1[1]2导数的计算(1)
1.2导数的计算(1)
1 ( 4) y 2 ; x
-5x-6
1 1 x 2 -3 -2x 2 注意公式中,n的任意性.
请同学们求下列函数的导数:
1) y f ( x ) C 2) y f ( x ) x, 3) y f ( x ) x , 1 4) y f ( x ) , x
公式6:指数函数的导数
(1) (a ) a ln a(a 0, a 1).
x x
(2)
(e ) e .
x x
注意:关于a x 和x a 是两个不同 的函数,例如:
(1)(3 ) 3 ln a
x
x
(2)(x ) 3 x
3
2
可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1: (C ) ' 0; 公式2 : ( x ) ' nx
2 2 1
2 x
3
1 2 f (3) 2 (3) 2 27 27
例3.求下列函数的导数
(1) y 4
练习
x
(2) y log x
3
(1) y sin( x) 2 (3) y cos(2 x)
(2) y sin
3
作业
'
注意：1、前提条件导数存在； ２、和差导数可推广到任意有限个； ３、商的导数右侧分子中间“－”， 先 子导再母导。
例1求 f ( x) x 2 x sin x 在 x 0 时的导数 .
3 2
例2
设 y = xlnx ， 求 y .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
练习： 求下列函数的导数： (1)y＝ x5－ 3x3－ 5x2＋ 6； (2)y＝ (2x2＋ 3)(3x－ 2)； x－ 1 (3)y＝ ； x＋ 1
导数的计算(二)1
1 x0
) 1 x0
2
,∴依题意得
1
∴ x0
1或 1
⑴当 x 0
1
时,点 P (1, 1 ) 这时 b
2
⑵当 x 0 1 时,点 P ( 1, 1 ) 这时 b 2 ∴ b 2 , 切点坐标为 (1, 1 ) 或 b 2 , 切点坐标为 ( 1, 1)
_. 则实数 a _ 4
二、导数运算法则
[ f ( x ) g ( x )] ' f ( x ) ' g ( x ) '
[ f ( x ) g ( x )] ' f ( x ) ' g ( x ) f ( x ) g ( x ) '
[ f (x) g (x) ]' f ( x ) ' g ( x ) f ( x ) g ( x ) ' [ g ( x )]
(lo g a x ) 1 x
0， a 1)
lo g a e 1 x
1 x ln a
( a 0 ,且 a 1 )
特殊地
(ln x )
练习 1: 写出下列函数的导数: （1）y
x
5
6
（2）y
4
x
x
（3）y
2
x
x
x
y 5 x
y 4
x
ln 4
导数的计算(二)
由导数的概念,我们得到了下面几个常用函数的导数公式: ⑴ ( kx b ) ⑶ ( x ) 1 ⑹(
1 x ) 1 x
2
k
(k,b 为常数)
2x
知识讲解-导数的计算-基础(1)
导数的计算【学习目标】 1. 牢记几个常用函数的导数公式，并掌握其推导过程。
2. 熟记八个基本初等函数的导数公式，并能准确运用。
3. 能熟练运用四则运算的求导法则，4. 理解复合函数的结构规律，掌握求复合函数的求导法则：“由外及内，层层求导”．【要点梳理】知识点一：基本初等函数的导数公式（1）()f x C =（C 为常数），'()0f x = （2）()nf x x =（n 为有理数），1'()n f x n x -=⋅（3）()sin f x x =，'()cos f x x = （4）()cos f x x =，'()sin f x x =- （5）()xf x e =，'()xf x e =（6）()xf x a =，'()ln xf x a a =⋅（7）()ln f x x =，1'()f x x = （8）()log a f x x =，1'()log a f x e x =。
要点诠释：1．常数函数的导数为0，即C ＇=0（C 为常数）．其几何意义是曲线()f x C =（C 为常数）在任意点处的切线平行于x 轴．2．有理数幂函数的导数等于幂指数n 与自变量的（n －1）次幂的乘积，即1()'nn x nx-=（n ∈Q ）．特别地211'x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，=。
3．正弦函数的导数等于余弦函数，即（sin x ）＇=cos x ．4．余弦函数的导数等于负的正弦函数，即（cos x ）＇=－sin x ．5．指数函数的导数：()'ln xxa a a =，()'xxe e =． 6．对数函数的导数：1(log )'log a a x e x =，1(ln )'x x=． 有时也把1(log )'log a a x e x = 记作：1(log )'ln a x x a=以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．知识点二：函数的和、差、积、商的导数运算法则：（1）和差的导数：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=± （2）积的导数：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=+（3）商的导数：2()'()()()'()[]'()[()]f x f xg x f x g x g x g x ⋅-⋅=（()0g x ≠） 要点诠释：1. 上述法则也可以简记为：（ⅰ）和（或差）的导数：()'''u v u v ±=±， 推广：1212()''''n n u u u u u u ±±±=±±±．（ⅱ）积的导数：()'''u v u v uv ⋅=+， 特别地：()''cu cu =（c 为常数）．（ⅲ）商的导数：2'''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠⎪⎝⎭， 两函数商的求导法则的特例 2()'()()()'()'(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦， 当()1f x =时，2211'()1'()'()'(()0)()()()g x g x g x g x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅==-≠⎢⎥⎣⎦． 这是一个函数倒数的求导法则．2．两函数积与商求导公式的说明（1）类比：()'''uv u v uv =+，2'''u u v uv v v -⎛⎫=⎪⎝⎭（v ≠0），注意差异，加以区分． （2）注意：'''u u v v ⎛⎫≠⎪⎝⎭且2'''u u v uv v v +⎛⎫≠ ⎪⎝⎭（v ≠0）． 3．求导运算的技巧在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．知识点三：复合函数的求导法则 1．复合函数的概念对于函数[()]y f x ϕ=，令()u x ϕ=，则()y f u =是中间变量u 的函数，()u x ϕ=是自变量x 的函数，则函数[()]y f x ϕ=是自变量x 的复合函数．要点诠释： 常把()u x ϕ=称为“内层”， ()y f u =称为“外层” 。
