导数与三次函数问题有答案
导数专题(含答案
说明:导数的几何意义
可以简记为"k= ",
强化这一句话"斜率导数,导数斜率"
导数的物理意义：s=s<t>是物体运动的位移函数,物体在t= 时刻的瞬时速度是 .可以简记为 =
例1、已知函数 的图象在点 处的切线方程是 ,则 .
2、若函数 的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数 在区间[a,b]上的图像可能是〔〕
〔2〕设函数 则 〔〕
A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数
3〕设 分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当 时,
的解集为▲.
3>已知函数的单调性求参数范围
方法:常利用导数与函数单调性关系：即
"若函数单调递增,则 ；若函数单调递减,则 "来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解．从而转化为不等式恒成立问题或利用数形结合来求参数〔 是二次型〕
[例]1函数y = f < x > = x3＋ax2＋bx＋a2,在x = 1时,有极值10,则a = ,b =.
15.已知函数f<x>=－x3＋3x2＋9x＋a.
〔I〕求f<x>的单调递减区间；
〔II〕若f<x>在区间[－2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值．
解：〔I〕f’<x>＝－3x2＋6x＋9．令f‘<x><0,解得x<－1或x>3,
综上,
4某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x〔x 10〕层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x〔单位：元〕.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层？
导数应用精选50题(含有答案)
)
99
A. a b c
B. c > b > a
C. c > a > b
D. a > c > b
10. f (x)是函数f (x)的导函数, 将y f (x)和y f (x) 的图象画在同一直角坐标系中，不
可能正确的是
()
11.已知函数 y xf (x) 的图象如图 3 所示（其中 f (x) 是函数 f (x) 的导函数）．下面四个图 象中， y f (x) 的图象大致是（ ）
30.(本大题满分 14 分) 设 x=3 是函数 f（x）=（x2+a+b）e3-x(x∈R)的一个极值点． (1)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b)，并求 f（x）的单调区间；(2)a>0，g(x)=( a+ 25 ) ex．若
4 存在 x1、x2∈[0，4]使得| f（x1）- g(x2)|<1 成立，求 a 的取值范围．
（3）若函数 y=f(x)+g(x)有两个不同的极值点 x1，x2（xl <x2），且 x2 －xl >1n2，求实数 a 的取值范围．
28.（本题满分 14 分）
5
已知函数 f x a ln x 1 a x 1 x2, a R
2
（1）当 0 a 1时，求函数 f x 的单调区间；
（2）已知 f x 0 对定义域内的任意 x 恒成立，求实数 a 的范围.
（1）求 a, b 的值；（2）求函数 f (x) 的极小值.
26.（本小题满分 13 分）已知定义在正实数集上的函数 f (x) 1 x2 2ex , g(x) 3e2 ln x b （其中 e 为常数， e 2.71828 ）,若这两个函数
(完整版)专题三导数与三次函数
7 ∴33332222mamambbmmccm 由155fabc ∴32532mmm 6m ∴23ma，39,2122mbcm 2、若函数32111132fxxaxax在区域1,4内为减函数，在区间6,上为增函数，试求实数a的取值范围。（2004全国卷） 解：21fxxaxa 令0fx解得11x，21xa ①当11a即2a时，fx在1,上为增函数，不合题意 ②当11a即2a时，函数fx在,1上为增函数，在1,1a内为减函数，在1,a上为增函数，依题意应有： 当1,4x时，0fx，当6,x时，0fx 所以416a，解得 57a 综上，a的取值范围是5,7 3、已知函数323fxaxbxx在1x处取得极值， ⑴讨论1f和1f是函数fx的极大值还是极小值； ⑵过点0,16A作曲线yfx的切线，求此切线方程。（2004天津）
3 x ,1 －1 （－1，1） 1 1, fx ＋ 0 － 0 ＋ ()fx 极大值 极小值 ∴()fx的单调递增区间是,1和1, ()fx的单调递减区间是1,1 当1x时，fx有极大值311312faa 当1x时，fx有极小值311312faa 要使()fx有一个零点，需且只需2020aa，解得2a 要使()fx有二个零点，需且只需2020aa，解得2a 要使()fx有三个零点，需且只需2020aa，解得22a 变式五、已知函数33,0fxxxa，如果过点,2Aa可作曲线yfx的三条切线，求a的取值范围 解：设切点为00,xy，则233fxx ∴切线方程000yyfxxx 即 2300332yxxx ∵切线过点A,2a ∴23002332xax 即 320023320xaxa ∵过点,2Aa可作yfx的三条切线 ∴方程有三个相异的实数根
导数复习题(含答案)
因为 ，所以 ，即 ，
所以 化为 ，
当 时，不等式 等价于 ，即 ，解得 ；
当 时，不等式 等价于 ，即 ，解得 ；
综上，不等式 的解集为 .
