第二章连续时间系统的时域分析

3 算子符号法 微分方程的算子符号表示法：
它使微分、积分方程的表示及某些运算简化。
也是时域经典法向拉普拉斯变换法的一种过渡。
第二节 微分方程式的建立与求解
一、微分方程的建立
线性时不 变系统
也即： 具体系统 物理模型
数学模 型建立
线性的常系 数微分方程
按照元件的约 束特性 系统结构的约 束特性
常系数微分方 程建立
例子 dr ( t ) 2r( t ) 2 ' ( t ), r( 0 ) 0 dt 可设
dr( t ) a ' ( t ) b ( t ) cu( t ) dt r( t ) a ( t ) bu( t ) ctu( t ) ←为0，可不写
n n 1
２ 微分方程的经典法全解形式 则由时域经典法求解可得其完全解为
r (t ) rh (t ) rp (t )
其中齐次解 rh (t ) 由方程右端为零构成的齐次 方程而定；即由齐次方程的特征方程求出特征 根再列写解。
其中特解 rp (t ) 根据方程右端激励构成的“自由项” 而定。
三、初始条件 • 确定系统完全响应：
r (t ) rh (t ) rp (t ) Ai e it rp (t )
i 1 n
式中 Ai 为待定系数，是由响应区间内t=0+时刻的 一组状态确定的。
•初始条件：（导出的起始状态）：由响应区间t=0+时 刻组成的一组状态：
d r (0 ), r ' (0 ), r ' ' (0 ), r ' ' ' (0 ) , n 1 r (0 ) dt
e(t ) 2V
C 1F
3 R2 2
整理得i (t )的微分方程为 d 2i (t ) di(t ) d 2 e(t ) de(t ) 7 10i (t ) 6 4e(t ) 2 2 dt dt dt dt
其特征方程为 2 7 10 0 特征根为 1 2， 2 5
说明：齐次解对应自由响应，由系统决定。特 解对应强迫响应，由激励决定
第三节 起始点的跳变－从0-到0+状态的转换
一、响应区间
•在系统分析中，定义：
响应区间：确定激励信号e(t)加入后系统的状 态变化区间。 •一般激励e(t)都是从t=0时刻加入，此时系统 的响应区间定为：0 t
二、起始状态
t
n
n 1
函数的线性组合。
解得此方程的n个根： 1 , 2 ,, n 称为微分方程的特征根。
（2）特征根的情况分析
① 特征根各不相同（无重根）的情况下，微分方程的齐 次解为 n
rh (t ) A1e
1t
A2e
2t
An e
nt
Ai e
i 1
it
•时域法：不通过任何变换，直接求解系统的 微分、积分方程。
•时域分析法优点：直观，物理概念清楚，是 学习各种变换域分析方法的基础。 •目前计算机技术的发展，各种算法软件的开 发，使这一经典的方法重新得到广泛的关注和 应用。
三、时域分析法手段
•时域分析法有两种： •一种经典法直接求解微分方程； •另一种是卷积法；即已知系统的单位冲激 响应，将冲激响应与输入激励信号进行卷积 积分。
（2）几种典型激励信号对应特解的形式
激励函数e(t) E（常数） 响应函数r(t)的特解 B（常数） B1t p B2t p1 Bpt Bp1
tp t e
cos(wt) sin(wt)
p
Be
t
B1 cos(wt ) B2 sin(wt )
( B1t p B pt B p 1 )et cos(wt ) ( D1t p D pt D p 1 )et sin(wt )
t e cos(wt ) t e sin(wt )
p
t
t
•若表中的特解与齐次解重复，则应在特解中增加一项： t倍乘表中特解。
例子2-4 给定微分方程式 （教材P46）
d2 d de(t ) r (t ) 2 r (t ) 3r (t ) e(t ) 2 dt dt dt
如果已知： 解将
得 完 全 解 为 i( t ) ih ( t ) i p ( t ) A1 e
2t
A2 e
5 t
8 5
求待定系数→求起始状态
e(0 ) 4 系统的0 状态为 i (0 ) iL (0 ) R1 R2 5 di (0 ) ( S 在1位且稳态） 0 dt
得齐次解为 ih ( t ) A1 e2t A2 e5t
整理得i (t )的微分方程为 2 2 d i (t ) di(t ) d e(t ) de(t ) 7 10i (t ) 6 4e(t ) 2 2 dt dt dt dt
t 0 时 e(t ) 4V，即方程右端自由项为 16 8 可设特解为ip (t ) B，代入方程得ip (t ) 5
2
二、微分方程的求解 1. 微分方程表达式
设n阶复杂系统激励信号为e(t )，响应信号为r (t )
其n阶微分方程为 d r (t ) d r (t ) dr (t ) C0 C1 Cn 1 Cn r (t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d e(t ) d e(t ) de(t ) E0 E1 Em1 Em e(t ) m m 1 dt dt dt
k 1
A2t
k 2
Ak 1t Ak )e
1t
( Ai t
i 1
k
k i
)e
1t
例2-3 求如下所示的微分方程的齐次解。
d d d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
系统的特征方程为 3 7 2 16 12 0 因式分解 特征根
则代入方程得
a' ( t ) b ( t ) cu( t ) 2a ( t ) bu( t ) 2' ( t )
由方程平衡求得 a=2 ,b=-4,c =8
r( 0 ) r( 0 ) b 4
表达式： r( t ) Ae u( t ) 2 ( t ) 4e
第二章 连续时间系统的时域分析
第一节 引言
一、连续时间系统分析方法
连续时间信号输入
连续时间系统
数学模型
连续时间信号输出
激励信号（t的函数）高阶微分方程 （t及t的导数） 输入——输出法
响应（t的函数）
系统分析的任务：对给定的系统模型和输入信 号求系统的输出响应。
二、时域分析法 •系统的分析与计算全部在时域内进行。
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
联立解得：
1 2 10 B1 , B2 , B3 3 9 27
特解为：
1 2 10 rp (t ) t 2 t 3 9 27
2t 2t
u( t ) 2 ( t )
举例 二阶电路的冲激匹配法 如图所示电路，t<0时开关S处于1位置且达稳态， t=0时开关S由1位置转向2位置。建立i(t)微分方程 并求解。
(t 0 )
2
s
1
i (t )
R1 1
e(t ) 4V


