2020年长春市中考数学学科试题评析

2020年长春市中考数学学科试题评析知识与能力双足并重传承与创新双翼共生——2018年长春市中考数学学科试题评析中考数学试题历来是大家关注的焦点和热点，中考数学的导向功能更是引领数学教学的风向标。

已经揭开神秘面纱的2018年长春市中考数学试题究竟难度如何？有哪些特点和亮点呢？多次承担中考命题任务，并担任组长的数学特级教师金颖老师与长春市优秀数学教师孙海洋老师，接受了访谈，并从专业的视角对今年的中考试题进行了分析与点评。

两位专家认为这是一份有诚意的试卷，与2017年中考试题做了很好的衔接与平稳过渡。

试卷体现了基础性、层次性和发展性，试题难度循序渐进、缓步上升，相邻题目之间的难度系数没有大的起伏，消除了学生入手难、难入手的恐惧心理。

题目既似曾相识又感觉陌生，避免了原创试题带给考生的距离感和陌生感。

两位专家还认为今年中考数学试题彰显了知识与能力并重、传承与创新共生的特点。

试卷中有近 70%的题目是基础性较强、与教材难度相当的题目，充分体现出“人人学有价值的数学”的理念，同时也带着浓浓的人文关怀，让大部分考生在这炎炎夏日、在多年的数学学习中能学有所得、考有所获。

一、注重对学生从“解题”到“解决问题”能力的考查试卷中有7道试题都赋予了实际情景，注重数学与日常生活、与社会热点的联系，有利于引导学生关注社会、关注生活、关注未来，渗透试题的育人功能。

有利于引导学生从“解题”的能手变成用数学知识“解决问题”的行家里手。

试题背景涉及到建筑、测量、剪纸、添置教学设备、工厂人员管理等问题，旨在通过学业考试这一倍受瞩目的平台，让学生能够用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维分析现实世界、用数学的语言表达现实世界。

如第20 题，这是一道统计问题，统计分析是研究随机现象的重要数学技术，是大数据时代数学应用的主要方法。

本题在考查数据的收集、整理、描述的基础上，着重考查了学生获取有效信息的途径并进行定量分析的意识和能力。

题目的设计不是让学生固化到解题上，而是让学生用统计思想解决工厂人员管理问题。

二、注重对学生从“应试”到“提升素养”能力的考查试卷以数学应用、数学推理、数学交流为核心，多角度、多层次对数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、建模思想、应用意识和创新意识进行考查。

通过设置探究型问题、开放型问题、操作型问题、应用型问题和运动变化型问题，考查学生数学核心能力与核心素养的发展状况。

如第17题是操作型问题，第18题是应用型问题，第22题是探究型问题，第23题是一道运动变化型问题，也是大家常说的动点问题。

第23题的运动方式中规中矩、风格清新、思维路径通畅，体现了对数学本质的考查。

三、注重求解方法的公平化与思维方式个性化的考查今年试题在解法上既关注通性又兼顾个性，90%的题目涉及的方法皆为通性通法，兼顾了不同思维特点的学生在理解题意、选择解法、思维切入等方面的差异，确保求解方法的公平化。

