人大附中初三数学第一学期统一测评(四)
2013年北京市人大附中中考数学冲刺试卷(四)
2013年北京市人大附中中考数学冲刺试卷（四）2013年北京市人大附中中考数学冲刺试卷（四）一、选择题（本题共32分，每小题4分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上．C2．（4分）（2011•海淀区一模）据报道，北京市今年开工及建设启动的8条轨道交通线路，总投资约82 000 000 000．C D．4．（4分）（2011•海淀区一模）一个布袋中有1个红球，3个黄球，4个蓝球，它们除颜色外完全相同．从袋中随机．C D．26．（4分）（2011•海淀区一模）如图，平行四边形ABCD中，AB=10，BC=6，E、F分别是AD、DC的中点，若EF=7，则四边形EACF的周长是（）7．（4分）（2011•海淀区一模）有20名同学参加“英语拼词”比赛，他们的成绩各不相同，按成绩取前10名参加复8．（4分）（2013•齐河县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P从点A 出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设y=PC2，运动时间为t秒，则能反映y与t之间函数关系的大致图象是（）．CD ．二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．（4分）（2011•永春县质检）使分式有意义的x 的取值范围是 _________ ．10．（4分）（2013•尤溪县质检）分解因式：mx 2﹣6mx+9m= _________ ． 11．（4分）（2011•海淀区一模）如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点H ，若∠D=30°，CH=1cm ，则AB= _________ cm ．12．（4分）（2012•宝坻区二模）如图，矩形纸片ABCD 中，AB=，BC=．第一次将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕与BD 交于点O 1；O 1D 的中点为D 1，第二次将纸片折叠使点B 与点D 1重合，折痕与BD 交于点O 2；设O 2D 1的中点为D 2，第三次将纸片折叠使点B 与点D 2重合，折痕与BD 交于点O 3，…．按上述方法折叠，第n 次折叠后的折痕与BD 交于点O n ，则BO 1= _________ ，BO n = _________ ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．（5分）（2012•潮阳区模拟）计算：﹣（﹣1）0+（）﹣2﹣4sin45°．14．（5分）（2011•海淀区一模）解不等式组：．15．（5分）（2012•五通桥区模拟）如图，点C、D 在线段AB上，E、F在AB同侧，DE与CF相交于点O，且AC=BD，CO=DO，∠A=∠B．求证：AE=BF．16．（5分）（2011•海淀区一模）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式的值．17．（5分）（2011•海淀区一模）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（2，1），B（﹣1，n）两点．（1）求k和b的值；（2）结合图象直接写出不等式的解集．18．（5分）（2013•绍兴模拟）列方程或方程组解应用题：“五一”节日期间，某超市进行积分兑换活动，具体兑换方法见右表．爸爸拿出自己的积分卡，对小华说：“这里积有8200 分，你去给咱家兑换礼品吧”．小华兑换了两种礼品，共10件，还剩下了200分，请问她兑换了哪两种礼品，四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠ADC=105°，AD=6，且AC⊥AB，求AB的长．20．（5分）（2011•海淀区一模）如图，AB为⊙O的直径，AB=4，点C在⊙O上，CF⊥OC，且CF=BF．（1）证明BF是⊙O的切线；（2）设AC与BF的延长线交于点M，若MC=6，求∠MCF的大小．21．（5分）（2011•海淀区一模）为了解学生的课余生活情况，某中学在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．问卷中请学生选择最喜欢的课余生活种类（每人只选一类），选项有音乐类、美术类、体育类及其他共四类，调查后将数据绘制成扇形统计图和条形统计图（如图所示）．（1）请根据所给的扇形图和条形图，填写出扇形图中缺失的数据，并把条形图补充完整；（2）在问卷调查中，小丁和小李分别选择了音乐类和美术类，校学生会要从选择音乐类和美术类的学生中分别抽取一名学生参加活动，用列表或画树状图的方法求小丁和小李恰好都被选中的概率；（3）如果该学校有500名学生，请你估计该学校中最喜欢体育运动的学生约有多少名？22．（5分）（2011•海淀区一模）如图1，已知等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记△DEF的周长为p．（1）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，则p=_________；（2）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则p的取值范围是_________．小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将△ABC以AC边为轴翻折一次得△AB1C，再将△AB1C以B1C为轴翻折一次得△A1B1C，如图2所示．则由轴对称的性质可知，DF+FE1+E1D2=p，根据两点之间线段最短，可得p≥DD2．老师听了后说：“你的想法很好，但DD2的长度会因点D的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果．”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”．请参考他们的想法，写出你的答案．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）（2011•海淀区一模）已知关于x的方程x2﹣（m﹣3）x+m﹣4=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围；（3）设抛物线y=x2﹣（m﹣3）x+m﹣4与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线y=﹣x的对称点恰好是点M，求m的值．24．（7分）（2011•海淀区一模）已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣（a+1）x与直线y=kx的一个公共点为A（4，8）．（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN 的面积．25．（8分）（2011•海淀区一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=．点D在边AC上（不与A，C重合），连接BD，F为BD中点．（1）若过点D作DE⊥AB于E，连接CF、EF、CE，如图1．设CF=kEF，则k=_________；（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE﹣DE=2CF；（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．2013年北京市人大附中中考数学冲刺试卷（四）参考答案与试题解析一、选择题（本题共32分，每小题4分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上．C2．（4分）（2011•海淀区一模）据报道，北京市今年开工及建设启动的8条轨道交通线路，总投资约82 000 000 000．C D．4．（4分）（2011•海淀区一模）一个布袋中有1个红球，3个黄球，4个蓝球，它们除颜色外完全相同．从袋中随机．C D．取到黄球的概率为：=26．（4分）（2011•海淀区一模）如图，平行四边形ABCD中，AB=10，BC=6，E、F分别是AD、DC的中点，若EF=7，则四边形EACF的周长是（）AD=3AE=CD=57．（4分）（2011•海淀区一模）有20名同学参加“英语拼词”比赛，他们的成绩各不相同，按成绩取前10名参加复8．（4分）（2013•齐河县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P从点A 出发，以每秒1cm的速度，沿A →B→C的方向运动，到达点C时停止．设y=PC2，运动时间为t秒，则能反映y与t之间函数关系的大致图象是（）．C D．∴∴﹣DC=﹣（+16二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）（2011•永春县质检）使分式有意义的x的取值范围是x≠4．10．（4分）（2013•尤溪县质检）分解因式：mx2﹣6mx+9m=m（x﹣3）2．11．（4分）（2011•海淀区一模）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，则AB=2 cm．ABBH=ABBH=，即；AB=212．（4分）（2012•宝坻区二模）如图，矩形纸片ABCD中，AB=，BC=．第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O1；O1D的中点为D1，第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2；设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点O3，…．按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与BD交于点O n，则BO1=2，BO n=．=；以此类推，即可推出：=中，；=，B==，三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）（2012•潮阳区模拟）计算：﹣（﹣1）0+（）﹣2﹣4sin45°．14．（5分）（2011•海淀区一模）解不等式组：．解不等式15．（5分）（2012•五通桥区模拟）如图，点C、D 在线段AB上，E、F在AB同侧，DE与CF相交于点O，且AC=BD，CO=DO，∠A=∠B．求证：AE=BF．∵16．（5分）（2011•海淀区一模）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式的值．17．（5分）（2011•海淀区一模）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（2，1），B（﹣1，n）两点．（1）求k和b的值；（2）结合图象直接写出不等式的解集．上的点反比例函数）在反比例函数的图象上，∴．比例函数18．（5分）（2013•绍兴模拟）列方程或方程组解应用题：“五一”节日期间，某超市进行积分兑换活动，具体兑换方法见右表．爸爸拿出自己的积分卡，对小华说：“这里积有8200 分，你去给咱家兑换礼品吧”．小华兑换了两种礼品，共10件，还剩下了200分，请问她兑换了哪两种礼品，依题意，得，四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠ADC=105°，AD=6，且AC⊥AB，求AB的长．AD=3AC=AE+CE=B=÷=3+20．（5分）（2011•海淀区一模）如图，AB为⊙O的直径，AB=4，点C在⊙O上，CF⊥OC，且CF=BF．（1）证明BF是⊙O的切线；（2）设AC与BF的延长线交于点M，若MC=6，求∠MCF的大小．，则∴=MCF=cosM=．21．（5分）（2011•海淀区一模）为了解学生的课余生活情况，某中学在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．问卷中请学生选择最喜欢的课余生活种类（每人只选一类），选项有音乐类、美术类、体育类及其他共四类，调查后将数据绘制成扇形统计图和条形统计图（如图所示）．（1）请根据所给的扇形图和条形图，填写出扇形图中缺失的数据，并把条形图补充完整；（2）在问卷调查中，小丁和小李分别选择了音乐类和美术类，校学生会要从选择音乐类和美术类的学生中分别抽取一名学生参加活动，用列表或画树状图的方法求小丁和小李恰好都被选中的概率；（3）如果该学校有500名学生，请你估计该学校中最喜欢体育运动的学生约有多少名？（22．（5分）（2011•海淀区一模）如图1，已知等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记△DEF的周长为p．（1）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，则p=；（2）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则p的取值范围是≤p＜3．小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将△ABC以AC边为轴翻折一次得△AB1C，再将△AB1C以B1C为轴翻折一次得△A1B1C，如图2所示．则由轴对称的性质可知，DF+FE1+E1D2=p，根据两点之间线段最短，可得p≥DD2．老师听了后说：“你的想法很好，但DD2的长度会因点D的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果．”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”．请参考他们的想法，写出你的答案．DE=AC=EF=AB=，DF=BC=++=（，≤，）五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）（2011•海淀区一模）已知关于x的方程x2﹣（m﹣3）x+m﹣4=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围；（3）设抛物线y=x2﹣（m﹣3）x+m﹣4与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线y=﹣x的对称点恰好是点M，求m的值．24．（7分）（2011•海淀区一模）已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣（a+1）x与直线y=kx的一个公共点为A（4，8）．（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN 的面积．25．（8分）（2011•海淀区一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=．点D在边AC上（不与A，C重合），连接BD，F为BD中点．（1）若过点D作DE⊥AB于E，连接CF、EF、CE，如图1．设CF=kEF，则k=1；（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE﹣DE=2CF；（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．BAC=，得到．证，得到中点．于是时，BAC=，CM=FM=CF=CM+FM=AD=的最大值为BD EF=BDBAC=，∴∴中，AD=BAC=，且AB=CM=AD=FM=CF=CM+FM=的最大值为的长度取得最大值为参与本试卷答题和审题的老师有：nhx600；马兴田；Liuzhx；zcx；gbl210；HJJ；sks；HLing；gsls；bjy；zjx111；ZJX；ZHAOJJ；zhjh；zhqd；sjzx；冯延鹏（排名不分先后）菁优网2014年3月16日。
2022-2023学年北京市人大附中九年级数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．若函数2myx+=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞﹣2 B．m＜﹣2C．m＞2 D．m＜22．校园内有一个由两个全等的六边形（边长为3.5m）围成的花坛，现将这个花坛在原有的基础上扩建成如图所示的一个菱形区域，并在新扩建的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（）A．28m B．35m C．42m D．56m3．反比例函数2yx=的图象分布的象限是（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一象限D．第二象限4．如图，A，B是反比例函数y=4x在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（）A．4 B．3 C．2 D．1 5．下列事件中是随机事件的是()A．校运会上立定跳远成绩为10米B．在只装有5个红球的袋中，摸出一个红球C．慈溪市明年五一节是晴天D ．在标准大气压下，气温3°C 时，冰熔化为水 6．抛物线y ＝﹣2（x +1）2﹣3的对称轴是（ ）A ．直线x ＝1B ．直线x ＝﹣1C ．直线x ＝3D ．直线x ＝﹣37．如图，O 是坐标原点，菱形OABC 顶点A 的坐标为()3,4-，顶点C 在x 轴的负半轴上，反比例函数k y x =的图象经过顶点B ，则k 的值为（ ）A ．12-B ．20-C ．32-D ．36-8．如图，在正方形ABCD 中，BPC △是等边三角形，、BP CP 的延长线分别交AD 于点E F 、，连结,BD DP BD 、与CF 相交于点H ．给出下列结论， ①△ABE ≌△DCF ；②△DPH 是等腰三角形；③2333PF AB -=；④ABCD 314PBD S S -=四边形， 其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．19．下列银行标志图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．在△ABC 中，∠C=90°，则下列等式成立的是（ ）A ．sinA=AC AB B ．sinA=BC AB C ．sinA=AC BCD ．sinA=BC AC二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知 x 1、x 2 是关于 x 的方程 x 2+4x -5＝0的两个根，则x 1 + x 2＝_____．12．一人乘雪橇沿坡比1:3的斜坡笔直滑下，滑下的距离s （米）与时间t （秒）间的关系为s =10t ＋2t 2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为_______．