2020年高考数学一轮复习讲练测浙江版专题5.2平面向量的基本定理及坐标表示(讲)含解析

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高考数学一轮复习(浙江版)专题5.2平面向量的基本定理及坐标表示(测)含解析

班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【2018届吉林省吉林市三调】下列各组向量中，可以作为基底的是 A ． ()()120,0,1,2e e == B ． ()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭C ． ()()123,5,6,10e e ==D ． ()()121,2,5,7e e =-=【答案】D【解析】由于选项A,B,C 中的向量12e e ，都共线，故不能作为基底．而选项D 中的向量12e e，不共线，故可作为基底．选D ．2.【2018届山西省榆社中学诊断性模拟】若向量，，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B3．【2018届山西省孝义市一模】已知平面向量，，则向量的模是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为向量，，，，故选C.4．【山东省青岛市2018年春季高考第二次模拟】已知，，，则点的坐标是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析：先设点D(x,y)，再利用已知求点D的坐标.详解：设点D(x,y)，所以（x+1,y-3），=（10，-6），所以，解之得x=9,y=-3.所以点D 的坐标为（9，-3）.故答案为：B5.【2018届陕西省延安市高三高考模拟】在中，点在边上，且，设，，则为（）A． B． C． D．【答案】B点睛：这个题目考查了平面向量基本定理，将向量基底化的思想，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.6．【2018届湖南省益阳市4月调研】已知向量，，且，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，根据向量坐标表示，及其加减运算公式、平行关系，得，又∥，所以，解之得.故选B.7.【2018届吉林省吉大附中四模】设，向量，，且，则( )A． 0 B． 1 C． 2 D． -2【答案】A8.【浙江省宁波市六校期末联考】正边长为2，点是所在平面内一点，且满足，若，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】分析：建立直角坐标系后求出各点坐标，用坐标表示详解：如图：以为原点，所在直线为轴，过点垂直于为轴则，，设，则点轨迹为由可得：故当时，故选9.【腾远2018年（浙江卷）红卷】在直角梯形中，，同一平面内的两个动点满足，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B10.【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=+，则+的最大值为A． 3 B． 2 C． D． 2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.二、填空题：本大题共7小题，共36分．11.【2017山东，文11】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若a ||b ,则λ= . 【答案】3-【解析】由a ||b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-12.【2018届江西省抚州市临川区第一中学最后一模】若向量，，则的坐标是__________．【答案】.【解析】分析：根据向量减法得结果. 详解：因为，，所以13．【2018届贵州省凯里市第一中学《黄金卷》第四套】正方形中，，其中，则__________．【答案】【解析】分析：利用平面向量基本定理构建的方程组，解之即可.详解：由得，，根据平面向量基本定理得，于是.故答案为：14.【2018届云南省昆明第一中学第八次月考】已知向量，若且方向相反，则__________．【答案】-515.【2018届天津市9校联考高】在ABC ∆中， 4230aBC bCA cAB ++=，其中a ， b ， c 分别为角A ，B ，C 所对应的三角形的边长，则cos B =__________．【答案】1124-【解析】∵4a BC +2b CA +3c AB =0，∴4a BC +2b CA +3c （CB ﹣CA ）=0 ， ∴（4a ﹣3c ）BC +（2b ﹣3c ）CA =0， ∵BC ， CA不共线，∴430{230a cbc -=-=，即a=34c ，b=32c ，则cosB=2222a c b ac+-=22299164324c c c c c+-⨯⨯=1124-，故答案为： 1124-．16.设20πθ<<，向量()()1cos cos 2sin ，，，θθθb a=，若b a //，则=θtan _______.【答案】1 217.【2018届安徽省合肥市三模】已知，，，当最小时，=__________.【答案】【解析】分析：由，可得,求出，可得，利用二次函数的性质可得结果.详解：，得，，，当时，有最小值，故答案为.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18. 已知点，设向量（Ⅰ）若，求实数的值；（Ⅱ）若，求向量的坐标.【答案】(1) .(2)..19.已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-=（1）若//a b，求tan θ的值；（2）若||||,0,a b θπ=<<求θ的值.【答案】（1）41（2）432πθπθ==或.【解析】⑴因为//a b，所以2sin cos 2sin ,θθθ=-于是4sin cos θθ=，故1tan .4θ=⑵由||||a b =知，22sin (cos 2sin )5,θθθ+-=所以212sin 24sin 5.θθ-+=从而2sin 22(1cos 2)4θθ-+-=，即sin 2cos 21θθ+=-，于是sin(2)42πθ+=-. 又由0θπ<<知，92444πππθ<+<，所以5244ππθ+=，或7244ππθ+=.因此2πθ=，或3.4πθ=20.在平面直角坐标系中，给定ABC ∆，点M 为BC 的中点，点N 满足2=AN NC ，点P 满足,== AP AM BP BN λμ.（1）求λ与μ的值；（2）若A B C 、、三点坐标分别为(2,2),(5,2),(3,0)--，求P 点坐标.【答案】（1）4535⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ；（2）P 点的坐标为62(,)55.21.如图，梯形ABCD ， 2DA = ， 3CDA π∠=， 2DA CB = ， E 为AB 中点，DP DC λ=()01λ≤≤．（Ⅰ）当13λ=时，用向量DC ， DA 表示的向量PE ；（Ⅱ）若DC t = （t 为大于零的常数），求PE的最小值并指出相应的实数λ的值．【答案】(1) PE ()131224DC DA λ=-+ ;(2)详见解析.【解析】试题分析：（1）过C 作//CF AB ，交AD 于F ，则F 为AD 中点，用,,PC CB BE表示出，利用三角形法则即可得出结论；（2）根据（1）得出PE表达式，两边平方得出2PE 关于的二次函数，根据二次函数的性质求出最值.试题解析：22.在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，又点，，，. （1）若，且，求向量；（2）若向量与向量共线，常数，求的值域.【答案】（1）或；（2）当时的值域为.时的值域为.【解析】分析：（1）由已知表示出向量，再根据，且，建立方程组求出，即可求得向量；（2）由已知表示出向量，结合向量与向量共线，常数，建立的表达式，代入，对分类讨论，综合三角函数和二次函数的图象与性质，即可求出值域.详解：（1），∵，且，∴，，解得，时，；时，.。

