共线向量的坐标表示
第八讲 向量坐标表示共线
第八讲 用平面向量坐标表示向量共线条件[学习目标]1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法． [知识链接]1．平行向量基本定理的内容是什么？答 如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb .2．如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们是同向还是反向吗？ 答 当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3，6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等． [预习导引]1．两向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)． (1)当a ∥b 时，有x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)当a ∥b 且x 2y 2≠0时，有x 1x 2＝y 1y 2.即两向量的相应坐标成比例． 2．若P 1P →＝λPP 2→，则P 与P 1、P 2三点共线．当λ∈(0，＋∞)时，P 位于线段P 1P 2的内部，特别地λ＝1时，P 为线段P 1P 2的中点；当λ∈(－∞，－1)时，P 位于线段P 1P 2的延长线上； 当λ∈(－1,0)时，P 位于线段P 1P 2的反向延长线上. 典型例题要点一 向量共线的判定例1 已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断AB →与CD →是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解 AB →＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)． CD →＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．方法一 ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4<0， ∴AB →与CD →共线且方向相反．方法二 ∵CD →＝－2AB →，∴AB →与CD →共线且方向相反．规律方法 此类题目应充分利用平行向量基本定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配． 跟踪演练1 已知A 、B 、C 三点坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →. 证明 设点E 、F 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．依题意有，AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)．∵AE →＝13AC →，∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)，∴点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23.同理点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0. ∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又83×(－1)－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0，∴EF →∥AB →. 要点二 利用向量共线求参数例2 已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 方法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． 当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一的实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )，即(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)，∴⎩⎨⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13(a －3b )＝－13a ＋b .∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．方法二 由方法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)． ∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0， 解得k ＝－13.此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．规律方法 由向量共线求参数的值的方法跟踪演练2 设向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？解 方法一 若A ，B ，C 三点共线，则AB →，AC →共线， 则存在实数λ，使得AB →＝λAC →. ∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， ∴(4－k ，－7)＝λ(10－k ，k －12)，∴⎩⎨⎧4－k ＝λ10－k－7＝λk －12解得k ＝－2，或k ＝11.方法二 若A ，B ，C 三点共线，则AB →，AC →共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， ∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0， ∴k 2－9k －22＝0，解得k ＝－2，或k ＝11. 要点三 向量共线的综合应用例3 如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 和OB 交点P 的坐标． 解 方法一 设OP →＝tOB →＝t (4,4)＝(4t,4t )， 则AP →＝OP →－OA →＝(4t,4t )－(4,0)＝(4t －4,4t )， AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP →，AC →共线的条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0， 解得t ＝34.∴OP →＝(4t,4t )＝(3,3)．∴P 点坐标为(3,3)．方法二 设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，OB →＝(4,4)． ∵OP →，OB →共线，∴4x －4y ＝0.① 又CP →＝(x －2，y －6)，CA →＝(2，－6)， 且向量CP →、CA →共线， ∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3，∴点P 的坐标为(3,3)．