第8讲分式方程(测)(解析版)

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分式方程篇(解析版)--中考数学必考考点总结+题型专训

知识回顾微专题分式方程--中考数学必考考点总结+题型专训考点一：分式方程之分式方程的解与解分式方程1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2.分式方程的解：使分式方程成立的未知数的值叫做分式方程的解。

3.解分式方程。

具体步骤：①去分母——分式方程的两边同时乘上分母的最简公分母。

把分式方程化成整式方程。

②解整式方程。

③检验——把解出来的未知数的值带入公分母中检验公分母是否为0。

若公分母不为0，则未知数的值即是原分式方程的解。

若公分母为0，则未知数的值是原分式方程的曾根，原分式方程无解。

1．（2022•营口）分式方程3=x 的解是（）A ．x ＝2B ．x ＝﹣6C ．x ＝6D ．x ＝﹣2【分析】方程两边都乘x （x ﹣2）得出3（x ﹣2）＝2x ，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：＝，方程两边都乘x （x ﹣2），得3（x ﹣2）＝2x ，解得：x ＝6，检验：当x ＝6时，x （x ﹣2）≠0，所以x ＝6是原方程的解，即原方程的解是x ＝6，故选：C ．2．（2022•海南）分式方程12-x ﹣1＝0的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣2C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【分析】方程两边同时乘以（x ﹣1），把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．【解答】解：去分母得：2﹣（x ﹣1）＝0，解得：x ＝3，当x ＝3时，x ﹣1≠0，∴x ＝3是分式方程的根，故选：C ．3．（2022•毕节市）小明解分式方程33211+=+x xx ﹣1的过程如下．解：去分母，得3＝2x ﹣（3x +3）．①去括号，得3＝2x ﹣3x +3．②移项、合并同类项，得﹣x ＝6．③化系数为1，得x ＝﹣6．④以上步骤中，开始出错的一步是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】按照解分式方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．【解答】解：去分母得：3＝2x ﹣（3x +3）①，去括号得：3＝2x ﹣3x ﹣3②，∴开始出错的一步是②，故选：B ．4．（2022•无锡）分式方程xx 132=-的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【分析】将分式方程转化为整式方程，求出x 的值，检验即可得出答案．【解答】解：＝，方程两边都乘x （x ﹣3）得：2x ＝x ﹣3，解得：x ＝﹣3，检验：当x ＝﹣3时，x （x ﹣3）≠0，∴x ＝﹣3是原方程的解．故选：D ．5．（2022•济南）代数式23+x 与代数式12-x 的值相等，则x ＝．【分析】根据题意列方程，再根据解分式方程的步骤和方法进行计算即可．【解答】解：由题意得，＝，去分母得，3（x ﹣1）＝2（x +2），去括号得，3x ﹣3＝2x +4，移项得，3x ﹣2x ＝4+3，解得x ＝7，经检验x ＝7是原方程的解，所以原方程的解为x ＝7，故答案为：7．6．（2022•绵阳）方程113-+=-x x x x 的解是．【分析】先在方程两边乘最简公分母（x ﹣3）（x ﹣1）去分母，然后解整式方程即可．【解答】解：＝，方程两边同乘（x ﹣3）（x ﹣1），得x （x ﹣1）＝（x +1）（x ﹣3），解得x ＝﹣3，检验：当x ＝﹣3时，（x ﹣3）（x ﹣1）≠0，∴方程的解为x ＝﹣3．故答案为：x ＝﹣3．7．（2022•盐城）分式方程121-+x x ＝1的解为．【分析】先把分式方程转化为整式方程，再求解即可．【解答】解：方程的两边都乘以（2x ﹣1），得x +1＝2x ﹣1，解得x ＝2．经检验，x ＝2是原方程的解．故答案为：x ＝2．8．（2022•内江）对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝a 1﹣b1．若（2x ﹣1）⊕2＝1，则x 的值为．【分析】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．【解答】解：由题意得：＝1，解得：x ＝．经检验，x ＝是原方程的根，∴x ＝．故答案为：．9．（2022•永州）解分式方程112+-x x ＝0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是．【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案．【解答】解：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是x （x +1）．故答案为：x （x +1）．10．（2022•常德）方程()xx x x 25212=-+的解为．【分析】方程两边同乘2x （x ﹣2），得到整式方程，解整式方程求出x 的值，检验后得到答案．【解答】解：方程两边同乘2x （x ﹣2），得4x ﹣8+2＝5x ﹣10，解得：x ＝4，检验：当x ＝4时，2x （x ﹣2）＝16≠0，∴x ＝4是原方程的解，∴原方程的解为x ＝4．11．（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，a ⊗b ＝a 1+b 1．若（x +1）⊗x ＝xx 12+，则x 的值为．【分析】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案．【解答】解：根据题意得：+＝，化为整式方程得：x +x +1＝（2x +1）（x +1），解得：x ＝﹣，检验：当x ＝﹣时，x （x +1）≠0，∴原方程的解为：x ＝﹣．故答案为：﹣．12．（2022•成都）分式方程xx x -+--4143＝1的解为．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3﹣x ﹣1＝x ﹣4，解得：x ＝3，经检验x ＝3是分式方程的解，故答案为：x ＝3．13．（2022•牡丹江）若关于x 的方程11--x mx ＝3无解，则m 的值为（）A ．1B ．1或3C ．1或2D ．2或3【分析】先去分母，再根据条件求m ．【解答】解：两边同乘以（x ﹣1）得：mx ﹣1＝3x ﹣3，∴（m ﹣3）x ＝﹣2．当m ﹣3＝0时，即m ＝3时，原方程无解，符合题意．当m ﹣3≠0时，x ＝，∵方程无解，∴x ﹣1＝0，∴x ＝1，∴m ﹣3＝﹣2，∴m ＝1，综上：当m ＝1或3时，原方程无解．故选：B ．14．（2022•通辽）若关于x 的分式方程：2﹣221--x k ＝x-21的解为正数，则k 的取值范围为（）A ．k ＜2B ．k ＜2且k ≠0C ．k ＞﹣1D ．k ＞﹣1且k ≠0【分析】先解分式方程可得x ＝2﹣k ，再由题意可得2﹣k ＞0且2﹣k ≠2，从而求出k 的取值范围．【解答】解：2﹣＝，2（x ﹣2）﹣（1﹣2k ）＝﹣1，2x ﹣4﹣1+2k ＝﹣1，2x ＝4﹣2k ，x ＝2﹣k ，∵方程的解为正数，∴2﹣k ＞0，∴k ＜2，∵x ≠2，∴2﹣k ≠2，∴k ≠0，∴k ＜2且k ≠0，故选：B ．15．（2022•黑龙江）已知关于x 的分式方程xx m x ----1312＝1的解是正数，则m 的取值范围是（）A ．m ＞4B ．m ＜4C ．m ＞4且m ≠5D ．m ＜4且m ≠1【分析】先利用m 表示出x 的值，再由x 为正数求出m 的取值范围即可．【解答】解：方程两边同时乘以x ﹣1得，2x ﹣m +3＝x ﹣1，解得x ＝m ﹣4．∵x 为正数，∴m ﹣4＞0，解得m ＞4，∵x ≠1，∴m ﹣4≠1，即m ≠5，∴m 的取值范围是m ＞4且m ≠5．故选：C ．16．（2022•德阳）如果关于x 的方程12-+x mx ＝1的解是正数，那么m 的取值范围是（）A ．m ＞﹣1B ．m ＞﹣1且m ≠0C ．m ＜﹣1D ．m ＜﹣1且m ≠﹣2【分析】先去分母将分式方程化成整式方程，再求出方程的解x ＝﹣1﹣m ，利用x ＞0和x ≠1得出不等式组，解不等式组即可求出m 的范围．【解答】解：两边同时乘（x ﹣1）得，2x +m ＝x ﹣1，解得：x ＝﹣1﹣m ，又∵方程的解是正数，且x ≠1，∴，即，解得：，∴m 的取值范围为：m ＜﹣1且m ≠﹣2．故答案为：D ．17．（2022•重庆）关于x 的分式方程x x x a x -++--3133＝1的解为正数，且关于y 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-+≤+132229a y y y 的解集为y ≥5，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．13B ．15C ．18D ．20【分析】解分式方程得得出x ＝a ﹣2，结合题意及分式方程的意义求出a ＞2且a ≠5，解不等式组得出，结合题意得出a ＜7，进而得出2＜a ＜7且a ≠5，继而得出所有满足条件的整数a 的值之和，即可得出答案．【解答】解：解分式方程得：x ＝a ﹣2，∵x ＞0且x ≠3，∴a ﹣2＞0且a ﹣2≠3，∴a ＞2且a ≠5，解不等式组得：，∵不等式组的解集为y ≥5，∴＜5，∴a ＜7，∴2＜a ＜7且a ≠5，∴所有满足条件的整数a 的值之和为3+4+6＝13，故选：A ．18．（2022•重庆）若关于x 的一元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--≥-a x x x ＜153141的解集为x ≤﹣2，且关于y 的分式方程111+=+-y ay y ﹣2的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．﹣26B ．﹣24C ．﹣15D ．﹣13【分析】解不等式组得出，结合题意得出a ＞﹣11，解分式方程得出y ＝，结合题意得出a ＝﹣8或﹣5，进而得出所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，即可得出答案．【解答】解：解不等式组得：，∵不等式组的解集为x ≤﹣2，∴＞﹣2，∴a ＞﹣11，解分式方程＝﹣2得：y＝，∵y 是负整数且y ≠﹣1，∴是负整数且≠﹣1，∴a ＝﹣8或﹣5，∴所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，故选：D ．19．（2022•遂宁）若关于x 的方程122+=x mx 无解，则m 的值为（）A ．0B ．4或6C ．6D ．0或4【分析】解分式方程可得（4﹣m ）x ＝﹣2，根据题意可知，4﹣m ＝0或2x +1＝0，求出m 的值即可．【解答】解：＝，2（2x +1）＝mx ，4x +2＝mx ，（4﹣m ）x ＝﹣2，∵方程无解，∴4﹣m ＝0或2x +1＝0，即4﹣m ＝0或x ＝﹣＝﹣，∴m ＝4或m ＝0，故选：D ．20．（2022•黄石）已知关于x 的方程()1111++=++x x ax x x 的解为负数，则a 的取值范围是．【分析】先求整式方程的解，然后再解不等式组即可，需要注意分式方程的分母不为0．【解答】解：去分母得：x +1+x ＝x +a ，解得：x ＝a ﹣1，∵分式方程的解为负数，∴a ﹣1＜0且a ﹣1≠0且a ﹣1≠﹣1，∴a ＜1且a ≠0，∴a 的取值范围是a ＜1且a ≠0，故答案为：a ＜1且a ≠0．21．（2022•齐齐哈尔）若关于x 的分式方程4222212-+=++-x mx x x 的解大于1，则m 的取值范围是．【解答】解：，给分式方程两边同时乘以最简公分母（x +2）（x ﹣2），得（x +2）+2（x ﹣2）＝x +2m ，去括号，得x +2+2x ﹣4＝x +2m ，解方程，得x ＝m +1，检验：当m +1≠2，m +1≠﹣2，即m ≠1且m ≠﹣3时，x ＝m +1是原分式方程的解，根据题意可得，m +1＞1，∴m ＞0且m ≠1．知识回顾故答案为：m ＞0且m ≠1．22．（2022•泸州）若方程xx x -=+--23123的解使关于x 的不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0成立，则实数a 的取值范围是．【分析】先解分式方程，再将x 代入不等式中即可求解．【解答】解：+1＝，+＝，＝0，解得：x ＝1，∵x ﹣2≠0，2﹣x ≠0，∴x ＝1是分式方程的解，将x ＝1代入不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0，得：2﹣a ﹣3＞0，解得：a ＜﹣1，∴实数a 的取值范围是a ＜﹣1，故答案为：a ＜﹣1．考点二：分式方程之分式方程的应用1.列分式方程解实际应用题的步骤：①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。

