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路．1．判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)tan αtan β，tan (α＋β)，tan α＋tan β三者知二，即可表示或求出第三个． ( )(2)tan ⎝⎛⎭⎫π2＋π3能用公式tan (α＋β)展开． ( )(3)存在α，β∈R ，使tan (α＋β)＝tan α＋tan β成立．( ) (4)公式T (α±β)对任意α，β都成立．( ) [答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．A ＋B ＝45°，那么(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．不确定B [(1＋tan A )(1＋tan B )＝1＋(tan A ＋tan B )＋tan A tan B＝1＋tan (A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan A tan B ＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2.]3．A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，那么A ＋B ＝________．π4[∵B 为锐角，sin B ＝55，∴cos B ＝255， ∴tan B ＝12，∴tan (A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝13＋121－13×12＝1.∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4.]4．求tan 18°＋tan 42°＋tan 120°tan 18°tan 42°tan 60°的值．[解]∵tan 18°＋tan 42°＋tan 120° ＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 120° ＝－tan 60°tan 18°tan 42°， ∴原式＝－1.。
《两角和与差的三角函数公式》第2课时示范教学方案北师大新课标
第四章三角恒等变换4.2两角和与差的三角函数公式第2课时两角和与差的正弦、正切公式及其应用1．能利用Cαβ±公式，诱导公式等推导两角和与差的正弦、正切公式．2．掌握两角和与差的正弦和正切公式，并能利用公式化简，求值等．3．通过本节课的学习，提升逻辑推理、数学运算的核心素养．教学重点：两角和差的正弦、正切公式的推导及其应用．教学难点：两角和差的正弦、正切公式的灵活运用．PPT课件﹒一、导入新课问题1：变脸是川剧艺术中塑造人物的一种特技，演员在熟练的动作之间，奇妙地变换着不同的脸谱，用以表现剧中人物的情绪、心理状态的突然变化，达到“相随心变”的艺术效果，那么在三角函数中，两角和与差的正弦、正切之间又有怎样的变换呢？这就是本节要学习的内容．设计意图：借助情景引入新课—两角和差的正弦、正切公式及其应用（版书）．二、新知探究1．两角和差的正弦公式问题1：由公式Cα－β或Cα＋β可求sin75︒的值吗？师生活动：学生独立思考，举手回答﹒预设答案：可以，因为sin 75cos15cos(4530)︒=︒=︒-︒﹒设计意图：通过正余弦之间的转化，为探究sin()αβ+的公式作铺垫． 问题2：由公式C (α±β)可以得到sin(α＋β)的公式吗？ 师生活动：学生独立思考，推导公式．预设答案：可以，sin(α＋β)＝cos[π2−(α+β)]＝cos 错误!＝sin αcos β＋cos αsin β﹒追问1：如何由sin(α＋β)的公式推出sin(α－β)的公式？ 师生活动：学生独立思考，推导公式﹒预设答案：以－β代替sin(α＋β)中的β，即可得sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．★资源名称：【知识点解析】两角和与差的正弦、余弦、正切公式．★使用说明：本资源为《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》的知识解析，通过知识梳理、探究思考等环节帮助学生体会知识的形成过程，并会简单应用．注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用． 知识点1：两角和差的正弦公式(1)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β（S α＋β）， (2)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β（S α－β）． 追问2：公式S α±β的适用条件是什么？ 师生活动：学生独立思考，举手回答﹒预设答案：公式中的α、β是任意角，可以是具体的角，也可以是表示角的代数式．追问3：公式S α－β，S α＋β，可记为什么？ 师生活动：学生独立思考，小组讨论﹒ 预设答案：“异名相乘，符号同”． 设计意图：帮助学生熟记公式． 2．两角和差的正切公式问题3：前面学习的同角三角函数关系中，tan ,sin ,cos ααα的关系怎样？ 师生活动：学生回忆，举手回答﹒ 预设答案：sin tan cos ααα=﹒ 设计意图：为推导两角和差的正切公式作铺垫﹒追问1：利用该关系及两角和的正、余弦公式，能用tan α和tan β表示tan(α＋β)和tan(α－β)？师生活动：学生思考、推导﹒ 预设答案：①tan(α＋β)＝++sin cos αβαβ()()＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β＝tan α＋tan β1－tan αtan β﹒②tan(α－β)＝()()sin cos αβαβ--＝sin αcos β－cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α－tan β1＋tan αtan β．知识点2：两角和差的正切公式 （1）tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，记作T α＋β．（2）tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，记作T α－β．追问2：两角和与差的正切公式对任意α，β均成立吗？ 师生活动：学生观察公式，得出结论． 预设答案：不是的．①在两角和的正切公式中，使用条件是：α，β，α＋β≠k π＋π2，(k ∈Z )；②在两角差的正切公式中，使用条件是：α，β，α－β≠k π＋π2，(k ∈Z )．追问3：如何计算1－tan15°1＋tan15°？师生活动：学生思考、计算，举手回答﹒预设答案：原式＝tan45°－tan15°1＋tan45°tan15°＝tan(45°－15°)＝tan30°＝33．设计意图：帮助学生熟记两角和差的正切公式．★资源名称：【例题讲解】利用两角和差的正余弦公式求角．★使用说明：本资源为《利用两角和差的正余弦公式求角》的例题讲解，通过剖析典型例题，达到再次讲解知识点的目的，帮助巩固所学知识，加深学生对于知识的理解和掌握．