规律方法 求解直线或线段的交点问题，常规方法为写出直线或线段对应的直线方程，建立方程组求解，而利用向量方法借助共线向量的充要条件可减少运算量，且思路简单明快． 跟踪演练3如图，在▱OABP 中，过点P 的直线与线段OA 、OB 分别相交于点M 、N ，若OM →＝xOA →，ON →＝yOB→(0＜x ＜1)． (1)求y ＝f (x )的解析式； (2)令F (x )＝1f x＋x ，判断F (x )的单调性，并给出你的证明． 解 (1)OP →＝AB →＝OB →－OA →， 则NM →＝OM →－ON →＝xOA →－yOB →， MP →＝OP →－OM →＝(OB →－OA →)－xOA → ＝－(1＋x )OA →＋OB →，又NM →∥MP →，有x －y (1＋x )＝0， 即f (x )＝x x ＋1(0＜x ＜1)．(2)由(1)得F (x )＝x ＋1x ＋x ＝x ＋1x＋1(0＜x ＜1)， 设0＜x 1＜x 2＜1，则F (x 1)－F (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＋1＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－1x 1x 2，由0＜x 1＜x 2＜1，得x 1－x 2＜0，x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0，得F(x1)－F(x2)＞0，即F(x1)＞F(x2)．∴F(x)在(0,1)上为减函数.1．下列各组的两个向量共线的是( ) A．a1＝(－2,3)，b1＝(4,6)B．a2＝(1，－2)，b2＝(7,14)C．a3＝(2,3)，b3＝(3,2)D．a4＝(－3,2)，b4＝(6，－4)答案 D解析∵－36＝2－4，∴a4∥b4，故选D.2．已知a＝(－1,2)，b＝(2，y)，若a∥b，则y的值是( )A．1 B．－1 C．4 D．－4答案 D解析∵a∥b，∴(－1)×y－2×2＝0，∴y＝－4.3．若点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)三点共线，则使AB→＝λBC→成立的实数λ的值为( )A．－2 B．0 C．1 D．2答案 D解析AB→＝(2,4)，BC→＝(x－1,2)，∵A，B，C三点共线，∴AB→与BC→共线，∴2×2－4(x－1)＝0，∴x＝2，∴BC→＝(1,2)．∴AB→＝2BC→，∴λ＝2.故选D.4．给定两个向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若a＋2b与2a－2b共线，求λ的值．解∵a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，又a＋2b与2a－2b共线，∴2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，∴λ＝1 2 .1.两个向量共线条件的表示方法已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(1)当b≠0时，a＝λb.(2)x1y2－x2y1＝0.(3)当x2y2≠0时，x1x2＝y1y2，即两向量的相应坐标成比例．2．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．。
空间向量平行的坐标公式
空间向量平行的坐标公式空间中的向量可以用一组实数表示其在坐标系中的投影，这组实数称为坐标。
当两个向量的坐标对应分量成比例时，这两个向量是平行的。
在三维空间中，我们可以使用坐标公式来判断和表示向量的平行关系。
设有两个向量a=(x1,y1,z1)和b=(x2,y2,z2)，我们想要判断这两个向量是否平行或共线。
根据向量共线的定义，我们可以得到如下的坐标公式：k1*x1=k2*x2k1*y1=k2*y2k1*z1=k2*z2其中，k1和k2是常数，当a与b平行时，k1和k2不全为0。
这个坐标公式告诉我们，两个向量平行或共线，当且仅当它们的坐标对应分量成比例。
进一步，我们可以根据这个坐标公式来求解k1和k2的值。
当k1和k2满足上述的坐标公式时，向量a和b是平行的。
为了求解k1和k2，我们可以将坐标公式转化为方程组的形式。
让我们观察一下前两个坐标公式：k1*x1=k2*x2k1*y1=k2*y2从这两个方程中，我们可以消去k1或k2，例如，我们可以通过将第一个方程乘以y1和第二个方程乘以x1来消去k1，得到：k2*(x1*y1)=k1*(x2*y1)k2*(y1*x1)=k1*(y2*x1)然后，我们可以将这两个方程相减，来消去k2k1*(x2*y1-y2*x1)=0这是一个关于k1的一元线性方程。
我们可以进一步解这个方程，来求出k1的值。
如果k1不为0，那么k2=(x2*y1-y2*x1)/k1，我们可以令k=k2/k1来表示k1与k2之间的关系。
类似地，我们可以将坐标公式中的其他方程去消k2，然后解出k2的值。
通过上述的过程，我们可以求得k1和k2的值，从而判断向量a和b 是否平行。
如果k1和k2存在且不全为0，则向量a和b平行，否则，它们不平行。
需要注意的是，这个坐标公式只适用于三维空间中的向量。
在更高维的空间中，我们可以使用类似的方法来判断向量的平行性，但需要有更多的方程。
第二章 平面向量共线的坐标表示
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规 律 归 纳 涉及本节知识点的试题基本上以共线向量的坐标运算为 主， 另外还会与解析几何知识相结合， 以综合题的形式出现．
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4 (2010· 陕西高考)已知向量 a＝(2， －1)， b＝(－1， m)， c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则 m＝________.
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三点共线问题 → → → 【例 2】 向量PA＝(k,12)，PB＝(4,5)，PC＝(10，k)， 当 k 为何值时，A、B、C 三点共线？
→ → 思路分析：A、B、C 三点要共线，则必有BA∥CA.
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→ → → 解：BA＝PA－PB＝(k,12)－(4,5)＝(k－4,7)． → → → CA＝PA－PC＝(k,12)－(10，k)＝(k－10,12－k)． → → ∵A、B、C 三点共线，∴BA∥CA， 即(k－4)(12－k)－7(k－10)＝0， 整理得 k2－9k－22＝0，解得 k＝－2 或 11， ∴当 k＝－2 或 11 时，A、B、C 三点共线．
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自测自评
1．已知向量 a＝(2,4)，b＝(－3，－6)，则 a 和 b( A．共线且方向相同 C．是相反向量 B．共线且方向相反 D．不共线 )
2 2 解析：a＝－ b 且－ <0，∴a 和 b 共线且方向相反． 3 3
答案：B
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→ → → 2 已知向量OA＝(k,12)、OB＝(4,5)、OC＝ (－k,10)，且 A、B、C 三点共线，则 k＝________.