导数的计算(二)1
由导数的概念,我们得到了下面几个常用函数的导数公式: ⑴ (kx b) k (k,b 为常数) ⑶ ( x) 1 ⑷ ( x2 ) 2 x ⑵ (C ) 0 (C 为常数) ⑸ ( x3 ) 3x2
1 1 1 1 1 1 ⑹ ( ) 2 ⑺ ( x ) ( 即 ( x 2 ) x 2 ) x x 2 2 x 观察⑶~⑺的特点,你发现了什么规律?
⑵已知点 P 在函数 y=cosx 上， （0≤x≤2π ） P 处的切线斜 ，在 率大于 0，求点 P 的横坐标的取值范围. 解:设点 P 的横坐标为 x0 ,
则点 P 处的切线斜率为 y |x x0 sin x0 依题意得 sin x0 0 ∴ sin x0 0 ,∵0≤x≤2π ∴ x0 2 ,∴点 P 的横坐标的取值范围为 ( , 2 )
2
1 (2) y (1 x )(1 ) x 3 1 1 y ' (x 2 x 2 ) 2 (4) y tan x
1 y' cos 2 x
y ' 2 cos 2 x
作业：P18 A 组 T4 (1)(2)(3) T5
1 练习 3.⑴求过曲线 y=cosx 上点 P( , ) 的切线的直线方程. 3 2 3
1 1 (a 0, a 1) 且 对数函数求导 (log a x ) log a e x x ln a 1 特殊地 (ln x ) x
练习 1: 写出下列函数的导数: （1）y x 5 5 x 6 y （4） y log3 x （3）y x x x 7 1 x y 4 ln 4 y 8 8 x （5）y=sin( +x) (6) y=sin 2 3 （2）y 4 x
二阶导数存在定理公式(一)
二阶导数存在定理公式(一)二阶导数存在定理公式1. 二阶导数存在定理•定理：设函数f(x)在点x=a处二阶可导，则其二阶导数存在，即f’’(a)存在。
2. 二阶可导函数的公式•对于二阶可导函数f(x)，可以利用以下公式计算其二阶导数：–f’’(x) = d2/dx2(f(x)) = d/dx(d/dx(f(x)))3. 二阶导数存在定理的证明•证明思路：根据一阶导数存在定理，如果函数f(x)在点x=a处一阶可导，则其一阶导数f’(a)存在。
然后，我们再次对一阶导数f’(x)进行求导，即计算一阶导数的导数f’’(x)，称之为函数f(x)的二阶导数。
因此，基于一阶导数存在定理，我们可以得出二阶导数存在定理。
•证明过程：由于f(x)在点x=a处一阶可导，那么我们可以使用一阶导数的定义进行计算：–f’(a) = lim(h→0)[f(a+h) - f(a)] / h接下来，我们再次对一阶导数进行求导：–f’’(a) = d2/dx2(f(x)) = d/dx[(f’(x))] =lim(h→0)[f’(a+h) - f’(a)] / h这样，我们就得到了二阶导数在点x=a处的定义。
因此，根据一阶导数存在定理，我们可以得出结论：如果函数f(x)在点x=a处一阶可导，则其二阶导数f’’(a)存在。
4. 举例说明•示例1：设函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 1，则函数f(x)的一阶导数和二阶导数分别为:–f’(x) = d/dx(f(x)) = 3x^2 + 4x–f’’(x) = d2/dx2(f(x)) = d/dx(d/dx(f(x))) =d/dx(3x^2 + 4x) = 6x + 4在此例中，函数f(x)在任意点x处均存在一阶导数和二阶导数。
根据二阶导数存在定理，我们可以得出结论：这个函数在任意点x处的二阶导数均存在。
•示例2：设函数f(x) = sin(x)，则函数f(x)的一阶导数和二阶导数分别为：–f’(x) = d/dx(f(x)) = cos(x)–f’’(x) = d2/dx2(f(x)) = d/dx(d/dx(f(x))) =d/dx(cos(x)) = -sin(x)在此例中，函数f(x)在任意点x处均存在一阶导数和二阶导数。
高三一轮复习导数的概念、几何意义及导数的计算 (1)
第十四课时 导数的概念、几何意义及导数的计算考纲要求：1.导数的概念(A) 2.导数的几何意义(B) 3.导数的运算(B)知识梳理：1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x＝x 0，即f ′(x 0)＝(2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数． 2．导数公式及运算法则(1)(2)①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；③⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 基础训练：1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( )(2)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( )(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )(4)⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3.( ) (5)(3x )′＝3x ln 3.( )(6)⎝⎛⎭⎫e x ＋cos π4′＝e x .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√2．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是________．解析：∵y ＝sin x ＋e x ，∴y ′＝cos x ＋e x ，∴y ′x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，∴曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝03．求下列函数的导数：(1)y ＝x n e x ；(2)y ＝x 3－1sin x. 答案：(1)y ′＝e x (nx n －1＋x n )．(2)y ′＝3x 2sin x －(x 3－1)cos x sin 2x.[典题1] 求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝ln x x； (3)y ＝tan x ；(4)y ＝3x e x －2x ＋e ；解析： (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x －x ＝x －12－x 12， ∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x. (4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2＝ (ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.小结：导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．