专题2.22 求导函数及函数在某一点处导数(解析版)

求函数的导函数或某一点处的导数 秒杀题型一：求导函数
秒杀方法：基本初等函数的导数公式:
①若()(f x c =c 为常数),则'()0f x =; ②若()(),f x x Q αα*=∈则'1()f x x αα-=; ③若()sin ,f x x =则'()cos f x x =； ④若()cos ,f x x =则'()sin ;f x x =- ⑤若()x f x a =,则'()ln x f x a a =; ⑥若()x f x e =,则'()x f x e =; ⑦若()log ,a f x x =则'
1()ln f x x a
=; ⑧若()ln ,f x x =则'
1()f x x =。

导数运算法则:
①[]'
'
'
()()()()f x g x f x g x ±=±;
②[])()()()()()('
''
x g x f x g x f x g x f ⋅+⋅=⋅;
③[]
'
''2
()()()()()
()()f x f x g x f x g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦。

复合函数的导数:
由()y f u =和()u g x =复合而成的函数:(())y f g x =,其导数为:'''
x u x y y u =⋅。

快速求导法则：
[]
[]
)()()(''x f x f e x f e x x
+=； []
[]
)()()(''x f x f e x f e
x x
-=--。

1.(母题)求多项式函数1
011()...n n n n f x a x a x a x a --=++++的导数.
【解析】：()12
110'1)(---+⋅⋅⋅+-+=n n n a x a n x na x f 。

2.(母题)求tan y x =的导数. 【解析】：=
'
y 21
cos x。

3.(母题)求tan x
y e x =的导数。

【解析】：'2
1
(tan )cos x
y e x x
=+。

4.（母题）求sin ln 2x
y x x e x =+-的导数。

【解析】：'1
sin cos (ln )x
y x x x e x x
=+++。

5.（母题）设3
(),()f x x f a bx =-的导数等于 ( )
A.3()a bx -
B.2
23()b a bx -- C.2
3()b a bx - D .2
3()b a bx -- 【解析】：选D 。

6.（母题）求下列函数的导数:(1)sin(3)6
y x π
=-;
(2)2x
y xe =; (3)2ln(15)x y x =+-; (4)cos3x y e
x -=
【解析】：（1)='
y 3cos(3)6
x π
-;
(2)='
y 2(12)x
e x +;
(3)='y 5
2ln 251
x
x +
-; (4)='
y cos33sin3x x
e x e x ----。

7.(母题)求下列函数的导数:(1)43
sin 3cos 4y x x =; (2)2
2
2()x x y e e
-=+.
【解析】：（1)='
y 32
12sin 3cos 4cos7x x x ;
(2)='
y 2
2
x
x e e
-
-。

8.(母题)求下列函数的导数:(1)2
(ln sin )y x x x =+; (2)2
cos x x
y x -=
. 【解析】：（1)='
y 2
2ln 2sin cos x x x x x x x +++;
(2)='
y 3
sin 2cos x x x x
x +--。

9.(高考题改编)设0()sin f x x =,1()f x ＝'
0()f x ,'21()()f x f x =…,'1()()n n f x f x +=n N ∈,则)(2020x f =
( )
A.sin x
B.sin x -
C.cos x
D.cos x -
【解析】：1234()cos ,()sin ,()cos ,()sin f x x f x x f x x f x x ==-=-=0()f x =，()n f x 是以4为周期的函数，即x x f x f sin )()(02020==，选A 。

秒杀结论:偶函数的导数是奇函数;奇函数的导数是偶函数。

10.(高考题)观察2'()2x x =,4'3()4x x =,'(cos )sin x x =-,由归纳推理可得:若定义在R 上的函数()f x 满 足()()f x f x -=,记()g x 为()f x 的导函数,则()g x -= ( ) A.()f x B.()f x - C.()g x D.()g x - 【解析】：)(x f 是偶函数，)(x g ∴是奇函数，有)()(x g x g -=-，选D 。

11.(高考题)若42()f x ax bx c =++,满足2)1('=f ,则)1('
-f = ( ) A.4-
B.2-
C.2
D.4
【解析】：)(x f 是偶函数，)('
x f ∴是奇函数，有)()('
'
x f x f -=-，2)1()1('
'
-=-=-∴f f ，选B 。

秒杀题型二：求函数在某一点处的导数 秒杀方法：求出导函数，代入自变量即可。

1.(高考题)等比数列{}n a 中,12a =,8a =4,函数()128()()()f x x x a x a x a =---,则()'0f = ( )
A.62
B.92
C.12
2 D.15
2
【解析】:()f x 展开后是关于x 的多项式，最高次为9次，最低次为0次，求导后最高次为8次，最低次为0次，代入0后只剩常数，而这个常数正是原函数一次项的系数，从原函数中分配系数可知一次项系数为
128.a a a ⋅⋅⋅=122，选C 。

2.(2008年新课标全国卷)设()ln f x x x =,若2)(0'
=x f ,则0x = ( ) A.2
e
B.e
C.
ln 2
2
D.ln 2
【解析】:1ln )('
+=x x f ，得1ln 0=x ，e x =0，选B 。

3.(高考题)设函数32sin ()tan ,32f x x x θθθ=++其中50,12πθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
,则导数)1('f 的取值范围是 ( )
A.[]2,2-
B.
C.⎤⎦
D.⎤⎦
【解析】:x x x f ⋅+⋅=θθcos 3sin )(2'，⎪⎭⎫
⎝
⎛+
=+=∴3sin 2cos 3sin )1('
πθθθf ，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈+4333πππθ，，
[
]
2,2)1('∈
∴f ，选D 。

4.(高考题)已知函数x x f x f sin cos )4()('
+=π,则()4
f π
的值为 .
【解析】:''
()()sin cos 4
f x f x x π
=-+，代入=
x 4π，得'()4
f π
=12-，(
)12
2
221
2)4(=+-=
πf 。

5.(高考题)设函数()f x 在(0,)+∞内可导,且()x x
f e x e =+,则)1('
f = . 【解析】:法一：由换元法求解析式得：x x x f +=ln )(，11
)('
+=
x
x f ，2)1('=f 。

法二：令x
e x x g +=)(，x
e x g +=1)('
，)1()0('
'
f g =2=。