2019年中考备考：中考模拟卷三角形压轴题精选含精品解析

2019年中考备考：中考模拟卷三角形压轴题精选1.（2019广东省深圳市福田二模）如图所示，要在某东西走向的A、B两地之间修一条笔直的公路，在公路起点A处测得某农户C在A的北偏东68°方向上．在公路终点B处测得该农户c在点B的北偏西45°方向上．己知A、B两地相距2400米．（1）求农户c到公路B的距离；（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈（2）现在由于任务紧急，要使该修路工程比原计划提前4天完成，需将该工程原定的工作效率提高20%，求原计划该工程队毎天修路多少米？【分析】（1）农户C到公路的距离，也就是求C到AB的距离．要构造直角三角形，再解直角三角形；（2）设原计划x天完成，则由等量关系“原工作效率×（1+25%）＝提前完成时的工作效率”列方程求解．【解答】解：（1）如图，过C作CH⊥AB于H．设CH＝x，由已知有∠EAC＝68°，∠FBC＝45°，则∠CAH＝22°，∠CBA＝45°．在Rt△BCH中，BH＝CH＝x，在Rt△HBC中，tan∠HBC＝，∴HB＝＝，∵AH+HB＝AB，∴x+x＝2400，解得x＝（米），∴农户C到公路的距离米．（2）设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要（y﹣4）天．根据题意得：＝（1+20%）×，解得：y＝24．经检验知：y＝24是原方程的根，2400÷24＝100（米）．答：原计划该工程队毎天修路100米．【点评】考查了构造直角三角形解斜三角形的方法和分式方程的应用．2.（2019浙江省南通市一模）如图，已知△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝12，D是AC边上一点，且AB2＝AD•AC，连接BD，点E、F分别是BC、AC上两点（点E不与B、C重合），∠AEF＝∠C，AE与BD相交于点G．（1）求：BD的长；（2）求证：△BGE∽△CEF；（3）连接FG，当△GEF是等腰三角形时，直接写出BE的所有可能的长度．【分析】（1）证明△ADB∽△ABC，可得，由此即可解决问题．（2）想办法证明∠BEA＝∠EFC，∠DBC＝∠C即可解决问题．（3）分三种情形构建方程组解决问题即可．【解答】解：（1）∵AB＝8，AC＝12，又∵AB2＝AD•AC∴∵AB2＝AD•AC，∴，又∵∠BAC是公共角∴△ADB∽△ABC，∴∴＝∴．（2）∵AC＝12，，∴，∴BD＝CD，∴∠DBC＝∠C，∵△ADB∽△ABC∴∠ABD＝∠C，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠BEF＝∠C+∠EFC，即∠BEA+∠AEF＝∠C+∠EFC，∵∠AEF＝∠C，∴∠BEA＝∠EFC，又∵∠DBC＝∠C，∴△BEG∽△CFE．（3）如图1中，过点A作AH∥BC，交BD的延长线于点H，设BE＝x，CF＝y，∵AH∥BC，∴＝＝＝＝，∵BD＝CD＝，AH＝8，∴AD＝DH＝，∴BH＝12，∵AH∥BC，∴＝，∴＝，∴BG＝，∵∠BEF＝∠C+∠EFC，∴∠BEA+∠AEF＝∠C+∠EFC，∵∠AEF＝∠C，∴∠BEA＝∠EFC，又∵∠DBC＝∠C，∴△BEG∽△CFE，∴＝，∴＝，∴y＝；当△GEF是等腰三角形时，存在以下三种情况：①若GE＝GF，如图2中，则∠GEF＝∠GFE＝∠C＝∠DBC，∴△GEF∽△DBC，∵BC＝10，DB＝DC＝，∴＝＝，又∵△BEG∽△CFE，∴＝＝，即＝，又∵y＝，∴x＝BE＝4；②若EG＝EF，如图3中，则△BEG与△CFE全等，∴BE＝CF，即x＝y，又∵y＝，∴x＝BE＝﹣5+；③若FG＝FE，如图4中，则同理可得＝＝，由△BEG∽△CFE，可得＝＝，即＝，又∵y＝，∴x＝BE＝﹣3+．【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质、解一元二次方程等知识的综合运用．解题的难点是正确寻找相似三角形解决问题，运用分类思想是解决第（3）小题的关键．3.（2019江苏省无锡市一模）（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK交于点F，连接CF．求证：∠AFE＝∠CFD．（2）如图2，在Rt△GMN中，∠M＝90°，P为MN的中点．①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM＝∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；②在①的条件下，如果∠G＝60°，GM＝3，P为MN中点，求MQ的长度．【分析】（1）证明FC＝FB，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题．（2）①作点P关于GN的对称点P′，连P′M交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求．②想办法证明GQ＝GN即可．【解答】（1）证明：如图1中，∵FK垂直平分线段BC，∴FC＝FB，∴∠CFD＝∠BFD，∵∠BFD＝∠AFE，∴∠AFE＝∠CFD．