三次数学危机及其影响
历史上的三次数学危机
当时古希腊的欧多克索斯部分地解决 了这一危机。他采用了一个十分巧妙的关
于“两个量之比”的新说法，回避了2 是无
理数的实质，用几何的方法去处理不可公度 比。这样做的结果，使几何的基础牢靠 了，几何从全部数学中脱颖而出。欧几里 得的《几何原本》中也采用了这一说法， 以致在以后的近二千年中，几何变成了几 乎是全部严密数学的基础。
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牛顿的思路是：让时间从 t0 到 t1 ，
这段时间记作 t t1 t0 ，而这段时间里
物体走过的距离记作 S
。比值
S t
便是
t0 到 t1 这段时间内物体的平均速度。牛顿
设想：t 越小，这个平均速度应当越接近
物体在时刻 t0 的瞬时速度。当 t 越来越
小（当然 S 也越来越小），最后成为无
穷小，将要变成0而还不是0的时候，两个
而且，随着时间的推移，研究范围的 扩大，类似的悖论日益增多。数学家在研 究无穷级数的时候，做出许多错误的证 明，并由此得到许多错误的结论。由于没 有严格的极限理论作为基础。数学家们在 有限与无限之间任意通行（不考虑无穷级 数收敛的问题）。
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因此，进入19世纪时，一方面微积 分取得的成就超出人们的预料，另一方 面，大量的数学结构没有正确的牢固的逻 辑基础，因此不能保证数学结论是正确无 误的。
但是彻底解决这一危机是在19世纪， 依赖实数理论的建立。
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二、第二次数学危机
第二次数学危机发生在牛顿创立微积 分的十七世纪。第一次数学危机是由毕达 哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机 则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提 出的，是对牛顿 “无穷小量”说法的质
疑 引起的。
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1．危机的引发 1）牛顿的“无穷小” 牛顿的微积分是一项划时代的科学成 就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻 辑上的问题。我们来看一个例子。 微积分的一个来源，是想求运动物体 在某一时刻的瞬时速度。在牛顿之前，只 能求一段时间内的平均速度，无法求某一 时刻的瞬时速度。
(整理)数学史上的三次危机.
数学史上的三次危机张清利第一次数学危机在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。
因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。
它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。
这是数学史上的一个里程碑。
毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为q p /的形式，也就是说不存在作为公共度量单位的线段。
后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。
因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。
例如， ,22,8,6,2等都是无理数。
无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。
事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。
第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：1． 数学已由经验科学变为演绎科学；2． 把证明引入了数学；3． 演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加重要的地位。
这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。
中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。
即算术阶段。
希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里士多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。
在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。
总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。
无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。
首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。
数学史上的三次数学危机的成因分析
数学史上的三次数学危机的成因分析数学的发展并非一帆风顺，在其漫长的历史进程中，曾经历了三次重大的危机。
这些危机不仅对当时的数学界产生了巨大的冲击，也推动了数学的不断进步和完善。
第一次数学危机发生在古希腊时期，主要源于对无理数的发现。
在古希腊，毕达哥拉斯学派深信“万物皆数”，这里的数指的是整数以及整数之比（有理数）。
他们认为，宇宙中的一切现象都可以用有理数来解释和描述。
然而，毕达哥拉斯学派的一个成员希帕索斯却发现了一个惊人的事实：边长为 1 的正方形，其对角线的长度无法用有理数来表示。
按照勾股定理，这个对角线的长度应该是根号 2。
但根号 2 既不是整数，也不是两个整数之比，这一发现直接冲击了毕达哥拉斯学派的基本信念。
这次危机的成因可以归结为以下几点。
首先，当时的数学观念和认知存在局限性。
人们过度依赖于整数和有理数来理解世界，对于无法用已有数学概念表达的量缺乏准备。
其次，数学的推理和证明体系还不够完善。
在面对根号 2 这样的新对象时，缺乏严谨的逻辑方法来处理和理解。
第一次数学危机的影响是深远的。
它促使人们重新审视数学的基础，推动了数学逻辑和证明的发展。
数学家们开始意识到，仅仅依靠直观和经验是不够的，必须建立更加严谨的数学体系。
第二次数学危机则与微积分的基础问题相关。
在 17 世纪，牛顿和莱布尼茨各自独立地发明了微积分。
微积分在解决众多科学和工程问题中显示出了强大的威力，极大地推动了科学技术的发展。
然而，微积分在创立初期却存在着逻辑上的漏洞。