13．一个扇形的弧长是83π，它的面积是163π，这个扇形的圆心角度数是_____． 14．如图，⊙O 的半径OC=10cm ，直线l ⊥OC ，垂足为H ，交⊙O 于A ，B 两点，AB=16cm ，直线l 平移____________cm时能与⊙O 相切．15．请将二次函数2246y x x =-++改写()2y a x h k =-+的形式为_________________. 16．如图，⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ，若∠C=25°，则∠D=________．17．矩形ABCD 中，AB=6，BC=8.点P 在矩形ABCD 的内部，点E 在边BC 上，满足△PBE ∽△DBC ，若△APD 是等腰三角形，则PE 的长为数___________.18．若m 是方程220171x x +-=的一个根，则代数式(1)m m +的值等于______．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （﹣4，1），B （﹣1，2），C （﹣2，4）.（1）将△ABC 向右平移4个单位后得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1，并写出点B 1的坐标；（2）△A 2B 2C 2和△A 1B 1C 1关于原点O 中心对称，请画出△A 2B 2C 2，并写出点C 2的坐标；（3）连接点A 和点B 2，点B 和点A 2，得到四边形AB 2A 2B ，试判断四边形AB 2A 2B 的形状（无须说明理由）．20．（6分）如图，从一块长80厘米，宽60厘米的铁片中间截去一个小长方形，使截去小长方形的面积是原来铁片面积的一半，并且剩下的长方框四周的宽度一样，求这个宽度．21．（6分）如图，每个小正方形的边长为1个单位长度，请作出ABC ∆关于原点对称的111A B C ∆，并写出点1A 的坐标．22．（8分）如图1，在Rt △ABC 中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ，将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.（1）问题发现① 当0α︒=时，AE BD = ；② 当时，AE BD = （2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，AE DB的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. （3）问题解决当△EDC 旋转至A 、D 、E 三点共线时，直接写出线段BD 的长.23．（8分）如图，已知反比例函数13k y x =的图像与一次函数2y k x b =+的图像交于A(－1，a ），B 在(13，－3)两点． （1）求a 的值；（2）直接写出使一次函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．24．（8分）如图1，在矩形ABCD 中，4,2AD CD ==，点M 从点A 出发向点D 移动，速度为每秒1个单位长度，点N 从点C 出发向点D 移动，速度为每秒2个单位长度. 两点同时出发，且其中的任何一点到达终点后，另一点的移动同时停止.（1）若两点的运动时间为t ，当t 为何值时，AMB DNA ∆∆？（2）在（1）的情况下，猜想AN 与BM 的位置关系并证明你的结论.（3）①如图2，当2AB CD ==时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则t =_________. ②当(1)AD n n AB=>，2AB =时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则t =_________（用含n 的代数式表示）. 25．（10分）二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3图象与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 左侧，求AB 的长．26．（10分）下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．已知：⊙O 及⊙O 外一点P ．求作：直线PA 和直线PB ，使PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ．作法：如图，①连接OP ，分别以点O 和点P 为圆心，大于12OP 的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M ，N ； ②连接MN ，交OP 于点Q ，再以点Q 为圆心，OQ 的长为半径作弧，交⊙O 于点A 和点B ；③作直线PA 和直线PB .所以直线PA 和PB 就是所求作的直线.根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：∵OP是⊙Q的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝________°（）（填推理的依据）．∴PA⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB为⊙O的半径，∴PA，PB是⊙O的切线．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】根据反比例函数的性质，可得m+1＜0，从而得出m的取值范围．【详解】∵函数2myx+=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，∴m+1＜0，解得m＜-1．故选B．2、C【分析】根据题意和正六边形的性质得出△BMG是等边三角形，再根据正六边形的边长得出BG=GM=3.5m，同理可证出AF=EF=3.5m，再根据AB=BG+GF+AF，求出AB，从而得出扩建后菱形区域的周长．【详解】解：如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF，∴∠BMG=∠BGM=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BG=GM=3.5（m），同理可证：AF=EF=3.5（m）∴AB=BG+GF+AF=3.5×3=10.5（m），∴扩建后菱形区域的周长为10.5×4=42（m），故选：C．【点睛】此题考查了菱形的性质，用到的知识点是等边三角形的判定与性质、菱形的性质和正六边形的性质，关键是根据题意作出辅助线，找出等边三角形．3、A【解析】先根据反比例函数的解析式判断出k的符号，再根据反比例函数的性质即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数y=2x中，k=2＞0，∴反比例函数y=2x的图象分布在一、三象限．故选：A．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=kx（k≠0）中，当k＞0时，反比例函数图象的两个分支分别位于一三象限是解答此题的关键．4、B【解析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（1，1），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC=S△BOD=12×4=1．根据S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB=S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC =12（BD+AC）•CD=12×（1+1）×1=2，从而得出S△AOB=2．【详解】∵A，B是反比例函数y=4x在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是1和4，∴当x=1时，y=1，即A（1，1），当x=4时，y=1，即B （4，1），如图，过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则S △AOC =S △BOD =12×4=1， ∵S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ， ∴S △AOB =S 梯形ABDC ，∵S 梯形ABDC =12（BD+AC ）•CD=12×（1+1）×1=2， ∴S △AOB =2，故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数()0k y k x=≠中k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积，熟知反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 与k 的关系为S=12|k|是解题的关键． 5、C【分析】根据随机事件的定义，就是可能发生也可能不发生的事件进行判断即可．【详解】解：A ．“校运会上立定跳远成绩为10米”是不可能事件，因此选项A 不符合题意；B ．“在只装有5个红球的袋中，摸出一个红球”是必然事件，因此选项B 不符合题意；C ．“慈溪市明年五一节是晴天”可能发生，也可能不发生，是随机事件，因此选项C 符合题意；D ．“在标准大气压下，气温3°C 时，冰熔化为水”是必然事件，因此选项D 不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义，理解随机事件的定义是解题的关键．6、B【分析】根据题目中抛物线的解析式，可以写出该抛物线的对称轴．【详解】解：∵抛物线y ＝﹣2（x +1）2﹣3，∴该抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，故选：B ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．7、C【分析】根据点C 的坐标以及菱形的性质求出点B 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值即可．【详解】∵()34A -，，∴5OA ==，∵四边形OABC 是菱形，∴AO=CB=OC=AB=5，则点B 的横坐标为358--=-，故B 的坐标为：()84-，， 将点B 的坐标代入k y x =得，48k =-， 解得：32k =-．故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B 的坐标． 8、A【分析】①利用等边三角形的性质以及正方形的性质得出∠ABE=∠DCF=30°，再直接利用全等三角形的判定方法得出答案；②利用等边三角形的性质结合正方形的性质得出∠DHP=∠BHC=75°，进而得出答案；③利用相似三角形的判定与性质结合锐角三角函数关系得出答案；④根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD 的面积=△BCP 的面积+△CDP 面积-△BCD 的面积，得出答案．【详解】∵△BPC 是等边三角形，∴BP=PC=BC ，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，在正方形ABCD 中，∵AB=BC=CD ，∠A=∠ADC=∠BCD=90°∴∠ABE=∠DCF=30°， 在△ABE 与△CDF 中，A ADC ABE DC AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△DCF，故①正确；∵PC=BC=DC，∠PCD=30°，∴∠CPD=75°，∵∠DBC=45°，∠BCF=60°，∴∠DHP=∠BHC=1804560︒-︒-︒=75°，∴PD=DH，∴△DPH是等腰三角形，故②正确；设PF=x，PC=y，则DC=AB=PC=y，∵∠FCD=30°，∴cos30CD y CF x y︒==+，即()32y x y=+，整理得：33 122y x ⎛⎫-=⎪⎪⎝⎭解得：2333xy-=，则2333PF AB-=，故③正确；如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，∵△BPC为正三角形，∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，∴∠PCD=30°，∴360423 PN PB sin=︒==130422PM PC sin=︒=⨯=，S△BPD=S四边形PBCD-S△BCD=S△PBC+S△PDC-S△BCD111222BC PN CD PM BC CD =+- 1114234244222=⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯ 4348=+-434=-，∴ABCD 314PBDS S -=四边形，故④正确； 故正确的有4个，故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定等知识，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义表示出出FE 及PC 的长是解题关键．9、B【解析】由题意根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行依次判断即可．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．10、B【解析】分析：根据题意画出图形，进而分析得出答案．详解：如图所示：sin A =BC AB． 故选B ．点睛：本题主要考查了锐角三角函数的定义，正确记忆边角关系是解题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、-1【分析】根据根与系数的关系即可求解．【详解】∵x1、x2是关于x 的方程x2+1x-5＝0的两个根，∴x1+ x2＝-41=-1，故答案为：-1．【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知x1+ x2＝-ba．12、36m【分析】求滑下的距离，设出下降的高度表示出水平宽度，利用勾股定理即可求解．【详解】解:当t= 4时，s =10t＋2t2=72，设此人下降的高度为x米，过斜坡顶点向地面作垂线，在直角三角形中，由勾股定理得：22)72x+=，解得：x= 36，故答案为：36m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用理解坡比的意义，使用勾股定理，设未知数，列方程求解．13、120°【分析】设扇形的半径为r，圆心角为n°．利用扇形面积公式求出r，再利用弧长公式求出圆心角即可．【详解】设扇形的半径为r，圆心角为n°．由题意：1816··233rππ=,∴r＝4，∴2416 3603 nππ=∴n＝120，故答案为120°【点睛】本题考查扇形的面积的计算，弧长公式等知识，解题的关键是掌握基本知识.【分析】要使直线l 与⊙O 相切，就要求CH 与DH ，要求这两条线段的长只需求OH 弦心距，为此连结OA ，由直线l ⊥OC ，由垂径定理得AH=BH ，在Rt △AOH 中，求OH 即可．【详解】连结OA∵直线l ⊥OC ，垂足为H ，OC 为半径，∴由垂径定理得AH=BH=12AB=8 ∵OA=OC=10，在Rt △AOH 中，由勾股定理得OH=2222OA -AH =10-8=6，CH=OC-OH=10-6=4，DH=2OC-CH=20-4=1， ，直线l 向左平移4cm 时能与⊙O 相切或向右平移1cm 与⊙O 相切．故答案为：4或1．【点睛】本题考查平移直线与与⊙O 相切问题，关键是求弦心距OH ，会利用垂径定理解决AH ，会用勾股定理求OH ，掌握引辅助线，增加已知条件，把问题转化为三角形形中解决．15、22(1)8y x =--+【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【详解】解：2222462(21)262(1)8y x x x x x =-++=--+++=--+；故答案为：22(1)8y x =--+.【点睛】本题考查了二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）；（2）顶点式：y=a （x-h ）2+k ；（3）交点式（与x 轴）：y=a （x-x 1）（x-x 2）．【解析】试题分析：先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由垂径定理求出∠AED的度数，进而可得出结论．∵∠C=25°，∴∠A=∠C=25°．∵⊙O的直径AB过弦CD的中点E，∴AB⊥CD，∴∠AED=90°，∴∠D=90°﹣25°=65°考点：圆周角定理17、3或1.2【分析】由△PBE∽△DBC，可得∠PBE=∠DBC，继而可确定点P在BD上，然后再根据△APD是等腰三角形，分DP=DA、AP=DP两种情况进行讨论即可得.【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠C=90°，CD=AB=6，BC=8，∴BD=10，∵△PBE∽△DBC，∴∠PBE=∠DBC，∴点P在BD上，如图1，当DP=DA=8时，BP=2，∵△PBE∽△DBC，∴PE：CD=PB：DB=2：10，∴PE：6=2：10，∴PE=1.2；如图2，当AP=DP时，此时P为BD中点，∵△PBE∽△DBC，∴PE：CD=PB：DB=1：2，∴PE：6=1：2，∴PE=3；综上，PE的长为1.2或3，故答案为1.2或3.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质等，确定出点P 在线段BD 上是解题的关键. 18、1【分析】把m 代入已知方程，求得22018m m +=，然后得(1)m m +的值即可．【详解】解：把m 代入已知方程220171x x +-=得22018m m +=，∴2(1)=+2018m m m m +=，故答案为1．【点睛】本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，注意已知条件与待求代数式之间的关系．三、解答题(共66分)19、（1）如图，△A 1B 1C 1为所作；见解析；点B 1的坐标为（3，2）；（2）如图，△A 2B 2C 2为所作；见解析；点C 2的坐标为（﹣2，﹣4）；（3）如图，四边形AB 2A 2B 为正方形．【分析】（1）利用网格特点和点平移的坐标规律写出1A 、1B 、1C 的坐标，然后描点即可得到△111A B C ； （2）利用网格特点和关于原点对称的点的坐标特征写出2A 、2B 、2C 的坐标，然后描点即可得到△222A B C ； （3）证明四条相等且对角线相等可判断四边形22AB A B 为正方形．