[典题2](1)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．(2)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 016)＋2 016ln x ，则f ′(2 016)＝________. 解析：(1)f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.(2)由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 016)＋2 016x， 所以f ′(2 016)＝2 016＋2f ′(2 016)＋2 0162 016， 即f ′(2 016)＝－(2 016＋1)＝－2 017.答案：(1)3 (2)－2 017注意：在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误．练习：1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________.解析：∵f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，∴f ′(x )＝4ax 3＋2bx .又f ′(1)＝2，∴4a ＋2b ＝2，∴f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2.答案：－22．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)的值为________．解析：因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.答案：212导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：求切线方程[典题3](1)曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为________．(2)设曲线y ＝e x ＋12ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则实数a ＝________. (3)已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.①求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；②求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解析：(1)由于y ′＝e －1x，所以y ′x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.(2)∵与直线x ＋2y －1＝0垂直的直线斜率为2，∴f ′(0)＝e 0＋12a ＝2，解得a ＝2. (3)①∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.②设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.答案：(1)(e －1)x －y ＋1＝0 (2)2注意：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．角度二：求切点坐标[典题4] 设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析： y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x(x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．答案：(1,1)小结：已知斜率k ，求切点A (x 0，f (x 0))，即解方程f ′(x 0)＝k .角度三：求参数的值[典题5](1)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝________.(2)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.(3)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析：(1)∵两曲线的交点为(0，m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝a ，m ＝1，即a ＝1， ∴f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x ，则f ′(0)＝0，f (0)＝1.又g ′(x )＝2x ＋b ，∴g ′(0)＝b ，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1.(2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1.又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.(3)法一：∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1x，y ′x ＝1＝2. ∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－12，a ＝8.答案：(1)1 (2)1 (3)8小结：(1)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．(2)当切线方程中x (或y )的系数含有字母参数时，则切线恒过定点．总结：1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．注意：1．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．2．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．3．直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．4．曲线未必在其切线的同侧，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧.课后作业：1．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为________．解析：由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x x ＝0＝e 0＝1.答案：12．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，∴f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 答案：－3π3．