点睛：本题考查了与函数有关的不等式的求解问题，其中解答中涉及到利用条件构造新函数和利用导数研究函数的单调性，以及根据单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，解答中一定要注意函数值为零是自变量的取值，这是题目的一个易错点，试题综合性强，属于中档试题.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得 ，令
，选A.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
故答案为B。
11．已知函数 有两个零点，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数 的定义域为 ，因为 ，当 时， ，则函数 在 上单调递增，不满足条件；当 时，令 ，得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 为极小值点，要使 有两个零点，即要 ，即 ，则 的取值范围是 ，故选D.
6．函数 的图象是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由函数 ，则 ，所以函数 为奇函数，
图象关于原点对称，
又 时， ，
所以当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
综上，函数的图象大致为选项A，故选A.
7．已知函数 是函数 的导函数， ，对任意实数都有 ，设 则不等式 的解集为（）
导数解答题：求取值范围(1)基础(题目含详细答案)
《导数解答题：求取值范围》1、已知三次函数)(x f =b x ax x +-+623，a 、b 为实数，1)0(=f ，曲线=y )(x f 在点（1，)1(f ）处切线的斜率为－6。
（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若)(x f |12|-≤m 对任意的2(-∈x ，2）恒成立，求实数m 的取值范围。
【解】（1）623)(2-+='ax x x f 由导数的几何意义，6)1(-='f ∴ 23-=a ∵ 1)0(=f ∴ 1=b ∴ )(x f =162323+--x x x （2）)2)(1(3633)(2-+=--='x x x x x f , 令)(x f '=0得11-=x ，22=x当∈x （-2，-1)时，0)(>'x f ，)(x f 递增； 当∈x （-1，2）时，0)(<'x f ，)(x f 递减。
∴ 在区间（-2，2）内，函数)(x f 的最大值为29)1(=-f ∵ )(x f |12|-≤m 对任意的2(-∈x ，2）恒成立∴ 29|12|≥-m ∴ 2912≥-m 或2912-≤-m ∴ 411≥m 或47-≤m2、已知()()R c b a c bx x ax x f ∈++-=,,23在()0,∞-上是增函数，在[0，3]上是减函数，且方程()0=x f 有三个实根.(Ⅰ)求b 的值；(Ⅱ) 求实数a 的取值范围。
【解】 (Ⅰ)∵()b x ax x f +-='232()x f 在()0,∞-上是增函数，在[0，3]上是减函数.∴ 当x=0时()x f 取得极小值.∴()00='f . ∴b=0∵方程()0=x f 有三个实根, ∴a≠0∴()b x ax x f +-='232=0的两根分别为.32,021ax x == 又()x f 在()0,∞-上是增函数，在[0，3]上是减函数.∴()0>'x f 在()0,∞-∈x 时恒成立,()0≤'x f 在[]3,0∈x 时恒成立 由二次函数的性质可知3320≥>a a 且∴920≤<a . 故实数a 的取值范围为2(0,]9. 3、已知函数x e x f =)(，曲线)(x f y =在点),(00y x 处的切线方程为)(x g y = （1）证明：对R x ∈∀，)()(x g x f ≥；（2）当0≥x 时，xaxx f ++≥11)(恒成立，求实数a 的取值范围 【解】（1）由x e x f =)(得x e x f =')(由题意知00)()(0x x e x x e x g +-=令)1()()()()(00000+--=---=-=x x e e e x x e e x g x f x h x x x x x 则0)(x x e e x h -=' 当0x x <时，0)(<'x h ，故)(x h 在),(0x -∞单调递减当0x x >时，0)(>'x h ，故)(x h 在),(0+∞x 单调递增 所以0)()(0=≥x h x h ，即)()(x g x f ≥ （2）ⅰ）当1≤a 时，由（1）知，当00=x 得1+≥x e x 故01)1(11111)(≥+-+=+-≥+--=+--xa x x x ax x x ax e x ax x f x ⅱ）当1>a 时，令ax x e ax x x f x H x -+-=-+-=)1)(1()1)(1)(()( 则a x e x H x --+='1)2()( 令a x e x H x M x --+='=1)2()()(，则0)3()(>+='x e x M x ， 故)(x H '在),0[+∞上单调递增，而011)02()0(0<-=--+='a a e H 故存在区间),0(0x 使得0)(<'x H ，即存在区间),0(0x 使)(x H 单调递减，所以存在区间),0(0x 使得0)0()(=<H x H ，即xaxx f ++<11)( 这与xaxx f ++≥11)(在),0[+∞上恒成立矛盾 综上可得1≤a4、已知f (x )＝ln ()ax x x a R +∈。
函数导数三角函数客观试题及答案
1、(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，f (x －3)，x >0，则f (2012)等于( )A ．－1B ．1C ．－3D ．3[答案] A[解析] f (2012)＝f (2009)＝f (2006)＝……＝f (2)＝f (－1)＝2×(－1)＋1＝－1.2、(文)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x －1 (x <1)lg x (x ≥1)，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(10，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－1,10)D ．(0,10) [答案] A[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ x 0<121－x 0－1>1或⎩⎨⎧x 0≥1lg x 0>1，∴x 0<0或x 0>10.3、函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，32]B ．