导数在三次函数中的运用
应用导数研究三次函数课件
知识点2 切线条数 切点的个数
数学思想方法 数形结合，特殊与一般，化归转化
思考
一般情形的证明
对于对称问题，在函数中讲到了很 多，你能用所学知识证明一般三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) 的对称中心 是 ( b , f ( b ))的这个结论吗？
3a 3a
g(x) x3 3x2 2x 1 (1,1)
x y20
过对称中心的切线只有1条
上下区域 1条
左右区域 3条
切线上（除对称中心） 2条
曲线上（除对称中心） 2条
一般情形
小结
知识点1 对称中心
三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横 坐标与其导函数顶点的横坐标相同. ( b , f ( b ))
应用导数研究三次函数
图像的对称性及切线条数
湖北省黄冈中学 袁小幼
函数 y x3图像的对称性
函数 y 的x3图像关于（0，0）对称.
三次函数的图像有唯一的对称中心，对称中 心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
一般三次函数图像的对称性
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)图像 的对称中心是什么?
f (x) 3ax2 2bx c 3a(x b )2 c b2
3a
3a
( b , f ( b )) 3a 3a
三次函数在对称中心处的切线
函数 g(x) x3 3x2 2x 1 过对称中心 (1,数图像切线条数的探究
同样的，你能证明切线条数的一般 性结论吗？
谢 谢！
三次函数在“导数”教学中的价值分析
显 三次 函数 的性 质 探 究在 导 数 教 学 中 的价 值
教 育心理 学认 为 ，处于 学生 最近 能力 发展 区的教
题 的剖析 加 以说 明如 何 以三次 函数 为素 材进行 导 数教
学．
学 内容 ， 是 最合适 的教学 内容． 从现有数 学教 育体制 看 ，
“ 导数 ” 学习 ， 对学 生数 学处于 “ 承上 启下 ” 的地 位 ： 初 中 数学 开始接 触 函数 ， 意 味 着 由小学 开 始 学 习的 “ 常量 ” 为 主的 数学 开 始进 入 中学 阶段 的 “ 变量 ” 为主 的数 学 ， 高 一接 触 了关 于 初等 函数 的几个 特 征 ，如定 义域 、 值
教 教
案 例 点 评
２ ０ １ ３年 ７月
三次 函数在 “ 导数 ’ ’ 教学 中的价值分析
⑩江 苏 省 镇 江 市 国 际学 校 宋 是通 过 一系列 的教学进 程， 使学 习者 获得某 种知识 与技 能 的发展 ； 当然在 获得
次 函数与一元二次方程 、 一元 二次不等式三 位一体 、 紧密 相关 ， 从 函数图像 、 函数性质到方程求解 、 根 的分 布 、 不等 式 的解集 区间分布等 ， 知识与能力要求环环相扣 ， 集 中体
例１ 设有函数 ） ＝ ｘ ３ － ３ ａ ｘ ＋ ３ ｘ ＋ １ ． （ １ ） 设ａ ＝ ２ ， 求 ）
的单 调 区间 ； （ ２ ） 设 ） 在 区问（ ２ ， ３ ） 中至 少有一 个极 值
点， 求ａ 的取值 范围．
思路 剖析 ： （ １ ） 将ａ ＝ ２ 代入 ， 得 ） ＝ ｘ ３ － ６ ｘ ＋ ３ ｘ ＋ ｌ ， 则
回溯 高二数 学教学 背景可看 出 ，基本初等函数特别
运用现代教育技术培养学生探究能力——谈导数在三次函数中应用的教学体会
一 、 通过几何画板在运动变化中 引导学生探究 三次 函数 、导 函 数之 问的 联 系
展 示 运 动 变 化 ， 不 但 有 利 于 学 生 强 化 对 图 像 的 认 识 ， 还 有 利 于 学 生 弄 清 知 识 脉 络 ， 了 解 知 识 之 问 的 联 系 ， 探 究 数 学 问 题 。 如 利 用 导 数 探 究 三 次 函 数 ）－ａｘ ＋ｂｘ ＋ｃｘ＋ｄ （０，ｂ，ｃ∈Ｒ） 图 像 及 性 质 的 教 学 ， 常 规 教 学 的 处 理 方 法 是 将 导 数 图 像 和 三 次 函 数 图 像 画在 同 一 坐 标 系 中 ，寻 找 导 数 图像 和 三 次 函 数 图 像 之 间 的 联 系 ，为 了 让 学 生 更 好 地 掌 握 导 数 与 三 次 函 数 之 间 的 联 系 ，对 三 次 函 数 的 单 调 性 、 有 没 有 极 值 的 问 题 进 行 探 索 研 究 ，培 养 学 生 的 能 力 ， 我 设 计 了 这 样 一 个 课 件 。 在 几 何 画 板 上 建 立 一Ａ．ｔ， － 系 ， 在 轴 上 建 立 四 点 ａ，ｂ ｄ， 分 别 确 定 ａ，ｂ，ｃ，ｄ 的 值 ，在 几 何 画 板 上 画 出 三 次 函 数 ）－ ￣．ａｘ ＋ｂｘｚ＋ｃｘ＋ｄ （ ，６，ｃ∈Ｒ） 图 像 ， 再 画 出 三 次 函 数 ｆ（ ）的 导 函 数 图 像 ， 并 确 定 Ａ＝４ｂ。一ｌ２ａｃ 的 值 ， 如 图 １。 分 别 移
