16一次函数的图象
一次函数的图象
10
8
y= x
6
4•
y = x−5
2 4
2
y = x+4
−8
−4
o
−4
•
6
8
10
x
−8
练一练： 练一练：
你能找出下面的四个一次函数对应的图象吗？ 1. 你能找出下面的四个一次函数对应的图象吗？请 说出你的理由. 说出你的理由.
y = −2 x + 5
2 2 y= − x =− x 3 3
y
10
8 6 4
1 y y （ ）y = 2 x + 6 、 = 5 x 、 = x − 2（2）y = − x + 6 、 = −2 x 、 = − x − 3 1 y y 2
y
10 8 6
y = 5x
y
10
8 6
4
y = x−2
2 4 6 8 10
4
2
1 y=− x−3 2
−8
−4
2
−8
−4
o
−4
x
o
−4 −8
轴交点的位置. 常数项 b 决定一次函数图象与 y轴交点的位置.
看一看
下图是某次110米栏比赛中两名选手所跑的路 下图是某次110米栏比赛中两名选手所跑的路 110 和所用时间t（ 的函数图象. 程s（米）和所用时间 （秒）的函数图象. 观 （ 察图象,你能看出谁跑得更快吗? 察图象,你能看出谁跑得更快吗?
5
s
(千米 ) 千米
s
5
(千米 ) 千米
5
O
( A)
15
t ( 分）O
(B )
15
t ( 分） O
一次函数的图象与性质
y kx b
的图象与性质：
一、图象：是一条经过y轴上的点（0，b）的直线。 直线y kx b 与直线 y kx 之间的关系可以通过 y kx b 可以由直线 y kx 平移 平移互相转化：直线
b 得到（当b>o时，向上平移，当b<0时，向下平移）
二、性质：
当k>0时，y随x的增大而增大 （直线从左到右是上升）。
当k<0时，y随x的增大而减小 （直线从左到右是下降）。 当b>0时，直线与y轴交于正半轴 。 当b<0时，直线与y轴交于负半轴。 当b=0时，该直线同，且b不相等，直线平行 当k不同，且b相等，直线相交于Y轴 函数图像所在象限与k，b的关系： 当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限
当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限
当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限
当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限
一次函数图像课件(共14张PPT)
（增的大图2）而象当从_减_k左_＜小_到_0，时右这下，__时y_降随_函_x数．的
做一做
画出函数y=-2x+2的图象,结合图象回答 下列问题：
（2）当x取何值时,y=0? 解：(（2)因3）为当yx=取0 何所值以时-,2yx＞+20=?0 ，x=1
（3）因为 y＞0 所以 -2x+2 ＞ 0 ，x < 1
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大， 这时函数的图象从左到右上升；
y x 2
y x 2
（增的大图2）而象当从_减_k左_小＜_到_0，时右下这，__时y降_随_函_x数．的
y减少
x增大
概括
一次函数y＝kx＋b有下列性质： （1） 当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函 数的图象从左到右上升；
一次函数的性质(1)
说一说：
1、一次函数的一般式。 y=kx+b（k，b为常数，k≠0）
2、一次函数的图象是什么？
一条直线。
1.掌握一次函数y＝kx＋b(k≠0)的性质。 2.能根据k与b的值说出函数的有关性质。
y 2 x 1 3
x 0 3 2
y10
y 3x 2 y 2 x 1 3
y增大 x增大
解：方法一 把两点的坐标代入函数关系式
当 x=2 时, m= 4
3
1
当 x= -3 时, n= 2
所以 m > n。
方法二因为
1
K= 6
>0，所以函数y随x增大而增大。
从而直接得到 m > n。
小结