（2）①作点P关于GN的对称点P′，连P′M交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求．理由：∵GN垂直平分PP′，∴QP′＝QP，∠KQP′＝∠KQP，∵∠GQM＝∠KQP′，∴∠GQM＝∠PQK，∴点P即为所求．②∵P，P′关于GN对称，∴GN⊥PP′，PK＝KP′，∴∠PKN＝90°，∵∠N＝30°，∴∠PNK＝60°，∴PN＝2KP＝PP′，∵PM＝PN，∴PM＝PP′，∵∠NPK＝∠PMP′+∠P′，∴∠PMP′＝∠P′＝30°，∴∠QMN＝∠N＝30°，∴MQ＝NQ，∵∠G＝∠QMG＝60°，∴QG＝QM，∴MQ＝QG＝NQ，∵GM＝3，∠N＝30°，∠NMG＝90°，∴GN＝2GM＝6，∴MQ＝3．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4.（2019江苏省扬州市一模）有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A为智慧角，则∠B的度数为；（2）如图①，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，求证：△ABC是智慧三角形；（3）如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A（3，0），点B，C在函数y＝（x＞0）的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当△ABC是直角三角形时，求k的值．【分析】（1）利用智慧角的意义和勾股定理即可得出结论；（2）构造出两个直角三角形，即可得出结论；（3）分两种情况：①先判断出△BCF∽△ABE，进而得出B（3+a，），C（1+a，+a），最后代入反比例函数解析式中即可得出结论；②先判断出△MAC≌△NBA（AAS）．进而AM＝BN＝，进而得出B（3+b，），C（3﹣，b），最后代入反比例函数解析式中即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A是智慧角，∴AB＝AC，根据根据勾股定理得，BC＝AC，∴∠B＝∠A＝45°，故答案为45°；（2）如图2，过点C作CD⊥AB于点D．在Rt△ACD中，∠A＝45°，∴AC＝DC．在Rt△BCD中，∠B＝30°，∴BC＝2DC．∴＝．∴△ABC是智慧三角形．（3）由题意可知∠ABC＝90°或∠BAC＝90°．①当∠ABC＝90°时，如图3，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥EB交EB延长线于点F，过点C作CG⊥x轴于点G，则∠AEB ＝∠F＝∠ABC＝90°．∴∠BCF+∠CBF＝∠ABE+∠CBF＝90°．∴∠BCF＝∠ABE．∴△BCF∽△ABE．∴＝＝＝．设AE＝a，则BF＝a．∵BE＝，∴CF＝2．∵OG＝OA+AE﹣GE＝3+a﹣2＝1+a，CG＝EF＝+a，∴B（3+a，），C（1+a，+a）．∵点B，C在函数y＝（x＞0）的图象上，∴（3+a）＝（1+a）（+a）＝k．解得：a1＝1，a2＝﹣2（舍去）．∴k＝．②当∠BAC＝90°时，如图4，过点C作CM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N．则∠CMA＝∠CAB＝∠ANB＝90°．∴∠MCA+∠CAM＝∠BAN+∠CAM＝90°．∴∠MCA＝∠BAN．由（1）知∠B＝45°．∴△ABC是等腰直角三角形．∴AC＝AB．由①知△MAC∽△NBA．∴△MAC≌△NBA（AAS）．∴AM＝BN＝．设CM＝AN＝b，则ON＝3+b．∴B（3+b，），C（3﹣，b）．∵点B，C在函数y＝（x＞0）的图象上，∴（3+b）＝（3﹣）b＝k．解得：b＝9+12．∴k＝18+15．综上所述，k＝4或18+15．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，构造直角三角形和相似三角形是解本题的关键．5.（2019辽宁省沈阳市一模）如图在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，M为AC的中点．D 是射线CB上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接MN．（1）如图1，∠BCE＝，NM与AC的位置关系是；（2）如图2，判断（1）中NM与AC的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME，在点D运动的过程中，当CD的长为何值时，ME的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．【分析】（1）如图1中，连接AN，CN．证明△BAD≌△CAE（SAS），推出∠ABD＝∠ACE＝45°，再利用直角三角形斜边中线的性质以及等腰三角形的性质即可解决问题．（2）如图2中，结论不变．证明方法类似（1）．（3）根据垂线段最短即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，连接AN，CN．