2导数的概念
二阶导数与凸性判定
二阶导数与凸性判定在高中数学学习中，我们都学过导数的概念和求法。
而在大学数学中，导数不仅仅是单纯的斜率，它还代表了函数的变化趋势和曲率。
其中，二阶导数就是描述曲率变化的指标之一。
而凸性则是与曲率和二阶导数相关的概念，本文将详细讲解二阶导数与凸性的关系和运用。
一、二阶导数的意义第一次学习导数时，我们知道导数描述函数在某点的变化趋势。
一阶导数即切线斜率，正表示函数单调递增，负表示函数单调递减。
而对于曲线，在任意一点处都有唯一的切线，而曲线的曲率则是由曲线在该点的切线与曲线在该点处的切线所夹的角度决定的，当切线与曲线的夹角越小时，曲线的曲率就越大，曲线“更弯曲”。
二阶导数描述了曲线的“弯曲程度”。
二阶导数的意义是，描述导数的变化率。
即导数变化的速率，它是导数的导数，表示函数在某点的曲率的变化率。
一般来说，如果一个函数的二阶导数在某点为正，那么这个函数在该点是向上凸的；而如果该函数的二阶导数在该点为负，则该函数在该点是向下凸的。
二、凸性判定我们来看一个例子。
假设已知一个函数 $f(x)$ ，对 $f(x)$ 求出它在 $x=a$ 处的二阶导数为 $f''(a)$。
首先，如果 $f''(a)>0$，也就是二阶导数大于0，那么 $f(x)$ 在$x=a$ 处向上凸。
其次，如果 $f''(a)<0$，也就是二阶导数小于0，那么 $f(x)$ 在$x=a$ 处向下凸。
对于一般的函数$f(x)$，我们可以用以下结论判断函数的凸性。
结论：设 $f''(x)$ 在 $I$ 上连续，1、若 $f''(x)> 0$ 在 $I$ 上恒成立，则 $f(x)$ 在 $I$ 上一个点一个点的向上凸；2、若 $f''(x)< 0$ 在 $I$ 上恒成立，则 $f(x)$ 在 $I$ 上一个点一个点的向下凸；3、若 $f''(x)$ 在 $I$ 上恒为 $0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上的每一点都是既不凸也不凹的。
二阶偏导数极限定义公式
二阶偏导数极限定义公式摘要：一、引言1.介绍二阶偏导数的概念2.阐述二阶偏导数在数学领域的重要性二、二阶偏导数的概念与性质1.二阶偏导数的定义2.二阶偏导数的性质3.二阶偏导数与函数的凹凸性关系三、二阶偏导数极限定义公式1.极限定义公式的推导过程2.公式中各符号的含义3.公式在求解二阶偏导数极限问题中的应用四、二阶偏导数极限定义公式的应用1.求解二阶偏导数极限问题2.分析函数的凹凸性及极值问题3.在实际问题中的应用及意义正文：一、引言二阶偏导数是多元函数微分学中的一个重要概念，它涉及到函数在某一点处的变化率和凹凸性。
在数学分析、物理学、工程学等领域，二阶偏导数具有广泛的应用。
本文将重点介绍二阶偏导数的相关知识，并通过二阶偏导数极限定义公式来分析其在求解极限问题中的应用。
二、二阶偏导数的概念与性质1.二阶偏导数的定义设函数f(x, y)在点(a, b)的某一邻域内有定义，那么函数在点(a, b)处的二阶偏导数，记作fxx(a, b)或f_x^2(a, b)，定义为：fxx(a, b) = lim┬(h→0)〖(f(a+h, b) - f(a, b) - hf_x(a, b)) / h^2 〗2.二阶偏导数的性质(1) 如果函数f(x, y)在点(a, b)处可微，那么fxx(a, b)存在。
(2) 如果函数f(x, y)在点(a, b)处连续，那么fxx(a, b)等于函数在点(a, b)处的二阶导数。
(3) 如果函数f(x, y)在点(a, b)处可微，那么fxx(a, b)等于函数在点(a, b)处的一阶导数的二阶导数。
3.二阶偏导数与函数的凹凸性关系根据二阶偏导数的性质，我们可以通过分析函数的二阶偏导数来判断函数的凹凸性。
具体来说，如果函数f(x, y)在点(a, b)处的二阶偏导数fxx(a, b)大于0，则函数在点(a, b)处是凸的；如果fxx(a, b)小于0，则函数在点(a, b)处是凹的。
2阶导数求导公式
2阶导数求导公式概述：求导是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
而2阶导数求导公式则是对函数的二次导数进行求导的公式。
本文将介绍2阶导数的概念及其求导公式，并通过例题展示其应用。
一、2阶导数的概念在微积分中，导数描述了函数在某一点的斜率或变化率。