图 ２
（１） ａ＞０移 动 ｂ 或 Ｃ使 Ａ＝４ｂ 一１２ａｃ 大 于 ０， ／Ｊ＼
于 ０， 等 于 ０，观 察 导 数 图 像 ，探 究 三 次 函 数 单 调
4x的三次方的导数
4x的三次方的导数
在网络世界里，导数是一种数学概念，大家可以通过它衡量函数变化的程度。
在这里，我们讨论的是4x的三次方函数的导数。
首先，我们从数学原理出发，计算4x的三次方函数的导数。
在微积分中，称
这种表达式为“高阶导数”：如果函数的次数大于等于3，我们就称它为高阶导数。
因此，4x的三次方函数的导数为 12x2 。
其次，我们要了解12x2的数学含义，以及它的运算过程。
可以理解，表达式“12x2”就是根据泰勒展开式的前几项求出的，意思是我们可以把一个函数看成是几个“常数项”。
比如，当x取值为2时，我们就可以把原函数分解为
“ 4*2*2*2 = 32 ”。
这条函数就可以分解为三项：4*2*2（首项）+4*2（次项）
+4（末项）。
而每一项都有自己的“指数”，结果就是有了12x2的结果。
最后，我们要讨论4x的三次方函数的导数在应用中的意义。
高阶导数能够衡
量函数变化的程度，因此它在实际中应用非常广泛。
最常使用它的地方是优化算法，通过求导可以快速确定函数最优解，同时也可以测量函数波动的幅度。
以上就是关于4x的三次方函数的导数的讨论，它反映了函数变化的程度，是
在网络世界中应用较为广泛的一种数学概念。
(完整版)专题三导数与三次函数
7 ∴33332222mamambbmmccm 由155fabc ∴32532mmm 6m ∴23ma，39,2122mbcm 2、若函数32111132fxxaxax在区域1,4内为减函数，在区间6,上为增函数，试求实数a的取值范围。（2004全国卷） 解：21fxxaxa 令0fx解得11x，21xa ①当11a即2a时，fx在1,上为增函数，不合题意 ②当11a即2a时，函数fx在,1上为增函数，在1,1a内为减函数，在1,a上为增函数，依题意应有： 当1,4x时，0fx，当6,x时，0fx 所以416a，解得 57a 综上，a的取值范围是5,7 3、已知函数323fxaxbxx在1x处取得极值， ⑴讨论1f和1f是函数fx的极大值还是极小值； ⑵过点0,16A作曲线yfx的切线，求此切线方程。（2004天津）
3 x ,1 －1 （－1，1） 1 1, fx ＋ 0 － 0 ＋ ()fx 极大值 极小值 ∴()fx的单调递增区间是,1和1, ()fx的单调递减区间是1,1 当1x时，fx有极大值311312faa 当1x时，fx有极小值311312faa 要使()fx有一个零点，需且只需2020aa，解得2a 要使()fx有二个零点，需且只需2020aa，解得2a 要使()fx有三个零点，需且只需2020aa，解得22a 变式五、已知函数33,0fxxxa，如果过点,2Aa可作曲线yfx的三条切线，求a的取值范围 解：设切点为00,xy，则233fxx ∴切线方程000yyfxxx 即 2300332yxxx ∵切线过点A,2a ∴23002332xax 即 320023320xaxa ∵过点,2Aa可作yfx的三条切线 ∴方程有三个相异的实数根
三次多项式函数的导数是二次多项式函数例子
三次多项式函数的导数是二次多项式函数这是一个著名的数学定理。
二次多项式函数的概念是指将变量x的平方和一次项组合在一起的函数，其定义域为实数集，而三次多项式函数的概念是指将变量的立方和二次项、一次项组合在一起的函数，其定义域也是实数集。
根据数学定理，三次多项式函数的导数是二次多项式函数。
具体来说，当三次多项式函数形如y=ax³+bx²+cx+d时，其导数为y'=3ax²+2bx+c，可以看出，三次多项式函数的导数是一个二次多项式函数。
下面举一个例子来说明这一点：设y=2x³-5x²+7x-1，则其导数为y'=6x²-10x+7，可以看出，其导数是一个二次多项式函数。
以上就是三次多项式函数的导数是二次多项式函数的例子，从这个例子中可以清楚地看出，三次多项式函数的导数实际上是一个二次多项式函数。
导数与三次函数的关系
通过乘法法则和链式法则，将原函数进行求导，得到 导数表达式。
注意事项
在计算过程中，需要注意各项的系数和变量的指数变 化。
三次函数导数的性质
单调性
通过导数的符号判断函 数的单调性，若导数大 于0，函数单调递增； 若导数小于0，函数单 调递减。
极值点
导数为0的点称为临界 点或驻点，是函数值可 能发生变化的点，即极 值点。
数学教育改革
在数学教育领域，如何更好地教授导数与三次函数的关系，将直接 影响学生理解和应用数学的能力。
未来研究方向
对于导数与三次函数关系的深入研究，将推动数学理论和应用的不 断发展，为解决复杂问题提供更多有效工具。
THANKS
谢谢
凹凸性
通过求二阶导数判断函 数的凹凸性，二阶导数 大于0，函数为凹函数； 二阶导数小于0，函数 为凸函数。
三次函数导数的几何意义
切线斜率
导数在某一点的值表示该点处切线的斜率。
函数变化率
导数表示函数在某一点附近的变化率，即函 数值增量与自变量增量的比值。