经过本节课的学习，你有哪些收获？
（2） 当k＜0时，Байду номын сангаас随x的增大而减___小__，这时函 数的图象从左到右下__降___．
一次函数图像
一次函数的图像前言我们知道函数是输入自变量，输出因变量的一种对应关系。
那么如果我们想要把函数画出来，就需要同时表示自变量和因变量两个值。
这个问题被法国数学家笛卡尔所解决，所使用的方法也因此用笛卡尔命名。
平面直角坐标系为了表示自变量和因变量两个值，笛卡尔选择使用两条数轴，一条横的一条竖的，让两条数轴在原点相交，并且互相垂直。
这样平面上的每一个点，就能够分别对应横向和纵向的两个数了。
这被叫做平面直角坐标系，或者笛卡尔坐标系。
探索：坐标系可不可以不垂直？（非正交坐标）探索：除了两条数轴，还能有别的坐标系吗？（极坐标）探索：如果把一个坐标当作数，可以建立计算规则吗？（向量）可以看到平面被两条数轴切成了四部分，也叫四个象限，我们把x轴和y轴都是正半轴的部分叫做第一象限，逆时针依次是第二三四象限。
练习：在平面直角坐标系上表示 (0,1),(−12,3),(2,−1) ，并说明它们在第几象限。
函数图像通常我们把横轴叫做x轴，表示自变量，纵轴叫做y轴，表示因变量。
我们知道数轴可以表示所有的实数，所以只要把x轴每个x对应的函数值在y轴上表示出来就行，即画出所有的 (x,y(x)) 。
例如对于函数y(x)=1，我们知道不管x是多少，函数值都是1，所以得到图像如下：可以看出，任何的x对应的y值都是1，也就是函数y(x)=1。
如果函数的定义域有限制，那么我们就只画有定义的部分，例如 y(x)=−2x,x≥0 ，定义域要求x非负，我们就只画非负的部分，得到：我们可以用图像表示许多函数，例如 y(x)=x34−2x+x−1x+3 ：一次函数的图像接下来我们着重讨论一次函数的图像。
把一次函数画出来，可以发现一次函数在平面直角坐标系上都是一条直线。
例如y(x)=x+1的图像如下：我们知道两个数据能够确定一次函数，而在几何上，我们定义两点确定一条直线。
探索：如何证明一次函数图像是一条直线？练习：在同一个坐标系内画出 y1(x)=−12x,y2(x)=2x−3,y3(x)=−x+3 。
一次函数的定义与图象
一次函数的定义与图象
一次函数是指数学中具有以下特征的函数：变量的最高次数为1。本节将介绍 一次函数的定义、图象特点以及实际应用领域。
什么是一次函数？
一次函数是一种函数类型，其特点是变量的最高次数为1。它可以用线性方程 来表达，形式为y = kx + b，其中k
一次函数的图象就是一条直线，因此一次函数和直线是等价的概念。直线也可以用一次函数的解析式来表示。
一次函数的平移和伸缩变换
改变一次函数的解析式中的斜率和截距，可以对函数的图象进行平移和伸缩变换。这些变换可以改变直线的位 置和倾斜程度。
如何确定一次函数的斜率？
斜率可以通过一次函数的图象上的两个点之间的纵向变化量除以横向变化量 来确定。它表示了函数的变化率和倾斜程度。
• 图象是一条直线 • 斜率决定了图象的倾斜方向和陡峭程度 • 截距决定了图象与y轴的交点位置
一次函数的解析式对应的直线 方程
一次函数的解析式对应了一条直线的方程。例如，函数y = 2x + 3对应了斜率 为2，截距为3的直线。
一次函数的变量的物理含义
在实际问题中，一次函数的自变量通常表示某个物理量，而函数值则表示与自变量相关联的另一个物理量。例 如，y = 2x + 3可以表示速度与时间的关系。
一次函数的图像与性质
y 2 -y 1 k= x 2 -x1
y
A
1
−
1 2
x o
B
1
xA xB
课堂小结： 1.一次函数的定义 2.一次函数的图象 3.一次函数的性质
敬请指教，再见！ 敬请指教，再见！
(1)k = 3, b = 2
1 (3)k = 5, b = − 3
(2)k = −2, b = 0
1 (4)k = , b = 5 2
问题：截距与距离有何区别？ 截距与距离有何区别？ 截距与距离有何区别
20) b 与x轴交点为:(- ,0) k 与y轴交点为:(0,b)
问题：你能举出几个现实生活中一 次函数的例子吗？
1.定义：函数y=kx+b(k ≠ 0)叫做一次函数， 又叫做线性函数.
