28.2.1解直角三角形.ppt.Convertor
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《解直角三角形》数学教学PPT课件(3篇)
b
获取新知
B
对边 a C
c 斜边
b 邻边 A
定义：一般地，直角三角形中，除直角外 还有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三 角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程 叫做解直角三角形.
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
B
①三边之间的关系
a
c
a2 b2 c2
C
A
b
已知任意两边可求出第
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= 2 .
在△ABD中，∠B=30°， ∴BD= AD 2 6
tan B 3
∴BC=CD+BD=3 2 + 6
A
D B
归纳总结
C
┐
AD
BB
A D
CE
┐
提 求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适 示
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,
BC
AB cosB
2 1
4，AC
AB
tanB
2
3.
2
△ABC的周长为2+ 2 3 +4=6+ 2 3 .
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 12 ，△ABC 5
的周长为45cm，CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精 确到0.1 cm）
例5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)
获取新知
B
对边 a C
c 斜边
b 邻边 A
定义：一般地，直角三角形中，除直角外 还有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三 角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程 叫做解直角三角形.
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
B
①三边之间的关系
a
c
a2 b2 c2
C
A
b
已知任意两边可求出第
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= 2 .
在△ABD中，∠B=30°， ∴BD= AD 2 6
tan B 3
∴BC=CD+BD=3 2 + 6
A
D B
归纳总结
C
┐
AD
BB
A D
CE
┐
提 求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适 示
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,
BC
AB cosB
2 1
4，AC
AB
tanB
2
3.
2
△ABC的周长为2+ 2 3 +4=6+ 2 3 .
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 12 ，△ABC 5
的周长为45cm，CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精 确到0.1 cm）
例5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)
《数学解直角三角形》课件
余弦定理
正切定理
sinA = opposite / hypotenuse cosA = adjacent / hypotenuse tanA = opposite / adjacent
计算周长和面积
周长
周长 = a + b + c（三个边长）
面积
面积 = 1/ 2 * a * b（两条腰的乘积）
通过三角函数计算边长
例题1
已知直角三角形的一条腰长为3，另一条腰长为4，求斜边的长度和锐角的大小。
应用例题2 ：求角度、高和周长
例题2
已知直角三角形的斜边长为5，高为3，求角度和周长。
应用例题3：利用特殊三角形求解
例题3
已知直角三角形的一个角度为30°，斜边长为10，求腰和高的长度。
应用例题4：计算角度和边长
例题4
45度特殊三角形
边长比为1：1：√2，角度为 45°、45°。
60度特殊三角形
边长比为2：1：√3，角度为 60°、30°。
利用特殊三角形计算
计算边长
可以使用特殊三角形的边长比例来计算其他边 长。
计算高
可以使用特殊三角形的高比例来计算高的长度。
三角函数的应用
测量不可达的高度
使用三角函数可以通过测量倾斜角度和已知距离来计算高度。
腰是直角三角形中不是斜边的一条边。
斜边
斜边是直角三角形的最长边。
高
高是从直角角顶点到斜边上一点的垂直距离。
三角函数的定义
正弦
正弦是直角三角形中对于某个锐角的斜边与斜边的比值。
余弦
余弦是直角三角形中对直角三角形中对于某个锐角的腰与对边的比值。
三角函数的关系式
正弦定理
28.2.1解直角三角形课件(共16张PPT)
c b 20 34.9. sin B sin 35
A
c
b = 20
35°
B
aC
你还有其他方 法求出c吗？
【针对练】
如图，从点C测得树的顶角为33º，BC＝20米，则树高AB＝ ________米（用计算器计算，结果精确到0.1米）
【解析】由tanC AB，得
BC
AB=BC·tanC=20×tan33°=13.0 【答案】13.0
C
6
B
AB 2AC 2 2.
合作探究 达成目标
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这
个直角三角形（精确到0.1）
【解析】A 90-B 90-35 55.
tan B b a
a b 20 28.6 tan B tan 35
sin B b c
B的邻边 斜边
a c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
合作探究 达成目标
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC 2, BC 6
解这个直角三角形.
【解析】
tan A BC AC
6 2
3,
A
2
A 60.
B 90 A 30.
总结梳理 内化目标
1.解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关 联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时， 要通过作辅助线构造直角三角形（作某边上的高 是常用的辅助线）．
2.一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系 ，所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三 角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合 理运用.
