高中数学人教A版选修4-5导学案4.1数学归纳法
人教版数学高二A版选修4-5 4.1数学归纳法
课后训练1．设111()12331f n n ＝＋＋＋＋－(n ∈N ＋)，则f (n ＋1)－f (n )等于( )． A ．132n ＋ B ．11331n n ＋＋ C ．113132n n ＋＋＋ D ．11133132n n n ＋＋＋＋ 2．某个命题与正整数有关，若当n ＝k (k ∈N ＋)时该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得( )．A ．当n ＝6时，该命题不成立B ．当n ＝6时，该命题成立C ．当n ＝4时，该命题成立D ．当n ＝4时，该命题不成立3．设1111()1232f n n n n n＝＋＋＋＋＋＋＋(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )． A ．121n ＋ B ．122n ＋ C ．112122n n ＋＋＋ D ．112122n n －＋＋ 4．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．5．用数学归纳法证明“n ∈N ＋时，1＋2＋22＋23＋…＋25n －1是31的倍数”时，n ＝1时，原式＝__________，从k 到k ＋1时需添加的项是__________．6．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N ＋)．7．求证：n 棱柱中过侧棱的对角面的个数是f (n )＝12n (n －3)(n ∈N ＋，n ≥4)． 8．已知数列{a n }满足条件(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n －1)，且a 2＝6，设b n ＝a n ＋n (n ∈N ＋)．(1)求a 1、a 3、a 4的值；(2)求数列{a n }的通项公式．已知点的序列A n (x n,0)，n ∈N ＋，其中x 1＝0，x 2＝a (a ＞0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，….(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式(n ≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1，a 2，a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明．参考答案1. 答案：D解析：因为111()12331f n n ＝＋＋＋＋－. 所以111111(1)1233133132f n n n n n ＋＝＋＋＋＋＋＋＋－＋＋. 所以111(1)()33132f n f n n n n ＋－＝＋＋＋＋. 2. 答案：D解析：利用等价命题，原命题的真假等价于逆否命题的真假，若n ＝k ＋1时命题不成立，则n ＝k 时命题不成立，所以n ＝4时命题不成立． 3. 答案：D解析：因为111()122f n n n n＝＋＋＋＋＋， 所以11111(1)2322122f n n n n n n ＋＝＋＋＋＋＋＋＋＋＋. 所以()11111(1)212212122f n f n n n n n n ＋－＝＋－＝－＋＋＋＋＋. 4. 答案：f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2解析：∵f (k )＝12＋22＋32＋…＋(2k )2，而f (k ＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.5. 答案：1＋2＋22＋23＋2425k ＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋46. 分析：当n ＝k ＋1时，左边的项应该增加两项(2k ＋1)2－(2k ＋2)2.证明：(1)当n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－[2(k ＋1)]2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－[2(k ＋1)]2＝－2k 2－5k －3＝－(k ＋1)(2k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，即当n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)(2)可知，对任何n ∈N ＋，等式成立．7. 分析：利用“递推”法，f (k ＋1)－f (k )来寻找n ＝k ＋1比n ＝k 时增加的对角面的个数． 