问题：一次函数与正比例函数有何关系？ 一次函数与正比例函数有何关系？ 一次函数与正比例函数有何关系
练习：（）y = 3 x + 2 (2) y = −2 x 1 1 1 (3) y = x + 5 (4) y = − + 5 x 2 3
3.性质：
(1)一次函数的定义域是R,值域是R.
(2)单调性：当k>0时，一次函数是增函数； 当k<0时，一次函数是减函数；
(3)奇偶性：当b=0时，一次函数是奇函数； 当b ≠ 0时，一次函数是非奇非偶函数;
(4)函 数 值 的 改 变 量 (y 2 -y 1 )与 自 变 量 的 改 变 量 (x 2 -x1 ) 的 比 值 等 于 常 数 k;
(完整版)一次函数的图像与性质
一次函数的性质和图像目录一、函数的定义（一）、一次函数的定义函数。
（二）、正比例函数的定义二、函数的性质（一）、一次函数的性质（二）、正比例函数的性质三、函数的图像（一）、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置（二）、一次函数的图像1、一次函数图像的形状2、一次函数图像的画法（三）、正比例函数的图像1、正比例函数图像的形状2、正比例函数图像的画法3、举例说明正比例函数图像的画法四、k、b两个字母对图像位置的影响K、b两个字母的具体分工是：（一次项系数）k决定图象的倾斜度。
（常数项）b决定图象与y轴交点位置。
五、解析式的确定（一）一个点坐标决定正比，两个点坐标决定一次（二）用待定系数法确定解析式六、两条函数直线的四种位置关系两直线平行，k1= k2，b1≠b2两直线重合，k1= k2，b1=b2两直线相交，k1≠k2两直线垂直，k1×k2=－1（一）两条函数直线的平行（二）两条函数直线的相交（三）两条函数直线的垂直一次函数、反比例函数中自变量x前面的字母k称为比例系数这一节我们要学习正比例函数和一次函数。
一次函数的解析式是y=kx+b，如果当这个式子中的b=0时，式子就变成了正比例函数y=kx。
因此，正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。
正是因为正比例函数实际上就是一次函数，所以把正比例函数和一次函数结合在一起来学习。
在正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x中，由于函数y与自变量x之间有比例关系，就要在自变量x前面用字母系数k表示它们之间的比例关系，因而字母k就取名为比例系数。
确定了比例系数k就可以直接确定正比例函数或反比例函数的解析式。
但是，在一次函数y=kx+b和二次函数y=ax2+bx+c中，我们从观察解析式就可以看出，函数y与自变量x之间没有相直接对应的比例关系，因此这两种函数自变量x前面的k，就不能叫比例系数，只能叫常数。
若欲确定一次函数或二次函数的解析式时，题意仅已知常数k还不行，还需要其他常数如b、c等常数的协助。
一次函数的图像课件
图像是一条直线，其上每一个点 的坐标 $(x, y)$ 都满足该函数的 解析式。
解析式中参数对图像的影响
$k$ 的影响
当 $k > 0$ 时，图像为上升直线；当 $k < 0$ 时，图像为下降直线。
$b$ 的影响
当 $b > 0$ 时，图像与 $y$ 轴交于 正半轴；当 $b < 0$ 时，图像与 $y$ 轴交于负半轴。
如果将一次函数的x替换 为x+h（h>0），则图 像向左移动h个单位。
如果将一次函数的x替换 为x-h（h>0），则图像
向右移动h个单位。
03 一次函数的应用
一次函数在实际生活中的应用
一次函数在经济学中的应用
一次函数可以用来描述经济活动中的关系，例如成本与产量的关 系、价格与需求的关系等。
一次函数在物理学中的应用
截距
一次函数的截距为b，表示函数图像 与y轴的交点。当b>0时，交点在y轴 的正半轴上；当b<0时，交点在y轴的 负半轴上。
一次函数图像的平移
上平移
下平移