A
c
b = 20
35°
B
aC
你还有其他方 法求出c吗？
【针对练】
如图，从点C测得树的顶角为33º，BC＝20米，则树高AB＝ ________米（用计算器计算，结果精确到0.1米）
【解析】由tanC AB，得
BC
AB=BC·tanC=20×tan33°=13.0 【答案】13.0
C
6
B
AB 2AC 2 2.
合作探究 达成目标
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这
个直角三角形（精确到0.1）
【解析】A 90-B 90-35 55.
tan B b a
a b 20 28.6 tan B tan 35
sin B b c
B的邻边 斜边
a c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
合作探究 达成目标
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC 2, BC 6
解这个直角三角形.
【解析】
tan A BC AC
6 2
3,
A
2
A 60.
B 90 A 30.
总结梳理 内化目标
1.解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关 联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时， 要通过作辅助线构造直角三角形（作某边上的高 是常用的辅助线）．
2.一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系 ，所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三 角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合 理运用.
解直角三角形ppt课件
经济学中的复利计算
在经济学中，经常需要进行复利计算。虽然复利计算本身与解直角三角形没有直接关系， 但是可以通过构造类似直角三角形的数学模型并求解，得到复利计算的精确结果。
06
解直角三角形的拓展与延伸
斜三角形的解法探讨
斜三角形的定义与性质
斜三角形是指一个三角形中不包含直角的情况。其性质包 括三角形的内角和为180度，以及三边关系等。
工程问题中的解直角三角形
土木工程中的坡度计算
在土木工程中，经常需要计算坡度，即斜坡的倾斜程度。 通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的坡度值。
机械工程中的力学分析
在机械工程中，经常需要对物体进行力学分析。通过构造 直角三角形并利用三角函数求解，可以得到物体受到的力 的大小和方向。
电气工程中的相位差计算
在电气工程中，经常需要计算两个交流信号之间的相位差 。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的相位差值 。
其他实际问题中的解直角三角形
航海问题中的航向和航程计算
在航海问题中，经常需要计算航向和航程。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的 航向和航程值。
物理学中的矢量合成与分解
在物理学中，经常需要对矢量进行合成与分解。通过构造直角三角形并利用三角函数求解 ，可以得到合成或分解后的矢量的大小和方向。
在直角三角形中，已知任意两边长，可以利用勾股定理求出 第三边长。
已知角度和一边求另一边
在直角三角形中，已知一个锐角和一条边长，可以利用三角 函数和勾股定理求出另一条边长。
勾股定理在实际问题中的应用
测量问题
在测量问题中，可以利用 勾股定理解决距离、高度 等测量问题。
工程问题
在工程问题中，可以利用 勾股定理解决角度、长度 等计算问题。
在经济学中，经常需要进行复利计算。虽然复利计算本身与解直角三角形没有直接关系， 但是可以通过构造类似直角三角形的数学模型并求解，得到复利计算的精确结果。
06
解直角三角形的拓展与延伸
斜三角形的解法探讨
斜三角形的定义与性质
斜三角形是指一个三角形中不包含直角的情况。其性质包 括三角形的内角和为180度，以及三边关系等。
工程问题中的解直角三角形
土木工程中的坡度计算
在土木工程中，经常需要计算坡度，即斜坡的倾斜程度。 通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的坡度值。
机械工程中的力学分析
在机械工程中，经常需要对物体进行力学分析。通过构造 直角三角形并利用三角函数求解，可以得到物体受到的力 的大小和方向。
电气工程中的相位差计算
在电气工程中，经常需要计算两个交流信号之间的相位差 。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的相位差值 。
其他实际问题中的解直角三角形
航海问题中的航向和航程计算
在航海问题中，经常需要计算航向和航程。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的 航向和航程值。
物理学中的矢量合成与分解
在物理学中，经常需要对矢量进行合成与分解。通过构造直角三角形并利用三角函数求解 ，可以得到合成或分解后的矢量的大小和方向。
在直角三角形中，已知任意两边长，可以利用勾股定理求出 第三边长。
已知角度和一边求另一边
在直角三角形中，已知一个锐角和一条边长，可以利用三角 函数和勾股定理求出另一条边长。
勾股定理在实际问题中的应用
测量问题
在测量问题中，可以利用 勾股定理解决距离、高度 等测量问题。
工程问题
在工程问题中，可以利用 勾股定理解决角度、长度 等计算问题。
《解直角三角形》-完整版PPT课件
整理，得4t2-26t+39=0
解之，得
t1
13413,t2
13 13 4
∴台风抵达D港的时间为 1 3 1 3 小时.
B
∵轮船从A处用 1 3
≈25.5.
