浅谈自然数集扩充后的基数理论
自然数的序数理论与基数理论
序数理论与基数理论的概述
序数理论
序数理论是研究自然数顺序关系的数学分支。它主要 关注自然数之间的前后关系、大小关系和运算规则等 问题。在序数理论中，我们可以通过比较自然数的大 小来定义它们之间的顺序关系，例如“小于”、“大 于”、“等于”等。同时，序数理论也涉及到一些与 顺序相关的概念，如“前趋”、“后继”、“极限序 数”等。
自然数集合的序关系
自然数集合的序关系是一种全序关系，即对于任意两个自然数a和b，都可以确定它们之间的大小关系。这种大小关系可以通过比 较它们的后继数来确定，即如果a的后继数小于b的后继数，则a小于b。
自然数集合的序关系还具有良序性质，即任意非空自然数集合都存在最小元素。这一性质在自然数的归纳法证明中起到了关 键作用。
基数理论是研究自然数数量关系的数 学分支，它主要关注自然数的数量和 计数问题。基数理论的基本概念包括 基数、可数集、不可数集等。通过基 数理论，我们可以更深入地理解自然 数的数量结构和性质，以及它们在数 学中的应用。
序数理论和基数理论在自然数的研究 中相互补充，共同构成了自然数的完 整理论体系。序数理论关注自然数的 顺序关系，而基数理论关注自然数的 数量关系。两者之间的联系在于，它 们都涉及到自然数的结构和性质，以 及它们在数学中的应用。
序数运算与序数等式
序数运算
在自然数的序数理论中，可以进行一些基本的序数运算，如 加法、乘法和幂运算等。这些运算满足一些基本的性质，如 结合律、交换律和分配律等。
序数等式
在自然数的序数理论中，存在一些重要的等式和不等式，如等 式a+b=b+a、(a+b)+c=a+(b+c)、ab=ba和(ab)c=a(bc)等， 以及不等式a<b+c（当a<b且a<c时）等。这些等式和不等式 在自然数的计算和证明中起到了重要作用。
第三章 基数(集合论讲义)
4
证明：由定义直接得到。 事实上，任何两个集合的基数都可以进行比较。
定理 3.3 （Zermelo）设 A 和 B 是任意两个集合，则 | A |<| B | ，| A |=| B | ，| A |>| B |
三者中恰有一个成立。
选择公理 设集族 A = {Aα :α ∈ S}中的元素 Aα 都是非空集，则存在指标集 S 上的函数 f ， 使得对任意α ∈ S ，都有 f (α ) ∈ Aα 。
i =1
则 A 中元素可如下排列：
a1,1, a1,2 , a2,1, a1,3 , a2,2 , a3,1, a1,4 , a2,3 , a3,2 , a4,1, , a1,n−1, a2,n−2 , , an−1,1,
2
所以 A 是可列集。
上述证明方法称为对角线法。
推论 2.1 有理数集 是可列集。
单地认为它们的规模相同。自然数集 和 的幂集 2 似应有所区别。最终的做法是，两个
集合规模是否相同取决于它们之间是否存在一一映射。
定义 1.1 设 A ， B 是任意两个集合，若存在一个双射 f ： A → B ，则称 A 和 B 等势，或 称 A 和 B 的基数相同，记为 A ∼ B ， A 的基数记为 | A | 。
由定理 2.1 知，ℵ0 是最小的无限基数，问：是否有最大的无限基数。下面的定理回答这个
问题。
定理 3.5 （Cantor）对于任何集合 A ，必有 | A |<| ρ( A) | 。
证明：首先来说明| A |≤| ρ( A) | 。为此作映射 f ： A → ρ( A) x ⎯⎯f →{x}
显然，f 是单射。所以| A |≤| ρ( A) | 。再来说明 | A |≠| ρ( A) |。否则存在双射 g ：A → ρ( A) 。 若 a ∈ g(a) ，则称 a 是 A 的“内部元素”；若 a ∉ g(a) ，则称 a 是 A 的“外部元素”。设 B 是由 A 的外部元素所组成的集合，即， B = {x : x ∉ g(x)} 。因 B ∈ ρ( A) ，故存在 b ∈ A ， 使 得 g(b) = B 。 但 是 b ∈ g(b) 当 且 仅 当 b ∉ g(b) ， 矛 盾 。 故 | A |≠| ρ( A) | 。 总 之 ， | A |<| ρ( A) | 。
数的认识 整数的认识 自然数的基数理论与序数理论
(4)若M⊆N，且1∈M，a∈M⟹a+∈M，那么M=N。
那么集合N的元素，就叫作自然数。
按照皮亚诺最初的计数，自然数从1开始，不包含0，1993年我国开始新的国