[32，＋∞)C ．(－1，32]D ．[32，4)[答案] D[解析] 由4＋3x －x 2>0得，函数f (x )的定义域是(－1，4)，u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－(x －32)2＋254的减区间为[32，4)，∵e >1，∴函数f (x )的单调减区间为[32，4)．4、如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．[答案] [－14，0][解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增；(2)当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为直线x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上所述－14≤a ≤0.5、(文)若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．[答案] (0,1][解析] 由f (x )＝－x 2＋2ax 得函数对称轴为x ＝a ， 又在区间[1,2]上是减函数，所以a ≤1， 又g (x )＝ax ＋1在[1,2]上减函数，所以a >0， 综上a 的取值范围为(0,1]．6、(理)下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝12(a x＋a －x )D ．f (x )＝ln 2－x2＋x[答案] D[解析] y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x 为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －x)为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．故选D.7、(2010·山东)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3[答案] D[解析] 由条件知f (0)＝0，∴b ＝－1， ∴f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.8、(2010·深圳中学)已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π[解析] 依据偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f (x )、g (x )的图象，∵f (x )g (x )<0，∴⎩⎨⎧ f (x )<0g (x )>0，或⎩⎨⎧f (x )>0g (x )<0，观察两函数的图象，其中一个在x 轴上方，一个在x 轴下方的，即满足要求，∴－π3<x <0或π3<x <π.9、(理)(2010·北京崇文区)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a <b <cC ．b <a <cD ．a <c <b[答案] C[解析] y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是增函数，1>12>0.3，∴1>a >b ，又y ＝log 0.3x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1，∴b <a <c .10、(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)2x (x ≤0)，若f (a )＝12，则实数a＝( )A ．－1 B. 2 C ．－1或 2 D ．1或－ 2[答案] C[解析] 当a >0时，log 2a ＝12，∴a ＝2；当a <0时，2a＝12，∴a＝－1，选C.11、(文)若关于x 的方程4x ＋(1－a )·2x ＋4＝0有实数解，则实数a 的取值范围是( )A．(－∞，5] B．[5，＋∞) C．[4，＋∞) D．(－5,5] [答案] B[解析]a－1＝2x＋42x≥22x·42x＝4等号在2x＝42x，即x＝1时成立，∴a≥5.12、(理)(2011·重庆文，6)设a＝log1312，b＝log1323，c＝log343，则a、b、c的大小关系是()A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a [答案] B[解析]∵a＝log1312，b＝log1323，∵log13x单调递减而12<23∴a>b且a>0，b>0，又c<0.故c<b<a. 13、(文)函数f(x)＝|log12x|的图象是()[答案] A[解析]f(x)＝|log12x|＝|log2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x ≥1)－log 2x (0<x <1)，故选A. 14、(2011·四川文，4)函数y ＝(12)x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )[答案] A [解析]解法一：作y ＝(12)x 的图象，然后向上平移1个单位，得y ＝(12)x＋1的图象，再把图象关于y ＝x 对称即可．15、函数y ＝log 12(x 2－5x ＋6)的单调增区间为( )A ．(52，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，52)D ．(－∞，2)[答案] D[解析] 由x 2－5x ＋6>0得x >3或x <2，由s ＝x 2－5x ＋6＝(x －52)2－14知s ＝x 2－5x ＋6在区间(3，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，2)上是减函数，因此函数y ＝log 12(x 2－5x ＋6)的单调增区间是(－∞，2)，选D.16、设正数x 、y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的取值范围是( )A ．(0,6]B ．[6，＋∞)C ．[1＋7，＋∞)D ．(0,1＋7][答案] B[解析] ∵log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )， ∴x ＋y ＋3＝xy .由x 、y ∈R ＋知xy ≤(x ＋y 2)2，∴x ＋y ＋3≤(x ＋y 2)2.