证明：(1)当n ＝4时，四棱柱有2个对角面，12×4×(4－3)＝2，命题成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥4)时命题成立，即符合条件的棱柱的对角面个数是f (k )＝12k (k －3)，现在考虑n ＝k ＋1的情形，第k ＋1条棱A k ＋1B k ＋1与其余和它不相邻的k －2条棱分别增加了1个对角面，共(k －2)个，而面A 1B 1B k A k 变成了对角面，因此对角面的个数变为f (k )＋(k －2)＋1＝12k (k －3)＋k －1＝12(k 2－3k ＋2k －2)＝12(k －2)(k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]，即f (k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]． 由(1)(2)可知，命题对n ≥4，n ∈N ＋都成立．8. 解：(1)∵(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n －1)(n ∈N ＋)，且a 2＝6， ∴当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 3＝3(a 2－1)＝15； 当n ＝3时，2a 4＝4(a 3－1)＝56，∴a 4＝28.(2)由a 2－a 1＝5，a 3－a 2＝9，a 4－a 3＝13. 猜想a n ＋1－a n ＝4n ＋1，∴a n －a 1＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)． ∴a n ＝2n 2－n (n ∈N ＋)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝2×12－1＝1，故猜想正确． ②假设当n ＝k 时，有a k ＝2k 2－k (k ∈N ＋，且k ≥1)． ∴(k －1)a k ＋1＝(k ＋1)(a k －1)，(k －1)a k ＋1＝(k ＋1)(2k 2－k －1)． ∴a k ＋1＝(k ＋1)(2k ＋1)＝2(k ＋1)2－(k ＋1)． 即当n ＝k ＋1时，命题也成立． 由①②知，a n ＝2n 2－n (n ∈N ＋)．9. 解：(1)当n ≥3时，122n n n x x x －－＋＝. (2)a 1＝x 2－x 1＝a ， a 2＝x 3－x 2＝2122x x x ＋－＝2111()22x x a --－＝， a 3＝x 4－x 3＝3232x x x ＋－＝321111()()2224x x a -－＝－－＝． 由此推测112n n a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭＝(n ∈N ＋)．用数学归纳法证明：①当n ＝1时，012112a x x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－＝＝，通项公式成立． ②假设当n ＝k 时，112k k a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭－＝成立．那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1 ＝11111()222k k k k k k x x x x x a --＋＋＋＋－＝－＝11122k a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭－＝ (1)112k a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋－＝，通项公式成立． 由①②知，112n n a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭－＝(n ∈N ＋)．。
数学人教A版选修4-5学案：课堂导学4.1数学归纳法含解析
课堂导学三点剖析一,熟悉数学归纳法证题的步骤【例1】 已知f(n ）=1+21+31+…+n1(n≥2且n∈N )，求证：n+f （1)+…+f （n —1）=nf （n)。
证明:(1)当n=2时,等式成立。
（2）假设n=k 时，k+f （1）+…+f(k -1）=kf （k ）。
当n=k+1时,左边=k+1+f （1）+…+f(k -1)+f(k ）=1+f(k ）+kf （k ）=(k+1)f （k)+1=（k+1)［f （k ）+11 k ] =(k+1）f(k+1）=右边。
由（1)(2)，知对n≥2且n∈N 等式均成立。
温馨提示用数学归纳法证题一般都有“两个步骤一个结论",用框图表示如下:在证明时要注意书写的规范性.各个击破类题演练1在同一平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，证明这n 个圆将平面分成n 2—n+2个部分。
证明：(1)当n=1时,n2—n+2=2,即把平面分成两个部分，结论成立.(2)假设n=k时,k个圆把平面分成k2—k+2个部分.若再增加一个圆,它与原来的k个圆相交，共有2k个交点.这些点把第k+1个圆分成2k段弧,而每段弧把它所在的那块平面分成两块,即增加了一个部分,因此总数增加了2k个部分.所以当n=k+1时，平面被分成了（k2-k+2)+2k=(k+1)2-（k+1）+2个部分，即n=k+1时命题成立。
由（1)(2)，知n∈N时结论成立。
变式提升1设有2n个球分成许多堆,我们可以任意选甲乙两堆按以下规则挪动.若甲堆的球数是p,不少于乙堆的球数q,则从甲堆里拿q个球放到乙堆里，这样算挪动一次。