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于________．解析：∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′x ＝π2＝－1，由条件知1a＝－1，∴a ＝－1. 答案：－14．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为________． 解析：设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则1x 0＝12，即x 0＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)，又切点在直线y ＝12x ＋b 上，∴ln 2＝1＋b ，即b ＝ln 2－1. 答案：ln 2－15．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为________．解析：因为定义域为(0，＋∞)，所以y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，则在P (1,1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2. 答案：26．已知函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________.解析：f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.答案：e7．若直线l 与幂函数y ＝x n 的图象相切于点A (2,8)，则直线l 的方程为________． 解析：由题意知，A (2,8)在y ＝x n 上，∴2n ＝8，∴n ＝3，∴y ′＝3x 2，直线l 的斜率k ＝3×22＝12，又直线l 过点(2,8)．∴y －8＝12(x －2)，即直线l 的方程为12x －y －16＝0.答案：12x －y －16＝08．在平面直角坐标系xOy 中，点M 在曲线C ：y ＝x 3－x 上，且在第二象限内，已知曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，则点M 的坐标为________．解析：∵y ′＝3x 2－1，曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，∴3x 2－1＝2，x ＝±1，又∵点M 在第二象限，∴x ＝－1，∴y ＝(－1)3－(－1)＝0，∴M 点的坐标为(－1,0)．答案：(－1,0)9．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x＝0，即a ＝－13x3(x >0)，故a ∈(－∞，0)． 答案：(－∞，0)10．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________．解析：设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率k ＝3t 2－a ①，所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t ) ②.将点A (1，0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数，故a ＝278. 答案：27811．函数f (x )＝e x ＋x 2＋x ＋1与g (x )的图象关于直线2x －y －3＝0对称，P ，Q 分别是函数f (x )，g (x )图象上的动点，则|PQ |的最小值为________．解析：因为f (x )与g (x )的图象关于直线2x －y －3＝0对称，所以当f (x )与g (x )在P ，Q 处的切线与2x －y －3＝0平行时，|PQ |的长度最小．f ′(x )＝e x ＋2x ＋1，令e x ＋2x ＋1＝2，得x ＝0，此时P (0,2)，且P 到2x －y －3＝0的距离为5，所以|PQ |min ＝2 5.答案：2512．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，则a ＝________，切线方程为________．解析：f ′(x )＝12x，g ′(x )＝a x (x >0)， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ln x ，12x＝a x ，解得a ＝e 2，x ＝e 2， ∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e)，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e， ∴切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0.答案：e 2x －2e y ＋e 2＝013．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＋6＝13(x －2)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，y 0＝x 30＋x 0－16，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8， ∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．14．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直，求a ＋b 的值．解：对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两条切线互相垂直．∴(2x 0－2)·(－2x 0＋a )＝－1，即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0，①又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2，y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0.②由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52. 15．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ， 则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k≥－1， 解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。
导数的计算(一轮复习)
5.曲线 y＝9x在点 M(3,3)处的切线方程是 x＋y－6＝0 . 解析 ∵y′＝－x92， ∴y′|x＝3＝－1， ∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)， 即x＋y－6＝0.