家标准定义自然数集N含0，这时就要把公理中的1换成0。
小学数学里
如果A的真子集与B能够建立一一对应关系，那么a>b。
三、自然数的序数理论
皮亚诺公理：
一个集合N的元素间有一个基本的关系——后继（用+表示），并满足下面四条公理：
+
(1)1 ∈ ，对任意 ∈ ， ≠ 1；
(2)
对于a∈N，有唯一的后继a+(即
+
+
= ⟹ = )；
+
+
(3) 除1以外的任何元素，只能是一个元素的后继(即 = ⟹ = ) ；
自然数的基数理论与序数理论
主要学习内容
01
自然数的产生
02
自然数的基数理论
03
自然数的序数理论
一、自然数的产生
1、上古时代
判断物体个数多少的需要—比多少
2、反复实践
一一对应的方法产生多与少、一样多的概念
3、标准集合
可以建立一一对应的集合有很多，这些集合中的物体的
个数一样多，人们把它们归为一类（等价集合类），从中选出一个人们
合、三棵树的集合，三本书的集合等，它们都能彼此一一对应，我们就用自然数3
表示。
以此类推，集合P={a}的基数是1，集合Q={a，b}的基数是2，空集的基数是0。
二、自然数的基数理论
设a与b分别是集合A与B的基数：
如果A与B能够建立一一对应关系，那么a=b；
如果A与B的真子集能够建立一一对应关Hale Waihona Puke ，那么a<b；是第9个。
1自然数的序数理论与基数理论
性质11：(最小数原理 最小数原理)自然数集的任何非空子集都存在 性质 最小数原理 一个最小数。 三、数学归纳法 定理12：（第一归纳法原理）： 定理 ：（第一归纳法原理）： ：（第一归纳法原理 设 p(n) 是一个与自然数有关的命题， 如果： （1）命题 p(n) 对某个自然数 n0 成立； （2）假设命题 p(n) 对自然数 n = k ( k ≥ n0 ) 成立时， 命题 p(n) 对 n = k + 1 也成立。 那么，对一切不小于 n0 的自然数命题 p(n) 都成立。
n = k + 1 也成立。
初 等 数 学 专 题 研 究
那么，对一切不小于 n0 的自然数命题 p(n) 都成立。
定理14（第三归纳法）： 定理 （第三归纳法）： 设 p(n) 是一个与自然数有关的命题， 如果： （1）命题 p(n) 对无穷多个自然数成立 （2）假设命题 p(n) 对自然数 n = k ( k ≥ n0 ) 成立时，命题
a = bc
那么c叫做a被b除得的商，记作 三、自然数集的性质 性质8：自然数集是全序集。 性质 ： 。
c=a÷b
、
初 等 数 学 专 题 研 究
这条性质是说，任何两个自然数都可以在运算的意义下 比较大小。 性质9：自然数集具有阿基米德性质（即对任何两个 性质 自然数a，b，一定存在自然数 c，使 ac > b 性质10：自然数集具有离散性（即对任何两个相邻自然数 性质 a , a ′ 之间都不存在第三个自然数）。
初 等 数 学 专 题 研 究
1.2、自然数的序数理论 一、自然数的皮亚诺公理 定义10： 定义 ：设N是非空集合，集合N的元素间有一个基本 关系叫“后继”（ 用符号“ˊ”表示），并且这个集合以及 这个关系满足下面五条公理: 1∈ N （1） （2）对任意 a ∈ N , a ′ ≠ 1 （3）对任意 a ∈ N 有且仅有唯一的后继元 即 a = b a ′ = b′ （4）除1外，N的任何一个元素只能是一个元素的后继， a ′ = b′ a = b 即 （5）（归纳公理）对于N的任何一个子集M，如果满足 （归纳公理）
基数的基本概念
基数的基本概念基数（Cardinal number）是数学中表示数量的概念，用于表示集合的大小或元素的个数。
在数学中，基数是集合论中的一个重要概念，它用于度量集合的元素个数，是一种数学语言中描述数量的方式。
基数的基本概念源自人们对实际生活中的物体、事物、数量的观察和认知。
自然数是最早形成的基数概念，它用于表示自然世界中物体、事物的个数。
例如，我家有3只小猫，这里的"3"就代表了小猫的数量，即猫这个集合的基数。
在数学中，除了自然数之外，还有无限个基数可以用来表示不同集合的大小。
由于集合的大小是无法直接观察和感知的，所以需要借助数学工具来描述和比较不同集合的大小。
基数的引入就是为了满足这个需求。
在集合论中，基数的定义是通过对集合之间的一一对应关系进行研究而得到的。
两个集合A和B之间存在一一对应关系，如果存在一个函数，将A的元素与B 的元素一一对应起来。