【详解】解：（1）如图1，△111A B C 为所作；点1B 的坐标为(3,2)；（2）如图1，△222A B C 为所作；点2C 的坐标为(2,4)--；（3）如图1，四边形22AB A B 为正方形，（理由：如图2，在四边形22AB A B 外侧构造如图所示直角三角形，由坐标网格的特点易证四个直角三角形全等，从而可得四边形22AB A B 四边都相等，四个角等于直角）【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．20、长方框的宽度为10厘米【分析】设长方框的宽度为x 厘米，则减去小长方形的长为（80﹣2x ）厘米，宽为（60﹣2x ）厘米，根据长方形的面积公式结合截去小长方形的面积是原来铁片面积的一半，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】解：设长方框的宽度为x 厘米，则减去小长方形的长为（80﹣2x ）厘米，宽为（60﹣2x ）厘米，依题意，得：（80﹣2x ）（60﹣2x ）＝12×80×60， 整理，得：x 2﹣70x+600＝0，解得：x 1＝10，x 2＝60（不合题意，舍去）．答：长方框的宽度为10厘米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21、画图见解析；点1A 的坐标为()2,2-．【分析】由题意根据平面直角坐标系中，关于原点对称的两个点的坐标特点是横坐标，纵坐标都互为相反数，根据点的坐标就确定原图形的顶点的对应点，进而即可作出所求图形．【详解】解：如图：点1A 的坐标为()2,2-.【点睛】本题考查关于原点对称的知识，关键是掌握关于原点对称的两个点的坐标特点是横坐标，纵坐标都互为相反数，根据点的坐标即可画出对称图形．22、（15,5.（2）无变化；理由参见解析.（3）451255.【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出AEBD的值是多少．②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据AC BCAE BD=，求出AEBD的值是多少即可．（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据52EC ACDC BC==，判断出△ECA∽△DCB，即可求出AEBD的值是多少，进而判断出AEBD的大小没有变化即可．（3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．【详解】（1）①当α=0°时，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴2222(82)845AB BC+=÷+∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴4525AE==,BD=8÷2=4，∴255 AEBD==．②如图1，，当α=180°时，可得AB∥DE，∵AC BC AE BD=，∴45582 AE ACBD BC===（2）如图2，，当0°≤α＜360°时，AEBD的大小没有变化，∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵52 EC ACDC BC==，∴△ECA∽△DCB，∴52 AE ECBD DC==．（3）①如图3，，∵5CD=4，CD⊥AD，∴2222(45)480168AC CD---=∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴BD=AC=45．②如图4，连接BD ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点Q ，过点B 作AC 的垂线交AC 于点P ，，∵AC=5CD=4，CD ⊥AD ，∴2222(45)480168AC CD ---=，∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，∴DE=111(82)4222AB =⨯÷=⨯=2， ∴AE=AD-DE=8-2=6， 由（2），可得5AE BD =， ∴125552=．综上所述，BD 的长为45125． 23、（1）1；（2）x ＜－1或0＜x ＜1.3【分析】（1）将点B 代入13k y x =求出1k ，再将点A 代入即可求出a 的值； （2）由图像可得结论. 【详解】（1）把B （13，-3）代入13k y x =中，得13133k -=⨯∴3k =-． ∴313y x x-==-． 当1x =-时， 111y a ==-=-． （2）如图，过点A 、点B 且平行于y 轴及y 轴所在的三条直线把平面分成了4部分由图象可得x ＜－1或0＜x ＜13时一次函数的图像在反比例函数图像的上方时，此时一次函数值大于反比例函数值，所以x 的取值范围为x ＜－1或0＜x ＜13. 【点睛】本题考查了反比例函数，将反比例函数的解析式与图像相结合是解题的关键.24、（1）12t =；（2）AN BM ⊥，证明见解析；（3）①23；②22n + 【分析】（1）根据相似三角形的性质，可得AM AB DN AD =，进而列出方程，求出t 的值. （2）根据相似三角形的性质，可得ABM DAN ∠=∠，进而根据等量关系以及矩形的性质，得出90AEB ︒∠=，进而得出结论.（3）①根据全等三角形的判定，可得出△AMB ≌△DNA ，再根据全等三角形的性质，即可得出AM=DN ，得出方程，求解即可得出答案.【详解】解：（1）∵AMB DNA ∆∆，∴AM AB DN AD =，∴2224t t =-， 解得12t =. （2）AN BM ⊥.证明：∵AMB DNA ∆∆，∴ABM DAN ∠=∠.∵90DAN BAN ︒∠+∠=，∴90ABM BAN ︒∠+∠=，∴90AEB ︒∠=，即AN BM ⊥.（3）①∵90AEB ︒∠=∴∠ABE＋∠BAE=90°∵90DAN BAN ︒∠+∠=∴ABM DAN ∠=∠∵AD=AB，∠BAD=∠ADC=90°∴△AMB ≌△DNA∴AM=DN∴t=2-2t ∴t=23②∵由①知ABM DAN ∠=∠，∠BAD=∠ADC=90°∴AMBDNA ∆∆ ∵(1)AD n n AB=> ∴DN MA=n ∴22-=t tn ∴t=22n + 【点睛】本题主要考察了相似三角形和全等三角形，熟练掌握相似三角形的性质和正确找出线段之间的关系是解题的关键.25、1．【分析】通过解方程x 2﹣2x ﹣3＝0得A 点坐标为（﹣1，0），B 点坐标为（3，0），然后根据两点间的距离公式得到AB的长．所以AB的长为3﹣（﹣1）＝1．【详解】当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，所以A点坐标为（﹣1，0），B点坐标为（3，0），所以AB的长为3﹣（﹣1）＝1．【点睛】本题考查二次函数、两点间的距离公式，解题的关键是掌握二次函数的性质、两点间的距离公式的应用.26、（1）补全图形见解析；（2）90；直径所对的圆周角是直角.【分析】（1）根据题中得方法依次作图即可；（2）直径所对的圆周角是直角，据此填写即可.【详解】(1)补全图形如图（2）∵直径所对的圆周角是直角，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，故答案为：90；直径所对的圆周角是直角，【点睛】本题主要考查了尺规作图以及圆周角性质，熟练掌握相关方法是解题关键.。
2024北京人大附中初三(下)开学考数学(教师版)
2024北京人大附中初三（下）开学考数 学考生须知：1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间，120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，等合题意的选项只有一个．1．2024年春节假期，首都市民纷纷走出家门，到公园逛庙会、赏民俗、看花灯，感受新春的喜庆氛围．据北京市园林绿化局的数据信息，春节假期首日（2月10日），全市共接待游客71.1万人次．将71.1万用科学记数法表示应为（ ）A ．471.110⨯B ．57.1110⨯C ．47.1110⨯D ．371110⨯2．在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．若关于x 的一元二次方程220x x m −+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1D ．－1 4．已知1x −>−，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．1x >B ．1x <C ．1x >−D ．1x <−5．如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片中出现2张正面朝上的概率是（ ）A ．14B ．13C ．23D ．126．已知点()()()1233,,1,,1,y y y −−在下列某一函数图象上，且312y y y <<，那么这个函数可能是（ ） A ．3y x = B ．23y x = C ．3y x = D ．3y x=−7．无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m 的A 处测得试验田右侧出界N 处俯角为43，无人机垂直下降40m 至B 处，又测得试验田左侧边界M 处俯角为35，则,M N 之间的距离约为（参考数据：tan430.9≈，sin430.7,cos350.8,tan350.7≈≈≈，结果保留整数）（ ）A ．312mB ．286mC ．269mD ．188m8．如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，点P 在线段OD 上，连接AP 并延长交CD 于点E ，过点P 作PF AP ⊥交BC 于点F ，连接,AF EF AF 、交BD 于G ．给出下面四个结论：①2222AB BF AP +<；②BF DE EF +>；③2PB PD BF −<；④FC EC +>． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．③ 第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．若代数式12x −有意义，则实数x 的取值范围是______． 10．五边形的内角和等于______度．11．若反比例函数的图象经过点()2,3−，则该函数的解析式为______．12．天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿AB 长2米，在太阳光下，它的影长BC 为1.5米，同一时刻，祈年殿的影长EF 约为28.5米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度DE 约为______米．13．如图，已知AB 是O 的直径，点C 、D 在O 上，且5,4AB AC ==．则tan ADC ∠=______．14．如图，ABC △中，CD 平分,//ACB DE AC ∠交BC 于点E ．若5,3AC DE ==，则BE =______．15．已知()1,3是反比例函数11k y x=图象和正比例函数22y k x =图象的交点．若12y y >，则x 的取值范围是______．16．甲乙两人进行如下游戏：已知1、2、3、4、5、6、7、8共8个数，每人每次从中勾去2个数，若甲先开始，两人轮流进行，经过3次勾数后，还剩两个数，这时所余两数之差即为甲得的分数，则甲可保证自己至少得______分． 三、解答题（共68分，第17－19题，每题5分，第20－21题，每题6分，第22－23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题，每题7分）17．计算：112sin452−⎛⎫++− ⎪⎝⎭． 18．解不等式组：24,3172.x x x x +⎧≤⎪⎨⎪+>−⎩ 19．已知230x xy +−=，求代数式222xy y x y x x x⎛⎫+++÷ ⎪⎝⎭的值． 20．如图，在ABC △中，,AB AC AD =为BC 边上的中线，点E 为AD 中点，过点A 作//AF BC ，交BE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：四边形ADCF 为矩形；（2）若36,sin 5BC BAD =∠=，求EF 的长． 21．电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？“该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：（1）刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”下面有三种说法：①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案．②刘三姐的姐妹们给出的答穼是唯一正确的答案．③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．所有正确说法的序号是______；（2）若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量．22．在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠图象经过点()1,4A 和()2,B m（1）若2m =，求该函数的解析式；（2）当2x >时，对于x 的每一个值，函数1y mx =−的值大于()0y kx b k =+≠的，结合函数图象，直接写出m 的取值范围．23．蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万卢提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析，下面给出了部分信息：a ．配送速度得分（满分10分）：甲：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10乙：7 7 8 8 8 9 9 9 10 10b ．服务质量得分统计图（满分10分）：c ．配送速度和服务质量得分统计表：（1）写出表中,m n 的值；（2）在甲乙两家快递公司中，如果某公司得分的10个数据的方差越小，则认为种植户对该公司的评价越一致．据此推断；甲、乙两家公司中，种植户对______的服务质量的评价更一致（填“甲”或“乙”）；（3）一开始小丽考虑到樱桃保鲜时间短，所以更看重配送速度，从这个角度看，你为小雨推荐的公司为______（填“甲”或“乙”）：后来改进了储存技术，在配送速度达到6分及以上的情况下，小丽更看重服务质量的稳定性，从这个角度看，你为小丽推荐的公司为______（填“甲”或“乙”）．24．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为,H E 为BC 上一点，过点E 作O 的切线，分别交,DC AB 的延长线于点,F G ．连接AE ，交CD 于点P ．（1）求证：FEP FPE ∠=∠；（2）连接AD ，若4//,4,cos 5AD FG CD F ==，求EG 的长． 25．酶是一种绿色添加剂，合理地使用酶制作面包，能增加面粉的拉伸面积，从而既能降低原料的成本，又能改善面包的口味．下表是A 种酶对面粉拉伸面积的影响表．x 之间的关系， 当020x ≤≤时，y 与x 满足______关系：当2060x ≤≤时，y 与x 满足______关系；（填“一次函数”或“反比例函数”或“二次函数”）（2）当面粉拉伸面积不小于2112.5cm 时，达到效果较好，结合（1）中的判断，请你求出面粉拉伸面积y 与A 种酶的添加量x 的函数关系式，并写出达到效果较好时的x 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，点()00,x y 是抛物线()230y ax bx a =++>上任意一点． （1）若002,3x y =−=，求该拋物线的对称轴；（2）已知点()()()1231,,1,,3,y y y −在该抛物线上．若存在034x <<，恰好使03y =．比较123,,y y y 的大小，并说明理由． 27．在ABC △中，,,BAC AB AC D α∠==为BC 上一动点，连结AD ．将AD 绕点A 逆时针旋转()180α−得到线段AE ，连接BE ，取BE 中点G ．（1）如图1，点D 不与B C 、重合，用等式表示线段CD 与AG 的数量关系，并证明；（2）若120α=，且AD BE ⊥，连接,DG CE ，依题意补全图2，并直接写出BD DG CE −的值． 28．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1．对于O 的弦AB 和点C 给出如下定义；若直线CA 经过点O ，线段CB 与O 只有一个公共点B ，且30ACB ∠=，则称点C 是弦AB 的“关联点”．（1）如图，点()1,,1,022A B ⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭．在点(()()12341,,,,1,02C C C C ⎛−⎝⎭中，弦AB 的“关联点”是______；（2）若点()1,0,22A B ⎛ ⎝⎭，且点C 是弦AB 的“关联点”，求线段OC 的长；（3）已知直线y =+与x 轴、y 轴分别交于点,M N ．对于线段MN 上一点P ，存在O 的弦AB ，使得点P 是弦AB 的“关联点”．记AB 的长为t ，当点P 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．参考答案一、选择题（每小题2分，共16分）16分）9．2x ≠； 10．540； 11．6y x=−； 12．38； 13．43； 14．92； 15．01x <<或1x <−； 16．5 三、解答题（共68分，过程与标准答案不同，但合理，即可给分）17．解：原式222=⋅+−2= 18．解：原不等式组为243172x x x x +⎧≤⎪⎨⎪+>−⎩①②由①得4x ≤，由②得2x >，∴不等式组的解集为24x <≤．19．解：原式2222x xy y x x x y ++=⋅+()22x y x x x y+=⋅+()x y x =+⋅2x xy =+ 230x xy +−=23x xy ∴+=．即原式值为3．20．（1）证明：点E 为AD 中点，//AF BC ，1EF AE BE ED ∴==． ∴四边形ABDF 为平行四边形，//,AF BD AF BD ∴=． 又,AB AC AD =为BC边上的中线，,AD BC BD DC ∴⊥=．