∵△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ACB＝45°∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠ECB＝45°+45°＝90°，∵DN＝EN，∴CN＝DE，同法AN＝DE，∴NA＝NC，∵AM＝MC，∴NM⊥AC，故答案为90°，MN⊥AC．（2）如图2中，结论不变．理由：连接AN，CN．∵△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ACB＝45°∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABD＝∠ACE＝135°，∴∠DCB＝90°，∵DN＝EN，∴CN＝DE，同法AN＝DE，∴NA＝NC，∵AM＝MC，∴NM⊥AC．（3）如图3中，由（1）可知∠ECB＝90°，∴CE⊥BC，∴当ME⊥EC时，ME的值最小，在Rt△ABC中，∵AB＝AC＝2，∴BC＝4，∵AM＝MC＝，在Rt△CME中，∵∠ECM＝∠CME＝45°，∴EC＝EM＝1，由（1）可知：△BAD≌△CAE，∴BD＝EC＝1，∴CD＝4﹣1＝3．∴当CD＝3时，EM的值最小，最小值为1．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．6.（2019辽宁省营口市一模）如图，在东西方向的海岸线MN上有A，B两港口，海上有一座小岛P，渔民每天都乘轮船从A，B两港口沿AP，BP的路线去小岛捕鱼作业．已知小岛P在A港的北偏东60°方向，在B港的北偏西45°方向，小岛P距海岸线MN的距离为30海里．（1）求AP，BP的长（参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）；（2）甲、乙两船分别从A，B两港口同时出发去小岛P捕鱼作业，甲船比乙船晚到小岛24分钟．已知甲船速度是乙船速度的1.2倍，利用（1）中的结果求甲、乙两船的速度各是多少海里/时？【分析】（1）过点P作PE⊥MN，垂足为E．构造直角三角形APE和BPE，利用直角三角形中特殊角所对应的边角关系，求出AP、BP．（2）设乙船的速度是x海里/时，根据甲船比乙船晚到小岛24分钟，列出方程，求解方程即可．【解答】解：（1）过点P作PE⊥MN，垂足为E．由题意，得∠PAB＝90°﹣60°＝30°，∠PBA＝90°﹣45°＝45°．∵PE＝30海里，∴AP＝60海里．∵PE⊥MN，∠PBA＝45°，∴∠PBE＝∠BPE＝45°，∴PE＝EB＝30海里．在Rt△PEB中，BP＝＝30≈42（海里）．故AP＝60（海里），BP＝42（海里）．（2）设乙船的速度是x海里/时，则甲船的速度是1.2x海里/时，根据题意，得﹣＝，解得x＝20经检验，x＝20是原方程的解．∴甲船的速度为1.2x＝1.2×20＝24．答：甲船的速度是24海里/时，乙船的速度是20海里/时．【点评】本题考查了解直角三角形的应用和列分式方程解应用题．解决（1）的关键是构造直角三角形，利用特殊角的边角关系；解决（2）的关键是根据题意，找到等量关系列出分式方程．7.（2019浙江省温州市龙湾区一模）如图，在8×8的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出∠ADC，使得∠ADC＝∠ABC，且点D为格点．（2）在图2中画出∠CEB，使得∠CEB＝2∠CAB，且点E为格点．【分析】（1）构造全等三角形解决问题即可．（2）利用圆周角定理解决问题即可．【解答】解：（1）如图点D，D′，D″即为所求．（2）如图点E，E′即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8.（2019浙江省台州市一模）直角三角形有一个非常重要的性质质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，比如：如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB中点，则CD＝AD＝BD＝AB．请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题：在△ABC中，直线a绕顶点A旋转．（1）如图2，若点P为BC边的中点，点B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN．求证：PM＝PN；（2）如图3，若点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM＝PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图4，∠BAC＝90°，直线a旋转到与BC垂直的位置，E为AB上一点且AE＝AC，EN⊥a于N，连接EC，取EC中点P，连接PM、PN，求证：PM⊥PN．【分析】（1）如图2中，延长NP交BM的延长线于G．只要证明△PNC≌△PGB，推出PN＝PG，再根据直角三角形斜边中线定理即可证明．（2）结论：PM＝PN．