左平移
右平移
如果一次函数的b值增加 （即向上平移），则图 像向上移动相应的距离。
如果一次函数的b值减小 （即向下平移），则图 像向下移动相应的距离。
在物理学中，一次函数可以用来描述线性关系，例如速度与时间的 关系、力与位移的关系等。
一次函数在统计学中的应用
在统计学中，一次函数可以用来拟合数据，例如线性回归分析等。
一次函数在数学题目中的应用
一次函数在代数题中的应用
在代数题目中，一次函数可以用来解决方程和不等式问题，例如求解一元一次方 程、一元一次不等式等。
描点，最后将这些点连接成一条直线。
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教学设计【课题】一次函数的图象第一课时备课时间：2013 年 12 月9日课型：新授授课时间： 2013 年 12 月16 日【教学目标】知识与能力：（1）初步了解作函数图象的一般步骤（2）认识正比例函数图像是一条直线，学会画正比例函数图像，学生在观察、研究中自主发现正比例函数的性质。
过程与方法：（1）通过作出函数图象和从图象上获取信息，体会数形结合思想; （2）通过解决问题时根据实际情境进行函数的三种表示法的相互转化,体会转化与化归在解决问题中的作用.情感态度与价值观：（1）在作图的过程中，体会数学的美；（2）经历作图过程，培养学生尊重科学，实事求是的作风【重点难点】重点：掌握正比例函数图象的性质特点．难点：正比例函数图象性质特点的掌握．【教具准备】彩色粉笔，直尺【教学方法】采用直观的图像引导学生认识知识【教学过程】（分课时备课）一、复习引入：正比例函数的定义二、学习新知：1.独立思考·解决问题函数图象的概念把一个函数的与对应的的值作为点的和，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
2．师生探究·合作交流作一次函数的图象例1：作出一次函数y=2x 的图象解：列表：x… -2 -1 0 1 2 y=2x+1 … -4 -2 0 2 4 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点。
连线：把这些点依次连接起来，得到y=2x+1的图象（如图6-4），它是一条直线。
小结：从刚才作图的情况来总结一下作一次函数图象有哪些步骤：（1） ；（2） ；（3） 。
y=kx ，当k ＞0时,图象(除原点外)在一,三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时,图象(除原点外)在二,四象限，y 随x 的增大而减小。
三、学习体会Yx -4 -3 -2 -1 0 1 2 42 -2Y x-4 -3 -2 -1 0 1 2 4 2-2 Y=2x Y=-2x1．本节课你有哪些收获？2．预习时的疑难解决了吗？你还有哪些疑惑？3．你认为老师上课过程中还有哪些须要注意或改进的地方相同点：不同点：函数y=2x的图象经过第象限，y随x的而，函数y=－2x的图象经过第象限. y随x的而。
3、思考：通过以上学习，画正比例函数图象有无简便的办法？四、随堂练习：五、当堂检测：（1）.函数y=－7x的图象在第象限内,经过点(0, )与点(1, ),y随x的增大而 .（2.）正比例函数y=（m－1）x的图象经过一、三象限，则m的取值范围是（）A.m=1 B.m＞1 C.m＜1 D.m≥1课堂小结：这节课我们学习了正比例函数的图象。
正比例函数的图象是经过原点的一条直线。
在作图时，只需确定直线上两点的位置，就可得到一次函数的图象。
一般地，作函数图象的三个步骤是：列表、描点、连线。
【作业设计】必做:伴你学p 130 2--10选做：第11题【板书设计】一次函数的图象1、函数的图像：2 y=kx，当k＞0时,图象(除原点外)在一,三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时,图象(除原点外)在二,四象限，y随x的增大而减小。
