第1节 Cotes型求积公式
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
1/8 16/45 25/144 34/105
2989/ 17280 10496/ 28350
7/90 25/96 9/280
2989/ 17280 -4540/ 28350
19/288 9/35
1323/ 17280 10496/ 28350
41/840
3577/ 17280 -928/ 28350 751/ 17280 5888/ 28350 989/ 28350
k
xj
dx
在[a, b]作等距的插值基点 a=x0<x1<……<xn=b ， 作等距的插值基点
A =∫ ∏ dx k a j=0 x x j k
j≠k
b n
xxj
ba , x k = a + kh , k = 0,1 , n 设节点步长 h = n
积分作变量替换x= 积分作变量替换 a+th
步长
当x=a时 当x=b时
t=0， t=n，
t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n) Ak = ∫ lk ( x)dx = h∫ dt nk 0 a k !(n k )!(1) (1)nk n = h ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )! nk n (1) =nh ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )!n
Newton-Cotes公式 公式
牛顿—柯特斯 牛顿 柯特斯(Newton-Cotes)求积公式 柯特斯 求积公式
Newton—Cotes公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
牛顿-柯特斯求积公式
wn1( x) ( x x0 )( x x1 )L ( x xn ), a ( x) b
b
f ( x)dx
a
b
a pn ( x)dx
b f (n1) ( ( x))
a (n 1)! wn1( x)dx
bn
1
a i0 f ( xi )li ( x)dx (n 1)!
工程数学
辛卜生公式的几何意义是用抛物线y=P2(x)围成 的曲边梯形面积代替由y=f(x)围成的曲边梯形面积图
2。
y
y=P2(x)
y=f(x)
0 x0
x1
图2
b
f
x2
(x)dx
b
a
x
(f
(a)
4
f
(a
b)
f
(b))
a
6
2
工程数学
工程数学
例 ： 用梯形公式与辛卜生公式
求
3 x
I e 2 dx
1
b
b
f ( x)g( x)dx f () g( x)dx
a
a
定理3：设f ( x)在[a, b]上有二阶连续导数，则梯形求积
公式的截断误差为
b
ba
RT ( f ) a f ( x)dx 2 ( f (a) f (b))
(b a)3
f ''()
12
工程数学
工程数学
证明: n 1,由截断误差公式(3)有
工程数学
第七章 数值积分与数值微分
第一节 等距节点的Newton-Cotes求积公式 第二节 复化求积公式 第三节（*） 外推算法 第四节 Gauss型求积公式
cotes求积公式的余项
cotes求积公式的余项Cotes求积公式是数值分析中常用的数值积分方法之一。
它通过将函数的积分区间划分为若干小区间，并在每个小区间上用一个多项式逼近原函数，从而计算出近似的积分值。
然而，这种逼近方法是有误差的，因此需要引入余项来衡量逼近的精度。
余项是指Cotes求积公式的近似积分值与真实积分值之间的差异。
在实际计算中，我们希望通过控制余项的大小，来确保数值积分的精度达到我们所需的程度。
因此，研究余项的性质和估计余项的大小是非常重要的。
我们来看一下Cotes求积公式的一般形式。
对于一个区间[a, b]上的函数f(x)，我们将其等分成n个子区间，每个子区间的长度为h=(b-a)/n。
然后，我们在每个子区间上用一个n次多项式P(x)来逼近f(x)，并计算出近似的积分值：∫[a, b] f(x) dx ≈ ∑[i=0 to n] wi * f(xi)其中，wi是权重系数，xi是子区间的节点。
Cotes求积公式中的权重系数和节点的选择有许多不同的方法，比如梯形法则、辛普森法则等。
接下来，我们来讨论余项的性质。
根据泰勒展开，我们知道多项式P(x)与原函数f(x)之间存在以下关系：f(x) = P(x) + Rn(x)其中，Rn(x)是余项。
根据Cotes求积公式的定义，我们可以得到余项Rn(x)的表达式：Rn(x) = (1/(n+1)!) * ∫[a, b] f^(n+1)(ξ) * w(x) * (x-x0)(x-x1)...(x-xn) dx其中，f^(n+1)(ξ)是f(x)的(n+1)阶导数，w(x)是Cotes求积公式中的权重函数，x0, x1, ..., xn是子区间的节点。
由于Rn(x)中包含了f^(n+1)(ξ)这一项，如果我们能够控制f^(n+1)(ξ)的变化范围，就可以估计余项的大小。
通常情况下，我们可以通过计算f(x)在区间[a, b]上的高阶导数，来得到f^(n+1)(ξ)的上界。