(浙江专用)高考数学第五章平面向量、复数2第2讲平面向量基本定理及坐标表示教学案

第2讲平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．(2)基底：不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21．(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2． 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0． [提醒] 当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x 1x 2＝y 1y 2等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角为∠ABC .( ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( ) (5)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ [教材衍化]1．(必修4P99例8改编)若P 1(1，3)，P 2(4，0)且P 是线段P 1P 2的一个三等分点，则点P 的坐标为( )A ．(2，2)B ．(3，－1)C ．(2，2)或(3，－1)D ．(2，2)或(3，1)解析：选D.由题意得P 1P →＝13P 1P 2→或P 1P →＝23P 1P 2→，P 1P 2→＝(3，－3)．设P (x ，y )，则P 1P →＝(x－1，y －3)，当P 1P →＝13P 1P 2→时，(x －1，y －3)＝13(3，－3)，所以x ＝2，y ＝2，即P (2，2)；当P 1P →＝23P 1P 2→时，(x －1，y －3)＝23(3，－3)，所以x ＝3，y ＝1，即P (3，1)．故选D.2．(必修4P97例5改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________．解析：设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4，1)＝(5－x ，6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.答案：(1，5)3．(必修4P119A 组T9改编)已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n＝________．解析：由向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，得m a ＋n b ＝(2m －n ，3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12. 答案：－12[易错纠偏](1)忽视基底中基向量不共线致错； (2)弄不清单位向量反向的含义出错； (3)不正确运用平面向量基本定理出错．1．给出下列三个向量：a ＝(－2，3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，c ＝(－1，1)．在这三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________．解析：易知a ∥b ，a 与c 不共线，b 与c 不共线，所以能构成基底的组数为2. 答案：22．已知A (－5，8)，B (7，3)，则与向量AB →反向的单位向量为________．解析：由已知得AB →＝(12，－5)，所以|AB →|＝13，因此与AB →反向的单位向量为－113AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，513. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，5133.如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为________．解析：因为E 为DC 的中点，所以AC →＝AB →＋AD →＝12AB →＋12AB →＋AD →＝12AB →＋DE →＋AD →＝12AB →＋AE →，即AE →＝－12AB →＋AC →，所以λ＝－12，μ＝1，所以λ＋μ＝12.答案：12平面向量基本定理及其应用(1)已知平行四边形ABCD 中，点E ，F 满足AE →＝2EC →，BF →＝3FD →，则EF →＝________(用AB →，AD →表示)．(2)在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则实数t 的值为________．【解析】 (1)如图所示，AE →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)，BF →＝34BD →＝34(AD →－AB →)，所以EF →＝EA →＋AB→＋BF →＝－23(AB →＋AD →)＋AB →＋34(AD →－AB →)＝－512AB →＋112AD →.(2)因为CP →＝23CA →＋13CB →，所以3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →，所以2AP →＝PB →.即P 为AB 的一个三等分点(靠近A 点)，又因为A ，M ，Q 三点共线，设AM →＝λAQ →. 所以CM →＝AM →－AC →＝λAQ →－AC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋12AC →－AC →＝λ2AB →＋λ－22AC→，又CM →＝tCP →＝t (AP →－AC →)＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－AC →＝t 3AB →－tAC →. 故⎩⎪⎨⎪⎧λ2＝t 3，λ－22＝－t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝34，λ＝12.故t 的值是34.【答案】 (1)－512AB →＋112AD → (2)341．(变问法)在本例(2)中，试用向量AB →，AC →表示CP →. 解：因为CP →＝23CA →＋13CB →，所以3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →， 2AP →＝PB →，所以AP →＝13AB →，CP →＝AP →－AC →＝13AB →－AC →.2．(变问法)在本例(2)中，试问点M 在AQ 的什么位置？解：由本例(2)的解析CM →＝λ2AB →＋λ－22AC →及λ＝12，CB →＝2CQ →知，CM →＝12λ(CB →－CA →)＋2－λ2CA →＝λ2CB →＋(1－λ)CA → ＝λCQ →＋(1－λ)CA →＝CQ →＋CA→2.因此点M 是AQ 的中点．平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．1．(2020·温州七校联考)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，且∠B ＝90°，∠BCD ＝135°.若向量AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22b B ．－2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22b C ．－2a ＋⎝⎛⎭⎪⎫1－22b D.2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22b 解析：选B.根据题意可得△ABC 为等腰直角三角形，由∠BCD ＝135°，得∠ACD ＝135°－45°＝90°.以B 为原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，并作DE ⊥y 轴于点E ，则△CDE 也为等腰直角三角形．由CD ＝1，得CE ＝ED ＝22，则A (1，0)，B (0，0)，C (0，1)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1＋22，所以AB →＝(－1，0)，AC →＝(－1，1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1，1＋22.令AD →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则有⎩⎪⎨⎪⎧－λ－μ＝22－1，μ＝1＋22，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝1＋22，则AD →＝－2a ＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋22b ，故选B.2．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m n的值是________．解析：法一：根据题意可知△AFE ∽△CFB ，所以EF FB ＝AE CB ＝12，故EF →＝12FB →＝13EB →＝13(AB →－AE →)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－12AD →＝13AB →－16AD →，所以m n ＝13－16＝－2.法二：如图，AD →＝2AE →，EF →＝mAB →＋nAD →，所以AF →＝AE →＋EF →＝mAB →＋(2n＋1)AE →，因为F ，E ，B 三点共线，所以m ＋2n ＋1＝1，所以m n＝－2.答案：－2平面向量的坐标运算已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．【解】由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，因为CM →＝OM →－OC →＝3c ，所以OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．所以M (0，20)．又因为CN →＝ON →－OC →＝－2b ，所以ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，所以N (9，2)．所以MN →＝(9，－18)．向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →等于( )A ．(－2，7)B ．(－6，21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)解析：选B.BC →＝3PC →＝3(2PQ →－PA →)＝6PQ →－3PA →＝(6，30)－(12，9)＝(－6，21)．平面向量共线的坐标表示(高频考点)平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题．主要命题角度有：(1)利用两向量共线求参数； (2)利用两向量共线求向量坐标； (3)三点共线问题．角度一利用两向量共线求参数(2020·浙江省名校联考)已知向量a ＝(m ，1)，b ＝(1－n ，1)(其中m ，n 为正数)，若a∥b ，则1m ＋2n的最小值是( )A ．2 2B ．3 2C ．32＋2D ．22＋3【解析】已知a ＝(m ，1)，b ＝(1－n ，1)(其中m ，n 为正数)，若a∥b ，则m －(1－n )＝0，即m ＋n ＝1.所以1m ＋2n ＝m ＋n m ＋2m ＋2n n ＝3＋n m ＋2m n≥3＋2n m ·2m n ＝3＋22，当且仅当n m ＝2mn时取等号，故1m ＋2n的最小值是3＋22，故选D.【答案】 D角度二利用两向量共线求向量坐标已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1，1)，C (2，3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →的坐标是________．【解析】由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →.设点B (x ，y )，则(2－x ，3－y )＝－2(1，2)，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝－2，3－y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝7.所以向量OB →的坐标是(4，7)．【答案】 (4，7) 角度三三点共线问题已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B.43C.12D.13【解析】 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线，所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.【答案】 A(1)向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a＋b )”的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由题意得a ＋b ＝(2，2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6.当m ＝－6时，a ∥(a ＋b )，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充分必要条件．核心素养系列11 数学运算——平面向量与三角形的“四心”设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →.(4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0. 一、平面向量与三角形的“重心”问题已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA→＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( )A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的垂心 C ．△ABC 的重心D ．AB 边的中点【解析】取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →，因为OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]，所以OP →＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →]＝2（1－λ）3OD →＋1＋2λ3OC →，而2（1－λ）3＋1＋2λ3＝1，所以P ，C ，D 三点共线，所以点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．【答案】 C二、平面向量与三角形的“内心”问题在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOB →＋yOC →，其中x ，y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( )A.1063 B.1463C ．4 3D ．6 2 【解析】根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ，得a ＝7.设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263，所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763.故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463.【答案】 B三、平面向量与三角形的“垂心”问题已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．重心 B ．垂心 C ．外心D ．内心【解析】因为OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，所以AP →＝OP →－OA →＝λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，所以BC →·AP →＝BC →·λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ＝λ(－|BC →|＋|BC →|)＝0，所以BC →⊥AP →，所以点P 在BC 的高线上，即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心．