延长NP交BM于G，证明方法类似（1）．（3）如图4中，延长NP交BM于G．先证明△EAN≌△CAM，推出EN＝AM，AN＝CM，再证明△ENP ≌△CGP，推出EN＝CG＝AM，PN＝PG，因为AN＝CM，所以MG＝MN，即可证明PM⊥PN．【解答】（1）证明：如图2中，延长NP交BM的延长线于G．∵BM⊥AM，CN⊥AM，∴BG∥CN，∴∠PCN＝∠PBG，在△PNC和△PGB中，，∴△PNC≌△PGB，∴PN＝PG，∵∠NMG＝90°，∴PM＝PN＝PG．（2）结论：PM＝PN．如图3中，延长NP交BM于G．∵BM⊥AM，CN⊥AM，∴BM∥CN，∴∠PCN＝∠PBG，在△PNC和△PGB中，，∴△PNC≌△PGB，∴PN＝PG，∵∠NMG＝90°，∴PM＝PN＝PG．（3）如图4中，延长NP交BM于G．∵∠EAN+∠CAM＝90°，∠CAM+∠ACM＝90°，∴∠EAN＝∠ACM，在△EAN和△CAM中，，∴△EAN≌△CAM，∴EN＝AM，AN＝CM，∵EN∥CG，∴∠ENP＝∠CGP，在△ENP和△CGP中，，∴△ENP≌△CGP，∴EN＝CG＝AM，PN＝PG，∵AN＝CM，∴MG＝MN，∴PM⊥PN．【点评】本题考查几何变换综合题、直角三角形斜边中线性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．9.（2019安徽省淮南市一模）如图1，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上，且满足∠AFE＝∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）证明：DM＝DA；（2）如图2，点G在BE上，且∠BDG＝∠C，求证：△DEG∽△ECF；（3）在图2中，取CE上一点H，使得∠CFH＝∠B，若BG＝3，求EH的长．【分析】（1）想办法证明∠AMD＝∠A即可．（2）根据两角相等的两个三角形相似即可证明．（3）理由相似三角形以及平行四边形的性质证明BG＝EH即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1所示，∵DM∥EF，∴∠AMD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠A，∴∠AMD＝∠A，∴DM＝DA．（其他解法酌情给分）（2）证明：如图2所示，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠DEG＝∠C，∵∠AFE＝∠A，∴∠BDE＝∠AFE，∴∠BDG+∠GDE＝∠C+∠FEC，∵∠BDG＝∠C，∴∠GDE＝∠FEC，∴△DEG∽△ECF．（3）如图3所示，∵∠BDG＝∠C＝∠DEB，∠B＝∠B，∴△BDG∽△BED，∴，∴BD2＝BG•BE，∵∠AFE＝∠A，∠CFH＝∠B，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣∠AFE﹣∠CFH＝∠EFH，又∵∠FEH＝∠CEF，∴△EFH∽△ECF，∴EF2＝EH•EC，∵DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴EF＝DM＝DA＝BD，∴BG•BE＝EH•EC，∵BE＝EC，∴EH＝BG＝3．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用相似三角形的性质证明线段线段，属于中考压轴题．10.（2019安徽省淮南市二模）已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PO的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）【分析】（1）先过点A作AH⊥PO，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，得出＝，设AH＝5k，则PH＝12k，AP＝13k，求出k的值即可．（2）先延长BC交PO于点D，根据BC⊥AC，AC∥PO，得出BD⊥PO，四边形AHDC是矩形，再根据∠BPD＝45°，得出PD＝BD，然后设BC＝x，得出AC＝DH＝x﹣14，最后根据在Rt△ABC中，tan76°＝，列出方程，求出x的值即可．【解答】解：（1）过点A作AH⊥PO，垂足为点H，∵斜坡AP的坡度为1：2.4，设AH＝5k，则PH＝12k，由勾股定理，得AP＝13k，∴13k＝26，解得k＝2，∴AH＝10，答：坡顶A到地面PO的距离为10米．（2）延长BC交PO于点D，∵BC⊥AC，AC∥PO，∴BD⊥PO，∴四边形AHDC是矩形，CD＝AH＝10，AC＝DH，∵∠BPD＝45°，∴PD＝BD，设BC＝x，则x+10＝24+DH，∴AC＝DH＝x﹣14，在Rt△ABC中，tan76°＝，即≈4.01．解得x≈19．答：古塔BC的高度约为19米．【点评】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数、坡角与坡角等，关键是做出辅助线，构造直角三角形．11.