,AF DC AF DC ∴=．∴四边形ADCF 为平行四边形． 又90ADC ∠=，∴平行四边形ADCF 为矩形．（2）解：6,BC AD =为BC 边上的中线，132BD BC ∴==．在Rt ABD △中，3sin 5BAD ∠=，5sin BD AB BAD ∴==∠．4AD ∴==． 又点E 为AD 中点，122ED AD ∴==． ∴在Rt EBD △中，BE ==EF BE ∴==．21．（1）①；（2）解：设数量多的三个群均有x 条狗，则数量少的群有()40x −条狗．由题意，列方程为()340300x x +−=，解得85x =．则4045x −=．答：四个群里狗的条数分别为85，85，85，45．22．（1）2m =，∴函数()0y kx b k =+≠图象经过点()1,4A 和()2,2B ．422k b k b +=⎧∴⎨+=⎩，解得26k b =−⎧⎨=⎩．∴该函数的解析式为26y x =−+． （2）1m ≥且m ≠423．（1）8, 6.5m n ==；（2）甲；（3）乙；甲24．（1）证明：连接OE ，EF 为O 的切线，90OEF ∴∠=．90OEA PEF ∴∠+∠=．CD AB ⊥，90AHP ∴∠=．∴在APH △中，90PAH APH ∠+∠=．又OE OA =，OEA PAH ∴∠=∠．FEP APH ∴∠=∠．APH FPE ∠=∠．FEP FPE ∴∠=∠．（2）解：//AD FG ，F ADH ∴∠=∠． 4cos 5F =，4cos 5ADH ∴∠=．弦,4CD AB CD ⊥=， 12,902DH CD AHD OHD ∴==∠=∠=． ∴在Rt AHD △中，53,cos 22AD AH ADH ====∠． 设半径OD r =，则32OH OA AH r =−=−， 在Rt OHD △中，222OH DH OD +=， 222322r r ⎛⎫∴−+= ⎪⎝⎭，解得2512r =． 在Rt FHG △中，4sin cos 5G F ==，125sin 48OE OG G ∴==，2516EG ∴==． 25．（1）一次函数；二次函数（2）解：当020x ≤≤时，依据表格数据，设90y kx =+，代入()10,95得109095k +=，解得12k =． 1902y x ∴=+． 当2060x ≤≤时，依据表格数据，设()235y a x m =−+，代入()20,100和()40,120得()()2220351004035120a m a m ⎧−+=⎪⎨−+=⎪⎩，解得1102452a m ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．()2124535102y x ∴=−−+ 综上所述，y 与x 的函数关系式为()2190,020*********2x x y x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪−−+⎪⎩，2060x <≤， 达到效果较好时的x 的取值范围为2545x ≤≤．26．（1）解：抛物线过()2,3−，4233a b ∴−+=即2b a =，∴抛物线对称轴为直线2122b a x a a=−=−=−； （2）解：132y y y >>理由如下：设抛物线对称轴为直线x t =，则抛物线上点()0,3关于对称轴的对称点为()2,3t ， 存在034x <<，恰好使03y =．324t ∴<<，即322t <<． 抛物线开口向上，∴在对称轴的左侧y 随x 增大而减小．又()33,y 关于对称轴的对称点为()323,t y −且0231t <−<∴点()()()1231,,1,,23,y y t y −−都在对称轴左侧，且1231t −<−<132y y y ∴>>．27．（1）线段CD 与AG 的数量关系：2CD AG =．证明：倍长EA 到F ，连接BF ． G 为BE 的中点，2BF AG ∴=． AD 绕点A 逆时针旋转()180α−得到线段AE ， ,180AD AE DAE α∴=∠=−．,AD AF DAF α∴=∠=．BAC FAD α∠==∠，BAF CAD BAD α∴∠=∠=−∠．又AB AC =，FAB DAC ∴△≌△．BF CD ∴=．2CD AG ∴=．（2）BD DG CE −的值：2． 依题意补全图2如图：28．（1）1C ；（2）解：如图，由题意可得，点C 在x 轴上且30ACB ∠=， 即图中1C 和2C 两个位置．过B 作BD x ⊥轴于D ，2,,,?222B OD BD ⎛∴== ⎝⎭，又在Rt 1BC D △中，130BC D ∠=，12C D ∴=．112OC C D OD ∴=−=−=2C D =，222OC C D OD ∴=+==综上所述，线段OC 的长为2或2．（3）12t ≤≤2t ≤≤．。
北京市人大附中分校 2022-2023年年 初三 上12月考数学试卷
2022-2023学年第一学期 12月月考 初三数学 试题班级：____________ 姓名：____________ 学号：__________一、选择题（本题共24分，每小题3分）1．在平面直角坐标系中，点P （－3，－2）关于原点对称的点的坐标是 （ ）A ．（3，2）B ．（－3，－2）C ．（2，－3）D ．（－3，2）2．下列二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）A ．x 2−4x +4=0B ． −x 2+6x −10=0C ．x 2+3x +9=0D ． −3x 2−x +4=03．如图，△COD 是△AOB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形，若点C 恰好落在AB 上，且∠AOD 的度数为90°，则∠B 的度数是 （ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70° 4．在不透明的布袋中有若干个球，这些球除颜色外完全相同，如果摸出红球的概率为，袋中红球有3个，则袋中共有球( )．A ．5个B ．8个C ．10个D ．15个5．如图，⊙O 与直线l 1相离，圆心O 到直线l 1的距离OB ＝2√3，OA ＝4，将直线l 1绕点A 逆时针旋转30°后得到的直线l 2刚好与⊙O 相切于点C ，则OC ＝（ ）A. 1B. 2C. 3D.46．如图，点P 是反比例函数y =6x 的图象上的任意一点，过点P 分别作两坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形OAPB ，点D 是矩形OAPB 内任意一点，连接DA 、DB 、DP 、DO ，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 47．如图，在△ABC 中，∠BCA =60°，∠A =45°，AC =4，经过点C 且与边AB相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点M ，N ，则线段MN 长度的最小值是（ ）A. 3B. 2√3C.2√2 D. √6518. 二次函数y ＝x 2+bx +c .①当－1≤x ≤1时，y 的取值范围是－1≤y ≤1， 该二次函数的对称轴 为x =m ，则m 的最小值为1－√2②存在实数b 和c ，使得当－1≤x ≤1时，y 的取值范围是－1≤y ≤1，且y 随x 增大而增大. ③当－1≤x ≤1时，存在函数值y ，使得－1≤y ≤1. 对于任意给定的实数b 和c ，该函数均有最小值y min ，则y min 的最大值为1.④若只存在两个自变量值x 1，x 2，其中－1≤x 1＜x 2≤1，使得对于相应的函数值y 1，y 2， 有－1≤y 1≤y 2≤1，则该函数最小值为－2上述结论中，所有正确结论的序号是_____________________ A. ①② B. ①③④ C. ①④ D. ②③④ 二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．将抛物线y =x 2向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为______．10. 若圆锥的底面积为16π，母线长为12，，则它的侧面展开图的圆心角为11. 若圆的一条弦的长度是半径的√2倍，则该弦所对的圆周角为_______________°. 12. 如图，在等腰△ABC 中，AB=AC =9，BP = 13BC =2，D 在AC 上， 且∠APD =∠B ，则CD =_______13. Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，则该三角形的内切圆半径为_________.14. 反比例函数y =kx（k ＞0，x ＞0）与两条坐标轴的正半轴所夹的开放区域内（不含边界）只有8个整点（横、纵坐标均为整数），则k 的取值范围为__________________15. 如图，△ABC 中，已知∠C =90°，∠B =60°，点D 在边BC 上（点D 不与B 、C 重合）．把△ABC 绕着点D 顺时针旋转，如果点C 恰好落在初始Rt △ABC 的AB 边上，那么BDCD 的取值范围是_________________16. 点A 、B 在反比例函数y =4x （x ＞0）的图象上，下列说法正确的是________________①点C 在直线y =x 上，存在等腰Rt △ABC ，且∠C =90°.②存在第三象限内的点C ，使得△ABC 为等腰直角三角形，且∠C =90°. ③点B （4，1），点C 在直线y =－x －3上，存在两个等腰Rt △ABC ， 且∠C =45°.④点C 在直线y =－x 上，若点A 、B 的横坐标均小于2，则不存在等腰Rt △ABC ， 且∠ABC =45°三、解答题（本题共52分，第17、18题，每题5分；第19---21题，每题6分；第22---24题，每题8分）17. 已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB．求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=12∠BAC．作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作的线段．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝．∵AB＝AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC=12∠BAC( )(填推理的依据)．∴∠ABP=12∠BAC．18. 如图，平面直角坐标系中，点A（1，4），B（2，1），C（5，4），D（8，5），线段AB绕着某点旋转后与线段CD重合.（1）AB=______________（2）请直接写出该旋转中心的坐标为_________________________（3）点O也绕（1）中的旋转中心，作与线段AB一样的旋转变换，则旋转后的对应点坐标为______________________________19. 一个不透明的布袋中有完全相同的四个小球，把它们分别标号为1，2，3，4．甲和乙做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后，扔到旁边；再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号．若两次抽取的小球标号之和为奇数，甲赢；若标号之和为偶数，则乙赢．（1）用画树状图的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；（2）请用概率的知识判断这个游戏是否公平，并说明理由．20. 在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=k的图象过点P（2，2）.x（1）求k的值；（x＞0）的图象交于点N,过（2）一次函数y=x+a与y轴相交于点M，与反比例函数y=kx≤S∆MNQ≤4点M作x轴的平行线，过点N作y轴的平行线,两平行线相交于点Q，当12时，结合图象，直接写出a的取值范围.21. 如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作AE⊥CD的延长线于点E，已知DA平分∠BDE.（1）求证：AE是⊙O的切线（2）若AE=2√5，CD=8，求⊙O的半径和AD的长.22. 函数y=ax2+bx（a＞0）的图象上存在两点A（1，m），B（4，n）（1）若m＜n，下列说法正确的是：_______________①b＜0 ②a+b＜0 ③5a+b＞0（2）若mn＜0，对于所有满足条件的实数a和b，当k－3＜x＜k+1时，函数不存在最值，求出k的取值范围.23．在等腰和等腰中，，，将绕点逆时针旋转，连接．（1）如图1，当点旋转到边上时，若O 为AB 中点，连接EO ，DO . 请直接写出线段与的位置关系和数量关系：__________________________；（2）如图2，当点旋转到边上时， 点O 在线段AB 上，且OE =OD ，求证：O 为AB 中点.24．对于平面直角坐标系中的线段AB 和点P （点P 不在线段AB 上），给出如下定义：当P A =PB 时，过点A （或点B ）向直线PB （或P A ）作垂线段，则称此垂线段为点P 关于线段AB 的“测度线段”，垂足称为点P 关于线段AB 的“测度点”. 如图所示，线段AD 和BC 为点P 关于线段AB 的“测度线段”，点C 与点D 为点PAB的“测度点”.（1）如图，点M （0，4）、N （2，0），① 点P 的坐标为（5，4），直接写出点P 关于线段MN 的“测度线段”的长度________；② 点H 为平面直角坐标系中的一点，且HM =HN ，则下列四个点：Q 1（0,0），Q 2（3,3），Q 3（1,0），Q 4（0,4）中，是点H 关于线段MN 的“测度点”的是____________；（2）直线364y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 与点B ，① 点G 为平面直角坐标系中一点，且GA =GB ，若一次函数143y kx k =-+上存在点G 关于线段AB 的“测度点”，直接写出k 的取值范围为_______________________________；② ⊙O 的半径为r ，点C 与点D 均在⊙O 上，且线段65CD r =. 点K 与点O 位于线段CD 的异侧，且KC =KD ，若在线段AB 上存在点K 关于线段CD 的“测度点”，直接写出r 的取值范围为_______________________________.ADC ∆BEC ∆90ADC BEC ∠=∠=︒BC CD <BEC ∆C AB B CD DO EO B AC2022-2023学年第一学期12月月考初三数学答题纸班级：____________ 姓名：____________ 学号：__________二、填空题（本题共24分，每小题3分）9. _______________ 10. _______________ 11. ________________ 12. ________________13. _______________ 14. _______________ 15. ________________ 16. ________________三、解答题（本题共52分，第17、18题，每题5分；第19---21题，每题6分；第22---24题，每题8分）17. ①∠ABP＝．②___________________________________________________．18.（1）AB=_____________________（2）旋转中心的坐标为_________________________（3）点O旋转后的对应点坐标为______________________________19. （1）（2）答：20. （1）解：（2）a的取值范围为____________.21.（1）证明：（2）解：22.（1）说法正确的是：_______________ （2）解：23．（1）线段与的位置关系和数量关系：__________________________；（2）证明：24．（1）①点P 关于线段MN 的“测度线段” 的长度________；②点H 关于线段MN 的“测度点”的是____________； （2）① k 的取值范围为_______________________________； ② r 的取值范围为_______________________________.DOEO。
2023年北京市人大附中初三3月月考数学试卷及答案
