导数2

导数专题训练知能目标:1. 了解导数的概念, 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义.2. 熟记基本导数公式, 掌握两个函数的四则运算的求导法则和复合函数的求导法则, 会求某些简单函数的导数.3. 会用导数求多项式函数的单调区间, 极值及闭区间上的最值. 会利用导数求最值的方法解决一些实际问题.综合脉络1. 知识网络（1）定义:当△x →0时,函数的增量△y 与自变量的增量△x 的比xy∆∆的极限,,即 ()()()xx f x x f Lim x y Limx f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆00' （2）函数()x f y =在点0x 处的导数的几何意义,就是曲线()x f y =在点P （0x ,f （0x ））处的切线的斜率. （3）质点作直线运动的位移S 是时间t 的函数,则()0't S 即为质点在t=t 0的瞬时速度. （4）几个重要函数的导数①0'=C ,（C 为常数） ②()()Q n nx x n n∈=-1'③()x x cos sin '= ④()x x sin cos '-=⑤()x Inx 1'= ⑥()e Iog xx Iog aa 1'= ⑦()xx e e ='⑧()Ina a a xx ='（1） 导数的四运算法则①()'''υμυμ±=± ②()'''μυυμμυ+= ③()0)(2'''±-=υυμυυμυμ （5）复合函数求导法则'''xx y y μμ=, 其中'x y 是y 对x 求导,'μy 是y 对μ求导,'x μ是μ对x 求导. （2） 导数的应用① 可导函数．．．．求单调区间或判断单调性的方法:使()x f '>0的区间为增区间,使()x f '<0的区间为减区间.② 可导函数．．．．()x f 求极值的步骤: ⅰ.求导数()x f'ⅱ.求方程()x f '=0的根n x x x ,,,21ⅲ.检验()x f'在方程的根的附近左右值的符号,若左正右负,则在这个根处取极大值,若左负右正,则在这个根处取极小值. ③ 连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值, ④()x f 在闭区间[a,b]上连续,在（a,b ）内可导,则求()x f 最大值、最小值的步骤与格式为ⅰ. 求导数()x f 'ⅱ.求方程()x f'=0的根n x x x ,,,21ⅲ.结合在[a,b]上的根及闭区间[a,b]的端点数值,列出表格若(b x x x a n <<<<< 21)ⅳ.根据上述表格的单调性及的大小,确定最大值与最小值.2. 考点综述(1) 导数为新教材必修的内容, 该内容的重点是掌握根据导数定义求简单函数的导数的方法. 一方面, 根据导数定义求导可进一步理解导数的概念; 另一方面, 许多法则都是由导数定义导出的. 掌握利用导数判别可导函数极值的方法, 是该章的又一重点. 主要涉及的是可导函数的单调性, 极值和最大 (小) 值的判定.(2) 导数概念比较抽象, 定义方法学生不太熟悉, 因此对导数概念的理解是学习中的一个难点; 求一些实际问题的最大值与最小值是另一个难点. 这里的关键是能根据实际问题, 建立适当的函数关系.(3) 用导数方法研究一些函数的性质及解决实际问题是导数的热点问题. 近几年来的新高考试题可以看出导数内容有以下变化趋势:① 导数是必考内容并且试题分数比重在逐年增加, 选择题, 填空题, 解答题都有可能出现, 分值介于12分—18分之间;②选择题, 填空题主要考查第导数的基本公式和基本方法的应用, 如求函数的导数, 切线的斜率, 函数的单调区间, 极值, 最值;③ 解答题一般为导数的应用, 主要考查利用导数判断函数的单调性, 在应用题中用导数求函数的最大值和最小值.导数(一)(一) 典型例题讲解:例1. (1) 函数)x (f y =的图象过原点且它的导函数)x (f y '=的图象是如图所示的一条直线, 则)x (f y =的图象的顶点在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限(2) 如果函数bx x )x (f 3+-=(b 为常数) 在区间)1,0( 内单调递增, 并且0)x (f =的根都在区间]2,2[ -内, 那么b 的范围是 .例2. 已知函数ax x 2)x (f 3+=与c bx )x (g 2+=的图象都过点P )0,2( 且在点P 处有相同的切线.(1) 求实数c ,b ,a 的值;(2) 设函数)x (g )x (f )x (F +=, 求)x (F 的单调区间, 并指出)x (F 在该区间上的单调性.专题测试与练习:1. 函数1x 3x )x (f 23+-=是减函数的区间为( )A. (2,)+∞B. (,2)-∞C. (,0)-∞D. (0,2) 2. 