高数+第六章+定积分应用

f(x) x o a x x+dx b
我们用定积分微元法来计算变力F在[a,b]路程 段中所作的功。
在区间[a,b]上任取一小区间[x,x+dx],当物体从x 移动到x+dx时，变力F=f(x)所作的功近似地把变力 看作常力所作的功，从而得到功元素为： dw=f(x)dx
因此，变力在[a,b]路程段所作的功为
dx
y
20
x
解
如上图的直角坐标系中：
⑴ 取积分变量为x,积分区间为[3,30] ⑵ 在区间[3,30]上任取一小区间[x,x+dx],与它对应的 一薄层（圆柱）水的重量为9.8ρπ102dx（N）. 其中水的密度为ρ=1×103 因这一薄层水抽出围囹所作的功近似于克服 这一薄层重量所作的功，所以功元素为： dw=9.8×105πxdx. ⑶ 于是在[3,30]上，抽尽水所作的功为：
Aa
2


0
3 1 ( 2 cos cos )d 2 2
2
3 1 A a（ 2 sin sin 2 ) 0 2 4 3 2 a 2
微元法思想
如图
y y=f(x) ds=f(x)dx
求平面图形的面积，前面是根据定积分的几何意义，此 外还可根据定积分的定义，如上图，求曲边梯形的面积， “无限细分”，将［a,b］任意划分为 n个小区间，相应是 将曲边梯形划分成n个小曲边梯形，“以直代曲”，将任一 小曲边梯形（[x,x+dx]上阴影部分）看成小矩形，则其面积 △s≈ds=f(x)dx于是面积就是这些小矩形在[a,b] 上的无限累 加的结果，即
a
b
7-1 定积分在几何上的应用
定积分求平面图形的方法步骤：
（１）求曲线交点并画草图；
（２）确定求哪块面积，进行“面积组合”； （即由定积分表示的曲边梯形来划分这块面积， 哪些该加，哪些该减，注意“曲边梯形”一定是 以x轴为一边，两 条竖直线为另两边）； （３）以x的范围确定积分上下限； 用定积分表示这块面积； （４）求定积分。
回顾求曲边梯形面积的步骤S曲：分割区间 取近似值 作和 取极限
y y=f(x) dA=f(x)dx
（1）细分区间 [a, b] [ x0 , x1 ] [ xn1 , xn ]
将曲边梯形面积分成n个窄曲边梯形 S曲 Si曲
n
0
a
x x+dx
b
x
(2) 取近似值 Si曲 n f ( i ).xi S曲 f ( i ).xi （3）求和
记dA f ( x)dx 称为面积元素
b
最后在[a, b]上作定积分：A f ( x)dx 这种简化后的方法称为微元法 a
7-1 定积分在几何上的应用
一、 平面图形的面积
由定积分的几何意义“有号面积”，可 以直接得到求平面图形的面积公式：
S

b
a
f ( x) dx
例1 计算曲线y2=x，y=x2所围成的图形的 面积。 解一 2 先求两线的交点（右图） y 2
0

6a
定积分在物理上的应用
功的计算
由物理学知道，在一个常力的作用下，物体沿力
的方向作直线运动，当物体移动一段距离s时，F所 作的功为：Ｗ＝Ｆ*Ｓ 但在实际问题中，物体所受的力经常是变化的， 这就需要寻求其它方法求变力作功的问题。设物体 在变力f(x)的作用下沿ox 轴从a移动到b(如图)，变 力方向保持与x轴一致（如图）
W
例7

b
a
f ( x)dx
在弹性限度内，螺旋弹簧受压时，长度的改变与所受外 力成正比，已知弹簧被压缩0.02m时，需9.8N,当弹簧被压 缩3cm,试求压力所作的功。
解
所用压力为F=f(x) 时弹簧压缩x(单位为cm)， 则F=f(x)=kx(其中k为比例系数) 故当x=0.02m时，f(x)=9.8N代入上式得 k=4.9×102 所以变力函数为：F=f(x)=4.9×102x
1 2 此区间上面积A .r ( )d 2
r
1 2 A r ( )d 2
例6 求心脏线r =a(1+cosθ）围成的图形面积（a>0)
解：图形关于极轴对称
1 2 2 A 2. r ( )d a (1 cos ) 2 d 0 2 0

( x(t )) 2 ( y(t )) 2 dt
x a cos3 t 例7 计算星形线 y a sin 3 t
a 0 的全长
解：星形线关于x轴，y轴对称， 只要计算第一象限的长度。
S 4 2 ( x(t )) 2 ( y(t )) 2 dt
0

