17.3(1) 一元二次方程根的判别式
上海初中八年级数学上---17.3一元二次方程根的判别式(含答案)
17.3(1)一元二次方程根的判别式一．填空题：1．下列方程①；②；③；④中，无实根的方程是 。
2．方程0ab -x b -a 2-4x 2=）（的根的判别式是 。
二、选择题：3．关于x 的一元二次方程0322=-+ax x 的根的情况是 （ ）（A ） 有两个不相等的实数根（B ）有两个相等的实数根 （C ）没有实数根（D ）不能确定4．一元二次方程0322=+-x x 的根的情况是 （ ）（A ） 有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根，且两根同号（C ） 有两个不相等的实数根，且两根异号 （D 没有实数根5．关于x 的一元二次方程042=++c x ax ，若a 、c 异号，则该方程根的情况是 （ ）（A ） 有两个相等的实根 （B ） 有两个不相等的实根（C ） 没有实数根（D ）无法确定三、不解方程，判断下列方程根的情况6. 2x 2＋3x ＋1＝07.02)51(52=-+t t8．0222=++-k kx x 9. (x ＋2)(x ＋3)＝－1110. 2y 2－y ＋14＝0 11. x 2＋(2k －1)x ＋(－k －1)＝0012=+x 02=+x x 012=-+x x 02=-x x四、 解答题12.已知关于x 的一元二次方程3x 2－7x ＋k ＋2＝0的根的判别式的值等于289，求k 的值．13. 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，试判别关于x 的方程x 2＋2(a －b )x ＋c 2＝0的根的情况．五、提高题14.求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实根m 03)7(92=-++-m x m x17.3（2）一元二次方程根的判别式一、 填空题1．已知关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是 。
2．已知关于x 的方程0)3(4122=+--m x m x 有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是 。
3．若关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，则k 的值为 。
一元二次方程根的判别式
17.3一元二次方程根的判别式【知识梳理】1.一元二次方程根的判别式我们把24b ac -叫做20(ax bx c a ++=≠0)的根的判别式，用符号∆来表示。
对于一元二次方程20(ax bx c a ++=≠0)，其根的情况与判别式的关系是：当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.特别的：当240b ac ∆=-≥时，方程有两个实数根.上述判断反过来说，也是正确的。
即当方程有两个实数根时，240b ac ∆=->；当方程有两个相等的实数根时，240b ac ∆=-=；当方程没有实数根时，240b ac ∆=-<；2.一元二次方程的根的判别式的应用①不解方程判别方程根的情况，即先把方程化为一般形式，然后求出判别式24b ac ∆=-的值，最后根据∆的符号来确定根的情况；②根据一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围，即先把方程化成一般形式并求出它的判别式，然后根据根的情况列出判别式的方程或不等式，最后解这个不等式或方程，但要去掉使方程二次项系数为零的字母的值。
若问题中没有这个限制条件，就要对二次项系数（含字母）是否为零进行讨论；③证明一元二次方程根的情况,可先把原方程化为一般形式,求出根的判别式,然后用配方法或因式分解法确定判别式的符号,并由此得出结论.3.利用根的判别式解题时的几点注意：①运用“∆”时必须把方程化为一般式;②不解方程判定方程的根的情况要由“∆”的符号判定；③运用判别式解题时，方程二次项系数一定不能为零；【典型例题】例1：不解方程，判别下列方程的根的情况（1）221150x x +-=（2）232x +=（3）(1)(2)8x x --=-【思路分析：一元二次方程根的情况是由根的判别式的符号决定的，所以在判别方程的根的情况时，要先把方程化为一般式，写出方程的a b c 、、，计算出∆的值，判断∆的符号】【答案：（1）221150x x +-=2,11,5a b c ===- 2241142(5)121401610b ac ∴∆=-=-⨯⨯-=+=>即∆>0∴方程有两个不相等的实数根.（2）232x +=将方程整理为一般式：2320x -+=3,2a b c ==-=224(4320b ac ∆=-=--⨯⨯=即0∆=∴方程有两个相等的实数根.（3）(1)(2)8x x --=-将方程化为一般式：23280x x -++=1,3,10a b c ==-=224(3)4110940310b ac ∆=-=--⨯⨯=-=-<即0∆<∴方程没有实数根】【小结：运用根的判别式判断方程的根的情况时，必须把方程化为一般式，然后正确地确定各项系数，再代入判别式进行计算，得出判别式的符号】课堂练习1：如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A .k ＞14-B .k ＞14-且0k ≠C .k ＜14-D .14k ≥-且0k ≠课堂练习2：如果关于x 的方程：2320x x k -+=有实数根，那么k 的取值范围是_____.