第8讲 分式方程及其应用

x－1 x－2 2x＋a 试题 当 a 取什么值时，方程 － ＝ 的解是负 x－2 x＋1 （x－2）（x＋1） 数？ 错解 解：原方程两边同乘以(x－2)(1)，得 a＋5 x －1－x ＋4x－4＝2x＋a，2x＝a＋5，∴x＝ 2 .
2 2
a＋5 由 2 ＜0，得 a＜－5. 故当 a＜－5 时，原方程的解是负数． 剖析 (1)利用分式的基本性质进行恒等变形时， 应注意分子与分母同乘或同除 以的整式的值不能是零； (2) 错解的原因在于没有考虑最简公分母(x－2)(x＋1)不为零．
正解 当 x≠－1 且 x≠2 时，原方程两边都乘以(x－2)(x＋1)，得 x2－1－x2 a＋5 a＋5 a＋5 ＋4x－4＝2x＋a，2x＝a＋5，∴x＝ .由 ＜0，得 a＜－5，又由 2 2 2 a＋5 ≠2，得 a≠－1； 2 ≠－1，得 a≠－7，故当 a＜－5 且 a≠－7 时，原方 程的解是负数
2 3 1．(2015· 天津)分式方程 ＝ 的解为( D ) x－3 x A．x＝0 B．x＝5 C．x＝3 D．x＝9
x＋m 2 2．(2015· 营口)若关于 x 的分式方程 ＋ ＝2 有增根，则 m 的值是 x－3 3－x (A) A．m＝－1 B．m＝0 C．m＝3 D．m＝0 或 3
m－1 3．(2015· 荆州)若关于 x 的分式方程 ＝2 的解为非负数，则 m 的取 x－1 值范围是( D ) A．m＞－1 B．m≥1 C．m＞－1 且 m≠1 D．m≥－1 且 m≠1 4．(2015· 茂名)张三和李四两人加工同一种零件，每小时张三比李四多加 工 5 个零件，张三加工 120 个这种零件与李四加工 100 个这种零件所用时间 相等，求张三和李四每小时各加工多少个这种零件？若设张三每小时加工这 种零件 x 个，则下面列出的方程正确的是( B ) 120 100 A. ＝ x x－5 120 100 C. ＝ x x＋5 120 100 B. x ＝ x－5 120 100 D. x ＝ x＋5
[对应训练] 1．(1)下列方程中是分式方程的是( C ) x2－1 5 A．2x－1＝4－2x B. 3 ＝2 x－3 x＋4 2x 1 C. ＋ ＝1 D. 2 ＋x＝ 3 x－1 x＋1 x 3 (2) (2014· 德州)分式方程 －1＝ 的解是( D ) x－1 （x－1）（x＋2） A．x＝1 B．x＝－1＋ 5 C．x＝2 D．无解
数学
第二章 方程与不等式 第8讲 分式方程及其应用
1．分式方程 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. ____ 2．分式方程的解法 (1)解分式方程的步骤： ①方程两边都乘以各个分式的 最简公分母 ，约去分母， 化成整式方程； ②解这个整式方程； ③检验：把求得的x的值代入最简公分母中，看是否等于0，使 最简公分母为0的根为原方程的增根，必须舍去． 等于零 的根． (2)增根：使分式方程分母 (3)验根方法： ①利用方程的解的定义进行检验； ②将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为 0，不为0就是原分式方程的根，若为0则为增根，必须舍去．
解：(1)设乙种款型的 T 恤衫购进 x 件，则甲种款型的 T 恤衫购进 1.5x 件， 7800 6400 依题意有 ＋30＝ ，解得 x＝40，经检验，x＝40 是原方程组的解，且 1.5x x 符合题意，1.5x＝60.答：甲种款型的 T 恤衫购进 60 件，乙种款型的 T 恤衫购 6400 进 40 件 (2) ＝160， 160－30＝130(元)， 130×60%×60＋160×60%×(40÷ 2) x －160×[1－(1＋60%)×0.5]×(40÷ 2)＝4680＋1920－640＝5960(元)答：售完这 批 T 恤衫商店共获利 5960 元
x 2 (3) (2015· 德州)方程 －x＝1 的解是 x－1 3x 6 (4)(2015· 龙岩)解方程：1＋ ＝ . x－2 x－2
x＝2
．
解：方程两边同乘以 (x－2)得，(x－2)＋3x＝6，解得；x＝2，检验 ： 当x＝2时，x－2＝0，∴x＝2不是原分式方程的解，∴原分式方程 无解