4
13
4
小时到达D港的速度为60÷
1
3413∴为台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6里/时.
例7 如图，公路MN和公路N上沿PN方向行驶时，学校是否会受 到噪声影响？请说明理由（2）如果受影响，已知拖拉机的速 度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
（1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与 其 他特殊图形的组合；
（2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现
例1 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行
计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，
那么BC= ，
3
∴tan30°= AC 1 3 BC 3 3
A
D
C
B
祝同学们学习进步！ 再见！
∴C1D0=201208（02米）
学校受噪声影响的时间t=120米÷18千米/时= 时=1 24秒
150
小结：
1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模 型转化为数学问题 2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其 是对于一些非直角三角形图形，必须添加 适当的辅助线，才能转化为直角三角形的 问题来解决
C FG
∵ sinB= ，AG AB
D E
AG=AB•sinB=415•sin37°=415 06=
A
37 °B
249 25cm，
即EF 25cm
答：球的直径约为25cm
人教版初中数学九年级下册 28.2 解直角三角形课件1 【经典初中数学课件】
∠BCA=900, ∠CAB=300
∴BC=AB·sin∠CAB
=14·sin300=14×1/2=7
∴ ∠1=600
∠2=300
北
600
A
M C
1 2 150
B
东
在Rt⊿BCM中，BC=7 ∠CBM=∠2+150=450, ∴∠M=900- ∠CBM=450 ∴ CM=BC=7
B M C2 M B 2 C 7 2 7 2 72
Bα
Dβ
C
A
（三）练一练
如图所示，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东
60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半
小时至B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯
塔M与渔船的距离是 (
)
A7. 2海里 B. 1海4 里2 C.7海里 D.14海里
解：作BC⊥AM，垂足为C.
在Rt⊿ABC中,AB=28×1/2=14
答：船与灯塔的距离为：7 2 海里
（四）挑战自我
【 例 3】某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后 必须立即卸货.此时，接到气象部门通知，一台风中心正 以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风 中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响. (1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由. (2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货 物?(供选用数据：
回顾与思考
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= a,AC=b,AB=c,
则 sinA＝
，sinB=
，cosA=
，
cosB=
， tanA=
， tanB=
2822解直角三角形应用举例资料精品PPT课件
i h tan
l
ih l
h α 水库
l
显然，坡度越大，坡角 就越大，坡面就越陡.
21
例4. 一段河坝的横断面为等腰梯形ABCD,试根
据下图中的数据求出坡角α和坝底宽AD.(单位是 米,结果保留根号)
B
C
4
i 1: 3
6 α
A
E
F
D
22
练习
1.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中 i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的 比），根据图中数据求：
视线
铅 仰角 直 线 俯角
水平线
视线
4
知识应用
例1.如图，为了测量电线杆的高度AB，在离
电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD 测得电线杆顶端B的仰角a＝22°， 求电线杆AB的高．（精确到0.1米）
α＝22°ຫໍສະໝຸດ 1.20E22.7
图 19.4.4
5
例2.热气球的探测器显示,
从热气球看一栋高楼顶部
B
的仰角为30°,看这栋高
楼底部的俯角为60°,热
α=30°
气球与高楼的水平距离为 A 120 D
120m,这栋高楼有多高?
β=60°
（结果保留小数点后一位）
C
6
如图,有两建筑物,在甲建筑物上从A到E点挂 一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测 得条幅顶端A点的仰角为45°,条幅底端E点的俯角 为30°.求甲、乙两建筑物之间的水平距离BC
17
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅 仰角 直 线 俯角
水平线
视线
l
ih l
h α 水库
l
显然，坡度越大，坡角 就越大，坡面就越陡.
21
例4. 一段河坝的横断面为等腰梯形ABCD,试根
据下图中的数据求出坡角α和坝底宽AD.(单位是 米,结果保留根号)
B
C
4
i 1: 3
6 α
A
E
F
D
22
练习
1.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中 i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的 比），根据图中数据求：
视线
铅 仰角 直 线 俯角
水平线
视线
4
知识应用
例1.如图，为了测量电线杆的高度AB，在离
电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD 测得电线杆顶端B的仰角a＝22°， 求电线杆AB的高．（精确到0.1米）
α＝22°ຫໍສະໝຸດ 1.20E22.7
图 19.4.4
5
例2.热气球的探测器显示,
从热气球看一栋高楼顶部
B
的仰角为30°,看这栋高
楼底部的俯角为60°,热
α=30°
气球与高楼的水平距离为 A 120 D
120m,这栋高楼有多高?