证明可以经过有限次挪动，把所有的球合并成一堆。
证明:（1)当n=1时,有两个球,分为两堆,挪动一次就行了，即命题成立。
（2）假设当n=k，即有2k个球时命题成立。
当n=k+1时，有2k+1=2·2k 个球,显然球的个数为偶数，把它们两两配对可分成2k对.这时只需将每对球看成一个整体,即2k个“球”,于是问题就变成n=k时的情形了，由归纳假设知n=k+1时命题也成立。
人教版高中数学选修4-5《4.1 数学归纳法》
所以等式对所有正整数都成立
第一步是递推的基础，缺少了第一步，就会成为无水之源， 不要认为第一步是一个简单的验证，可有可无。递推基础不可少！
变式2、乙同学用数学归纳法证明等式2+4+6+ +2n=n（n+1），n N，
（1）当n=1时，左边=2=右边，等式成立，
如下：
（2）假设当n=k(k 1, k N )时， 2+4+6++2k=k（k+1）成立，
变式1、甲同学猜想2+4+6+ +2n=n2 +n+1，并用数学归纳法证明如下， 请问该同学的结论正确吗？ 证明：假设当n=k, k N 时，2+4+6++2k=k2 +k+1成立
那么当n=k+1时，2+4+6+ +2k+2(k+1) =k k 1 2k 2 (k+1) (k 1) 1，即n=k+1时等式成立
步骤2：归纳假设要用到，解题目标要明确
结论：结论写明莫忘掉
核心： 递推思想
2、思想: 类比思想 递推思想： 命题从第一个值开始从前往后自 动递推，实现有限到无限的飞跃
五、作业布置
教材第50页习题4.1 1-5
谢谢！
数学归纳法
一、课题引入
• 情景一：给出第一个盒子里装的部分白色粉笔，猜测盒子里装的全是什么颜色 的粉笔？
不完全归纳法：考察部分对象作出一般结论 的推理方法（结论不一定正确） 完全归纳法：考察全部对象得出一般结论的 推理方法（结论一定正确）
• 情景二：如何断定第二个盒子里装的粉笔全是白色的？
4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)
＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2) ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除． 由(1)(2)可知，对任意正整数n命题均成立．
利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出
线段(或射线)
直线l把这k条直线又一分为二，多出k条线段(或射线)；l又 被这k条直线分成k＋1部分，所以这k＋1条直线彼此互相分 割成k2＋k＋k＋1＝(k＋1)2条线段(或射线)，即n＝k＋1时， 命题成立．
由(1)，(2)知，命题成立．
点击下图进入创新演练
[(3k＋3)＋1]· 7k＋1－1＝[3k＋1＋3]· 7· 7k－1＝
7· (3k＋1)· 7k－1＋21· 7k ＝[(3k＋1)· 7k－1]＋18k· 7k＋6· 7k＋21· 7k
k k k
由归纳假设(3k＋1)·k－1能被9整除，又因为 18k·k＋ 7 7
27·k也能被9整除，所以[3(k＋1)＋1]·k＋1－1能被9整除， 7 7
1 1 1 1 1 ＝( ＋ ＋…＋ )＋ － 2k 2k＋1 2k＋2 k＋1 k＋2 1 1 1 1 1 ＝( ＋…＋ ＋ )＋( － ) 2k 2k＋1 k＋2 k＋1 2k＋2 1 1 1 1 ＝ ＋…＋ ＋ ＋ ＝右边， 2k 2k＋1 2k＋2 k＋2 所以，n＝k＋1 时等式成立． 由①②知，等式对任意 n∈N＋都成立．
nn－3 5．求证：凸 n 边形对角线条数 f(n)＝ (n∈N＋， 2 n≥3)．
证明：(1)当 n＝3 时，即 f(3)＝0 时，三角形没有对角线， 命题成立． (2)假设 n＝k(k∈N＋，k≥3)时命题成立，即凸 k 边形对角 kk－3 线条数 f(k)＝ .将凸 k 边形 A1A2…Ak 在其外面增加 2 一个新顶点 Ak＋1，得到凸 k＋1 边形 A1A2…AkAk＋1，Ak＋1 依次与 A2，A3，…，Ak－1 相连得到对角线 k－2 条，原凸
人教A版选修4-5 4.1 数学归纳法 学案
一 数学归纳法 第12课时 数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某个正整数n 0的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当n ＝n 0时命题成立；(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，且k ≥n 0)时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n 0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．知识点一 用数学归纳法证明恒等式1．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14解析：观察分母知，首项为n ，末项为n 2，公差为1，共有n 2－n ＋1项，且f (2)＝12＋13＋14.答案：D2．