时间序列中自相关与偏相关函数分析

时间序列中自相关与偏相关函数分析Ξ于宁莉　易东云　涂先勤(国防科学技术大学数学与系统科学系,长沙,410073)摘　要　相关函数表现出时间序列中任意两个值之间的相关性是如何随着时间间隔而改变的.自相关函数刻画了时间序列相邻变量之间的相关性,偏相关函数则是排除了其它中间变量的影响,真实地反映两个变量之间的相关性,并且二者紧密相连.同时两个相关图所反映的信息在时间序列分析各个方面发挥着关键作用.关键词　自相关函数　偏相关函数　时间序列Analyze Auto -correlation s and Parti al -correlation sFunction i n ti m e Ser iesYu N ingli Y i Dongyun T u X iaoqin(N ati onal U niversity of D efense T echno logy ,Changsha ,410073)Abstract Co rrelati ove functi on reflacts how does the co rrelati on of the every tw o value in the ti m e series analysis very w ith the ti m e -distance .A uto -co rrelati ons functi on dep icts the co rrelati on o a value and thenearby one in the ti m e series ,but partial -co rrelati ons functi on eli m inates the affect of the o thers.Besides ,they have nearest connecti on .T he tw o co rrelative functi ons reflect mo re info r m ati ons ,they all p lay key effectsin every aspect of ti m e series analysis.Keywords auto -co rrelati ons functi on partial -co rrelati ons functi on ti m e series analysis1　自相关和偏相关函数的定义、推导方法定义1　设已有零均值平稳序列{e t }的一组观测数据e 1,e 2,…,e n ,则对r k 的有偏估计为:r ∧k =1n ∑n -k t =1e t et +k ,{r k }称为样本自协方差函数,则样本自相关函数为: {Θ∧k },Θ∧k =r ∧k r ∧0,k =0,1,2,….定义2　对于平稳时间序列{e k },k 阶偏相关函数定义为e t ,e t -k 关于e t -1,…,e t -k +1的条件相关函数 Υkk =Θe t e t -k e t -1,…e t -k +1=E (e t e t -k e t -1,…,e t -k +1)V a r (e t e t -1,…,e t -k +1),第27卷第1期2007年3月 数学理论与应用M A TH E M A T I CAL TH EOR Y AND A PPL I CA T I ON S V o l .27N o.1 M ar .2007Ξ朱健民教授推荐　收稿日期:2006年6月8日其中E ( e t -1,…,e t -k +1)是关于条件密度函数f (e t ,e t -k e t -1,…,e t -k +1)的条件期望.偏相关函数难以由定义直接计算得到,但是,由公式推导可以发现,k 阶偏相关函数即是按k 阶自回归模型对e t 作线性最小方差估计时的最后一项系数.由此可以得到计算偏相关函数的递推公式: Υk +1,k +1=Θk +1-∑kj =1Θk +1-j Υk ,j 1-∑kj =1Θj Υk ,j,(1) Υk +1,l =Υk ,l -Υk +1,k +1Υk ,k +1-l , l =1,2,…,k(2)只要一个A R (p )过程具有无限伸延的自相关函数,那么,就可由自相关函数的p 个非零函数来描述自身的特性,偏相关函数就是基于这一事实的一种描述手段.对任何平稳过程,都可以由偏相关函数 kk ,当然也都是作为过程自相关Θk 的函数,但是,对于A R (p )过程有:当k >p ,时 kk =0,这是只适合于刻划p 阶A R 过程的明显特征.定义的量 kk 称为过程{z k }滞后为k 的偏相关,这是由于 kk 事实上用来度量z t 和z t -k 之间在扣除了中间变量z t -1,z t -2…,z t -k +1的影响之后的相关(或是z t 和t -k 之间未被z t -1,z t -2,…,z -k +1所解释的相关).可以定义为: kk =co rr[z t -z ∧t ,z t -k -z ∧t -k ].例如,我们求出 11=co rr[z t ,z t -1],而 22=co rr[z t -z ∧t ,z t -k -z ∧t -k ]=Υ2-2Θ1Χ1+Θ21Χ0[(Χ0+Θ21Χ0-2Θ1Χ1)2]1 2=Θ2-Θ211-Θ21.2　自相关和偏相关函数反映的信息211　检验某一时间面序列是否平稳平稳过程的自相关系数和偏自相关系数都会以某种方式衰减趋于0,前者测度当前序列与先前序列之间简单和常规的相关程度,后者是在控制其它先前序列的影响后,测度当前序列与某一先前序列之间的相关程度,如果某一时间序列的自相关函数随着滞后k 的增加而很快地下降为0,那么我们就认为该序列为平稳序列;如果自相关函数不随着k 的增加而迅速下降为0,就表明该序列不平稳.