例2：求证方程2(1)310(0)m x mx m m -+++=≠必有两个不相等的实数根.【思路分析：欲证明此方程必有两个不相等的实数根，只需要证明不论m 取任何实数，都有0∆>即可】【答案：1m ≠ 10m ∴-≠∴此方程是关于x 的一元二次方程2222(3)4(1)(1)94454m m m m m m ∆=--+=-+=+ 不论m 取任何不为1的值时都有25m ≥024m ∴5+>0即2540m ∆=+>∴方程必有两个不相等的实根】【小结：证明时应先说明二次项系数不为零，也即保证方程是一元二次方程的前提下判别式的符号才有意义】课堂练习3：关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是（）A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .无实数根D .不能确定例3：当m 为何值时，关于x 的方程222(41)210x m m -++-=（1）有两个不相等的实根？（2）有两个相等的实根？（3）无实数根？【思路分析：根据一元二次方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围，是一元二次方程的根本判别式的另一类典型运用。
一元二次方程根的判别式--教学设计
17.3 (1) 一元二次方程根的判别式一、内容和内容解析本节课的内容为上教版八年级第一学期第十七章第二节中的“一元二次方程根的判别式”的第一课时,主要内容是一元二次方程根的判别式的意义,以及用根的判别式判断一元二次方程根的情况。
众所周知，一元二次方程在初中数学学习中占有非常重要的地位，它既是研究最简单的一元一次方程的继续，也是为今后继续研究高次方程、特别是高中继续学习、研究数学打下扎实的基础。
本节课是在学生已经学习了一元二次方程及其解法的基础上，对方程是否有实数根的情况继续进行探究。
学生可以通过对一元二次方程根的情况的探究，体会从特殊到一般以及分类讨论等数学思想。
一元二次方程根的判别方法是一元二次方程的重要组成部分，它对于今后学习二次函数、一元二次不等式等知识具有十分重要的意义，本节课内容在初中数学学习中起到了承上启下的重要作用。
因此我设定本节课的教学重点是理解一元二次方程根的判别式，并能用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况。
二、目标和目标解析教学目标:1. 理解一元二次方程根的判别式的意义，会用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况；2. 经历一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般及分类讨论等数学思想，提高观察、分析、归纳的能力；3. 通过参与课堂教学活动，感受探索、合作的乐趣，并从中获得成功的体验。
制定这些教学目标的主要依据是《上海市中小学数学课程标准》、学生的实际情况。
我想通过本节课的教学活动，落实一元二次方程根的判别式这一基础知识和基本方法,另外还想通过本节课的教学活动,渗透数学思想，培养学生的思维能力。
尽管这节课作为上海市的选拔课,采用指定课题、借班上课的形式，我对学生的具体情况不了解，但作为一般学生情况和教学内容的要求，我认为这些目标还是需要达到的。
三、教学问题诊断分析首先，学生不理解如何利用判别式判断一元二次方程根的情况，因此课堂中除了讲清道理外，更要突出为了判断一元二次方程是否有实数根的情况，可以利用它的判别式与零的大小进行比较，从而得到结论。
17.3(1)一元二次方程根的判别式
初中数学电子教案课前练习一1、用开平方法解下列方程：课前练习二2、求下列方程中的ac b 42 的值：感悟方程根的三种情况，猜想制约因素： 1、回顾师：我们在解一元二次方程时，首先考虑什么方法？（开平方法和因式分解法）若不行，考虑什么法？（公式法或配方法）求根公式是什么？a 、b 、c 是什么？用求根公式时要把方程化成一般式。
2、学生笔做解第1题（题目抄在黑板上），口答答案（电脑显示，说明用开平方法简单）。
提问：一元二次方程的根的情况有几种？学生口答（根的三种情况）。
3、 学生笔做第2题（题目抄在黑板上），个别学生（用配方法解的）板演。
提问：根的情况及什么有关？猜想根的情况及系数之间的关系。
新课探索一（1）在推导一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式时，我们曾得到验证方程的根及系数关系，概括（韦达）定理：1、演示电脑，结合学生板演，根据求根公式的推导，得出方程根的三种情况制约因素是ac b 42-的值的符号。
学生概括，教师板书课题和定理内容。
要重视对学生进行辨证唯物主义观点教育。
一元二次方程的系数变化，引起方程根的变化，两者变化是互相制约的；决定根的性质的是ac b 42-的值，当△由大于零变成等于零，由等于零变成小于零，方程的根由两个不相等的实数根变到两个相等的实数根又变到无实数根，这分别是从量变到质变的过程，其中△=0是方程有无实根的转折点。