令x ＋y ＝A ，∴A ＋3≤A 24，∴A ≥6或A ≤－2(舍去)，故选B.17、(理)函数y ＝x 35在[－1,1]上是( ) A ．增函数且是奇函数 B ．增函数且是偶函数 C ．减函数且是奇函数 D ．减函数且是偶函数[答案] A[解析] ∵35的分子分母都是奇数，∴f (－x )＝(－x ) 35＝－x 35＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，又35>0，∴f (x )在第一象限内是增函数，又f (x )为奇函数，∴f (x )在[－1,1]上是增函数．18、(理)若幂函数f (x )的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，则它在A 点处的切线方程为________．[答案] 4x －4y ＋1＝0[解析] 设f (x )＝x α，∵f (x )图象过点A ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14α＝12，∴α＝12.∴f (x )＝x12，∴f ′(x )＝12x，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，故切线方程为y －12＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14， 即4x －4y ＋1＝0.19、(2011·汕头一检)若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－52)B ．(52，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－52，＋∞)[答案] B[解析] 设f (x )＝x 2－2mx ＋4，则题设条件等价于f (1)<0，即1－2m ＋4<0⇒m >52，故选B.20、(理)若方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一解，则a 的取值范围为( )A ．a <－1B ．a >1C ．－1<a <1D ．0≤a <1[答案] B[解析] 令f (x )＝2ax 2－x －1，当a ＝0时显然不适合题意． ∵f (0)＝－1<0 f (1)＝2a －2∴由f (1)>0得a >1，又当f (1)＝0，即a ＝1时，2x 2－x －1＝0两根x 1＝1，x 2＝－12不合题意，故选B.21、(理)(2010·吉林市质检)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] B[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与y ＝sin x 的图象，易知两函数图象在[0,2π]内有两个交点．22、(文)(2011·舟山月考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2x －6 (x >0)－x (x ＋1) (x ≤0)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] 令－x (x ＋1)＝0得x ＝0或－1，满足x ≤0； 当x >0时，∵ln x 与2x －6都是增函数， ∴f (x )＝ln x ＋2x －6(x >0)为增函数， ∵f (1)＝－4<0，f (3)＝ln3>0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点， 故f (x )共有3个零点．23、(2010·宁夏石嘴山一模)函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是()A．5，－15 B．5，－4C．－4，－15 D．5，－16[答案] A[解析]∵y′＝6x2－6x－12＝0，得x＝－1(舍去)或x＝2，故函数y＝f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最值可能是x取0,2,3时的函数值，而f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A.24、若a>2，则函数f(x)＝13x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰好有() A．0个零点B．1个零点C．2个零点D．3个零点[答案] B[解析]f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)＝0⇒x1＝0，x2＝2a>4.易知f(x)在(0,2)上为减函数，且f(0)＝1>0，f(2)＝113－4a<0，由零点判定定理知，函数f(x)＝13x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰好有一个零点．25、(2011·北京模拟)若函数f(x)＝ln x－12ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________．[答案][－1，＋∞)[分析]函数f(x)存在单调减区间，就是不等式f′(x)<0有实数解，考虑到函数的定义域为(0，＋∞)，所以本题就是求f′(x)<0在(0，＋∞)上有实数解时a的取值范围．[解析]解法1：f′(x)＝1x－ax－2＝1－ax2－2xx，由题意知f ′(x )<0有实数解，∵x >0，∴ax 2＋2x －1>0有实数解．当a ≥0时，显然满足；当a <0时，只要Δ＝4＋4a >0，∴－1<a <0，综上知a >－1.解法2：f ′(x )＝1x －ax －2＝1－ax 2－2x x ， 由题意可知f ′(x )<0在(0，＋∞)内有实数解． 即1－ax 2－2x <0在(0，＋∞)内有实数解． 即a >1x2－2x 在(0，＋∞)内有实数解．∵x ∈(0，＋∞)时，1x 2－2x ＝(1x －1)2－1≥－1，∴a >－1.26、(文)如图，过函数y ＝x sin x ＋cos x 图象上点(x ，y )的切线的斜率为k ，若k ＝g (x )，则函数k ＝g (x )的图象大致为()[答案] A[解析] ∵y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， ∴k ＝g (x )＝x cos x ，易知其图象为A.27、(2011·汕头模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 x ∈[0，1]2－x x ∈(1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56 D ．