导数的运算法则解读
求导法则与求导公式
求导法则与求导公式求导法则是用来求导数的基本方法和公式，它是微积分的基础，被广泛应用于数学、物理等领域。
在求导过程中，有一些基本的法则和公式可以帮助我们简化计算。
一、基本求导法则1.常数法则：如果f(x)=C，其中C为常数，则f'(x)=0。
2. 变量法则：如果f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3.常数倍法则：如果f(x)=Cg(x)，其中g(x)可导且C为常数，则f'(x)=Cg'(x)。
4.加减法则：如果f(x)=g(x)±h(x)，其中g(x)和h(x)可导，则f'(x)=g'(x)±h'(x)。
5.乘法法则：如果f(x)=g(x)h(x)，其中g(x)和h(x)可导，则f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)。
6.除法法则：如果f(x)=g(x)/h(x)，其中g(x)和h(x)可导且h(x)不等于0，则f'(x)=(g'(x)h(x)-g(x)h'(x))/h(x)^27.复合函数法则：如果f(x)=g(h(x))，其中g和h都是可导函数，则f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。
8.反函数法则：如果f和g是互为反函数，则f'(x)=1/g'(f(x))。
二、常用的求导公式1. 幂函数求导：(x^n)' = nx^(n-1)。
2.指数函数求导：(e^x)'=e^x。
3. 对数函数求导：(lnx)' = 1/x。
4. 三角函数求导：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx，(tanx)' = sec^2x。
5. 反三角函数求导：(arcsinx)' = 1/√(1-x^2)，(arccosx)' = -1/√(1-x^2)，(arctanx)' = 1/(1+x^2)。
导数公式与运算法则
导数公式与运算法则导数是微积分中的重要概念，它用于描述函数的变化率。
导数公式和运算法则是求导的基本工具，可以帮助我们计算各种函数的导数。
本文将详细介绍导数公式和运算法则，并提供相应的推导和证明。
1.导数的定义在解释导数公式和运算法则之前，我们首先介绍导数的定义。
设函数f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处的导数定义为：f'(x0) = lim┬(Δx→0)〖(f(x0+Δx)-f(x0))/Δx〗导数的几何意义是函数在其中一点处的切线斜率。
如果函数在其中一点可导，则该函数在该点的切线斜率就是该点的导数值。
2.基本导数公式2.1常数函数对于常数函数f(x)=c，其中c为常数，其导数等于0：f'(x)=0证明：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗= lim┬(Δx→0)〖(c-c)/Δx〗= lim┬(Δx→0)0/Δx=02.2幂函数对于幂函数f(x)=x^n，其中n为非零实数，其导数为：f'(x) = nx^(n-1)证明：利用导数的定义，我们有f'(x) = lim┬(Δx→0)〖((x+Δx)^n-x^n)/Δx〗= lim┬(Δx→0)〖(nx^(n-1)Δx+...)/Δx〗 (利用二项展开)= nx^(n-1)2.3指数函数对于指数函数f(x)=e^x，其导数为：f'(x)=e^x证明：利用导数的定义，我们有f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(e^(x+Δx)-e^x)/Δx〗= lim┬(Δx→0)〖(e^x*e^Δx-e^x)/Δx〗= e^x*lim┬(Δx→0)〖(e^Δx-1)/Δx〗这里需要引入极限的定义，e的定义就是使得e^x的导数等于e^x的常数。
因此，我们可以得到以上结论。
3.导数的基本运算法则3.1基本导数法则（1）常数乘法法则：若 c 为常数，则 (cf(x))' = cf'(x)（2）加法法则：(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)（3）减法法则：(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)（4）乘法法则：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（5）除法法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/g^2(x)证明：我们以加法法则为例进行证明。
导数的基本运算法则
导数的基本运算法则导数的基本运算法则是微积分中非常重要的一部分。
它是求函数变化率的工具，可以帮助我们研究函数的性质和解决实际应用问题。
本文将介绍导数的四个基本运算法则，并通过生动的例子和解释，帮助读者理解和掌握这些运算法则的应用。
第一个基本运算法则是常数倍法则。
它表明，对于任意函数f(x)和任意常数c，f(x)的导数等于c乘以f(x)的导数。
换句话说，导数的运算可以从在各个点的直观观点中推广。
例如，如果有一个车辆在以恒定的速度行驶，那么它的位移随时间的变化率始终保持不变。
这个例子可以用函数f(t)表示，其中t表示时间，f(t)表示位移。
假设车辆的速度是v，那么f(t)的导数就是v，即f'(t) = v。
如果车辆的速度变为2v，那么位移随时间的变化率也会变为原来的2倍，即(2f(t))' = 2v。