方程应用--分式方程(解析版)-中考数学重难点题型专题汇总

方程应用-中考数学重难点题型专题汇总分式方程（专题训练）1．（2022·云南）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵．则下列方程正确的是（）A．40030050x x=-B．30040050x x=-C．40030050x x=+D．30040050x x=+【答案】B【分析】设实际平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，根据：实际植树400棵所需时间=原计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可．【详解】解：设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，根据题意，可列方程：30040050x x=-，故选：B．【点睛】此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程．2．（2022·山东泰安）某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成；如果乙工程队单独做，则多用3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为x天，下面所列方程中错误的是（）A．2x1x x3+=+B．23x x3=+C．11x221x x3x3-⎛⎫+⨯+=⎪++⎝⎭D．1x1x x3+=+【答案】D【分析】设总工程量为1，因为甲工程队单独去做，恰好能如期完成，所以甲的工作效率为1x；因为乙工程队单独去做，要超过规定日期3天，所以乙的工作效率为1x3+，根据甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队独做，恰好在规定日期完成，列方程即可．【详解】解：设规定日期为x天，由题意可得，11x221 x x3x3-⎛⎫+⨯+=++⎝⎭，整理得2x1x x3+=+，或2x1x x3=-+或23x x3=+．则ABC选项均正确，故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．3．（2022·浙江丽水）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50004000302x x=-，则方程中x 表示（）A ．足球的单价B ．篮球的单价C ．足球的数量D ．篮球的数量【答案】D 【分析】由50004000302x x=-的含义表示的是篮球单价比足球贵30元，从而可以确定x 的含义．【详解】解：由50004000302x x=-可得：由50002x 表示的是足球的单价，而4000x表示的是篮球的单价，x \表示的是购买篮球的数量，故选D【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，理解方程中代数式的含义是解本题的关键．4.（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）2020年疫情防控期间，鄂尔多斯市某电信公司为了满足全体员工的需要，花1万元购买了一批口罩，随着2021年疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩下降10元，电信公司又花6000元购买了一批口罩，购买的数量比2020年购买的数量还多100包，设2020年每包口罩为x 元，可列方程为（）A ．1600010010x x +=-B ．10000600010010x x -=+C ．10000600010010x x =--D ．10000600010010x x -=-【答案】C 【分析】根据题中等量关系“2021年购买的口罩数量比2020年购买的口罩数量多100包”即可列出方程．【详解】解：设2020年每包口罩x 元，则2021年每包口罩（x -10）元．根据题意，得，60001000010010x x-=-．即：100006000=10010x x --．故选：C【点睛】本题考查了列分式方程的知识点，寻找已知量和未知量之间的等量关系是列出方程的关键．5．（山东省淄博市2021年中考数学试题）甲、乙两人沿着总长度为10km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为km/hx，则下列方程中正确的是（）A．1010121.2x x-=B．10100.21.2x x-=C．1010121.2x x-=D．10100.21.2x x-=【答案】D【分析】根据题意可直接进行求解．【详解】解：由题意得：10100.21.2x x-=；故选D．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．6.（2020•长沙）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（）A．400K30=500B．400=500r30C．400=500K30D．400r30=500【分析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，依题意，得：400=500r30．故选：B．7.（2020•福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x﹣1）=6210B．6210K1=3C．3x﹣1=6210D．6210=3【分析】根据单价＝总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解析】依题意，得：3（x﹣1）=6210．故选：A．8.（2020•辽阳）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）A．3000=4200K80B．3000+80=4200 C．4200=3000−80D．3000=4200r80x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数＝投递快递总数量÷人均投递数量结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【解析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，依题意，得：3000=4200r80．故选：D．9.（2020•自贡）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A．80(1+35%)−80=40B．80(1+35%)−80=40 C．80−80(1+35%)=40D．80−80(1+35%)=40【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化的面积为1+35%万平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前40天完成了这一任务，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【解析】设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原计划每天绿化的面积为1+35%万平方米，依题意，得：801+35%−80=40，即80(1+35%)−80=40．故选：A ．10.（2020•襄阳）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的45，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？【分析】设原来每天用水量是x 吨，则现在每天用水量是45吨，根据现在120吨水比以前可多用3天，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解析】设原来每天用水量是x 吨，则现在每天用水量是45x 吨，依题意，得：12045−120=3，解得：x ＝10，经检验，x ＝10∴45x ＝8．答：现在每天用水量是8吨．11.（2021·山东东营市·中考真题）某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x 万平方米，则所列方程为________．【答案】()909030125%x x-=+【分析】原计划每天绿化的面积为x 万平方米，则实际每天绿化的面积为()125%x +万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前30天完成了这一任务，即可列出关于x 的分式方程．【详解】设原计划每天绿化的面积为x 万平方米，则实际每天绿化的面积为()125%x +万平方米，依据题意：()909030125%x x-=+故答案为：()909030125%x x-=+【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．12.（2021·辽宁本溪市·中考真题）为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，A 种奖品的单价比B 种奖品的单价多10元，用300元购买A 种奖品的数量与用240元购买B 种奖品的数量相同．设B 种奖品的单价是x 元，则可列分式方程为________．【答案】30024010x x=+【分析】设B 种奖品的单价为x 元，则A 种奖品的单价为（x+10）元，利用数量=总价÷单价，结合用300元购买A 种奖品的件数与用240元购买B 种奖品的件数相同，即可得出关于x 的分式方程．【详解】解：设B 种奖品的单价为x 元，则A 种奖品的单价为（x+10）元，依题意得：30024010x x =+，故答案为：30024010x x=+【点睛】本题考查了根据实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．13．（2022·江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为__________．【答案】16014010 x x=-【分析】先表示乙每小时采样（x-10）人，进而得出甲采样160人和乙采样140人所用的时间，再根据时间相等列出方程即可．【详解】根据题意可知乙每小时采样（x-10）人，根据题意，得16014010x x=-．故答案为：16014010x x=-．【点睛】本题主要考查了列分式方程，确定等量关系是列方程的关键．14.（2022·四川乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．【答案】摩托车的速度为40千米/时【分析】设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时，根据抢修车比摩托车少用10分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】解：设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时，依题意，得：2020101.560x x-=，解得：x=40，经检验，x=40是所列方程的根，且符合题意，答：摩托车的速度为40千米/时．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．15.（2022·重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A 地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．【答案】(1)24/千米时(2)18千米/时【分析】（1）设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为1.2x千米/时，根据甲出发半小时恰好追上乙列方程求解即可；（2）设乙的速度为x 千米/时，则甲的速度为1.2x 千米/时，根据甲、乙恰好同时到达B 地列方程求解即可．(1)解：设乙的速度为x 千米/时，则甲的速度为1.2x 千米/时，由题意得：0.5 1.20.52x x ⨯=+，解得：20x =，则1.224x =（千米/时），答：甲骑行的速度为24千米/时；(2)设乙的速度为x 千米/时，则甲的速度为1.2x 千米/时，由题意得：301303 1.2x x-=，解得15x =，经检验15x =是分式方程的解，则1.218x =（千米/时），答：甲骑行的速度为18千米/时．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．16.（2022·四川自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【答案】张老师骑车的速度为15千米/小时【分析】实际应用题的解题步骤“”，根据问题设未知数，找到题中等量关系张老师先走2小时，结果同时达到列分式方程，求解即可．【详解】解：设张老师骑车的速度为x 千米/小时，则汽车速度是3x 千米/小时，根据题意得：454523x x=+，解之得15x =，经检验15x =是分式方程的解，答：张老师骑车的速度为15千米/小时．【点睛】本题考查分式方程解实际应用题，根据问题设未知数，读懂题意，找到等量关系列出分式方程是解决问题的关键．17.（2022·江苏扬州）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？【答案】每个小组有学生10名．【分析】设每个小组有学生x名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设每个小组有学生x名，根据题意，得3603603 34-=x x，解这个方程，得x＝10，经检验，x＝10是原方程的根，∴每个小组有学生10名．【点睛】此题考查了分式方程的应用，弄清题意是解本题的关键．18.（2021·辽宁丹东市·中考真题）为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，已知乙队比甲队每天少改造20米，甲队改造400米的道路与乙队改造300米的道路所用时间相同，求甲、乙两个工程队每天改造的道路长度分别是多少米？【答案】甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米．【分析】根据题意列出方程求解即可．【详解】解：设甲工程队每天改造的道路长度是x米，列方程得：40030020 x x=-，解得：x=80．80-20=60．答：甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米．【点睛】此题考查了分式方程应用题的解法，解题的关键是根据题意找到等量关系并列出方程．19．（2021·江苏徐州市·中考真题）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？【答案】50【分析】该商品打折卖出x件，找到等量关系即可．【详解】解：该商品打折卖出x件4008400102x x ⋅=+解得x =8经检验：8x =是原方程的解，且符合题意∴商品打折前每件400=508元答：该商品打折前每件50元．【点睛】此题考查分式方程实际问题中的销售问题，找到等量关系是解题的关键．20.（2021·江苏常州市·中考真题）为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天，该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？【答案】该景点在设施改造后平均每天用水2吨．【分析】设该景点在设施改造后平均每天用水x 吨，则原来平均每天用水2x 吨，列出分式方程，即可求解．【详解】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x 吨，则原来平均每天用水2x 吨，由题意得：202052x x-=，解得：x =2，经检验：x =2是方程的解，且符合题意，答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨．【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．21.（2021·吉林长春市·中考真题）为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的售价仅比普通大米多2元，用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同，求每千克有机大米的售价为多少元？【答案】每千克有机大米的售价为7元．【分析】设每千克有机大米的售价为x 元，则每千克普通大米的售价为（x -2）元，根据“用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同”，列出分式方程，即可求解．【详解】解：设每千克有机大米的售价为x元，则每千克普通大米的售价为（x-2）元，根据题意得：4203002x x=-，解得：x=7，经检验：x=7是方程的解，且符合题意，答：每千克有机大米的售价为7元．【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程，是解题的关键．22.（2021·辽宁营口市·中考真题）为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．（1）求这两种图书的单价分别是多少元？（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？【答案】（1）“文学类”图书的单价为15元，则“科普类”图书的单价为18元；（2）最多能购买“科普类”图书33本．【分析】（1）设“文学类”图书的单价为x元，则“科普类”图书的单价为1.2x元，根据数量＝总价÷单价，结合购买“科普类”“文学类”图书的数量多20本，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设能购买“科普类”图书m本，根据总价＝单价×数量，列出不等式，即可求解．【详解】解：（1）设“文学类”图书的单价为x元，则“科普类”图书的单价为1.2x元，依题意，得：3600270020 1.2x x-=，解得：x＝15，经检验，x＝15是所列分式方程的解，且符合题意，∴1.2x＝18．答：“文学类”图书的单价为15元，则“科普类”图书的单价为18元；（2）设能购买“科普类”图书m本，根据题意得：18m+15(100-m)≤1600，解得：1003m≤，∵m为整数，∴最多能购买“科普类”图书33本．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及不等式的应用，找准数量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键．23.（2021·山东济宁市·中考真题）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．【分析】（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意列出方程，解方程即可得出结论；（2）设甲种商品降价a20a箱，利润为w元，根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值．【详解】解：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意得：9004001005x x+=-，整理得：x2-18x+45=0，解得：x=15或x=3（舍去），经检验，x=15是原分式方程的解，符合实际，∴x-5=15-5=10（元），答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，由题意得：w=（15-a）（100+20a）=-20a2+200a+1500=-20（a-5）2+2000，∵a=-20，当a=5时，函数有最大值，最大值是2000元，答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．【点睛】本题考查了分式方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系，准确列出分式方程及函数关系式．24.（2021·内蒙古中考真题）小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．（1）求小刚跑步的平均速度；（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．【答案】（1）小刚跑步的平均速度为150米/分；（2）小刚不能在上课前赶回学校，见解析【分析】（1）根据题意，列出分式方程即可求得小刚的跑步平均速度；（2）先求出小刚跑步和骑自行车的时间，加上取作业本和取自行车的时间，与上课时间20分钟作比较即可．【详解】解：（1）设小刚跑步的平均速度为x米/分，则小刚骑自行车的平均速度为1.6x米/分，根据题意，得180018004.51.6x x+=，解这个方程，得150x=，经检验，150x=是所列方程的根，所以小刚跑步的平均速度为150米/分．（2）由（1）得小刚跑步的平均速度为150米/分，则小刚跑步所用时间为180012150=（分），骑自行车所用时间为12 4.57.5-=（分），在家取作业本和取自行车共用了3分，++=（分）．所以小刚从开始跑步回家到赶回学校需要127.5322.5>，因为22.520所以小刚不能在上课前赶回学校．【点睛】本题考查路程问题的分式方程，解题关键是明确题意，列出分式方程求解．25.（2020•广东）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35．（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．【分析】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，根据用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35这个等量关系列出方程即可．（2）设建A摊位a个，则建B90﹣a）个，结合“B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍”列出不等式并解答．【解析】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，根据题意得：60r2=60⋅35，解得：x＝3，经检验x＝3是原方程的解，所以3+2＝5，答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；（2）设建A摊位a个，则建B摊位（90﹣a）个，由题意得：90﹣a≥3a，解得a≤22.5，∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，此时最大费用为：22×40×5+30×（90﹣22）×3＝10520，答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．26.（2020•牡丹江）某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，B种书包各有几个？【分析】（1）设每个A种书包的进价为x元，则每个B种书包的进价为（x+20）元，根据数量＝总价÷单价结合用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设该商场购进m个A种书包，则购进（2m+5）个B种书包，根据购进A，B两种书包的总费用不超过5450元且A种书包不少于18个，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案；（3）设销售利润为w元，根据总利润＝销售每个书包的利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质可得出获得利润最大的进货方案，设赠送的书包中B 种书包有a个，样品中B种书包有b个，则赠送的书包中A种书包有（5﹣a）个，样品中A 种书包有（4﹣b）个，根据利润＝销售收入﹣成本，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b，（5﹣a），（4﹣b）均为正整数，即可求出结论．【解析】（1）设每个A种书包的进价为x元，则每个B种书包的进价为（x+20）元，依题意，得：700=2×450r20，。

中考数学专题复习4分式、分式方程及一元二次方程(解析版)

分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 一元一次方程相关概念1．等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式．（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式．2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠．【注意】x 前面的系数不为0．3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4. 一元一次方程的求解步骤：步骤解释去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数去括号先去小括号.再去中括号.最后去大括号移项把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边合并同类项把方程化成ax b =-的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a .得到方程的解为bx a=-【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号．【例 1】若()2316m m x --=是一元一次方程,则m 等于（）A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数【答案】B【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m −3│=1.解得m =2或m =1. 根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m −1≠0,解得m ≠1.所以m =2. 故选B.【例 2】关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____．【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．【解析】解：关于x 的方程21120m mx m x +﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程.211m ∴﹣＝.即1m ＝或0m ＝.方程为20x ﹣＝或20x --＝.解得：2x ＝或2x =-.当2m -1=0.即m =12时.方程为112022x --=解得：x =-3. 故答案为x =2或x =-2或x =-3．【例 3】解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【解析】解： 221123x x x ---=-()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x = 27x =考点02 二元一次方程组相关概念1．二元一次方程：含有2个未知数.并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量.其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.并代入另一个方程中.消去一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．5. 列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）6. 一元一次方程（组）的应用：（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．（4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．（9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度．【例 4】已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.那么(n －m )2 012＝______【答案】1【解析】由于－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.所以有由m －1＝n .得－1＝n －m .所以(n －m )2 012＝(－1)2 012＝1.【例5】如图X2－1－1.直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b )．(1)求b 的值．(2)不解关于x .y 的方程组请你直接写出它的解．(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．【答案】（1）2.（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.（3）见解析【解析】解：(1)当x ＝1时.y ＝1＋1＝2.∴b ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (3)∵直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b ).∴当x ＝1时.y ＝m＋n ＝b ＝2.∴ 当x ＝1时.y ＝n ＋m ＝2.∴直线l 3：y ＝nx ＋m 也经过点P .【例6】家电下乡是我国应对当前国际金融危机.惠农强农.带动工业生产.促进消费.拉动内需的一项重要举措。

第8讲等式性质与不等式性质6种题型(解析版)高一数学同步教学题型(人教A版2019必修第一册)