（2019安徽省庐江县一模）已知如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于E，点F是AE的中点（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝2，直接写出线段BF的范围．【分析】（1）结论：FD＝FC，DF⊥CF．理由直角三角形斜边中线定理即可证明；（2）如图2中，延长AC到M使得CM＝CA，延长ED到N，使得DN＝DE，连接BN、BM．EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O．想办法证明△ABN≌△MBE，推出AN＝EM，再利用三角形中位线定理即可解决问题；（3）分别求出BF的最大值、最小值即可解决问题；【解答】解：（1）结论：FD＝FC，DF⊥CF．理由：如图1中，∵∠ADE＝∠ACE＝90°，AF＝FE，∴DF＝AF＝EF＝CF，∴∠FAD＝∠FDA，∠FAC＝∠FCA，∴∠DFE＝∠FDA+∠FAD＝2∠FAD，∠EFC＝∠FAC+∠FCA＝2∠FAC，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°，∴∠DFC＝∠EFD+∠EFC＝2（∠FAD+∠FAC）＝90°，∴DF＝FC，DF⊥FC．（2）结论不变．理由：如图2中，延长AC到M使得CM＝CA，延长ED到N，使得DN＝DE，连接BN、BM．EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O．∵BC⊥AM，AC＝CM，∴BA＝BM，同法BE＝BN，∵∠ABM＝∠EBN＝90°，∴∠NBA＝∠EBM，∴△ABN≌△MBE，∴AN＝EM，∴∠BAN＝∠BME，∵AF＝FE，AC＝CM，∴CF＝EM，FC∥EM，同法FD＝AN，FD∥AN，∴FD＝FC，∵∠BME+∠BOM＝90°，∠BOM＝∠AOH，∴∠BAN+∠AOH＝90°，∴∠AHO＝90°，∴AN⊥MH，FD⊥FC．（3）如图3中，当点E落在AB上时，BF的长最大，最大值＝3如图4中，当点E落在AB的延长线上时，BF的值最小，最小值＝．综上所述，≤BF．【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．12.（2019北京市汇文中学一模）阅读理解：如图①，如果四边形ABCD满足AB＝AD，CB＝CD，∠B＝∠D＝90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中CE，CF为折痕，∠BCE＝∠ECF＝∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB′，FD′相交于点O．简单应用：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是；（2）当图③中的∠BCD＝120°时，∠AEB′＝°；（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有个（包含四边形ABCD）．拓展提升：当图③中的∠BCD＝90°时，连接AB′，请探求∠AB′E的度数，并说明理由．【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和“完美筝形”的定义容易得出结论；（2）先证出∠AEB′＝∠BCB′，再求出∠BCE＝∠ECF＝40°，即可得出结果；（3）由折叠的性质得出BE＝B′E，BC＝B′C，∠B＝∠CB′E＝90°，CD＝CD′，FD＝FD′，∠D ＝∠CD′F＝90°，即可得出四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”；由题意得出∠OD′E＝∠OB′F＝90°，CD′＝CB′，由菱形的性质得出AE＝AF，CE＝CF，再证明△OED′≌△OFB′，得出OD′＝OB′，OE＝OF，证出∠AEB′＝∠AFD′＝90°，即可得出四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”；即可得出结论；当图③中的∠BCD＝90°时，四边形ABCD是正方形，证明A、E、B′、F四点共圆，得出，由圆周角定理即可得出∠AB′E的度数．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C≠90°，∠B＝∠D≠90°，∴AB≠AD，BC≠CD，∴平行四边形不一定为“完美筝形”；②∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，∴AB≠AD，BC≠CD，∴矩形不一定为“完美筝形”；③∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C≠90°，∠B＝∠D≠90°，∴菱形不一定为“完美筝形”；④∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∴正方形一定为“完美筝形”；∴在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是正方形；故答案为：正方形；（2）根据题意得：∠B′＝∠B＝90