【精品】高中数学 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积优秀学生寒假必做作业练习一 新人教A版必修2
高中数学第一章空间几何体1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积aa高一数学
12/13/2021
探究一
探究二
探究三
思维辨析
空间几何体的体积
例2 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体
分成两部分,其体积分别为V1,V2,且V2>V1.
(1)求V1,V2以及V1∶V2;
(2)求A到平面A1BD的距离d.
思路分析:(1)首先明确截面将正方体分成的两个几何体的结构特
周长.(
)
答案:(1)√ (2)×
12/13/2021
一
二
三
二、圆柱、圆锥、圆台的表面积
1.如何根据圆柱的展开图,求圆柱的表面积?
提示:圆柱的侧面展开图是矩形,长是圆柱底面圆周长,宽是圆柱
的高(母线).设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则S圆柱侧=2πrl,S圆柱表
=2πr(r+l),其中r为圆柱底面半径,l为母线长.
提示:如图.
V=Sh
12/13/2021
1
V= (S'+ '+S)h
3
1
V= Sh
3
一
二
三
5.做一做:(1)如图,某几何体下面部分为正方体ABCD-A'B'C'D',上
面部分为正四棱锥S-ABCD,若几何体高为5,棱AB=2,则该几何体的
体积为
.
1
解析:V 正方体=23=8,VS-ABCD= ×22×(5-2)=4.
何体分成两部分的体积之比是否会发生变化?试证明你的结论.
解:不妨设长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AD=b,AA1=c.截面将
长方体化为两个几何体,其中较小部分是一个三棱锥A1-ABD,其中
2020版人教A数学必修2：1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
的底面积 S= 1 ×4×2=4,棱锥的高 h=4,所以棱锥的体积 V= 1 ×4×4= 16 .
2
3
3
故选 B.
[备用例2] 1.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和 最长母线长分别为2和3,求该几何体的体积.
解:用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱 的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积为10π.
2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图, 则此几何体的体积为( B )
(A)6 (B)9 (C)12 (D)18 解析:由三视图可知该几何体为底面是斜边为 6 的等腰直角三角形,高为 3 的 三棱锥,其体积为 1 × 1 ×6×3×3=9.
32
3.(2018·天津河西区高一期中)一个几何体的三视图如图所示,则该几何
体的体积为
.
解析:几何体上部是圆锥,下部是圆柱,所以几何体的体积为π·12×4+ 1 × 3
22π×2= 20π . 3
答案: 20π 3
4.(2018·杭州高一期中)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积
是
;表面积是
.
解析:由题意几何体是棱长为 2 的正方体,挖去一底面半径为 1,高为 1 的圆锥,
π rl+π
r2
. .
圆台
上底面面积:S上底= 下底面面积:S下底=
π r′2 . π r2 .
侧面积:S侧= π l(r+r′) .
表面积:S= π (r′2+r2+r′l+rl) .
2.柱体、锥体、台体的体积公式 柱体的体积公式 V=Sh(S 为底面面积,h 为高);
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
高中·数学
课标要求:1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台体的表面积的 求法.2.了解柱、锥、台体的表面积计算公式;能运用柱、锥、台的表面 积公式进行计算和解决有关实际问题.3.培养空间想象能力和思维能力.
都易求的形式即可. ③分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积. (2)求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台的体积的计算,一般要找出相应的底面和高,要充分利用截面、 轴截面,求出所需要的量,最后代入公式计算.
高中·数学
即时训练2-1:一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(
)
(A) (C)
1 1 64 π 所以圆锥的体积 V= Sh= ×π×42×4= .……12 分 3 3 3
高中·数学
变式探究:例 2 中将条件“侧面积是 16 2 π ”改为“若其体积为 3 π ”,求此 圆锥的侧面积是多少?
解:设圆锥的母线长为 l,底面半径为 r,高为 h,则由题意得 l= 2 r,h=r,
台体
S′,S 分别为台体的上、下底面面积 ,h 为台体的 高
高中·数学
探究2:探究1中所得圆柱的体积是多少?
答案:在第(1)种情况下, V=π ·(
2 2 24 ) ×6= , π π
在第(2)种情况下, V=π ·(
3 2 36 ) ×4= . π π
高中·数学
自我检测
1.(求体积)已知圆锥的母线长为5,底面周长为6π ,则它的体积为( (A)36π (C)24π (B)30π (D)12π D )
高中·数学
【备用例3】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F是BD上的动点,P是AD1上的
高一数学柱体椎体台体的体积和表面积
15 cm
999(cm2 )
2 cm 答：花盆的表面积约是999 ．
例3
易拉罐的 底面直径 为8cm,高 25cm.