第8讲等式性质与不等式性质6种题型【考点分析】考点一：两个实数的加、乘运算结果的符号的性质：①两个同号实数相加，和的符号不变，即：0,00a b a b >>⇒+>；0,00a b a b <<⇒+<②两个同号实数相乘，积是正数，即：0,00a b ab >>⇒>；0,00a b ab <<⇒>③两个异号实数相乘，积是负数，即：0,00a b ab ><⇒<④任何实数的平方为非负数，0的平方为0，即：20x R x ∈⇒≥，200x x =⇔=.考点二：比较两个实数大小的方法①作差法：对任意两个实数a ,b1.0b a b a ->⇔>；2.0b a b a -<⇔<；3.0b a b a -=⇔=.②作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较ab与1的关系，进一步比较a 与b 的大小.1.1a a b b >⇔>；2.1a a b b <⇔<；3.1aa b b=⇔=.③中间量法：若a b >且b c >，则a c >，一般选择0或1为中间量.考点三：不等式的性质①基本性质有：1.对称性：a b b a >⇔<2.传递性：, a b b c a c >>⇒>3.可加性：a b a c b c >⇔+>+(c ∈R )4.可乘性：a >b ，000c ac bc c ac bcc ac bc >⇒>⎧⎪=⇒=⎨⎪<⇒<⎩②运算性质1.可加法则：,.a b c d a c b d >>⇒+>+2.可乘法则：0,00a b c d a c b d >>>>⇒⋅>⋅>3.可乘方性：*0,0n n a b n N a b >>∈⇒>>【题型目录】题型一：作差法比较两数(式)的大小题型二：作商法比较两数(式)的大小题型三：利用不等式的性质判断命题真假题型四：利用不等式的性质证明不等式题型五：利用不等式的性质比较大小题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【典型例题】题型一：作差法比较两数(式)的大小【例1】（2022·安徽·高一期中）已知a b <，3x a b =-，2y a b a =-，则,x y 的大小关系为（）A ．x y >B ．x y <C ．x y=D ．无法确定【答案】B 【解析】【分析】作差可得x-y 的表达式，根据题意，分析可得x-y 的正负，即可得答案.【详解】()()3221x y a b a b a a b a -=--+=-+，因为a b <，所以0a b -<，又210a +>，所以2()(1)0a b a -+<，即x y <.故选：B【例2】（2022·全国·高一课时练习）若0a b >>，则下列不等式中一定成立的是（）A ．11b b a a +>+B ．11a b a b+>+C ．11a b b a+>+D ．22a b aa b b+>+【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质，对选项逐一判断【详解】对于A ，11(1)b b b a a a a a +--=++，因为0a b >>，故101(1)b b b a a a a a +--=<++，即11b b a a +<+，故A错；对于B ，111()()(1)a b a b a b ab +-+=--不确定符号，取11,2a b ==则11a b a b +<+，故B 错误；对于C ，111(()(1a b a b b a ab+-+=-+，因为0a b >>，故111()()(1)0a b a b b a ab +-+=-+>，即11a b b a+>+，故C 正确；对于D ，2()()2(2)a b a b a b a a b b a b b++--=++，因为0a b >>，故2()()02(2)a b a b a b a a b b a b b ++--=<++，即22a b a a b b+<+，故D 错误．故选：C【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知a =b =c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．c a b>>D ．c b a>>【答案】B 【解析】【分析】通过作差法，a b -D 选项；通过作差法，a c -=，确定符号，排除C 选项；通过作差法，b c -=-，确定符号，排除A 选项；【详解】由a b -=257=+>，故a b >；由a c -=286=>，故a c >；b c -=-且299=++，故c b >.所以a c b >>，故选：B .【题型专练】1.（2021·河南·濮阳市油田第二高级中学高二阶段练习（文））设21P a =+，2Q a =，a R ∈，则P 、Q 的大小为（）A ．P Q ≥B ．P Q>C ．P Q<D ．P Q≤【答案】A 【解析】【分析】利用作差法计算可得；【详解】解：因为21P a =+，2Q a =，所以()221210P Q a a a -=+-=-≥，所以P Q ≥；故选：A2.（2022·新疆克孜勒苏·高一期中）已知21P x =-，22Q x x =-，则P _______Q ．（填“>”或“<”）【答案】<【解析】【分析】作差判断正负即可比较.【详解】因为()222213121024P Q x x x x x x ⎛⎫-=---=-+-=---< ⎪⎝⎭，所以P Q <.故答案为：<.3.（2022·广西·高一阶段练习）（1）比较231x x -+与221x x +-的大小；（2）已知0c a b >>>，求证：a bc a c b>--．【答案】（1）223121x x x x -+>+-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求差法进行大小比较即可；（2）求差法去证明即可解决.【详解】（1）由()()222312122x x x x x x -+-+-=-+()2110x =-+>，可得223121x x x x -+>+-．（2）()()()()()()()a cb bc a a b c a bc a c b c a c b c a c b -----==------，∵0c a b >>>，∴0a b ->，0c a ->，0c b ->，∴()()()0a b c c a c b ->--，∴a bc a c b>--．4.（2022·全国·高一课时练习）已知,,R ,a b c a b c +∈≠≠且，试比较()()()6ab a b bc b c ac a c abc +++++与的大小.【答案】()()()6ab a b bc b c ac a c abc +++++>【解析】【分析】应用作差法：()()()6ab a b bc b c ac a c abc +++++-222()()()b a c a b c c b a =-+-+-，结合已知条件，即可确定大小关系.【详解】()()()6ab a b bc b c ac a c abc +++++-2222226a b ab b c bc a c ac abc=+++++-222222(2)(2)(2)a b bc abc ab ac abc b c a c abc =+-++-++-222()()()b a c a b c c b a =-+-+-∵,,R ,a b c a b c+∈≠≠且∴222()()()0b a c a b c c b a -+-+->，即()()()6ab a b bc b c ac a c abc +++++>.5.（2021·江苏·高一单元测试）证明不等式：（1）设0,0a b >>，求证：3322a b ab a b +≥+；（2）设,x y R ∈，求证：2252(2)x y x y ++≥+.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用作差法运算即可得证；（2）利用作差法运算即可得证.【详解】证明：（1）因为()3322a b ab a b +-+3322a b ab a b =+--3232a ab b a b=-+-()()2222a a b b b a =-+-()()()()222a b a b a b a b =--=+-，因为00a b >>，，所以()()20a b a b +-≥，所以()33220a b ab a b +-+≥，所以3322a b ab a b +≥+；（2）因为()22522x y x y ++-+22542x y x y =++--22425x x y y =-+-+()()22210x y =-+-≥，所以()22522x y x y ++≥+.题型二：作商法比较两数(式)的大小【例1】（2021·全国·高一专题练习）2211,,()1P a a Q a R a a =++=∈-+，则,P Q 的大小关系为_______．【答案】≥【分析】用作商法比较,P Q 的大小关系，化简即可得结果.【例2】（2017·上海市宝山区海滨中学高一期中）如果0x <，01y <<，那么x，x ，x 从小到大的顺序是___________【例3】（2023·全国·高三专题练习）设0a b >>，比较22a b -+与a b +的大小【点睛】比较两个数的大小主要有四种方法：（1）作差法；（2）作商法；【题型专练】1.（2022·全国·高一专题练习）已知：a 、b R +∈，且a b ¹，比较a b b a a b a b 与的大小.>3.（2021·全国·高一课时练习）已知0a >，0b >题型三：利用不等式的性质判断命题真假【例1】（2023·全国·高三专题练习）如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（）A ．11a b，故A 不正确．可得2ab =，21b =，2ab b ∴>，故B 不正确．可得2ab -=-，24a -=-，2ab a ∴->-，故C 不正确．故选：D ．【例2】（2022·青海西宁·高一期末）如果,,,R a b c d ∈，则正确的是（）A ．若a >b ，则11a bb ，则22ac bc >C ．若a >b ，c >d ，则a +c >b +d D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.【详解】对于A:取2,1a b ==-则11a b>，故A 错，对于B:若0c =，则22=ac bc ，故B 错误，对于C:由同号可加性可知：a >b ，c >d ，则a +c >b +d ，故C 正确，对于D:若2,1,2,3a b c d ===-=-，则4,3ac bd =-=-，ac bd <，故D 错误.故选：C【例3】（2022·四川成都·高一期末（理））已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，0ac <，那么下列选项中一定成立的是（）A ．()0ac a c ->B ．22cb ca <C ．ab ac >D ．()0c b a -<【答案】C 【解析】【分析】由已知可得0,0a c ><，然后利用不等式的性质逐个分析判断即可【详解】因为实数a ，b ，c 满足c b a <<，0ac <，所以0,0a c ><，对于A ，因为a c >，所以0a c ->，因为0ac <，所以()0ac a c -<，所以A 错误，对于B ，若0a b >>，则22a b >，因为0c <，所以22ca cb <，所以B 错误，对于C ，因为,0b c a >>，所以ab ac >，所以C 正确，对于D ，因为b a <，所以0b a -<，因为0c <，所以()0c b a ->，所以D 错误，故选：C【例4】（2022·四川成都·高一期末（文））若a ，b 为实数，下列命题正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若22a b >，则a b >D ．若a b >，则22a b >【答案】D 【解析】【分析】据特值可说明ABC 不正确；根据不等式的性质可得D 正确.【详解】对于A ，当1,2a b =-=-时，满足a b >，不满足22a b >，故A 不正确；对于B ，当1,2a b =-=-时，满足||a b >，不满足22a b >，故B 不正确；对于C ，当2,1a b =-=-时，满足22a b >，不满足a b >，故C 不正确；对于D ，若a b >0≥，则222||a b b >=，故D 正确.故选：D.【例5】（2022·江苏·镇江市实验高级中学高二期末多选题）若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（）A ．若0ab ≠且a b <，则11a b>B ．若01a <<，则2a a<C ．若0a b >>且0c >，则b c ba c a+>+D ．()221222a b a b ++≥--【答案】BCD 【解析】【分析】由不等式的性质逐一判断即可.【详解】解：对于A ，当0a b <<时，结论不成立，故A 错误；对于B ，2a a <等价于()10a a -<，又01a <<，故成立，故B 正确；对于C ，因为0a b >>且0c >，所以b c ba c a+>+等价于ab ac ab bc +>+，即()0a b c ->，成立，故C 正确；对于D ，()221222a b a b ++≥--等价于()()22120a b -++≥，成立，故D 正确.故选：BCD.【题型专练】1.（2021·湖北黄石·高一期中）若,R a b ∈，下列命题正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．R c ∈，若a b >，则22ac bc >C ．若33a b ->-，则a b <D ．0a ≠，0b ≠，若a b >，则11a b<【答案】C 【解析】【分析】利用特值法可判断ABD ，利用不等式的性质可判断C.【详解】对于A ，当12a b =>=-时，2214a b =<=，故A 错误；对于B ，当0c =时，22ac bc =，故B 错误；对于C ，若33a b ->-，则a b <，故C 正确；对于D ，当12a b =>=-时，11112a b =>=-，故D 错误，故选：C.2.（2022·贵州·高二学业考试）已知a b >，则下列不等关系中一定成立的是（）A ．0a b ->B ．2ab b <C ．22a b <D ．11a b>【答案】A 【解析】【分析】利用不等式的性质判断A ，利用特殊值判断B 、C 、D ；【详解】解：因为a b >，所以0a b ->，故A 正确；对于B ：当0b =时20ab b ==，故B 错误；对于C ：当2a =，0b =，显然满足a b >，但是22a b >，故C 错误；对于D ：当2a =，1b =，显然满足a b >，但是11a b<，故D 错误；故选：A3.（2022·河南驻马店·高二期末（理））若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a bC ．()2a b c -≥D ．b c ba c a+>+【答案】C 【解析】【分析】对于ABD ，举例判断，对于C ，利用不等式的性质判断即可【详解】对于A ，若2,1a b ==-，则满足a b >，此时11112a b=>=-，所以A 错误，对于B ，若2,1a b ==-，则满足a b >，而当1c =-时，则21ac bc =-<=，所以B 错误，对于C ，因为a b >，所以0a b ->，因为2c ≥0，所以()20a b c -≥，所以C 正确，对于D ，若2,1a b ==-，则满足a b >，而当1c =-时，则21212b c b a c a +--==-<=+，所以D 错误，故选：C4.（2022·北京昌平·高二期末）已知01,0a b <<<，则下列大小关系正确的是（）A ．21ab a b <，()2210,ab a b ab a ab a b -=-<<，所以21ab a b <<.故选：C5.（2022·北京海淀·高二期末）如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（）A ．11a b【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质即可逐一判断.【详解】由0a b <<可得：110a b >>，()()2222-=0a b a b a b a b +->⇒>,1ab>，故A ，B ，C 错误,()220ab b b a b ab b -=->⇒>，故D 正确.故选：D6.（2022·湖北·测试·编辑教研五高一阶段练习（多选题））下列命题为真命题的是（）A ．若23,12a b -<<<<，则42a b -<-，则a b >C ．若0,0b a m <<<，则m ma b>D ．若,a b c d >>，则ac bd >【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ：利用同向不等式相加，即可证明；对于B 、C ：利用不等式的可乘性可以证明；对于D ：取特殊值2,1;2,3a b c d ===-=-即可否定结论.【详解】对于A ：因为12b <<，所以21b -<-<-.因为23a -<<，利用同向不等式相加，则有42a b -<-<.故A 正确；对于B ：因为22ac bc >，所以20c ≠，所以210c >，对22ac bc >两边同乘以21c ，则有a b >.故B 正确；对于C ：因为0b a <<，所以110a b<<.因为0m <，所以0m ->.对11a b <两边同乘以m -，有m m a b --<，所以m m a b>.故C 正确；对于D ：取2,1;2,3a b c d ===-=-，满足,a b c d >>，但是4,3ac bd =-=-，所以ac bd >不成立.故D 错误.故选：ABC7.（2023·全国·高三专题练习多选题）下列命题为真命题的是（）A ．若a b >，c d >，则a c b d +>+B ．若a b >，c d >，则ac bd >C ．若a b >，则22ac bc >D ．若0a b <<，0c <，则c ca b<【答案】AD 【解析】【分析】A ．由不等式的性质判断；B.举例判断；C.由0c =判断；D.作差判断.【详解】A ．由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确；B.当1, 2.2,1=-=-==a b c d 时，ac bd =，故错误；C.