(2019·江西师大附中模拟)用数学归纳法证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n (n ≥2，n ∈N ＋)．证明：①当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34.∴等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k (k ≥2，k ∈N ＋)．当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k ＋12＝k ＋12k ·k ＋12－1k ＋12＝k ＋1k ·k ＋22k ·k ＋12＝k ＋22k ＋1＝k ＋1＋12k ＋1， ∴当n ＝k ＋1时，等式成立．根据①和②知，对n ≥2，n ∈N ＋时，等式成立． 知识点二 用数学归纳法证明整除问题3．(2019·湖南邵东一中月考)用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3解析：假设n ＝k 时，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)2能被9整除，那么当n ＝k ＋1时，则(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3＝(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k 3＋3k 2×3＋3k ×32＋33)＝k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(9k 2＋27k ＋27)．故只需展开(k ＋3)3即可，故选A.答案：A4．用数学归纳法证明“5n －2n 能被3整除”时，在第二步中，当n ＝k ＋1时，为了使用归纳假设应将5k ＋1－2k ＋1变形为________．解析：假设n ＝k 时，应有5k －2k 能被3整除，当n ＝k ＋1时，应变形为5k＋1－2k ＋1＝5(5k －2k )＋3·2k . 答案：5(5k －2k )＋3·2k知识点三 用数学归纳法证明几何问题5．(2019·福清东张中学期中)平面内原有k 条直线，他们的交点个数记为。
12新人教A版高中数学(选修4-5)《数学归纳法》
上面四个式子的结果分 别是 2,3,4,5,由此猜想: 1 3 5 1 2n 1 1 n .
n n
怎样证明它呢?
分析 这个问题的特点是 要证不等式 在 n 为 :
任何正整数时都成立虽然我们可以验证n 1, 2, . 3,4,5, 甚至 n 1 000,100 000, 时这个等式成立 , 但是正整数是无限多个我们无法对它们一一验 , 证.所以, 通过验证的方法无法完 成证明 .
由 1 , 2 可知 , 对于 n n N , n 3 个点 , 相应的直 1 线共有 n n 1 条 . 2
思考 结合上述证明过程你认为 , 数学归纳法有什么特殊 作用?
数学归纳法是证明一些 与无限多 个正整数相关的命题的 有力工具, 它用有限的步骤
1奠基和2
一般地, 当要证明一个命题对于不小于某个 正整数n0的所有正整数 都成立时, 可以用以 n 下两个步骤:
1证明当n n0时命题成立 ;
2假设当n k k N , 且k n0 时命题成立,
证明n k 1时命题也成立 .
在完成这两个步骤后就可以断定命题对于 , 不小于n0 的所有正整数都成立 .这种证明方
3
被6整除.
证明
1 当 n
1 时 , n 5 n 显然能够被
3
2
6 整除 ,
命题成立 .
2 假设当
n k k 1 时 , 命题成立 .即 k 5 k 能
够被 6 整除 .
当 n k 1时 ,
k
1 5 k 1 k 3 k 3 k 1 5 k 5
数学归纳法mathematical induction . 法称为
2018-2019高二数学人教A版选修4-5学案：4.1数学归纳法导学案 Word版含解析
4.1 数学归纳法学习目标1．了解数学归纳法的原理．2．了解数学归纳法的使用范围．3．会用数学归纳法证明一些简单问题．一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。
二、合作探究思考探究 探究1．数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?探究2．在用数学归纳法证明数学命题时，只有第一步或只有第二步可以吗？为什么？名师点拨：1.归纳法由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法，通常叫作归纳法．它是人们发现规律，产生猜想的一种方法．归纳法又分完全归纳法和不完全归纳法．(1)不完全归纳法不完全归纳法是根据事物的部分特例(而不是全部)得到一般结论的方法．用不完全归纳法得出的结论不一定是正确的，应设法去证明结论是正确的或举出反例说明结论是不正确的．(2)完全归纳法如果验证一切可能的特殊事物，得出一般性的结论，这种归纳法称为完全归纳法．完全归纳法是验证所有情况后得出的结论，因此结论是正确的．然而对于数量多，乃至无穷多个，是不能做到一一验证的．