注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用． 三、巩固练习 例1已知3sin 5α=-，α为第三象限角，求sin(),cos()44παπα-+的值﹒ 师生活动：学生分析解题思路，教师找学生板书解题过程．预设答案：因为3sin 5α=-，α为第三象限角，所以4cos 5α==-，43sin()sincos sin cos()()44455ααπαππ-=-=⨯---=43cos()coscos sin sin ()()44455ααπαππ+=-=---=．追问：本题中sin()cos()44ααππ-=+，这是一种巧合吗？预设答案：不是，因为()()442ππαπα-++=，所以sin()cos()44ααππ-=+﹒方法总结：这类题目要注意角的变换，观察待求角和已知角，把所求角表示为已知两角的和差，然后利用两角和、差公式求解．设计意图：巩固两角差的正弦与两角和的余弦公式的应用．例2已知1tan 2,tan ,3αβ==-其中0<α<π2<β<π﹒求：（1）tan()αβ-的值；（2）α+β﹒ 师生活动：学生分析解题思路，教师补充． 预设答案：（1）12()tan tan 3tan(===711tan tan 12()3αβαβαβ----++⨯-）； （2）因为0<α<π2<β<π，所以3+22παβπ<<， 而12()tan tan 3tan(===111tan tan 12()3αβαβαβ+-++--⨯-）， 故5+4παβ=． 方法总结：灵活选择适当求角的三角函数值方法．①如果角的取值范围是)20(π,，则选正弦函数、余弦函数均可；②如果角的取值范围是)22(ππ,-，则选正弦函数； ③如果角的取值范围是)0(π,，则选余弦函数． 设计意图：巩固两角和差余弦公式的逆用． 例3已知02πβαπ<<<<，且12cos 213βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，4sin 25αβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭﹒求：（1）tan 2βα⎛⎫-⎪⎝⎭的值；（2）cos 2αβ+⎛⎫⎪⎝⎭的值． 师生活动：学生分析解题思路，教师板书解题过程﹒ 预设答案： （1）因为02πβ<<，所以042πβ-<-<，所以42πβαπ<-<，故5sin 213βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，5tan 212βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（2）cos cos 222αββααβ+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos cos sin sin 2222βαβααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭﹒由2παπ<<得，422παπ<<，又2πβ-<-<0，则422παπβ-<-<，则3cos 25αβ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 故1235416cos213513565αβ+⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭． 方法总结：这类问题要注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．设计意图：巩固角的变换以及两角和差正弦、余弦、正切公式的运用． 【板书设计】四、归纳小结问题5：回归本节的学习，你有什么收获？可以从以下几个问题归纳． （1）利用两角和差的正弦、余弦、公式的求值中，要注意什么？ （2）给值求值问题的解题方法是什么？常用的角的变换技巧有哪些？ 师生活动：学生尝试总结，老师适当补充． 预设答案：（1）化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan π4”，“3＝tan π3”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值． （2）在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．具体做法是：①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．②当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生掌握利用两角和差公式解决求值问题的方法技巧．布置作业：教科书第P147练习第6，7，8题；P152习题A 组第4，5，6题． 五、目标检测设计1﹒已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ等于( ) A ．2 B ．1 C ﹒12D ．4设计意图：检查学生对两角和的正切公式掌握情况． 2﹒已知α∈）（ππ,2，)4sin(πα+＝35，则sin α等于( )A ﹒210 B ﹒7210 C ﹒－210或7210 D ﹒－7210设计意图：检查学生对两角和差公式的综合应用的掌握情况． 3﹒设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则cos θ=______；sin()4πθ+=______﹒ 设计意图：检查学生对两角和的余弦及两角和的正切公式的掌握情况．4﹒如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255﹒ (1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．设计意图：检查学生对两角和、差的公式的掌握情况． 【参考答案】1．答案：C ﹒解析：因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝21－tan αtan β＝4，所以tan αtan β＝12﹒2．答案：B ﹒ 解析：由α∈）（ππ,2得，3π4<α＋π4<5π4， 所以)4cos(πα+＝)4(12πα+--sin ＝54)53(12-=--﹒ 所以sin α＝]4)4([ππα-sin +＝)4sin(πα+4cosπ－4s πin )4cos(πα+＝22×)5453(+＝7210﹒ 3．答案：，解析：1tan()tan11442tan tan()4431tan()tan 1444ππθππθθπππθ+--=+-===-+++．由22sin 1tan cos 3sin cos 1θθθθθ⎧==-⎪⎨⎪+=⎩， 结合θ为第二象限角，则cos 0θ<， 可得cos 10θ=-，sin 10θ=﹒ 所以sin()sin )425πθθθ+=+=-﹒ 4．解：由条件得cos α＝210，cos β＝255， ∵α，β为锐角，∴sin α＝7210，sin β＝55，∴tan α＝7，tan β＝12﹒(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3﹒(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan(ɑ＋β)＋tanβ1－tan(ɑ＋β)tan β＝－3＋121－(－3)×12＝－1，∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，故可得α＋2β＝3π4．。