当0c =时，22ac bc =故错误；D.()c b a c c a b ab--=，因为0b a ->，0c <，0ab >，所以0c c a b -<，故正确；故选：AD8.（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）下列命题正确的是（）A ．若c ca b>，则a b ，则11a b>C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若0,0a b c d >><<，则ac bd<【答案】BD 【解析】【分析】A 选项可举出反例；BCD 选项，可通过不等式的基本性质进行证明.【详解】对选项A ：可取3a =，2b =，1c =-，则满足c ca b>，但此时a b >，所以选项A 错误；对选项B ：因为0ab >，所以若0b a >>，则11a b >；若0a b <<，则11a b>；所以选项B 正确；对选项C ：若0a b <<，则2a ab >，所以选项C 错误；对选项D ：若0c d <<，所以0c d ->->；又因为0a b >>，所以由同向同正可乘性得：ac bd ->-，所以ac bd <，所以选项D 正确，故选：BD ．题型四：利用不等式的性质证明不等式【例1】（2022·全国·高一课时练习）a ，b ，c ，d R +∈，设a b c dS a b d b c a c d b d a c=++++++++++，证明：21<<S(1)11a cb d<--；(2)m ma cb d>--.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据不等式的性质证明即可；（2）结合（1）和不等式的性质求解.【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知下列三个不等式：①0ab >，②a b>，③bc ad >，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可组成几个真命题？请证明你的结论.【答案】3个，证明见解析.【解析】【分析】先写出组成的命题，然后结合不等式的性质进行证明.【详解】可以组成3个真命题.（1）若0ab >，c da b>，则bc ad >.证明：因为0ab >，0bc adab->，所以0bc ad ->，即bc ad >.（2）若0ab >，bc ad >，则c d a b>.证明：因为0ab >，0bc ad ->，所以0bc adab ->，即c d a b>.（3）若bc ad >，c da b>，则0ab >.证明：因为0bc ad ->，0bc adab->，所以0ab >.【题型专练】1.（2022·湖南·高一课时练习）求证：(1)若0a b >>，且0c d <<，则ac bd <；(2)若a b >，且，b 同号，0c >，则c ca b <；(3)若0a b >>，且0c d >>>．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】【分析】（1）将0c d <<变为0c d ->->，利用不等式同向正值的可乘性，即可证明结论；（2）由a b >以及0c >，可得ac bc >，再根据，b 同号，得1ab>，利用不等式同向正值的可乘性证明结论；（3）由0c d >>可得110d c >>，继而可得0a bd c>>,利用不等式的性质可得结论.(1)证明：因为0c d <<，所以0c d ->->，又0a b >>，故()()0a c b d ->->，即ac bd <；(2)证明：因为a b >，0c >，所以ac bc >，因为，b 同号，所以0ab >，10ab>，故11ac bc ab ab⨯>⨯，即c c b a >，所以c c a b <；(3)证明：因为0c d >>，所以110d c>>，又0a b >>，所以0a bd c>>，>.2.（2022·全国·高一专题练习）若0a b >>，0c d <<，0e <，求证：22()()e ea cb d >--3.（2021·江苏·高一专题练习）（1）设0b a >>，0m >，证明：b b m<+；（2）设0x >，0y >，0z >，证明：12x y zx y y z z x<++<+++.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据作差法证明即可；4.（2022·全国·高一课时练习）若()0,a b ∈+∞，则223a b a b +≤++.(1)若存在常数M ，使得不等式2222a b a bM a b a b a b a b+++≤≤+++对任意正数，b 恒成立，试求常数M 的值，并证明不等式：22a bM a b a b++≤+；(2)证明不等式：32232332a b a ba b a b a b a b ≤++++++.【答案】(1)23M =，证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)令a b =即可求解M ，利用不等式性质即可证明不等式；(2)从原不等式入手，对原不等式变形，通过分类讨论与b 之间的大小关系即可证明.【详解】证明：(1)当a b =时，2233M ≤≤，故23M =，由(2)2(2)222(222222a b a b b a b a b a a b a b a b a b a b a b +-+-+=+=-+++++++，且2223a b a b a b +≤++，利用不等式性质可得，2322a ba b a b≤+++；(2)欲证32232332a b a ba b a b a b a b≤++++++，只需证明32322323a b a ba b a b a b a b≤--++++，即3223a b a b a b a b --≤++，①当a b =时，显然不等式3223a b a ba b a b--≤++成立，②当a b ¹时，不妨令a b >，即0a b ->，故32233223a b a ba b a b a b a b--≤⇔+≥+++，由于a b >，显然3223a b a b +≥+成立，故原不等式32232332a b a ba b a b a b a b≤++++++成立；同理，当a b <时，原不等式32232332a b a ba b a b a b a b≤++++++也成立.综上所述，对于任意，()0b ∈+∞，32232332a b a ba b a b a b a b≤++++++均成立.题型五：利用不等式的性质比较大小【例1】（2022·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））下列命题正确的是（）A ．若ac bc >，则a b >B ．若ac bc =，则a b=C ．若a b >，则11a b<D ．若22ac bc >，则a b >【答案】D 【解析】【分析】由不等式性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，若0c <，由ac bc >可得：a b <，A 错误；对于B ，若0c =，则0ac bc ==，此时a b =未必成立，B 错误；对于C ，当0a b >>时，110a b>>，C 错误；对于D ，当22ac bc >时，由不等式性质知：a b >，D 正确.故选：D.【例2】（2022·江苏·扬州大学附属中学高一期中（多选题））已知1a b >>，R c ∈，下列不等式中正确的是（）A ．a c b c ->-B ．c ca b<C ．c c a b >D ．1111a b <--【答案】AD【分析】根据不等式性质及特殊值判断即可.【详解】对于A ，由不等式性质，a b >可得a c b c ->-，正确；对于B ，0c =时，c ca b<显然不成立，故错误；对于C ，0c =时，c c a b =，故错误；对于D ，由1a b >>可得110a b ->->，所以11(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a b a b -⋅>-⋅----，即1111a b <--，故正确.故选：AD【例3】（2022·北京海淀·高二期末）如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（）A ．11a b【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质即可逐一判断.【详解】由0a b <<可得：110a b >>，()()2222-=0a b a b a b a b +->⇒>,1a b>，故A ，B ，C 错误,()220ab b b a b ab b -=->⇒>，故D 正确.故选：D 【题型专练】1.（2022·广东·小榄中学高一阶段练习（多选题））对于实数,,a b c ，下列命题正确的是（）A ．若a b >，则ac bc >C ．若0c a b >>>，则a bc a c b<--D ．若a b >，11a b>，则0,0<>b a 【答案】BD 【解析】【分析】A 特殊值法0c =判断；B 由||||0a b >>结合不等式性质判断；C 作差法判断；D 由0a b >>或0a b <<时11,a b的大小情况判断.A ：当0c =时，ac bc <不成立，错误；B ：由0a b <<，有||||0a b >>，则22a ab b >>，正确；C ：由()0()()a b c a b c a c b c a c b --=>----，则a b c a c b>--，错误；D ：若0a b >>或0a b <<，有11a b>，与题设矛盾，故0,0a b ><，正确.故选：BD2.（2022·贵州贵阳·高一期末（多选题））下列说法正确的有（）A ．若,a b c d ><，则a c b d ->-B ．若0,0a b c d >><<，则ac bd <C ．若0a b c >>>，则c ca b >D ．若0a b c >>>，则a a cb b c+<+【答案】AB 【解析】【分析】对于A ：利用同向不等式相加可以证明；对于B ：利用同向不等式相乘可以证明；对于C ：利用不等式的可乘性可以判断；对于D ：取特殊值3,2,1a b c ===可以判断.【详解】对于A ：因为c d <，所以c d ->-，利用同向不等式相加可以得到：a c b d ->-.故A 正确；对于B ：因为0c d <<，所以0c d ->->，又因为0a b >>，利用同向不等式相乘可以得到：ac bd ->-，所以ac bd <.故B 正确；对于C ：因为0a b c >>>，所以11a b <.因为0c >，所以c ca b<.故C 错误；对于D ：取特殊值3,2,1a b c ===满足0a b c >>>，但是32a b =，43a c b c +=+，所以a a cb b c+>+.故D 错误.故选：AB3.（2022·内蒙古·赤峰市元宝山区第一中学高一期中）若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（）A ．22a b >B ．11a b>C ．a b >D ．11a b a>-【答案】D 【解析】【分析】根据条件，结合结合不等式性质判断A ，B ，C 正确，再举例说明D 错误..【详解】因为0a b <<，所以0a b +<，0a b -<，0ab >，0b a ->，又22()()a b a b a b -=-+，所以220a b ->，所以22a b >成立，110b a a b ab --=>，所以11a b>，0a b a b -=-+>，所以a b >，取2,1a b =-=-可得11=121a b =---+，112a =-，11a b a <-，所以11a b a>-不成立，故选：D.4.（2022·广东·深圳科学高中高一期中（多选题））下列说法正确的是（）A ．若0a b >>，则11a b>，0m >，则b m ba m a+>+C ．0a b >>，则3322a b a b ab ->-D ．若0a b >>，则22ac bc >【答案】ABC 【解析】【分析】根据不等式的性质判断AD ，结合作差法比较大小判断BC.【详解】解：对于A 选项，因为0a b >>，故10ab>，故110a b <<，正确；对于B 选项，由于0a b >>，0m >，故0a b ->，0a m +>，故()()()()()0a b m b a m m a b b m b a m a a a m a a m +-+-+-==>+++，即b m ba m a+>+，正确；对于C 选项，由于0a b >>，故0a b ->，故()()()()332222220a b a b ab a a b b a b a b a b --+=-+-=-+>，即3322a b a b ab ->-，正确；对于D 选项，当0c =时，220ac bc ==，故错误.故选：ABC题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【例1】（2022·全国·高一专题练习）设27a <<，12b <<，求3a b +，2a b -，ab的范围.则（）A ．x 的取值范围为(1,2)-B ．y 的取值范围为(2,1)-C ．x y +的取值范围为()3,3-D ．x y -的取值范围为(1,3)-则t 的取值范围为______．18(4x y ⋅的取值范围是（）A ．[]4,128B ．[]8,256C ．[]4,256D ．[]32,1024【例5】（2021·全国·高一课时练习）已知x ，y 为实数，满足223xy ≤≤，34y ≤≤，则5y的最大值是______，此时x y +=______.1.（2022·吉林延边·高一期末）已知12a ≤≤，14b -≤≤，则2a b -的取值范围是（）A ．724a b -≤-≤B ．629a b -≤-≤C ．629a b ≤-≤D ．228a b -≤-≤【答案】A 【解析】【分析】先求2b -的范围，再根据不等式的性质，求2a b -的范围.【详解】因为14b -≤≤，所以822b -≤-≤，由12a ≤≤，得724a b -≤-≤.故选：A.2.（2020·浙江台州·高一期中）已知a b c <<且230a b c ++=，则ba的取值范围是【答案】115b a-<<【解析】【分析】由已知条件推导出0a <，0b >，再由230a b c ++=得出23a bc +=-，由a b c <<得出23a ba b +<<-，结合不等式的基本性质可求得b a 的取值范围.【详解】a b c << ，230a b c ++=，则606a c <<，0a ∴<，0c >，则23a bc +=-，由b c <得23a b b +<-，则5b a <-，即51b a>-，即15b a >-，又a b <，1ba ∴<，因此，b a 的取值范围是115b a-<<.3.（2021·河北·大名县第一中学高一阶段练习）若实数,αβ满足11αβ-≤+≤，123αβ≤+≤，则3αβ+的取值范围为________．【答案】[]1,7【分析】设()3(2)αβλαβμαβ+++=+，解得1λ=-，2μ=，再由不等式的性质即可求解.【详解】设()3(2)αβλαβμαβ+++=+，解得1λ=-，2μ=所以()(322)αβαβαβ++-+=+．又11αβ-≤+≤，123αβ≤+≤，()11αβ∴-≤-+≤，()2226αβ≤+≤所以137αβ≤+≤.故答案为：[]1,7．【点睛】关键点点睛：本题考查利用不等式的性质求取值范围，变形()(322)αβαβαβ++-+=+是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题.4.（2021·全国·高一课时练习）已知14a b ≤+≤，12a b -≤-≤，求42a b -的取值范围___________.【答案】[]2,10-【分析】利用待定系数法可得()()423a b a b a b -=++-，利用不等式的基本性质可求得42a b -的取值范围.【详解】设()()()()42a b x a b y a b x y a x y -=++-=++-，所以42x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，因为14a b ≤+≤，12a b -≤-≤，则()336a b -≤-≤，因此，24210a b -≤-≤.故答案为：[]2,10-.5．（2021·全国·高一课时练习）已知实数x 、y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则3x y +的最大值为___________.6.（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知,a b ∈R 且满足11a b ⎧⎨-≤-≤⎩，则42a b +的取值范围是【答案】24210a b ≤+≤【解析】【分析】设()()42+=++-a b A a b B a b ，求出A B ，结合条件可得结果.【详解】设()()42+=++-a b A a b B a b ，可得42+=⎧⎨-=⎩A B A B ，解得31=⎧⎨=⎩A B ，()423+=++-a b a b a b ，因为1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩可得()33911⎧≤+≤⎨-≤-≤⎩a b a b ，所以24210a b ≤+≤.7.（2022·湖北·车城高中高一阶段练习）（1）已知23x <<，23y <<，求x y -和xy的取值范围；（2）已知24<+≤x y ，13x y -<-<，求3x y +的取值范围.【答案】（1）11x y -<-<，2332x y <<；（2）3311x y <+<.【解析】【分析】（1）根据不等式的性质求解（2）由待定系数法配凑后求解【详解】（1）23y << ，32∴-<-<-y 又23x << ，11∴-<-<x y 23y << ，11132y <<又23x << ，2332∴<<x y （2）设3()()x y a x y b x y +=++-，得3211a b a a b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩即32()()+=++-x y x y x y 而42()8<+≤x y ，13x y -<-<3311∴<+<x y。