【答案】 B四、平面向量与三角形的“外心”问题已知在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝6，AC ＝2，点O 为△ABC 的外心，若AO →＝xAB →＋yAC →，则有序实数对(x ，y )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35B.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 【解析】取AB 的中点M 和AC 的中点N ，连接OM ，ON ，则OM →⊥AB →，ON →⊥AC →， OM →＝AM →－AO →＝12AB →－(xAB →＋yAC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x AB →－yAC →，ON →＝AN →－AO →＝12AC →－(xAB →＋yAC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－y AC→－xAB →. 由OM →⊥AB →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x AB →2－yAC →·AB →＝0，①由ON →⊥AC →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－y AC →2－xAC →·AB →＝0，②又因为BC →2＝(AC →－AB →)2＝AC →2－2AC →·AB →＋AB 2→，所以AC →·AB →＝AC →2＋AB →2－BC→22＝－12，③把③代入①，②得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＋y ＝0，4＋x －8y ＝0，解得x ＝45，y ＝35.故实数对(x ，y )为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.【答案】 A[基础题组练]1．已知a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1，2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋32bB.12a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12b解析：选B.设c ＝λa ＋μb ，则(－1，2)＝λ(1，1)＋μ(1，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32，所以c ＝12a －32b .2．设向量a ＝(x ，1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．0解析：选B.因为a与b 方向相反，所以b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x ，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，所以m ＝－2，x ＝m ＝－2.3．已知A (1，4)，B (－3，2)，向量BC →＝(2，4)，D 为AC 的中点，则BD →＝( ) A ．(1，3) B ．(3，3) C ．(－3，－3)D ．(－1，－3)解析：选B.设C (x ，y )，则BC →＝(x ＋3，y －2)＝(2，4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，y －2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝6即C (－1，6)．由D 为AC 的中点可得点D 的坐标为(0，5)，所以BD →＝(0＋3，5－2)＝(3，3)．4．(2020·温州瑞安七中高考模拟)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A ．－8B ．－4C ．4D ．2解析：选C.设正方形的边长为1，则易知c ＝(－1，－3)，a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)；因为c ＝λa ＋μb ，所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，解得λ＝－2，μ＝－12，故λμ＝4.5．已知非零不共线向量OA →，OB →，若2OP →＝xOA →＋yOB →，且PA →＝λAB →(λ∈R )，则点Q (x ，y )的轨迹方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：选A.由PA →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)，即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →.又2OP →＝xOA→＋yOB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y －2＝0，故选A.6．(2020·金华十校联考)已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(0，1)，(2，0)，(0，－2)，O 为坐标原点，动点P 满足|CP →|＝1，则|OA →＋OB →＋OP →|的最小值是( )A.3－1B.11－1C.3＋1D.11＋1解析：选A.设点P (x ，y )，动点P 满足|CP →|＝1可得x 2＋(y ＋2)2＝1. 根据OA →＋OB →＋OP →的坐标为(2＋x ，y ＋1)，可得|OA →＋OB →＋OP →|＝（x ＋2）2＋（y ＋1）2，表示点P (x ，y )与点Q (－2，－1)之间的距离．显然点Q 在圆C ：x 2＋(y ＋2)2＝1的外部，求得QC ＝3，|OA →＋OB →＋OP →|的最小值为QC －1＝3－1，故选A.7．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝________．解析：因为a ∥b ，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，得cos 2θ＝12，所以cosθ＝±22，又因为θ为锐角，所以θ＝π4. 答案：π48．设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)，其中a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则ab 的最大值为________．解析：易知AB →＝(a －1，1)，AC →＝(－b －1，2)，由A ，B ，C 三点共线知AB →∥AC →，故2(a －1)－(－b －1)＝0，所以2a ＋b ＝1.由基本不等式可得1＝2a ＋b ≥22ab ，当且仅当2a ＝b 时等号成立，所以ab ≤18，即ab 的最大值为18.答案：189．(2020·台州质检)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，向量a ＝(cos C ，3b －c )，向量b ＝(cos A ，a )且a ∥b ，则tan A ＝________．解析：a ∥b ⇒(3b －c )cos A －a cos C ＝0，即3b cos A ＝c cos A ＋a cos C ，再由正弦定理得3sin B cos A ＝sin C cos A ＋cos C sin A ⇒3sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B ，即cos A ＝33，所以sin A ＝63，tan A ＝sin Acos A＝ 2. 答案： 210．如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形，若直角边长为2，且AD →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________．解析：因为∠DEB ＝∠ABC ＝45°，所以AB ∥DE ，过D 作AB ，AC 的垂线DM ，DN ，则AN ＝DM ＝BM ＝BD ·sin 45°＝2，所以DN ＝AM ＝AB ＋BM ＝2＋2，所以AD →＝AM →＋AN →＝2＋22AB →＋22AC →，所以λ＝2＋22，μ＝22，所以λ＋μ＝1＋ 2. 答案：1＋ 211．已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c ，2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，那么t 为何值时，C ，D ，E 三点在一条直线上？解：由题设，知CD →＝d －c ＝2b －3a ， CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b .C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b . ①若a ，b 共线，则t 可为任意实数；②若a ，b 不共线，则有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，2k －t ＝0，解之得t ＝65.综上，可知a ，b 共线时，t 可为任意实数；a ，b 不共线时，t ＝65.12．(2020·杭州市七校高三联考)在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是线段AB ，BC 的中点，且|DM |＝1，|DN |＝2，∠MDN ＝π3.(1)试用向量AB →，AD →表示向量DM →，DN →； (2)求|AB →|，|AD →|；(3)设O 为△ADM 的重心(三角形三条中线的交点)，若AO →＝xAD →＋yAM →，求x ，y 的值．解：(1)如图所示， DM →＝DA →＋AM →＝12AB →－AD →； DN →＝DC →＋CN →＝AB →＋12CB →＝AB →－12AD →.(2)由(1)知AD →＝23DN →－43DM →，AB →＝43DN →－23DM →，所以|AD →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23DN →－43DM →2＝43， |AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43DN →－23DM →2＝2313. (3)由重心性质知：AO →＋DO →＋MO →＝0，所以有：0＝xAD →＋yAM →＋OA →＝x (AO →－DO →)＋y (AO →－MO →)－AO →＝(x ＋y －1)AO →＋(－x )DO →＋(－y )MO →. 所以(x ＋y －1)∶(－x )∶(－y )＝1∶1∶1⇒x ＝y ＝13.[综合题组练]1．(2020·宁波诺丁汉大学附中期中考试)在△ABC 中，BC ＝7，AC ＝6，cos C ＝267.若动点P 满足AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →(λ∈R )，则点P 的轨迹与直线BC ，AC 所围成的封闭区域的面积为( )A ．5B ．10C ．2 6D ．4 6解析：选A.设AD →＝23AC →，因为AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →＝(1－λ)AB →＋λAD →，所以B ，D ，P三点共线．所以P 点轨迹为直线BC .在△ABC 中，BC ＝7，AC ＝6，cos C ＝267，所以sin C＝57，所以S △ABC ＝12×7×6×57＝15，所以S △BCD ＝13S △ABC ＝5. 2．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)和b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m2＋sin α，其中λ，m ，α为实数，若a ＝2b ，则λm的取值范围是( )A ．[－6，1]B ．[4，8]C ．(－∞，1]D ．[－1，6]解析：选A.由a ＝2b ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2m －2，λ2－m ＝cos2α＋2sin α，又cos 2α＋2sin α＝－sin 2α＋2sin α＋1＝－(sin α－1)2＋2，所以－2≤cos 2α＋2sin α≤2，所以－2≤λ2－m ≤2，将λ2＝(2m －2)2代入上式，得－2≤(2m －2)2－m ≤2，得14≤m ≤2，所以λm ＝2m －2m＝2－2m∈[－6，1]．3．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________________．解析：由题意得AB →＝(－3，1)，AC →＝(2－m ，1－m )，若A ，B ，C 能构成三角形，则AB →，AC →不共线，则－3×(1－m )≠1×(2－m )，解得m ≠54.答案：m ≠544．(2020·浙江名校新高考研究联盟联考)如图，在等腰梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝CB ＝12AB ＝1，F 为BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE ︵上变动，E 为圆弧DE ︵与AB 的交点，若AP →＝λED →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是________．解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A (0，0)，E (1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，B (2，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫74，34；设P (cos α，sin α)(0°≤α≤60°)，因为AP →＝λED →＋μAF →，所以(cos α，sin α)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫74，34.所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－12λ＋74μ，sin α＝32λ＋34μ，所以2λ－μ＝3sin α－cos α＝2sin(α－30°)，因为0°≤α≤60°，所以－1≤2sin(α－30°)≤1. 答案：[－1，1]5．(2020·嘉兴模拟)已知点O 为坐标原点，A (0，2)，B (4，6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线．解：(1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0，2)＋t 2(4，4)＝(4t 2，2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2，4t 2＋2)．因为AB →＝OB →－OA →＝(4，4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2，4t 2)＝t 2(4，4)＝t 2AB →，且有公共点A ，所以不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线． 6．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值．解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)法一：因为A 、B 、C 三点共线，所以AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ3＝mλ，解得m ＝32.法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， BC →＝a ＋m b ＝(1，0)＋m (2，1)＝(2m ＋1，m )．因为A 、B 、C 三点共线，所以AB →∥BC →. 所以8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0，所以m ＝32.。