根据Cantor-Bernstein定理，如果两个集合之间存在一一对应关系，那么它们的基数是相等的。
基于这个思想，可以通过找到两个集合之间的一一对应关系来比较它们的大小，从而确定它们的基数。
对于有限集合，它的基数就是它的元素个数。
例如，一个集合中有4个元素，那么它的基数就是4。
而对于无限集合，它的基数不能够通过直接数数得到，而是通过与其他无限集合找到一一对应关系来确定。
对于无穷集合来说，基数的比较更为复杂。
作为最早研究无穷集合基数的数学家，Cantor提出了一个重要的结论——无穷集合可以有不同的基数大小。
他定义了一个最小的无穷基数，称为可数基数，用aleph-null（א₀）表示。
其中，“aleph”是希伯来语的第一个字母，“null”表示无穷的概念。
这个基数表示的是可数集合的大小，例如自然数集、整数集和有理数集等都是可数集合，它们的基数都是aleph-null。
另外一个重要的基数是连续基数，用c表示。
连续基数表示的是不可数集合的大小，例如实数集和幂集（集合的所有子集构成的集合）等。
[理学]初等数学研究1自然数基数理论
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数、十进制、位值制
• 中国数字
春秋时期创造了算筹计数法，表示数目一到九的算筹有纵横两种形式：
纵式 横式 在表示多位数时，顺序是从右向左，一纵一横，遇有零数则空着不放筹 325107应摆成 算盘
• 罗马数字
X L C
每个符号与它所在的位置无关
D
M
一千
XXIII
二十三 两个罗马数字相加，须先合
十 五十 一百 五百 并再化简
– 自然数 添正分数－>正有理数 添零－>非负有 理数 添负数－>有理数 添无理数－>实数 添虚 数－>复数 实际上是交错发展的
• 数的理论架构（逻辑构造法）
– 有了自然数集，可以构造整数集（自然 数对） 可以构造有理数集 可以构 造实数集 可以构造复数集 ……
自然数的两种作用
• 计数（有几个）
自然数的康托尔基数理论
• 如果有一个集合N，在它的元素间有一个基本关 系“后继”（用符号＋或’表示），并满足下列 公理，那么这个集合N的元素叫做自然数：
“5”是什么？是满足上述五条公理的一个集合的元素，排在1 后面后面后面的后面
定义自然数的加法和乘法
• 加数是1还是某一个自然数b的后继
a 1 a a b ( a b )
11个运算定律（1）
加法有五个基本定律： 1．a+b 仍然为一个数，即正数加正数总是 可能的 2．a+b是单值的 3．结合律成立：(a+b)+c＝a+(b+c) 因此完全可以脱去括号 4. 交换律成立: a+b＝b+a 5. 单调律成立: 若 a b a c b c 证明
70+14=70+(10+4)=(70+10)+4=80+4＝84
1自然数的序数理论与基数理论幻灯片
那么这个集合必有一个最小数k，
则比k小的数至多只有有限个，按条件（1），应该有
初
r>k,使命题在r时成立，
等
数
反复应用条件（2），那么命题必然在
学 专
r 1 ,r 2 , ,3 ,2 ,1
题 研
究
这些自然数处成立， 由于r>k，故上面的自然数
必有一个等于k，从而导致矛盾
18
思考与练习
1、在自然数的基数理论中，证明自然数的乘法满足交换律
初
等
定义12：对于 a,bN如果存在 cN 使
acb
数 学
专
则称a小于b，记为 ab 也称b大于a，记为 ba
题 研
究
在这个定义下，任何两个自然数都可以比较大小（顺序）。
也就是说，自然数的大小关系具有三歧性：
10
定理4：任意两个自然数a、b，下面三个关系成立且
只成立一个： a b , a b , a b
0 1 2 3 L
4
二、自然数的四则运算
1、自然数的加减法 定义6：设A、B是两个有限集，并且 AIB 则称集合 A U B 的基数是集合A与B的基数的和，记为
AUBAB
定义7：设A、B是两个有限集，并且 AI B,AB 初
等
集合C是集合A中与B对等的子集，
数 学
用符号 C A 表示集合C在集合A中的余集
第一讲 自然数的基数理论与序数理论 1.1、自然数的基数理论 1.2、自然数的序数理论
初 等 数 学 专 题 研 究
1
第一讲 自然数的基数理论与序数理论
1.1、自然数的基数理论
一、自然数的概念
1、集合的对等
自然数的基数理论以集合论的基本概念为基础。在集合论
自然数集扩充后的基数理论