不存在[答案] C[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3|10＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 221＝56. 28、(2010·德州阶段检测) ⎠⎜⎜⎛－π2π2 (sin x ＋cos x )d x 的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．4[答案] C[解析]⎠⎜⎜⎛－π2π2 (sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|⎪⎪⎪⎪π2－π2＝2.29、(2011·武汉调研)若cos α＝35，－π2<α<0，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－43 D ．－34 [答案] C[解析] 依题意得，sin α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－43，选C.30、(文)(2010·四川文)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20 [答案] C[解析] ∵向右平移π10个单位，∴用x －π10代替y ＝sin x 中的x ；∵各点横坐标伸长到原来的2倍，∴用12x 代替y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10中的x ，∴得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10. 31、(理)(2011·吉林一中月考)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4[答案] C[解析] ∵T4＝3－1＝2，∴T ＝8，∴ω＝2πT ＝π4.令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4，∴选C. 32．在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－1665 [答案] A[解析] 在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，cos A ＝45，cos B ＝513，∴sin A ＝35，sin B ＝1213，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B ) ＝sin A ·sin B －cos A ·cos B ＝35×1213－45×513＝1665，故选A. 33、(文)(2010·北京东城区)在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，那么角A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° [答案] D[解析] ∵△ABC 中，B ＝30°，∴C ＝150°－A ， ∴sin A ＝3sin(150°－A )＝32cos A ＋32sin A ，∴tan A ＝－3，∴A ＝120°.34、(理)已知tan α＝－2，则14sin 2α＋25cos 2α的值是( )A.257B.725 C.1625 D.925 [答案] B[解析] 14sin 2α＋25cos 2α＝14sin 2α＋25cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋25tan 2α＋1＝725. 35、已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin α＝( )A.3365B.6365 C ．－3365 D ．－ 6365[答案] A[解析]∵⎩⎪⎨⎪⎧0<α<π2－π2<β<0，∴0<α－β<π，又cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝45；∵－π2<β<0，且sin β＝－513，∴cos β＝1213.从而sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝3365.36、(2011·重庆理，6)若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43B ．8－4 3C ．1 D.23[答案] A[解析] 在△ABC 中，C ＝60°， ∴a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ＝4， ∴ab ＝43，选A.37、(2011·深圳二调)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，且a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°[答案] D[解析] 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，所以4sin30°＝43sin B ，sin B ＝32.又0°<B <180°，因此有B ＝60°或B ＝120°，选D.6．(文)(2010·天津理)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] A[解析] 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，由题知b 2－a 2＝－3bc ，c 2＝23bc ，则cos A ＝32， 又A ∈(0°，180°)，∴A ＝30°，故选A.38、2011·皖南八校第二次联考)已知向量a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋λb 与b 垂直，则λ的值为( )A.52 B ．－52C.25 D ．－25 [答案] D[解析] ∵a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，∴a ＋λb ＝(3＋2λ，4－λ)，故2(3＋2λ)－(4－λ)＝0，∴λ＝－25，故选D.39、(2011·宁波十校联考)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10) [答案] C[解析] 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．40、已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC 等于( )A ．30°B ．120°C ．150°D ．