备考2020年高考数学一轮专题：第24讲平面向量的基本定理及坐标表示

备考2020年高考数学一轮专题：第24讲平面向量的基本定理及坐标表示一、选择题（共12题；共24分）1. ( 2分) 在中，，，则（）A. B.C. D.2. ( 2分) 如图，在△ABC中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点R，CR的中点为P，若，则m，n对应的值为（）A. B. C. D.3. ( 2分) 已知A、B、C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆外一点．若，其中m，n∈R．则m+n的取值范围是（）A. （0，1）B. （﹣1，0）C. （1，+∞）D. （﹣∞，﹣1）4. ( 2分) 已知点，向量，则向量（）A. B. C. D.5. ( 2分) 已知且，则（）A. B. C. 0 D.6. ( 2分) 已知A、B、C、D四点共线，，且向量，，则等于（）A. B. C. ﹣7 D. 77. ( 2分) 已知向量，当向量与向量共线，（m，n≠0），则直线mx+ny+1=0的斜率为（）A. B. C. D.8. ( 2分) 已知A（2，﹣1），C（0，2），，则=（）A. 6B.C. 8D. 129. ( 2分) 向量=（，tanα），=（cosα，1），且∥，则cos（+α）=（）A. B. ﹣ C. ﹣ D. ﹣10. ( 2分) 下列各式正确的是（）A. =（﹣2，4），=（5，2），则+ =（3，6）B. =（5，2），=（2，4），则﹣=（﹣3，2）C. =（1，0），=（0，1），则+ =（0，1）D. =（1，1），=（1，2），则2 +3 =（4，8）11. ( 2分) 已知向量a=（x，y），向量b∥a，|b|=|a|，且b≠a，则b的坐标为（）A. （x，﹣y）B. （﹣x，﹣y）C. （﹣y，﹣x）D. （﹣x，y）12. ( 2分) 已知向量=（﹣），=（），则∠ABC=（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题（共7题；共7分）13. ( 1分) 如图，在中，，，，是边上的一点，脯，则的值为________．14. ( 1分) 已知，则________ ．15. ( 1分) 已知向量=（1，﹣2），=（﹣2，y），且，则|3 +2 |=________．16. ( 1分) 如图所示，在正方形中，点为边的中点，点为边上的靠近点的四等分点，点为边上的靠近点的三等分点，则向量用与表示为________．17. ( 1分) 已知△ABC是半径为5的圆O的内接三角形，且，若，则的取值范围是________．18. ( 1分) 已知＝(cosθ，sinθ)，＝(3－cosθ，4－sinθ)，若∥，则cos2θ＝________.19. ( 1分) 已知，若，则实数t=________．三、解答题（共4题；共25分）20. ( 10分) 已知向量，，.（1）求；（2）若，求实数.21. ( 5分) 已知圆，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，点在上，并且，求点的轨迹22. ( 5分) 已知向量的起点为A，终点B的坐标为（1，0）向量=（﹣1，2），=（2，1），且=2﹣，求点A的坐标．23. ( 5分) 已知直线l的方向向量为=（1，1），且过直线l1：2x+y+1=0和直线l2：x﹣2y+3=0的交点．（1）求直线l的方程；（2）若点P（x0，y0）是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，求点P到直线l的距离的最小值．答案解析部分一、选择题1.【答案】C【考点】平面向量的基本定理及其意义【解析】【解答】由已知可得点是靠近点的三等分点，又点是的中点。