12345
10.已知抛物线 y＝x2，求过点－12，－2且与抛物线相切的直线方程.
12345
2.已知 f(x)
解析
f(x)＝
x，得
f′(x)＝
1
-
x
1
2，
2
∴
f
8 =
1
-
8
1 2
2
2
8
12345
D.－1
3.(多选)下列结论正确的是
√A.若 y＝3，则 y′＝0 √C.若 y＝ x，则 y′＝21 x
B.若
y＝
1 ，则 x
y′＝－12
x
√D.若 y＝x，则 y′＝1
解析 只有B是错误的.
因为y
1 x
'
1
x2
'
1 2
3
x2
1 2x
x
12345
4.已知 f(x)＝ln x 且 f′(x0)＝x120，则 x0＝ 1 .
解析 因为f(x)＝ln x(x>0)， 所以 f′(x)＝1x， 所以 f′(x0)＝x10＝x120， 所以x0＝1.
一点的函数值
思考辨析 巩固知识
1.函数在某点处的导数f′(x0)是一个常数.( √ )
2.函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值.
(√ ) 3.函数f(x)＝0没有导数.( × ) 4.直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点.( × )
高中数学第三章导数及其应用32导数的计算课件新人教A版选修1
sin x
x
，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′
(π)＝________．
解析：因为f′(x)＝（sin
x）′x－sin x2
x·（x）′
＝x·cosxx2－sin x
所以f′(π)＝π·cos
π－sin π2
π＝－ππ－2 0＝－π1 .
答案：－π1
5．曲线 y＝ln x 在 x＝a 处的切线倾斜角为π4，则 a ＝____．
(2)准确记忆公式． (3)根式、分式求导时，应将根式、分式转化为幂的 形式． 2．解决函数求导的问题，应先分析所给函数的结构 特点，选择正确的公式和法则．对较为复杂的求导运算， 在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
x x
＋
1－ 1＋
x x
＝
（1＋ x）2 1－x
＋
（11－－xx）2＝2（11－＋xx）＝1－4 x－2，
所以
y′
＝
1－4 x－2
′
＝
4′（1－x）－4（1－x）′ （1－x）2
＝
4 （1－x）2.
类型 3 导数的应用(巧思妙解) [典例 3] 求抛物线 y＝x2 上的点到直线 x－y－2＝0 的最短距离． [常规解法]设与抛物线 y＝x2 相切且与直线 x－y－2 ＝0 平行的直线 l 的方程 x－y＋m＝0(m≠－2)，
1．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c f(x)＝xa(a∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
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x 0
x
lim 3( x x) 3x lim 3 3 O
x 0
x
x 0
3. 求函数y 4x的导数：
y
解:同理可得：y ' 4
4.求函数y kx(k 0)增(减)
的快慢与什么有关？与 | k | 有关. O
y 2x
x
y 3x
x
y 4x
x
例3：求函数y f ( x) x2的导数。
f ( x) A( x)
二、应用举例
例1：求函数y f ( x) c(c为常数)的导数 y
解：y ' lim f ( x x) f ( x)
x 0
x
cc
lim
lim 0 0
O
x x0
x0
yc
x
公式1：(C) 0 (C是常数）
从物理的角度理解：
若y c表示路程关于时间的函数，则： y ' 0表示物体在任意时刻的瞬时速度始终为0， 即物体一直处于静止状态。
当x 0时，随着x的增加，y x2增加得越来越快
从物理的角度理解：
若y x2表示路程关于时间的函数，则： y ' 2x表示物体做变速运动,在时刻x的瞬时速度为2x
课堂练习
求函数y f ( x) x3的导数。
解：y ' f '( x) lim f ( x x) f ( x)
x0
x
பைடு நூலகம்
x0
x( x x x )
lim
1