例如，在求导数的过程中，无穷小量的概念含糊不清。
无穷小量有时被看作是零，有时又被当作非零的量参与运算，这引发了广泛的争议。
造成第二次数学危机的原因主要有两个方面。
一方面，微积分的发展速度过快，其应用的迫切需求超过了理论基础的完善速度。
科学家们急于利用微积分解决实际问题，而对其内在的逻辑矛盾关注不够。
另一方面，当时的数学分析方法还不够精确和严格。
对于极限、无穷小等概念的理解和定义存在模糊性。
数学史上一共发生过三次危机,都是怎么回事
数学史上一共发生过三次危机，都是怎么回事？在数学历史上，有三次大的危机深刻影响着数学的发展，三次数学危机分别是：无理数的发现、微积分的完备性、罗素悖论。
第一次数学危机第一次数学危机发生在公元400年前，在古希腊时期，毕达哥拉斯学派对“数”进行了定义，认为任何数字都可以写成两个整数之商，也就是认为所有数字都是有理数。
但是该学派的一个门徒希帕索斯发现，边长为“1”的正方形，其对角线“√2”无法写成两个整数的商，由此发现了第一个无理数。
毕达哥拉斯的其他门徒知道后，为了维护门派的正统性，把希帕索斯杀害了，并抛入大海之中，看来古人也是解决不了问题时，先解决提出问题的人。
即便如此，无理数的发现很快引起了一场数学革命，史称第一次数学危机，这危机影响数学史近两千年的时间。
第二次数学危机微积分是一项伟大的发明，牛顿和莱布尼茨都是微积分的发明者，两人的发现思路截然不同；但是两人对微积分基本概念的定义，都存在模糊的地方，这遭到了一些人的强烈反对和攻击，其中攻击最强烈的是英国大主教贝克莱，他提出了一个悖论：从微积分的推导中我们可以看到，△x在作为分母时不为零，但是在最后的公式中又等于零，这种矛盾的结果是灾难性的，很长一段时间内数学家都找不到解决办法。
直到微积分发明100多年后，法国数学家柯西用极限定义了无穷小量，才彻底解决了这个问题。
第三次数学危机数学家总有一个梦想，试图建立一些基本的公理，然后利用严格的数理逻辑，推导和证明数学的所有定理；康托尔发明集合论后，让数学家们看到了曙光，法国科学家庞加莱认为：我们可以借助结合论，建造起整座数学大厦。
正在数学家高兴之时，英国哲学家、逻辑学家罗素，提出了一个惊人的悖论——罗素悖论：罗素悖论通俗描述为：在某个城市中，有一位名誉满城的理发师说：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。
”那么请问理发师自己的脸该由谁来刮？罗素悖论的提出，引发了数学上的又一次危机，数学家辛辛苦苦建立的数学大厦，最后发现基础居然存在缺陷，数学家们纷纷提出自己的解决方案；直到1908年，第一个公理化集合论体系的建立，才弥补了集合论的缺陷。
三次数学危机及其影响
1．“数学基础”的曙光——集合论
到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使 几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现 使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算 术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索： 整个数学的基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现 了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。
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但是，新的系统的相容性尚未证明。因此， 庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来后不久， 形象地评论道：“为了防狼，羊群已经用篱 笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼”。
这就是说，第三次数学危机的解决，并不是 完全令人满意的。
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❖ 当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一 危机。他采用了一个十分巧妙的关于“两个 量之比”的新说法，回避了它是无理数的实 质，而是用几何的方法去处理不可公度比。 这样做的结果，使几何的基础牢靠了，几何 从全部数学中脱颖而出。欧几里得的《几何 原本》中也采用了这一说法，以致在以后的 近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数 学的基础。
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1908年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,1871—1953）提出了 由7条公理组成的集合论体系，称为Z-系统。
1922年，弗兰克（A.A.Fraenkel）又加进一条公理，还 把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的ZF-系统。再 后来，还有改进的ZFC-系统。
这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过 程，悖论消除了。
三次数学危机的产生与解决
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解决措施
针对三次数学危机，数学家们提出了各种解决措施。在第一次数学危机中， 欧多克索斯提出了实数的概念，将数学从困境中解脱出来；在第二次数学危机中， 数学家们对集合论进行严格的公理化，提出了公理化集合论；在第三次数学危机 中，
数学家们发展出了新的数学逻辑系统——模态逻辑，为数学的发展提供了更 加坚实的基础。
三次数学危机的产生与解决
目录
01 第一次数学危机
03 第三次数学危机
02 第内容
目录
06 总结
数学作为一门基础学科，是人类文明的重要组成部分。然而，在数学发展史 上，曾先后出现过三次严重的危机。本次演示将分别探讨这三次数学危机的产生 背景、原因及后果，并提出相应的解决措施。
第一次数学危机
第一次数学危机发生在公元前580年至568年之间的古希腊时期。这场危机的 起因主要在于当时数学界对无理数认识的不足。古希腊的数学家们认为，所有的 数都可以表示为整数或分数，即有理数。然而，当时希腊数学家希帕索斯发现了 一个问题：如果将
正方形的对角线进行等分，那么所得的线段长度就无法用有理数来表示。这 个发现动摇了当时数学界的基础，引发了第一次数学危机。
第二次数学危机
第二次数学危机发生在19世纪末期。这次危机源于康托尔的集合论，由于集 合论的某些基本概念含混不清，引发了数学界的恐慌。这场危机的根本原因是， 当时数学家们并未对集合论进行严格的公理化。为了解决这次危机，数学家们对 集合论进行了深入