第8讲抽象函数7种导函数构造(解析版)

第8讲抽象函数7种导函数构造【知识点梳理】类型一导数和差，构造和差型函数：()[()]f x c f x cx ''+=+；()()[()()]f x g x f x g x '''+=+；()()[()()]f x g x f x g x '''-=-；和与积联系，构造乘积型函数；差与商联系，构造分式型函数： ()()()()[()()]f x g x f x g x f x g x '''+=；2()()()()()[]()()f xg x f x g x f x g x g x ''-'=．类型二幂函数及其抽象构造定理1 ()()0[()]0xf x f x xf x ''+>⇔>；()()()0[]0f x xf x f x x''->⇔> 证明：因为()()[()]xf x f x xf x ''+=；2()()()[]xf x f x f x x x'-'=，所以()()0xf x f x '+>，则函数()y xf x =单调递增；()()0xf x f x '->，则()f x y x=单调递增．定理2 当0x >时，()()0[()]0n xf x nf x x f x ''+>⇔>；()()()0[]0n f x xf x nf x x''->⇔> 证明因为1()()[()]nn nx f x nxf x x f x -''+=；12()()()[]n n n nx f x nx f x f x x x -'-'=，所以()()0xf x nf x '+>，则函数()n y x f x =单调递增；()()0xf x nf x '->，则()nf x y x =单调递减．类型三指数函数与抽象构造定理3 ()()0[()]0x f x f x e f x ''+>⇔>；()()0[()]0x f x f x e f x ''+<⇔<()()()0[]0x f x f x f x e ''->⇔>；()()()0[]0xf x f x f x e''-<⇔< 证明：因为[]()()+()x xf x e e f x f x ''=⎡⎤⎣⎦，()()()[]xx f x f x ef x e '-'=，所以()()0f x f x '+>，则()x y f x e =单调递增；反之()x y f x e =单调递减；()()0f x f x '->，则()xf x y e =单调递增；反之()x f x y e=单调递减．定理4 ()()[(())]0x f x f x a e f x a ''+>⇔->；(())()()[]0xf x a f x f x a e+''->⇔>．证明：因为[(())]()()x xe f x a f x f x a e '-'+-=；2(())()()[]x xf x a f x f x a e e +''--=，所以()()f x f x a '+>，则(())x y e f x a =-单调递增；()()f x f x a '+<，(())x y e f x a =-单调递减；若()()f x f x a '->，则()xf x a y e +=单调递增，若()()f x f x a '-<，则()xf x a y e +=单调递减．定理5 正弦同号，余弦反号定理()sin ()cos 0[()sin ]0f x x f x x f x x ''+>⇔>，当()22x ππ∈-，，()tan ()0[()sin ]0f x x f x f x x ''+>⇔>； ()()sin ()cos 0[]0sin f x f x x f x x x ''->⇔>，当()22x ππ∈-，，()()tan ()0[]0sin f x f x x f x x''->⇔>；cos ()()sin 0[()cos ]0xf x f x x f x x ''->⇔>，当(,)22x ππ∈-，()()tan 0[()cos ]0f x f x x f x x ''->⇔>；()()cos ()sin 0[]0cos f x f x x f x x x ''+>⇔>，当()22x ππ∈-，，()()()tan 0[]0cos f x f x f x x x''+>⇔>．遇正切时化切为弦，请自己证明相关结论．【典例例题】题型一：具体函数抽象化解不等式【例1】（2022·广东·南海中学高二阶段练习）已知()2cos ,R f x x x x =+∈，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（）A ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭D ．()20,,03⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】由奇偶性的定义得出函数()y f x =为偶函数，利用导数知函数()y f x =在区间[)0,∞+上为增函数，由偶函数的性质将不等式()()1120f t f t ---≥变形为()()112f t f t -≥-，利用单调性得出112t t -≥-，从而可解出实数t 的取值范围. 【详解】解：函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=，∴函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()2cos f x x x =+，()2sin 0f x x '=->，则函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-，由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，由于函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，则112t t -≥-，即()()22112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：B. 【题型专练】1．（2022·贵州遵义·高二期末（理））已知函数()ln e xxf x x =-，设()3log 2a f =，()0.2log 0.5b f =，()ln 4c f =，则a ，b ，c 的大小为（） A ．c a b >> B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】【分析】利用函数解析式求导数，判断导数大于零恒成立，故确定函数单调性，比较自变量大小确定函数值a ，b ，c 的大小即可. 【详解】解：因为()ln ex x f x x =-，则,()0x ∈+∞，所以()2211e 11e e e ()4e 2x x x x x xf x x x x x x x +--+-'==-=- 又,()0x ∈+∞时，21111,()24e 4xx >--≥-，所以()0f x '>恒成立所以()ln e xxf x x =-在,()0x ∈+∞上单调递增；又30log 21<<，0.215351log 0.5log log 2log 22==<，ln 41> 所以30.2ln 4log 2log 0.5>>，则c a b >>. 故选：A.2．（2022·上海·复旦附中高二期末）设()2sin f x x x =+，若()()20221120210f x f x ++-≥，则x 的取值范围是___________. 【答案】2x ≥- 【解析】【分析】奇偶性定义判断()f x 奇偶性，利用导数研究()f x 的单调性，再应用奇偶、单调性求x 的范围. 【详解】由()2sin (2sin )()f x x x x x f x -=--=-+=-且R x ∈，易知：()f x 为奇函数，所以(20221)(20211)f x f x +≥-，又()2cos 0f x x =+>'，故()f x 在R x ∈上递增，所以2022120211x x +≥-，可得2x ≥-. 故答案为：2x ≥-题型二：构造幂函数型解不等式【例1】（2022·黑龙江·哈师大附中高二期末）已知定义在（0，+∞）上的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，其中()f x '是函数()f x 的导函数，若()()()202220221f m m f ->-，则实数m 的取值范围为（） A ．（0，2022） B ．（2022，+∞）C ．（2023，+∞）D ．（2022，2023）【答案】D 【解析】【分析】构造函数()g x ，使得()()2()0xf x f x g x x'-=<，然后根据函数()g x 的单调性解不等式即可. 【详解】由题设()()2()()()0xf x f x f x g x g x x x '-'=⇒=<，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，又()()()()()2022120222022120221f m f f m m f m -->-⇒>-，即(2022)(1)202212023g m g m m ->⇒-<⇒<，又函数()f x 的定义域为()0,∞+，所以202202022m m ->⇒>，综上可得：20222023m <<.故选：D.【例2】（2022·四川雅安·高二期末（理））设奇函数()()0f x x ≠的导函数是()f x '，且()20f -=，当0x >时，()()20xf x f x '-<，则不等式()0f x <的解集为______．【答案】()()2,02,-+∞【解析】【分析】设()()2f xg x x =，利用导数求得()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，进而得到函数()g x 为奇函数，且()g x 在(,0)-∞为单调递减函数，结合函数()g x 的单调性，即可求解. 【详解】设()()2f x g x x =，可得()()()32xf x f x g x x'-'=，因为当0x >时，()()20xf x f x '-<，可得()0g x '<，所以()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，又因为函数()f x 为奇函数，且()20f -=，可得()20f =，则满足()()()()22()f x f x g x g x x x --==-=--，所以函数()g x 也为奇函数，所以()g x 在(,0)-∞为单调递减函数，且()()220g g -==，当0x >时，由()0f x <，即()0g x <，即()()2g x g <，可得2x >；当0x <时，由()0f x <，即()0g x <，即()()2g x g <-，可得20x -<<；所以不等式()0f x <的解集为()()2,02,-+∞.故答案为：()()2,02,-+∞.【例3】（2022·河南信阳·高二期中（理））已知定义域为R 的函数()f x 满足()()1f x xf x '+>（()f x '为函数()f x 的导函数），则不等式()()()2111x f x f x x +->-+的解集为（）A ．()0,∞+B ．(]0,1C ．(],1-∞D ．()[),01,-∞⋃+∞【答案】A 【解析】【分析】构造函数()()g x xf x x =-，由题意可知()g x 在R 上单调递增，再对x 分情况讨论，利用函数()g x 的单调性即可求出不等式的解集. 【详解】由2(1)(1)(1)x f x f x x +->-+，（1）当1x <时，可得2(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x f x x f x x x -+->--+-，即222(1)(1)(1)(1)x f x x f x x x -->--+-，即222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x f x x x f x x ---->----，构造函数()(),()()()10g x xf x x g x f x xf x ''=-=+->，所以函数()g x 单调递增，则211x x ->-，此时01x <<，即01x <<满足；（2）当1x >时，可得222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x f x x x f x x ----<----，由函数()g x 递增，则211x x -<-，此时0x <或1x >，即1x >满足；（3）当1x =时，2(0)(0)1f f >+，即(0)1f >满足()()1f x x f x '+⋅>. 综上，,()0x ∈+∞. 故选：A.【例4】已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()'f x ，当0x ≥时，恒有())03(xf f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（）． A ．{|31}x x -<<- B ．1{|1}3x x -<<-C ．{|3x x <-或1}x >-D ．{|1x x <-或1}3x >-【答案】D 【解析】先通过())03(x f f x x '+>得到原函数()()33x f x g x =为增函数且为偶函数，再利用到y 轴距离求解不等式即可. 【详解】构造函数()()33x f x g x =，则()()()()()322'''33x x g x x f x f x x f x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由题可知())03(x f f x x '+>，所以()()33x f x g x =在0x ≥时为增函数；由3x 为奇函数，()f x 为奇函数，所以()()33x f x g x =为偶函数；又33()(12)(12)0x f x x f x -++<，即33()(12)(12)x f x x f x <++ 即()()12g x g x <+又()g x 为开口向上的偶函数所以|||12|x x <+，解得1x <-或13x >-故选：D 【点睛】此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目. 【例5】函数()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，其导函数为()f x '，且满足()()20xf x f x '+>，则不等式(2020)(2020)3(3)32020x f x f x ++<+的解集为A ．{}|2017x x >-B ．{}|2017x x <-C ．{}|20200x x -<<D ．{}|20202017x x -<<-【答案】D【解析】设函数()()()2,0g x x f x x =>，根据导数的运算和题设条件，求得函数()g x 在()0,∞+上为增函数，把不等式转化为22(2020)(2020)3(3)x f x f ++<，即()()20203g x g +<，利用单调性，即可求解. 【详解】由题意，设函数()()()20g x x f x x =>，则()()()()()222()2g x x f x x f x x f x xf x ''''=⋅+⋅=+，因为()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，且满足()()20xf x f x '+>，所以()0g x '>，所以函数()g x 在()0,∞+上为增函数，又由(2020)(2020)3(3)32020x f x f x ++<+，即22(2020)(2020)3(3)x f x f ++<，即()()20203g x g +<，所以020203x <+<，解得20202017x -<<-，即不等式的解集为{}|20202017x x -<<-. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性的关系及应用，其中解答中根据题设条件，构造新函数()()()20g x x f x x =>是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力.【题型专练】1．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习（理））定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，且当0x >时，()()20xf x f x '+<.则（） A ．()()2e 24ef f > B ．()()931f f >C ．()()2e 39ef f -<D ．()()2e 39ef f ->【答案】D 【解析】【分析】由题构造函数()()2g x x f x =，利用导函数可得函数()()2g x x f x =在(0，+∞)上为减函数，且为偶函数，再利用函数的单调性即得. 【详解】设()()2g x x f x =，则()()()()()222g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤=+='+'⎣'⎦，又当0x >时，()()20xf x f x '+<，∴()()()()()2220g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+<⎡⎤⎣⎦，则函数()()2g x x f x =在(0，+∞)上为减函数，∴()f x 是定义在R 上的偶函数， ∴()()()()()22g x x f x x f x g x -=--==，即g (x )为偶函数，所以()()e 2g g <，即()()2e 24e f f <，故A 错误；()()31g g <，即()()931f f <，故B 错误；()()e 3g g >，即()()2e 39ef f >因为()f x 为偶函数，所以()()33f f -=，所以()()2e 39ef f ->，故C 错误，D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数()()2g x x f x =，结合条件可判断函数的单调性及奇偶性，即得.2．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）已知()f x 是定义在()(),00,∞-+∞上的奇函数，当0x >时，()()0f x xf x '+>且()122f =，则不等式()1f x x>的解集是______．【答案】()()2,02,-+∞【解析】【分析】根据已知条件构造函数()()g x xf x =并得出函数()g x 为偶函数，利用导数与单调性的关系得出函数()g x 的单调性进而可以即可求解. 【详解】设()()g x xf x =，则()()()g x f x xf x ''=+ 因为()f x 是定义在()(),00,∞-+∞上的奇函数，所以()()()()g x xf x xf x g x -=--==，所以()g x 是()(),00,∞-+∞上的偶函数，当0x >时，()()()0g x f x xf x ''=+>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增，所以()g x 在(),0-∞上单调递减．因为()122f =，所以()()1222212g f ==⨯=，所以()()221g g -==．对于不等式()1f x x>，当0x >时，()1xf x >，即()()2g x g >，解得2x >；当0x <时，()1xf x <，即()()2g x g <-，解得20x -<<，所以不等式()1f x x>的解集是()()2,02,-+∞．故答案为：()()2,02,-+∞【点睛】解决此题的关键是构造函数，进而讨论新函数的单调性与奇偶性，根据函数的性质即可求解不等式的解集.3.设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有()()22'f x xf x x +>则不等式()()()220192019420x f x f ++--<的解集为（）A ．()20192017--，B ．20211()209--， C ．()20192018--， D ．(2020,2019)--【答案】B 【解析】【分析】令()()2F x x f x =，确定()F x 在(,0)-∞上是减函数，不等式等价为()()201920F x F +--<，根据单调性解得答案. 【详解】由()()()22',0f x xf x x x +><，得()()232'xf x x f x x +<，即()23'0x f x x ⎡⎤⎣⎦<<，令()()2F x x f x =，则当0x <时，得()F'0x <，即()F x 在(,0)-∞上是减函数，()()()2201920192019f F x x x +∴+=+，()()242F f -=-，即不等式等价为()()201920F x F +--<，()F x 在(),0-∞是减函数，∴由()()20192F x F +<-得20192x +>-，即2021x >-，又20190x +<，解得2019x <-，故 20212019x -<<-. 故选:：B .【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，构造函数()()2F x x f x =，确定其单调性是解题的关键.4.已知()f x 是定义在()(),00,-∞+∞上的奇函数，且0x >时，()()20f x f x x'+<，又()10f =，则()0f x >的解集为（）A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()(),10,1-∞-D ．()()1,01,-⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】令2()()g x x f x =，则()[()2()]g x x xf x f x ''=+，由题设易知0x >上()2()0xf x f x '+<，且()g x 在()(),00,-∞+∞上是奇函数，即()g x 在0x >、0x <都单调递减，同时可知(1)(1)0=-=g g ，利用单调性求()0>g x 的解集，即为()0f x >的解集. 【详解】令2()()g x x f x =，则2()()2()[()2()]g x x f x xf x x xf x f x '''=+=+，由0x >时，()()20f x f x x'+<知：()2()0xf x f x '+<， ∴在0x >上，()0g x '<，()g x 单调递减，又()(),00,-∞+∞上()f x 为奇函数，∴22()()()()()g x x f x x f x g x -=--=-=-，故()g x 也是奇函数， ∴()g x 在0x <上单调递减，又()10f =，即有(1)(1)0=-=g g ， ∴()0f x >的解集，即()0>g x 的解集为(,1)(0,1)-∞-. 故选：C5.设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x <成立的x 的取值范围是（） A ．()(),10,1-∞-⋃ B ．()()1,01,-⋃+∞ C ．()(),11,0-∞-- D ．()()0,11,+∞【答案】B 【解析】【分析】设()()f x F x x=，求其导数结合条件得出()F x 单调性，再结合()F x 的奇偶性，得出()F x 的函数值的符号情况，从而得出答案. 【详解】设()()f x F x x =，则()()()2xf x f x F x x '-'=， ∵ 当0x >时，()()0xf x f x '-<，当0x >时，()0F x '<，即()F x 在()0,∞+上单调递减. 由于()f x 是奇函数，所以()()()()f x f x F x F x x x--===-,()F x 是偶函数，所以()F x 在(),0∞-上单调递增.又()()110f f =-=，所以当1x <-或1x >时，()()0=<f x F x x；当10x -<<或01x <<时，()()0f x F x x=>. 所以当10x -<<或1x >时，()0f x <. 故选：B.题型三：构造指数函数型解不等式【例1】（2022·四川省资阳中学高二期末（理））已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()(),41f x f x f '>=，则不等式()224e xf x ->的解集为___________.【答案】()2,2- 【解析】【分析】令()()xf xg x =e，利用导数说明函数的单调性，则原不等式等价于()()24g x g >，再根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：令()()x f x g x =e ，R x ∈，则()()()exf x f xg x '-'=，因为()()f x f x '>，即()()0f x f x '-<，所以()0g x '<，即()g x 在R 上单调递减，又()41f =，所以()()4444e ef g -==，所以不等式()224ex f x->，即()242eex f x ->，即()()24g xg >，即24x <，解得22x -<<，所以原不等式的解集为()2,2-. 故答案为：()2,2-【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的R x ∈，都有()()2f x f x >'+，且()12022f =，则不等式()12020e 2x f x --<的解集为（）A ．()0,∞+B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．(),1-∞【答案】C 【解析】【分析】设函数()()2e xf xg x -=，根据题意可判断()g x 在R 上单调递减，再求出()01202eg =，不等式()12020e 2x f x --<整理得()22020eexf x -<，所以()()1g x g <，利用()g x 单调性解抽象不等式即可. 【详解】设函数()()2e xf xg x -=，所以()()()()()2e 2e2eex xxxf x f x f x f xg x '⎡⎤⨯--⨯'-+⎣⎦'==，因为()()2f x f x >'+，所以()()20f x f x '-+<，即()0g x '<，所以()g x 在R 上单调递减，因为()12022f =，所以()()122020e1e f g -==，因为()12020e 2x f x --<，整理得()22020e ex f x -<，所以()()1g x g <，因为()g x 在R 上单调递减，所以1x >. 故选：C. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()()f x f x '<且()3f x +为偶函数，(1)f x +为奇函数，若(9)(8)1f f +=，则不等式()exf x <的解集为（） A ．()3,-+∞ B ．()1,+∞C ．(0,)+∞D ．()6,+∞【答案】C 【解析】先证明出()f x 为周期为8的周期函数，把(9)(8)1f f +=转化为(0)1f =.记()()xf xg x =e ，利用导数判断出()g x 在R 上单调递减，把原不等式转化为()()0g x g <，即可求解. 【详解】因为()3f x +为偶函数，(1)f x +为奇函数，所以()()33f x f x +=-+，(1)(1)0f x f x ++-+=.所以()()6f x f x =-+，()(2)0f x f x +-+=，所以(6)(2)0f x f x -++-+=. 令2t x =-+，则(4)()0f t f t ++=.令上式中t 取t -4，则()(4)0f t f t +-=，所以(4)(4)f t f t +=-. 令t 取t +4，则()(8)f t f t =+，所以()(8)f x f x =+. 