如果一个时间序列的自相关和偏相关图没有任何模式,而且数值很小,那么该序列可能就是一些互相独立的无关的随机变量.212　识别A R 、M A 、A RM A 模型及阶数1)自回归A R (p )模型:当k >p 时,有 k =0或 k 服从渐近正态分布N (0,1 且( k >2n 12)的个数≤415◊,即平稳时间序列的偏相关系数 k 为p 步截尾,自相关系数r k 逐步衰减而不截尾,则序列是A R (p )模型.实际中,一般A R 过程的A CF 函数呈单边递减或阻尼振荡,所以用PA CF 函数判别从(p 阶开始的所有偏相关系数均为0).2)移动平均M A (q )模型:55　第1期 时间序列中自相关与偏相关函数分析当k >q 时,有自相关系数r k =0或自相关系数r k 服从N (0,1 n (1+2∑r 2i )1 2)且( r k>2 n 1 2)的个数≤415◊,即平稳时间序列的自相关系数r k 为q 步截尾,偏相关系数 k 逐步衰减而不截尾,则序列是M A (q )模型.实际中,一般M A 过程的PA CF 函数呈单边递减或阻尼振荡,所以用A CF 函数判别(从q 阶开始的所有自相关系数均为0).3)自回归移动平均A RM A (p ,q )模型:平稳时间序列的偏相关系数 k 和自相关系数r k 均不截尾,但较快收敛到0,则该时间序列可能是A RM A (p ,q )模型.实际问题中,多数要用此模型.因此建模、解模的主要工作是求解p ,q 和 ,Η的值,检验Εt 和y t 的值.4)自回归综合移动平均A R I M A (p ,d ,q )模型:平稳时间序列的偏相关系数 k 和自相关系数r k 均不截尾,且缓慢衰减收敛,则该时间序列可能是A R I M A (p ,d ,q )模型.从理论上讲,偏相关函数Υkk 的截尾性是A R 模型独有的性质;自相关函数Θk 的截尾性是M A 模型独有的性质;若Θk ,Υkk 均呈拖尾性,则属于A RM A 模型的特性.但是,在实际应用当中,并不掌握序列的自相关函数和偏相关函数,而是它们的样本值Θ∧k ,Υ∧kk 的代替,因样本值没有严格的截尾性质,这样就有一个在何种程度可认为Θ∧k ,Υ∧kk 为零的问题.可以证明,当e t 为M A (q )序列且当n 较大时,Θ∧k 渐近服从于N (0,1n (1+2∑q m =1Θ2m )),且Θ∧k ,k >M 相互独立.因此,检验Θ∧k 是否为零的问题转化为检验{Θ∧k ,k =q +1,…,q +M }落在±2n (1+2∑q m =1Θ∧2m )1 2范围内的比例是否达到了95◊的问题.这里M 在检验上一般取n 或n 10左右.若依上述方法对q =1,2,…,q 0-1均没有达到,而在q =q 0时达到了,则可认为e t 为M A 序列,且q 0为M A 阶数的初步识别值.若经过上述判断Θ∧k 不具有截尾性,则转向自相关函数Υ∧kk 的截尾性判断问题.Q uenou ille 证明了对于A R (p )过程,当k >p 且n 较大时,{Υ∧kk ,k >p }为独立序列且对每个k ,Υ∧kk 近似服从N (0,1 n ),因此,检验Υ∧kk 是否为零的问题转化为检验{Υ∧kk ,k =p +1,p +2,…,p +,}落在±21 n 范围内的比例是否达到了95◊的问题.这里M 在经验上一般取n 或n 10左右.若依上述方法对p =1,2,…,p 0-1均没有达到,而在p =p 0时达到了,则可认为e t 为A R序列,且p 0为A R 阶数的初步识别值.若经过断判,Θ∧k ,Υ∧kk 虽有衰减的趋势,但都不截尾,则应该选择A RM A 模型对量测数据进行拟和,但尚不能确定阶数.213　模型检验对序列建立模型后需要检验新建模型的合理性,若检验不通过,则调整(p ,q )的值,重新估计参数和检验,反复进行直到接受为止,才能最终确定模型形式.我们可以用相关图检验拟合后的残差是否为白噪声,若是则模型合理.因为白噪声过程是序列无关的,所以白噪声过程的自相关函数和偏相关函数在相关图中均为等于零的水平直线.214　识别时间序列的季节性在商业活动中,我们经常听到“销售旺季”或“销售淡季”这类术语.通过对现象季节变动65数学理论与应用 第27卷　的分析和研究,可以确定现象过去的季节变化规模,以作为当前生产经营活动的依据或者消除时间序列中的季节因素,以便分析其它构成因素的影响.通常,季节性的高峰和低潮可以通过直接观察时间序列而得到,然而,如果时间序列波动得厉害,季节性高峰和低潮就不那么容易地从其它波动中区分出来.在这个时候,借助于自相关函数,问题就迎刃而解了.因此通过观察自相关函数有规律的峰值可以识别季节性,甚至可识别那些由时间序列本身无法辨别的季节性峰值.3　结　论由上述分析,观察相关函数图并仔细研究它的变化规律,是我们处理时间序列时非常重要的一步,并且相关函数也给了我们比较满意的强论.在实际分析数据时,我们重视这一点将会有事半功倍之效.他们的估计值可能有较大的方差,且彼此之间可能高度相关.所以,不可能指望相关函数的估计值与理论值十分贴近,通常能对大致特性有相当的把握,更精细的特征则可能未必代表实际结果.参考文献[1]　王正明,易东云1测量数据建模与参数估计1长沙:国防科技大学出版社,19961[2]　[美]Geo rge E .P .Box ,[英]Gw ilym M .Jenk ins .时间序列分析—预测与控制1北京:中国统计出版社,19971[3]　李力春1自相关函数在时间序列分析中1上海统计,20011[4]　叔　子,吴　雅1时间序列分析工程应用1武汉:华中理工大学出版社,1992175　第1期 时间序列中自相关与偏相关函数分析。