2023北京人大附中初三3月月考数 学2023.3一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合愿意的选项只有一个．1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）A. 长方体B. 三棱柱C. 圆柱D. 圆锥2. 民以食为天．一米一面，虽看似平常，却代表着稳稳的幸福．2022年，全国粮食总产量13731亿斤，比上年增长0.5%，粮食产量连续8年稳定在1.3万亿所以上，将1373100000000用科学记数法表示应为（ ）A. 130.1373110⨯B. 121.373110⨯C. 131.373110⨯D. 1213.73110⨯3. 如图，已知AB CD ∥，点E 在线段BC 上（不与点B ，点C 重合），连接DE ．若40D ∠=︒，70BED ∠=︒，则B ∠的大小为（ ）A. 10︒B. 20︒C. 30︒D. 40︒4. 实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论中正确的是（）A. 2a <−B. a b <C. a b >−D. b a <−5. 五边形的外角和等于（） A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°6. 图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 87. 下图是30名学生A ，B 两门课程成绩的统计图，若记这30名学生A 课程成绩的方差为21s ，B 课程成绩的方差为22s ，则21s ，22s 的大小关系为（ ）A. 2212s s <B. 2212s s =C. 2212s s >D. 不确定8. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h （cm ）是时间t （min ）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h 的值记录错误，错误的h 的值为（ ）A. 2.4B. 2.8C. 3.4D. 4第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__________．10. 因式分解：39a a −=______． 11. 方程233x x=−的解是_______ 12. 一个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0至9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开．粗心的小明忘了中间的数字，他一次就能打开该锁的概率是______． 13. 已知关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个不相等的实数根，写出一组符合题意的实数b ，c 的值：b =______，c =______．14. 如图，点O 在线段AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径作半圆O ，BD 与半圆O 相切，切点为C ，连接OC ，AC ．若2OB OA =，则CAB ∠的度数为______．15. 如图，在矩形ABCD 中，ABC ∠的平分线分别交直线AD ，CD 于点E ，F ．若4AB =，6BC =，则EF 的长为______．16. 甲、乙两人分别在A ，B 两条生产线上加工零件，在A 生产线，甲、乙均是每天最少可以加工2个A 零件．当连续生产时，甲第一天能加工10个A 零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少2个；乙第一天能加工8个A 零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少1个．在B 生产线，甲每天加工7个B 零件，乙每天加工8个B 零件．在同一天内，甲和乙不能在同一条生产线上工作，且在一条生产线连续工作不少于3天时可改变生产线，改变生产线后加工时间重新计算．根据题意，得： （1）甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件______个；（2）若一个A 零件、一个B 零件组成一套产品，则14天最多能加工______套产品．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27，28题，每题7分）．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：()2132cos302π−⎛⎫−+︒+− ⎪⎝⎭18. 解不等式组：()23232x x x x ⎧+>−⎪⎨+<⎪⎩19. 已知m 是方程x 2﹣3x +1＝0的一个根，求（m ﹣3）2+（m +2）（m ﹣2）的值．20. 证明下面是三角形中位线定理添加辅助线的方法，请你完成证明．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 已知：如图，点D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 的中点． 求证：DE BC ∥ 且 12DE BC =． 证明：如图，延长DE 到F ，使EF DE =，连接FC 、DC 、AF ．21. 如图，在ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，且BE DF =，连接AE ，CF ．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形．（2）连接AC ，AC 平分EAF ∠．若4AB =，8BC =，5AF =，求证：四边形ABCD 是矩形． 22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0ky k x=≠的图象经过点()1,4． （1）求该函数的解析式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数ky x=的值都小于函数()0y mx m =≠的值，直接写出m 的取值范围（3）若反比例函数ky x=的图象与函数y x b =+的图象交于点A ，B ．若AB >b 的取值范围． 23. 如图，O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，交BC 于点E ，直线AF 与O 相切于点A ，与BC 的延长线交于点F ，F BAD ∠=∠．（1）求证：BD BE =；（2）若1tan 2F ∠=，5BE =，求AF 的长． 24. 甲，乙两个小区各有300户居民，为了解两个小区3月份用户使用燃气量情况，小明和小丽分别从中随机抽取30户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a ．甲小区用气量频数分布表如下：2025x ≤<，2530x ≤<）c ．乙小区用气量的数据在1520x ≤<这一组的是： 151516161617171818181819、、、、、、、、、、、d ．甲，乙两小区用气量的平均数、中位数、众数如下：（1）写出表中m 和n 的值；（2）在甲小区抽取的用户中，记3月份用气量高于他们的平均用气量的户数为1p ．在乙小区抽取的用户中，记3月份用气量高于他们的平均用气量的户数为2p ．比较1p ，2p 的大小，并说明理由；（3）估计甲乙两小区中用气量不小于20立方米的总户数．25. 为指导菜农生产和销售某种蔬菜，小明进行了如下调查，得到某种蔬菜的售价x （元/千克）与相应需求量p （千克）以及供给量q （千克）的数据，如下表：（1）观察表中的数据，小明发现：供给量q （千克）与售价x （元/千克）之间满足______函数关系（横线上填“一次”、“二次”或“反比例”），它的函数表达式为______；（2）为了研究这种蔬菜的需求量p （千克）与售价x （元/千克）之间的关系，小明在坐标系中，以售价为横坐标、相应需求量为纵坐标描出下列四个点，将其用平滑曲线连线，如图．通过再图观察，小明发现这种蔬菜的需求量p （千克）与售价x （元/千克）之间满足二次函数关系，并进一步确定它的函数表达式满足2p ax c =+的形式，请求出p 关于x 关于的函数表达式．（3）为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为多少？ 26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()14A y −，，232B a y ⎛⎫⎪⎝⎭，，()3C m y ，三个点在抛物线()220y x ax c a =−+>上．（1）当1a =时，求抛物线的对称轴，并直接写出1y 和2y 的大小关系． （2）①若5m =，13y y =，则a 的值为______；②若对于任意25m ≤≤，都满足132y y y >>，求a 的取值范围．27. 在Rt ABC △中，90C ∠=︒，令30B α∠=<︒，线段BC 的垂直平分线分别交线段AB 、BC 于点D ，E ．（1）如图1，用等式表示DE 和AC 之间的数量关系，并证明． （2）如图2，将射线AC 绕点A 逆时针旋转2α交线段DE 于点F ， ①依题意补全图形； ②用等式表示AF ，EF ，DE 之间的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P ，点Q 和直线l ，过点P 作PH l ⊥，垂足为点H ，若点K 与Q 关于点H 对称，则称点K 为点P 关于直线l 和点Q 的垂直对称点． 已知()4,0A ，()0,3B ．（1）①点()3,2关于x 轴和点A 垂直对称点的坐标为______；②点B 因为点A 关于直线l 和点()6,1的垂直对称点，则点A 到直线l 的距离为______． （2）如图1，点(),0C t 关于直线y x =和点()1,0的垂直对称点在直线AB 上，求t 的值．（3）如图2，点P 为线段AB 的四等分点，且AP BP >，点Q 在x 轴下方，且满足1OQ =，点K 为点P 关于x 轴和点Q 的垂直对称点，过点K 作x 轴的垂线，分别交x 轴和线段AB 于点E ，F ，点M 为线段FK 的中点，直接写出EM 的长的取值范围．参考答案第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合愿意的选项只有一个．1. 【答案】B 【解析】【分析】根据几何体的展开图为两个三角形和三个矩形，即可得出几何体是三棱柱． 【详解】∵三棱柱的展开图是两个三角形和三个矩形 ∴该几何体是三棱柱 故选：B ．【点睛】题主要考查几何体的展开图，掌握常见的几何体的展开图是解题的关键． 2. 【答案】B 【解析】【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数． 【详解】解：121373100000000 1.373110=⨯． 故选：B ．【点睛】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法． 3. 【答案】C 【解析】【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：40D ∠=︒，70BED C D ∠=∠+∠=︒，30C ∴∠=︒， AB CD ∥，30B C ∴∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键． 4. 【答案】D 【解析】【分析】根据实数a ，b ，a −，b −在数轴上的对应点的位置进行判断即可． 【详解】解：实数a ，b ，a −，b −在数轴上的对应点的位置如图所示．A ．由点在数轴上的位置得到2a >−，故选项错误，不符合题意；B ． 由点在数轴上的位置得到a b >，故选项错误，不符合题意；C ．由点在数轴上的位置得到a b <−，故选项错误，不符合题意；D ．由点在数轴上的位置得到b a <−，故选项正确，符合题意． 故选：D【点睛】此题考查了实数与数轴，实数比较大小，数形结合是解题的关键． 5. 【答案】B 【解析】【分析】根据多边形的外角和等于360°解答． 【详解】解：五边形的外角和是360°． 故选B ．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°． 6. 【答案】C 【解析】【分析】根据轴对称的性质画出该图形的对称轴即可求解． 【详解】解：由题意可知该图的对称轴如图所示：由图可知该图形的对称轴有4条． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 7. 【答案】A 【解析】【分析】根据波动越大，方差越大，即可解答．【详解】由图可知A 课程成绩的波动小于B 课程成绩的波动 ∴2212s s < 故选A ．【点睛】本题考查了统计图及方差等知识点，能够正确的从统计图中获取信息是解答本题的关键． 8. 【答案】C 【解析】【分析】根据水位h （cm ）是时间t （min ）的一次函数可知，每增加一分钟水位上升的值相同，进而可对表格中的值进行判断．【详解】解：∵水位h （cm ）是时间t （min ）的一次函数， ∴每增加一分钟水位上升的值相同，由表格可得：由1 min 到2 min 上升了0.4 cm ，2 min 到5 min 共上升了1.2 cm ，2 min 到3 min 上升了0.6 cm ，故可知错误的数据为3 3.4t h ==，， 故选C ．【点睛】本题考查一次函数的应用．掌握一次函数的性质是解题的关键．第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分） 9. 【答案】3x ≥【解析】【分析】根据二次根式被开方数的非负性求出答案． 【详解】解：由题意得30x −≥，解得3x ≥， 故答案为：3x ≥．【点睛】此题考查了二次根式的非负性，熟记二次根式的被开方数大于等于零的性质是解题的关键． 10. 【答案】()()33a a a +− 【解析】【分析】先提公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解：()3299(3)(3)a a a a a a a −=−=+− 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键． 11. 【答案】x=9 【解析】【分析】观察可得最简公分母是x （x -3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：方程的两边同乘x （x -3），得 3x -9=2x ， 解得x =9．检验：把x =9代入x （x -3）=54≠0． ∴原方程的解为：x =9． 故答案为：x =9． 12. 【答案】110【解析】【分析】根据中间一个数字共有0至9十种情况，其中只有一种能打开，利用概率公式进行求解即可．【详解】因为密码由三个数字组成，个位和百位上的数字已经确定，中间一个数字为0至9这十个数字中的一个，所以一次就能打开该锁的概率是110． 故答案为：110【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率()m P A n=． 13. 【答案】 ①. 3 ②. 1 【解析】【分析】先根据根的判别式求出b 和c 的关系，再取数作答即可． 【详解】解：∵关于x 的方程20x bx c ++=有两个不相等的实数根， ∴0∆>， 即240b ac −>， 移项得24b ac >， ∵1a =， ∴24b c > 故答案为3、1．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解答本题的关键． 14. 【答案】30︒##30度 【解析】【分析】BD 与半圆O 相切，切点为C ，则90OCB ∠=︒，由2OB OA =，OC OA =，得到1cos 2COB ∠=，则60COB ∠=︒，由三角形外角的性质即可得到CAB ∠的度数． 【详解】解：∵BD 与半圆O 相切，切点为C ， ∴90OCB ∠=︒，∵2OB OA =，OC OA =， ∴2OB OC =，OCA CAB ∠=∠， ∴1cos 2OC COB OB ∠==， ∴60COB ∠=︒，∵2OCA CAB CAB COB ∠+∠=∠∠=， ∴1302CAB COB ∠=∠=︒． 故答案为：30︒【点睛】此题考查了切线的性质定理、特殊角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．15. 【答案】【解析】【分析】先求得6CF CB ==，则2DF =，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵矩形ABCD 中，ABC ∠的平分线分别交直线AD ，CD 于点E ，F∴4CD AB ==，90,45ABC C FBC ∠=∠=︒∠=︒，AD BC ∥，则BCF △是等腰直角三角形， ∴90,45FDE C FED ∠=∠=︒∠=︒， ∴EFD △是等腰直角三角形，∴2DE DF CF CD BC CD ==−=−=，EF ==，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，得出EFD △是等腰直角三角形，是解题的关键． 16. 【答案】 ①. 24 ②. 106 【解析】【分析】（1）直接根据题意列式计算即可；（2）由于A 、B 零件要配套，则A 、B 零件的数量都要多；然后发现甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件24个，甲在B 生产线连续工作3天最能加工B 零件21个；乙在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件87621++=个，乙在B 生产线连续工作3天最多能加工B 零件2438=⨯个；则每3天甲、乙轮流生产可使A 、B 零件的数量，最后两天甲产A 零件18件，乙生产B 零件16件符合题意，最后确定最大数量即可．【详解】解：（1）由题意可得：甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件的个数为：()()10102102224+−+−⨯=（个）故答案为24．（2）∵一个A 零件、一个B 零件组成一套产品， ∴ 14天A 、B 两种零件同时产出数量最多∵甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件24个，甲在B 生产线连续工作3天最能加工B 零件21个；乙在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件87621++=个，乙在B 生产线连续工作3天最多能加工B 零件2438=⨯个∴每3天甲、乙轮流生产可使A 、B 零件的数量，最后两天甲产A 零件18件，乙生产B 零件16件 ∴14天最多能加工24+21+24+21+16=106． 故答案为106．【点睛】本题主要考查了列式计算、统筹解决问题等知识点，理解题意、发现生产规律是解答本题的关键．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27，28题，每题7分）．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【答案】3 【解析】【分析】先利用零次幂、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次幂进行化简，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解：()2132cos302π−⎛⎫−+︒ ⎪⎝⎭1242=+⨯+14=+−3=．【点睛】本题主要考查了零次幂、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次幂等知识点，灵活运用相关性质和定义是解答本题的关键． 18. 【答案】13x << 【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集．【详解】()23232x x x x ⎧+>−⎪⎨+<⎪⎩①② 解①得1x > 解②得3x <不等式解集为13x <<．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 19. 【答案】3. 【解析】【分析】把x ＝m 代入方程得：m 2﹣3m +1＝0，即m 2﹣3m ＝﹣1，再整体代入原式＝m 2﹣6m +9+m 2﹣4＝2（m 2﹣3m ）+5可得．【详解】解：∵m 是方程x 2﹣3x +1＝0的一个根， ∴m 2﹣3m +1＝0，即m 2﹣3m ＝﹣1，∴（m ﹣3）2+（m +2）（m ﹣2）＝m 2﹣6m +9+m 2﹣4＝2（m 2﹣3m ）+5＝3． 【点睛】本题考查的是一元二次方程，已知方程的根则代入满足方程. 20. 【答案】见解析 【解析】【分析】证明AED CEF ≌，推出CF AD BD ==，CF AB ∥，得到四边形BDFC为平行四边形，得到,DF BC DF BC =∥，即可得证．