函数9x 3ax x )x (f 23-++=, 已知)x (f 在3x -=时取得极值, 则=a ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 在函数x 8x y 3-=的图象上, 其切线的倾斜角小于4π的点中, 坐标为整数的点的个数是 ( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 4. 函数1ax y 2+=的图象与直线x y =相切, 则a 的值为( )A.18 B. 41 C. 21D. 1 5. 已知: a (a x 6x 2)x (f 23+-=为常数)在]2,2[-上有最大值是3, 那么]2,2[-在上的最小值是( ) A. 5- B. 11- C. 29- D. 37-6. 曲线3x y =在点)1,1(处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为 .7. 曲线1x x y 3++=在点)3,1(处的切线方程是 .8. 曲线4x 6x 3x y 23+++=的所有切线中, 斜率最小的切线的方程是 .9.函数x 6x 3x 4y 23++-=的单调递减区间为 , 极大值为 ,极小值为 .10. 已知函数,a x 9x 3x )x (f 23+++-= (1) 求)x (f 的单调递减区间;(2) 若)x (f 在区间]2,2[ -上的最大值为20, 求它在该区间上的最小值.11. 已知c 2bx 3x )x (f 3++=, 若函数)x (f 的一个极值点落在x 轴上, 求23c b +的值.12. 已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点P )2,0(, 且在点M ))1(f ,1(--处的切线方程为07y x 6=+-.(1) 求函数)x (f y =的解析式; (2) 求函数)x (f y =的单调区间.导数(二) (一) 典型例题讲解:例1. 函数y ＝223a bx ax x x f +++=)(在1=x 时, 有极值10, 那么b a ,的值为 .例2. 已知向量b a b a ⋅=-=+=)x (f ),t ,x 1(),1x ,x (2若函数在区间)1,1(-上是增函数,求t 的取值范围.例3.:（2006年广东卷）设函数23)(3++-=x x x f 分别在1x 、2x 处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A 、B 的坐标分别为))(,(11x f x 、))(,(22x f x ,该平面上动点P 满足4=∙,点Q 是点P 关于直线)4(2-=x y 的对称点.求(Ⅰ)点A 、B 的坐标 ； (Ⅱ)动点Q 的轨迹方程(二) 专题测试与练习:1. 曲线=y x x 32+在2x =处的切线的斜率为 ( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 42. 已知某物体的运动方程是+=t S 913t , 则当s 3t =时的瞬时速度是 ( ) A. 10m /s B. 9m /s C. 4m /s D. 3m /s3. 函数)(x f ＝5224+-x x 在区间] ,[32-上的最大值与最小值分别是 ( ) A. 5, 4 B. 13, 4 C. 68, 4 D. 68, 54. 若函数y ＝x 3－2x 2＋mx, 当x ＝31时, 函数取得极大值, 则m 的值为 ( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 325. 函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值或极小值时的x 值分别为0和31, 则 ( )A. b a 2-＝0B. b a -2＝0C. b a +2＝0D. b a 2+＝06. 与直线1+-y x ＝0平行, 且与曲线y ＝132-x 相切的直线方程为 . 7. 曲线y ＝122-+x ax 在点M ) ,(4321-处的切线的斜率为－1, 则a ＝ .8. 函数y ＝x x x 63423++-的单调递减区间为 .9. 已知函数y ＝12323-+x x 在区间) ,(0m 上为减函数, 则m 的取值范围是 . 10. 已知函数,bx ax y 23+=当1x =时, y 的极值为3.求: (1) a, b 的值; (2) 该函数单调区间.11. 设函数,5x 2x 21x )x (f 23+--=若对于任意]2,1[x -∈都有m )x (f <成立, 求实数m 的取值范围.12. 已知1x =是函数1nx x )1m (3mx )x (f 23+++-=的一个极值点, 其中,0m ,R n ,m <∈ (1) 求m 与n 的关系式; (2) 求)x (f 的单调区间;(3) 当]1,1[x -∈时, 函数)x (f y =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m, 求m 的取值范围.