【教学反思】对于不等同于一般例题内容的教学，而是应该以探究学习的方式完成。
从教材设置的“数学活动”及“拓广探索”栏目下的习题等都设置了带有探究性的问题。
对于这些内容的教学，应注意鼓励学生积极探究，当学生在探究过程中遇到困难时，教师应启发诱导，设计必要的铺垫，适时地追问，让学生在经过自己的努力来克服困难的过程中体验如何探究，而不要替代他们思考，不要过早给出答案。
我根据学生认识规律和教学的启发性、直观性和面向全体因材施教等教学原则，以“学生发展为本，以活动为主线，以创新为主旨”，采用多种有效手段，以引导法为主，辅之以直观演示法，向学生提供充分从事数学活动的机会，激发学生的学习积极性，使学生主动参与学习的全过程。
【课题】一次函数的图像第二课时备课时间： 2013 年 12 月10 日课型：新授授课时间： 2013 年12 月17日【教学目标】知识与能力：（1）继续巩固一次函数的作图方法；（2）结合一次函数的图像（3）掌握一次函数及其图像的简单性质过程与方法：（1）经历对一次函数性质的探索过程（2）培养学生的观察力、语言表达能力。
情感态度与价值观：（1）经历一次函数及性质的探索过程（2）在合作与交流活动中发展学生的合作意识和能力【重点难点】重点：结合一次函数的图像，研究一次函数的简单性质。
难点：一次函数性质的应用。
【教具准备】彩色粉笔，直尺【教学方法】指导学生在操作中获取知识形成能力【教学过程】（分课时备课）一、复习提问：1、正比例函数、一次函数的概念：2、正比例函数的图像的性质二、学习新知：例1：作出一次函数y=2x+1的图象解：列表：x …-2 -1 0 1 2y=2x+1 …-3 -1 1 3 5描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点。
连线：把这些点依次连接起来，得到y=2x+1的图象（如图6-4），它是一条直线。
小结：从刚才作图的情况来总结一下作一次函数图象有哪些步骤：（1）；（2）；（3）。
做一做（1）作出一次函数y=-2x+5的图象，（2）在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否满足关系式y=-2x+5。
议一议（1）满足关系式y=-2x+5的x、y所对应的点（x,y）都在一次函数y=-2x+5的图象上吗？（2）一次函数y=-2x+5的图象上的点（x,y）都满足关系式y=-2x+5吗？（3）一次函数y=kx+b的图象有什么特点？小结：一次函数的图象是一条直线，由直线的公理可知：两点确定一条直线，所以作一次函数的图象时，只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以了，一次函数y=kx+b的图象也称为直线y-kx+b。
课堂练习分别作出一次函数y= x与y=-3x+9的图象。
一次函数 y＝ kx＋ b的图象是一条直线，因此作一次函数的图象时，只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以了。
一次函数y＝kx ＋b的图象也称为直线y＝kx＋b五、随堂练习：六、课堂小结【作业设计】必做:伴你学p 132 2--6选做：第7题【板书设计】一次函数的图像一次函数 y＝ kx＋ b的图象是一条直线，因此作一次函数的图象时，只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以了。
一次函数y＝kx＋b的图象也称为直线y＝kx＋b【教学反思】本课的配题注重从学生亲身经历的活动、学生熟悉的事入手选题，有开放型题、变式题，有数学思想的渗透，从易到难，由浅入深，应该说配题的设置具有一定的挑战性，能够起到激活学生思维的作用。
本课的教学对于基础好的学生也很难能够在有限的时间内从容地、完整地完成所有的学习任务；对于基础差的学生来说，能掌握基础的知识。