研究，最终由策梅洛提出了公理化集合论，平息了这次危机。
发展。而在第三次数学危机时期，人们对数学的认知发生了根本性的改变， 使数学进入了一个全新的发展阶段。
总结
三次数学危机的产生与解决，是人类文明发展的重要组成部分。这些危机不 仅推动了数学的快速发展，而且也启示人们要不断深入思考和探索数学的内涵和 基础。通过了解三次数学危机的历史背景、原因、后果及解决措施，我们可以更 好地理解数学的
史上数学三大危机简介
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------史上数学三大危机简介数学三大危机数学三大危机简述：第一，希帕索斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前 5 世纪）发现了一个腰为 1 的等腰直角三角形的斜边（即根号 2）永远无法用最简整数比（不可公度比）来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。
相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希帕索斯抛入大海；第二，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻；第三，罗素悖论：S 由一切不是自身元素的集合所组成，那 S 包含 S 吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：我正在撒谎！问小明到底撒谎还是说实话。
罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论！第一次数学危机毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题万物皆数是该学派的哲学基石。
毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。
而一切数均可表成整数或整数之比则是这一学派的数学信仰。
1 / 6然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的掘墓人。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。
小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
数学史上的三次危机及对数学发展的影响
《校园百家讲坛》演讲稿数学史上的三次危机及对数学发展的影响主讲卢伯友一引言“校园百家讲坛”很早就邀请我，要我给同学们讲点什么，因为这个讲坛的神圣性和严肃性，我一直没有敢答应下来。
今天，站在这个讲坛上，我仍然感到诚惶诚恐的。
讲什么呢？从哪儿开始呢?我一直思考着这个问题。
国学大师王国维在《人间词话》中说过：“诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。
入乎其内，故能写之。
出乎其外，故能观之。
入乎其内，故有生气。
出乎其外，故有高致。
”同学们平时听课、读书、做习题是入乎其内，今天听讲座是出乎其外，两者相互相成。
只知入乎其内，那是见木不见林，常常会迷失方向。
所以，还要辅助以出乎其外，站出来作高瞻远瞩。
正所谓“风声、雨声、读书声、声声入耳；家事、国事、天下事，事事关心！”整个人类文明的历史就像长江的波浪一样，一浪高过一浪，滚滚向前，科学巨人们站在时代的潮头，以他们的勇气、智慧和勤劳把人类的文明从一个高潮推向另一个高潮。
我们认为，整个人类文明可以分为三个层次：(1) 以锄头为代表的农耕文明；(2) 以大机器流水线作业为代表的工业文明; (3) 以计算机为代表的信息文明。
数学在这三个文明中都是深层次的动力，其作用一次比一次明显。
基于此原因，我今天演讲的题目是：数学史上的三次危机及对数学发展的影响古人讲，欲穷千里目，更上一层楼。
今天，我们站在历史的角度，剖析历史上发生的三次数学危机及其对数学发展的重要影响，让同学们不仅从数学自身的思想方法和应用的角度，而且从文化和历史的高度审视数学的全貌和美丽。
赞美数学思想的博大精深，赞美由数学文化引出的理性精神，以及在理性精神的指导下，人类文明的蓬勃发展。
二数学史上的三次危机及对数学发展的影响1毕达哥拉斯与第一次数学危机1.1第一次数学危机的内容毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
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危机的解决
彻底解决这一危机是在19世纪， 彻底解决这一危机是在19世纪，依赖于数系 19世纪 的扩张。直到人类认识了实数系， 的扩张。直到人类认识了实数系，这次危机 才算彻底解决， 才算彻底解决，这已经是两千多年以后的事 情了
二. 第二次数学危机
第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七 世纪。 世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派 内部提出的， 内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学 派的外部、贝克莱大主教提出的， 派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿 “无穷小量”说法的质疑引起的。 无穷小量”说法的质疑引起的。
罗素悖论
年出版了《 的原理》 但罗素在1903年出版了《数学的原理》，书 罗素在 年出版了 数学的原理 中提到著名的罗素悖论 罗素悖论， 数学基础产生了 中提到著名的罗素悖论，使数学基础产生了 因而震动了整个数学 个数学界 就是所说 裂纹，因而震动了整个数学界，这就是所说 第三次数学危机 数学危机。 的第三次数学危机。
理发师悖论
罗素悖论的通俗化——“理 理 罗素悖论的通俗化 发师悖论” 发师悖论”：某村的一个理 发师宣称， 发师宣称，他给且只给村里 自己不给自己刮脸的人刮脸。 自己不给自己刮脸的人刮脸。 理发师是否给自己刮脸？ 问：理发师是否给自己刮脸？
罗素
最后，这些既属于自己而又不属于自己 这些既属于自己而又不属于自己 自己而又不属于 的集合 (Set)，便成了集合论的矛盾， ，便成了集合论的矛盾， 起第三次数学危机 数学危机。 引发起第三次数学危机。
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危机的实质： 危机的实质： 是无理 2 数，全体整数之构成的 是有理数系，有理数系 是有理数系， 需要扩充， 需要扩充，需要添加无 理数. 理数.