同时又能尊重个性思维，分层设置了能反映不同学生思维特点、体现区分度的问题，给不同层次的学生提供各自施展才华的空间和舞台。

如第21题，此题侧重从数量关系和图像变化中研究问题，考查的是通性通法。

为了使学生顺利地解决问题，本题设计了问题串，层层递进，在问题的解答中体现学生的思维活动，了解学生过程性目标的达成情况。

体现了“低起点、坡度缓、步步高”的分层考查的特点，有利于考生拾级而上。

如第24题，旨在对学生分析、理解、归纳、转化等综合能力进行立体的、全方位的考查。

题中蕴含多种运动元素，在矩形与抛物线不断运动变化过程中，对两个相互关联的二次函数进行本质的考查。

本题注重初、高中知识的衔接，体现了不同的人在数学上应得到不同发展的思想。

结束语：知识与能力双足并重，传承与创新双翼共生，这不仅是今年中考数学试题的特点，也是未来中考数学命题的走向与趋势，更是数学教学的“晴雨表”和“红绿灯”。

两位专家一致认为，数学学习既要抬头看天还要低头看路，根据“晴雨表”和“红绿灯”科学寻找学习路径。

数学教学要遵循教育发展的规律和学生的成长规律，要回归课堂、回归教材、回归基础、回归能力培养的正确轨道。

关注数学的本质和聚焦思维的培养永远是数学学习永恒的主题，更是中考取得高分的王道。

来源:澎湃新闻<!--2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列四个多边形：①等边三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④ 2．已知抛物线y ＝﹣x 2+bx+2﹣b 在自变量x 的值满足﹣1≤x≤2的情况下，若对应的函数值y 的最大值为6，则b 的值为（ ）A ．﹣1或2B ．2或6C ．﹣1或4D ．﹣2.5或83．如图，从A 点出发的光线，经C 点反射后垂直地射到B 点，然后按原路返回A 点．若∠AOC ＝33°，OC ＝1，则光线所走的总路线约为( )A ．3.8B ．2.4C ．1.9D ．1.24．计算﹣6+1的结果为（ ）A ．﹣5B ．5C ．﹣7D ．7 5．下列各式中，是3x 2y 的同类项的是 （ ）A ．2a 2bB ．－2x 2yzC ．x 2yD ．3x 36．使得关于x 的不等式组22141x m x m >-⎧⎨-+≥-⎩有解，且使分式方程1222m x x x --=--有非负整数解的所有的m 的和是（ ）A ．﹣1B ．2C ．﹣7D ．07．港珠澳大桥是中国第一例集桥、双人工岛、隧道为一体的跨海通道. 其中海底隧道是由33个巨型沉管连接而成，沉管排水总量约76000吨. 将数76000用科学记数法表示为（ ）A ．47.610⨯B ．37610⨯C ．50.7610⨯D ．57.610⨯8．如图1，等边△ABD 与等边△CBD 的边长均为2，将△ABD 沿AC 方向向右平移k 个单位到△A′B′D′的位置，得到图2，则下列说法：①阴影部分的周长为4；②当k ＝32时，图中阴影部分为正六边形；③当k ＝32时，图中阴影部分的面积是538；正确的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③ 9．如图，抛物线21y x 3x 42=++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ，则ABC 的面积为( )A ．1B ．2C ．4D ．810．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ＞AB ，过点O 作OE ⊥AC 交AD 于点E ，连接CE ，若平行四边形ABCD 的周长为20，则△CDE 的周长是（ ）A.10B.11C.12D.1311．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC=6，BD=10，则AD 的长度可以是（ ）A.2B.7C.8D.1012．将一张宽为5cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（ ）A ．1033 cm 2B ．252cm 2C ．25cm 2D ．2533cm 2 二、填空题13．在△ABC 中，AB ＝AC ，CD 是AB 边上的中线，点E 在边AC 上（不与A ，C 重合），且BE ＝CD ．设AB BC＝k ，若符合条件的点E 有两个，则k 的取值范围是_____． 14．有一组单项式依次为﹣x 2，3456,,,3579x x x x --，…，则第n 个单项式为_____． 15．如图，∠3=40°，直线b 平移后得到直线a ，则∠1+∠2=_____°．16．分式方程212x x -=的解为 __________. 17．因式分解：a 3－ab 2＝______________．18．已知|a ﹣2007|+2008a -=a ，则a ﹣20072的值是_____．三、解答题19．已知：如图，九年一班在进行方向角模拟测量时，A 同学发现B 同学在他的北偏东75°方向，C 同学在他的正南方向，这时，D 同学与BC 在一条直线上，老师觉得他们的站位很有典型性，就组织同学又测出A 、B 距离为80米，B 、D 两同学恰好在C 同学的东北方向且AD ＝BD ．求C 、D 两名同学与A 同学的距离分别是多少米(结果保留根号)．20．