°，∴在四边形CBEB′中，∠BEB′+∠BCB′＝180°，∵∠AEB′+∠BEB′＝180°，∴∠AEB′＝∠BCB′，∵∠BCE＝∠ECF＝∠FCD，∠BCD＝120°，∴∠BCE＝∠ECF＝40°，∴∠AEB′＝∠BCB′＝40°+40°＝80°；故答案为：80；（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有5个；理由如下；根据题意得：BE＝B′E，BC＝B′C，∠B＝∠CB′E＝90°，CD＝CD′，FD＝FD′，∠D＝∠CD′F＝90°，∴四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”；∵四边形ABCD是“完美筝形”，∴AB＝AD，CB＝CD，∠B＝∠D＝90°，∴CD′＝CB′，∠CD′O＝∠CB′O＝90°，∴∠OD′E＝∠OB′F＝90°，∵四边形AECF为菱形，∴AE＝AF，CE＝CF，AE∥CF，AF∥CE，∴D′E＝B′F，∠AEB′＝∠CB′E＝90°，∠AFD′＝∠CD′F＝90°，在△OED′和△OFB′中，，∴△OED′≌△OFB′（AAS），∴OD′＝OB′，OE＝OF，∴四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”；∴包含四边形ABCD，对应图③中的“完美筝形”有5个；故答案为：5；当图③中的∠BCD＝90°时，如图所示：四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EB′F＝90°，∴∠BAD+∠EB′F＝180°，∴A、E、B′、F四点共圆，∵AE＝AF，∴，∴∠AB′E＝∠AB′F＝∠EB′F＝45°．【点评】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质、“完美筝形”的判定与性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题难度较大，综合性强，熟练掌握“完美筝形”的定义，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．13.（2019北京市大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（0，﹣1），点C（m，0）是x轴上的一个动点．（1）如图1，点B在第四象限，△AOB和△BCD都是等边三角形，点D在BC的上方，当点C在x轴上运动到如图所示的位置时，连接AD，请证明△ABD≌△OBC；（2）如图2，点B在x轴的正半轴上，△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，点D在AC的上方，∠D ＝90°，当点C在x轴上运动（m＞1）时，设点D的坐标为（x，y），请探求y与x之间的函数表达式；（3）如图3，四边形ACEF是菱形，且∠ACE＝90°，点E在AC的上方，当点C在x轴上运动（m＞1）时，设点E的坐标为（x，y），请探求y与x之间的函数表达式．【分析】（1）由等边三角形的性质得到AB＝OB，BD＝BC，∠ABO＝∠DBC＝60°，从而判断出∠ABD＝∠OBC即可；（2）过点D作DH⊥y轴，垂足为H，延长HD，过点C作CG⊥HD，垂足为G，由△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，得出∠ADC＝90°，AD＝CD，∠CDG＝∠DAH，从而得到△AHD≌△DGC（AAS），根据DH＝CG＝OH，点D的坐标为（x，y），得出y与x之间的关系是y＝x；（3）过点E作EM⊥x轴，垂足为M，则∠EMC＝∠COA＝90°，再利用正方形的性质即可得出△EMC ≌△COA（AAS），得到MC＝OA＝1，EM＝OC，EM＝OC＝x+1，进而得出y与x之间的关系是y＝x+1．【解答】解：（1）∵△AOB和△BCD都是等边三角形，∴AB＝OB，BD＝BC，∠ABO＝∠DBC＝60°，∴∠ABD＝∠OBC，在△ABD和△OBC中，，∴△ABD和△OBC；（2）如图，过点D作DH⊥y轴，垂足为H，延长HD，过点C作CG⊥HD，垂足为G．∴∠AHD＝∠CGD＝90°，∵△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，∴∠ADC＝90°，AD＝CD，∴∠ADH+∠CDG＝90°，∵∠ADH+∠DAH＝90°，∴∠CDG＝∠DAH，∵在△AHD和△DGC中，，∴△AHD≌△DGC（AAS），∴DH＝CG＝OH，∵点D的坐标为（x，y），∴y与x之间的关系是y＝x；（3）过点E作EM⊥x轴，垂足为M，则∠EMC＝∠COA＝90°，∵四边形ACEF是菱形，且∠ACE＝90°，∴AC＝CE，∠ACO+∠ECO＝90°，∵∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠ECO＝∠CAO，在△EMC和△COA中，，∴△EMC≌△COA（AAS），∴MC＝OA＝1，EM＝OC，∵点E的坐标为（x，y），∴EM＝OC＝x+1，∴y与x之间的关系是y＝x+1．