高中数学 第三章 两角和与差的正切函数参考教案 北师大版必修4(1)
两角和与差的正切函数一、教学目标1、知识与技能：（1）能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式；（2）能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明；（3）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；（4）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法：借助两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，让学生进一步体会各个公式之间的联系及结构特点；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.二、教学重、难点 ：重点: 公式的应用. 难点: 公式的推导.三、学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：通过通过类比分析、探索、掌握两角和与差的正切公式的推导过程。
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。
教学用具:电脑、投影机四、教学过程【探究新知】1．两角和与差的正切公式 T α+β ,T α-β问：在两角和与差的正、余弦公式的基础上，你能用tan α，tan β表示tan(α+β)和tan(α-β)吗？（让学生回答）[展示投影] ∵cos (α+β)≠0tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++ 当cos αcos β≠0时 分子分母同时除以cos αcos β得：以-β代β得： tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+ tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-2．运用此公式应注意些什么？（让学生回答）[展示投影] 注意：1︒必须在定义域范围内使用上述公式。
即：tan α，tan β，tan(α±β)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解；2︒注意公式的结构，尤其是符号。
高中数学 第三章 三角恒等变形 2.3 两角和与差的正切函数学案 北师大版必修4
2.3 两角和与差的正切函数学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．知识点一两角和与差的正切思考1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？思考2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？梳理两角和与差的正切公式知识点二两角和与差的正切公式的变形(1)T(α＋β)的变形：tan α＋tan β＝__________________________.tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝____________.tan αtan β＝________________________.(2)T(α－β)的变形：tan α－tan β＝________________________.tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________. tan αtan β＝________________________.类型一 正切公式的正用例1 (1)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．(2)已知α，β均为锐角，tan α＝12，tan β＝13，则α＋β＝______.反思与感悟 (1)注意用已知角来表示未知角． (2)利用公式T (α＋β)求角的步骤： ①计算待求角的正切值．②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息． ③根据角的范围及三角函数值确定角．跟踪训练1 已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.类型二 正切公式的逆用例2 (1)1＋tan 15°1－tan 15°＝________；(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝________.反思与感悟 注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现12，1，3这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示．跟踪训练2 求下列各式的值： (1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°； (2)1－tan 27°tan 33°tan 27°＋tan 33°.类型三 正切公式的变形使用例3 (1)化简：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°；(2)若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，求α＋β的值．反思与感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式：①tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)或②1∓tan α·tan β＝tan α±tan βα±β.当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果．跟踪训练3 在△ABC 中，A ＋B ≠π2，且tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 的值为( ) A.π3 B.2π3C.π6D.π41．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3 2．已知cos α＝－45，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( )A ．－17B ．－7 C.17D ．73．已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．