所以()f x 为周期为8的周期函数.因为(1)f x +为奇函数，所以(1)(1)0f x f x ++-+=，令0x =，得：(1)(1)0f f +=，所以(1)0f =，所以(9)(8)1f f +=，即为(1)(0)1f f +=，所以(0)1f =.记()()x f x g x =e ，所以()()()e xf x f xg x '-'=. 因为()()f x f x '<，所以()0g x '<，所以()()xf xg x =e 在R 上单调递减. 不等式()xf x e <可化为()1exf x <，即为()()0g x g <. 所以0x >. 故选：C 【点睛】解不等式的常见类型：(1)一元二次不等式用因式分解法或图像法；(2)指对数型不等式化为同底的结构，利用单调性解不等式； (3)解抽象函数型不等式利用函数的单调性.【例4】（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）已知可导函数f （x ）的导函数为()'f x ，f （0）=2022，若对任意的x ∈R ，都有()()f x f x '<，则不等式()2022e x f x <的解集为（）A ．()0,∞+B ．22022,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．22022,e ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(),0∞-【答案】D 【解析】根据题意，构造函数()()xf xg x =e ，求导可知()g x 在x ∈R 上单调递增，利用单调性求解即可. 【详解】令()(),e xf xg x =对任意的x ∈R ，都有()()()()(),0e xf x f x f x f xg x -<∴=''>'，()g x ∴在x ∈R 上单调递增，又()()()()()02022,02022,2022e 0xf g f x g x g =∴=∴<⇔<，0,x ∴<∴不等式()2022e x f x <的解集(),0∞-，故选：D.【例5】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知奇函数()f x 的定义域为R ，当0x >讨，()()20f x f x '+>，且()20f =，则不等式()0f x >的解集为___________.【答案】()(2,02,)-⋃+∞ 【解析】【分析】构造函数2()e ()=x g x f x ,利用导函数判断出当x >0时, ()g x 单调递增，得到当x >2时()0g x >，从而()0f x >；当02x <<时，()0g x <，从而()0f x <.由()f x 为奇函数得到不等式()0f x >的解集.【详解】构造函数2()e ()=x g x f x ，则当0x >时，[]2()e 2()()0xg x f x f x ''=+>，所以当x >0时()g x 单调递增.因为f (2)=0，所以()()42e 20g f ==，所以当x >2时()0g x >，从而()0f x >.当02x <<时，()0g x <，从而()0f x <.又奇函数()f x 的图像关于原点中心对称，所以()0f x >的解集为()(2,02,)-⋃+∞. 故答案为: ()(2,02,)-⋃+∞.【题型专练】1.（2022·陕西榆林·三模（理））已知()f x 是定义在R 上的函数，()'f x 是()f x 的导函数，且()()1f x f x '+>，(1)2f =，则下列结论一定成立的是（）A ．12(2)f +<eeB ．1(2)f +<eeC ．12(2)f +>eeD ．1(2)f +>ee【答案】D 【解析】【分析】构造()()e e x xg x f x =-利用导数研究其单调性，即可得()()21g g >，进而可得答案.【详解】令()()e e x xg x f x =-，则()()()e 10x g x f x f x ⎡⎤=+->⎣⎦''，则()g x 是增函数，故()()21g g >，即22e (2)e e (1)e e f f >--=，可得()1e2ef +>. 故选：D2.（2022·江西·萍乡市上栗中学高二阶段练习（理））定义在R 上的函数()f x 满足()()e 0x f x f x '-+<（e 为自然对数的底数），其中()'f x 为()f x 的导函数，若3(3)3e f =，则()e x f x x >的解集为（）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(3),-∞D ．(3,)+∞【答案】D 【解析】【分析】构造新函数，并利用函数单调性把抽象不等式()e x f x x >转化为整式不等式即可解决. 【详解】设()()e x f x g x x =-，则3(3)(3)30ef g =-=，所以()e x f x x >等价于()0(3)g x g >=，由()()e 0x f x f x '-+<，可得()()e 0x f x f x '->> 则()()()10exf x f xg x '-'=->，所以()g x 在R 上单调递增，所以由()(3)g x g >，得3x >．故选：D3.（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）已知可导函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的x ∈R ，都有()()1f x f x '-<，且()02021f =，则不等式()12022e xf x +>的解集为（） A ．(),0∞- B ．()0,∞+ C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞【解析】【分析】构造函数()()1exf x F x +=，通过导函数研究其单调性，利用单调性解不等式. 【详解】构造函数()()1e x f x F x +=，则()()()()()2e 1e 1e e x x x xf x f x f x f x F x '⋅-+⋅⎡⎤'--⎣⎦'==，因为()()1f x f x '-<，所以()0F x '<恒成立，故()()1e xf x F x +=单调递减，()12022e xf x +>变形为()12022e x f x +>，又()02021f =，所以()()00102022e f F +==，所以()()0F x F >，解得：0x <，故答案为：(),0∞-. 故选：A4.若()f x 在R 上可导且()00f =，其导函数()f x '满足()()0f x f x '+<，则()0f x <的解集是_________________ 【答案】()0,∞+ 【解析】【分析】由题意构造函数()()e xg x f x =，利用导数判断出()g x 单调递减，利用单调性解不等式.【详解】设()()e xg x f x =，则()()()()()()e e e x x x g x f x f x f x f x '''=+=+，因为()()0f x f x '+<，所以()0g x '<在R 上恒成立，所以()g x 单调递减，又()00f =得()00g =，由()0f x <等价于()0g x <，所以0x >，即()0f x <的解集是()0,∞+. 故答案为：()0,∞+5.若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，()04f =，则不等式()31xf x e >+(e 为自然对数的底数)的解集为（） A ．(0,)+∞ B ．(,0)(3,)-∞⋃+∞ C ．(,0)(0,)-∞+∞ D ．(3,)+∞【答案】A 【解析】把不等式()31x f x e>+化为()3x x e f x e >+，构造函数令()()3x x F x e f x e =--，利用导数求得函数()F x 的单调性，结合单调性，即可求解. 【详解】由题意，不等式()31x f x e>+，即()3x x e f x e >+，令()()3x x F x e f x e =--，可得()()()()()[1]x x x xF x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-，因为()()1f x f x '+>且0x e >，可知()0F x '>，所以()F x 在R 上单调递增，又因为()()()00003040F e f e f =--=-=，所以()0F x >的解集为(0,)+∞. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及导数的四则运算的逆用，其中解答中结合题意构造新函数，利用导数求得新函数的单调性是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.题型四：构造对数函数型解不等式【例1】（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文））定义在（0，+∞）的函数f（x ）满足()10xf x '-<，()10f =，则不等式()e 0xf x -<的解集为（）A ．（－∞，0）B ．（－∞，1）C ．（0，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C 【解析】【分析】根据题干条件构造函数()()ln F x f x x =-，0x >，得到其单调递减，从而求解不等式. 【详解】设()()ln F x f x x =-，0x > 则()()()110xf x F x f x x x-=-=''<'，所以()()ln F x f x x =-在()0,∞+上单调递减，因为()10f =，所以()()11ln10F f =-=，且()()ee xxF f x =-，所以由()e 0xf x -<得：()()e 1x F F <结合单调性可得：e 1x >，解得：0x >，故选：C【例2】已知函数()f x 的定义域为R ，图象关于原点对称，其导函数为()f x '，若当0x >时()()ln 0x x f x f x +⋅'<，则不等式()()44x f x f x ⋅>的解集为______．【答案】()(),10,1-∞-⋃ 【解析】【分析】依据函数单调性和奇偶性把抽象不等式转化为整式不等式去求解即可. 【详解】当0x >时，()()()()()ln 0ln 0ln 0f x f x x x f x x f x x f x x'''+⋅<⇔+⋅<⇔⋅<⎡⎤⎣⎦，故函数()()ln g x x f x =⋅在()0,∞+上单调递减，易知()10g =，故当()0,1x ∈时，()0g x >，()0f x <，当()1,x ∈+∞时，()0g x <，()0f x <；而()()()44440x xf x f x f x ⎡⎤⋅>⇔⋅->⎣⎦，而()()44xh x f x ⎡⎤=⋅-⎣⎦为奇函数，则当0x >时，当()440xf x ⎡⎤⋅->⎣⎦的解为01x <<，故当x ∈R 时，()440xf x ⎡⎤⋅->⎣⎦的解为1x <-或01x <<，故不等式()()44xf x f x ⋅>的解集为()(),10,1-∞-⋃．故答案为：()(),10,1-∞-⋃【例3】已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，()'f x 是()f x 的导函数，(1)0,f ≠且满足:()()ln 0,f x f x x x⋅+<'则不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为（） A ．(1,)+∞ B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(),1-∞D ．()(,01),-∞⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】根据给定含导数的不等式构造函数()()ln g x f x x =，由此探求出()f x 在(0,)+∞上恒负，在(,0)-∞上恒正，再解给定不等式即可.【详解】令()()ln g x f x x =，0x >，则()()()ln 0f x g x f x x x''=+<，()g x 在(0,)+∞上单调递减，而(1)0g =，因此，由()0>g x 得01x <<，而ln 0x <，则()0f x <，由()0g x <得1x >，而ln 0x >，则()0f x <，又(1)0f <，于是得在(0,)+∞上，()0f x <，而()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，则在(,0)-∞上，()0f x >，由(1)()0x f x -⋅<得：10()0x f x ->⎧⎨<⎩或10()0x f x -<⎧⎨>⎩，即10x x >⎧⎨>⎩或10x x <⎧⎨<⎩，解得0x <或1x >，所以不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为(,0)(1,)-∞⋃+∞. 故选：D 【题型专练】1.（2022·陕西汉中·高二期末（文））定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()110,2ln 2f x f x '+>=，则不等式()e 0x f x +>的解集为___________. 【答案】(ln2,)+∞ 【解析】【分析】令()()ln (0)g x f x x x =+>，根据题意得到函数()g x 在(0,)+∞上为单调递增，把不等式()e 0xf x +>，可得()()e 2x g g >，结合函数()g x 的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()()110,2ln 2f x f x '+>=，令()()ln (0)g x f x x x =+>，可得()()10g x f x x''=+> 所以函数()g x 在(0,)+∞上为单调递增，且()()22ln 20g f =+=，又由不等式()e 0x f x +>，可得()()e 2xg g >，所以e 2x >，解得ln 2x >，即不等式()e 0xf x +>的解集为(ln2,)+∞.故答案为：(ln2,)+∞.2.（2022·河北·石家庄二中高二期末）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()114f x f x ++-=，且当1x >时()0f x '≥，则不等式()()2ln 10f x x ⎡⎤-->⎣⎦的解集为（） A ．()2,+∞ B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()22,e【答案】A 【解析】【分析】由条件得出()f x 关于()1,2成中心对称，进一步得出函数的单调性，然后再根据题意可得()()ln 102x f x ⎧->⎪⎨>⎪⎩，或()()ln 102x f x ⎧-<⎪⎨<⎪⎩，从而可得出答案. 【详解】由()()114f x f x ++-=得()f x 关于()1,2成中心对称．令0x =，可得()12f =当1x >时()0f x '≥，则()f x 在[)1,∞+上单调递增.由()f x 关于()1,2成中心对称且()12f =，故()f x 在R 上单调递增由()()2ln 10f x x ⎡⎤-->⎣⎦，则()()ln 102x f x ⎧->⎪⎨>⎪⎩，或()()ln 102x f x ⎧-<⎪⎨<⎪⎩解得21x x >⎧⎨>⎩，或121x x <<⎧⎨<⎩，故2x >故选：A3.（多选）已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，其导函数是()f x ' ，且满足()()1ln 0x f x f x x'⋅+⋅>，则下列说法正确的是（）A ．10e f ⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．10e f ⎛⎫< ⎪⎝⎭C ．()e 0f >D ．()e 0f <【答案】AC 【解析】【分析】根据题意，构造()()ln g x f x x =⋅，由题意，得到()g x 单调递增，进而利用()g x 的单调性，得到1(1)()eg g >，再整理即可求解【详解】设()()ln g x f x x =⋅，可得()()1'()ln 0g x x f x f x x'=⋅+⋅>，()g x 单调递增，又因为(e)(e)ln e (e)g f f =⋅=，1111()()ln ()e e e e g f f =⋅=-，(1)(1)ln10g f =⋅=，且1e 1e>>，1(e)(1)()e g g g ∴>>，得(e)0f >，110()()e eg f >=-，整理得1()0e f >，AC 正确；故选：AC题型五：构造三角函数型解不等式【例1】已知偶函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()'f x ，当02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x的不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由题意，设()()cos f x g x x =，利用导数求得()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且为偶函数，再把不等式()cos 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭，转化为()()4g x g π<，结合单调性，即可求解.【详解】由题意，设()()cos f x g x x =，则2()cos ()sin ()cos f x x f x xg x x'+'=，当02x π<<时，因为()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则有()0g x '<，所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又因为()f x 在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是偶函数，可得()()()()cos()cos f x f x g x g x x x --===-，所以()g x 是偶函数，由()cos 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得()()cos 4f x x π<，即()()4cos cos 4ππ<f f x x ，即()()4g x g π< 又由()g x 为偶函数，且在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，且定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有||4x π>，解得24x ππ-<<-或42x ππ<<，即不等式的解集为,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B. 【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中构造新函数，求得函数的奇偶性和利用题设条件和导数求得新函数的单调性，结合函数的单调性求解是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.【例2】已知函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数是()'f x .有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则关于x()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,63ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】令()()cos f x F x x=，根据题设条件，求得()F'0x <，得到函数()()cos f x F x x=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调递减函数，再把不等式化为()6cos cos 6f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，结合单调性和定义域，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()()'cos sin 0f x x f x x +<，令()()cos f x F x x=，则()()()2'cos sin '0cos f x x f x xF x x+=< 函数()()cos f x F x x=是定义域,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调递减函数，由于cos 0x >，关于x()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()6cos cos 6f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()6F x F π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以22x ππ-<<且6x π>，解得26x ππ>>，()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】方法点睛：构造法求解()f x 与()f x '共存问题的求解策略：对于不给出具体函数的解析式，只给出函数()f x 和()f x '满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：（1）()()()()f x g x f x g x ''±型；（2）()()xf x nf x '+型；（3）()()(f x f x λλ±为常数)型.【题型专练】1.已知可导函数()f x 是定义在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数．当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为（）A ．ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．ππ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】构造函数()sin xf x ，并依据函数()sin xf x 的单调性去求解不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集.【详解】当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则()()cos sin 0xf x f x x '+>则函数()sin xf x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又可导函数()f x 是定义在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数则()sin xf x 是ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数，且在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，由πππ222ππ22x x ⎧-<+<⎪⎪⎨⎪-<-<⎪⎩，可得π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则ππ0,22x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，π0,2x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭可化为()()ππsin sin 22x f x x f x ⎛⎫⎛⎫+⋅+>-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由函数()sin xf x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且π0,2x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，ππ0,22x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则有ππ022x x >+>->，解之得π04x -<<故选：D2.已知函数()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数.当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()'()tan 0f x f x x +>，则不等式cos sin ()02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】构造函数()()sin g x f x x =，则经变形后得[]'()()'()tan cos g x f x f x x x =+⋅，进而得到()g x 在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时单增，结合()f x 单调性证出()g x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数，再去“f ”，即可求解【详解】令()()sin g x f x x =，[]'()()cos '()sin ()'()tan cos g x f x x f x x f x f x x x =+=+⋅，当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()'()tan 0f x f x x +>，'()0g x ∴>，即函数()g x 单调递增．又(0)0g =，0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭∴时，()()sin 0g x f x x =>，()f x 是定义在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的奇函数，()g x ∴是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数．不等式cos sin ()02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭，即sin sin ()22x f x xf x ππ⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()2g x g x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，||2x x π∴+>，4x π∴>-①，又222x πππ-<+<，故0x π-<<②，由①②得不等式的解集是,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C 【点睛】本题考查利用构造函数法解不等式，导数研究函数的增减性的应用，一般形如()()()()0f a g a f b g b ±>的式子，先构造函数()()()h x f x g x =⋅，再设法证明()h x 的奇偶性与增减性，进而去“f ”解不等式 3.奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-，其导函数是()f x '，当0πx <<时，有。