自然数集扩充后的基数理论【摘要】本文探讨了自然数集扩充后的基数理论。
在将对该理论进行概述。
正文部分将分别讨论自然数集扩充的背景、定义、性质和应用。
自然数集扩充的背景将介绍其起源和重要性，定义部分将详细解释扩充的概念，性质部分将探讨扩充后集合的特点，应用部分将展示扩充在数学和实际生活中的实际用途。
结论部分将总结自然数集扩充的意义和未来发展方向。
自然数集扩充是基数理论的重要分支，对数学研究和现实应用有着深远的影响，并具有广阔的发展前景。
【关键词】自然数集扩充，基数理论，引言，背景，定义，性质，应用，意义，未来发展.1. 引言1.1 引言概述自然数集扩充是数学领域中一个重要的概念，通过将自然数集合进行扩展，可以得到更加丰富和完整的数学系统。
自然数集扩充的背景可以追溯到人们对数学系统的不断探索和完善。
在数学发展的历程中，人们逐渐意识到自然数集的局限性，无法涵盖所有数学问题的解决。
对自然数集进行扩充，有助于填补数学系统中的空缺，使得数学领域的研究更加完备和深入。
自然数集的扩充可以通过引入新的数学概念和运算规则来实现，这种扩充为数学家们提供了更多的研究方向和思路。
通过对自然数集扩充的定义和性质的研究，人们可以深入理解数学系统的内在结构和规律，进而推动数学理论的发展和应用。
自然数集扩充在现代数学和科学研究中具有重要的意义和应用价值，可以帮助科学家们更好地解决实际问题，推动科学技术的进步和发展。
2. 正文2.1 自然数集扩充的背景自然数集的扩充是数学领域中一个重要的概念，它是通过向自然数集中引入新的元素来拓展数学空间的方法。
自然数集是最基本的数学概念之一，包括所有大于等于0的整数，即0，1，2，3，4，5...。
在日常生活中，我们常常会遇到这些自然数，它们在数学运算、计算、统计等方面有着重要的应用。
自然数集的扩充背景源于数学领域对于数学空间的拓展和深化研究。
在传统的自然数集中，只包括了非负整数，而一些数学问题在这个集合上无法得到完美的解决。
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浅谈自然数集扩充后的基数理论
姓名：徐永贺
班级：数1001班
学号：20103067
摘要
1994年11月国家技术监督局发布的《中华人民共和国国家标准，物理科学和技术中使用的数学符号》中，将自然数集记为N={0,1,2,3,…}而将原自然数集称为非零自然数集N (或N*)={1,2,3,…}.自然数集扩充后，其基数理论起了相应变化，定义与法则都需作调整以适应数学教学与应用的需要，这给数学教学与数学应用产生一定影响。
为此，我们将自然数的基数理论讨论如下。
1.对自然数的来源的认识；
2.自然数的新概念：
3.自然数的四则运算；
4.自然数的有关性质。
1.1 自然数的基数理论
1.1.1自然数的概念
自然数的基数理论以集合论的基本概念为基础。
在集合论中，如果集合A和B 的元素之间可以建立一一对应关系，就称集合A与B对等，记作A∽B
集合的对等是一种等价关系，即对等关系满足
（1）反身性：A∽A；
（2）对称性：A∽B，则B∽A；
（3）传递性：若A∽B，B∽C，那么A∽C
定义1：如果一个集合能与自己的一个真子集对等，这样的集合叫无限集；否则叫做有限集
1.1.2集合的基数
定义2：如果两个集合A、B对等，我们称这两个集合具有相同的基数，集合A 的基数记为，若则规定集合A的基数不小于集合B的基数，
即
定义3：有限集的基数叫做自然数
1.3、冯·诺伊曼的自然数体系
定义4：设φ表示空集，规定集合φ的基数为0，即
其余的自然数按下列规则构造：
依照上述规则，全体自然数就构造出来：
0，1，2，……，n，……
即
1.4、自然数的大小
定义5：设A、B是两个集合，C是集合A的真子集，如果B∽C，则称
按照这个定义，自然数有下列大小关系
2、自然数的四则运算
2.1、自然数的加减法
定义6：设A、B是两个有限集，并且则称集合
的基数是集合A与B的基数的和，记为
定义7：设A、B是两个有限集，并且集
合C是集合A中与B对等的子集，用符号表示集合C在集合A中的余集(由所有不属于C但属于A的元素作成的集合）
则称集合的基数是与的差，记为
定理1：自然数的加法满足结合律和交换律，即对于任意
有
（1） (a+b)+c = a+(b+c)
（2） a+b = b+a
（证明略）
2.2、自然数的乘除法
定义8：设A、B是两个有限集，由集合A、B作成的笛卡尔直积
的基数。