β=60°
（结果保留小数点后一位）
C
6
如图,有两建筑物,在甲建筑物上从A到E点挂 一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测 得条幅顶端A点的仰角为45°,条幅底端E点的俯角 为30°.求甲、乙两建筑物之间的水平距离BC
17
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅 仰角 直 线 俯角
水平线
视线
人教版九年级下册数学册第28章 28.2.1 解直角三角形
sin A BC 3 ,A 60，B 90 A 30. AB 2
例2 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B= 35°，b=20，解这个直角三角形（结果保留小 数点后一位）．
提问
需求的未知元素： 直角边a、斜边c、锐角A.
解：A=90 B=90 35 55.
∵ tanB
b a
新课导入
如图是意大利的比萨斜塔， 设塔顶中心点为B，塔身中心线与 垂直中心线的交点为A ，过B点向 垂直中心线引垂线，垂足为C，在 Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2米， AB=54.5米.
知道以上条件，你能求出∠A的度数吗？
推进新课
知识点1 解直角三角形的定义
已知：Rt△ABC中，∠C=90°， C B BC=5.2 m，AB=54.5 m.
2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在 BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2， 求△ABC的周长.（结果保留根号）
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,
BC
AB cosB
2 1
4，AC
AB
tanB
2
3.
2
△ABC的周长为2+ 2 3 +4=6+ 2 3 .
求问：∠A的度数.
解：sinA
BC AB
5.2 54.5
0.0954,
利用计算器可得∠A ≈ 5°28′.
A
一般地，直角三角形中，除直角外，共有 五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角 形中已知元素，求出其余未知元素的过程，叫
做解直角三角形.
探究
（1）三边之间的关系
a2+b2=c2（勾股定理） ；
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义务教育课程标准实验教科书
新人教版《数学》九年级下册
28. 2.1解直角三角形
引入新课直角三角形三边的关系:
直角三角形两锐角的关系:
直角三角形边与角之间的关系:
本节课我们将利用直角三角形中五个元素之间的关系解直角三角形。
学习目标
1、能说出解直角三角形的含义。
2、掌握解直角三角形的根据。
3, 能由已知条件解直角三角形。
学习指导认真看课本72页至74页练习前内容，并注意。
1 、“解直角三角形”是怎样定义的？
2. 解直角三角形必须知道的两个元素中，为什么至少有一个是边？（如果有困难，别忘了你的好同桌或者小组）
3.例1中、例2 中：你解这个直角三角形方法有几种？试试看。
比较这几种方法，选择你认为简单的方法。
（坐姿端正，认真看书，独立思考.8分钟后，看谁展示最精彩！比比哪个小组最优秀！）自研共探
自主学习学生自研，教师巡视学情，督促个别学生认真自研，提醒坐姿端正。
合作交流1、对子交流：对子互查自研完成情况
2、小组交流：
对子交流中有疑惑的地方，并比较解决方法的异同
学情展示一
:什么是解直角三角形?
学情展示二 如图所示，在Rt △ABC 中，a ，b 分别是∠A ，∠B 的对边，c 为斜边，如果已知两个元素a ，∠B ，那么可以求出其余三个未知元素b ，c ，∠A ．
（1）求解的方法有多种，请你按照下列步骤，完成一种求解过程；
（2）请你分别给出a ，∠B 的一个具体数值，然后按照（1）中的思路，求出b ，c ，∠A ．
学情展示三
如图ABC Rt ∆中，︒=∠90C ， c ＝ 83,∠A ＝60°，请你解这个直角三角形。
归纳总结
同学们，展示交流后，你有什么收获和疑问，说出来与大家分享？ 1巩固提升
11A 组题（基础关：试一试，你能行）
1.在△ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件解直角三
角形.
2
、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且
，
．（1）求∠A 、∠B 的大小；（2）求c 的大小．
B 组题（能力关：做一做，你最棒）
1、在直角三角形中，除直角外共有a 、b 、c 、∠A 、∠B 五个元素，已知下面的两个元素，不能解直角三角形的是（ ）
A ． a 、b
B ． ∠A 、a
C ． ∠A 、∠B
D ． a 、c
2、根据下列条件不能解直角三角形的是（ ）①已知一直角边及其所对锐角；②已知两锐角；③已知两直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和一斜边．
A ．②
B ．①③
C ．①④
D ．②⑤
3、如图ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，a ＝6，b ＝23，请你解这个直角三角形
C 组题（练一练，你最强）
△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝4，求AB 的长
小
组
A
B C
小组得分
14
16。