而2阶导数则是对一阶导数的导数，它描述了函数变化率的变化率。
换句话说，2阶导数可以帮助我们分析函数的曲率。
二、2阶导数求导公式对于函数f(x)，其一阶导数为f'(x)，二阶导数为f''(x)。
下面是常见函数的2阶导数求导公式：1. 常数函数：对于常数c，它的任意阶导数都为0，即f''(x) = 0。
2. 幂函数：对于幂函数f(x) = x^n，其中n为正整数，它的二阶导数为f''(x) = n(n-1)x^(n-2)。
3. 指数函数：对于指数函数f(x) = e^x，它的二阶导数仍为f''(x) = e^x。
4. 对数函数：对于对数函数f(x) = ln(x)，它的二阶导数为f''(x) = -1/x^2。
5. 三角函数：对于三角函数f(x) = sin(x)和f(x) = cos(x)，它们的二阶导数分别为f''(x) = -sin(x)和f''(x) = -cos(x)。
三、示例问题为了更好地理解2阶导数求导公式的应用，我们来看几个示例问题：1. 已知函数f(x) = x^3，求其二阶导数f''(x)。
根据幂函数的2阶导数求导公式，我们有f''(x) = 3(3-1)x^(3-2) = 6x。
2. 已知函数f(x) = e^x，求其二阶导数f''(x)。
根据指数函数的2阶导数求导公式，我们有f''(x) = e^x。
3. 已知函数f(x) = ln(x)，求其二阶导数f''(x)。
二阶导数基本公式
二阶导数基本公式二阶导数是微积分中的重要概念，它描述了函数曲线的曲率变化情况。
在求解二阶导数的过程中，有一些基本公式可以帮助我们简化计算。
本文将介绍这些基本公式，并通过实例来说明它们的应用。
一、二阶导数的定义在微积分中，函数f(x)的二阶导数可以通过对其一阶导数f'(x)再次求导得到，即f''(x)。
二阶导数描述了函数曲线的曲率变化情况，可以帮助我们判断函数的凹凸性、拐点等重要特征。
二、求解二阶导数的基本公式1. 常数函数的二阶导数为0对于常数函数f(x)=C，其中C为常数，其一阶导数为f'(x)=0，再次求导得到二阶导数f''(x)=0。
这是因为常数函数的斜率恒为0，再次求导时斜率不会发生变化。
2. 幂函数的二阶导数公式对于幂函数f(x)=x^n，其中n为实数，其一阶导数为f'(x)=n*x^(n-1)，再次求导得到二阶导数f''(x)=n*(n-1)*x^(n-2)。
幂函数的二阶导数可以通过对一次幂函数的一阶导数进行求导得到。
3. 指数函数的二阶导数公式对于指数函数f(x)=a^x，其中a为常数且a>0，其一阶导数为f'(x)=a^x*ln(a)，再次求导得到二阶导数f''(x)=a^x*ln^2(a)。
指数函数的二阶导数同样可以通过对一次指数函数的一阶导数进行求导得到。
4. 对数函数的二阶导数公式对于对数函数f(x)=ln(x)，其一阶导数为f'(x)=1/x，再次求导得到二阶导数f''(x)=-1/x^2。
对数函数的二阶导数可以通过对一次对数函数的一阶导数进行求导得到。
5. 三角函数的二阶导数公式对于正弦函数f(x)=sin(x)，其一阶导数为f'(x)=cos(x)，再次求导得到二阶导数f''(x)=-sin(x)。
类似地，余弦函数的二阶导数为负的正弦函数，正切函数的二阶导数为负的正切函数。
二阶偏导数公式详解性质及公式是什么
二阶偏导数公式详解性质及公式是什么一、二阶偏导数的定义对于一个二元函数f(x,y)，它的二阶偏导数可以通过以下的定义给出：∂²f/∂x²=(∂/∂x)(∂f/∂x)∂²f/∂y²=(∂/∂y)(∂f/∂y)∂²f/∂x∂y=(∂/∂x)(∂f/∂y)∂²f/∂y∂x=(∂/∂y)(∂f/∂x)其中，∂/∂x表示对x进行偏导，∂/∂y表示对y进行偏导，∂f/∂x表示函数f对x的一阶偏导数，∂f/∂y表示函数f对y的一阶偏导数。
二阶偏导数即为一阶偏导数的偏导数。
二、计算方法我们可以通过对一阶偏导数求导得到二阶偏导数。
如果函数f(x,y)连续且具有二阶连续偏导数，则有以下计算公式：∂²f/∂x²=(∂/∂x)(∂f/∂x)∂²f/∂y²=(∂/∂y)(∂f/∂y)∂²f/∂x∂y=(∂/∂x)(∂f/∂y)∂²f/∂y∂x=(∂/∂y)(∂f/∂x)其中，求二阶偏导数时的求导操作与求一阶偏导数的操作相同。
需要注意的是，∂²f/∂x∂y和∂²f/∂y∂x应该相等，这是因为偏导数的次序并不影响结果。