对于无穷多个的事物，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，数学归纳法就是解决这类问题的证明方法．2．数学归纳法数学归纳法用于证明与正整数有关的数学命题，它是在归纳的基础上进行演绎推证，所得结论是正确的．(1)数学归纳法的原理从数学归纳法的定义可以看出，它强调的就是两个基本步骤，第一步，验证n ＝n 0时，命题成立，称为奠基．第二步，是假设递推，这两步都非常重要，缺一不可．第一步，证明了n ＝n 0时，命题成立，n ＝n 0成为后面递推的出发点．第二步的归纳假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)就有了依据，在n ＝n 0成立时，n 0＋1成立，n 0＋2成立……这样就可以无限推理下去，而证n ＝k ＋1就是替代了无限的验证过程，所以说数学归纳法是一种合理，切实可行的证明方法，它实现了从有限到无限的飞跃．(2)应用数学归纳法的一般步骤①验证n ＝n 0(n 0为使命题有意义的最小正整数)命题成立；②假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N ＋时)，命题成立，利用假设证明n ＝k ＋1时命题也成立．由①和②知，对一切n ≥n 0的正整数命题成立．3．如何正确运用数学归纳法(1)适用范围，与正整数有关的数学命题．(2)验证n ＝n 0是基础，找准n 0，它是使命题成立的最小正整数，不一定都是从1开始．(3)递推是关键，数学归纳法的实质是递推，即从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理过程，必须用上假设，否则不是数学归纳法．(4)正确寻求递推关系，①在验证n ＝n 0时，不妨多写出几项，这样可能找出递推关系；②在解决几何命题时，可先用特例归纳出规律，即找出f (k )到f (k ＋1)的图形的变化情况；③对于整除性问题，往往添加项凑出假设．【例1】 看下面的证明是否正确，如果不正确，指出错误的原因，并加以改正．用数学归纳法证明：1－2＋4－8＋…＋(－1)n －1·2n －1＝(－1)n －1·＋. 2n 313 【证明】 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝＋＝1，等式成立．2313(2)假设n ＝k 时，等式成立，即1－2＋4－8＋…＋(－1)k －12k －1＝(－1)k －1·＋.2k 313则当n ＝k ＋1时，有1－2＋4－8＋…＋(－1)k －1·2k －1＋(－1)k ·2k＝ ＝－ ＝－(－1)k ＋1· ＝(－1)k ·＋.1－ －2 k ＋11－ －2 13 －2 k ＋13132k ＋132k ＋1313这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)与(2)知，对任意n ∈N ＋等式成立．【变式训练1】 用数学归纳法证明：n ∈N ＋时，＋＋…＋＝.11×313×51 2n －1 2n ＋1 n 2n ＋1【例2】 设x ∈N ＋，n ∈N ＋，求证：x n ＋2＋(x ＋1)2n ＋1能被x 2＋x ＋1整除．【变式训练2】 求证：二项式x 2n －y 2n (n ∈N ＋)能被x ＋y 整除．【例3】 平面上有n 条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条不过同一点，求证：这n条直线把平面分割成f (n )＝块区域．n 2＋n ＋22【变式训练3】 已知n 个圆中每两个圆相交于两点，且无三圆过同一点，用数学归纳法证明这n 个圆把平面分成n 2－n ＋2部分．参考答案1.归纳法由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法，通常叫作归纳法．它是人们发现规律，产生猜想的一种方法．归纳法又分完全归纳法和不完全归纳法．(1)不完全归纳法不完全归纳法是根据事物的部分特例(而不是全部)得到一般结论的方法．用不完全归纳法得出的结论不一定是正确的，应设法去证明结论是正确的或举出反例说明结论是不正确的．(2)完全归纳法如果验证一切可能的特殊事物，得出一般性的结论，这种归纳法称为完全归纳法．完全归纳法是验证所有情况后得出的结论，因此结论是正确的．然而对于数量多，乃至无穷多个，是不能做到一一验证的．对于无穷多个的事物，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，数学归纳法就是解决这类问题的证明方法．2．数学归纳法数学归纳法用于证明与正整数有关的数学命题，它是在归纳的基础上进行演绎推证，所得结论是正确的．(1)数学归纳法的原理从数学归纳法的定义可以看出，它强调的就是两个基本步骤，第一步，验证n＝n0时，命题成立，称为奠基．第二步，是假设递推，这两步都非常重要，缺一不可．第一步，证明了n＝n0时，命题成立，n＝n0成为后面递推的出发点．第二步的归纳假设n＝k(k∈N＋，k≥n0)就有了依据，在n＝n0成立时，n0＋1成立，n0＋2成立……这样就可以无限推理下去，而证n＝k＋1就是替代了无限的验证过程，所以说数学归纳法是一种合理，切实可行的证明方法，它实现了从有限到无限的飞跃．