三次数学危机详情

xx学数学史漫谈—从三次数学危机说起∗xxx a)a)（xx大学，xx：xx，315211）摘要:数学被认为是最严谨的科学，其发展从来不是完全直线式的，在其发展的历史长河中常常出现悖论。

漫长的数学发展史上出现了三次危机：无理数的发现引发了数学史上的第一次危机；对无穷小量的理解引发了数学史上的第二次危机；罗素悖论引发了数学史上的第三次危机。

危机产生、解决、又产生的无穷反复过程，不单给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望，促进了数学的繁荣，数学也在不断的克服危机中获得巨大发展。

了解数学的历史对于数学的研究至关重要，正如著名数学家陈省身所说：了解历史是了解这门学科的一个步骤[1]。

本文将从数学史上的三次数学危机说起，使得对数学史有一个见微知著的作用。

关键词:数学危机；毕达哥拉斯悖论；贝克莱悖论；罗素悖论1.引言公元前400年左右，古希腊数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派，其人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。

由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。

而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰[2]。

然而毕达哥拉斯的学生希帕索斯却发现边长为1的正方形对角线的长，既不是整数，也不是两个整数之比，这就产生了这个无理数。

这无疑对“万物皆数”产生了巨大的冲击，从而引发第一†通讯作者.E-mail:zhengyazhoumath@次数学危机。

大约公元前450年，埃利亚数学家芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的4个悖论。

芝诺悖论的提出说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但古希腊时期数学家无法解决这些矛盾。

到了18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。

但是不管是牛顿，还是莱布尼茨所创立的微积分理论都是不严格的，因为牛顿和莱布尼茨的微积分理论是建立在无穷小分析之上的，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与应用是混乱的。

1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》[3]，矛头指向微积分的基础—无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。

笼统的说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题。

这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生[4]。

到19世纪末，康托尔的集合论已经得到数学家的承认，集合论也成功地应用到其他的数学分支。

集合论是数学的基础，由于集合论的使用，数学似乎已经达到了无懈可击的地步，所以在1900年巴黎国际数学会议上，法国大数学家庞加莱宣称：“数学的严格性，看来直到今天才可以说实现了”1903年，英国数学家罗素提出集合论的概念本身出现了矛盾[5]。

随后引起了巨大反响进而导致了数学史上的第三次危机。

历史上的三次数学危机，给数学界带来了极大的麻烦，危机的产生使数学家认识到了现有理论的缺陷，科学中悖论的产生常常预示着人类的认识将进入一个新阶段，所以悖论是科学发展的产物，又是科学发展动力之一。

2.三次数学危机及其解决2.1.第一次数学危机公元前580年，古希腊著名数学家与哲学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。

该学派是一个唯心主义学派，其数学信仰是“万物皆数”，并认为数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。

当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是不甚了解，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，因此该学派认为宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。

然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰[6]。

毕达哥拉斯有一个聪明的学生希帕索斯，希帕索斯不仅智慧超群，而且还机具创新精神，为此，毕达哥拉斯还为他竖起了一块碑作为奖励。

为了摸清勾股数的底子，毕达哥拉斯把筛选三元数组的任务交给了希帕索斯。

在研究过程中碰到了这样一个问题：正方形的边长为1，那么，对角线是多少呢？希帕索斯用了很长的时间，发现对角线的长，既不是整数，也不是两个整数之比。

于是，无理数首次为人们所接触到，并且引发了第一次数学危机。

约在公元前370年，柏拉图的学生攸多克萨斯解决了关于无理数的问题。

他纯粹用公理化方法创立了新的比例理论，两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。

正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。

这微妙地处理了可公度和不可公度。

他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录，并且和戴德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。

这次危机让人们第一次认识到了无理数的存在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了含有有理数和无理数的新数系――实数系，并建立起完整的实数理论[7]。

2.2.第二次数学危机第二次数学危机，指发生在十七、十八世纪，围绕微积分诞生初期的基础定义展开的一场争论。

公元前450年，埃利亚(意大利半岛南部)数学家芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的4个悖论。

芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专门针对数学的，但是它们在数学界中却激起了一场轩然大波。

它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但当时数学界无法解决这些矛盾。

经过数学家多年的努力，终于在17世纪晚期，形成了无穷小演算──微积分这门学科，牛顿和莱布尼兹被被公认为微积分的奠基者，他们的功绩主要在于：把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法。

由于微积分运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为解决问题的重要工具。

与此同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。

对于牛顿对导数求导过程的论述，哲学家贝克莱很快发现了其中的问题他一针见血的指出：先用△x为除数除以△y，说明△x不等于零，而后又扔掉含有△x的项，则又说明△x等于零，这岂不是自相矛盾吗？因此贝克莱曾经嘲弄无穷小是“逝去的量的鬼魂”，他认为微积分是依靠双重的错误得到了正确的结果，说微积分的推导是“分明的诡辩”，这就是著名的“贝克莱悖论”[8]。

这种在同一问题的讨论中，将所谓的无穷小量有时作为零，有时又异于零的做法，不得不让人怀疑。

无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？贝克莱悖论的出现危及到了微积分的基础，引起了数学界长达两个多世纪的论战，从而导致了数学发展史中的第二次危机。

19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。

波尔查诺首先给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西则在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发，认识到函数不一定要有解析表达式；他抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量；并且定义了导数和积分；狄里赫利给出了函数的现代定义。

在这些工作的基础上，威尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。

19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人分别独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上，第二次数学危机得以解决。

2.3.第三次数学危机十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论。

数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦，因而集合论成为现代数学的基石。

然而，1897年，布拉利和福尔蒂提出了最大序数悖论；1899年，康托尔自己发现了最大基数悖论。

但由于这两个悖论都涉及集合中的许多复杂理论，所以只是在数学界未能引起大的注意。

1903年，罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。

然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。

因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。

但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。

如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。

无论如何都是矛盾的，这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论[9]。

罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。

如G.弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。

罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。

”戴德金也因此推迟了他的《什么是数的本质和作用》一文的再版。

由此导致了第三次数学危机。

危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。

人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。

“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。

”1908年，策梅罗在自已这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统。

这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。

除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。

公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机[10]。

3.三次数学危机对数学发展的影响数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。

但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。

在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。

而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。

历史上的三次数学危机，给人们带来了极大的麻烦，危机的产生使人们认识到了现有理论的缺陷，科学中悖论的产生常常预示着人类的认识将进入一个新阶段，所以悖论是科学发展的产物，又是科学发展源泉之一。

第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。

此外，还发现了无理数，建立了完整的实数理论，欧氏几何也应运而生并建立了几何公理体系；第二次数学危机的出现，直接导致了极限理论、实数理论和集合论三大理论的产生和完善，使微积分建立在稳固且完美的基础之上。

这次危机不但没有阻碍微积分的迅猛发展和广泛应用，反而让微积分驰骋在各个科技领域，解决了大量的物理问题、天文问题、数学问题，大大推进了工业革命的发展。

第三次数学危机，使集合论成为一个完整的集合论公理体系（ZFC系统），促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性。