这就是常数倍法则的应用，我们可以通过将导数中的常数提取出来，简化求导的过程。
第二个基本运算法则是加法法则。
它表明，对于任意函数f(x)和g(x)，它们的和函数f(x) + g(x)的导数等于f(x)的导数加上g(x)的导数。
这意味着导数是可加性的。
以两个车辆行驶的例子来说明加法法则。
假设有一辆车在直线上匀速行驶，速度为v1，另一辆车以速度v2行驶。
我们可以将两辆车的位置分别表示为f1(t)和f2(t)，其中t表示时间。
那么两辆车的位置相加的函数f(t) = f1(t) + f2(t)的导数就是f1(t)的导数加上f2(t)的导数，即(f1(t) + f2(t))' = f1'(t)+ f2'(t)。
这就是加法法则的应用，它告诉我们求导的结果是可求和的。
第三个基本运算法则是乘法法则。
它表明，对于任意函数f(x)和g(x)，它们的乘积函数f(x) * g(x)的导数等于f(x)的导数乘以g(x)再加上f(x)乘以g(x)的导数。
这个法则可以帮助我们求解复杂函数的导数。
导数的运算法则
100 x
(100 x ) 2
(100 x ) 2
(100 x ) 2
5284
(1)因为c' (90)
52.84
2
(100 90)
所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨
( 2)因为c' (98)
5284
1321
2
(100 98)
所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨
2 ;
2
cos x
cos x
cos x
巩固练习
求下列函数的导数:
(4) y (2 x 3)(3x 2)； (5) y x tan x;
2
ln x
(6) y
x
2
2
(
4
)
法一：
y
(
2
x
3
)'
(
3
x
2
)
(
2
x
3)(3x 2)'
解：
4 x(3x 2) (2 x 2 3) 3 18x 2 8x 9
公 式5.若f ( x ) a x， 则f ' ( x ) a x ln a (a 0);
公 式6.若f ( x ) e x， 则f ' ( x ) e x ;
1
公 式7.若f ( x ) log a x， 则f ' ( x )
(a 0, 且a 1);
x ln a
100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： (1)90％
导数的运算法则解读
导数的运算法则解读导数的运算法则指的是一系列用于求解导函数的规则和定理，这些规则和定理能够方便我们对复杂的函数进行求导运算。
在微积分中，导数是描述函数变化率的概念，是微分学的重要概念之一、导数的运算法则既包括基本的运算法则，如常数法则、幂法则、和差法则、积法则和商法则，也包括复合函数的导数法则、反函数的导数法则等。
下面将详细解读导数的运算法则。
1. 常数法则：对于常数C，它的导数为0。
即d(C)/dx=0。
2. 幂法则：对于幂函数y=x^n，其中n为常数，它的导数为d(x^n)/dx=nx^(n-1)。
例如d(x^2)/dx=2x。
3. 和差法则：对于函数y=f(x)+g(x)，它的导数为d(f(x)+g(x))/dx=df(x)/dx + dg(x)/dx。
例如d(x^2+3x)/dx=d(x^2)/dx + d(3x)/dx=2x + 34. 积法则：对于函数y=f(x)g(x)，它的导数为d(f(x)g(x))/dx=f(x)d(g(x))/dx + g(x)d(f(x))/dx。
例如d(x^2sin(x))/dx=x^2cos(x) + 2xsin(x)。
5. 商法则：对于函数y=f(x)/g(x)，它的导数为d(f(x)/g(x))/dx=(g(x)d(f(x))/dx - f(x)d(g(x))/dx)/g(x)^2、例如d((x^2+1)/(2x))/dx=(2x*(2x) - (x^2+1)*2)/(2x)^2=1/(2x)。
6. 复合函数的导数法则：对于复合函数y=f(g(x))，它的导数为dy/dx=d(f(g(x)))/dx=df(g(x))/dg(x) * dg(x)/dx。
例如对于y=(x^2+1)^3，则dy/dx=3(x^2+1)^2 * d(x^2+1)/dx=3(x^2+1)^2 *2x=6x(x^2+1)^27. 反函数的导数法则：对于函数y=f(x)的反函数y=f^(-1)(x)，如果f'(x)≠0，则有(dy/dx)=1/(dx/dy)。
导数的运算公式和法则
导数的运算公式和法则导数是微积分中的重要概念，用于描述函数的变化率。
在求导的过程中，有一些常用的运算公式和法则，可以帮助我们简化计算。
下面是一些常用的导数运算公式和法则。
一、基本导数公式1. 常数导数法则：对于任意常数c，其导数为0，即d/dx(c) = 0。
2. 幂函数导数法则：对于任意实数n，幂函数y = x^n的导数为d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
特别地，当n = 0时，常数函数y = c的导数为d/dx(c) = 0。
3. 指数函数导数法则：对于底数为常数a的指数函数y = a^x，其导数为d/dx(a^x) = ln(a) * a^x。
这个法则也适用于自然对数中的指数函数y = e^x，其导数为d/dx(e^x) = e^x。
4. 对数函数导数法则：对于底数为常数a的对数函数y = log_a(x)，其导数为d/dx(log_a(x)) = 1 / (x * ln(a))。