2020年浙江高考数学一轮复习课堂测试：平面向量的基本定理及坐标表示

课时跟踪检测（二十九）平面向量的基本定理及坐标表示一抓基础，多练小题做到眼疾手快------- >--------------------------------- >--------------------------------------- >1在平行四边形ABCD中，AC为对角线，若AB = (2,4), AC = (1,3)，则BD =( )A. (-2,—4)B. (- 3,—5)C. (3,5)D. (2,4)解析：选 B 由题意得济=A D -^AB =1B C - ^AB = (^AC -^A B)--AEB = ^AC - 2^AB=(1,3) - 2(2,4) = (-3, - 5).2.已知A(- 1,- 1), B(m, m + 2), C(2,5)三点共线，则m的值为()A. 1B. 2C . 3D . 4解析：选 A AB = (m, m+ 2)- ( - 1,- 1) = (m+ 1, m+ 3),-------- CAC = (2,5) - (- 1,- 1)= (3,6),••• A, B, C三点共线，/• y AB // y AC ,••• 3(m+ 3)- 6(m+ 1) = 0,m= 1.故选A.3. 如图，在△ OAB中，P为线段AB上的一点,y OB，且 = 2 —，则（）21A .x=3，y= 112B .x=3，y=213C .x=4，y=331D .x=4，y=1解析：选 A 由题意知6? =6? + 13?，又面？ = 2-p A，所以6? ="O B + 2 I B? = C)B32 ? ―? 2 ? 1 ? 2 1 + 3( OA - OB) = 3OA +3 OB，所以x = 3, y= 3.4. (2019舟山模拟)已知向量a = (2,3), b = (- 1,2)，若m a + b与a- 2b共线，则m的值为.解析：由a= (2,3), b= (- 1,2)，得m a + b = (2m- 1,3m+ 2), a-2b= (4, - 1),又m a1+ b 与a- 2b 共线，所以一1X (2m- 1)= (3m + 2) x 4,解得m=- ?.O P = x1答案：-25. ________________________________________________________________________ 已知向量 a = (1,2) ,b = (x,1) ,u = a + 2b,v = 2a - b,且 u II v ，则实数 x 的值为 ___________________ .解析：因为 a = (1,2), b = (x,1), u = a + 2b , v = 2a - b , 所以 u = (1,2) + 2(x,1)= (2x + 1,4), v = 2(1,2) - (x,1)= (2 - x,3).又因为 u // v ，所以 3(2x + 1)- 4(2- x)= 0, 1即 10x = 5,解得 x = ?.1答案：1二保咼考，全练题型做到咼考达标1. (2018 温州十校联考)已知 a = (-3,1), b = (- 1,2)，贝U 3a -2b =( )A . (7,1)B . (-7,- 1)C . (-7,1)D . (7, - 1)解析：选 B 由题可得，3a - 2b = 3(- 3,1) - 2(- 1,2) = (-9 + 2, 3- 4) = (-7, - 1). 2. 已知△ ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为 a , b, c ,向量mi = (a , 一 3b)与n = (cos A , sin B)平行，则 A =()A. C.解析：选B 因为m// n ,所以asin B - 3bcosA = 0,由正弦定理，得sin Asin B - 3sin BcosA = 0,又 sin B M 0,从而 tan A = '.3，由于 0v A v n 所以 A =；3.已知A(7,1), B(1,4)，直线y = *ax 与线段AB 交于点C ,且N6 = 2©盲，则实数a 等于()-- > ------------------ >解析：选 A 设 C(x , y),则 AC = (x - 7, y - 1), CB = (1 - x,4- y),1 1又•••点 C 在直线 y = 2ax 上，••• 3 = ?a x 3,「. a = 2.-- > ----•/ AC =x - 7 = 2 1-x , y -1 =2 4- y , 解得x= 3,y = 3. •••C(3,3).B.4.在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0), B(0,1), C为坐标平面内第一象限内的点,且/ A0C = n , |0C|= 2,若 ©= X0A + —5，贝U 入+ 尸()4/ A0C = n ,所以 C({2, ^2)，又 ©0? = X 0A + ^OB ，所B与 CD 交于点 F.若 AC = a , BD = b ,贝U AF =(1 1 A ・4a+2bD.1a + 3b 3 3解析：选C 如图，T 瓦C = a , ©B = b ,--- B ---- B ---- B 1 ----- B 1 ---- B 1 1• AD = A0 + 0D = 2 AC + 2 BD = ?a + b .•/ E 是0D 的中点, • |DE|_ 1 |EB| 3，••• |DF |= 3|AB|.A I D F = 3 —A B = $ ©)B - ~0A 1 16a- 6b，• A T = AD +BT =1 a+ 2b+1a—1 b=彳汀1b，故选 c.6. __ 已知向量 a = (1,3), b = (— 2,1), c = (3,2).若向量c 与向量k a + b 共线，则实数 k = ________ ，若 c = x a + y b ，贝U x + y 的值为 _________ .解析：k a + b = k(1,3) + (— 2,1) = (k — 2,3k + 1),因为向量 c 与向量 k a + b 共线，所以 2(k —2) — 3(3k + 1)= 0，解得 k =— 1.因为 c = x a + y b ,所以(3,2) = (x — 2y,3x + y),即 x — 2y = 3,3x + y = 2,解得 x = 1, y =— 1,所以 x + y = 0.答案：—1------- B---------B------- B7•已知向量 OA = (1,— 3), OB = (2,— 1), OC = (k + 1, k — 2),若 A , B , C 三点能构成三角形，则实数 k 应满足的条件是 __________ .------- B ------------- B解析：若点A , B , C 能构成三角形，则向量 AB , AC 不共线.-------- B -------------- B ------------ B•/ AB = OB — OA = (2, — 1) — (1,— 3) = (1,2),------- B -------------- B ------------- BAC = OC — OA = (k + 1, k — 2) — (1, — 3)= (k , k + 1),解析：选A 因为|0C|= 2, 以(2, ,2)=仲)+ 如)=(入卩），所以L 尸』2,入 +尸2 2.5.在平行四边形 ABCD 中,AC 与BD 交于点 O , E 是线段0D 的中点，AE 的延长线1 1 B.1a + 2 41 ―> 1 ―> =6 AC- 6BD••• 1X (k+ 1)—2k M 0，解得k M 1.答案：k M 1-- > ____ >8.如图，在正方形ABCD 中, P为DC边上的动点，设向量AC = XDB+ (1AP，^U H卩的最大值为__________解析：以A为坐标原点，以AB, AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形的边长为2,则B(2,0), C(2,2), D(0,2), P(x,2), x € [0,2].D p• ^AC = (2,2), 15E3 = (2, —2), -? = (x,2).•/ AC = XDB +X=2 —x2 +x，43= c i ，2 + x6 —x 6 —x• H 3=.令f(x)= (0 < x< 2),2+ x ' 1 2+ x' 八••• f(x)在［0,2］上单调递减，•- f(X)max = f(0) = 3, 即即入 + 3 的最大值为3.答案：39.平面内给定三个向量 a = (3,2), b = (—1,2), c= (4,1).(1) 求满足a= m b + n c的实数m, n;(2) 若(a + k c) // (2b—a),求实数k.解：(1)由题意得(3,2) = m(—1,2)+ n(4,1),—m+ 4n = 3,所以2m + n= 2, 解得5m= 9,8(2)a+ k c = (3 + 4k,2+ k), 2b—a= (—5,2),由题意得2X (3 + 4k) —(—5)X (2 + k) = 0,解得k =—Jr.13110.如图，在梯形ABCD中，AD // BC,且AD = ^BC, E , F分别为线段AD与BC的中点.设-Y = a, 1B C = b，试用a, b为基底表示向量E F^ , B F , (:D.解：—> =—t + 能 + 曲一1b-a+1b=3b-a,3b-a= i b-a-- 1 ---- 1 ----- 1 1DF = DE + EF =-6 b+CD +_FD t= - 1 b- 1b- a = a-2b.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,3), B(3,2), C(1,1)，点P(x, y)在厶ABC三边围成的区域(含边界)内，设OP = m A B —n CA (m, n€ R),贝V 2m+ n的最大值为()B. 1---- B --- B解析：选B 由已知得AB = (1, - 1), CA = (1,2),-B -B -B x= m- n,y),T OP = mAB —n CA ,「.|y=- m- 2n,/• 2m+ n = x-y.作出平面区域如图所示，令z= x-y,贝U y= x —z,由图象可知当直线y= x-z经过点B(3,2)时，截距最小，即z最大.••• z的最大值为3-2 = 1,即2m+ n的最大值为1._ -------- B-------- B ---- B2.设A1, A2, A3, A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A G=知人2(入€ R), A1A4---- B 1 1=S1A2 (让R),且-+-= 2,则称A3, A4调和分割A1, A?.已知点C(c,0), D(d,0)(c, d€R)调和分割点A(0,0), B(1,0),则下面说法正确的是()A. C可能是线段AB的中点B. D可能是线段AB的中点C . C, D可能同时在线段AB上D . C, D不可能同时在线段AB的延长线上解析：选 D 根据已知得(c,0) - (0,0)=开(1,0) —(0,0)]，即(c,0)= ”1,0),从而得c=入(d,0)1 1 1 1-(0,0)=叭1,0) - (0,0)]，即(d,0)=附,0)，得d= w根据；+_ = 2,得—+ = 2.线段AB 的方人卩 c d程是y= 0, x€ [0,1] .若C是线段AB的中点，贝U c=1，代入1+三=2得，三=0，此等式不2 c d d可能成立，故选项A的说法不正确；同理选项B的说法也不1 1 1 1正确；若C, D同时在线段AB上，贝U 0v c< 1,0v d< 1,此时一》1, 1> 1, 1+ - >2, c dc d若等号成立，则只能c= d= 1，根据定义，C, D是两个不同的点，矛盾，故选项C的说法当且仅当a = b = 4时, = 成立.11 11也不正确；若 C , D 同时在线段 AB 的延长线上，即 c > 1, d > 1,^卜+ - v 2,与-+ - = 2 cd c d 1 1 1 1 1 1 矛盾，若c v 0, d v 0,则一+1是负值，与一 +1= 2矛盾，若c > 1, d v 0,则一v 1,匚< 0, c dcd c d1 1 1 1此时丄+ 1v 1,与-+1= 2矛盾，故选项 D 的说法是正确的.c d c d3.已知三点 A(a,0), B(0, b), C(2,2),其中 a >0, b >0.(1) 若O 是坐标原点，且四边形 OACB 是平行四边形，试求 a , b 的值； (2) 若A , B , C 三点共线，试求 a + b 的最小值. 解：(1)因为四边形 OACB 是平行四边形，所以—5X =玄，即(a,0) = (2,2- b),故 a = 2, b = 2.(2)因为 AB = (— a , b), BC = (2,2 — b),-- > --- >由A , B , C 三点共线，得AB // BC ,即(a + b)2— 8(a + b)》0, 解得a + b 》8或a + b w 0.所以—a(2 — b) — 2b = 0,即 2(a + b)= ab ,因为a > 0, b > 0，所以 2(a + b)= ab w 因为a > 0, b > 0，所以 a + b 》8, 即卩a + b 的最小值是&a = 2, 2-b = 0,解得r =2,b = 2.。

2020年高考数学一轮复习专题5.2平面向量的基本定理练习(含解析)