单调区间
通过导数的符号变化，可以确定函数的单调 区间。
优化问题求解
导数在优化问题中扮演关键角色，如最大值和最小 值问题，通过求导可以找到使函数取得极值的点。
近似计算
在科学、工程和经济学中，经常需要估算函 数的近似值，导数有助于更精确地估计这些 值。
导数与三次函数关系在数学中的地位
连接初等与高等数学
导数与三次函数的关系是初等数学与 高等数学之间的桥梁，帮助学习者逐
VS
极值判断
在找到极值点后，我们可以进一步判断这 些点是极大值还是极小值。如果函数在极 值点左侧递增，右侧递减，则该点为极大 值；如果函数在极值点左侧递减，右侧递 增，则该点为极小值。
高三数学导数的实际应用试题答案及解析
高三数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数 ().（1）若,求函数的极值;（2）设．①当时,对任意,都有成立,求的最大值;②设的导函数.若存在,使成立,求的取值范围.【答案】（1）参考解析；（2）①－1－e－1，②(－1,+∞)【解析】（1）由函数 ()，且，所以对函数求导，根据导函数的正负性可得到结论（2）①当时,对任意,都有成立，即时，恒成立. 由此可以通过分离变量或直接求函数的最值求得结果，有分离变量可得b≤x2－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立.通过求函数h(x)＝x2－2x－ (x＞0)的最小值即可得到结论.②若存在,使.通过表示即可得到＝，所以求出函数u(x)＝(x＞1)的单调性即可得到结论.（1）当a＝2,b＝1时,f (x)＝(2＋)e x,定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞).所以f ′(x)＝e x. 2分令f ′(x)＝0,得x1＝－1,x2＝,列表(0,)(,＋∞)－↗极大值极小值↗由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e－1,f (x)的极小值是f ()＝4. 4分（2）①因为g (x)＝(ax－a)e x－f (x)＝(ax－－2a)e x,当a＝1时,g (x)＝(x－－2)e x.因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立,所以b≤x2－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立． 7分记h(x)＝x2－2x－ (x＞0),则h′(x)＝.当0＜x＜1时,h′(x)＜0,h(x)在(0,1)上是减函数;当x＞1时,h′(x)＞0,h(x)在(1,＋∞)上是增函数;所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1;所以b的最大值为－1－e－1. 9分解法二：因为g (x)＝(ax－a)e x－f (x)＝(ax－－2a)e x,当a＝1时,g (x)＝(x－－2)e x.因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立，所以g(2)＝－e2＞0,因此b＜0. 5分g′(x)＝(1＋)e x＋(x－－2)e x＝．因为b＜0,所以：当0＜x＜1时,g′(x)＜0,g(x)在(0,1)上是减函数；当x＞1时,g′(x)＞0,g(x)在(1,＋∞)上是增函数．所以g(x)min＝g(1)＝(－1－b)e－1 7分因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立，所以(－1－b)e－1≥1,解得b≤－1－e－1因此b的最大值为－1－e－1. 9分②解法一：因为g (x)＝(ax－－2a)e x,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e x.由g (x)＋g ′(x)＝0,得(ax－－2a)e x＋(＋ax－－a)e x＝0,整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.等价于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立． 11分因为a＞0,所以＝.设u(x)＝(x＞1),则u′(x)＝．因为x＞1,u′(x)＞0恒成立,所以u(x)在(1,＋∞)是增函数,所以u(x)＞u(1)＝－1,所以＞－1,即的取值范围为(－1,＋∞). 14分解法二：因为g (x)＝(ax－－2a)e x,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e x.由g (x)＋g ′(x)＝0,得(ax－－2a)e x＋(＋ax－－a)e x＝0,整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.