如图，正方形ABCD 中，AB ＝25，O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE ＝2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE ，CF（1）如图1，求证：AE ＝CF ；（2）如图2，若A ，E ，O 三点共线，求点F 到直线BC 的距离．21．如图，已知在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，在AB 上取点D ，使得AD CD =，若//CD BE ．（1）求证：AB BE =；（2）若CD 平分ACB ∠，求ABE ∠的度数．22．如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2交x 轴负半轴于点A （﹣1，0），与y 轴交于B 点．过B 点的直线l 交抛物线于点C （3，﹣1）．过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ．点P 为x 轴正半轴上的动点，过P 点作x 轴的垂线，交直线l 于点E ，交抛物线于点F ．设P 点的横坐标为t ．（1）求抛物线的解析式；（2）连接OE ，求△POE 面积的最大值；（3）连接DE ，CF ，是否存在这样的t 值：以点C ，D ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．23．五一期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品1件和乙商品3件共需240元；购进甲商品2件和乙商品1件共需130元．（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．24．如图，在▱ABCD 中，点E 为边BC 上的中点，请仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．（1）在图1中，作EF ∥AB 交AD 于点F ；（2）在图2中，若AB ＝BC ，作一矩形，使得其面积等于▱ABCD 的一半．25．小明是“大三”学生，按照学校积分规则，如果他的学期数学成绩达到95分，就能获得“保研”资格．在满分为100分的期中、期末两次数学考试中，他的两次成绩的平均分为90分．如果按期中数学成绩占30%，期末数学成绩占70%计算学期数学成绩，那么小明能获得“保研”资格吗？请你运用所学知识帮他做出判断，并说明理由．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A A C C A C C A B B 二、填空题13．623k<<且1k≠14．n1x (1)2n1n+ --15．22016．417．a（a+b）（a﹣b）18．2008三、解答题19．C、D两名同学与A同学的距离分别是402米和8033米.【解析】【分析】作AE⊥BC，利用直角三角形的三角函数解得即可．【详解】解：作AE⊥BC交BC于点E，则∠AEB＝∠AEC＝90°，由已知，得∠NAB＝75°，∠C＝45°，∴∠B＝30°，∵BD＝AD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADE＝60°，∵AB＝80，∴AE＝12AB＝40，∴4040803ADsin sin60332====∠︒AEADE ，4040AC4024522AEsin C sin====∠︒，答：C、D两名同学与A 同学的距离分别是402米和8033米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−−方向角问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．20．（1）详见解析；（2）点F到直线BC 的距离为355．【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得∠EDF＝90°，DE＝DF，由正方形的性质可得∠ADC＝90°，DE＝DF，可得∠ADE ＝∠CDF，由“SAS”可证△ADE≌△CDF，可得AE＝CF；（2）由勾股定理可求AO的长，可得AE＝CF＝3，通过证明△ABO∽△CPF，可得CF PFAO BO=，即可求PF的长，即可求点F到直线BC的距离．【详解】证明：（1）∵将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，∴∠EDF＝90°，DE＝DF.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，DE＝DF，∴∠ADC＝∠EDF，∴∠ADE＝∠CDF，且DE＝DF，AD＝CD，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，（2）解：如图2，过点F作FP⊥BC交BC延长线于点P，则线段FP的长度就是点F到直线BC的距离．∵点O是BC中点，且AB＝BC＝25，∴BO ＝5，∴AO ＝22AB BO+＝5，∵OE＝2，∴AE＝AO﹣OE＝3.∵△ADE≌△CDF，∴AE＝CF＝3，∠DAO＝∠DCF，∴∠BAO＝∠FCP，且∠ABO＝∠FPC＝90°，∴△ABO∽△CPF，∴CF PF AO BO=，∴355PF =，∴PF＝355，∴点F到直线BC的距离为355.【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明△ABO ∽△CPF是本题的关键．21．（1）见解析；（2）∠ABE＝120°．