导数(一)解答(一) 典型例题例1. 解：(1) A ; (2) ]4,3[ .例2. 解：(1) .bx 2)x (g ,a x 6)x (f 2='+='由题意得: ⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-==-=⇒=+=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=='='.16c ,4b ,8a ,0c b 4,0a 216,b 4a 24,0)2(g ,0)2(f ),2(g )2(f(2) 由(1)得16x 4)x (g ,x 8x 2)x (f 23-=-= 16x 8x 4x 2)x (F 23--+=⇒ ．8x 8x 6)x (F 2-+='⇒由,08x 8x 62>-+得:2x -<或．32x > )x (F ∴的递增区间是),32(),2,(∞+--∞ ; )x (F ∴的递减区间是)32,2( -.例3. 解：(1) )x (f '1x 2x 32--=, 若)x (f '0=, 则31x -=, 1x =当x 变化时, )x (f ', )x (f 变化情况如下表:∴)x (f 的极大值是a 275)31(f +=-, 极小值是1a )1(f -=. (2) 函数1a )1x ()1x (a x x x )x (f 223-++-=+--=. 由此可知, 取足够大的正数时, 有0)x (f >, 取足够小的负数时有0)x (f <,所以曲线y =)x (f 与x 轴至少有一个交点, 结合)x (f 的单调性可知: 当)x (f 的极大值0a 275<+, 即)275,(a --∞∈ 时, 它的极小值也小于0,因此曲线y =)x (f 与x 轴仅有一个交点, 它在),1(∞+ 上. 当)x (f 的极小值01a >-即),1(a ∞+∈ 时, 它的极大值也大于0, 因此曲线)x (f y =与x 轴仅有一个交点, 它在)31,(--∞ 上.∴当)275,(a --∞∈ ),1(∞+⋃ 时, 曲线y =)x (f 与x 轴仅有一个交点.(二) 专题测试与练习 一.5.（提示: )a 8)2(f ,a )0(f ,a 40)2(f +-==+-=-二. 填空题6.38; 7. 1x 4y -=; 8. ;3x 3y += 9. ,),1(),21,(+∞--∞ 5 , .47- 8. (提示:3)1x (36x 6x 3)x (f 22++=++=', 当1x -=时,)x (f '的最小值为3,所以当1x -=时, 0y =所求切线过点)0,1(-且斜率为3, 所以切线方程为.)3x 3y +=三. 解答题10. 解: (1) .9x 6x 3)x (f 2++-='令1x 0)x (f -<⇒<'或,3x > 所以函数)x (f 的单调递减区间为)1,(--∞ , ),3(∞+ .(2) 因为,a 2a 18128)2(f +=+-+=- ,a 22a 18128)2(f +=+++-=所以)2(f )2(f ->. 因为在)3,1( -上0)x (f >', 所以)x (f 在]2,1[ -上单调递增, 又由于)x (f 在]1,2[-- 上单调递减, 因此)2(f 和)1(f -分别是)x (f 在区间]2,2[ -上的最大值和 最小值, 于是有2a 20a 22-=⇒=+. 故,2x 9x 3x )x (f 23-++-=因此72931)1(f -=--+=-, 即函数)x (f 在区间]2,2[ -上的最小值为7-. 11. 解: b 3x 3)x (f 2+=', 设)x (f 的极值点为（)0,m , 则0)m (f ,0)m (f ='=所以32320,330m b m c m b ⎧+⨯+=⎪⎨+=⎪⎩ 所以,0c 2bm 2,0c 2bm 3bm =+=++-所以22c )bm (=, ,c )b (b 22=-所以.0c b 23=+12. 解: (1) 由)x (f 的图象经过P )2,0(,知2d =, 所以,2cx bx x )x (f 23+++= c bx 2x 3)x (f 2++='.即.6)1(f ,1)1(f =-'=-由在))1(f ,1(M --处的切线方程是07y x 6=+-, 知07)1(f 6=+---,⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+-+-=+-∴3c 3b 12c b 16c b 23 故所求的解析式是 .2x 3x 3x )x (f 23+--=(2) .3x 6x 3)x (f 2--='令,03x 6x 32=--即.01x 2x 2=--解得 .21x ,21x 21+=-= 当;0)x (f ,21x ,21x >'+>-<时或 当.0)x (f ,21x 21<'+<<-时故2x 3x 3x )x (f 23+--=在)2,(--∞内是增函数, 在)21,21(+-内是减函数, 在),21(+∞+内是增函数.