由于时间紧，不能给学生留有充分的思考空间和时间，学生对于习题所传达的知识、方法很难理解透彻。
所以常常出现习题做了很多，但是在遇见题还是有困难，习题的功能没有发挥。
【课题】一次函数的图像第三课时备课时间： 2013 年 12 月11 日课型：新授授课时间： 2013 年12 月18日【教学目标】知识与能力：（1）继续巩固一次函数的作图方法；（2）掌握一次函数及其图像的简单性质过程与方法：（1）经历对一次函数性质的探索过程（2）培养学生的观察力、语言表达能力。
情感态度与价值观：（1）经历一次函数及性质的探索过程（2）在合作与交流活动中发展学生的合作意识和能力【重点难点】重点：结合一次函数的图像，研究一次函数的简单性质。
难点：一次函数性质的应用。
【教具准备】彩色粉笔，直尺【教学方法】指导学生在操作中获取知识形成能力【教学过程】（分课时备课）教学过程：环节一：新课引入1、汽车以60千米∕时的速度匀速行驶，行驶里程为S千米，行驶时间为t小时，S＝（用含t的式子表示S）2、某城市的市内固定电话的月收费额y（单位：元）包括：月租费22元，拨打电话x分钟的计时费（按0.1元/分钟收取），y＝（用含x的式子表示y）3、正比例函数、一次函数的概念：像y=0.1x+22，形如y=kx+b(k.b为常数k≠0）的函数叫做。
特别地，当k=0 时，一次函数 y=kx 叫做，例如 y=0.1x。
4、练习：（1）下列函数中① y=-8x ② y=-8/x ③y=x²+1 ④y=2x-1 ⑤ x/2⑥ y=x/2+1。
其中是一次函数，是正比例函数（填编号）（2）在一次函数y=kx+b(k.b为常数k≠0）中，k= ，b＝环节二：一次函数图象的性质一、分别画出下列一次函数的图象y=x+1； y=2x解：(1)列表：x …-2 -1 0 1 2 …y ……x …-2 -1 0 1 2 …y ……(2) 描点(3 )连线归纳：一次函数的图象是一条。
思考：画一次函数的图象至少需要个点。
用两点法画出下列函数的图象：（1y=-x-1 （2）y=-3xxyxy解：(1)列表(2)描点(3)连线5、观察前面的四个图象：①一次函数 y=x+1中k= ；y=2x 中k= ；两个图象的相同之处是：从左到右图象（上升或下降），即 y随x 的增大而；（此时k 0）②一次函数y=-x-1 中k= ； y=-3x中k= ；两个图象的相同之处是：从左到右图象（上升或下降），即y 随 x的增大而；（此时k 0）③函数y=2x 中，b= ，它的图象都经过（0，），即点。
④归纳一次函数图象性质：当k>0时，直线y=kx+b由左至右，y随x 的增大而；当k<0时，直线y=kx+b由左至右，y随x 的增大而；练习：1、直线y=-x+1 由左至右，y随x的增大而2、直线y=2x-1 由左至右，y随x的增大而环节三：函数图象的平移二、用两点法画出函数 y=x，y=x+2 ，y=x-2 的图象。
xy=xxy=x+2xy=x-2解：列表：在同一坐标系中分别画出这三个函数的图象：观察得出：三个函数图象都是且互相y=x+2的图象可看作由直线y=x 向（填“上”或“下”）平移个单位而得。
y=x-2的图象可看作由直线 y=x向（填“上”或“下”）平移个单位而得。
由以上三个图象，归纳平移的规律：一次函数 y=kx+b的图象是一条；当b>0时，可看作由直线向平移个单位而得到；当b<0时，可看作由直线向平移个单位而得到。
练习：1、直线y=2x+3的图象是由直线y=2x向平移个单位得到2、直线y=2x-4的图象是由直线y=2x向平移个单位得到环节四：归纳总结一般地，一次函数y=kx+b(k.b为常数k≠0）有下列性质（一）k>0 ，y随x的增大而 ,b=0图象过象限；b<0图象过象限b>0图象过象限（二）k<o ，y随x的增大而b=0图象过象限；b<0图象过象限b>0图象过象限环节五：巩固练习1、函数y=3x-1 的图象，y 随 x的增大而，它的图象可由直线y=3x 向平移个单位得到。