【解析】【分析】（1）欲证明AB=BE，只需推知∠A=∠E即可．（2）由三角形内角和定理和等腰三角形的性质求得∠A=30°，结合（1）中的∠A=∠E和△ABE的内角和是180°解答．【详解】（1）∵AD＝CD ∴∠A＝∠ACD．又∵CD∥BE ∴∠ACD＝∠E．∴∠A＝∠E．∴AB＝BE；（2）∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°∴∠A+∠ACB＝90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD．又∵∠A＝∠ACD，∴∠A+∠ACD+∠BCD＝3∠A＝90°．∴∠A＝30°．∵由（1）得∠A＝∠E＝30°．∴∠ABE＝180°﹣2∠A＝120°．【点睛】考查了等腰三角形的性质，平行线的性质．解题过程中，注意“等角对等边”、“等边对等角”以及三角形内角和是180度等性质的运用，难度一般．22．（1）271721212y x x =--；（2）32；（3）存在这样的t 值：以点C ，D ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形．【解析】【分析】1）将点A 、C 的坐标代入函数解析式，利用解方程组求得系数的值即可；（2）根据三角形的面积公式，函数图象上点的坐标特征求得S △POE =12t•（13t-2）=16（t-3）2-32，所以由二次函数的性质求得答案；（3）根据平行四边形的对边相等的性质和坐标与图形的性质求得答案．【详解】（1）把A （﹣1，0），C （3，﹣1）代入y ＝ax 2+bx ﹣2，得209321a b a b --=⎧⎨+-=-⎩． 解得7121712a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 则该抛物线的解析式为271721212y x x =--；（2）由（1）知，抛物线的解析式为271721212y x x =--，则B （0，﹣2）．设直线BC 的解析式为：y ＝kx+d （k≠0）．把B （0，﹣2）、C （3，﹣1）代入，得d 23k d1=-⎧⎨+=-⎩． 解得132k d ⎧=⎪⎨⎪=-⎩．故直线BC 的解析式为 1y x 23=-．∴E （t ，13t ﹣2）∴S △POE ＝12t•（13t-2）=16（t-3）2-32．∴△POE 面积的最大值是32；（3）存在这样的t 值．理由：E （t ，123t -），F （t ，271721212t t --）． 若以点C ，D ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形，则EF ＝CD ＝1， 即﹣（271721212t t --）﹣（2﹣13t ）＝1． 整理得：7t 2﹣21t+12＝0．∵△＝（﹣21）2﹣4×7×12＞0，∴方程7t 2﹣21t+12＝0有解．∴存在这样的t 值：以点C ，D ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、三角形的面积公式、平行四边形的性质等知识点．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．23．（1）甲商品每件进价30元，乙商品每件进价70元；（2）甲商品进80件，乙商品进20件，最大利润是1200元．【解析】【分析】（1）根据购进甲商品1件和乙商品3件共需240元，甲商品2件和乙商品1件共需130元可以列出相应的方程组，从而可以求得甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元；（2）根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题．【详解】 （1）设商品每件进价x 元，乙商品每件进价y 元，得32402130x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：3070x y =⎧⎨=⎩， 答：甲商品每件进价30元，乙商品每件进价70元；（2）设甲商品进a 件，乙商品（100﹣a ）件，由题意得，a≥4（100﹣a ），a≥80，设利润为y 元，则，y ＝10 a+20（100﹣a ）＝﹣10 a+2000，∵y 随a 的增大而减小，∴要使利润最大，则a 取最小值，∴a ＝80，∴y ＝2000﹣10×80＝1200，答：甲商品进80件，乙商品进20件，最大利润是1200元．【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．24．（1）详见解析；（2）详见解析【解析】【分析】（1）连接AC和BD，它们的交点为0，延长EO并延长交AD于F，则F点为所作；（2）延长EO交AD于G，连接CG、ED交于点P，作直线OP交AB于H，交CD于F，则四边形EHGF为所作．【详解】解：（1）如图1，F点就是所求作的点；（2）如图2，矩形EGFH就是所求作的四边形．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．25．见解析【解析】【分析】据加权平均数的算法公式进行计算，再与95分比较大小即可求解．【详解】按期中数学成绩占30%，期末数学成绩占70%计算学期数学成绩，可得期末数学成绩100分，期中数学成绩80分的成绩最高，80×30%+100×70%＝24+70＝94（分）∵94分＜95分，∴小明不能获得“保研”资格．