等价于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立. 11分设u(x)＝2ax3－3ax2－2bx＋b(x≥1)u′(x)＝6ax2－6ax－2b＝6ax(x－1)－2b≥-2b 当b≤0时,u′(x）≥0此时u(x)在[1,＋∞)上单调递增,因此u(x)≥u(1)＝－a－b因为存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立所以只要－a－b＜0即可,此时－1＜≤0 12分当b＞0时,令x0＝＞＝＞1,得u(x)＝b＞0,又u(1)＝－a－b＜0于是u(x)＝0,在(1,x)上必有零点即存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立,此时＞0 13分综上有的取值范围为(－1,+∞)------14分【考点】1.函数的极值.2.函数最值.3.函数恒成立问题.4.存在性的问题.5.运算能力.2.将一个边长分别为a、b(0<a<b)的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子．若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是________．【答案】【解析】设减去的正方形边长为x，其外接球直径的平方R2＝(a－2x)2＋(b－2x)2＋x2，由R′＝0，∴x＝(a＋b)．∵a<b，∴x∈，∴0<(a＋b)< ，∴1<<.3.对于三次函数，给出定义：是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心.若，请你根据这一发现，求：（1）函数的对称中心为__________；（2）=________.【答案】(1)；（2）2013.【解析】，，令，∴，∴∴对称中心为，∴，∴.【考点】1.新定义题；2.导数.4.已知，函数．（1）当时，写出函数的单调递增区间；（2）当时，求函数在区间[1，2]上的最小值；（3）设，函数在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围（用a表示）．【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.【解析】（1）对于含绝对值的函数一般可通过讨论去掉绝对值化为分段函数再解答，本题当时，函数去掉绝对值后可发现它的图象是由两段抛物线的各自一部分组成，画出其图象，容易判断函数的单调递增区间；（2）时，所以，这是二次函数，求其在闭区间上的最小值，一般要分类讨论，考虑对称轴和区间的相对位置关系，从而判断其单调性，从而求出最小值；（3）函数在开区间上有最大值和最小值，必然要使开区间上有极大值和极小值，且使极值为最值，由于函数是与二次函数相关，可考虑用数形结合的方法解答.试题解析：（1）当时，, 2分由图象可知，的单调递增区间为． 4分（2）因为，所以． 6分当，即时，； 7分当，即时，． 8分． 9分（3）， 10分①当时，图象如图1所示．图1由得． 12分②当时，图象如图2所示．图2由得． 14分【考点】含绝对值的函数、二次函数.5.设，当时，恒成立，则实数的取值范围为。
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f '(x)
f '(x)
f '(x)
o
x
3k 0 0
k 1
o
不符合题意
k 1
导数在三次函数中的运用
例3 函数 f (x) kx3 3x2 3x 1(k 0) 在R上是增函数,
求实数k的取值范围.
分析 f (x) 3kx2 6x 3
Q k 0, f (x)图象是一条过定点(0,3)的抛物线
极值 点个
数
单 调 性
a>0
Δ>0
Δ≤0
a<0
Δ>0
Δ≤0
2
0
2
0
在(, x1),(x2, )上
在(, x1),(x2, )上
是增函数;
在R上是 是减函数;
在R上是
在 (x1, x2)上是减 增函数 在 (x1, x2)上是增 减函数
函数
函数
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)
其导数为f´(x)=3ax2+2bx+c(a≠0)
分析 (1) f (x) 3x2 3， 令 f (x) 0,得x=±1. f(x)随x变化：
(2)f(0)=0,f(3)=18, 则f(x)min=-2，f(x)max=18
导数在三次函数中的运用
例1 已知函数 f (x) x3 3x, x R
变式一二 若关于xx的的不方等程式f f(x(x) )ak有在3[个0互,3不]上相恒等成的立实，
根，求求实实数数ak的取值范围。
分析 (1) f (x) 3x2 3， 令 f (x) 0,得x=±1. f(x)随x变化：
(2)f(0)=0,f(3)=18, 则f(x)min=-2，f(x)max=18
例题2、函数y＝f(x）=x3+ax2+bx+a2在x=1时, 有极值10, 那么a,b的值为 .