当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一 危机。他采用了一个十分巧妙的关于“ 危机。他采用了一个十分巧妙的关于“两个 量之比”的新说法， 量之比”的新说法，回避了它是无理数的实 而是用几何的方法去处理不可公度比 不可公度比。 质，而是用几何的方法去处理不可公度比。 这样做的结果，使几何的基础牢靠了， 这样做的结果，使几何的基础牢靠了，几何 从全部数学中脱颖而出。欧几里得的《 从全部数学中脱颖而出。欧几里得的《几何 原本》中也采用了这一说法， 原本》中也采用了这一说法，以致在以后的 近二千年中， 近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数 学的基础。 学的基础。
危机的消除
危机出现以后， 危机出现以后，包括罗素本人在内的许多 数学家作了巨大的努力来消除悖论。 数学家作了巨大的努力来消除悖论。当时消 除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论， 除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论， 再寻找新的理论基础， 再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产 生的原因，改造集合论， 生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可 能。
微积分的奠基人
莱布尼茨
牛顿
所以， 所以，由“无穷小”引发的第二次数学危机， 无穷小”引发的第二次数学危机， 实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作 为微积分学的基础。 为微积分学的基础。
无穷小量 无穷小量
例如：微积分有时把无穷小量看作 例如：微积分有时 无穷小量看作 分有 无穷小量 无穷小量 = 0 无穷小量 无穷小量 ≠ 0 由于这些问题，引起了数学界的极大争论， 由于这些问题，引起了数学界的极大争论， 就就是所谓【第二次数学危机】 就就是所谓【第二次数学危机】.
数学历史之： 数学历史之： 三次数学危机及其影响
一. 第一次数学危机一. 第次数学危机1.危机的起因 1.危机的起因： 第一次数学危机是由 不 能写成两个整数 2 之比引发的。 之比引发的。
毕达哥拉斯（约公元前580-前500） 古希腊哲学家、数学家、天文学家
例：如边长为1的正方形，对角线的 边长为 的正方形，对角线的 的正方形 度就不能以整数之比表示。 整数之比表示 长度就不能以整数之比表示。
1908年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,1871—1953）提出了 年 策梅洛（ ） 条公理组成的集合论体系， 系统。 由7条公理组成的集合论体系，称为 系统。 条公理组成的集合论体系 称为Z-系统 1922年，弗兰克（A.A.Fraenkel）又加进一条公理，还 年 弗兰克（ ）又加进一条公理， 把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的 系统。 把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的ZF-系统。再 系统 后来，还有改进的 系统。 后来，还有改进的ZFC-系统。 系统 这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过 这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过 程，悖论消除了。 悖论消除了。
三、第三次数学危机
1．“数学基础”的曙光 ． 数学基础”的曙光——集合论 集合论
到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使 世纪，数学从各方面走向成熟。 世纪 几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现 几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论） 使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算 使微积分有了牢靠的基础；群的理论、 术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索： 代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索： 整个数学的基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现 整个数学的基础在哪里？正在这时， 世纪末， 世纪末 了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。 人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。
但是，新的系统的相容性尚未证明。因此， 但是，新的系统的相容性尚未证明。因此， 庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来后不久， 庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来后不久， 形象地评论道： 为了防狼， 形象地评论道：“为了防狼，羊群已经用篱 笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼” 笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼”。 这就是说，第三次数学危机的解决，并不是 这就是说，第三次数学危机的解决， 完全令人满意的。 完全令人满意的。