人教版八年级数学上册专题03 分式方程及零指数幂、负指数幂运算(专题测试)(解析版)

专题03 分式方程及零指数幂、负指数幂运算专题测试一、单选题1．（2020·淮阴区开明中学八年级月考）下列式子①11125m π-=，②413x x=-，③2x y -中，分式方程有（）个 A ．1 B ．2C ．3D ．0【答案】A①11125m π-=分母中不含未知数，所以不是分式方程，故错误；②413x x=-，符合分式方程的概念，故正确； ③2x y-，不是方程，故错误；所以分式方程只有1个，故选：A ．2．（2020·湖北八年级期末）在显微镜下测得“新冠”病毒的直径为0.00000000205米，用科学记数法表示为（） A ．0.205×10﹣8米 B ．2.05×109米 C ．20.5×10﹣10米 D ．2.05×10﹣9米【答案】D解：0.00000000205米，该数据用科学记数法表示为2.05×10-9米．故选：D ．3．（2020·江西八年级期末）若分式方程1512x x a=--的解为2x =，则a 的值是（） A ．1 B ．2C ．-1D ．-2【答案】C解：将2x =代入分式方程中，得152122a=-⨯- 解得：1a =-，经检验a=-1是方程的解，故选C ．4．（2020·安仁县思源实验学校八年级期中）如果（a ﹣1）0=1成立，则（） A ．a≠0 B ．a≠1C ．a=1D ．a=0或a=1【答案】B∵2(1)1a -=成立， ∴10a -≠， ∴1a ≠，故选：B ．5．（2020·广西七年级期末）如果方程1101ax x +-=-无解，那么a 的值为（）． A ．±1 B ．－1 C ．0D ．1【答案】A 对原方程进行化简：()1101ax x x +--=-，()1201a xx --=-，若此方程无解：（1）转换成整式方程，()120a x-+=此方程无解，∴10a -=即1a =时，原方程无解；（2）()120a x-+=此方程的解为1x =是原方程的增根，此时1a =-则原方程也无解；故答案选A ．6．（2020·四川九年级）“某市为处理污水，需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时×××××．设原计划每天铺设管道x 米，则可得方程400040002010x x -=+．”根据此情境，题中用“×××××”表示得缺失的条件，应补为( ) A ．每天比原计划多铺设10米，结果延期20天才完成任务 B ．每天比原计划少铺设10米，结果延期20天才完成任务 C ．每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务 D ．每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成任务【答案】C解：原计划每天铺设管道x 米，那么x+10就应该是实际每天比原计划多铺了10米，而用400040002010x x -=+则表示用原计划的时间﹣实际用的时间=20天，那么就说明每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务．故选：C ．7．（2020·江阴市长寿中学八年级月考）已知关于x 的方程22x mx +-=3的解是正数，那么m 的取值范围为（）A ．m ＞-6且m≠-2B ．m ＜6C ．m ＞-6且m≠-4D ．m ＜6且m≠-2【答案】C将分式方程转化为整式方程得：2x+m=3x-6 解得：x=m+6．∵方程得解为正数，所以m+6＞0，解得：m ＞-6． ∵分式的分母不能为0， ∴x-2≠0，∴x≠2，即m+6≠2． ∴m≠-4．故m ＞-6且m≠-4．故选C ．8．（2019·邯郸市凌云中学九年级）把0.00258写成10n a ⨯（110a ≤<，n 为整数）的形式，则a n +为（） A ．2.58 B ．5.58C ．0.58-D ．0.42-【答案】D解：将0.00258用科学记数法表示为：2.58×10-3．故a=2.58，n=-3，则a+n=-0.42．故选：D ．9．（2020·海南中考真题）分式方程312x =-的解是（） A ．1x =- B ．1x = C ．5x =D ．2x =【答案】C 解：312x =- 3=x-2 x=5经检验x=5是分式方程的解所以该分式方程的解为x=5．故选：C ．10．（2019·全国八年级课时练习）一项工程，甲、乙二人合做2天完成，已知乙单独完成此项工程比甲单独完成此项工程需多用3天，那么甲单独完成此项工程需（） A ．2天 B ．3天C ．4天D ．5天【答案】B 【解析】设甲单独完成此项工程需用x 天, 乙单独完成此项工程需用(x+3)天，根据题意得，解得，，，经检验，，是原方程的根，但不符合题意，舍去.∴x=3,故甲单独完成此项工程需用3天. 故选B.二、填空题11．（2019·上海市浦东新区进才实验中学七年级月考）0.000621-用科学计数法表示为_____________ 【答案】46.2110--⨯由科学计数法的定义得：40.000621 6.2110--=-⨯.12．（2019·四川七年级期中）-21=2（）__________．【答案】4 【解析】解：221=2 4.2-⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为：4.13．（2019·四川八年级期中）若关于x 的方程222x mx x-+--＝﹣2有增根，则m 的值是_____．【答案】0解：去分母得2﹣（x ﹣m ）＝﹣2（x ﹣2），解得x ＝2﹣m ，当x ＝2时，原方程有增根，即2﹣m ＝2，解得m ＝0．故答案为0．14．（2020·江苏南通第一初中八年级月考）已知关于x 的分式方程211a x +=+的解是负数，则a 的取值范围_____________．【答案】1a <-且2a ≠- 解：211a x +=+ a+2=x+1 x=a+1，∵方程的解是负数，x≠-1 ∴a+1<0，且a+2≠0，解得a<-1，且a ≠-2，故答案为：1a <-且2a ≠-．15．（2019·上海市闵行区七宝第三中学七年级月考）比较大小：412-⎛⎫- ⎪⎝⎭______413-⎛⎫- ⎪⎝⎭.（在横线上填“>”或“<”）【答案】<444111121116221====16-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 444111131181331====81-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因为16＜81所以412-⎛⎫- ⎪⎝⎭＜413-⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题16．（2019·湖北十堰市北京路中学九年级月考）计算：()1212|2|4π2-⎛⎫-+-+--- ⎪⎝⎭【答案】5--解：()1212|2|4π2-⎛⎫-+-+--- ⎪⎝⎭=1242-+--=5-17．（2020·浙江杭州市·七年级期中）解方程：（1）11322x x x --=-- （2）25231x x x x +=++ 【答案】（1）x=3；（2）无解解：（1）去分母得： 1-3（x-2）=-（x-1），解得：x=3，经检验：x=3是原方程的解，即原方程的解为x=3；（2）去分母得：5x+2=3x ，解得：x=-1，经检验x=-1是分式方程的增根，即原方程无解．18．（2020·浙江七年级期末）某商场经销A ，B 两款商品，若买20件A 商品和10件B 商品用了360元；买30件A 商品和5件B 商品用了500元．（1）求A 、B 两款商品的单价；（2）若对A 、B 两款商品按相同折扣进行销售，某顾客发现用640元购买A 商品的数量比用224元购买B 商品的数量少20件，求对A 、B 两款商品进行了几折销售？（3）若对A 商品进行5折销售，B 商品进行8折销售，某顾客同时购买A 、B 两种商品若干件，正好用完49.6元，问该顾客同时购买A 、B 两款商品各几件？【答案】（1）A 商品的单价是16元，B 商品的单价是4元；（2）8折；（3）顾客购买A 商品1件，B 商品13件；或A 商品3件，B 商品8件；A 商品5件，B 商品3件解：（1）设A 商品单价为x 元，B 商品单价为y 元.根据题意，得：2010360 305500x yx y+=⎧⎨+=⎩解得164 xy=⎧⎨=⎩所以A商品的单价是16元，B商品的单价是4元.（2）设打折后A、B两款商品进的价格分别为16a和4a，则6402242016a4a=-解得a=0.8经检验，a=0.8为原方程的解且符合题意所以A、B两款商品进行了8折销售（3）设顾客购买A商品m件，B商品n件.则8m 3.2n49.6+=m 6.20.4n=-∵m、n都为正整数∴①m=1,n=13②m=3,n=8③m=5,n=3所以顾客购买A商品1件，B商品13件；或A商品3件，B商品8件；A商品5件，B商品3件.。

分式与分式方程(3大考点)(解析版)三年(2022-2024)中考数学真题分类汇编(全国通用)