导数(二)解答(一) 典型例题例1. 解：()43.113a a b b ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或舍例2. 解：解法1：依定义,t tx x x )1x (t )x 1(x )x (f 232+++-=++-= 则,t x 2x 3)x (f 2++-='若)x (f 在)1,1(-上是增函数, 则在)1,1(-上0)x (f ≥'.,x 2x 3t 0)x (f 2-≥⇔≥'∴在区间)1,1(-上恒成立, 考虑函数,x 2x 3)x (g 2-=由于)x (g 的图象是对称轴为,31x =开口向上的抛物线, 故要使x 2x 3t 2-≥在区间)1,1(-上恒成立⇔),1(g t -≥即.5t ≥ 而当5t ≥时, )x (f '在)1,1(-上满足0)x (f >', 即)x (f 在)1,1(-上增函数. 故t 的取值范围是5t ≥.解法2：依定义,t tx x x )1x (t )x 1(x )x (f 232+++-=++-=t x 2x 3)x (f 2++-='在区间)1,1(-上恒成立, 考虑函数,x 2x 3)x (g 2-= )x (f ' 的图象是开口向下的抛物线,∴当且仅当,01t )1(f ≥-='且05t )1(f ≥-=-'时)x (f '在)1,1(-上满足0)x (f >', 即)x (f 在)1,1(-上是增函数.故t 的取值范围是5t ≥. ,x 2x 3t 0)x (f 2-≥⇔≥'∴例3.:解: (Ⅰ)令033)23()(23=+-='++-='x x x x f 解得11-==x x 或 当1-<x 时,0)(<'x f , 当11<<-x 时,0)(>'x f ,当1>x 时,0)(<'x f 所以,函数在1-=x 处取得极小值,在1=x 取得极大值,故 1,121=-=x x ,4)1(,0)1(==-f f 所以, 点A 、B 的坐标为)4,1(),0,1(B A -.(Ⅱ) 设),(n m p ，),(y x Q ，()()4414,1,122=-+-=--∙---=∙n n m n m n m PB PA21-=PQ k ，所以21-=--m x n y ，又PQ 的中点在)4(2-=x y 上，所以⎪⎭⎫⎝⎛-+=+4222n x m y消去n m ,得()()92822=++-y x(二) 专题测试与练习 一.二. 填空题6. ;07y 4x 4=--7. －3 ;8. ;),1(),21,(∞+--∞9. .)0,94[ -三. 解答题10. 解: (1) bx 2ax 3y 2+='当1x =时, y 的极值为3.23x 9x 6y 9b 6a 3b a 0b 2a 3+-=⇒⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+=+∴. (2) 令1x 00x 18x 18y 2<<⇒>+-=' 令1x 0x 18x 18y 2>⇒<+-='或0x < ∴y 在)1,0( 上为单调增函数;y 在),1(),0,(∞+-∞ 上为单调减函数.11. 解: ,2x x 3)x (f 2--='令,0)x (f ='得32x -=或1x =.∵当32x -<或1x >时, ,0)x (f >'∴)x (f y =在)32,(--∞ 和),1(∞+ 上为增函数,在)1,32( -上为减函数, ∴)x (f 在32x -=处有极大值, 在1x =处有极小值.极大值为27225)32(f =-, 而7)2(f =, ∴)x (f 在]2,1[ -上的最大值为7.若对于任意x ]2,1[ -∈都有m )x (f <成立, 得m 的范围 7m >.12. 解:(1) n x )1m (6mx 3)x (f 2++-='因为1x =是函数)x (f 的一个极值点, 所以 0)1(f =', 即,0n )1m (6m 3=++-所以6m 3n +=(2) 由(1)知, 6m 3x )1m (6mx 3)x (f 2+++-=')]m21(x )[1x (m 3+--=当0m <时, 有,m211+>当x 变化时，)x (f 与)x (f '的变化如下表:第 11 页 共 11 页故有上表知, 当0m <时, )x (f 在)m 21,(+-∞单调递减, 在)1,m21(+单调递增, 在),1(+∞ 上单调递减.(3) 由已知得m 3)x (f >', 即02x )1m (2mx 2>++- 又0m <所以0m2x )1m (m 2x 2<++-, 即]1,1[x ,0m 2x )1m (m 2x 2-∈<++-……① 设,m2x )m 11(2x )x (g 2++-= 其函数开口向上, 由题意知①式恒成立, 所以0m 34010m 2m 2210)1(g 0)1(g <<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-<+++⇒⎩⎨⎧<<-, 即m 的取值范围为)0,34(-.。