【点睛】本题考查的是加权平均数，熟记加权平均数的计算公式是解决本题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A ．b 2•b 3＝b 6B ．（﹣a 2）3＝a 6C ．（ab ）2＝ab 2D ．（﹣a ）6÷（﹣a ）3＝﹣a 32．方程组的解是( )A. B.C. D. 3．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，则下列4个结论：①abc ＜0；②2a+b ＝0；③4a+2b+c＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.44．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数11y k x =的图象与反比例函数22k y x =的图象交于(4,2)A --，(4,2)B 两点，当12y y >时，自变量x 的取值范围是（ ）A ．4x >B ．40x -<<C ．4x <-或04x <<D ．40x -<<或4x >5．《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ，则列方程组为（ ）A ．15022503x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B ．15022503y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C ．15022503x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩D ．15022503y y x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 6．如图，已知A ，B 是反比例函数y ＝k x（k ＞0，x ＞0）图象上的两点，BC ∥x 轴，交y 轴于点C ，动点P 从坐标原点O 出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ．设三角形OMP 的面积为S ，P 点运动时间为r ，则S 关于t 的函数图象大致为（ ）A． B． C ． D ．7．如图，直线y ＝mx+n 与两坐标轴分别交于点B ，C ，且与反比例函致y ＝2x（x ＞0）图象交于点A ，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，连接DC ，若△BOC 的面积是6，则△DOC 的面积是（ ）A ．5﹣25B ．5+25C ．415﹣6D ．﹣3+158．如图，四边形OABC 为矩形，点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，连接AC ，点B 的坐标为（8，6），以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC 、AO 于点M 、N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧两弧交于点Q ，作射线AQ 交y 轴于点D ，则点D 的坐标为（ ）A ．()0,1B ．80,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,29．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问甲乙持钱各几何？”其大意是：今有甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有.问甲、乙两人各带了多少钱？设甲带钱为，乙带钱为，根据题意，可列方程组为（ ）A. B. C. D.10．若点()1A 1,y -，()2B 1,y ，()3C 3,y 在反比例函数6y x=-的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( )A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．321y y y <<D ．231y y y << 11．如图,在△ABC 中,点D 、E 分别为AB 、AC 边上的点,连接DE,且DE ∥BC,点F 为BC 边上一点,连接AF 交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是（ ）A ．BD AG AD FG =B ．AG AE GF BD =C ．BD AB CE AC = D ．FG CE AE AG= 12．如图，AB 是半圆O 的直径，且AB=12，点C 为半圆上的一点．将此半圆沿BC 所在的直线折叠，若圆弧BC 恰好过圆心O ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．4πB ．5πC ．6πD ．8π二、填空题 13．已知抛物线2=2(1)3y x -+-与直线2y kx m =+相交于A （-2，3）、B （3，-1）两点，则12y y ≥时x 的取值范围是___________.14．如图，已知△ACF ≌△DBE ，∠E=∠F ，AD=9cm ，BC=5cm ，AB 的长为_____cm ．15．若一组数据1，2，x ，4的众数是1，则这组数据的方差为_____．16．