【详解】证明：如图，延长DE 到F ，使EF DE =，连接FC 、DC 、AF ，∵点D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 的中点， ∴,AD BD AE EC ==， 又AED CEF ∠=∠， ∴()SAS AED CEF △≌△， ∴,CF AD BD EFC ADE ==∠=∠， ∴CF AD ∥，∴四边形BDFC 为平行四边形， ∴,DF BC DF BC =∥， ∵12EF DE DF ==， ∴DE BC ∥ 且 12DE BC =． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是证明四边形BDFC 为平行四边形．21. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】【分析】对于（1），根据平行四边形的性质可知AD BC ∥，AD BC =，再根据BE DF =，可知AF CE =，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出答案；对于（2），先求出BE ，再求出AE ，然后根据勾股定理的逆定理证明ABE 是直角三角形，最后根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”得出答案． 【小问1详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥，AD BC =. ∵BE DF =， ∴AF CE =. ∵AF CE ∥，∴四边形AECF 是平行四边形；∵8BC =，5CE AF ==， ∴3BE BC CE =−=. ∵AC 平分EAF ∠， ∴CAE CAF ∠=∠． ∵AF CE ∥， ∴CAF ACE ∠=∠， ∴CAE ACE ∠=∠， ∴5AE CE ==． 在ABE 中，22222243255AB BE AE +=+===，∴ABE 是直角三角形， ∴90B，∴平行四边形ABCD 是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，勾股定理的逆定理等，灵活选择定理是解题的关键． 22. 【答案】（1）4y x= （2）4m ≥ （3）3b >或3b <− 【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据反比例函数的增减性，得出当1x >时，4y <，从而得出当1x >时，使4mx ≥即可，得出4m ≥；（3）联立4y x b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩解得：112b x y ⎧−+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222b x y ⎧−=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，根据两点间距离公式求出AB =AB >>b 的不等式即可．【小问1详解】 解：把()1,4代入()0ky k x=≠得： 41k=，解得：4k =， ∴函数的解析式为4y x=；解：∵反比例函数4y x=在每个象限内y 随x 的增大而减小， ∴当1x >时，反比例函数4y x=的函数值4y <， ∵当1x >时，对于x 的每一个值，函数ky x=的值都小于函数()0y mx m =≠的值， ∴只要当1x >时，使4mx ≥即可， ∴4m ≥；【小问3详解】解：联立4y x b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：112x b y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，222x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴AB ===∵AB >> ∴21625b +>， ∴29b >， ∴3b >或3b <−．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，反比例函数的增减性．23. 【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据题意可证90BAD AEF ∠+∠=︒，而90ADB BAD ∠+∠=︒，从而可证BED ADB ∠=∠，即可得出结论；（2）过A 点作AH BF ⊥，设EH 长为a ，根据勾股定理可解出AF 的长． 【小问1详解】 ∵直线AF 与O 相切于点A∴90EAF ∠=︒∴1809090F AEF ∠+∠=︒−︒=︒ ∵F BAD ∠=∠∴90BAD AEF ∠+∠=︒ ∵AD 是O 的直径，O 是ABC 的外接圆 ∴90ABD∴90ADB BAD ∠+∠=︒ ∴ADB AEF ∠=∠ ∵AEF BED ∠=∠ ∴BED ADB ∠=∠ ∴BD BE = 【小问2详解】过A 点作AH BF ⊥，则90AHF AHE ∠=︒=∠ ∴90F HAF ∠+∠=︒∵90EAF ∠=︒，EAF EAH HAF ∠=∠+∠ ∴EAH F ∠=∠∵1tan 2F ∠=，F BAD ∠=∠ ∴1an 2t BAD ∠=、1tan 2EAH ∠= 设EH 长为a ，则2tan EHAH a EAH==∠∵根据（1）BD BE = ∴5BD = ∴10tan BDAB BAD==∠在Rt ABH △中根据勾股定理有222BH AH AB +=即()()2225210a a ++= 解得3a =或5−（舍去负值） ∴236AH =⨯= ∴12tan AHHF AFC==∠∴AF ===【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质、勾股定理、三角函数等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．24. 【答案】（1）8m =、16.5n = （2）12p p > （3）190（户） 【解析】【分析】（1）用调查总数30减去其他分组的频数即可求得m 值，n 的值利用求中位数的方法求解即可； （2）利用平均数、中位数的意义求解即可；（3）根据甲乙两小区抽取的30户中用气量不小于20立方米的户数所占的比例估算出整体户数． 【小问1详解】30361038m由题可知乙小区用气量的中位数应在1520x ≤<这一组中，分布在510x ≤<，1015x ≤<这两组数据中的共10户，∴乙小区用气量的中位数161716.52n +== 【小问2详解】由题意可知甲小区平均用气量为17.4，中位数为18乙小区平均用气量为17.1，中位数为17 ∴115p >、215p < ∴12p p > 【小问3详解】抽取的甲小区30户中用气量超过20立方米的户数所占的比例为：83113030+= 抽取的乙小区30户中用气量超过20立方米的户数所占的比例为：6243015+= ∴甲乙两小区中用气量不小于20立方米的总户数为1143003001903015⨯+⨯=（户） 【点睛】本题考查平均数、中位数及其意义，由样本估计总体，解题的关键是理解题意，从表格获取信息，掌握求中位数及其意义，由样本估计总体． 25. 【答案】（1）一次函数，1y x =− （2）2195p x =−+ （3）为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为5元． 【解析】【分析】（1）根据供给量q （千克）与售价x （元/千克）之间的数量关系可得到答案； （2）利用待定系数法求出函数表达式即可； （3）根据供给量与需求量相等得到21195x x −=−+，解方程即可得到答案． 【小问1详解】解：观察表中的数据，可发现供给量q （千克）与售价x （元/千克）之间满足一次函数关系，它的函数表达式是1y x =−，故答案为：一次函数，1y x =− 【小问2详解】由表格可知当 2.5x =时，7.75y =，当3x =时，7.2y =，∴227.75 2.57.23a ca c ⎧=⨯+⎨=⨯+⎩解得159a c ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，∴p 关于x 关于的函数表达式是2195p x =−+． 【小问3详解】当蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等）时，21195x x −=−+， 即25500x x +−=，解得125,10x x ==−（不合题意，舍去），∴为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为5元．【点睛】此题考查了一次函数和二次函数的综合应用，还考查了待定系数法、解一元二次方程等知识，根据题意得到函数解析式是解题的关键． 26. 【答案】（1）见解析 （2）①12；②1423a <<或10a > 【解析】【分析】（1）由对称轴为直线2bx a=−可求解，将a 、b 坐标代入解析式中即可求解； （2）①将A 、C 两点坐标分别代入解析式，再使13y y =即可求解．②画出图像根据题意列出不等式即可求解，注意分类讨论． 【小问1详解】解：当1a =时，抛物线解析式为22y x x c =−+，232B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将()14A y −，代入得116824y c c =++=+将232B y ⎛⎫⎪⎝⎭，代入得293344y c c =−+=−+∴12y y >抛物线对称轴为212x −=−= 综上所述抛物线对称轴为：直线1x =、12y y >； 【小问2详解】 ①∵5m = ∴()35C y ，代入抛物线中得32510y a c =−+ 将()14A y −，代入得1168y a c =++ ∵13y y =∴1682510a c a c ++=−+ 解得12a =；②抛物线对称轴为22a x a −=−= 当02a <<时，如图所示，∵0a >∴点A 关于抛物线对称轴的对称点横坐标为424a a a −++=+若对于任意25m ≤≤，都满足132y y y >> 则245322a a +>⎧⎪⎨<⎪⎩ 解得1423a <<，满足02a << 故a 的取值范围为1423a << 当25a ≤≤时，因为函数顶点在5x ≤≤内，3y 可以为该函数最小值，故不符合题意舍去当5a >时∵5a >∴点B 关于抛物线对称轴的对称点横坐标为2a ， 若对于任意25m ≤≤，都满足132y y y >> 则52a > 解得10a >．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，掌握二次函数图像和性质，数形结合是解答本题的关键． 27. 【答案】（1）12DE AC =，证明见解析 （2）①图见解析；②3AF DE EF =−，证明见解析【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，得出DE BC ⊥，点E 是线段BC 的中点，再根据平行公理，得出AC DE ∥，进而得出DE 是ABC 的中位线，再根据中位线的性质，即可得出答案；（2）①以点B 为圆心，以任意长为半径画弧，交线段BC 于点M ，交线段BA 于点N ，再以点A 为圆心，以相等长为半径画弧，交线段AC 于点P ，再以点P 为圆心，以MN 的长度为半径画弧，两弧交于一点Q ，再以点Q 为圆心，以MN 的长度为半径画弧，两弧交于一点K ，连接AK ，并延长交DE 于点F ； ②设AC 旋转后点C 的对应点在AF 上为点C '，连接CC '，根据等边对等角和三角形的内角和定理，得出90ACC AC C α''∠=∠=︒−，再根据角之间的数量关系，得出C CB α'∠=，连接CD ，根据线段垂直平分线的性质，得出DC DB =，再根据等边对等角，得出DCB B α∠=∠=，再根据角相等，得出DCB C CB '∠=∠，进而得出点C C D '、、三点共线，再根据题意，得出DE 是ABC 的中位线，再根据中位线的性质，得出1122DE AC AC '==，进而得出2AC DE '=，再根据两直线平行，内错角相等，得出ACC C DF ''∠=∠，进而得出AC C C DF ''∠=∠，再根据对顶角相等，得出AC C DC F ''∠=∠，再根据等量代换，得出DC F C DF ''∠=∠，再根据等角对等边，得出FC FD '=，再根据线段之间的数量关系，结合等量代换，得出3AF DE EF =−．【小问1详解】 解：12DE AC =，证明如下： ∵DE 是线段BC 的垂直平分线，∴DE BC ⊥，点E 是线段BC 的中点，又∵90C ∠=︒，∴AC BC ⊥，∴AC DE ∥，∴DE 是ABC 的中位线， ∴12DE AC =； 【小问2详解】解：①如图，即为所求；②3AF DE EF =−，证明如下：设AC 旋转后点C 的对应点在AF 上为点C '，连接CC '，∵2CAC α'∠=，AC AC '=， ∴1802902ACC AC C αα︒−''∠=∠==︒−， 又∵90ACB ∠=︒，∴()9090C CB αα'∠=︒−︒−=，连接CD ，∵DE 是线段BC 的垂直平分线，∴DC DB =，∴DCB B α∠=∠=，∴DCB C CB '∠=∠，∴点C C D '、、三点共线，又∵DE 是线段BC 的垂直平分线，∴DE BC ⊥，点E 是线段BC 的中点，又∵90C ∠=︒，∴AC BC ⊥，∴AC DE ∥，∴DE 是ABC 的中位线， ∴1122DE AC AC '==，∴2AC DE '=，∵AC DE ∥，∴ACC C DF ''∠=∠，又∵AC A C C C ∠='∠'，∴AC C C DF ''∠=∠，∴AC C DC F ''∠=∠，∴DC F C DF ''∠=∠，∴FC FD '=，∴AF AC C F ''=+2DE DF =+()2DE DE EF =+−3DE EF =−，∴3AF DE EF =−．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形中位线的性质、作图—等角、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、平行线的性质、对顶角相等，解本题的关键在正确作出辅助线，并熟练掌握相关的性质定理．28. 【答案】（1）()2,0（2）157（3）11188EM ≤≤ 【解析】【分析】（1）依据垂直对称点的定义，中点坐标公式和勾股定理解决即可；（2）先用待定系数法确定直线AB 的解析式为334y x =−+，依据垂直对称点定义和45C OC '∠=︒，并利用锐角三角函数可得OC '=，设3,34D a a ⎛⎫'−+ ⎪⎝⎭，由中点坐标公式可得33014,22a a C ⎛⎫−++ ⎪+' ⎪ ⎪⎝⎭，再根据点C '在直线y x =上，可建立关于a 的方程，求得87a =，可得1515,1414C ⎛⎫' ⎪⎝⎭，利用勾股定理求得14OC '=，最后代入OC '=，得出1507C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，问题得解； （3）证明APP ABO '∽△△，由相似三角形的性质可得到()1,0P '，设(),Q m n ，依据垂直对称点定义，()2,K m n −−，从而得到3342EF m =+，EK n =−， ∴313824MK m n =++，()133484EM m n =−+，设134k m n =−，根据1OQ =，可建立122341m n k m n −=⎧⎨+=⎩，整理得：221125890n k n k ++−=，再利用根的判别式()()2211842590k k −⨯−≥，可得155k −≤≤，从而问题得以解决．【小问1详解】解：①如图，过点()3,2作x 轴的垂线，则垂足所表示的数为()3,0，∵()4,0A ，∴点()3,2关于x 轴和点A 垂直对称点的坐标为()2,0A '，故答案为：()2,0；②∵()0,3B ，点()6,1， ∴它们的中点的坐标为0631,22++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()3,2， ∵点B 因为点A 关于直线l 和点()6,1的垂直对称点，∴点A 到直线l=，【小问2详解】∵()4,0A ，()0,3B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+，∴403k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：343k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为334y x =−+， ∵点(),0C t 关于直线y x =和点()1,0D 的垂直对称点在直线AB 上，∴CC OC ''⊥，点D 和点D 关于点C '对称，∵45C OC '∠=︒，∴cos 2OC C OC OC ''∠==，∴OC '=， 设3,34D a a ⎛⎫'−+ ⎪⎝⎭， ∴33014,22a a C ⎛⎫−++ ⎪+' ⎪ ⎪⎝⎭， ∵点C '在直线y x =上，∴3301422aa−+++=，解得：87a=，∴115 214a+=，∴1515,1414C⎛⎫' ⎪⎝⎭，∴14 OC'==，∴15147OC'===，∴157C⎛⎫⎪⎝⎭，，∴157t=．∴t的值为157．【小问3详解】过点P作PP x'⊥轴于点P'，∴PP y'∥轴，∴APP ABO'∽△△，∴PP AP APBO AO AB''==∵点P为线段AB的四等分点，且AP BP>，()4,0A，()03B，，∴3344PP AP''==，∴3AP'=，∴()1,0P'，设(),Q m n∵点Q 在x 轴下方，1OQ =，∴221+=m n ，11m −<<，10n −<≤，∵点K 为点P 关于x 轴和点Q 的垂直对称点，过点K 作x 轴的垂线，分别交x 轴和线段AB 于点E ，F ，点M 为线段FK 的中点，∴()2,K m n −−，∴当2x m =−时，()33323442y m m =−−+=+， ∴3342EF m =+，EK n =−， ∴()11333132242824MK FK EF EK m n m n ⎛⎫==−=++=++ ⎪⎝⎭， ∴()313313133482482484EM EK MK n m n m n m n =+=−+++=−+=−+， 设134k m n =−，则122341m n k m n −=⎧⎨+=⎩， 整理得：221125890n k n k ++−=，∵()()2211842590k k −⨯−≥， ∴155k −≤≤，即5345m n −≤−≤， ∴11188EM ≤≤． ∴EM 的长的取值范围是11188EM ≤≤．【点睛】本题以一次函数为背景，考查了中点坐标公式，勾股定理，直角坐标系中点到原点的距离，待定系数法确定一次函数解析式，特殊角三角函数，相似三角形的判定和性质，根的判别式，新概念的理解与应用等知识．正确理解题中的垂直对称点的含义是解题的关键．。
人大附中初三数学第一学期统一测评8