专题07分式与分式方程（3大考点）（解析版）三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（全国通用）【考点归纳】一、考点01解分式方程----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1二、考点02分式方程的解-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11三、考点03分式方程的应用-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------16考点01解分式方程一、考点01解分式方程1．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程1513126x x-=---时，去分母变形正确的是（）A ．2625x -+=-B ．6225x --=-C ．2615x --=D ．6215x -+=2．（2024·四川泸州·中考真题）分式方程322x x-=--的解是（）A ．73x =-B ．=1x -C ．53x =D ．3x =1362x -+=-，39x -=-，3x =，经检验3x =是该方程的解，故选：D ．3．（2024·四川德阳·中考真题）分式方程153x x =+的解是（）A ．3B ．2C ．32D ．344．（2023·辽宁大连·中考真题）解方程311x x x+=--去分母，两边同乘(1)x -后的式子为（）A ．133(1)x x +=-B ．13(1)3x x +-=-C ．133x x -+=-D ．13(1)3x x+-=【答案】B【分析】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．根据分式方程的解法，两侧同乘(1)x -化简分式方程即可．【详解】解：分式方程的两侧同乘(1)x -得：13(1)3x x +-=-．故选：B ．5．（2023·海南·中考真题）分式方程115x =-的解是（）A ．6x =B ．6x =-C ．5x =D ．5x =-【答案】A【分析】先去分母将分式方程化为整式方程，解方程得到x 的值，再检验即可得到答案．【详解】解：去分母得：15x =-，解得：6x =，检验，当6x =时，510x -=≠，∴原分式方程的解是6x =，故选：A ．【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，注意要检验．6．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程231x x =+的解为（）A ．1x =B ．=1x -C ．2x =D ．2x =-7．（2023·湖南·中考真题）将关于x 的分式方程21x x =-去分母可得（）A ．332x x -=B ．312x x -=C ．31x x -=D ．33x x-=8．（2023·甘肃兰州·中考真题）方程213x =+的解是（）A ．1x =B ．=1x -C ．5x =D ．5x =-【答案】B【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得解．【详解】解：去分母得：23x =+，解得=1x -，经检验=1x -是分式方程的解．故选：B ．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．9．（2023·上海·中考真题）在分式方程2221521x x x x -+=-中，设221x y x -=，可得到关于y 的整式方程为（）A ．2550y y ++=B ．2550y y -+=C ．2510y y ++=D ．2510y y -+=10．（2024·浙江·中考真题）若11x =-，则x =【答案】3【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：21x =-，移项合并得：3x -=-，解得：3x =，经检验，3x =是分式方程的解，故答案为：311．（2024·北京·中考真题）方程11023x x+=的解为.12．（2024·四川宜宾·中考真题）分式方程301x x +-=的解为．13．（2023·江苏·中考真题）方程1121x -=+的解是．故答案为：2x =-【点睛】此题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解方法．14．（2023·北京·中考真题）方程31512x x=+的解为．【答案】1x =【分析】方程两边同时乘以()251x x +化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验．【详解】解：方程两边同时乘以()251x x +，得651x x =+，解得：1x =，经检验，1x =是原方程的解，故答案为：1x =．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．15．（2023·江苏苏州·中考真题）分式方程123x x +=的解为x =．【答案】3-【分析】方程两边同时乘以3x ，化为整式方程，解方程验根即可求解．【详解】解：方程两边同时乘以3x ，()312x x +=解得：3x =-，经检验，3x =-是原方程的解，故答案为：3-．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．16．（2023·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组+34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，至少有2个整数解，且关于y 的分式方程14222a y y-+=--有非负整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是．17．（2022·山东威海·中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是．18．（2022·四川成都·中考真题）分式方程144x x x-+=的解是．19．（2024·福建·中考真题）解方程：122x x +=+-．20．（2024·陕西·中考真题）解方程：2111x x +=--．【答案】3x =-【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．21．（2024·广东广州·中考真题）解方程：x x=．2522．（2023·西藏·中考真题）解分式方程：1-=．11x x23．（2023·山西·中考真题）解方程：1122x x +=．24．（2022·青海西宁·中考真题）解方程：220x x x x-=+-．【答案】7x =【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：方程两边同乘()()11x x x +-，得()()41310x x --+=，解得7x =，检验：当7x =时，()()110x x x +-≠，所以，原分式方程的解为7x =．【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握求解的方法是解题的关键，注意解分式方程一定要验根．25．（2022·江苏苏州·中考真题）解方程：311x x x+=．二、考点02分式方程的解26．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程2111m x x =---的解为正数，则m 的取值范围（）A ．3m >-B ．3m >-且2m ≠-C ．3m <D ．3m <且2m ≠-27．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于x 的分式方程01m x x -=+的解是负数，那么实数m 的取值范围是（）A ．1m <且0m ≠B ．1m <C ．1m >D ．1m <且1m ≠-【答案】A【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的28．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x 的分式方程233x x -=--无解，则k 的值为（）A ．2k =或1k =-B ．2k =-C ．2k =或1k =D ．1k =-29．（2023·山东淄博·中考真题）已知1x =是方程322x x -=--的解，那么实数m 的值为（）A ．2-B ．2C ．4-D ．430．（2023·黑龙江·中考真题）已知关于x 的分式方程122x x +=--的解是非负数，则m 的取值范围是（）A ．2m ≤B ．2m ≥C ．2m ≤且2m ≠-D ．2m <且2m ≠-31．（2022·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组1351x x a-⎧-≥⎪⎨⎪-⎩＜的解集为2x ≤-，且关于y 的分式方程1211y a y y -=-++的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．－26B ．－24C ．－15D ．－1332．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程311x mx x x =-的解为正整数，则整数m 的值为．33．（2024·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组2133423x x x a+⎧≤⎪⎨⎪-<+⎩的解集为4x ≤，且关于y 的分式方程8122a y y y --=++的解均为负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是．34．（2024·四川达州·中考真题）若关于x 的方程122x x --=无解，则k 的值为．35．（2023·四川巴中·中考真题）关于x 的分式方程322x x ++=有增根，则m =．三、考点03分式方程的应用36．（2024·山东·中考真题）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（）A ．200B ．300C ．400D ．50037．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B 两种机器人每小时分别搬运多少干克化工原料？（）A．60，30B．90，120C．60，90D．90，6038．（2024·四川达州·中考真题）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件．可列方程为（）A．120120301.2x x-=B．120120301.2x x-=C．120120301.260x x-=D．120120301.260x x-=39．（2024·甘肃临夏·中考真题）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是（）A．240240102x x-=+B．240240102x x-=-C．240240102x x-=D．240240102x x-=40．（2023·山东青岛·中考真题）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x 元，则x满足的分式方程为．41．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）甲、乙两船从相距150km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从A地顺流航行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h，则江水的流速为km/h．42．（2023·湖北武汉·中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是．43．（2022·江西·中考真题）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为．44．（2024·云南·中考真题）某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍，求D型车的平均速度．答：D型车的平均速度为100km/h．45．（2024·江苏扬州·中考真题）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B 型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B 型机器每天处理多少吨垃圾？46．（2024·广西·中考真题）综合与实践在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．【洗衣过程】步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg水．浓度关系式：0.50.5ddw=+前后．其中d前、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：kg）【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%【动手操作】请按要求完成下列任务：(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水？(2)如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5kg清水．(2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标；(3)两次漂洗的方法值得推广学习47．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？48．（2023·山东济南·中考真题）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A 型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?49．（2023·辽宁沈阳·中考真题）甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工2个这种零件，甲加工25个这种零件所用的时间与乙加工20个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件．【答案】乙每小时加工8个这种零件．50．（2023·宁夏·中考真题）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．(1)求两种型号玩具的单价各是多少元？根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：甲：520175301.6x x=+，解得5x=，经检验5x=是原方程的解．乙：5201751.630x x=⨯-，解得65x=，经检验65x=是原方程的解．则甲所列方程中的x表示_______，乙所列方程中的x表示_______；(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？51．（2023·山东·中考真题）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的1.2倍，求大型客车的速度．52．（2023·贵州·中考真题）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题：(1)更新设备后每天生产_______件产品（用含x的式子表示）；(2)更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品．53．（2023·广东·中考真题）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10min，求乙同学骑自行车的速度．54．（2023·重庆·中考真题）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50％，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？。

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第二单元方程（组）与不等式（组）第8讲分式方程一、单选题1．已知3x =是分式方程31kx =-的解，那么实数k 的值为( ) A ． 1 B ．32C ． 6D ． 9【解答】解：将3x =代入方程，得：32k=，解得：6k =，故选：C ． 2．把分式方程22242x xx x +=--化为整式方程，得( ) A ．22(2)x x x +=+ B ．22(4)2(2)x x x x +-=+C ．2(2)2(2)x x x x +-=-D ．22(4)2(2)x x x x +-=-【解答】解：去分母得：22(4)2(2)x x x x +-=+．故选：B ．3．（2019•南岗区校级模拟）方程23055x x x--=--的解为( ) A ．2-B ．2C ．5D ．无解【解答】解：两边都乘以5x -，得：230x -+=，解得：5x =，检验：当5x =时，50x -=，所以方程无解．故选：D ．4．当使用换元法解方程2()2()3011x x x x --=++时，若设1xy x =+，则原方程可变形为 ( )A ．2230y y ++=B ．2230y y -+=C ．2230y y +-=D ．2230y y --=【解答】解：把1xy x =+代入原方程得：2230y y --=．故选：D ．5．（2019秋•勃利县期末）已知关于x 的方程33kx x=-的解是正整数，且k 为整数，则k 的值是( )A ．0B ．2-C ．0或6D ．2-或6【解答】解：方程33kx x=-去分母，得93x kx -=，即39kx x +=， 93x k ∴=+ 因为原分式方程的解为正整数，且3x ≠．所以913x k ==+、2、4、5、6、7、8、9，又因为k 为整数，所以2k =-或6．故选：D ．6．（2019秋•西城区期中）关于x 的分式方程231x mx -=+的解是负数，则字母m 的取值范围是( ) A ．3m -D ．3m >-且2m ≠-【解答】解：231x mx -=+，方程两边同时乘以1x +得：23(1)x m x -=+，解得：3x m =--， 10x +≠， 1x ∴≠-即31m --≠-，解得：2m ≠-，又方程的解是负数， 30m ∴--<，解不等式得：3m >-，综上可知：3m >-且2m ≠-，故选：D ． 7．若分式方程222a xx x -=--有增根，则a 的值是( )A．3B．0C．4D．2【解答】解：方程两边都乘(2)x-，得2a x=-原方程有增根，∴最简公分母(2)0x-=，解得2x=，当2x=时，4a=．故选：C．8．文文借了一本书共280页，要在两周借期内读完．当她读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．她在读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下列方程中，正确的是()A．2802801421x x+=-B．2802801421x x+=+C．1401401421x x+=-D．1401401421x x+=+【解答】解：根据题意得：1401401421x x+=+，故选：D．9．（2020秋•西城区期末）在学校组织的秋季登山活动中，某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登一座450m高的山，乙组的攀登速度是甲组的1.2倍，乙组到达顶峰所用时间比甲组少15min．如果设甲组的攀登速度为x/m min，那么下面所列方程中正确的是()A．4504501.215x x=++B．450450151.2x x=-C．4504501.215x x=⨯+D．450450151.2x x=+【解答】解：设甲组的攀登速度为x/m min，则乙组的攀登速度为1.2x/m min，依题意得：450450151.2x x-=．故选：B．10．（2020秋•丰台区期末）2020年5月1日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，其他垃圾进行分类．小红所住小区5月和12月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示：类别厨余垃圾分出量（千克） 6608400 其他三种垃圾的总量（千克） x710x 如果厨余垃圾分出率100%=⨯厨余垃圾分出量生活垃圾总量（生活垃圾总量=厨余垃圾分出量+其他三种垃圾的总量），且该小区12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍，那么下面列式正确的是( ) A ．660840014710x x ⨯=B ．6608400147660840010x x ⨯=++C ．6608400147660840010x x=⨯++D ．7840066010146608400x x++⨯= 【解答】解：根据题意知，6608400147660840010x x ⨯=++．故选：B ．二、填空题11．（2020秋•门头沟区期末）如图是小华对“分式运算与解分式方程”这部分知识的梳理：其中，图中（①）“通分”的依据是，图中（②）“将分式方程转化为整式方程”的具体方法是．【解答】解：如图是小华对“分式运算与解分式方程”这部分知识的梳理：其中，图中（①）“通分”的依据是分式的基本性质，图中（②）“将分式方程转化为整式方程”的具体方法是方程左右两边都乘以各分母的最简公分母．故答案为：分式的基本性质；方程左右两边都乘以各分母的最简公分母． 12．（2020秋•海淀区校级月考）若方程244x ax x =+--无解，则此时a = ．【解答】解：方程两边同乘以4x -得2(4)x x a =-+，方程244x ax x =+--无解， 40x ∴-=，解得4x =， 42(44)a ∴=-+，解得4a =．故答案为4． 13．若分式方程11322a x x ++=--有增根，则a 的值是．【解答】解：去分母转化成整式方程，得13(2)1x a +-=+．化简，得36a x =-．分式方程的增根是2x =，把2x =代入方程，得3260a =⨯-=，故答案为：0．14．（2019秋•大兴区期中）对于两个非零的实数a ，b ，规定32@a b b a=-，若(1)@(1)0x x +-=，则x 的值是．【解答】解：根据题中的新定义得：32011x x -=-+，去分母得：33220x x +-+=，解得：5x =-，经检验5x =-是分式方程的解，则x 的值为5-，故答案为：5-三、解答题15．（2020秋•海淀区校级月考）（1）23241123x x x x ---=-+；（2）22162242x x x x x -+-=+--；（3）解关于x 的方程：2(0)a b b aa b x a b+--=+≠．【解答】解：（1）去分母得：2224926423x x x x x --+-=+-，解得：2x =，经检验2x =是分式方程的解；（2）去分母得：22441644x x x x -+-=++，解得：2x =-，经检验2x =-是增根，分式方程无解；（3）去分母得：22()2ab a b b x a x abx +--=，即2()()a b x ab a b +=+，解得：abx a b=+，经检验abx a b=+是分式方程的解． 16．（2020秋•海淀区校级月考）关于x 的方程225111mx x x +=+--去分母转化为整式方程后产生增根，求m 的值．【解答】解：方程两边同乘以21x -，得2(1)5(1)x x m --+=，当210x -=时，1x =±，∴关于x 的方程225111mx x x +=+--的增根为1±，当1x =时，2(11)5(11)10m =--+=-；当1x =-时，2(11)5(11)4m =----+=-，故m 的值为10-或4-．17．（2020春•海淀区期末）国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后，客户每购买一台可获得补贴500元，若同样用6万元购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前多20%．该款空调补贴前的售价为每台多少元？【解答】解：设该款空调补贴前的售价为每台x 元，由题意，得：6000060000(120%)500x x ⨯+=-，解得：3000x =，经检验得：3000x =是原方程的根，答：该款空调补贴前的售价为每台3000元．18．（2019秋•密云区期末）数学课堂上，老师提出问题：可以通过通分将两个分式的和表示成一个分式的形式，是否也可以将一个分式31(1)(1)x x x ++-表示成两个分式和的形式？其中这两个分式的分母分别为1x +和1x -．小明通过观察、思考，发现可以用待定系数法解决上面问题．具体过程如下：设31(1)(1)11x A Bx x x x +=++-+- 则有31(1)(1)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x A x B x A B x B Ax x x x x x x x +-+++-=+=+-+-+-+- 故此31A B B A +=⎧⎨-=⎩解得12A B =⎧⎨=⎩所以3112(1)(1)11x x x x x +=++-+- 问题解决：（1）设1(1)1x A Bx x x x -=+++，求A 、B ．（2）直接写出方程111(1)(1)(2)2x x x x x x x --+=++++的解．【解答】解：（1）(1)1(1)(1)A B A x Bxx x x x x x ++=++++ ()1(1)(1)A B x A xx x x x ++-==++ 1A B ∴+=-，1A = 2B ∴=-（2）由（1）可得112(1)1x x x x x --=+++，同理可得123(1)(2)12x x x x x --=+++++ 所以原方程可变形为：122311122x x x x x --+++=++++， ∴142x x =+ 解得23x =经检验，23x =是原方程的解．所以原方程的解为：23x =。

第8讲 分式方程(测)(解析版)