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的综合应用，解本题的关键是判定三角形全等，根据全等三角形的对应边相等进行推导．本题也可以运用相似三角形的性质进行求解．14.（2019北京市丰台区一模）如图1，两个全等的△ABC和△DEF中，∠ACB＝∠DFE＝90°，AB＝DE，其中点B和点D重合，点F在BC上，将△DEF沿射线BC平移，设平移的距离为x，平移后的图形与△ABC重合部分的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示（其中0≤x≤m，m＜x≤3，3＜x≤4时，函数的解析式不同）（1）填空：BC的长为；（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．【分析】（1）通过图2观察可知y＝0时x＝4，即D点从B运动到C平移的距离为4；（2）当△DEF在平移过程中，与△ABC的重合部分有三种情况，将三种图形分别画出，通过作辅助线构造相似三角形，通过相似三角形对应边的关系，将各边用x表示出来，即可以列出y与x的函数关系式．【解答】解：（1）由图2得当x＝4时，y＝0，说明此时△DEF与△ABC无重合部分，则点D从B到C运动的距离为4，即BC＝4；故答案为：4．（2）当DE经过点A时（如图1），BD＝3，CD＝1，∵△ABC≌△DEF．∴∠EDF＝∠BAC．∵∠ACD＝∠BCA∴△ADC∽△BAC．∴，即．AC ＝2∴n ＝2当0≤x ≤2时（如图2），设ED 、EF 与AB 分别相交于点M ，G ，作MN ⊥BC ，垂足为N ． 则∠MNB ＝90°＝∠EFD ＝∠C ． ∵∠MDN ＝∠EDF ． ∴△DMN ∽△DEF ．∴，即．∴MN ＝2DN ．设DN ＝n ，则MN ＝2n ． 同理△BMN ∽△BAC ．∴．即，∴BN ＝4n ，即x +n ＝4n ．∴n ＝x ．∴S △BDM ＝•BD •MN ＝2同理△BGF ∽△BAC∴，即．∴GF ＝，∴y ＝S △BGF ﹣S △BDM ＝2＝﹣x 2+x +1．当2＜x ≤3时（如图3），由①知，S △BDM ＝x 2．∴y ＝S △ABC ﹣S △BDM ＝2＝﹣x 2+4当3＜x ≤4时（如图4），设DE 与AB 相交于点H ． 同理△DHC ∽△DEF ．∴，即∴HC ＝24﹣x ．∴y ＝＝x 2﹣8x +16∴y ＝．【点评】本题考查了平移的性质、相似三角形性质，解题的关键是要找到△DEF 运动过程中与△ABC 重叠面积的不同情况，通过辅助线构造相似三角形，要注意分类讨论画出对应的图象．15.（2019北京市海淀区一模）【发现】如图①，已知等边△ABC ，将直角三角板的60°角顶点D 任意放在BC 边上（点D 不与点B 、C 重合），使两边分别交线段AB 、AC 于点E 、F ． （1）若AB ＝6，AE ＝4，BD ＝2，则CF ＝ ；（2）求证：△EBD∽△DCF．【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示，问：点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【探索】如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON＝∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF．设∠B＝α，则△AEF与△ABC的周长之比为（用含α的表达式表示）．【分析】（1）先求出BE的长度后发现BE＝BD的，又∠B＝60°，可知△BDE是等边三角形，可得∠BDE＝60°，另外∠DEF＝60°，可证得△CDF是等边三角形，从而CF＝CD＝BC﹣BD；（2）证明△EBD∽△DCF，这个模型可称为“一线三等角•相似模型”，根据“AA”判定相似；【思考】由角平分可联系到角平分线的性质“角平分线上点到角两边的距离相等”，可过D作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，则DM＝DG＝DN，从而证明△BDM≌△CDN可得BD＝CD；【探索】由已知不能求得C△ABC＝AB+BC+AC＝2AB+2OB＝2（m+m cosα），则需要用m和α是三角函数表示出C△AEF ，C△AEF＝AE+EF+AF＝AG+AH＝2AG；题中直接已知点O是BC的中点，应用（2）题的方法和结论，作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，可得EG＝ED，FH＝DF，则C△AEF＝AE+EF+AF＝AG+AH＝2AG，而AG＝AB﹣BO，从而可求得．【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝6，∠B＝∠C＝60°．∵AE＝4，∴BE＝2，则BE＝BD，∴△BDE是等边三角形，∴∠BED＝60°，又∵∠EDF＝60°，∴∠CDF＝180°﹣∠EDF﹣∠B＝60°，则∠CDF＝∠C＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CF＝CD＝BC＝BD＝6﹣2＝4．