【例 3】 (2015· 贵港)某工厂通过科技创新，生产效率不断提高．已知 去年月平均生产量为 120 台机器，今年一月份的生产量比去年月平均生产量 增长了 m%，二月份的生产量又比一月份生产量多 50 台机器，而且二月份生 产 60 台机器所需要时间与一月份生产 45 台机器所需时间相同，三月份的生 产量恰好是去年月平均生产量的 2 倍． 问：今年第一季度生产总量是多少台机器？m 的值是多少？ 解：设去年月平均生产效率为 1，则今年一月份的生产效率为(1＋m%)， 5 60 45 二月份的生产效率为 1＋m%＋ .根据题意得： ＝ ， 解得： 12 5 1＋m% 1＋m%＋ 12 1 1 m%＝ .经检验可知 m%＝ 是原方程的解．∴m＝25.∴第一季度的总产量＝ 4 4 120×1.25＋120×1.25＋50＋120×2＝590. 答：今年第一季度生产总量是 590 台，m 的值是 25
1．解分式方程的关键步骤是去分母，将分式方程转化为整式方 程，而去分母的关键是要找出最简公分母，方法是：①系数取最 小公倍数；②出现的字母取最高次幂；③出现的因式取最高次幂 ． 2．已知分式方程的解的情况，求方程中字母系数的范围问题时 ：需先按照解分式方程的一般步骤，用含有未知数的式子表示出 分式方程的解，再根据题目中要求的解的情况，列出不等式来求 解字母取值范围．
3．分式方程的应用 (1)用分式方程解实际问题的一般步骤
注意：双检验是——①检验是否是分式方程的解；②检验是否符合实际 问题． (2)用分式方程解实际问题的一般类型主要涉及工程问题、行程问题等 工作量 路程 ， 每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝ ____等， 工作效率 ，时间＝ 速度 如果工作量或路程是已知条件，另外的两个量又分别具有某种等量关系，常 可以建立分式方程模型来解决．
5．(2015· 东营)若分式方程
x－a ±1 ． ＝a 无解，则 a 的值为____ x＋1
点拨： ：去分母得：x－a＝ax＋a，即(a－1)x＝－2a，显然 a＝1 时，方程
无解；由分式方程无解，得到 x＋1＝0，即 x＝－1，把 x＝－1 代入整式方
程得：－1－a＝－a＋a，解得：a＝－1，综上，a 的值为± 1，故答案为：± 1
【点评】 (1)按照基本步骤解分式方程，其关键是确定各分 式的最简公分母．若分母为多项式时，应首先进行分解因式．将 分式方程转化为整式方程，乘最简公分母时，应乘原分式方程的 每一项，不要漏乘常数项； (2)检验是否产生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后 整式方程的某个根，如果它使分式方程的某些分母为零，则是原 方程的增根，须舍去．
【点评】 分式方程解应用题．注意双重检验，先检验是否有增 根，再检验是否符合题意．
[对应训练] 3．(2015· 泰安)某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚 T 恤衫，甲种款 型共用了 7800 元，乙种款型共用了 6400 元，甲种款型的件数是乙种款型件 数的 1.5 倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少 30 元． (1)甲、乙两种款型的 T 恤衫各购进多少件？ (2)商店进价提高 60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙 款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完， 求售完这批 T 恤衫商店共获利多少元？
a＋2 【例 2】 已知关于 x 的分式方程 ＝1 的解是非正数，则 a 的取值范 x＋1 围是( B ) A．a≤－1 B．a≤－1 且 a≠－2 C．a≤1 且 a≠－2 D．a≤1
【点评】 此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为0这个条件．
[对应训练] a－2 1 2． (1) (2015· 遵义)若 x＝3 是分式方程 x － ＝0 的根， 则 a 的值是( A ) x－2 A．5 B．－5 C．3 D．－3 1 2 (2)(2015· 毕节)关于 x 的方程 x2－4x＋3＝0 与 ＝ 有一个解相同， x－1 x＋a 1 ． 则 a＝____
1－x 1 【例 1】 (1)(2015· 威海)分式方程 ＝ －2 的解为 x＝4 x－3 3－x 2x－1 x (2)(2015· 宁夏)解方程： － 2 ＝1. x－1 x －1
；
解：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得 x(x＋1)－(2x－1)＝(x＋1)(x－1)，解 得 x＝2.经检验：当 x＝2 时，(x＋1)(x－1)≠0，∴原分式方程的解为：x＝2