30°或150° [答案] C[解析] S △ABC ＝12|a ||b |sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12.又a ·b <0，∴∠BAC 为钝角，∴∠BAC ＝150°，选C.41、(2011·唐山联考)已知c 、d 为非零向量，且c ＝a ＋b ，d ＝a －b ，则|a |＝|b |是c ⊥d 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 因为c ，d 为非零向量，所以c ⊥d ⇔c ·d ＝0⇔a 2－b 2＝0⇔|a |2－|b |2＝0⇔|a |＝|b |.因此，|a |＝|b |是c ⊥d 的充要条件，选C.42、(2011·河南质量调研)直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M 、N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM →·ON →(O 为坐标原点)等于( )A ．－7B ．－14C ．7D ．14 [答案] A[解析] 记OM →、ON →的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于|c |a 2＋b 2＝1，∴cos θ＝13，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝2×(13)2－1＝－79，∴OM →·ON →＝3×3cos2θ＝－7，选A.。
导数复习导数大题练习(含详解答案)
1、函数f(*)=(2*2―k*＋k)·e -*(Ⅰ)当k 为何值时，)(x f 无极值；(Ⅱ)试确定实数k 的值，使)(x f 的极小值为0 2、函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(Ⅰ)假设2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；〔Ⅲ〕设2()22g x x x =-+，假设对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值围. 3、设函数()1x f x x ae -=-。
〔I 〕求函数()f x 单调区间； 〔II 〕假设()0R f x x ≤∈对恒成立，求a 的取值围；〔III 〕对任意n 的个正整数1212,,nn a a a a a a A n++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=记〔1〕求证：()11,2,i a iAa e i n A-≤=⋅⋅⋅〔2〕求证：A ≥4、函数b x x a x a x f +++-=23213)(，其中,a b ∈R ． 〔Ⅰ〕假设曲线)(x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为45-=x y ，求函数)(x f 的解析式； 〔Ⅱ〕当0>a 时，讨论函数)(x f 的单调性． 5、函数2()(21)(R x f x ax x e a -=-+⋅∈，e 为自然对数的底数).(I)当时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)假设函数()f x 在[-1，1]上单调递减，求a 的取值围． 6、函数2()(33)x f x x x e =-+⋅，设2t >-,(2),()f m f t n -==.〔Ⅰ〕试确定t 的取值围,使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数；〔Ⅱ〕试判断,m n 的大小并说明理由；〔Ⅲ〕求证：对于任意的2t >-,总存在0(2,)x t ∈-，满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数.7、函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-．〔Ⅰ〕假设()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；〔Ⅱ〕求函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值． 8、函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+.()a ∈R . 〔I 〕当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程〔e 2.718...=〕； 〔II 〕求函数()f x 的单调区间.9、函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.〔Ⅰ〕当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；〔Ⅱ〕假设函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.10、函数36)2(23)(23-++-=x x a ax x f . 〔1〕当1=a 时，求函数)(x f 的极小值；〔2〕试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数。
利用导数处理三次多项式函数中的问题
②当a<0时， >0 <x<1； <0 或x>1，
∴g(x)极大值为g(1)=- >0，
g(x)极小值为g( )= Байду номын сангаас0.
∴当a<0时，g(x)的图像与x轴有三个不同的交点.
如图3.4—21.
③当0<a 1时， <0 <x<1； >0 或x>1，
(注： =0在x M是否有解，应由 的具体的解析式而定)
例3.已知函数f(x)=x3-ax2+(3-2a)x+b在为增函数，求a的最大整数值.
解:∵f(x)为(0，+ )上的增函数，∴ =3x2-2ax+3-2a 0，对x>0恒成立，
只需a min.∵ =
.当且仅当x= 时取等号.∴ min= .
则a 1.242.∴满足条件的a的最大整数值为1.
说明:
(1)当函数f(x)在x=x0处的导数值等于零，则称x=x0f(x)的一个驻点.
(2)当a<0时，可类似研究f(x)=ax3+bx2+cx+d与其导函数 =3ax2+2bx+c的关系.
例1.已知函数f(x)=ax3+2x2+ax+1(a 0)的图像上存在极值点，则a的取值范围.
解:由 =3ax2+4x+a与f(x)的图像的关系知，f(x)的图像上存在极值点对应着 的判别式
g(x)的极大值为g(1)=- <0，
g(x)极小值为g( )= >0.
∴当0<a≤1时，g(x)的图像与x轴只有一个交点图3.4—22.