故答案是：4；（2）证明：如图①，∵∠EDF＝60°，∠B＝60°，∴∠CDF+BDE＝120°，∠BED+∠BDE＝120°，∴∠BED＝∠CDF．又∠B＝∠C＝60°，∴△EBD∽△DCF；【思考】存在，如图②，过D作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，垂足分别是M、G、N，∵ED平分∠BEF且FD平分∠CFE．∴DM＝DG＝DN．又∠B＝∠C＝60°，∠BMD＝∠CND＝90°，∴△BDM≌△CDN，∴BD＝CD，即点D是BC的中点，∴＝；【探索】如图③，连接AO，作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，垂足分别是G、D、H．则∠BGO＝∠CHO＝90°，∵AB＝AC，O是BC的中点，∴∠B＝∠C，OB＝OC，∴△OBG≌△OCH，∴OG＝OH，GB＝CH，∠BOG＝∠COH＝90°﹣α，则∠GOH＝180°﹣（∠BOG+∠COH）＝2α，∴∠EOF＝∠B＝α由（2）题可猜想应用EF＝ED+DF＝GE+FH（可通过半角旋转证明），＝AE+EF+AF＝AE+EG+FH+AF＝AG+AH＝2AG，则C△AEF设AB＝m，则OB＝m cosα，GB＝m cos2α．＝＝＝＝1﹣cosα．故答案是：1﹣cosα．【点评】本题主要考查的是三角形的综合应用，解答本题主要应用了角平分线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识点，综合性较强，难度较大，需要学生具备对所学几何知识的综合应用能力．16.（2019甘肃省高台县一模）如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）填空：①当t为s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形；②当t为s时，四边形ACFE是菱形．【分析】（1）由题意得到AD＝CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）①分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F 为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案；②若四边形ACFE是菱形，则有CF＝AC＝AE＝6，由E的速度求出E运动的时间即可．【解答】（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD＝∠DCF，∠AED＝∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD＝CD，∵在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝8﹣2t，解得：t＝；当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BF﹣BC＝2t﹣8（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t＝2t﹣8，解得：t＝8；综上可得：当t＝或8s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．②若四边形ACFE是菱形，则有CF＝AC＝AE＝8，则此时的时间t＝8÷1＝8（s）；故答案是：或8；8．【点评】此题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．17.（2019广东省湛江市一模）如图，已知：AD为△ABC的中线，过B、C两点分别作AD所在直线的垂线段BE和CF，E、F为垂足，过点E作EG∥AB交BC于点H，连结HF并延长交AB于点P．（1）求证：DE＝DF（2）若BH：HC＝11：5；①求：DF：DA的值；②求证：四边形HGAP为平行四边形．【分析】（1）由AAS证明△BDE≌△CDF，即可得出结论；（2）①设BH＝11x，则HC＝5x，BC＝16x，则，DH＝3x，由平行线得出△EDH∽△ADB，得出，即可得出结论；②求出＝，证出FH∥AC，即PH∥AC，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴DE＝DF；（2）①解：设BH＝11x，则HC＝5x，BC＝16x，则，DH＝3x，∵EG∥AB，∴△EDH∽△ADB，∴，∵DE＝DF，∴；②证明：∵，∴，∵，∴＝，∴FH∥AC，∴PH∥AC，∵EG∥AB，∴四边形HGAP为平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定是关键．18.（2019广东省佛山市一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝l0cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同吋点P从点B出发沿BA的方向匀速运动，速度为lcm/s．已知：过点P的直线PQ满足PQ∥AC，直线PQ交BC于点Q、交BD于点F．设运动时间为ts（0＜t＜5）；。