数值分析 -牛顿-科特斯公式
f
( x ) g( x )dx
f (2)18 ab g(8b( x0a )d)5xf(4)()
余项的一般形式
n
定理 设 Q[f](ba) Ci(n)f(xi)，则有
i0
(1) 若 n 为偶数， f (x) Cn+2[a, b] ，则存在 (a, b) 使得
a b f(x )d x Q [f] ( b n a n ) 3 n ( 3 n f (n 2 ) 2 )(! )0 n t2 ( t 1 ) ( t n )d t
i0
i0
n 偶数
余项
梯形公式的余项
R T a b f(x )d x T a bf''2 ( !x )(x a )x ( b )d x
中值定理 1 2f''()a b(xa)x (b)d x
积分中值定理
112(ba)3f''()
Simf (pxso),ng公( x式)均的在余[项a , b]上连续，
6
2
6
与精确值 0.6321 相比得误差分别为 0.0518 和 0.0002。
复合求积公式
提高积分计算精度的常用两种方法
✓ 用 复合公式 ✓ 用 非等距节点
复合求积公式：将积分区间分割成多个小区间，然 后在每个小区间上使用低次牛顿－科特斯求积公式。
将[a, b] 分成 n 等分 [xi , xi+1] ，其中节点 xiaih, hb na (i = 0, 1, …, n)
解：T8116 f(x0)2i 71f(xi)f(x8)0.9456909
S 4 2 1 f ( 4 x 0 ) 4 f ( x 1 ) f ( x 3 ) f ( x 5 ) f ( x 7 ) 2 f(x 2 ) f(x 4 ) f(x 6 ) f(x 8 ) 0 .9460
三角函数积分常用公式
三角函数的积分常用公式如下：
1.正弦函数的积分：
∫sin(x) dx = -cos(x) + C
2.余弦函数的积分：
∫cos(x) dx = sin(x) + C
3.正切函数的积分：
∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C
4.余切函数的积分：
∫cot(x) dx = ln|sin(x)| + C
5.正割函数的积分：
∫sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C
6.余割函数的积分：
∫csc(x) dx = ln|csc(x) - cot(x)| + C
7.正弦的幂函数积分：
∫sin^n(x) dx = -1/n * sin^(n-1)(x) * cos(x) + (n-1)/n * ∫sin^(n-2)(x) dx，其中n ≠1
8.余弦的幂函数积分：
∫cos^n(x) dx = 1/n * cos^(n-1)(x) * sin(x) + (n-1)/n * ∫cos^(n-2)(x) dx，其中n ≠1
9.正切的幂函数积分：
∫tan^n(x) dx = 1/(n-1) * tan^(n-1)(x) + ∫tan^(n-2)(x) dx，其中n ≠1
10.反正切函数的积分：
∫arctan(x) dx = x * arctan(x) - 1/2 * ln(1+x^2) + C
这些是一些常见的三角函数积分公式。
需要注意的是，在使用这些公式时，可能需要考虑定义域、常数项、积分限等因素，以确保正确计算积分。
同时，积分中的常数C 表示积分常数。
Newton-Cotes求积公式
n
推论1 求积系数满足: Aj b a j0
(可用此检验计算求积系数的正确性)
证：
b
b
n
a f (x)dx a Ln (x)dx Ak f (xk )
k 0
当节点为n 1个时，插值求积公式有n次代数精度,
对于f (x) xn ,上式严格相等,
所以取f (x) 1时，上式也严格相等，
解决方法：
4.2.1 插值型求积法
1、方法
插值多项式
插值基函数
已知 (xi,
f (xi ))，求得 Ln (x)
n i0
f
(xi )li (x)，其中li (x)
n l0
x xl xi xl
,
则
b
b
bn
a f (x)dx a Ln (x)dx a f (xi )li (x)dx
权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x) 的具体形式。
使积分公式具有通用性
我们的目的就是根据一定原则, 选择求积节点xk和 系数Ak，使得求积一般公式(4.2.1)具有较高的精确度, 同 时又计算简单。
记
n
In[ f ] Ak f (xk )
k 0
(4.2.2)
b
n
R( f ) I[ f ] In[ f ] a f (x)dx Ak f (xk ),
数值求积法与代数精度 4.2.1 插值型求积法 4.2.2 Newton-Cotes求积公式 4.2.3 Newton-Cotes 公式的误差分析
总结
一、求积公式的代数精度
b
N
I[ f ]
a
f (x)dx
Ak f ( xk )
三角函数及积分公式
三角函数及积分公式三角函数（Trigonometric functions）是数学中常见的一类函数，主要与角度（或弧度）相关。
它们被广泛用于解决各种几何、物理、工程和数学问题。