平面向量共线的坐标表示解析
由平面几何知A识G得 2：AD
B
3
2(x1 x3 2x1 , y1 y3 2y1)
3
2
2
OGOA AG
D
A
G
(x1,
y1)
(
x2
x3 3
2x1
,
y2
y3 3
2y1
)
C
(x2 x3 x1 , y2 y3 y1 )
O
X
3
3
G (x1x2x3,y1y2y3)
3
3
rr a 2b
1.已知a (2,4),b (1,2),则a与b的关系是（.D...）.
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
解：（2）
法二：设Px, y
y P2
x P1 Px1,y 12 Py P1 2,1 2x2x,y2y
P1
P
有
x y
x1 y1
1 2 1 2
x2 y2
x y
O
解P 有 点坐 2x1标 x2,2y1y2
A.30...............B.60............C.45..............D.75
4.设向量a32、b不13平行s，in求证co：s向量a b和向量a b不平行。
4.向量a，b不平行，求证：向量 a – b 与a + b不平行。
证明：设向量 a – b 与a + b平行。
rr rr
设 ab r( ab )r r
( 1 ) a ( 1 ) b 0
1 1
0 0
显然，上述方程没有实数解。
∴ 向量 a – b 与a + b平行。
2.3.4平面向量共线的坐标表示
新授课:平面向量共线的坐标表示
探究 问题: 如果向量 a b 共线（其中 b≠ 0 ， ）， 那么a， 满足什么关系？ b
r r a = λb
思考: 设 a=(x1，y1), b =(x2，y2)，若向量 0， b 共线（其中a ≠b），则这两个向量的坐标应满 足什么关系？
a // b(b ≠ 0) ⇔ x1 y2 − x2 y1 = 0
2.3.4平面向量共线的 2.3.4平面向量共线的 坐标表示
1、平面向量基本定理
r 量, 那么对这一平面内的任一向量 a , 有且只 r r r 有一对实数 λ1 , λ2 ，使 a = λ1e1 + λ2 e2
2.根据平面向量基本定理实现了向量由“几何” 到“代数”的过渡，建立了向量的坐标表达式， 这样，平面向量的线性运算就能通过坐标来 实现。
例2 设点P是线段P1 P2 上的一点, P1 , P2 的坐 标分别是 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 ) . (1)当点P是线段 P1 P2 的中点时,求点P的坐标. (2)当点P是线段 P1 P2 的一个三等分点时,求 点P的坐标. y P2 结论:中点坐标公式:
x1 + x 2 x= 2 y1 + y2 y= 2
x1 y2 − x 2 y1 = 0 (2) a ∥ b (b ≠ 0) 二.中点坐标公式: 三.线段定比分点坐标公式:
x1 + x 2 x= 2 P1 ( x1 , y1 ) x1 + λx 2 x= 1+ λ y1 + λy2 y= 1+ λ
y1 + y2 y= 2
P2 ( x 2 , y2 )
r r 如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向
(完整版)向量共线的坐标表示
《平面向量共线的坐标表示》教案教学目标(1)知识目标：理解平面向量共线的坐标表示，会根据向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；(2)能力目标：通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力；(3)情感目标：在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识.教学重点和难点(1)重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解；(2)难点：定比分点的理解和应用。
教学过程一、新知导入（一）、复习回顾1、向量共线充要条件:2.平面向量的坐标运算： （1）.已知 a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2).a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2).λa =(λx 1,λy 1).（2）.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.（二）、问题引入已知下列几组向量：(1)a ＝(0,2)，b ＝(0,4)；(2)a ＝(2,3)，b ＝(4,6)；(3)a ＝(－1,4)，b ＝(2，－8)；(4)a ＝⎝⎛⎭⎫12，1，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，－1. 问题1：上面几组向量中，a 与b 有什么关系？问题2：以上几组向量中a ，b 共线吗？),,(),,(2211y x B y x A 若),(1212y y x x AB --=则.,)0(//a b a a b λλ=⇔≠使存在唯一实数二、新知探究思考: 两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个共线向量？设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a 。
由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时能不能两式相除？（不能 ∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0）（2）能不能写成2211x y x y = ？ （不能。
平面向量共线的坐标表示
解：∵a＝(1,0)，b＝(2,1)， ∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)， a＋3b＝(1,0)＋3(2,1)＝(7,3)． 由两向量平行得 3(k－2)－7×(－1)＝0. 1 ∴k＝－3.