三、性质及公式1. 黑塞矩阵（Hessian Matrix）：对于一个多元函数f(x1,x2, ..., xn)，它的二阶偏导数可以构成一个矩阵，称为黑塞矩阵。
黑塞矩阵H(f)的第i,j个元素为∂²f/∂xi∂xj。
黑塞矩阵可以用于研究函数的凸凹性质。
如果黑塞矩阵的所有特征值都大于0，则函数f是凸函数；如果黑塞矩阵的所有顺序主子式（即从左上角开始的连续k行k列的子矩阵行列式）都大于0，则函数f的局部极小值点。
2.混合偏导数的对称性：函数f(x,y)具有连续的混合偏导数∂²f/∂x∂y 和∂²f/∂y∂x，则有∂²f/∂x∂y=∂²f/∂y∂x。
二阶导计算公式
二阶导计算公式二阶导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数曲线的曲率变化。
在本文中，我将介绍二阶导数的计算公式及其应用。
一、二阶导数的定义在微积分中，函数f(x)的二阶导数表示为f''(x)，它是函数f(x)的一阶导数f'(x)的导数。
换句话说，二阶导数是函数的斜率的变化率。
二、二阶导数的计算公式1. 使用极限定义法计算二阶导数：根据极限定义法，函数f(x)的二阶导数可以通过以下公式计算：f''(x) = lim [f'(x + h) - f'(x)] / h，其中h趋近于0。
2. 使用链式法则计算二阶导数：对于复合函数，我们可以使用链式法则来计算二阶导数。
假设y = f(g(x))，其中f(u)和g(x)分别是函数，那么二阶导数可以通过以下公式计算：y''(x) = f''(g(x)) * [g'(x)]^2 + f'(g(x)) * g''(x)三、二阶导数的应用1. 函数的凹凸性分析：二阶导数可以帮助我们分析函数的凹凸性。
如果f''(x) > 0，那么函数在x处是凹的；如果f''(x) < 0，那么函数在x处是凸的。
2. 极值点的判断：通过二阶导数可以判断函数的极值点。
如果f''(x) > 0且f'(x) = 0，那么函数在x处有一个局部最小值；如果f''(x) < 0且f'(x) = 0，那么函数在x处有一个局部最大值。
3. 曲线的拐点分析：二阶导数可以帮助我们分析函数曲线的拐点。
如果f''(x) > 0，那么函数在x处有一个拐点，曲线从凹向凸；如果f''(x) < 0，那么函数在x处有一个拐点，曲线从凸向凹。
4. 泰勒展开：在数值计算中，二阶导数也可以用于泰勒展开的计算中。
2导数的基本概念
Chap2 导数产生:①光滑曲线()y f x =在点(,)P x y 处的切线.根据正切角α,从通过P 点的所有直线中选择一条,知道该点的邻域性质即可; ②非匀速速度。
应用：几何,力学,光学中的最优化问题；极大和极小值问题.割线的极限位置.曲线上的两点间连线的极限,和其它直线的不同：这个方向是唯一的。
什么方向呢?与x ∆引起的y ∆有关,而其余的方向与y ∆无关.隅点和尖点没有唯一的方向:该点是不同曲线的交点,所以在不同方向有不同的y ∆. 一导数概念的三个理解1切线是割线的导数----因变量增量与自变量增量的关系1α是割线PP 1同正x 轴构成的夹角，α是切线同正x 轴构成的夹角，则11lim p pαα→=。
Y=f(x)图2-1 导数的定义 可得：11111()()tan y y f x f x x x x xα--==--，则极限过程的表达式 11111()()limlim tan tan x xx x f x f x x xαα→→-==- def2.1.1(函数的差商)表达式1111()()f x f x y y yx x x x x--∆==--∆，称为函数()y f x =的差商，其中y ∆和x ∆分别表示函数()y f x =和自变量x 之差分。
α的正切，即曲线的“斜率”，等于函数()y f x =的差商当1x x →时所趋向的极限。
Def2.1 （函数在某一点的导数）将这个差商的极限称为函数()y f x =在点x 处的导数，''()y f x =是导数的拉格朗日（Lagrange ）表示法，(),,()dy df x d f x dx dx dx ⎛⎫⎪⎝⎭是莱布尼茨表示法。
说明：''()y f x =称为导函数，表示导数本身是x 的函数，因为所考虑的区间上的每一个x 值都对应一个'()f x 的值。
用导函数，导曲线强调这个事实，并不表示导数是一种特殊类型的函数，在初等函数之外的新型函数，而是表示与()y f x =的关系是导数与函数的关系。