常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。
在本文中，我们将探讨这些函数的性质以及它们的基本积分公式。
首先，让我们来了解一下正弦函数和余弦函数。
这两个函数被定义为单位圆上从x轴正方向逆时针旋转一个角度所对应的点的纵坐标和横坐标。
正弦函数（Sin）:若点 P 在单位圆上的角度为θ，则sin(θ)等于点 P 的纵坐标。
余弦函数（Cos）:若点 P 在单位圆上的角度为θ，则cos(θ)等于点 P 的横坐标。
正弦函数和余弦函数具有以下性质：1. 周期性：sin(θ) 和cos(θ) 的周期都为2π（或360°）。
2. 对称性：sin(-θ) = -sin(θ)，cos(-θ) = cos(θ)。
3. 互余关系：sin(θ) = cos(π/2 - θ)，cos(θ) = sin(π/2 - θ)。
4. 互补关系：sin(θ) = cos(π/2 + θ)，cos(θ) = sin(π/2 + θ)。
接下来，让我们来了解正切函数和余切函数。
正切函数（Tan）: tan(θ) 定义为sin(θ) / cos(θ)。
余切函数（Cot）: cot(θ) 定义为cos(θ) / sin(θ)。
正切函数和余切函数的性质如下：1. 周期性：tan(θ) 和cot(θ) 的周期都为π（或180°）。
2. 对称性：tan(-θ) = -tan(θ)，cot(-θ) = -cot(θ)。
3. 互补关系：tan(θ) = cot(π/2 - θ)，cot(θ) = tan(π/2 - θ)。
最后，我们来了解正割函数和余割函数。
正割函数（Sec）: sec(θ) 定义为1 / cos(θ)。
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(a , b)
为了估计误差限，设
M 2 max f ( x )
a x b
则得到
R1 f
M2 (b a ) 3 12
二、抛物线(辛普森-Simpson)公式（n=2）
b
a
f ( x )dx Ak f ( xk ) A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 )
ik
n
0
f ( n1) ( )t (t 1)( t 2)(t n)dt
Ak yk Rn [ f ]
k 0
n
从而得到Newton-Cotes型求积公式：
b
a
f ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
n
b a ( 1)n k n n Ak 0 (t i )dt n k! ( n k )! i 0
则由
n
Π
i= 0 i¹ k
n n ti x - xi (a th) (a ih) ki xk - xi ii 0 (a kh) (a ih) ii 0 k k
xi=a+ih, xk=a+kh
得到
i 0 ik
n
n n x xi (a th) (a ih) t i xk xi i 0 (a kh) (a ih) i 0 k i i k ik
从而
b
a
f ( x )dx yk
k 0
n
n
b n
a
i 0 ik
n x xi n n t i dx yk hdt 0 xk xi i 0 k i k 0 ik
n ba n t i 0 k i dt yk i 0 k 0 n ik
1 b a ( 1) ba A1 tdt 1 1! (1 1)! 0 2 1 1
y
y f ( x)
于是
b
a
ba f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x )dx 2
ba f ( a ) f ( b ) 2
O
a
b
x
即 ： f ( x )dx b a f (a ) f (b)
1 b ( n 1 ) 令： Rn [ f ] a f ( )( x x0 )( x x1 )( x xn )dx (n 1)!
忽略Rn[f]便可以得到积分的近似表达式：
b
a
f ( x )dx
n
b
a
(
k 0 i 0 ik
n b a
n
n
x xi ) yk dx xk xi
b
f ( x ) Ln ( x ) Rn ( x )
Ln ( x ) (
k 0 i 0 ik n n
x xi ) yk xk xi
f ( n1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 )( x x1 )( x xn ) (n 1)!
对
f(x)=Ln(x)+Rn(x) 两端在[a,b]上积分,得到:
h n 2 n ( n 1 ) Rn [ f ] 0 f ( )t (t 1)(t 2)(t n)dt (n 1)!
在具体计算时，可以取定 n=1，2，3，4。此时，还 有专用名称称呼，分别为梯形公式、抛物线公式、Cotes 公式等，下面给出具体的计算格式。
i k
一、梯形公式(n=1)
k 0 i 0 ik
n
n
x xi ) yk xk xi
f ( n1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 )( x x1 )( x xn ) (n 1)!