7 此时，ka－b＝－ ，－1 3
1 1 ＝－3(7,3)＝－3(a＋3b)． ∴它们是反向的．
• 2．3.4 平面向量共线的坐标表示
• 1．通过实例了解如何用坐标表示两个共线向量，以及两直 线平行和两向量共线的判定的区别．(易混点) • 2．理解用坐标表示的平面向量共线的条件 ，并能会应 用．(重点) • 3．会根据平面向量的坐标判断向量是否共线．(难点)
• 两向量平行的条件
•
如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们 同向还是反向吗？ • 提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当 两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向． • 例如：向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向； • 向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等．
→ → → 【典例】 已知向量AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2， → → －3)，当BC∥DA时，求实数 x，y 应满足的关系．
→ → → → → 【错误解答】DA＝－AD＝－(AB＋BC＋CD) ＝－[(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)]＝(－x－4，－y＋2)． → → → BC＝(x，y)，当BC∥DA时，x(－x－4)－y(－y＋2)＝0 即 x2－y2＋4x＋2y＝0.
→ BC＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)． → → 而AB、BC共线，∴1×m－1×(－2)＝0. ∴m＝－2，∴当 m＝－2 时， A、B、C 三点共线．
数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示
数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示向量共线的充要条件：
向量与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得。
向量共线的几何表示：
设，其中，当且仅当时，向量共线。
向量共线（平行）基本定理的理解：
(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知,学习规律，a与b共线．
(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.
(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.
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例 6 . 如 图 ， 已 知 A ( 4, 0 ), B ( 4, 4 ), C ( 2, 6 ), 求 A C , O B的 交 点 P 的 坐 标 。
y C B P
O
x
是正方形， ∥ ， 例7、已知 、已知ADCB是正方形，BE∥AC， 是正方形 AC=CE，EC的延长线交 的延长线于 ， 的延长线交BA的延长线于 ， 的延长线交 的延长线于F， 试用向量方法证明： 试用向量方法证明：AF=AE.
已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断 试判断A,B,C三 例2.已知 已知 试判断 三 点之间的位置关系. 点之间的位置关系
uuu r r uuu r r r r 例 3.如 果 已 知 向 量 AB = i - 2 j , BC = i + m j， rr 其 中i，分 别 为 x 轴 和 y 轴 正 方 向 上 的 单 位 向 量 ， j 试 确 定 实 数 m的 值 ， 使 A, B,C 三 点 共 线 。
r r a与 共 当 仅 x1y2 -x2y1=0 b 线 且 当
两个向量平行的两种表示形式： r r r r (1)a // b ⇔ a = λ b r r r r (2)a // b, a = ( x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 ) ⇔ x1 y2 − x2 y1 = 0
r r r r 例 1 已 知 a = ( 4, 2 ) , b = ( 6, y ) , 且 a // b , 求 y .
例5.设点 P是线段 P1 P2 上的一点， P1 P2的坐标是 （x1 ,y1）,(x 2 ,y 2 ). （1）当点P是线段P1 P 2的中点时，求点P的坐标. （2）当点P是线段P1 P2的一个三等分点时， 求点P的坐标.
练习：（1）已知点（3，-4），B（-9，2）, A uu r 1 uu r 在直线AB上，求一点P，使得 AP ＝ AB . 3 （2）已知点A（2，3），B（5，4），C(7,10), uu uu r r uu r 若AP＝AB + λ AC, 试问 λ为何值时，P在第一与第 三象限的角平分线上？
r r (3)已知a =（x,y），则|a|= x 2 + y 2 . x,y）
r uuu uuu r 已知 AB = ( x2 − x1 , y2 − y1 ), 则|AB |= ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 .
问题：共线向量如何用坐标来表示呢？ 问题：共线向量如何用坐标来表示呢？
2008.12.10
复习: 复习:平面向量的坐标运算
r r (1)已 (1)已知a = ( x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 ), 则 r r a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 ); r r a − b = ( x1 − x2 , y1 − y2 ); r λ a = (λ x1 , λ y1 ). uuu r (2)已 (2)已知A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 AB = ( x2 − x1 , y2 − y1 ).
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b是非 ),其中 其中b 零向量,那么可以知道，a//b的充要 零向量,那么可以知道，a//b的充要 条件是存在一实数λ 条件是存在一实数λ，使 a= λb 这个结论如果用坐标表示， 这个结论如果用坐标表示，可写为 （x1，y1）= λ(x2，y2) x1= λx2 即 消去λ 消去λ 后，得x1y2-x2y1=0 y1= λy2
E D y C
F的重心G的直线与边OA、OB uuu r uuu uuur r uuu r 分别交于P、Q, 设OP = hOA, OQ = kOB, 1 1 试证： + = 3. h k
O
Q P A D G B
r r r r uu r 例 4.设 a = ( − 6, 8)， 求 a的 模 |a | 和a的 单 位 向 量 a 0 .
r r 结 论 设 a = ( x , y ), 则 a的 单 位 向 量 r uu r a x y a0 = r = ( , ). 2 2 2 2 |a | x + y x + y