人大附中初三数学第一学期统一测评（八）2010、11一选择题：（每题4分，共40分）1、下列四个函数中，图象的顶点在y 轴上的函数是（ ）A 、y =x 2-3x+2B 、y=5-x 2C 、y=-x 2+2xD 、y=x 2-4x+42、若二次函数y =x 2-2x+c 图象的顶点在x 轴上，则c 等于（ ）A 、-1B 、1C 、12 D 、23、如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减少的x 的取值范围是（ ）A ．x>3 B. x<3 C. x>1 D. x<14. 把抛物线y = 2x 2-4x-5绕顶点旋转180°，得到的新抛物线的解析式是（ ）A 、y = -2x 2-4x-5B 、y = -2x 2+4x+5C 、y = -2x 2-4x+9 D 、以上都不对 5、已知一次函数y =ax+c 与二次函数y =ax 2+bx+c （b>0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ）A B C D6、抛物线y =x 2-mx-2 的顶点位置与m 有如下关系（ ）A ．m=0时，顶点在x 轴上；B 、m>0时，顶点在y 轴左侧C 、m<0时，顶点在y 轴右侧；D 、不论m 为何实数值，顶点永远在x 轴下方7、二次函数y =x 2+2x-7的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ）A 、3B 、5C 、-3和5D 、3和-58、抛物线y =x 2-6x+m 的最小值为1，那么m 的值为 （ ）A 、-1B 、 1C 、3D 、-109、小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=-21x +3.55的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是 （ ）A 、3.5 mB 、4mC 、4.5mD 、4.6m10、已知抛物线y =x 2+2mx +m-7与x 轴的两个交点在（1，0）两旁，则关于x 的方程14x 2+(m+1)x+m 2+5=0的根的情况是（ ）A 、有两个正数根B 、有两个负数根C 、有一个正根和一个负根D 、无实数根二、填空题：（每空4分，共40分）11. 若二次函数y =mx 2-3x+2m-m 2 的图象经过原点，则m= __________.12. 抛物线y=-x 2-2x+3与y 轴交点为__________13. 抛物线y=x 2+4x+3在x 轴上截得的线段的长度是________14. 把抛物线y=-3x 2的图象沿x 轴翻折，得到的图象的解析式为________15. 有一个抛物线拱桥形，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在平面直角坐标系中（如图），则此抛物线解析式为_____________ 16. 二次函数y=-x 2+6x-5，当x 满足________时，其图象在x 轴上方.17. 若二次函数y=-x 2+2(m-1)x+2m-m 2的图象的对称轴是y 轴，此图象的顶点A 和它与x 轴两交点B 、C所构成的三角形的面积是___________18. 若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2，最小值为-2，则关于x方程ax2+bx+c=-2的根为_________.19. 开口向上的抛物线对称轴是x=2，当自变量xπ、0时，对应函数值为y1、y2、y3；则y1、y2、y3的大小关系是__________.20. 无论m为任何实数，总在抛物线y= x2+mx+2m上的点的坐标是_______三、解答题（每题10分，共20分）21、某旅行社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客户的日租金每增加5元，则每天出租的客户减少6间。
北京市人大附中2025届九年级数学第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】
北京市人大附中2025届九年级数学第一学期开学质量跟踪监视试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）计算（﹣2）的结果是（）A ．1B ．0C ．﹣1D ．﹣72、（4分）下列方程中，有实数解的方程是（）A ．1+=B ．2022x x x +=--C x =-D 30+=3、（4分）某学习小组7位同学，为玉树地重灾区捐款，捐款金额分别为：5元，10元，6元，6元，7元，8元，9元，则这组数据的中位数与众数分别为（）A ．6，6B ．7，6C ．7，8D ．6，84、（4分）下列运算中正确的是()A B =C 2=±D =5、（4分）如图，将△OAB 绕O 点逆时针旋转60°得到△OCD ，若OA ＝4，∠AOB ＝35°，则下列结论错误的是()A ．∠BDO ＝60°B ．∠BOC ＝25°C ．OC ＝4D ．BD ＝46、（4分）下列根式中属最简二次根式的是（）A ．B C D ．7、（4分）下面是任意抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子所得结果，其中发生的可能性很大的是（）A ．朝上的点数为2B ．朝上的点数为7C ．朝上的点数为3的倍数D ．朝上的点数不小于28、（4分）如图，在ABCD 中，E 为边CD 上一点，将ADE ∆沿AE 折叠至'AD E ∆处，'AD 与CE 交于点F ，若52B ∠=，20DAE ∠=，则'AED ∠的大小为（）A ．110B ．108C ．105D ．100二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）数据﹣2、﹣1、0、1、2的方差是_____．10、（4分）如图，正方形ABCD 的边长为a ，E 是AB 的中点，CF 平分∠DCE ，交AD 于F ，则AF 的长为______．11、（4分）已知一次函数y ＝kx +3k +5的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，且函数值y随x 的增大而减小，则k 所有可能取得的整数值为_____12、（4分）如图，矩形纸片ABCD ，AB =5，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP =OF ，则AF 的值为______．13、（4分）如图，∠C=90°，∠ABC=75°，∠CBD=30°，若BC=3cm ，则AD=________cm ．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）（1）问题发现．如图1，ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．①求证：ADC BEC ∆∆≌．②求AEB ∠的度数．③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________．（2）拓展探究．如图2，ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ∆中DE 边上的高，连接BE ．①请判断AEB ∠的度数为____________．②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明）15、（8分）某学校八年级开展英语拼写大赛，一班和二班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示：（1）根据图示填写下表班级中位数（分）众数（分）平均数（分）一班85二班10085（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩比较好？（3）已知一班的复赛成绩的方差是70，请求出二班复试成绩的方差，并说明哪个班成绩比较稳定？16、（8分）全国两会民生话题成为社会焦点．合肥市记者为了了解百姓“两会民生话题”的聚焦点，随机调查了合肥市部分市民，并对调查结果进行整理．绘制了如图所示的不完整的统计图表．组别焦点话题频数（人数）A 食品安全80B 教育医疗mC 就业养老nD 生态环保120E 其他60请根据图表中提供的信息解答下列问题：（1）填空：m=，n=．扇形统计图中E 组所占的百分比为%；（2）合肥市人口现有750万人，请你估计其中关注D 组话题的市民人数；（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人关注C 组话题的概率是多少？17、（10分）为更新果树品种，某果园计划新购进A 、B 两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A 种苗的单价为7元/棵，购买B 种苗所需费用y （元）与购买数量x （棵）之间存在如图所示的函数关系．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）若在购买计划中，B 种苗的数量不超过35棵，但不少于A 种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．18、（10分）反比例函数10),0(k y x k x =>≠的图象经过点()1,3,P 点是直线26y x =-+上一个动点，如图所示，设P 点的横坐标为,m 且满足36,m m -+>过P 点分别作PB x ⊥轴，PA y ⊥轴，垂足分别为,,B A 与双曲线分别交于,D C 两点，连结0,,C OD CD ．（1）求k 的值并结合图像求出m 的取值范围；（2）在P 点运动过程中，求线段OC 最短时点P 的坐标；（3）将三角形OCD 沿着CD 翻折，点O 的对应点',O 得到四边形'O COD 能否为菱形？若能，求出P 点坐标；若不能，说明理由；（4）在P 点运动过程中使得,PD DB =求出此时COD △的面积．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）外角和与内角和相等的平面多边形是_______________．20、（4分）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC＝120°，E 是AB 边的中点，P 是AC 边上一动点，PB＋PE ，则AB 的长为______．21、（4分）若方程组2x y b x by a +=⎧⎨-=⎩的解是10x y =⎧⎨=⎩，那么|a-b|=______________．22、（4分）如图，四边形纸片ABCD 中，90A C ︒∠=∠=，BC DC =.若8cm AB AD +=，则该纸片的面积为________2cm .23、（4分）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上的点，BE=1，F 为AB 的中点，P 为AC 上一个动点，则PF+PE 的最小值为_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）某同学参加“希望之星”英语口语大赛，7名评委给该同学的打分（单位：分）情况如下表：评委评委1评委2评委3评委4评委5评委6评委7打分9.29.49.39.49.19.39.4（1）直接写出该同学所得分数的众数与中位数；（2）计算该同学所得分数的平均数.25、（10分）已知：如图，一次函数12y x =--与24y x =-的图象相交于点A .（1）求点A 的坐标；（2）结合图象，直接写出12y y ≥时x 的取值范围.26、（12分）先化简、再求值．(6⎛-⎝，其中32x =，27y =．参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C 【解析】分析：根据二次根式的乘法法则结合平方差公式进行计算即可.详解：原式=222)2341+-=-=-=-.故选C.点睛：熟记“二次根式的乘法法则和平方差公式”是正确解答本题的关键.2、C 【解析】根据二次根式的非负性，可判断A 、D 无实数根，C 有实数根，B 解得x=2是分式方程的增根．【详解】A 中，要使二次根式有意义，则x －2≥0，2－x ≥0，即x=2，等式不成立，错误；B 中，解分式方程得：x=2，是方程的增根，错误；D 03+≥3，等式不成立，错误；C x =-≥0，故-1≤x ≤0解得：x=12+(舍)，x=12-(成立)故选：C本题考查二次根式的非负性和解分式方程，注意在求解分式方程时，一定要验根．3、B【解析】首先把所给数据按从小到大的顺序重新排序，然后利用中位数和众数的定义就可以求出结果．【详解】解：把已知数据按从小到大的顺序排序后为5元，1元，1元，7元，8元，9元，10元，∴中位数为7∵1这个数据出现次数最多，∴众数为1．故选B ．本题结合众数与中位数考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．众数只要找次数最多的即可．4、D 【解析】根据二次根式的加法、混合运算以及二次根式的化简等知识逐一进行分析即可得.【详解】A.，故A 选项错误；B.42=-=2，故B 选项错误；C.2=，故C 选项错误；D.-=-，正确，故选D.本题考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简等知识，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.5、D 【解析】由△OAB 绕O 点逆时针旋转60°得到△OCD 知∠AOC=∠BOD=60°，AO=CO=4、BO=DO ，据此可判断C ；由△AOC 、△BOD 是等边三角形可判断A 选项；由∠AOB=35°，∠AOC=60°可判断B 选项，据此可得答案．【详解】解：∵△OAB 绕O 点逆时针旋转60°得到△OCD ，∴∠AOC=∠BOD=60°，AO=CO=4、BO=DO ，故C 选项正确；则△AOC、△BOD是等边三角形，∴∠BDO=60°，故A选项正确；∵∠AOB=35°，∠AOC=60°，∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°-35°=25°，故B选项正确.故选D．本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等及等边三角形的判定和性质．6、A【解析】试题分析：最简二次根式的是满足两个条件：1.被开方数中不含分母.2.被开方数中不能含有开得方的因数或因式.故符合条件的只有A.故选A考点：最简二次根式7、D【解析】分别求得各个选项中发生的可能性的大小，然后比较即可确定正确的选项．【详解】A、朝上点数为2的可能性为1 6；B、朝上点数为7的可能性为0；C、朝上点数为3的倍数的可能性为21 63 ；D、朝上点数不小于2的可能性为5 6.故选D.主要考查可能性大小的比较：只要总情况数目（面积）相同，谁包含的情况数目（面积）多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况（面积）相当，那么它们的可能性就相等．8、B【解析】由平行四边形的性质可得∠B=∠D=52°，由三角形的内角和定理可求∠DEA的度数，由折叠的性质可求∠AED'=∠DEA=108°．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D=52°，且∠DAE=20°，∴∠DEA=180°﹣∠D－∠DAE =108°．∵将△ADE 沿AE 折叠至△AD 'E 处，∴∠AED '=∠DEA =108°．故选B ．本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质是本题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、2【解析】根据题目中的数据可以求得这组数据的平均数，然后根据方差的计算方法可以求得这组数据的方差．【详解】由题意可得，这组数据的平均数是：x=()210125-+-+++=0，∴这组数据的方差是：()()()()()222222201000102025s --+--+-+-+-==，故答案为：2.此题考查方差，解题关键在于掌握运算法则10、32-a 【解析】找出正方形面积等于正方形内所有三角形面积的和求这个等量关系，列出方程求解，求得DF ，根据AF=a-DF 即可求得AF ．【详解】作FH ⊥CE ，连接EF ，∵∠FHC=∠D=90°，∠HCF=∠DCF ，CF=CF∴△CHF ≌△CDF ，又∵S 正方形ABCD =S △CBE +S △CDF +S △AEF +S △CEF ，设DF=x ，则a 2=111111()222222a a x a a a x ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-+CE•FH ∵FH=DF ，CE=，∴整理上式得：2a-x=，计算得：x=12-a ．AF=a-x=32-a ．故答案为352-a ．本题考查了转换思想，考查了全等三角形的证明，求AF ，转化为求DF 是解题的关键．11、－2【解析】由一次函数图象与系数的关系可得出关于k 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】由已知得：350{0k k +＞＜，解得：-53＜k ＜2．∵k 为整数，∴k=-2．故答案为：-2．本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是得出关于k 的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数图象与系数的关系找出关于系数的不等式（或不等式组）是关键．12、207【解析】根据折叠的性质可得出DC=DE 、CP=EP ，由“AAS”可证△OEF ≌△OBP ，可得出OE=OB 、EF=BP ，设EF=x ，则BP=x 、DF=5-x 、BF=PC=3-x ，进而可得出AF=2+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，即可得AF 的长．【详解】解：∵将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，∴DC =DE =5，CP =EP ．在△OEF 和△OBP 中，90EOF BOP B E OP OF ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩,∴△OEF ≌△OBP （AAS ），∴OE =OB ，EF =BP ．设EF =x ，则BP =x ，DF =DE -EF =5-x ，又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC -BP =3-x ，∴AF =AB -BF =2+x ．