特别地，当底数为自然常数e时，对数函数变为自然对数函数y =ln(x)，其导数为d/dx(ln(x)) = 1 / x。
5.三角函数导数法则：（1）正弦函数的导数为d/dx(sin(x)) = cos(x)。
（2）余弦函数的导数为d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
（3）正切函数的导数为d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。
（4）余切函数的导数为d/dx(cot(x)) = -csc^2(x)。
（5）正切函数和余切函数的导数也可以写成d/dx(tan(x)) = 1 /cos^2(x)和d/dx(cot(x)) = -1 / sin^2(x)。
6.反三角函数导数法则：（1）反正弦函数的导数为d/dx(arcsin(x)) = 1 / sqrt(1 - x^2)。
（2）反余弦函数的导数为d/dx(arccos(x)) = -1 / sqrt(1 - x^2)。
（3）反正切函数的导数为d/dx(arctan(x)) = 1 / (1 + x^2)。
导数的运算公式和运算法则
导数的运算公式和运算法则导数可是高中数学中的一个重要概念，它的运算公式和运算法则就像是打开数学世界奇妙之门的钥匙。
咱们先来说说常见的导数运算公式。
比如说，对于函数 $f(x) =x^n$ （$n$ 为常数），它的导数就是 $f'(x) = nx^{n-1}$ 。
这就好比是给一个数穿上了速度的外衣，能让我们更清楚地看到它变化的快慢。
再比如，对于函数 $f(x) = \sin x$ ，它的导数是 $f'(x) = \cos x$ ；对于函数 $f(x) = \cos x$ ，导数则是 $f'(x) = -\sin x$ 。
这是不是有点像变魔术，一下子就变出了新的东西。
还有，常数的导数为 0 ，这就好像是一个静止不动的家伙，压根没有变化的趋势。
接下来说说导数的运算法则。
加减法则，就像是把两个小伙伴的速度合起来或者分开算。
如果有两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ ，那么 $(f(x) ±g(x))' = f'(x) ± g'(x)$ 。
乘法则有点复杂，就像两个小伙伴手拉手一起跑，速度的关系就变得微妙起来。
如果是两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 相乘，那么 $(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ 。
除法则更是需要我们多费点心思，就好比是要算出两个小伙伴一起跑，但其中一个跑快了或者跑慢了对整体速度的影响。
如果是$f(x)÷g(x)$ ，那么它的导数就是$\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$ 。
给大家讲讲我之前教学生导数的一个小经历。
有个学生叫小李，这孩子特别聪明，但就是对导数的运算法则总是弄混。
有一次做练习题，遇到一个函数是两个式子相除的形式，小李想都没想就直接把分子分母分别求导，然后就得出了答案。
我一看，哭笑不得，这孩子明显是把法则给记错了。
求导的四则运算法则公式
求导的四则运算法则公式求导是微积分中的一个重要概念，而求导的四则运算法则公式更是我们解决导数问题的有力工具。
先来说说加法法则。
假设我们有两个函数 f(x) 和 g(x) ，它们的导数分别为 f'(x) 和 g'(x) ，那么 (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) 。
这就好比你有两堆苹果，一堆每天增加的数量是按照 f'(x) 的规律，另一堆按照 g'(x) 的规律增加，那么把这两堆合在一起每天增加的总数，就是这两个规律相加。
举个例子吧，比如说 f(x) = x²，它的导数 f'(x) = 2x ； g(x) = 3x ，它的导数 g'(x) = 3 。
那么 (f(x) + g(x)) 就是 x² + 3x ，它的导数就是 (f(x) + g(x))' = 2x + 3 ，正好就是 f'(x) + g'(x) 。
再看减法法则，(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x) 。
这就像你有两群羊，一群每天减少的数量按 f'(x) 的规律，另一群按 g'(x) 的规律减少，那么两群羊合在一起每天减少的总数就是这两个规律相减。
比如说 f(x) = 5x²，导数 f'(x) = 10x ； g(x) = 2x ，导数 g'(x) = 2 。
那么 (f(x) - g(x)) 就是 5x² - 2x ，它的导数就是 (f(x) - g(x))' = 10x - 2 ，正是 f'(x) - g'(x) 。
乘法法则稍微复杂点，(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) 。
这有点像两个人合作完成一项任务，一个人的效率变化规律是 f'(x) ，另一个人的工作总量是 g(x) ；反过来，另一个人的效率变化规律是 g'(x) ，这个人的工作总量是 f(x) ，那么他们合作的成果增加的速度就是这两部分相加。
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( π , π )内单调、可导，且 22
xyse2，cy0
所以在相应区间 Ix(内 ,， ) yx(arcxt)a n
1 x y
1 sec 2
y
1
1 tan2
y
1
1 x2
.