蜜蜂爬行的最短路线问题.
a
A
B D C
3 a 因为SB=a， SD SB sin 60 2
交BC于点D．
S ABC 所以：
1 1 3 3 2 BC SD a a a 2 2 2 4
因此，四面体S-ABC 的表面积
．
圆柱的表面积
r O
l
O
2r
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 2r 2rl 2r (r l )
棱柱的展开图
正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它 的表面积？
a
h
正棱柱的侧面展开图
棱锥的展开图
正五棱锥的侧面展开图是什么？如何计算 它的表面积？
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
h'
棱锥的展开图
正四棱台的侧面展开图是什么？如何计算 它的表面积？
侧面展开
h'
h'
正棱台的侧面展开图
棱柱、棱锥、棱台的表面积
2
圆锥2
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 r rl r(r l )
圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的 侧面展开图是什么 ．
r 'O’
l
2r '
2r
r
O
2 2
圆台的侧面展开图是扇环
高中数学1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
(4)求台体的体积转化为求锥体的体积.根据台体的定义进行“补形”, 还原为锥体,采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积.
【题型探究】 类型一 柱体、锥体、台体的表面积 【典例】1.(2015·陕西高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几 何体的表面积为 ( )
2
四个侧面的面积和为(2+8+5×2)×10=200.
所以四棱柱的表面积为S=40+200=240.
【方法技巧】空间几何体的表面积的求法技巧 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理. (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展 为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
2.旋转体的侧面积与表面积的求解 (1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时,可直接使用公式.但像 圆台的表面积公式比较复杂,不要求记忆,因此,表面积的求解方法是 最重要的. (2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时,应根据条件计算旋转体的母 线长和底面圆的半径长. (3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路,主要 通过空间观念等有关知识,将立体几何问题转化为平面几何问题.
Байду номын сангаас
积S1=πr2=π,侧面积S2=2×2+12 ·2πr·2=2π+4,所以此几何体的
表面积S=S1+S2=π+2π+4=3π+4.
2.选D.由已知得l=2r,
S侧 S底
＝
rl r 2
＝
l r
＝2.
3.选D.几何体为直四棱柱,其高为10,底面是上底为2,下底为8,高为4的
21-22版：1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积(创新设计)
中心，则该圆柱的体积为________. 解析 由题意知圆柱的高恰为四棱锥的高的一半，圆柱的底面直径恰为四棱
锥的底面正方形对角线的一半.因为四棱锥的底面正方形的边长为 2，所以底
面正方形对角线长为 2，所以圆柱的底面半径为12.又因为四棱锥的侧棱长均为 5，所以四棱锥的高为 （ 5）2－12＝2，所以圆柱的高为 1.所以圆柱的体
∵S△A1D1E＝21EA1·A1D1＝41a2， 又三棱锥 F－A1D1E 的高为 CD＝a，
∴V 三棱锥 F－A1D1E＝13×a×14a2＝112a3，∴V 三棱锥 A1－D1EF＝112a3.
20
课前预习
课堂互动
课堂反馈
方向2 割补法求体积
【例3—2】 如图所示，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，
7
课前预习
课堂互动
课堂反馈
@《创新设计》
【预习评价】
1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为( )
A.27 cm3 B.60 cm3 C.64 cm3
D.125 cm3
解析 V长方体＝3×4×5＝60(cm3). 答案 B
8
课前预习
课堂互动
课堂反馈
@《创新设计》
25
课前预习
课堂互动
课堂反馈
@《创新设计》
A.90π
B.63π
C.42π D.36π
解 析 (1) 如 图 所 示 的 正 方 体 ABCDA1B1C1D1 的 棱 长 为 4 ， 去 掉 四 棱 柱 MQD1A1NPC1B1(其底面是一个上底为 2，下底为 4，高为 2 的直角梯形)所得的几 何体为题中三视图对应的几何体，故所求几何体的体积为 43－12×(2＋4)×2×4
高中数学：1.3.1《柱体、椎体、台体的表面积和体积》课件(新人
高中数学：1.3.1《柱体、椎体、台体的表面积和体积》课
件（新人
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积和体积
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开
图与其表面积的关系吗？
几何体表面积
提出问题
正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面
积的和．
因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体
图形的表面积．
引入新课
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？探究棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱柱的展开图
正棱柱的侧面展开图
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱锥的展开图
侧面展开。
1.3.1 柱体、锥体、台体 的表面积和体积
SD
1 2
a
3a 2
3 a2 4
因此，四面体S-ABC 的表面积
．
4.圆柱的表面积
r O
l 2r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 2r 2 2rl 2r(r l)
5.圆锥的表面积
2r l
rO
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 r2 rl r(r l)
6.圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧 面展开图是什么 ．
连接B’C,然后