对
f(x)=Ln(x)+Rn(x) 两端在[a,b]上积分,得到:
b
a
f ( x )dx Ln ( x )dx Rn ( x )dx
b a
2
关于误差可由
h n 2 n ( n 1 ) Rn [ f ] 0 f ( )t (t 1)( t 2)(t n)dt ( n 1)!
得到
h3 1 R1[ f ] 0 f ( )t (t 1)dt 2!
1 1 h3 h3 R1[ f ] f ( ) t ( t 1)dt f ( ) ( t 2 t )dt 0 0 2! 2!
x xi dx xk xi
yk
k 0
i 0 ik
b 1 Rn [ f ] f ( n1) ( )( x x0 )( x x1 )( x xn )dx 误差为： (n 1)! a ba ) 为了给出具体计算公式，令 x a th , 0 t n ( h n
a a
b
b
(
b a k 0 i 0 ik
n
n
x xi ) yk dx xk xi
f ( n1) ( ) ( x x0 )( x x1 )( x xn )dx a ( n 1)! ba 由变换： x a th, xi a ih xk a kh , h n
b
得到
b
a
t i f ( x )dx yk hdt 0 i 0 k i k 0
n n n
n hn 2 ba n t i 0 k i dt yk (n 1)! n i 0 k 0 ik
n
h n 2 n ( n 1 ) 0 f ( )t (t 1)(t 2)(t n)dt ( n 1)!
2
b
采用近似解法或数值解法的思想是先找出被积 函数 f(x) 的近似函数 p(x) , 即：
f ( x ) p( x )
则可以得到： f ( x )dx p( x )dx
a a
b
b
本章，我们将给出两种计算方法： 1）.等距节点的牛顿-柯特斯型求积公式。 2）.非等距节点的高斯型求积公式。
即
b
a
ba ab f ( x )dx f (a ) 4 f ( ) f ( b ) 6 2
设 f(x)∈C4[a,b], 则可得抛物型公式的误差为
(b a )5 ( 4 ) R2 [ f ] f ( ) , (a , b) 2880
n
误差由：
b 1 Rn [ f ] f ( n1) ( )( x x0 )( x x1 )( x xn )dx (n 1)! a
及x=a+th, xk=a+kh 得到
h n 2 n ( n 1 ) Rn [ f ] 0 f ( )t (t 1)(t 2)(t n)dt (n 1)! 称为Newton从而得定积分的近似计算公式： Cotes 型求积 n b 公式 a f ( x )dx Ak f ( xk )
设 f(x)∈C2[a,b],则由积分中值定理得:
h3 (b a ) 3 f ( ) f ( ) 12 12
(a , b)
于是，得到梯形求积公式及其误差为
b
a
ba f ( a ) f ( b ) f ( x )dx 2
h3 (b a ) 3 R1[ f ] f ( ) f ( ) , 1I a f ( x )dx 将区间[a,b] n等分,节点为： ba xk a kh , h , k 0,1,, n. n 相应的函数值为：yk=f(xk), k=0,1,2,…,n 则可以构造出n次Lagrange插值多项式：
第四章数值微积分
• Newton-Cotes 型求积公式 • 复化求积公式 • Gauss 型求积公式 • 数值微分
引言
求函数在给定区间上的定积分，在高等数学教程中 已给出了许多有效的方法。但在实际问题中，往往仅给 出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的 给出；或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原 函数。 这时，我们就需要利用函数在这些节点上的信 息求出函数积分的近似值，由此，导出了数值积分 的概念和方法。
b a ( 1) 2 2 2 A2 t ( t 1)dt b a 2 2! ( 2 2)! 0 6
得到
b
a
ba f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x )dx 6
ba ab f ( a ) 4 f ( 2 ) f ( b ) 6
b
a
f ( x )dx Ln ( x )dx Rn ( x )dx
a a
b
b
b
b n
a
(
k 0 i 0 ik
n
x xi ) yk dx xk xi
a
f ( n1) ( ) ( x x0 )( x x1 )( x xn )dx (n 1)!
b
a
f ( x )dx Ak f ( xk ) A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
k 0
1
n n b a ( 1) n k 由系数 Ak 0 (t i )dt n k ! ( n k )! i 0 i k
得到
b a ( 1)10 1 ba A0 ( t 1)dt 1 0! (1 0)! 0 2
关于积分
b
a
f ( x )dx, 如果已知 f(x)=F’(x) ,