(2)应用数学归纳法的一般步骤①验证n＝n0(n0为使命题有意义的最小正整数)命题成立；②假设当n＝k(k≥n0，k∈N＋时)，命题成立，利用假设证明n＝k＋1时命题也成立．由①和②知，对一切n≥n0的正整数命题成立．3．如何正确运用数学归纳法(1)适用范围，与正整数有关的数学命题．(2)验证n＝n0是基础，找准n0，它是使命题成立的最小正整数，不一定都是从1开始．(3)递推是关键，数学归纳法的实质是递推，即从n＝k到n＝k＋1的推理过程，必须用上假设，否则不是数学归纳法．(4)正确寻求递推关系，①在验证n ＝n 0时，不妨多写出几项，这样可能找出递推关系；②在解决几何命题时，可先用特例归纳出规律，即找出f (k )到f (k ＋1)的图形的变化情况；③对于整除性问题，往往添加项凑出假设．探究1．提示 不一定．探究2．提示 不可以．这两个步骤缺一不可，只完成步骤①而缺少步骤②，就作出判断可能得出不正确的结论．因为单靠步骤①，无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确，我们无法判定．同样，只有步骤②而缺少步骤①时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤①这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤②也就没有意义了.【例1】【解】 从上面的证明过程可以看出，是用数学归纳法证明等式成立．在第二步中，证n ＝k ＋1时没有用上假设，而是直接利用等比数列的求和公式，这是错误的．第二步正确证法应为：当n ＝k ＋1时，1－2＋4－8＋…＋(－1)k －1·2k －1＋(－1)k 2k＝(－1)k －1·＋＋(－1)k ·2k 2k 313＝－(－1)k ·＋(－1)k ·2k ＋2k 313＝(－1)k ·2k ＋(－13＋1)13＝(－1)k ·＋.2k ＋1313即当n ＝k ＋1时，等式也成立．【变式训练1】证明 (1)当n ＝1时，左边＝＝，右边＝＝，11×31312×1＋113左边＝右边，∴等式成立．(2)假设n ＝k 时，等式成立，即＋＋…＋＝.11×313×51 2k －1 2k ＋1 k 2k ＋1则当n ＝k ＋1时，＋＋…＋＋11×313×51 2k －1 2k ＋1 1 2k ＋1 2k ＋3＝＋＝＝k 2k ＋11 2k ＋1 2k ＋3 2k 2＋3k ＋1 2k ＋1 2k ＋3 2k ＋1 k ＋1 2k ＋1 2k ＋3＝＝.k ＋12k ＋3k ＋12 k ＋1 ＋1即当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)，(2)可知对一切n ∈N ＋等式成立．【例2】【证明】 (1)当n ＝1时，x 3＋(x ＋1)3＝[x ＋(x ＋1)]·[x 2－x (x ＋1)＋(x ＋1)2]＝(2x ＋1)(x 2＋x ＋1)，结论成立．(2)假设n ＝k 时，结论成立，即x k ＋2＋(x ＋1)2k ＋1能被x 2＋x ＋1整除，那么当n ＝k ＋1时，x (k ＋1)＋2＋(x ＋1)2(k ＋1)＋1＝x ·x k ＋2＋(x ＋1)2(x ＋1)2k ＋1＝x [x k ＋2＋(x ＋1)2k ＋1]＋(x ＋1)2(x ＋1)2k ＋1－x (x ＋1)2k ＋1 ＝x [x k ＋2＋(x ＋1)2k ＋1]＋(x 2＋x ＋1)(x ＋1)2k ＋1.由假设知，x k ＋2＋(x ＋1)2k ＋1及x 2＋x ＋1均能被x 2＋x ＋1整除，故x (k ＋1)＋2＋(x ＋1)2(k ＋1)＋1能被x 2＋x ＋1整除，即n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)知，原结论成立．【变式训练2】证明 (1)当n ＝1时，x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )，∴命题成立．(2)假设n ＝k 时，x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除，那么n ＝k ＋1时，x 2(k ＋1)－y 2(k ＋1)＝x 2·x 2k －y 2·y 2k＝x 2(x 2k －y 2k )＋x 2y 2k －y 2·y 2k ＝x 2(x 2k －y 2k )＋y 2k (x 2－y 2)．∵x 2k －y 2k 与x 2－y 2都能被x ＋y 整除，∴x 2(x 2k ＋y 2k )＋y 2k (x 2－y 2)能被x ＋y 整除．即n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n 命题成立．【例3】【证明】 (1)当n ＝1时，一条直线把平面分割成2块．而f (1)＝＝2，命题成立．12＋1＋22(2)假设n ＝k 时，k 条直线把平面分成f (k )＝块区域，那么当n ＝k ＋1时，设k ＋1条直k 2＋k ＋22线为l 1，l 2，l 3…l k ，l k ＋1，不妨取出l 1，余下的k 条直线l 2，l 3…，l k ，l k ＋1将平面分割成f (k )＝k 2＋k ＋22块区域， 直线l 1被这k 条直线分割成k ＋1条射线或线段，它们又分别将各自所在区域一分为二，故增加了k ＋1块区域，所以f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1＝＋k ＋1＝＝，这就k 2＋k ＋22k 2＋3k ＋42 k ＋1 2＋ k ＋1 ＋22是说，当n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，命题对一切n ∈N ＋成立．