不确定4．已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝________.5．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.1．公式T (α±β)的结构特征和符号规律(1)公式T (α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”． 2．应用公式T (α±β)时要注意的问题 (1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )． (2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．特别要注意tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α，tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α.(3)公式的变形应用只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路．特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型．答案精析问题导学 知识点一思考1 tan(α＋β)＝sin α＋βcos α＋β＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β，分子分母同除以cos αcos β，便可得到． 思考2 用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到． 知识点二(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－tan α＋tan βα＋β(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) tan α－tan βα－β－1题型探究例1 (1)3 (2)π4跟踪训练1 －43例2 (1) 3 (2)－1 跟踪训练2 (1)－33 (2)33例3 解 (1)方法一 tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37° ＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37° ＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°·tan 37°＝ 3. 方法二∵tan(23°＋37°)＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3－3tan 23°tan 37° ＝tan 23°＋tan 37°，∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3. (2)∵(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4， ∴tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 3.又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°， ∴α＋β＝60°. 跟踪训练3 A 当堂训练1．A 2.D 3.B 4.π4 5.43。
3.2.3【教学设计】《两角和与差的正切函数》(北师大)
用心用情 服务教育两角和与差的正切函数》教材通过类比正、余弦函数的定义的推导得出正切函数的定义，锻炼学生类比推理的的能力。
【知识与能力目标】理解并掌握正切函数的定义。
【过程与方法目标】类比正、余弦函数的定义得出正切函数的定义。
【情感态度价值观目标】通过正切函数定义的过程，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神。
【教学重点】理解并掌握正切函数的定义。
【教学难点】理解并掌握正切函数的定义。
用心用情 服务教育电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、探究新知。
和角与差角正切公式的应用和角与差角正切变形公式的应用二、 例题解析。
例题1、不查表求值1tan105（）2tan 75（）3tan15（）1221tan ,tan(),tan(2).25ααβαβ=-=--例题、（）已知求 ()44tan ,tan(),tan 2.55αβαβα+=-=-（2）已知求 ()21tan ,tan(),tan().5444ππαββα+=-=+（3）已知求()2αβααβ-=+-解：（1）()tan(2)tan ()αβααβ∴-=+-tantan()1tan tan()ααβααβ+-=-⋅- ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-⋅()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+⋅()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+⋅-⋅()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-⋅+⋅1tan105（）tan(6045)=+tan 60tan 451tan 60tan 45+=-⋅=2=-2tan 75（）tan(4530)2=+=3tan15（）tan(4530)2=-=。
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第2课时 两角和与差的正切函数[核心必知]两角和与差的正切公式[问题思考]对于两角和与差的正切公式，你能写出它的几种变形吗？ 提示：常见的变形公式有：①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)； ③tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)； ④tan(α＋β)－tan α－tan β＝tan αtan βtan(α＋β)； ⑤1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan （α＋β）；⑥1＋tan αtan β＝tan α－tan βtan （α－β）.讲一讲 1．计算：(1)1－tan 75°1＋tan 75°＝________； (2)tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝________． [尝试解答] (1)法一：∵tan 75°＝tan(45°＋30°) ＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝3＋33－3＝2＋ 3 ∴1－tan 75°1＋tan 75°＝1－（2＋3）1＋2＋3＝3＋13＋3＝－33.