S 12 a 2 sin t cos t dt
x 2 ln 2
ln 2
2
y=ex - 2 -2
0
4 ln 2 e e 4
2
2
ln2 2
x
例３
求 y2=2x与y=x-4所围成的图形的面积。
解 先求y2=2x与y=x-4的交点（2,-2）,(8,4) (作图如右) 面积组合，以x=2为界划分为两块 面积，并由对应方程得
S 2 ( 2 x )dx
当这个单位正电荷在电场中从 r=q处沿r 轴移到 r=b(a<b)处时，计算电场力所作的功。
解 ⑴ 取积分变量为r，积分区间为[a,b]；
kq ⑵ 在区间[a,b]上任取一小区间[r,r+dr]，与它相对应的电场 dW 2 dr r 力F所作的功的近似值为功元素 ⑶ 于是，在[a,b]上，电场力所作的功为
x x+dx
同理，由曲线 x ( y) 与直线y=c,y=d 及oy轴围成的曲边梯形绕oy轴旋转成 的旋转体的体积为
0
a
b
x
绕x轴旋转 y
x2 y2 1 １ 2
V

d
c
[ ( y)] 2 dy
例５求曲线 旋转而成的旋转体的体积 解 （如图）由公式得： 1
V
x2 y2 1 绕y轴 2
2 2 2
0.03
0.2205 J
7-2 定积分在物理上的应用
例８ 把一个带 +q电量的点电荷放在r轴坐标原点 处，它产生一个电场，这个电场对周围的电荷产生 作用力，由物理学知道如果有一个单位下电荷放在 电路中距离原点o为r 的地方，那么电场对它的作用 力大小为： q
F k 2 为常数） （k r
y y0 y( x x0 ) ydx
0
a x0
x0+dx b
S ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 1 ( y) 2 dx
S
b a
1 ( y) 2 dx
x (t ) 若 t [ , ]; y (t ) 则 S
第七章 定积分的应用
内容导航
微元法思想
定积分在几何上的应用 定积分在物理上的应用
定积分在经济上的应用
第七章 定积分的应用
前 言
在此前，学习了定积分的意义，涉及由定
积分求面积和路程；又讨论了通过不定积分 求定积分的各种方法。在本章中，我们将应 用定积分来解决几何、物理、经济中的各种 问题
定积分的微元法思想
2 2 0 1 0 1 1 2 1 2
1 2 y 2
1
1 2 (2 y y ) 0 2
1
2
（三）求平面曲线弧长
设y f ( x)在[a, b]可导，取子区间 x0 , x0 dx], [ 用切线长AB近似弧线长，弧长为S
A △S
B Y=f(x)
切线方程：
y x 0， （ 0），（ ， 11 ） 2 y x
y=x
x=y2 o 1 x
S

1
0
( x x 2 )dx
3 1 0
2 2 1 3 ( x x ) 3 3
1 3
解二 微元法思想，先求出两线的交点（0，
0），（1，1）
在[a,b]上任取子区间[x,x+dx]
设子区间上的面积为A x dx x dx ( x x )dx
以下主要介绍用定积分求以ox轴或oy轴为旋转 轴的旋转体体积的方法。
下面用微元法求旋转体的体积 例４求由区间[０,１]上曲线y=x2绕x轴旋转而成 的旋转体体积。(如图)
y
y=x2
解
取微元应有代表性： 一个微元可代表每个微元； 要有规律性，便于求出微元体积．
0
１
x
x x+dx
在x点（x∈(0,1)）处，垂直于x轴取微元，其 厚度为dx，注意特点是截面都是圆，以小圆台近似 代替微元dV。
2
0
－１
2
x

1
(2 2 y )dy
2 1 0
4 (1 y 2 ) dy
8 3
例6 求由曲线y=x2与y=2-x2所围成的平面图形绕ox 轴和oy轴旋转所得旋转体的体积。 y 解 （如图）求曲线交点
y x2 1， （ 1 ），（ ， 11 ） 2 y 2 x
0
a
x x+dx
b
x
S dS f ( x)dx
a a
b
b
其中把dS称为Ｓ的微元，这种“无限细分取微元， 无限累加求积分”的方法叫微元法。
（二）旋转体的体积
旋转体 是一平面图形绕平面内一定直线旋转一 周而成的立体图形，定直线称为旋转轴。如圆柱、 圆锥、球体等可以分别看成是由矩形绕它的一条边、 直角三角形绕它的直角边、半圆绕它的直径旋转一 周而成的立体，所以它们都是旋转体，车床上切削 加工出来的工件，很多都是旋转体。