教学内容教学过程教后记新课探索一（2）我们把ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax的根的判别式，通常用符号“△”（读作/´/）来表示，记作△=ac b 42-。
利用根的判别式，不必解方程，就可以判断一元二次方程是否有实数根，以及有实数根时两根是否相等。
新课探索一（3）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，当△=ac b 42->0时，方程有两个不相等的实数根；当△=ac b 42-=0时，方程有两个相等的实数根；当△=ac b 42-<0时，方程没有实数根。
17.3一元二次方程根的判别式
2.在一元二次方程 2
ax bx c 0(a 0)中 若a与c异号, 则方程
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根
b 4ac 0
2
( A)
b 4ac
2
D.根的情况无法
3.设关于x的方程, x 2mx 2m 代数式配成 40 证明:不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实 完全平方的 数根 证明 : b 2 4ac 4m 2 4 2m步骤; 4 2 4m 8m 16 1.常数项放 2 (4m 8m) 16 括号外 配成完全平方 2 4(m 2m) 16
4 m 1
2
12 0
题2
1 当 k 4 0, 即k 时，方程有实数根。 16 4 4k 16k 4 这时根是 x 2
即x1 2k 4k 1, x2 2k 4k 1
3
方程有两个相等的实数根 =0.
即 (k-2)(k-10)=0
0
4 0 例题1.设关于x的方程, x 2mx 2m代数式配成 证明:不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实 完全平方的 数根 证明 : b 2 4ac 4m 2 4 2m步骤; 4 2 4m 8m 16 1.常数项放 2 (4m 8m) 16 括号外 配成完全平方 2 4(m 2m) 16
整理得:m²- 2m
=0 ∴m = 0或2
m = 0不符合题意,舍去, ∴ m = 2,方程为2x²- 5x + 3 =0 ∴ 方程的根为x 1=
3 ,x 2= 2
1
2、如果关于x的一元二次方程
kx2-4x+2=0有两个不相等的 实数根，那么k的取值范围
17.3一元二次方程根的判别式(第二课时)
17.3一元二次方程根的判别式（第二课时）学习目标：1．熟练运用判别式判别一元二次方程根的情况．2．学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明．学习重点：运用判别式求出符合题意的字母的取值范围．学习难点：教科书上的黑体字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根”可看作一个定理，书上的“反过来也成立”，实际上是指它的逆命题也成立．对此的正确理解是本节课的难点．可以把这个逆命题作为逆定理．学前准备：一、复习回顾：1．复习：（1）一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项．（2）一元二次方程的根的判别式是什么？用它怎样判别根的情况？2．理解：“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有两个不相等的实数根，则△＞0；如果方程有两个相等的实数根，则△=0；如果方程没有实数根，则△＜0．”即根据方程的根的情况，可以决定△值的符号，‘△’的符号，可以确定待定的字母的取值范围。
二、解决问题：1、例1 已知关于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值时（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；练习1．已知关于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．t取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？练习2．已知：关于x的一元二次方程：kx2+2（k+1）x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．2、例2 求证：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0没有实数根．小结：本题结论论证的依据是“当△＜0，方程无实数根”，在论证△＜0时，先将△恒等变形，得到判断．一般情况都是配方后变形为：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……从而得到判断．练习3：证明（x-1）（x-2）=k2有两个不相等的实数根．练习4．当方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有实数根时，求a的正整数解．。
17.3(1)一元二次方程根的判别式