法二：原式＝tan 45°－tan 75°1－tan 45°tan 75°＝tan(45°－75°)＝－tan 30°＝－33. (2)∵tan 10°＋tan 50°1－tan 10°tan 50°＝tan 60°，∴原式＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＋3tan 10°tan 50° ＝3－3tan 10°tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝ 3.利用两角和与差的正切公式解决给角求值问题，关键是对公式的灵活运用，既要会“正用”还要会“逆用”和“变形”用，如进行“1”的代换，常见1＝tan 45°，及变形公式tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)等．练一练 1．计算：(1)sin 15°＋cos 15°sin 15°－cos 15°＝________； (2)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝________．解析：(1)原式＝tan 15°＋1tan 15°－1＝tan 15°＋tan 45°tan 45°tan 15°－1＝－tan(15°＋45°) ＝－tan 60°＝－ 3.(2)原式＝1＋tan 23°＋tan 22°＋tan 22°tan 23°＝1＋tan(22°＋23°)(1－tan 22°tan 23°)＋tan 22°tan 23° ＝1＋1×(1－tan 22°tan 23°)＋tan 22°tan 23°＝2. 答案：(1)－ 3(2)2讲一讲2．已知tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，求tan(α＋π4)．[尝试解答] ∵tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，∴tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan （α＋β）－tan （β－π4）1＋tan （α＋β）tan （β－π4）＝25－141＋25×14＝322.“给值求值”即给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于先用公式分析待求问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向已知转化．解题过程中需多加注意角的范围，必要时实行拆分角．2．已知sin(π＋θ)＝－35，tan φ＝12，并且θ是第二象限的角，求tan(θ－φ)的值．解：∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－35，∴sin θ＝35.又θ是第二象限角，∴cos θ＝－ 1－sin 2θ＝－45，∴tan θ＝sin θcos θ＝－34，又tan φ＝12，∴tan(θ－φ)＝tan θ－tan φ1＋tan θtan φ＝－34－121＋（－34）×12＝－2.讲一讲3．已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．[尝试解答] ∵tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝12，∴tan α－（－17）1＋tan α（－17）＝12.∴tan α＝13.∴tan π4＝1＞tan α＝13＞0.又∵α∈(0，π)， ∴α∈(0，π4)．∴2α∈(0，π2)．∵β∈(0，π)，tan β＝－17，∴β∈(π2，π)．∴－π＜2α－β＜0.∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝tan （α－β）＋tan α1－tan （α－β）tan α＝12＋131－12×13＝1＞0， ∴2α－β ＝－3π4.在求角问题中，常常因出现忽视角的范围出现增根而不能排除的错误，因此在解答该类问题时，应尽量缩小角的范围，使得该范围内的角和所求得的函数值一一对应．练一练3．若tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈(－π2，π2)，则α＋β＝________．解析：由题意得tan α＋tan β＝－33<0，tan α×tan β＝4>0，∴tan α<0，tan β<0，∴α，β∈(－π2，0)，∴α＋β∈(－π，0)而tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，∴α＋β＝－23π.答案：－23π已知tan θ＝1，sin(2θ＋φ)＝3sin φ，试求tan(θ＋φ)的值． [错解] 由tan θ＝1，可设θ＝π4，代入sin(2θ＋φ)＝3sin φ， 得cos φ＝3sin φ， 即tan φ＝13.∴tan(θ＋φ)＝tan(π4＋φ)＝tan π4＋tan φ1－tan π4tan φ＝1＋131－13＝2.[错因] 上述解法犯了以特殊代替一般的错误，是不完整的错误解法．本题应注意从tan θ＝1解得θ＝k π＋π4(k ∈Z )，从而可把θ代入sin(2θ＋φ)＝3sin φ得解．另外，若注意到角的变化：2θ＋φ＝(θ＋φ)＋θ，φ＝(θ＋φ)－θ，仍可得解．[正解] 法一：由tan θ＝1，得θ＝k π＋π4(k ∈Z )，故sin(2θ＋φ)＝sin(π2＋φ)＝cos φ.∵sin(2θ＋φ)＝3sin φ， ∴tan φ＝13.∴tan(θ＋φ)＝tan(π4＋φ)＝tan π4＋tan φ1－tan π4tan φ＝1＋131－13＝2.法二：由sin(2θ＋φ)＝3sin φ，可得sin[(θ＋φ)＋θ]＝3sin[(θ＋φ)－θ]． 由两角和、差的正弦公式得2cos(θ＋φ)sin θ＝sin(θ＋φ)cos θ. ∴2tan θ＝tan(θ＋φ)． ∴tan(θ＋φ)＝2.1．tan 195°的值为( )A ．2＋ 3B ．2－ 3 C.3－1 D.3－2解析：选B tan 195°＝tan 15°＝tan(45°－30°)＝1－tan 30°1＋tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3. 2．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－7解析：选A ∵sin α＝35，α∈(π2，π)，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45.∴tan α＝sin αcos α＝－34，∴tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝17.3．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β＝( ) A ．2 B ．1 C.12D ．4 解析：选C 由tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，得tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan （α＋β）＝1－24＝12.4．