5.2 平面向量的坐标运算一、平面向量的坐标运算 1．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）. 2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ＋b =（x 2+x 1，y 2+y 1），a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2），λa =（λx 1，λy 1）， |a |a ＋b 3．平面向量共线的坐标表示设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1=0. 4．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB =θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的夹角.如果向量a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .考向一坐标运算【例1】（1）已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为．(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝【答案】（1）(2,0) （2）-2【解析】（1）设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0. （2）由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.【举一反三】1.设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a＋2b的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】 D【解析】由题意可得，OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，所以AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)．又∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →，即(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥4＋4＝8，当且仅当b a ＝4a b时，取“＝”．故选D.2．已知点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)．若向量PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，则λ＝________. 【答案】－23【解析】点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)， ∴向量PQ →＝2PM →＝2(1＋1，－1－2)＝(4，－6)．又PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，∴4×1＋6λ＝0，即λ＝－23.3.已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，83 C.⎝⎛⎭⎪⎫133，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43【解析】由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.考向二平面向量在几何中的运用【例2】已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0，1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是( )A.2＋1B.7＋1C.2－1D.7－1 【答案】 A【解析】设点M 的坐标是(x ，y )，∵C (0，－2)，且|CM →|＝1，∴x 2＋(y ＋2)2＝1，则x 2＋(y ＋2)2＝1，即动点M 的轨迹是以C 为圆心、1为半径的圆， ∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA →＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)，则|OA →＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2，几何意义表示：点M (x ，y )与点N (－1，－1)之间的距离，即圆C 上的点与点N (－1，－1)的距离，∵点N (－1，－1)在圆C 外部，∴|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是|NC |＋1＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1＝2＋1.故选A. 【举一反三】1.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（）A ．B ．C ．D ．O :10l x ky -+=22:4C x y +=, A B OM OA OB =+M C k =2-1-01考向三向量中的坐标【例3】给定两个长度为1的平面向量,OA OB ，它们的夹角为120.如图1所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈，则x y +的最大值是______. 【答案】2【解析】解法1（考虑特值法）当C 与A 重合时，10,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=，当C 与B 重合时，01,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=，当C 从AB 的端点向圆弧内部运动时，1x y +>，于是猜想当C 是AB 的中点时，x y +取到最大值.当C 是AB 的中点时，由平面几何知识OACB 是菱形， ∴,OC OA OB =+∴11 2.x y +=+= 猜想x y +的最大值是2.解法二（考虑坐标法）建立如图3，所示的平面直角坐标系，设AOC α∠=，则1(1,0),((cos ,sin )2A B C αα-.于是OC xOA yOB =+可化为：1(cos ,sin )(1,0)(,22x y αα=+-，∴1cos ,2sin .x y y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（1）解法2 函数法求最值由方程组（1）得：cos ,.x y ααα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴cos 2sin(30)x y ααα+=+=+，又0120α≤≤， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法3 不等式法求最值由方程组（1）得：222221sin cos ()3x y xy x y xy αα=+=+-=+-，∴211()33xy x y =+-，由0,0x y >>，及x y +≥2()4x y xy +≥， ∴2()4x y +≤，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号. ∴max () 2.x y +=思考方向三考虑向量的数量积的运算解法4 两边点乘同一个向量∵,OC xOA yOB =+∴,.OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩ 设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-，又||||||1OC OA OB ===，∴1cos ,21cos(120).2x y x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩∴2[cos cos(120)]2sin(30)x y ααα+=+-=+， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法5 两边平方法∵,OC xOA yOB =+∴22(),OC xOA yOB =+∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=， ∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y +=思考方向四考虑平行四边形法则过C 作CM ∥OB 交OA 于M ，作CN ∥OA 交OB 于N ，则OM CN 是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：OC OM ON =+，在OMC ∆中，设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-，且||,||.OM x MC y == 解法6 利用正弦定理sin sin sin OM MC OCOCM COM OMC==∠∠∠， 1sin(60)sin sin 60x y αα==+，由等比性值得：1sin(60)sin sin 60x y αα+=++，∴2sin(30)x y α+=+，∴当30α=时，max () 2.x y += 解法7 利用余弦定理222||||||2||||cos60,OC OM MC OM MC =+-⋅∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y += 【举一反三】1.如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．【答案】6【解析】方法一如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1→＋OA 1→，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC →|＝23，所以|OB 1→|＝2，|B 1C →|＝4，所以|OA 1→|＝|B 1C →|＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ－12μ，3＝32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.2.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ＝.【答案】 52【解析】由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)， ∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)， ∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)，又∵P 为CD 的中点，∴AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝12，μ＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.1．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________．【答案】 (－3，－5)【解析】 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．2.已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________. 【答案】 1【解析】 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1.3.线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝. 【答案】－2或6【解析】由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝6，－4＝2－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.4. 已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为．【答案】 (3,3)【解析】方法一由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．5.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝.【答案】 4【解析】 ∵向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，∴a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，x2－2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，∵(a －2b )∥(2a ＋b )，∴(8－2x )(x ＋1)－(16＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－2＝0，即－52x 2＋40＝0，又∵x >0，∴x ＝4.6．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为．【答案】 3【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连结CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.7.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动(如图所示)．若AP →＝λED →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，12 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，E (2,0)，D (0,2)，F (3,1)，P (cos α，sin α)⎝⎛⎭⎪⎫－π2≤α≤π2，即AP →＝(cos α，sin α)，ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)． ∵AP →＝λED →＋μAF →，∴(cos α，sin α)＝λ(－2,2)＋μ(3,1)， ∴cos α＝－2λ＋3μ，sin α＝2λ＋μ，∴λ＝18(3sin α－cos α)，μ＝14(cos α＋sin α)，∴2λ－μ＝12sin α－12cos α＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4.∵－π2≤α≤π2，∴－3π4≤α－π4≤π4.∴－22≤22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4≤12.8.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD (含端点)上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP →＝mAB →＋nAF →(m ，n 为实数)，求m ＋n 的最大值．【答案】5【解析】如图所示，①设点O 为正六边形的中心，则AO →＝AB →＋AF →.当动圆Q 的圆心经过点C 时，与边BC 交于点P ，点P 为边BC 的中点．连结OP ，则AP →＝AO →＋OP →， ∵OP →与FB →共线，∴存在实数t ，使得OP →＝tFB →，则AP →＝AO →＋tFB →＝AB →＋AF →＋t (AB →－AF →) ＝(1＋t )AB →＋(1－t )AF →，∴此时m ＋n ＝1＋t ＋1－t ＝2，取得最小值．②当动圆Q 的圆心经过点D 时，取AD 的延长线与圆Q 的交点为P ，则AP →＝52AO →＝52()AB →＋AF →＝52AB →＋52AF →，此时m ＋n ＝5，为最大值．9.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 是△ABC 内一点(含边界)，若AP →＝23AB →＋λAC →，则|AP →|的最大值为________．【答案】2133【解析】以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°， ∴A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)，设点P 为(x ，y )，0≤x ≤3，0≤y ≤3， ∵AP →＝23AB →＋λAC →，∴(x ，y )＝23(3,0)＋λ(1，3)＝(2＋λ，3λ)，∴⎩⎨⎧x ＝2＋λ，y ＝3λ，∴y ＝3(x －2)，① 直线BC 的方程为y ＝－32(x －3)，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝73，y ＝33，此时|AP →|最大，∴|AP →|＝499＋13＝2133. 10.已知三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE →＝3EC →，若点P 是BC 边上的动点，则AP →·AE →的取值范围是________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103 【解析】因为AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，所以∠ABC ＝30°，AB ＝433.因为BE →＝3EC →，所以BE →＝34BC →.设BP →＝tBC →，则0≤t ≤1，所以AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋tBC →，又AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋34BC →，所以AP →·AE →＝(AB →＋tBC →)·⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋34BC →＝AB →2＋tBC →·AB →＋34BC →·AB →＋34tBC →2＝163＋t ×4×433cos150°＋34×4×433cos150°＋34t ×42＝4t －23，因为0≤t ≤1，所以－23≤4t －23≤103，即AP →·AE →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103.11在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则5λ＋3μ的最大值为______．【答案】102【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，B (5，0)，C (5，3)，D (0，3)．∵AP ＝52，∴x 2＋y 2＝54. 点P 满足的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，0≤y ≤3，x 2＋y 2＝54，∵AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )， ∴(x ，y )＝λ(5，0)＋μ(0，3)，∴⎩⎨⎧x ＝5λ，y ＝3μ，∴x ＋y ＝5λ＋3μ.∵x ＋y ≤2(x 2＋y 2)＝2×54＝102，当且仅当x ＝y 时取等号， ∴5λ＋3μ的最大值为102. 12.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．【答案】 (－1,0)【解析】由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴mOA →＋nOB →＝k λOA →＋k (1－λ)OB →， ∴m ＝k λ，n ＝k (1－λ)， ∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。

专题5.2平面向量的基本定理及坐标表示(讲)2020年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)Word版含解析