类似地可证 (arcxc) ot11x2 .
八、复合函数的求导法则
定理3 若函数 yf[g是(x由)] 复合而成，且满足 I： ug在(x点) 可导x； II：yf在(u) u可导g(，x)
x 0 x
2 !
nxn1.
（ n为自然数）
3.
(ax)lim axxaxax
ax lim
1
axlna,
x 0 x
x0 x
特别 ae 时，(ex)ex.
6. (lx n )lilm n x ( x)ln x
x 0
x
lim1[ln1(x)]
x 0x
x
lim ln1[(1lne 1.
（3）[ u v
( x ) ] (u)
u (x)v(x v )2 (x u )(x)v(x)(v(x)0 )
特别地
[ 1 ] v(x)
vv2((xx))
证明：（1）设 yu (x )v(x )
y[u(x)v(x)]lim y x 0 x
li[ u m (x x ) v (x x ) ] [ u (x ) v (x )]
（2）依据极限理论，推导出和、差、积、 商的求导法则，再以这些法则是和已有的导数 结果，给出对数函数 log、ax 正余切函数 、taxn coxt和正余割函数 se、xccs的xc求导公式.
（3）建立反函数的求导法则，并由此给出 反正弦、反余弦、反正切、反余切函数的求导
公式.
（4）由导数定义及极限理论推导复合函数 的求导法则，并借此给出基本初等函数中幂函数
则它们的和、差、积、商（分母为零的点除外）
都在 x点处可导，且有：
（1）[ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x )
（2）[ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x )
特别地 [c(x u )] c （u (为x )常值c）
lim x
x
x 0
v(x x )v(x )
u(x)v(xv)2 (xu)(x)v(x)
以上表述可简化为：令 y( x) u( x) ，v(x)0， v( x)
对于可导函数 v， 当x 时0， v ， 0
yuuuvuuv， 从而有 vv v (vv)v
y
v
u x
u v x
x v(v v)
x
u (x x )v(x ) u (x )v(x x ) lim
x 0 v(x x )v(x ) x
li[ u m (x x ) u (x )v ( ] x ) u (x )v ( [ x x ) v (x )]
x 0
v (x x ) v (x ) x
u (x x )u (x )v(x )u (x )v(x x ) v(x )
其中(u)（ 当0 时u） ，0 时u 规0定 0
此时 y f ( u ，u ) f ( u )再由I有 ux
limu， x0 x
且有当x 时0， ,u从 而0推知
，(u) 0
于是dy dx
y x
lim y li[m f(u ) u( u ) u ]
x x0
x 0
x
x
f(u )g (x) dy du . du dx
证明：(x)（x其1中 为任意实数），
设 y x elnx 是由 yeu,u 复合l而nx成，
于是
y(eu )u(ln x )x
eu
x
x x1，
x
且容易算出：(x)1,
(1) x
(x1)
x12，
(
1
x) (x2)
1 ，(1)(x1 2)
1
.
2x x
2x x
例3 曲线 y 上x3哪2 点的切线与直线
l x [ 0 i u ( x m x ) u ( x ) v x ( x x ) u ( x ) v ( x x ) v ( x ) ]
x 0 x
x
u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ).