【变式训练3】证明 (1)当n ＝1时，1个圆把平面分成两部分，而2＝12－1＋2.所以当n ＝1时，命题成立．(2)假设n＝k时命题成立，即k个圆把平面分成k2－k＋2部分．当n＝k＋1时，平面上增加第k＋1个圆，它与原来的k个圆中的每个圆都相交于两个不同点，共2k个交点，而这2k个交点把第k＋1个圆分成2k段弧，每段弧把原来的区域隔成了两块区域，∴区域的块数增加了2k块．∴k＋1个圆把平面划分成的块数为(k2－k＋2)＋2k＝k2＋k＋2＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，∴当n＝k＋1时命题也成立．根据(1)(2)知，命题对n∈N＋都成立．。
4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)
＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12) ＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24 ＝－2ak＋1＋10bk＋1－12. 即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1. 因此n＝k＋1时等式也成立．
[读教材· 填要点] 1．数学归纳法的概念 当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数 n都成立时，可以用以下两个步骤： (1)证明当 n＝n0 时命题成立； (2)假设当 n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明 n＝k ＋1 时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0 的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
线，命题成立． (2)假设 n＝k 时命题成立， 1 即凸 k 边形的对角线的条数 f(k)＝ k(k－3)(k≥4)． 2 当 n＝k＋1 时， k＋1 边形是在 k 边形基础上增加了一边， 凸 增加了一个顶点 Ak＋1，增加的对角线条数是顶点 Ak＋1 与不
相邻顶点连线再加上原 k 边形的一边 A1Ak， 共增加的对角线条 数为(k＋1－3)＋1＝k－1. 1 1 2 f(k＋1)＝ k(k－3)＋k－1＝ (k －k－2) 2 2 1 1 ＝ (k＋1)(k－2)＝ (k＋1)[(k＋1)－3]． 2 2 故 n＝k＋1 时由(1)、(2)可知，对于 n≥4，n∈N*公式成立．
[通一类] 2．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除． 证明：(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36，能被9整 除，命题成立． (2)假设n＝k时，命题成立，即 k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除． 当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3 ＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2· 3＋3k·2＋33 3 ＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9(k2＋3k＋3)． 由归纳假设，上式中k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，又 9(k2＋3k＋3)也能被9整除． 故n＝k＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，对任意n∈N*命题成立.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4.1 数学归纳法
教学目标：
1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题；
2. 进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。
教学重点：数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握。
教学难点：数学归纳法中递推思想的理解。
教学过程：
一、创设情境，引出课题
（1）不完全归纳法：
今天早上，我曾疑惑，怎么一中（永昌一中）只招男生吗？因为清晨我在学校门口看到第一个进校园的是男同学，第二个进校园的也是男同学，第三个进校园的还是男同学。