如图，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，且DE 2CE =，过点C 作CF BE ⊥，垂足为F ，连接OF ，则下列结论正确的是______．BE 210BCF =①，②∽65BEC OF 5=，③17．用一组a ，b 的值说明命题“若a b＞1，则a ＞b”是错误的，这组值可以是a ＝_____，b ＝_____． 18．分解因式：2ax a - =____三、解答题 19．计算：112cos30(32)2︒-+-+- 20．已知两个函数：y 1＝ax+4，y 2＝a （x ﹣12）（x ﹣4）（a≠0）． （1）求证：y 1的图象经过点M （0，4）； （2）当a ＞0，﹣2≤x≤2时，若y ＝y 2﹣y 1的最大值为4，求a 的值；（3）当a ＞0，x ＜2时，比较函数值y 1与y 2的大小．21．如图，在菱形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，BC ＝2OC ，E 为AB 边上一点.（1）若CE ＝6，∠ACE ＝15°，求BC 的长；（2）若F 为BO 上一点，且BF ＝EF ，G 为CE 中点，连接FG ，AG ，求证：3AG FG =22．（1）计算：()10012cos3020192π-⎛⎫---- ⎪⎝⎭ （2）解方程：4501x x -=- 23．任大叔决定在承包的荒山上种樱桃树,第一次用1000元购进了一批树苗,第二次又用1000元购进该种树苗,但这次每棵树苗的进价是第一次进价的2倍,购进数量比第次少了100棵；(1)求第一次每棵树苗的进价是多少元?(2)一年后,树苗的成活率为85%,每棵樱桃树平均产樱桃30斤,任大叔将两批樱桃树所产樱桃按同一价格全部销售完毕后，获利不低于89800元,求每斤樱桃的售价至少是多少元?24．如图，五边形ABCDE 内部有若干个点，用这些点以及五边形ABCDE 的顶点,,,,A B C D E 的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）：内部有1个点内部有2个点内部有3个点（1）填写下表：五边形ABCDE内点的个1 2 3 4 …n数分割成的三角形的个数 5 7 9 …（2）原五边形能否被分割成2019个三角形？若能，求此时五边形ABCDE内部有多少个点？若不能，请说明理由.25．在如图所示的5×5的方格中，我们把各顶点都在方格格点上的三角形称为格点三角形．如图1是内部只含有1个格点的格点三角形．设每个小正方形的边长为1，完成下列问题：（1）在图甲中画一个格点三角形，使它内部只含有2个格点，并写出它的面积．（2）在图乙中画一个面积最大的格点三角形，使它的内部只含有A，B，C这3个格点（图乙中已标出），并写出它的面积．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D C D D A C D B A D C C二、填空题13．x≤-2或x≥314．215．516．①②17．-2 -118．a（x+1）（x-1）三、解答题19．3 2 -【解析】【分析】利用实数混合运算的法则即可计算．【详解】解：原式＝2×32+（﹣2﹣3）+12＝3﹣2﹣3+1 2＝﹣3 2【点评】此题主要考查实数的运算，要熟记一些简单的三角函数的值，比如：cos60°＝sin30°＝12，sin60°＝cos30°＝32．20．（1）证明见解析；（2）817a=;(3)见解析.【解析】【分析】（1）只需要把M的坐标带入到1y即可（2）把1y,2y代入到等式化简取y最大值时，即可解答（3）由（2）可知当a＞0，x＜2时，随x的增大而减小，然后再根二次函数的增减性可解此题【详解】解：（1）证明：当x＝0时，y1＝0+4＝4，∴点M（0，4）在y1的图象上，即y1的图象经过点M（0，4）；（2）∵y1＝ax+4，y2＝a（x﹣12）（x﹣4）（a≠0）．∴y＝y2﹣y1＝a（x﹣12）（x﹣4）﹣（ax+4），即y＝21124 2ax ax a-+-，∵a＞0，对称轴为x＝114＞2，∴当﹣2≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴当x＝﹣2时，y取最大值为4a+11a+2a﹣4＝17a﹣4，∵y＝y2﹣y1的最大值为4，∴17a ﹣4＝4，解得，a ＝817； （3）由（2）知y ＝y 2﹣y 1＝211242ax ax a -+-， 当a ＞0，x ＜2时，随x 的增大而减小，当x ＝2时，y ＝y 2﹣y 1＝4a ﹣11a+2a ﹣4＝﹣5﹣4＜0，又当y ＝0时，211242ax ax a -+-＝0，即2ax 2﹣11ax+4a ﹣8＝0， x ＝221112132644a a a a a±-+ ， ∵△＝121a 2﹣32a 2+64a ＝89a 2+64a ＞0， ∴211896424a a a a-+＜ ， 根据二次函数的增减性可得，当x >211896424a a a a-+＜时，y 2﹣y 1＜0，即y 2＜y 1； 当x ＝211896424a a a a-+＜时，y 2﹣y 1＝0，即y 2＝y 1； 当x ＜211896424a a a a-+＜时，y 2﹣y 1＞0，即y 2＞y 1． 【点睛】此题主要考察函数解析式的求解及常用方法，需要把已知的点，带入到函数解析式里面进行求解21．