2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入第02讲平面向量的基本定理及坐标表示 ---讲1.理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题. 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3．掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算. 4.高考预测：（1）考查平面向量基本定理、坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；（2）常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现． 5.备考重点：(1) 理解坐标表示是基础，掌握坐标运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.知识点1．平面向量基本定理平面向量基本定理如果12e e ，是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量a，有且只有一对实数12λλ，，使.其中，不共线的向量12e e ，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．【典例1】【浙江省绍兴市第一中学2019届高三上学期期末】在ABC ∆中，点D 满足34BD BC =，当点E 在射线AD （不含点A ）上移动时，若，则的取值范围为__________．【答案】()1,+∞【解析】因为点E 在射线AD （不含点A ）上，设，又34BD BC =，所以，所以4{34kk λμ==，，故的取值范围()1,+∞.【易错提醒】平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【变式1】（2019·江西高考模拟（理））如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若，则λμ+等于（）．A ．12-B ．12C ．1D ．1-【答案】A 【解析】由平面向量基本定理，化简，所以，即1λμ2+=-，故选：A ．知识点2．平面向量的坐标运算1. 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a x y i j ＝＋，这样，平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定，因此把(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y ，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标． (2)若，则．3．平面向量的坐标运算 (1)若，则；(2)若()a x y ＝，，则．(3)设，则，.【典例2】【浙江省2019届高考模拟卷（三)】已知直线与抛物线交于两点，点，，且，则__________．【答案】-3 【解析】设，，则，，，则有，代入方程，故有，同理，有，即可视为方程的两根，则. 故答案为-3.【总结提升】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．【变式2】（2019·吉林高考模拟（理））已知向量，其中，则的最小值为（）A．1 B．2 C．D．3【答案】A【解析】因为，所以，因为，所以，故的最小值为.故选A知识点3．平面向量共线的坐标表示向量共线的充要条件的坐标表示∥⇔.若，则a b【典例3】【浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考】过点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则的最小值为_ ．【答案】【解析】设，，则于是，同理，于是我们可以得到.即，所以Q 点的轨迹是直线，即为原点到直线的距离，所以【规律方法】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．【变式3】（2019·陕西咸阳市实验中学高考模拟（文））已知平面向量(1,)a x =，(4,2)b =，若向量2a b +与向量b 共线，则x =（） A ．13B ．12C ．25D ．27【答案】B 【解析】由()1,a x =，()4,2b =，得因为()2a b +∥b 所以，解得12x =故选：B考点1 平面向量基本定理及其应用【典例4】（2019·山东高考模拟（文））如图，在中，，是上一点，若则实数的值为________．【答案】【解析】由题意及图，，又，所以，∴（1﹣m ），又t ，所以，解得m ，t ，故答案为：．【总结提升】1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．2.特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底12e e ，线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．【变式4】（2018届浙江省教育绿色评价联盟5月适应性考试）如图，在△中，点是线段上两个动点，且，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】如图可知x ，y 均为正，设，共线，，，则，，则的最小值为，故选D.考点2 平面向量的坐标运算【典例5】（2019·河南高考模拟（文））已知向量，向量，则3a b -的最大值是______. 【答案】6 【解析】由题意，向量，则，所以向量3a 的终点在以原点为圆心，3为半径的圆上，又由3b =r，则其终点也在此圆上，当3a 与b 反向时，3a b -为最大，最大值为6. 【易错提醒】注意向量坐标与点的坐标的区别：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．【变式5】已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 【答案】A【解析】因为2(4,8)a =r，所以=()5,7，故选A.考点3 平面向量共线的坐标表示【典例6】（2019·安徽高考模拟（文））已知平面向量，若//a b ，则x =________【答案】2 【解析】 ∵//a b ； ∴；解得2x =，故答案为2．【总结提升】利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．【变式6】向量且//a b ，则（）A ．13-B ．13C ．3D ．3-【答案】A 【解析】由题意得，因为//a b ，则，即1sin 3α=，又，故选A ．考点4 平面向量共线坐标表示的应用【典例7】（2019·江苏高考模拟）如图，在平面四边形ABCD 中，，30ACD ∠=︒，AB BC =，点E 为线段BC 的中点．若(,R λμ∈)，则λμ的值为_______．【解析】以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB ＝BC ＝2，则有A （0,0），B （2,0），C （2,2），E （2,1），AC ＝，AD ＝×tan30°＝3，过D 作DF ⊥x 轴于F ，∠DAF ＝180°－90°－45°＝45°，DF sin45°＝，所以D （），AC ＝（2,2），AD＝（3-），AE ＝（2,1），因为，所以，（2,2）＝λ（3-）+μ（2,1），所以，，解得：43λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ【总结提升】利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．【变式7】（2019·四川高考模拟（理））已知向量a =（sin2α，1），b =（cosα，1），若a ∥b ， π02α<<，则=α______．【答案】6π 【解析】向量a =（sin2α，1），b =（cosα，1），若a ∥b ，则sin2α-cosα=0，即2sinαcosα=cosα；又π02α<<，∴cosα≠0，∴sinα=12，∴6πα=．故答案为：6π．。

2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第五章第二节平面向量的基本定理及坐标表示含答案

第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[小题体验]1．已知a ＝(4,2)，b ＝(－6，m )，若a ∥b ，则m 的值为______．答案：－32．(教材习题改编)已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，则3a ＋4b ＝________. 答案：(－6,19)3．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎨⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －134．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 答案：－11．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.[小题纠偏]1．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________. 答案：02．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析：∵ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－3考点一平面向量基本定理及其应用(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2019·温州模拟)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC ―→＝3EC ―→，F 为AE 的中点，则BF ―→＝( )A.23AB ―→－13AD ―→B.13AB ―→－23AD ―→ C ．－23AB ―→＋13AD ―→D ．－13AB ―→＋23AD ―→解析：选C 如图，取AB 的中点G ，连接DG ，CG ，易知四边形DCBG 为平行四边形，∴BC ―→＝GD ―→＝AD ―→－AG ―→＝AD ―→－12AB ―→，∴AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23⎝⎛⎭⎫AD ―→－12AB ―→＝23AB ―→＋23AD ―→，于是BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12AE ―→－AB ―→＝12⎝⎛⎭⎫23AB ―→＋23AD ―→－AB ―→＝－23AB ―→＋13AD ―→，故选C.2．在△ABC 中，点M ，N 满足AM ―→＝2MC ―→，BN ―→＝NC ―→.若MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则x ＝________；y ＝________. 解析：∵AM ―→＝2MC ―→，∴AM ―→＝23AC ―→.∵BN ―→＝NC ―→，∴AN ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，∴MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)－23AC ―→＝12AB ―→－16AC ―→. 又MN ―→＝x AB ―→＋y AC ―→， ∴x ＝12，y ＝－16.答案：12 －16L ，且AK ―→＝e 1，AL―→3.如图，已知平行四边形ABCD 的边BC ，CD 的中点分别是K ，＝e 2，试用e 1，e 2表示BC ―→，CD ―→.解：设BC ―→＝x ，CD ―→＝y ，则BK ―→＝12x ，DL ―→＝－12y .由AB ―→＋BK ―→＝AK ―→，AD ―→＋DL ―→＝AL ―→，得⎩⎨⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2， ②①＋②×(－2)，得12x －2x ＝e 1－2e 2，即x ＝－23(e 1－2e 2)＝－23e 1＋43e 2，所以BC ―→＝－23e 1＋43e 2.同理可得y ＝－43e 1＋23e 2，即CD ―→＝－43e 1＋23e 2.[谨记通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．考点二平面向量的坐标运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为( )A ．(－3,4)B ．(3,4)C ．(3，－4)D ．(－3，－4)解析：选A 由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b ＝12(－6,8)＝(－3,4)，故选A.2．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP ―→＝12MN ―→，则P 点的坐标为( )A ．(－8,1)B ．⎝⎛⎭⎫－1，－32 C ．⎝⎛⎭⎫1，32 D ．(8，－1)解析：选B 设P (x ，y )，则MP ―→＝ (x －3，y ＋2)，而12MN ―→＝12(－8,1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－4，y ＋2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32，所以P ⎝⎛⎭⎫－1，－32. 3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ， (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ， ∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ，∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ―→＝(9，－18)．[谨记通法]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．考点三平面向量共线的坐标表示(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴DC ―→＝2AB ―→.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC ―→＝(4－x ，2－y )，AB ―→＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．答案：(2,4)2．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．解：(1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0， ∴k ＝－12.(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC ―→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥BC ―→， ∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝32.[由题悟法]向量共线的充要条件 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)；(2)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0(其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))．当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便．[即时应用]1．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意得a ＋b ＝(2,2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6.当m ＝－6时，a ∥(a ＋b )，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件．2．(2018·贵阳监测)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )∥(m －n )，则λ＝________. 解析：因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，又(m ＋n )∥(m －n )，所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得λ＝0. 答案：03．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．解析：∵a 与b 方向相反，∴可设a ＝λb (λ＜0)， ∴a ＝λ(2,1)＝(2λ，λ)．由|a |＝5λ2＝25，解得λ＝－2或λ＝2(舍去)，故a ＝(－4，－2)．答案：(－4，－2)4．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值等于________．解析：AB ―→＝(a －2，－2)，AC ―→＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12. 答案：12一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，若AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BD ―→＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)解析：选B 由题意得BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝BC ―→－AB ―→＝(AC ―→－AB ―→)－AB ―→＝AC ―→－2AB ―→＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．2．已知A (－1，－1)，B (m ，m ＋2)，C (2,5)三点共线，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A AB ―→＝(m ，m ＋2)－(－1，－1)＝(m ＋1，m ＋3)， AC ―→＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥AC ―→，∴3(m ＋3)－6(m ＋1)＝0， ∴m ＝1.故选A.3．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，且BP ―→＝2PA ―→，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：选A 由题意知OP ―→＝OB ―→＋BP ―→，又BP ―→＝2PA ―→，所以OP ―→＝OB ―→＋23BA ―→＝OB ―→＋23(OA ―→－OB ―→)＝23OA ―→＋13OB ―→，所以x ＝23，y ＝13. 4．(2019·舟山模拟)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋b 与a －2b 共线，则m 的值为________．解析：由a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋b ＝(2m －1,3m ＋2)，a －2b ＝(4，－1)，又m a ＋b 与a －2b 共线，所以－1×(2m －1)＝(3m ＋2)×4，解得m ＝－12.答案：－125．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，所以u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)， v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12.答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·温州十校联考)已知a ＝(－3,1)，b ＝(－1,2)，则3a －2b ＝( ) A ．(7,1) B ．(－7，－1) C ．(－7,1)D ．(7，－1)解析：选B 由题可得，3a －2b ＝3(－3,1)－2(－1,2)＝(－9＋2，3－4)＝(－7，－1)．2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行，则A ＝( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析：选B 因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.3．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC ―→＝2CB ―→，则实数a 等于( )A ．2B ．1C ．45D ．53解析：选A 设C (x ，y )，则AC ―→＝(x －7，y －1)，CB ―→＝(1－x,4－y )，∵AC ―→＝2CB ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵点C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ×3，∴a ＝2.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内的点，且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝( )A ．2 2B ． 2C ．2D ．4 2解析：选A 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A.14a ＋12bB.12a ＋14bC.23a ＋13bD.13a ＋23b 解析：选C 如图，∵AC ―→＝a ，BD ―→＝b ， ∴AD ―→＝AO ―→＋OD ―→＝12AC ―→＋12BD ―→＝12a ＋12b .∵E 是OD 的中点， ∴|DE ||EB |＝13， ∴|DF |＝13|AB |.∴DF ―→＝13AB ―→＝13(OB ―→－OA ―→)＝13×⎣⎡⎦⎤－12 BD ―→⎝⎛⎭⎫－12AC ―→＝16AC ―→－16BD ―→＝16a －16b ，∴AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝12a ＋12b ＋16a －16b ＝23a ＋13b ，故选C.6．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2,1)，c ＝(3,2)．若向量c 与向量k a ＋b 共线，则实数k ＝________，若c ＝x a ＋y b ，则x ＋y 的值为________．解析：k a ＋b ＝k (1,3)＋(－2,1)＝(k －2,3k ＋1)，因为向量c 与向量k a ＋b 共线，所以2(k －2)－3(3k ＋1)＝0，解得k ＝－1.因为c ＝x a ＋y b ，所以(3,2)＝(x －2y,3x ＋y )，即x －2y ＝3,3x ＋y ＝2，解得x ＝1，y ＝－1，所以x ＋y ＝0.答案：－1 07．已知向量OA ―→＝(1，－3)，OB ―→＝(2，－1)，OC ―→＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB ―→，AC ―→不共线． ∵AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1. 答案：k ≠18.如图，在正方形ABCD 中，P 为DC 边上的动点，设向量AC ―→＝λDB ―→＋μAP ―→，则λ＋μ的最大值为________．解析：以A 为坐标原点，以AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形的边长为2，则B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)，P (x,2)，x ∈[0,2]． ∴AC ―→＝(2,2)，DB ―→＝(2，－2)，AP ―→＝(x,2)．∵AC ―→＝λDB ―→＋μAP ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋xμ＝2，－2λ＋2μ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2－x2＋x ，μ＝42＋x ，∴λ＋μ＝6－x 2＋x .令f (x )＝6－x2＋x(0≤x ≤2)， ∵f (x )在[0,2]上单调递减，∴f (x )max ＝f (0)＝3，即λ＋μ的最大值为3. 答案：39．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k . 解：(1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ―→＝a ，BC ―→＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ―→，DF ―→，CD ―→.解：EF ―→＝EA ―→＋AB ―→＋BF ―→＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ―→＝DE ―→＋EF ―→＝－16b ＋⎝⎛⎭⎫13b －a ＝16b －a ， CD ―→＝CF ―→＋FD ―→＝－12b －⎝⎛⎭⎫16b －a ＝a －23b . 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (2,3)，B (3,2)，C (1,1)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)内，设OP ―→＝m AB ―→－n CA ―→(m ，n ∈R )，则2m ＋n 的最大值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．3解析：选B 由已知得AB ―→＝(1，－1)，CA ―→＝(1,2)，设OP ―→＝(x ，y )，∵OP ―→＝m AB ―→－n CA ―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －n ，y ＝－m －2n ，∴2m ＋n ＝x －y .作出平面区域如图所示，令z ＝x －y ，则y ＝x －z ，由图象可知当直线y ＝x －z 经过点B (3,2)时，截距最小，即z 最大．∴z 的最大值为3－2＝1，即2m ＋n 的最大值为1.2．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3―→＝λA 1A 2―→(λ∈R )，A 1A 4―→＝μA 1A 2―→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知点C (c,0)，D (d,0)(c ，d ∈R )调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析：选D 根据已知得(c,0)－(0,0)＝λ[(1,0)－(0,0)]，即(c,0)＝λ(1,0)，从而得c ＝λ.(d,0)－(0,0)＝μ[(1,0)－(0,0)]，即(d,0)＝μ(1,0)，得d ＝μ.根据1λ＋1μ＝2，得1c ＋1d＝2.线段AB 的方程是y ＝0，x ∈[0,1]．若C 是线段AB 的中点，则c ＝12，代入1c ＋1d ＝2得，1d ＝0，此等式不可能成立，故选项A 的说法不正确；同理选项B 的说法也不正确；若C ，D 同时在线段AB 上，则0＜c ≤1,0＜d ≤1，此时1c ≥1，1d ≥1，1c ＋1d ≥2，若等号成立，则只能c＝d ＝1，根据定义，C ，D 是两个不同的点，矛盾，故选项C 的说法也不正确；若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，即c ＞1，d ＞1，则1c ＋1d ＜2，与1c ＋1d ＝2矛盾，若c ＜0，d ＜0，则1c ＋1d 是负值，与1c ＋1d＝2矛盾，若c ＞1，d ＜0，则1c ＜1，1d ＜0，此时1c ＋1d ＜1，与1c ＋1d＝2矛盾，故选项D 的说法是正确的． 3．已知三点A (a,0)，B (0，b )，C (2,2)，其中a ＞0，b ＞0.(1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值；(2)若A ，B ，C 三点共线，试求a ＋b 的最小值．解：(1)因为四边形OACB 是平行四边形，所以OA ―→＝BC ―→，即(a,0)＝(2,2－b )，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，2－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2. 故a ＝2，b ＝2.(2)因为AB ―→＝(－a ，b )，BC ―→＝(2,2－b )，由A ，B ，C 三点共线，得AB ―→∥BC ―→，所以－a (2－b )－2b ＝0，即2(a ＋b )＝ab ，因为a ＞0，b ＞0，所以2(a ＋b )＝ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，即(a ＋b )2－8(a ＋b )≥0，解得a ＋b ≥8或a ＋b ≤0.因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ≥8，即a ＋b 的最小值是8.当且仅当a ＝b ＝4时，“＝”成立．。