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导数与三次函数问题★ 知识梳理★一、定义：、形如32(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”三次函数的导数232(0)y ax bx c a '=++≠， 2412b ac ∆=-叫做三次函数导函数的判别式。
二、三次函数图象与性质1.三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠图象2．函数()(0)f x ax bx cx d a =+++≠单调性、极值点个数情况。
()f x =32ax bx c ++，记∆=224124(3)b ac b ac -=-，（其中x 1,x 2是方程'()f x =0的根，且x 1<x 2）3、三次函数最值问题。
函数若，且，则：()()()(){}max 0,,f x f m f x f n =； 。
4、三次方程根的问题。
（三次函数的零点问题）三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f(1) 若032≤-ac b ，则0)(=x f 恰有一个实根；(2) 若032>-ac b ,且0)()(21>⋅x f x f ，则0)(=x f 恰有一个实根； (3) 若032>-ac b ,且0)()(21=⋅x f x f ，则0)(=x f 有两个不相等的实根； (4) 若032>-ac b ,且0)()(21<⋅x f x f ，则0)(=x f 有三个不相等的实根.5、对称中心。
三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点))3(,3(abf a b --，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
★典型考题★1.已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则（ A ） A .b ∈（-∞，0） ∈（0，1）C .b ∈（1，2） D. b ∈（2，+∞）2.如图，函数y ＝f （x ）的图象如下，则函数f （x ）的解析式可以为（ A ）Ａ）f （x ）＝（x －a ）2（b －x ）Ｂ）f （x ）＝（x －a ）2（x ＋b ） Ｃ）f （x ）＝－（x －a ）2（x ＋b ） Ｄ）f （x ）＝（x －b ）2（x －a ） 3.设＜b,函数的图像可能是（ C ）4．已知函数，当(,0)(5,)k ∈-∞⋃+∞时，只有一个实数根；当(0,5),()0k f x k ∈-=时有3个相异实根，现给出下列4个命题： ①函数有2个极值点； ②函数()f x 有3个极值点；③方程()5f x =-的根小于()0f x '=的任意实根； ④()0f x =和()0f x '=有一个相同的实根．其中正确命题的个数是（ C ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5、函数在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（ C ） A. 1，－1B. 1，－17C. 3，－17D. 9，－196.函数f （x ）=x 3/3+ax 2/2+ax-2 （a ∈Ｒ）在(-∞,+∞)上为单调增函数，求实数a 的取值范围是——————。
a ∈[0，4]7.已知函数f （x ）＝x ３/3－（４m －１）x ２＋（１５m ２－２m －７）x ＋２在实数集Ｒ上是增函数，求实数m 的取值范围。
解：∵y ＝f （x ）在Ｒ上是单调增函数∴f ´（x ）＝x ２－２（４m －１）x ＋１５m ２－２m －７≥０在Ｒ上恒成立，Δ=… =m ２－６m ＋８≤０得２≤m ≤４8.已知曲线y ＝ x 3/3＋4/3，求曲线在点（２，４）处的切线方程 解：f ´（x ）＝x 2，f ´（２）＝４，曲线在点（２，４）处的切线斜率为k ＝f ´（２）＝４∴代入直线方程的斜截式，得切线方程为：y －４＝４（x －２）， 即 y ＝４x －４变式：已知曲线y ＝x 3/3＋4/3，则曲线过点（２，４）的切线方程——————。
错解：依上题，直接填上答案４x －y －４＝０错因剖析：如下图所示，在曲线上的点A 处的切线与该曲线还有一个交点。
这与圆的切线是有不同的。
点（２，４）在曲线y ＝x 3/3＋4/3上，它可以是切点也可以不是。
正确解法：设过点（２，４）的切线对应的切点为（x 0，x 03/3＋4/3），斜率为k=x 02，切线方程为y -（x 03/3＋4/3 ）=x 02（x-x 0） 即y=x 02x- 2x 03/3+4/3点（2，4）的坐标代入，得4=2x 02- 2x 03/3+ 4/3， 2 x 03-6 x 02+8=0 ， ∴x 03-3x 02+4=0， 又∵x 03+1-（3x 02-3）=0 （x 0+1）（x 02-x 0+1）-3（x 0-1）（x 0+1）=0∴（x 0+1）（x 02-4x 0+4）=0 ∴x 0=-1或x 0=2 ∴切线的方程为4x-4-y=0或x-y+2=0 点评：一个是“在点（2，4）”、一个是“过点（2，4）”，一字之差所得结果截然不同。
9、已知函数()33f x x x =-⑴求函数()f x 的单调区间及极值；⑵求()f x 在[]0,3上的最值。