已知tan(α－π4)＝2，则tan α等于________．解析：∵tan(α－π4)＝2，∴tan α－11＋tan α＝2，解得tan α＝－3. 答案：－35．(新课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________． 解析：本题考查同角三角函数关系式以及两角和三角函数公式的基本运用，意在考查考生灵活运用知识解决问题的能力以及合理选取解法的能力．法一：由θ在第二象限，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，因而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－55，因而sin θ＋cos θ＝ 2 sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－105.法二：如果将tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12利用两角和的正切公式展开，则tan θ＋11－tan θ＝12，求得tan θ＝－13.又因为θ在第二象限，则sin θ＝110，cos θ＝－310，从而sin θ＋cos θ＝－210＝－105. 答案：－1056．已知tan α＝13，cos β＝－55.若0°<α<90°<β<180°，求α＋β的值． 解：∵cos β＝－55，90°<β<180°， ∴sin β＝1－cos 2β＝255.∴tan β＝sin βcos β＝－2，又tan α＝13.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.∵0°<α<90°<β<180°， ∴90°<α＋β<270°. ∴α＋β＝135°.一、选择题 1.tan 51°＋tan 9°1－tan 51°tan 9°等于( )A ．tan 42° B.33C. 3 D ．－ 3解析：选C 原式＝tan(51°＋9°)＝tan 60°＝ 3.2．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则∠C 等于( )A.π3B.2π3C.π6 D.π4解析：选A 已知条件可化为tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＝3(tan A tan B －1)． ∴tan(A ＋B )＝－tan C ＝－ 3. ∴tan C ＝3，即C ＝π3.3．已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，则tan 2α＝( ) A ．－47 B.47C.18 D ．－18解析：选A tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝tan （α＋β）＋tan （α－β）1－tan （α＋β）tan （α－β）＝5＋31－5×3＝－47.4．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.1318B.1322 C.322 D.16解析：选C ∵α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan （α＋β）－tan （β－π4）1＋tan （α＋β）tan （β－π4）＝322.二、填空题 5.tan 20°tan （－50°）－1tan 20°－tan 50°＝________．解析：原式＝－tan 20°tan 50°＋1tan 20°－tan 50°＝1tan 50°－tan 20°1＋tan 20°tan 50°＝1tan （50°－20°）＝1tan 30°＝ 3.答案： 36.1－3tan 75°3＋tan 75°＝________．解析：法一：原式＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75° ＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－1. 法二：原式＝1－tan 60°tan 75°tan 60°＋tan 75°＝1tan （60°＋75°）＝1tan 135°＝－1.答案：－17．若A ＝18°，B ＝27°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值是________．解析：原式＝tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＋1＝tan(18°＋27°)(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°tan 27°＋1＝2.答案：28．已知tan θ和tan(π4－θ)是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根，则p ，q 满足关系式为________．解析：由题意知，tan θ＋tan(π4－θ)＝－p ，tan θtan(π4－θ)＝q .又∵θ＋π4－θ＝π4，∴tan(θ＋π4－θ)＝tan θ＋tan （π4－θ）1－tan θtan （π4－θ）＝－p1－q＝1.∴p －q ＋1＝0. 答案：p －q ＋1＝0 三、解答题9. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点．已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义，可知cos α＝210，cos β＝255， 因α为锐角，故sin α＞0.从而sin α＝1－cos 2α＝7210. 同理可得sin β＝55. 因此tan α＝7，tan β＝12. 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－（－3）×12＝－1. 又0＜α＜π2，0＜β＜π2，故0＜α＋2β＜3π2. 从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝3π4. 10．是否存在锐角α和β，使得下列两式：(1)α＋2β＝23π； (2)tan α2tan β＝2－3同时成立． 解：假设存在符合题意的锐角α和β，由(1)知α2＋β＝π3，∴tan(α2＋β)＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3. 由(2)知tan α2tan β＝2－3， ∴tan α2＋tan β＝3－ 3. ∴tan α2，tan β是方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两个根， 得x 1＝1，x 2＝2－ 3.∵0<α<π2，则0<tan α2<1， ∴tan α2≠1，即tan α2＝2－3，tan β＝1. 又∵0<β<π2，则β＝π4，代入(1)，得α＝π6， ∴存在锐角α＝π6，β＝π4使(1)(2)同时成立．。