【浙江专用】2020年高考数学总复习学案：第5章第2讲平面向量基本定理与坐标表示

第2讲平面向量基本定理与坐标表示最新考纲 1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知识梳理1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.4.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.()(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成x1x2＝y1y2.()(5)在△ABC 中，设AB →＝a ，BC →＝b ，则向量a 与b 的夹角为∠ABC .()解析(1)共线向量不可以作为基底.(2)同一向量在不同基底下的表示不相同.(4)若b ＝(0，0)，则x 1x 2＝y1y 2无意义.(5)向量a 与b 的夹角为∠ABC 的补角.答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2.(2017·东阳月考)已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a ＋b 等于()A.(5，7)B.(5，9)C.(3，7)D.(3，9)解析2a ＋b ＝2(2，4)＋(－1，1)＝(3，9)，故选D.答案D3.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝()A.(－7，－4)B.(7，4)C.(－1，4)D.(1，4)解析根据题意得AB →＝(3，1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选A.答案A4.(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.解析因为a ∥b ，所以由(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.答案－65.(必修4P101A3改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________.解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4，1)＝(5－x ，6－y )，＝5－x ，＝6－y ，＝1，＝5.答案(1，5)6.(2017·浙江五校联考)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC→＋CB →＝0.(1)用OA→，OB →表示OC →为________；(2)若点D 是OB 的中点，则四边形OCAD 的形状是________.解析(1)因为2AC →＋CB →＝0，所以2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，所以OC→＝2OA →－OB →.(2)如图，D 为OB 的中点，则DA →＝DO →＋OA →＝－12OB →＋OA →＝12(2OA →－OB →).故DA →＝12OC →，即DA ∥OC ，且DA ≠OC ，故四边形OCAD 为梯形.答案(1)2OA→－OB →(2)梯形考点一平面向量基本定理及其应用【例1】(1)(2014·全国Ⅰ卷)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝()A.AD→ B.12AD →C.12BC →(2)(2017·金华调研)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m的值为________.解析(1)如图所示，EB →＋FC →＝(EC →－BC →)＋(FB →＋BC →)＝EC→＋FB →＝12AC →＋12AB →＝12(AC →＋AB →)＝AD →.(2)设BP→＝kBN →，k ∈R .因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋－(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.答案(1)A(2)311规律方法(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【训练1】(1)如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.(2)(2017·南京、盐城模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________.解析(1)AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b .(2)由题意可得BE→＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋14BD →，由平面向量基本定理可得λ＝12，μ＝14，所以λ＋μ＝34.答案(1)14a ＋34b (2)34考点二平面向量的坐标运算【例2】(1)已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝()A.(－23，－12)B.(23，12)C.(7，0)D.(－7，0)(2)(2017·北京西城模拟)向量a ，b ，c 在正方形网格中，如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝()A.1B.2C.3D.4解析(1)3a －2b ＋c ＝(23＋x ，12＋y )＝0，故x ＝－23，y ＝－12，故选A.(2)以向量a ，b 的交点为坐标原点，建立如图直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，所以a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)，∵c ＝λa ＋μb ，1＝－λ＋6μ，3＝λ＋2μ，解之得λ＝－2且μ＝－12，因此，λμ＝－2－12＝4，故选D.答案(1)A (2)D规律方法(1)巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.(2)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.【训练2】(1)已知点A (－1，5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为()A.(7，4)B.(7，14)C.(5，4)D.(5，14)(2)(2015·江苏卷)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2).若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.解析(1)设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5).由AB→＝3a ＋1＝6，－5＝9，＝5，＝14.(2)由向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，得m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，则m＋n＝9，－2n＝－8，＝2，＝5，故m－n＝－3.答案(1)D(2)－3考点三平面向量共线的坐标表示【例3】(1)已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝________.(2)(必修4P101练习7改编)已知A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|＝32|BP|，则点P的坐标为________.解析(1)由a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m－2×(－2)＝0，即m＝－4.从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8).(2)设P(x，y)，由点P在线段AB的延长线上，则AP→＝32BP→，得(x－2，y－3)＝32(x－4，y＋3)，－2＝32（x－4），－3＝32（y＋3）.＝8，＝－15.所以点P的坐标为(8，－15).答案(1)(－4，－8)(2)(8，－15)规律方法(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(b≠0)，则a＝λb.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.【训练3】(1)(2017·浙江三市十二校联考)已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与AB→同方向的单位向量是()－35，－45，(2)若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________.解析(1)AB→＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝(2)AB →＝(a －1，3)，AC →＝(－3，4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)－3×(－3)＝0，即4a ＝－5，∴a ＝－54.答案(1)A(2)－54[思想方法]1.对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.(2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式.2.向量共线的作用向量共线常常用来解决交点坐标问题和三点共线问题，向量共线的充要条件用坐标可表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.[易错防范]1.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标..2.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.(必修4P118A 组2(6))下列各组向量中，可以作为基底的是()A.e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2)B.e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7)C.e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10)D.e 1＝(2，－3)，e 2解析两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.答案B2.(2016·沈阳质监)已知在▱ABCD 中，AD →＝(2，8)，AB →＝(－3，4)，则AC →＝()A.(－1，－12)B.(－1，12)C.(1，－12)D.(1，12)解析因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →＝(－1，12)，故选B.答案B3.已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析由题意得a ＋b ＝(2，2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件，故选A.答案A4.如右图，向量e1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 可用基底e 1，e 2表示为()A.e 1＋e 2B.－2e 1＋e 2C.2e 1－e 2D.2e 1＋e 2解析以e 1的起点为坐标原点，e 1所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，由题意可得e 1＝(1，0)，e 2＝(－1，1)，a ＝(－3，1)，因为a ＝x e 1＋y e 2＝x (1，0)＋y (－1，1)，＝(x －y ，y )，－y ＝－3，＝1，＝－2，＝1，故a ＝－2e 1＋e 2.答案B5.已知向量OA→＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是()A.－23B.43C.12D.13解析AB→＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)，因为A ，B ，C 三点共线，所以AB→，AC →共线，所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.答案A6.(2017·诸暨市调研)在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 等于()A.23B.43C.－3D.0解析因为CD→＝2DB →，所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋－23＝0，故选D.答案D7.在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →等于()A.(－2，7)B.(－6，21)C.(2，－7)D.(6，－21)解析AQ→＝PQ →－PA →＝(－3，2)，∵Q 是AC 的中点，∴AC→＝2AQ →＝(－6，4)，PC →＝PA →＋AC →＝(－2，7)，∵BP →＝2PC →，∴BC →＝3PC →＝(－6，21).答案B8.(2017·河南八市质检)已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝()A.12AC →＋13AB →B.12AC →＋16AB →C.16AC →＋12AB →D.16AC →＋32AB →解析如图，∵EC →＝2AE →，∴EM→＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.答案C二、填空题9.已知向量a ＝(x ，1)，b ＝(2，y )，若a ＋b ＝(1，－1)，则x ＋y ＝________.解析因为(x ，1)＋(2，y )＝(1，－1)，所以x ＋2＝1，y ＋1＝－1，解得x ＝－1，y ＝－2，所以x ＋y ＝－3.答案－310.若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________.解析AB→＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.答案1211.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________.解析因为a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，所以u ＝(1，2)＋2(x ，1)＝(2x ＋1，4)，v ＝2(1，2)－(x ，1)＝(2－x ，3).又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12.答案1212.在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________(用e 1，e 2)表示.解析如图，MN→＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e2＋23(e2－e1)＝－23e1＋512e2.答案－23e1＋512e213.(2017·丽水月考)平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).(1)满足a＝m b＋n c的实数m，n分别为________；(2)若(a＋k c)∥(2b－a)，则实数k＝________；(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，则d的坐标为________.解析(1)由题意得(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)，m＋4n＝3，m＋n＝2，＝59，＝89.(2)a＋k c＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－1613.(3)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，又a＋b＝(2，4)，|d－c|＝5，（x－4）－2（y－1）＝0，x－4）2＋（y－1）2＝5，＝3，＝－1＝5，＝3.∴d的坐标为(3，－1)或(5，3).答案(1)59，89(2)－1613(3)(3，－1)或(5，3)能力提升题组(建议用时：15分钟)14.(2017·长沙调研)如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP→＝xOA→＋yOB→，且BP→＝2P A→，则()A.x＝23，y＝13B.x＝13，y＝23C.x＝14，y＝34D.x＝34，y＝14解析由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.答案A15.已知|OA→|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n的值为()A.2B.52C.3D.4解析∵OA→·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA→＝(1，0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n ).∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即m n＝3，故选C.答案C16.已知点A (－1，2)，B (2，8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________.解析设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2).由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3，6)，DA →＝(－1－x 2，2－y 2)，BA →＝(－3，－6).因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，1＋1＝1，1－2＝21－x 2＝1，－y 2＝2.1＝0，1＝42＝－2，2＝0.所以点C ，D 的坐标分别为(0，4)，(－2，0)，从而CD→＝(－2，－4).答案(－2，－4)17.(2017·金华四校联考)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上运动.若OC→＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值为________；最小值为________.解析以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，－12，设∠AOC ＝∈0C (cos α，sin α)，由OC→＝xOA →＋yOB →，α＝x －12y ，α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝又α∈0，2π3，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2；当α＝0或2π3时，x ＋y 取得最小值1.答案2118.(2016·四川卷改编)已知正△ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________.解析建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1.设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0，＝14，所以点M ＝14，它表示以为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＋12＝72，所以|BM →|2max ＝494.答案494。

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【答案】
【解析】
向量 =（sin2α，1）， =（cosα，1），
若 ∥ ，则sin2α cosα=0，
即2sinαcosα=cosα；
又，∴cosα≠0，∴sinα= ，∴ ．
故答案为：．
故答案为-3.
【总结提升】
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
所以，，解得：的值为
故答案为：
【总结提升】
利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
【变式7】（2019·四川高பைடு நூலகம்模拟（理））已知向量 =（sin2α，1）， =（cosα，1），若 ∥ ，，则 ______．
【答案】B
【解析】
由，，得
因为 ∥
所以，解得
故选：B
考点1平面向量基本定理及其应用
【典例4】（2019·山东高考模拟（文））如图，在中，，是上一点，若则实数的值为________．
【答案】
【解析】
由题意及图，，
又，所以，∴ （1﹣m），
又 t ，所以，解得m ，t ，
故答案为：．
【总结提升】
1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．
2.特别注意基底的不唯一性：
只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．
【答案】6
【解析】
由题意，向量，则，
所以向量的终点在以原点为圆心，为半径的圆上，
又由，则其终点也在此圆上，
当与反向时，为最大，最大值为6.
【易错提醒】
注意向量坐标与点的坐标的区别：
要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．
【答案】
【解析】
设，，则于是，同理，于是我们可以得到
.
即，所以Q点的轨迹是直线，即为原点到直线的距离，所以
【规律方法】
平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略
(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
知识点1．平面向量基本定理
平面向量基本定理
如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使 .其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
【典例1】【浙江省绍兴市第一中学2019届高三上学期期末】在中，点满足，当点在射线（不含点）上移动时，若，则的取值范围为__________．
(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
【变式3】（2019·陕西咸阳市实验中学高考模拟（文））已知平面向量，，若向量与向量共线，则x=（）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为点在射线（不含点）上，设，又，
所以，
所以，，故的取值范围 .
【易错提醒】
平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
则有A（0,0），B（2,0），C（2,2），E（2,1），AC＝2 ，
AD＝2 ×tan30°＝，过D作DF⊥x轴于F，∠DAF＝180°－90°－45°＝45°，
DF＝ sin45°＝，所以D（，），
＝（2,2），＝（，），＝（2,1），因为，
所以，（2,2）＝（，）+ （2,1），
【变式5】已知向量，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以 = ，故选A.
考点3平面向量共线的坐标表示
【典例6】（2019·安徽高考模拟（文））已知平面向量，若，则 ________
【答案】2
【解析】
∵ ；
∴ ；
解得，故答案为2．
【总结提升】
利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
（2）常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．
5.备考重点：
(1)理解坐标表示是基础，掌握坐标运算的方法是关键；
(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.
【变式1】（2019·江西高考模拟（理））如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由平面向量基本定理，化简
，所以，即，
故选：A．
知识点2．平面向量的坐标运算
1.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
【变式4】（2018届浙江省教育绿色评价联盟5月适应性考试）如图，在△ 中，点是线段上两个动点，且，则的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图可知x，y均为正，设，
共线，，
，
则，
，
则的最小值为，故选D.
考点2平面向量的坐标运算
【典例5】（2019·河南高考模拟（文））已知向量，向量，则的最大值是______.
(2)若，则．
3．平面向量的坐标运算
(1)若，则；
(2)若，则．
(3)设，则， .
【典例2】【浙江省2019届高考模拟卷（三)】已知直线与抛物线交于两点，点，，且，则 __________．
【答案】-3
【解析】
设，，则，，，则有，代入方程，故有，同理，有，即可视为方程的两根，则 .
2．平面向量的坐标表示
(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，因此把叫做向量的坐标，记作，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．
【变式2】（2019·吉林高考模拟（理））已知向量，其中，则的最小值为（）
A．1B．2C． D．3
【答案】A
【解析】
因为，
所以，
因为，所以，故的最小值为 .
故选A
知识点3．平面向量共线的坐标表示
向量共线的充要条件的坐标表示
若，则 ⇔ .
【典例3】【浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考】过点的直线与椭圆交于点和，且 .点满足，若为坐标原点，则的最小值为_．
【变式6】向量且，则（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意得，因为，则，即，又，故选A．
考点4平面向量共线坐标表示的应用
【典例7】（2019·江苏高考模拟）如图，在平面四边形中，，，，点为线段的中点．若 ( )，则的值为_______．
【答案】
【解析】
以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB＝BC＝2，
2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）
第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入
第02讲平面向量的基本定理及坐标表示---讲
1.理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题.
2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3．掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算.
4.高考预测：
（1）考查平面向量基本定理、坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；