ic (t )
iL (t )
L 1 H 4
2
s
1
R1 1
e(t ) 4V


i (t )
C 1F
ic (t )
iL (t )
L 1 H 4
e(t ) 2V
R2 Biblioteka 3 2求系统的0 状态有两种方法:
（ ）法 vc (t )和iL (t )不会发生突变 1 6 vc (0 ) vc (0 ) R2iL (0 ) 5 1 14 i(0 ) e(0 ) vc (0 ) R1 5

n 1
•通常为了确定系统的待定系数，须根据系统的0-状
态和激励信号情况求出0+的状态。
一般系统的初始条件：微分方程右端“自由项” 函数式中有无(t) 及其导数’(t) 。 当有，说明相应的0-到0+状态发生了跳变，则
r (0 ) r (0 ) 或 r ' (0 ) r ' (0 )
３ 齐次方程的求解 （1）特征根的求解 齐次方程为：
d d d C0 n r (t ) C1 n1 r (t ) Cn1 r (t ) Cn r (t ) 0 dt dt dt
齐次方程的解为：r (t ) Aet 或 Ae 将其解代入齐次方程：
即特征方程为 C0 n C1 n1 Cn 0
3 2
( 2) ( 3) 0
2
1 2(重根), 2 3
对应的齐次解为
rh (t ) ( A1t A2 )e
2t
A3e
3t
其中A1，A2，A3为待定系数。
4 微分方程的特解 （1）求特解的步骤
通过观察自由项的函数形式，试选特 解函数式。 代入方程，求得特解函数式中的待定系数。 即求出特解rp(t)。
e(t ) t 2
2
求方程的特解。
e(t ) t
代入方程右端，得到： t 2 2t
为使等式两端平衡，设特解函数式
rp (t ) B1t 2 B2t B3
B1, B2 , B3 为待定系数，将此式代入方程：