（1）BC=32+6；（2）见解析；【解析】【分析】（1）过点E 作EM ⊥BC 于点M ，由菱形的性质和已知条件可得AB=BC=AC ，进一步利用锐角三角函数解RT △CEM 和RT △BEM,求出BM 和CM 的值，相加即可得到BC 的长；（2）延长FG 至点H ，使GH ＝FG ，连接CH ，AH ．先证△EFG ≌△CHG 得到CH ＝BF ，CH ∥EF ，再延长EF 交BC 于点K ，证△AFB ≌△AHC ，进一步证得∠AFH=60°，最后由三角函数可得出A 3G FG =.【详解】（1）过点E 作EM ⊥BC 于点M,∵四边形ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O∴AB=BC,AC=2CO∵BC=2CO∴AB=BC=AC∴∠ACB=∠ABC=60°∵∠ACE=15°∴∠ECB=∠ACB —∠ACE=45°∴CM=EM=22CE=32 ∴BM=33EM=6 ∴BC= CM+BM=32+6（2）证明：延长FG 至点H ，使GH ＝FG ，连接CH ，AH ．∵G 为CE 中点，∴EG ＝GC ，在△EFG 与△CHG 中，FG GH EGF CGH,EG GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△EFG ≌△CHG （SAS ），∴EF ＝CH ，∠CHG ＝∠EFG ，∴CH ＝BF ，CH ∥EF ，延长EF 交BC 于点K∵菱形ABCD 中，BD 平分∠ABC ∴∠ABF=12∠ABC=30° ∵BF=EF ∴∠BEF=∠ABF =30°又∵∠ABC=60°∴∠EKB ＝90°∵CH//EF ∴∠HCB ＝∠EKB ＝90° ∴∠ACH ＝∠HCB —∠ACB ＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABF ＝∠ACH∵BF=EF,EF=CH∴BF=CH在△AFB 与△AHC 中，AB AC ABF ACH BF CH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△AFB ≌△AHC （SAS ），∴AF ＝AH ，∠BAF ＝∠CAH∵FG ＝GH ，∴AG ⊥FG∵∠BAC ＝∠BAF+∠FAC ＝60°，∴∠CAH+∠FAC ＝60°，即∠FAH ＝60°，∴∠AFH=60°∴AG=3FG【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练运用特殊的直角三角形的性质是解题的关键．22．（1）31+；（2）5x =.【解析】【分析】（1）根据整数指数幂的运算以及特殊三角函数值计算即可；（2）根据解分式方程的步骤解即可，注意要验根.【详解】（1）()10012cos3020192π-⎛⎫---- ⎪⎝⎭ =321+22⨯-， =31+；（2）4501x x-=- ， 去分母得：4x-5(x-1)=0去括号得，4x-5x+5=0移项得，4x-5x=-5，合并，得：-x=-5，系数化为1，得：x=5.经检验，x=5是原分式方程的解.【点睛】本题主要考查了实数的运算以及解分式方程，计算时一定要细心，分式方程要检验.23．（1）第一次每棵树苗进价为5元；(2）每斤樱桃的售价至少为12元.【解析】【分析】(1)首先设第一次每棵树苗的进价是元,则第二次每棵树苗的进价是2X 元,依题意得等量关系:第一购进树苗的棵数-第二次购进树苗的棵树=100,由等量关系列出方程即(2)设每斤苹果的售价是a 元,依题意得等量关系两次购进树苗的总棵树x 成活率为85%×每棵果树平均产苹果30斤-两次购进树苗的成本289800元,根据不等关系代入相应的数值,列出不等式【详解】（1）解：设第一次每棵树苗进价为x 元.根据题意 得100010001002x x-= 解得5x =检验：经检验5x =是原方程的解答：第一次每棵树苗进价为5元.(2）解:设每斤樱桃的售价为m 元. 根据题意 得1000100085%301000100089800510m +⨯⨯--≥（） 解得12m ≥ 答：每斤樱桃的售价至少为12元.【点睛】此题考查一元一次不等式的应用和分式方程的应用，解题关键在于列出方程24．（1）详见解析；（2）1008【解析】【分析】（1）查出题干图形中三角形的个数，并观察发现，每多一个点，三角形的个数增加2，然后据此规律填表即可；（2）根据（1）中规律，列式求解，如果n是整数，则能分割，如果不是整数，则不能分割．【详解】（1）有1个点时，内部分割成5个三角形；有2个点时，内部分割成5+2=7个三角形；有3个点时，内部分割成5+2×2=9个三角形；有4个点时，内部分割成6+2×3=11个三角形；…以此类推，有n个点时，内部分割成5+2×（n-1）=（2n+3）个三角形；故可填表为：五边形ABCDE内点的个数 1 2 3 4 …nn+分割成的三角形的个数 5 7 9 11 (23)（2）可以，n=.令232019n+=，解得1008∴此时正方形ABCD内部有1008个点．【点睛】本题是对图形变化问题的考查，根据数据的变化规律，结合图形，总结出每增加一个点，三角形的个数增加2的规律是解题的关键．25．（1）见解析，S△ABC＝3；（2）见解析，最大面积为8【解析】【分析】（1）根据要求画出三角形即可（大不唯一）．（2）根据要求画出图形即可解决问题．【详解】解：（1）如图（甲）中，△ABC即为所求．S△ABC＝×2×3＝3．（2）如图（乙）中，△DEF即为所求，最大面积为8【点睛】此题考查了作图-位似变换，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．。