于是得出结论：学校里全部都是男同学，同学们说我的结论对吗？
（这显然是一个错误的结论，说明不完全归纳的结论是不可靠的，进而引出第二个问题）（2）完全归纳法：
一个火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是红色的，抽出第二根也是红色的，请问怎样验证五根火柴都是红色的呢？
（将火柴盒打开，取出剩下的火柴，逐一进行验证。
）
注：对于以上二例的结果是非常明显的，教学中主要用以上二题引出数学归纳法。
结论：不完全归纳法→结论不可靠；
完全归纳法→结论可靠。
问题：以上问题都是与正整数有关的问题，从上例可以看出，要想正确的解决一个与此有关的问题，就可靠性而言，应该选用第几种方法？（完全归纳法）
情境一：（播放多米诺骨牌视频）
问：怎样才能让多米诺骨牌全部倒下？
二、讲授新课：
探究一：让所有的多米诺骨牌全部倒下，必须具备什么条件？
条件一：第一张骨牌倒下；
条件二：任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下。
探究二：同学们在看完多米诺骨牌视频后，是否对怎样证明
222(1)(21)1236
n n n +++++=2…+n 有些启发？ 得出结论：证明222(1)(21)1236
n n n +++++=
2…+n 的两个步骤： （1）证明当1n =时，命题成立； （2）假设当*(1,)n k k k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立。
一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立；
（2）（归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+时，命题也成立。
只要完成以上两个步骤，就可以判定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立。
上述方法叫做数学归纳法。
三、应用举例：
例1用数学归纳法证明：135+++2…+(2n-1)=n
证明：（1）当1n =时，左边1=，右边211==，等式成立；
（2）假设当n k =（k ≥1,k ∈N*）时，135+++2…+(2k-1)=k ，那么：
2[12(1)1](1)135(1)2
k k k ++-++++=+…+(2k-1)+(2k+1)=，则当1n k =+时也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何*n N ∈都成立。
注：①对例1，首先说明在利用数学归纳法证题时，当1n k =+时的证明必须利用n k =的归纳假设，
例2：用数学归纳法证明求证：)(53*
∈+N n n n 能被6 整除.
[证明]：︒1. 当1=n 时，13+5×1=6能被6整除，命题正确； ︒2. 假设k n =时命题正确，即k k 53+能被6整除，
∴当1+=k n 时，)5()55()133()1(5)1(3
233k k k k k k k k +=+++++=+++ 6)1(3+++k k ，
∵两个连续的整数的乘积)1(+k k 是偶数，)1(3+∴k k 能被6整除，
6)1(3)5(3++++∴k k k k 能被6整除，即当1+=k n 时命题也正确，
由︒︒2,1知命题时*∈N n 都正确.
即：当1n k =+时，等式成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何*n N ∈都成立。
注：上例可让学生独立完成，教师板书写现完整过程，以突出数学归纳法证题的一般步骤。
例3：平面内有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n 个圆将平面分成f (n )=n 2－n +2个部分.
分析要点：n =k +1时，在k +1个圆中任取一个圆C ，剩下的k 个圆将平面分成f (k )个部分，而圆C 与k 个圆有2k 个交点，这2k 个交点将圆C 分成2k 段弧，每段弧将它所在的平面部分一分为二，故共增加了2k 个平面部分.因此，f (k +1)=f (k )+2k =k 2－k +2+2k =(k +1)2－(k +1)+2.
证明：（略）
四、巩固练习：：
（1） 求证: 11(11)(1)(1)321n ++⋅⋅⋅+
>-（n ∈N *）. （2） 用数学归纳法证明：
（Ⅰ）2274297n n --能被264整除；
（Ⅱ）121(1)n n a a +-++能被21a a ++整除（其中n ，a 为正整数）
（3） 是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意正整数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
（4）教材50 1、2、5题
五、课堂小结：
两个步骤与一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n =k 到n =k +1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.
六、布置作业：
教材50 4、5、6题.。