开平方法 1.一元二次方程的解法
因式分解法
配方法
公式法
2.利用公式法解下列方程：
(1)x2 5x 6 0 (2)x2 4x 4 0
(3)x2 2x 3 0
一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)
当 b2 4ac 0时，方程的根是x1
• 十字相乘法能把某些二次三项式ax²+bx+c(a≠0)分解因式。 • 这种方法的关健是把二次项的系数a分解成两个因数a1,a2 • 的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2， • 并使a1c2+a2c1正好是一次项系数b，那么可以直接写成结 • 果：ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式 • 时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆 • 过程。当二次项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注 • 意各项系数的符号。
例1. 不解方程，判别下列方程 的根的情况。
15x2 3x 2 0 2 25y2 4 20 y
3 2x2 3x 1 0
15x2 3x 2 0
解： （ 3）2 45（ 2） 49 ＞0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 原方程有两个不相等的实数根。
2 25y2 4 20y
解：原方程可变形为25 y2 20 y 4 0
（ 20）2 4 25 4 0 原方程有两个相等的实数根。
3 2x2 3x 1 0
解： （ 3）2 4 21 5＜0 原方程没有实数根。
练一练：
• 不解方程，判别下列方程的根的情况。
• （1）2x²－5x－4＝0; • (2）7t²－5t＋2＝0; • (3)x﹙x＋1﹚＝3; • (4)3y²＋25＝10√3y
17.3一元二次方程的根的判别式(第1课时)
2 3 2 x 3x 1 0
2 解： （ 3） 4 2 1 5＜0 原方程没有实数根。Fra bibliotek练一练
1、不解方程，判别下列方程的根的情况。
1 2 x 5 x 4 0 2 2 7t 5t 2 0 3 x( x 1) 3 2 4 3 y 25 10 3 y
当△ ＜0时，没有实数根。 反过来，有
当方程有两个不相等的实数根时， △ ＞0； 当方程有两个相等的实数根时， △ = 0； 当方程没有实数根时， △ ＜0。
例1、 不解方程，判别下列方程的根 的情况。
1 5x 3x 2 0 2 2 25 y 4 20 y 2 3 2 x 3 x 1 0
3.求判别式时，应该先将方程化为 一般形式. 4.应用判别式解决有关问题时，前 提条件为 “方程是一元二次方程”，即二次 项系数不为0.
课堂小结： 可见，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根 2 2 的情况由b -4ac来确定。我们把 b 4ac 叫做一元二次 方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根的判别式，通常用符号“△” 来表示，即△ =b2-4ac. 一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0), 当△ ＞0时，有两个不相等的实数根； 当△ = 0时，有两个相等的实数根；
b b 2 4ac , x2 2a
（2）当b2-4ac=0时
2 b 4ac 0 ，
，因此，方
程有两个相等的实数根：
b x1 x2 ; 2a
2
（3）b2-4ac＜0时，
b 4ac在实数范围内无意义。
因此方程没有实数根。
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1 x 4mx m 1 0
2 2
不解方程，判别下列方程的根 的情况：
1 4x 5x 3 0 2 2 2x 4x 3 0 2 3 2x 3 2 6x
2
(1) 关于 x 的方程
x mx x m 0
2
（其中 m 是实数）一定有实数根吗？为什么？ (2) 关于 x 的方程
mx m 3x 3 0
b b 2 4ac x 2a
当△= b2－4ac ＞ 0时，方程有两个不相等的实数根； 当△= b2－4ac = 0时，方程有两个相等的实数根； 当△= b2－4ac ＜ 0时，方程没有的实数根；
反之
当方程有两个不相等的实数根时， △＞ 0 ； 当方程有两个相等的实数根时， △= 0 ； 当方程没有的实数根时， △＜ 0 ；
2
2
（其中 m 是实数）一定有实数根吗？为什么？ 当q＜0时，关于 x 的方程 x px q 0 一定有实数根吗？为什么？
不解方程,判断下列方程的根的 情况:
1 2
4 x 2nx n 2n 5 0
2 2
ax c 0
2
3 4
m
x m 2x 2m 1 0
17.3 一元二次方程根的判别式
（1）
一元二次方程的求根是什么 b b 4ac x 2a
2
其中
b 4ac
2
叫做一元二次方程根的判别式
通常用符号 “△” 表示，记作△= b2－4ac
一般地 一元二次方程 ax
2
bx c 0 a 0 ，