对 x 1,1 恒成立，解之得： 1≤ a ≤1 所以实数 a 的取值范围为1,1 ．
说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的 题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递 增，则 f (x) ≥ 0 ；若函数单调递减，则 f (x) ≤ 0 ”来求 解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
三次函数f(x)在R上是增函数 a>0,且Δ ≤ 0; 三次函数f(x)在R上是减函数 a<0,且Δ≤0.
例 4 、 已 知 函 数 f ( x) 4x ax2 2 x3 ( x R) 在 区 间 3
1,1 上是增函数，求实数 a 的取值范围．
解： f (x) 4 2ax 2x2 ，因为 f x 在区间1,1 上是增 函数，所以 f (x) ≥ 0 对 x 1,1 恒成立，即 x2 ax 2 ≤ 0
f '(x)
f '(x)
f '(x)
o
x
o
x
o
x
结论2
三次函数 f (x) 在Ｒ上是增函数(或减函数)
f (x) 0(或f (x) 0)
导数在三次函数中的运用
结论2 三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d(a 0)
其中f (x) 3ax2 2bx c, f (x) 0的判别式为 4b2 12ac
单调性与极值点个数. f (x) 3ax2 2bx c, f (x) 0的判别式为 若a>0, f (x)图象是一条开口向上的抛物线
f '(x)
o x1
x2 x
导数在三次函数中的运用
结论1 三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) f (x) 3ax2 2bx c, f (x) 0的判别式为 其中x1, x2(设x1 x2 )是方程f (x) 0的根.
导函数的判别式为△=4b2-12ac △≤0
a>0
a<0
a>0
△>0 a<0
x1 x2
x1 x2
导数在三次函数中的运用
例1 已知函数 f (x) x3 3x, x R
(1)求函数 f (x)的单调区间； (2)求 f (x)在x[0,3]上的最值； (3)在点A(2,2)处作曲线y=f(x)的切线,求切线方程。
∴当 x=-1 时， f ( x) 取得极大值为 4 ；
当 x 1 时， f ( x) 取得极小值为 112 .
3
27
已知函数 f (x) x3 2x2 x 4，g(x) ax2 x 8 .
⑴求函数 f ( x) 的极值；
⑵若对任意的 x 0， 都有 f(x)≥g(x)，求实数 a 的取值范围.
⑵设 F ( x) f ( x) g( x) x3 (2 a)x2 4
Q F ( x)≥ 0在0， 恒成立 F ( x)min ≥ 0，x 0，
若 2 a 0，显然F(x)min 4 0 ;若 2a0，F(x)3x2 (42a)x
令F ( x) 0，解得x 0，x 2a 4 3
对吗？
我来画图 看看
解：
a b
411或ab
3 .
3
反思:极值存在的条件是什么呢？
导数在三次函数中的运用
例3 函数 f (x) kx3 3x2 3x 1(k 0) 在R上是增函数,
求实数k的取值范围.
分析 f (x) 3kx2 6x 3
Q k 0, f (x)图象是一条过定点(0,3)的抛物线
当 0 x 2a 4 时, F ( x) 0; 当 x 2a 4 时, F ( x) 0;
3
3
∴当 x 0， 时, F(x)min F2a34≥0即2a343(a2)2a3424≥0
例题 5、已知函数 f (x) x3 2x2 x 4，g(x) ax2 x 8 . ⑴求函数 f ( x) 的极值；
⑵解若:⑴对任f 意(x的) x3x20，4x都1有令ff((xx))≥g0(x解)，得求x实1 数 a1或的x取2 值范13 围.
当 x 变化时， f ( x)、f ( x) 的变化情况如下：
导数在三次函数中的运用 很重要哦！
复习回顾
函数 y f (x) 的图象如图所示,则f′(x)
的图象最有可能是
y
Y
Y
O
A
XO
B
0
x
Y
Y
XO
XO
X
C
D
复习回顾
函数 y=f′(x ) 的图象如图所示,则 y f (x)
的图象最有可能是
y
0
x
x x1 x2
A
x x0
B
x x1 x2
C
x x0
D
导数在三次函数中的运用 探究 三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d(a 0)在R上的