A’
C’ 把这个三棱柱
3
分割成三个三
B’
棱锥。
2
就是三棱锥1
１
和另两个三棱
A
C 锥2、3。
B
如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
V三棱锥＝
1 3
Sh
A’ A’ A’ A’ A’AA’’ A’ A’ A’ A’ A’
C’ C’ C’ C’ C’ C’
3
１
A A A AAA
2 BB’’ B’ B’ B’ B’ B’ 就是三棱锥1 和另两个三棱
h
S底
V柱 S底h
2.锥体的体积
等底等高锥体的体积相等
h
1 V锥 3 S底h
如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
3
A’
C’ 把三棱锥以 △ABC为底面、
B’
AA1为侧棱补成 一个三棱柱。
A
C
B
如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
V三棱锥＝
1 3
Sh
如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．3．1柱体、锥体、台体的表面积与体积 练习一
一、 选择题
1、将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（ ）
A 、 6 a 2
B 、 12 a 2
C 、 18 a 2
D 、 24 a 2
2、侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a ，则该三棱锥的全面积是（ ）
A 、 4
33+a 2 B 、 43a 2 C 、
233+a 2 D 、 4
36+a 2 3、棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面积为50，则截面与底面之间的距离
为( )
A 、 25
B 、 11
C 、 10
D 、 5
4、已知一个直平行六面体的底面是面积等于Q 的菱形，两个对角面面积分别是M 和N ，则这个平行六面体的体积是（ ）
A 、 12、
C 、、
12 5、正四棱锥的底面面积为Q ，侧面积为S ，则它的体积为（ ）
A 、 13、 12
C 、 12、 16
6、正棱锥的高和底面边长都缩小原来的12
，则它的体积是原来的（ ）
A 、 14
B 、 18
C 、 116
D 、 132
7、直三棱柱ABC ——A 1B 1C 1的体积为V ，已知点P 、Q 分别为AA 1、CC 1上的点，而且满足
AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是（ ）
A 、 12V
B 、 13
V C 、 14V D 、 23
V 二、填空题
8、已知正六棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是2，则这个棱台的侧面积是_____ 。
9、底面边长分别为a,b 的一个直平行六面体的侧面积是(a+b)c ，则它的高为---------------------。
10、正六棱柱的高为5cm ，最长的对角线
为13cm ，它的全面积为-----------------。
11、三棱锥的五条棱长都是5，另一条棱长是6，则它的体积是-------------。
三、解答题
12、右图中的图形是一个正方体，H 、F 、G 分别是棱AB 、AD 、AA 1
的中点。
现在沿三角形GFH 所在平面锯掉一个角，问锯掉的
这块的体积是原正方体体积的几分之几？
13、直平行六面体的底面是菱形,两个对角面面积分别为21,Q Q ,求直平行六面体的侧面积
14、如图，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内
放一个半径为r 的铁球，并向容器内注水，使水面恰在此时好
与铁球相切，将球取出后，容器内的水深是多少？
15、如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，，且
PD是四棱锥的高。
（1）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径。
（2）求四棱锥外接球的半径。
答案：
一、选择题
1、B；
2、A；
3、B；
4、D；
5、D；
6、B；
7、B
二、填空题
8、
c
9、
2
10、()2
+
36cm
5
3
3
11
三、解答题
12、解：设正方体的棱长为a ，则正方体的体积为a 3，锯掉的这个角是以三角形AGF 为底
面、H 为顶点的一个三棱锥。
其体积为V=13S ∆AFG ·AH= 13·12·12a ·12a ·12a =148
a 3， ∴所锯掉的这个角的体积是原正方体体积的148。
13、解：设底面边长为a,侧棱长为l,两条面对角线的长分别为c,d,则
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==)3.........()21()2
1()2.(..........)1.(..........22221a d c Q dl Q cl 由(1)得 l Q c 1=,由(2)得l
Q d 2= 代入(3)得 22221)2()2(a l
Q l Q =+ ∴2222124Q Q l a +=
22212Q Q la += 2
22124Q Q al S +==侧 思维启示：(1)此题需要大胆假设,为列方程方便,可以将对角线设出,但设而不解。
(2)需大胆消元,整体代入,三个方程四个未知数,不能将其一一解出,这里需要将a 与l 的乘积看做一个整体进行计算。
14、解：如图，由题意，轴截面PAB 为正三角形，故当球在容器内时，水深为3r ，水面
，容器内水的体积就是V=V 棱锥
-V 球=13π
）2·3r-43
πr 3=53πr 3 将球取出后，设容器中水的深度为h ，
则水面半径为
3h ，此时容器内水的体积为V /=13π
（
3h ）2·h=19πh 3 由V=V /，得
15、证明：（1）设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连结
SA 、SB 、SC 、SD 、SP ，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R 。
V P ——ABCD =13·S ABCD ·PD=13
·a ·a ·a =13a 3，S ∆PAD = S ∆PDC =12·a ·a=12
a 2，
S ∆PAB = S ∆PBC =
12·a 2 S ABCD =a 2。
V P —ABCD = V S —PDA + V S ——PDC + V S-ABCD + V S —PAB + V S —PBC ，
13a 3=13
R （S ∆PAD + S ∆PDC + S ∆PAB + S ∆PBC + S ABCD ），
13a 3=13R （12a 2+12a 2+2a 2+
2
a 2+a 2）， 1
3R （a 2=13
a 3，
∴
（ a
∴球的最大半径为（1-2
）a （2）设PB 的中点为F ，
∵ 在R t ∆PDB 中，FP=FB=FD ，
在R t ∆PAB 中，FA=FP=FB ，
在R t ∆PBC 中，FP=FB=FC ，
∴FP=FB=FA=FC=FD 。
∴F 为四棱锥外接球的球心。
则FP 为外接球的半径
∵FB=12PB ，∴FB=2
a 。