由于 v在(x) 点处x可导，故 在点v(处x)连
2
2
解： f(x)(x3)4 (cx o )s (sπ i)n
2
3 x 2 4 six n 0
故 f(π)3π24. 24
例2 设 yex(t，a x 求n ln x .) y 解： y ( e x ) (t x a lx n ) n e x (t x a lx n ) n
ex(tx a ln n x ) ex(s2x e1 c) x
量的情形.
如：设y f ( u ) ,u ( v ，) ,v ( x )则复合函数
yf{[(x)]的}导数为 dydydudv.
dx du dv dx
例8 ylnc，o求esx() . 解： ylnco分es解x()为
dy dx
y lu n ,，u cv o ,v se x
又因 d y 1 ， du sinv，d v e x ，
7. (sx i)n coxs 8. (cx o ) ssixn 9. (tax)n se2x c 10. (cx o)tcs2x c 11. (sx ) e s ce x tca xn
12. (cx )s c cx scc x ot
13.
(arcxs)in
1 1x2
14. (arcxc)o s 1 1x2
x（ 为任意实数）的求导公式.
微分法则表明，初等函数的导数的具体计算 都切实可行，特别是复合函数的求导法则，使复 杂函数的求导计算系统化，简单化.
三、基本初等函数的求导公式
1．(c)（0c 为常数）
2. (x)x1
3. (ax)axlna
4. (ex) ex
5.
(loagx)
1 xlna
6. (ln x) 1 x
连续），所以，反函数 x在(y相) 应的区间
I y 内也单调连续，因此当 y时0， x0
并有 y 时0 对 y的导数为
，x 0于是，反函数 x(y)
xy
limx y0 y
lim
x0
1 y
1 yx
x
利用此定理证明如下公式：
13.
(arcxs)in
1 1x2
证明设： ya，r是csxin 的反x函s数i.ny
x 0
x
li [ u ( m x x ) u ( x ) v ( x x ) v ( x ) ]
x 0 x
x
u (x)v(x).
（2）设 yu(x)v(x)
y[u(x)v(x)]lim y x 0x
liu m (x x )v (x x ) u (x )v (x )
y f(u )u , g (x ) 则复合函数
yf[在g(x点)]可x导，其导数为
y x y u u x f( u )g (x )， 或 ddxy dduy
du. dx
证明：由II有 f(u，)limy 进而有
yf(u)(u)即
u0u y f( u ) u ( u ) u ，
u
并且 xs，in 在y (内 π单, π调) 增加可导， 且 cox s1yyco 1ys 1si0 n，2 y所以21y12x2(ax r(c1 xs,)1i)n.x1 y
类似地可证
(arcx)cos 1 . 1x2
15. (arcxt)an11x2
证明设： ya，r其c反txa函n数
在 xtayn
d u u dv
dx
所以 d y 1(sinv)ex dx u
sinex cosex
ex
extaenx.
co2scxo2ssxin2 xse2cx.
类似地可证 (cx o ) tcs 2xc.
11.(sexc)
( 1 ) coxs
(ccooss2xx)
sin x cos 2 x
se xtcax,n
类似地可证 (c x )s c cx s cc x o . t
六、例题
例1 设 f(x)x34c，o求x ssiπ .n f ( π )
再由 v(x在) 点x处可导（必连续）且 v(,x)0 即得： y(v(1 x)) lx i0m x yv v2 ((x x))
再由（2），[u (x)]u (x) 1u (x)[1]
v(x)
v(x)
v(x)
成立.
u(x)v(xv)2 (xu)(x)v(x)
注：定理1中法则（1）（2）可推广到有限
续， 所以有 liv m (x x .)v(x ) x 0
特别当 v(x（)常c数）时，由上式立刻有 [c(x u )] c u ( 成x ) 立.
（3）设y
1 v (，x )
则
y 1 1 v (x x ) v (x ) v (x x )v (x ) v (x )v (x x )
uvv2uv
方法二：
1 先解决 v ( x的) 导数，然后按乘积求导法则
[u (x)]u (x) 1u (x)[1].
v(x)
v(x) v(x)
详细内容见该知识点讲解方法（参考居余马、
葛严麟主编《高等数学》第Ⅱ卷.）
二、该知识点的讲解方法
（1）依据导数定义和重要极限先解决基本 初等函数中常值函数 c，正整次幂函数 x、n 指 数函数 a、x 自然对数函数 l、nx正余弦函数 sinx、coxs的求导公式.