在Rt △DAF中，AF 2+AD 2=DF 2，∴（2+x ）2+32=（5-x ）2，∴x =67∴AF =2+67=207故答案为：207本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．13、6+【解析】由已知条件可知：BD=2CD ，根据三角函数可求出CD ，作AB 的垂直平分线，交AC 于点E ，在Rt △BCE 中，根据三角函数可求出BE 、CE ，进而可将AD 的长求出．【详解】解：作AB 的垂直平分线，交AC 于点E ，∴AE=BE ，∵∠C=90°，∠ABC=75°，∠CBD=30°，∴2∠A=∠BED=30°，∴tan30°=CD BC =3CD ，解得：，∵BC=3cm ，∴BE=6cm ，∴，∴AD=AE+CE ﹣CD=BE+CE ﹣CD=（6+cm ．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）①详见解析；②60°；③AD BE =；（2）①90°；②2AE BE CM =+【解析】（1）易证∠ACD ＝∠BCE ，即可求证△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可求得AD ＝BE ，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小；（2）易证△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC ＝∠BEC ，进而可以求得∠AEB ＝90°，即可求得DM ＝ME ＝CM ，即可解题．【详解】解：（1）①证明：∵ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACD ECB ∠=∠，∴()ADC BEC SAS ∆∆≌．②∵CDE ∆为等边三角形，∴60CDE ∠=︒．∵点A 、D 、E 在同一直线上，∴180120ADC CDE ∠=︒-∠=︒，又∵ADC BEC ∆∆≌，∴120ADC BEC ∠=∠=︒，∴1206060AEB ∠=︒-︒=︒．③AD BE =ADC BEC ∆∆≌，∴AD BE =．故填：AD BE =；（2）①∵ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠，∴ACD ECB ∠=∠，在ACD ∆和BCE ∆中，AC CB ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴E ACD BC ∆∆≌，∴ADC BEC ∠∠=．∵点A 、D 、E 在同一直线上，∴180********ADC BEC CDE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1351354590AEB CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒．②∵CDA CEB ∆∆≌，∴BE AD =．∵CD CE =，CM DE ⊥，∴DM ME =．又∵90DCE ∠=︒，∴2DE CM =，∴2AE AD DE BE CM =+=+．故填：①90°；②2AE BE CM =+．本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD ≌△BCE 是解题的关键．15、（1）85、8580（2）一班成绩好些．因为两班平均数相等，一班的中位数高，所以一班成绩好些．（回答合理即可）（3）一班成绩较为稳定．【解析】（1）观察图分别写出一班和二班5名选手的复赛成绩，然后根据中位数的定义和平均数的求法以及众数的定义求解即可；（2）在平均数相同的情况下，中位数高的成绩较好；（3）根据方差公式计算即可：S 2=()()()222121n x x x x x x n ⎡⎤-+--⎣⎦（可简单记忆为“等于差方的平均数”）【详解】解：（1）由条形统计图可知一班5名选手的复赛成绩为：75、80、85、85、100，二班5名选手的复赛成绩为：70、100、100、75、80，一班的众数为85，一班的平均数为（75+80+85+85+100）÷5=85，二班的中位数是80；班级中位数（分）众数（分）平均数（分）一班858585二班8010085故填：85、8580（2）一班成绩好些．因为两班平均数相等，一班的中位数高，所以一班成绩好些．（回答合理即可）（3）S 二班2=()()()()()2222270851008510085758580851605-+-+-+-+-=因为S 一班2=70则S 一班2＜S 二班2，因此一班成绩较为稳定．本题考查了中位数、众数以及平均数的求法，同时也考查了方差公式，解题的关键是牢记定义并能熟练运用公式．16、（1）40；100；15；（2）225万人；（3）14．【解析】试题分析：（1）求得总人数，然后根据百分比的定义即可求得；（2）利用总人数100万，乘以所对应的比例即可求解；（3）利用频率的计算公式即可求解．试题解析：解：（1）总人数是：80÷20%=400（人），则m=400×10%=40（人），C 组的频数n=400﹣80﹣40﹣120﹣60=100，E 组所占的百分比是：60400×100%=15%；（2）750×120400=225（万人）；（3）随机抽查一人，则此人关注C 组话题的概率是100400=14．故答案为40，100，15，14．考点：频数（率）分布表；用样本估计总体；扇形统计图；概率公式．17、（1）y=8x （0≤x<20）或y=6.4x+1（x≥20）；（2）当购买数量x=35时，W 总费用最低，W 最低=16元．【解析】（1）根据函数图象找出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式即可；（2）根据B 种苗的数量不超过35棵，但不少于A 种苗的数量可得出关于x 的一元一次不等式组，解不等式组求出x 的取值范围，再根据“所需费用为W=A 种树苗的费用+B 种树苗的费用”可得出W 关于x 的函数关系式，根据一次函数的性质即可解决最值问题．【详解】（1）当0≤x<20时，设y 与x 的函数关系式为：y=mx ，把（20，160）代入y=mx ，得160=mx ，解得m=8,故当0≤x<20时，y 与x 的函数关系式为：y=8x ；当x≥20时，设y 与x 的函数关系式为：y=kx+b ，把（20，160），（40，288）代入y=kx+b 得：2016040288k b k b +=⎧⎨+=⎩解得： 6.432k b =⎧⎨=⎩∴y=6.4x+1．∴y 与x 的函数关系式为y=8x （0≤x<20）或y=6.4x+1（x≥20）；（2）∵B 种苗的数量不超过35棵，但不少于A 种苗的数量，∴3545x x x ≤⎧⎨≥-⎩，∴22.5≤x≤35，设总费用为W 元，则W=6.4x+1+7（45﹣x ）=﹣0.6x+347，∵k=﹣0.6，∴y 随x 的增大而减小，∴当x=35时，W 总费用最低，W 最低=﹣0.6×35+347=16（元）．本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及解一元一次不等式组，解决该题型题目时，根据函数图象找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键．18、（1）3k =，33m +＜，（2）(6P ，（3）能，(3,3)P ，（4）9.4COD S ∆=【解析】（1）先把（1，3）代入1k y x =求出k 的值，再由两函数有交点求出m 的值，根据函数图象即可得出结论；（2）根据线段OC 最短可知OC 为∠AOB 的平分线，对于13y x =，令1x y =，即可得出C 点坐标，把y =6y x =-+中求出x 的值即可得出P 点坐标；（3）当OC=OD 时，四边形O′COD 为菱形，由对称性得到△AOC ≌△BOD ，即OA=OB ，由此时P 横纵坐标相等且在直线6y x =-+上即可得出结论．（4）设(,0)B m ，则3(,D m m ，(,6)P m m -+，根据PD=DB ，构建方程求出m ，即可解决问题．【详解】解：（1）∴反比例函数1ky x =（x ＞0，k ≠0）的图象进过点（1，3），∴把（1，3）代入1ky x =，解得3k =，13y x ∴=．∵36m m =-+，∴3m =36m m -+＞，∴由图象得：33m +＜（2）∵线段OC 最短时，∴OC 为∠AOB 的平分线，∵对于13y x =，令1x y =，∴x =C ，∴把y =6y x =-+中，得：6x =，即P (6-；（3）四边形O′COD 能为菱形，∵当OC=OD 时，四边形O′COD 为菱形，∴由对称性得到△AOC ≌△BOD ，即OA=OB ，∴此时P 横纵坐标相等且在直线6y x =-+上，即6x x =-+，解得：3x =，即P (3,3)．（4）设B (,0)m ，则3(,(,6)D m P m m m -+，∵PD=DB ，∴336m m m =-+-，解得：33m m =+=（舍弃），∴(3B ，D 33(32，(3P -，33(2C ，13131339(3(3(3.22222224COD S ∆+-+-∴=--⨯--⨯+⨯-⨯⨯=本题属于反比例函数综合题，考查的是反比例函数的图像与性质，涉及到菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，在解答此题时要注意利用数形结合求解．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、四边形【解析】设此多边形是n 边形，根据多边形内角与外角和定理建立方程求解．【详解】设此多边形是n 边形，由题意得：()2180360n -⋅︒=︒解得4n =故答案为：四边形．本题考查多边形内角和与外角和，熟记n 边形的内角和公式()()21803-⋅︒≥n n ，外角和都是360°是解题的关键．20、1【解析】分析：找出B 点关于AC 的对称点D ，连接DE ，则DE 就是PE+PB 的最小值，进而可求出AB 的值．详解：连接DE 交AC 于P ，连接BD ，BP ，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B 、D 关于AC 对称，则PD=PB ，∴PE+PB=PE+PD=DE ，即DE 就是PE+PB 的最小值，∵∠BAD=60°，AD=AB ，∴△ABD 是等边三角形，∵AE=BE ，∴DE ⊥AB （等腰三角形三线合一的性质）在Rt △ADE 中，，∴AD 1=4，∴AD=AB=1．点睛：本题主要考查轴对称-最短路线问题和菱形的性质的知识点，解答本题的关键，此题是道比较不错的习题．21、1【解析】将1,{0x y ==代入2,{x y b x by a +=-=中，得20,{10,b a +=-=解得2,{1,b a ==所以|a －b|＝|1－2|＝1．22、16【解析】本题可通过作辅助线进行解决，延长AB 到E ，使BE=DA ，连接CE ，AC ，先证两个三角形全等，利用直角三角形的面积与四边形的面积相等进行列式求解．【详解】解：如图，延长AB 到E ，使BE=DA ，连接CE ，AC ，∵∠CBE=∠BCA+∠CAB ，∠ADC=180°-∠DCA-∠DAC ，∵∠BCD=90°，∠BAD=90°，∴∠BCA+∠CAB=90°+90°-∠DCA-∠DAC=180°-∠DCA-∠DAC ，∴∠CBE=∠ADC ，又∵BE=DA ，CB=CD ，∴△CBE ≌△CDA ，∴CE=CA ，∠ECB=∠DCA ，∴∠ECA=90°，∴三角形ACE 是等腰直角三角形。
人大附中2013-2014学年度第一学期初三数学开学考真题
OPQCB A2013-2014学年度第一学期初三年级数学练习12013．8命题人：庄丽 审题人：孙芳一、选择题（本题共32分，每小题4分） 1．7-的绝对值是（ ）A ．7B ．17 C ．17- D ．7- 2．第九届中国国际园林博览会正在北京丰台举行，预计参观人数17000000人次，是国内园林花卉界最高层次的盛会，将17000000用科学记数法表示应为（ ） A ．80.1710⨯ B ．61710⨯ C ．71.710⨯ D ．81.710⨯3．给出下列图形：①线段，②等边三角形，③平行四边形，④等腰梯形，其中一定是轴对称图形的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．若一个正多边形的一个外角是36︒，则这个正多边形的边数是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 5．一个直角三角形的两直角边长分别为6和8，则它斜边上的中线长为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．36．雅安地震后，某小组6名同学积极参加班级组织的为灾区捐款活动，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，30，50，50，40，70.这组数据的中位数和众数分别是（ ） A ．40，50 B ．45，50 C ．50，50 D ．50，70 7．若|3|0x +，则x y +的值为（ ）A ．1B ．1-C ．5D ．5-8．如图，60AOB ∠=︒，点C 在AOB ∠的平分线上，4OC =，点P 、Q 分别是射线OA 、OB 上不同于O的一点，且四边形OPCQ 的内角120PCQ ∠=︒.设CP x =，CQ y =，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）.A ． B． C ． D ．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．函数y 中，自变量x 的取值范围是 .10．分解因式：32x xy -= .NBCDM O A11．如图，ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，M 、N 分别为AB 、BC 的中点，若1.5OM =，1ON =，则ABCD 的周长是 . 12．如图，平面直角坐标系中有依次向右排列的菱形1112A B C A 、2223A B C A 、3334A B C A ……，其中点1A 、2A 、3A ……均在x 轴正半轴上，点1A 和2A 的坐标分别为（1，0）和（2，0），11222333460B A A B A A B A A ∠=∠=∠==︒…，点1B 、2B 、3B ……都在第一象限，且位于同一条过原点的直线上，则这条直线的解析式是 ，第n 个菱形1n n n n A B C A +中n C 点的坐标是 . 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：0113|(2013π)()2-++-.14．解一元二次方程：23100x x --=.15．如图，D 、E 分别为线段AB 、AC 上一点，连接BE 、CD ，若AB AC =，B C ∠=∠，求证：BD CE =.A EDCB316．先化简，再求值：22321121a a a a a a -++-+-，其中a =17．列方程或方程组解应用题： 某超市为开业三周年举行了店庆活动，全店商品打八折销售，活动期间，小明在该超市购买了5件A 商品和1件B 商品，共花了84元；小亮在该超市购买了6件A 商品和3件B 商品，共花了108元，那么A 、B 两种商品打折前的原价分别是多少？18．若m 为正整数，且关于x 的方程2(1)410m x x -++=有两个实数根，求m 的值.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，反比例函数kyx=的图象与一次函数y mx b=+的图象交于A（1，3）、B（n，1-）两点.（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答，若该反比例函数的值大于该一次函数的值，则x的取值范围是.20．如图，ABCD中，E为BC中点，2AD AB=，连结AE、DE，F、H分别为AE、DE的中点.（1）求证：CF与EH互相平分；（2）若25AB=，40DE=，求CF的长.AM HFED CB21．新初三年级为了了解学生的体能情况，从年级中随机抽取了若干名同学进行休能测试，结果按A （优秀）、B （良好）、C （合格）、D （不合格）四个等级进行统计，其中部分统计结果如下面的扇形图和条形图所示.请你结合图中信息解答下列问题：人数25%40%AD C B（1）补全上面的条形统计图；（2）扇形统计图中D 级所在的扇形圆心角的度数是 ； （3）若新初三年级共有学生600人，请你估计全年级学生中体能测试可以达到A 级和B级的约有多少人？22．两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重合在一起，其中90ACB DFE ∠=∠=︒，60BAC EDF ∠=∠=︒，1AC DF ==.如图，固定ABC △不动，将DEF △沿线段AB 向右平移，直至D 、B 两点重合为止.在此过程中，当点D 不与A 、B 两点重合时，可作四边形CDBF .（1）当点D 移动到AB 的中点时，四边形CDBF 的形状是 ； （2）四边形CDBF 是否可能为直角梯形？是否可能为等腰梯形？若可能，请画出相应的图形，并直接写出此时的平移距离；若不可能，只需作出判断，不必说明理由.A FED CB五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．已知关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m -+++-=.（1）求证：无论m 取何实数值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根1x 、2x 满足122||11m x x m +-=+-，求m 的值.24．如图，四边形OABC 是一张边长为4的正方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点O 与坐标原点重合，点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，D 为BC 中点，点N 的坐标为（3，0），过点N 且平行于y 轴的直线MN 与BD 交于点M .现将纸片沿过D 点的直线折叠，使顶点C 落在线段MN 上的点F 处，折痕与y 轴的交点记为E .（1）求点F 的坐标和FDM ∠的大小； （2）求直线DE 的解析式；（3）点P 在直线DE 上，且PEF △为等腰三角形，请直接写出点P 的坐标.25．如图，等腰直角三角形ABC中，90ABC∠=︒，2AB BC==，点P、Q分别从A、C 两点同时出发，以相同速度作直线运动，点P沿射线AB向右运动，点Q沿BC边的延长线向上运动.设线段PQ与直线AC交于点D，AP的长为x，PCQ△的面积为S.（1）求证：直接写出S关于x的函数关系式；（2）当PCQ△与ABC△的面积相等时，x=；（3）过P作直线AC的垂线，记垂足为点E，则线段DE的长度是否随点P、Q的运动而改变？若不变，请求出DE的长；若改变，请证明你的结论.AQ PEDCB。