高中数学人教A版必修四 第二章《平面向量》20 平面向量应用举例(2课时) 含解析答案

学业分层测评(二十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m ，1)与l 平行，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2
D ．－1或2
【解析】 向量(1－m ，1)是直线的方向向量，所以斜率为11－m ，则1
1－m
＝－m
2
，解得m ＝－1或m ＝2. 【答案】 D
2．已知点A (2，3)，B (－2，6)，C (6，6)，D (10，3)，则以ABCD 为顶点的四边形是( )
A ．梯形
B ．邻边不相等的平行四边形
C ．菱形
D ．两组对边均不平行的四边形
【解析】 因为AD
→＝(8，0)，BC →＝(8，0)，所以AD →＝BC →，因为BA →＝(4，－
3)，所以|BA
→|＝5，而|BC →|＝8，故为邻边不相等的平行四边形．
【答案】 B
3．在△ABC 中，若13(OA →＋OB →＋OC →)＝OG
→，则点O 是△ABC 的( ) 【导
学号：00680062】
A ．内心
B ．外心
C ．垂心
D ．重心
【解析】 因为13(OA →＋OB →＋OC →)＝OG →，所以GA
→－GO →＋GB →－GO →＋GC →－GO →
＝3OG
→，化简得GA →＋GB →＋GC →＝0，故点G 为三角形ABC 的重心． 【答案】 D
4．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，已知AB
→＝a ，AC →＝b ，则下列向量中与
AD
→同方向的是( ) A ．a ＋b |a ＋b |
B ．a |a |＋b |b |
C ．
a －b
|a －b |
D ．a |a |－b |b |
【解析】 因为D 为BC 边的中点，则有AB →＋AC →＝2AD →，所以a ＋b 与AD →共
线，又因为a ＋b
|a ＋b |
与a ＋b 共线，所以选项A 正确．
【答案】 A
5.如图2－5－4所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10 N ，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米，则力F 做的功为( )
图2－5－4
A ．100焦耳
B ．50焦耳
C ．503焦耳
D ．200焦耳
【解析】 设小车位移为s ，则|s |＝10米， W F ＝F ·s ＝|F ||s |·cos 60° ＝10×10×1
2＝50(焦耳)．
故选B ． 【答案】 B 二、填空题
6．在边长为1的正三角形ABC 中，AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝________.
【解析】 AB
→·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB → ＝AB
→·(BC →＋CA →)＋BC →·CA → ＝AB
→·BA →－CA →·CB →
＝－AB
→2－|CA →||CB →|cos 60° ＝－12－1×1×1
2
＝－32
.
【答案】 －3
2
7.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图2－5－5所示，已知物体的重力大小为10 N ，则每根绳子的拉力大小是________．
图2－5－5
【解析】 因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N.
【答案】 10 N 三、解答题
8．已知△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4，0)，C (－6，2)，点D ，E ，F 分别为边BC ，CA ，AB 的中点．
(1)求直线DE ，EF ，FD 的方程；
(2)求AB 边上的高线CH 所在直线的方程．
【解】 (1)由已知得点D (－1，1)，E (－3，－1)，F (2，－2)． 设点M (x ，y )是直线DE 上任意一点， 则DM
→∥DE →，DM →＝(x ＋1，y －1)， DE
→＝(－2，－2)， ∴(－2)×(x ＋1)－(－2)×(y －1)＝0， 即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程．
同理可得直线EF ，FD 的方程分别为x ＋5y ＋8＝0，x ＋y ＝0. (2)设点N (x ，y )是CH 所在直线上的任意一点， 则CN
→⊥AB →，CN →·AB →＝0，
CN
→＝(x ＋6，y －2)，AB →＝(4，4)， ∴4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，
即x ＋y ＋4＝0为所求高线CH 所在直线的方程．
9．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)求AB
→和AC →夹角的余弦值； (3)是否存在实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝OA →·OC →，若存在，求t 的值；若不
存在，说明理由．
【解】 (1)由题意知AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC
→＝(4，4)， 所以|AB
→＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝42， 故所求的两条对角线的长分别为210，4 2. (2)cos ∠BAC ＝AB
→·AC →|AB →||AC →|
＝
234×2＝17
17
，
所以AB
→和AC →夹角的余弦值为1717
. (3)存在．由题设知：OA →＝(－1，－2)，OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t ，
5＋t )．
假设存在实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →
＝OA
→·OC →， 所以(3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝4， 从而5t ＝－15，所以t ＝－3.
[能力提升]
1．(2016·德州高一检测)O 是平面ABC 内的一定点，P 是平面ABC 内的一动点，若(PB →－PC →)·(OB →＋OC →)＝(PC →－P A →)·(OA →＋OC →)＝0，则O 为△ABC 的( )
A ．内心
B ．外心
C ．重心
D ．垂心
【解析】 因为(PB →－PC →)·(OB →＋OC →)＝0，
则(OB →－OC →)·(OB →＋OC →)＝0， 所以OB →2－OC →2＝0， 所以|OB
→|＝|OC →|. 同理可得|OA
→|＝|OC →|，
即|OA
→|＝|OB →|＝|OC →|， 所以O 为△ABC 的外心． 【答案】 B
2.如图2－5－6，ABCD 是正方形，M 是BC 的中点，将正方形折起使点A 与M 重合，设折痕为EF ，若正方形面积为64，求△AEM 的面积．
图2－5－6
【解】 如图，建立直角坐标系，显然EF 是AM 的中垂线，设AM 与EF 交于点N ，则N 是AM 的中点，
又正方形边长为8， 所以M (8，4)，N (4，2)．
设点E (e ，0)，则AM →＝(8，4)，AN →＝(4，2)，AE →＝(e ，0)，EN →＝(4－e ，2)，
由AM
→⊥EN →得AM →·EN →＝0， 即(8，4)·(4－e ，2)＝0，解得e ＝5，即|AE
→|＝5，
所以S △AEM ＝12|AE →||BM →|＝1
2
×5×4＝10.。