解：令()2123301,1f x x x x '=-=⇒==- x 、()f x '、()f x 的变化情况如下表∴()f x 的单调递增区间是(),1-∞-和()1,+∞ ()f x 的单调递减区间是()1,1-当1x =-时，()f x 有极大值()()()311312f -=--⨯-=当1x =时，()f x 有极小值()311312f =-⨯=- ⑵()00f =，()3333318f =-⨯=∵()f x 在[]0,3上只有一个极值点()12f =- ∴()f x 在[]0,3上的最小值为－2，最大值为18 变式一、已知函数()3233f x x x x =++，其他不变解：()()22363310f x x x x '=++=+≥∴()f x 在(),-∞+∞单调递增，()f x 没有极值()f x 在[]0,3上的最小值为()00f =，最大值为()363f = 变式二、已知函数()323f x x x x =++；其他不变 解：()2323f x x x '=++△22433200=-⨯⨯=-<∴()0f x '=没有实数根 ∴()0f x '>在R 上恒成立 ∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，()f x 没有极值()f x 在[]0,3上的最小值为()00f =，最大值为()345f =变式三、已知函数1y t =，323y x x =-，实数t 为何值时，函数1y 与2y 的图象的交点有一个、二个、三个解：由例1画出函数2y 的大致图象如图，观察图象，可得当2t >或2t <-时，函数1y 与2y 只有一个交点。
当2t =-或2t =时，函数1y 与2y 有二个交点。
当22t -<<时，函数1y 与2y变式四、a 为何值时，函数3()3f x x x a =-+有一个零点两个零点三个零点解：令()2123301,1f x x x x '=-=⇒==-x 、()f x '、()f x 的变化情况如下表∴()f x 的单调递增区间是(),1-∞-和()1,+∞ ()f x 的单调递减区间是()1,1-当1x =-时，()f x 有极大值()()()311312f a a -=--⨯-+=+当1x =时，()f x 有极小值()311312f a a =-⨯+=-要使()f x 有一个零点，需且只需2020a a +<⎧⎨-<⎩，解得2a <-要使()f x 有二个零点，需且只需2020a a +=⎧⎨-<⎩，解得2a =-要使()f x 有三个零点，需且只需2020a a +>⎧⎨-<⎩，解得22a -<<变式五、已知函数()33,0f x x x a =->，如果过点(),2A a 可作曲线()y f x =的三条切线，求a 的取值范围解：设切点为()00,x y ，则()233f x x '=-∴切线方程()()000y y f x x x '-=- 即 ()2300332y x x x =-- ∵切线过点A (),2a ∴()23002332x a x =-- 即 ()320023320x ax a -++=*∵过点(),2A a 可作()y f x =的三条切线 ∴方程()*有三个相异的实数根设()320002332g x x ax a =-++，则()()200000666g x x ax x x a '=-=-当0x 变化时，()0g x '、()0g x 的变化情况如下表0x(),0-∞0 ()0,aa(),a +∞()0g x ' ＋ 0 － 0 ＋ ()0g x极大值32a +极小值332a a -++由单调性知：①若极大值320a +<或极小值3320a a -++>，方程()00g x =只有一个实数根；②若320a +=或3320a a -++=，方程()00g x =只有两个相异的实数根，综上，要使方程()00g x =有三个相异的实根，须且只须32320233202a a a a a a ⎧+>⎧>-⎪⇔⇔>⎨⎨-++<⎩⎪>⎩，所以，所求的a 的取值范围是()2,+∞。
变式六、已知函数()3213f x x x ax a =-+- ()a R ∈，若函数()f x 的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围。
解：∵()22f x x x a '=-+ ∴()4441a a ∆=-=- ①若1a ≥，则0∆≤∴()0f x '≥在R 上恒成立 ∴()f x 在R 上单调递增 ∵()00f a =-< ()320f a =>∴当1a ≥时，函数()f x 的图象与x 有且只有一个交点。
②若1a <，则0∆>∴()0f x '=有两个不相等的实根，不妨设为1x 、2x 且12x x <， 则12122x x x x a +=⎧⎨=⎩当x 变化时，()f x '、()f x 的取值变化情况如下表∵21120x x a -+= ∴2112a x x =-+∴()32111113f x x x ax a =-+-32211111123x x ax x x =-++-()311123x a x =+- ()2111323x x a ⎡⎤=+-⎣⎦ 同理 ()()22221323f x x x a ⎡⎤=+-⎣⎦ ∴()()()()22121212132329f x f x x x x a x a ⎡⎤⎡⎤=+-+-⎣⎦⎣⎦g()()()()2222121212132929x x x x a x x a ⎡⎤=+-++-⎣⎦ ()()(){}22212121322929a a a x x x x a ⎡⎤=+-+-+-⎣⎦g()224433339924a a a a a ⎡⎤⎛⎫=-+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦令()()120f x f x >g ，解得0a >当01a <<时，()00f a =-<，()320f a => ∴当01a <<时，函数()f x 的图象与x 轴 有且只有一个交点∴()f x 的大致图象如图所示： 综上所述，a 的取值范围是()0,+∞综 合 练 习 题1、已知函数()32f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点()1,0，()2,0；如图所示， 求：⑴0x 的值；⑵a 、b 、c 的值。