x0 x x x
1 2x
学生活动：请同学们归纳各题的导数
（1）y f (x) x1
y ' 1 1x11
（2）y f (x) x2
y' 2x 2x21
（3）y f (x) x3
（4）y f (x) 1 x1 x
1
（5）y f (x) x x 2
lim
x0
x
1
x x
1 x
lim
x0
(x
1 x)x
1 x2
O
x
y ' |x1
1 x2
|x1
1, 斜率k
1
所求方程为：x y 2 0
例5：求函数y f ( x) x的导数。
解：y' lim f ( x x) f ( x)
x0
x
x x x
lim
x0
x
lim ( x x x )( x x x )
(1) y (x5 ) 5x51 5x4;
(2) y (x2 ) 2x21 2x3;
(3)
y
3x
1
(x3 )
1
1 1
x3
3
1
x
2 3
3
1
3
3
x2
;
三、小结
1.导函数的概念：
函数y f ( x)在任意一点x处的导数f '( x)
(或记作y ')称为f ( x)的导函数，简称导数。
例2：求函数y f ( x) x的导数
解：y ' lim f ( x x) f ( x)
y
x 0
x
lim ( x x) x lim 1 1
x 0
x
x0
O
y x
x
从物理的角度理解：
若y x表示路程关于时间的函数，则： y ' 1表示物体在任意时刻的瞬时速度始终为1， 即物体做速度为1的匀速运动。
'( x0 )
函数y f ( x)在x x0处的导数就是过其
图象上点(x0 , f ( x0))处的切线的斜率(k)
思考： 如何由导数定义求函数的导数？ 根据导数的概念，求函数导数的过程可以 用下面的流程图来表示
给定函数y f（x）
计算 y （f x x） （f x）
x
x
x 0
y A( x) x
解：y ' lim f ( x x) f ( x)
x 0
x
lim ( x x)2 x2 lim 2x x (x)2
x 0
x
x 0
x
lim(2x x) 2x x0 从几何的角度理解：
y' 2x表示y x2图像上各点处的切线斜率为2x
且随着x的变化，斜率在变化
当x 0时，随着x的增加，y x2减小得越来越慢
y' 3x2 3x31
-1x y' - 1 x2
-11
x2
y'
1
1
1
x2
2x 2
1
1 1
x2
2
猜想？ 当f (x) xn 时
f'(x)=n?xn-1 nQ
练习：求下列幂函数的导数
(1) y x5 (2) y x2 (3) y 3 x (x ) x1
解: 利用幂函数的导数公式，得
f ( x+x) f ( x)
f '( x) y ' lim
x0
x
2.常用函数的导数公式：
公式1：(C) 0 (C是常数）
（xn）' nxn1(n Q)
能力训练提升
1.已知y x3,求f (2).
解： y (x3 ) 3x31 3x2
f (2) 3 (2)2 12
2.已知y
一、知识回顾
1.导函数的概念
函数y f ( x)在任意一点x处的导数f '( x)
(或记作y '), 称为f ( x)的导函数，简称导数。
f ( x+x) f ( x)
f '( x) y ' lim
x0
x
2.导数的几何意义
k lim x0
f ( x0+x) x
f ( x0 )
f
P13探究
y
1. 求函数y 2x的导数
解：y ' f '( x) lim f ( x x) f ( x)
x 0
x
O
2( x x) 2x
lim
lim 2 2
x 0
x
x 0
2. 求函数y 3x的导数
y
解：y ' f '( x) lim f ( x x) f ( x)
lim ( x x)3 x3 lim 3x2 x 3x(x)2 3(x)3
x0
x
x0
x
lim (3x2 3x x 3(x)2 ) 3x2 x0
例4：求函数y f ( x) 1 的导数。 x
解：y' lim f ( x x) f ( x)
x0
x
P14探究
y y 1 x
y x 1 4
四、作业
1) P18 A组 5 2) 预习
1 x2
, 求f
(3).
解： y (x2 ) 2x21 2x3
f (3) 2 (3)3 2 1 2 27 27
3.已知y 4 x
1)求y '
2)求曲线在点（1，1）处的切线方程
y'
1
3
x4
y 1x3
4
44
4.已知P(1,1),Q(2,4)是曲线y x2上得两点
求与直线PQ平行的曲线y x2的切线方程