§2 导数的概念及其几何意义
再由 P(x0，y0)在曲线 y＝1x上，得 x0y0＝1，
联立可解得 x0＝1，y0＝1，
所以直线方程为 x＋y－2＝0.
“多练悟——素养提升”见“ 课时跟踪检测(六)” (单击进入电子文档)
x1－x0
＝ lim
Δx→0
Δx
.
2．割线的定义 函数 y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为ΔΔxy，它是过 A(x0， f(x0))和 B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的 斜率 ，这条直线称为 曲线 y＝f(x)在点 A 处的一条割线． 3．切线的定义 当 Δx 趋于零时，点 B 将沿着曲线 y＝f(x)趋于 点 A ，割线 AB 将绕点 A 转动最后趋于直线 l，直线 l 和曲线 y＝f(x)在点 A 处“相切”，称直线 l 为曲线 y＝f(x)在 点 A 处的切线． 4．导数的几何意义 函数 y＝f(x)在 x0 处的导数，是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0)) 处的 切线的斜率 ．
2．曲线 y＝x2 在点 P(1,1)处的切线方程为
A．y＝2x
B．y＝2x－1
C．y＝2x＋1
D．y＝－2x
答案：B
()
3．已知曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 2x－y＋2＝0，
则 f′(1)＝
()
A．4
B．－4
C．－2
D．2
答案：D
4．已知 f(x)＝－1x，则 f′(x)＝________. 答案：x12 5．函数 f(x)＝2＋13x在 x＝1 处的导数为________． 答案：－235
Δx→0
f1＋Δx－f1 Δx
＝
lim
Δx→0
[a1＋Δx＋Δxb]－a＋b＝
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学选修2-2复习专题：导数及其应用20161210
【知识网络】
1．经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．知道瞬时变化率就是导数．体会导数的思想及其内涵．通过函数图象直观地理解导数的几何意义．
2．能根据导数的定义，会使用基本初等函数导数公式表和导数的四则运算法求简单函数的导数。
侧理考生还要求能求复合函数（仅限于形如f(a x ＋b))的导数．
3．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．结合函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值；以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．体会导数在解决实际问题中的作用．
【典型例题】
例1．（1）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）
A ．430x y --=
B ．450x y +-=
C ．430x y -+=
D ．430x y ++=
（2）点P 在曲线y=x 3－x 上移动，设点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ）
A ．5[0,][
,)26πππ⋃ B ．3[,)4ππ C ．3[0,)[,)24πππ⋃ D ． [0，34
π] （3）已知f(x)=x 3＋2x 2,则0()()lim x f x x f x x
∆→+∆-∆= ．3x 2＋4x （4）曲线1y x =和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 . 34 （5）对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列
1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和的公式是 ．()12122212n
n n S +-==-- 练习：1.对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（）≥0，则必有（ ） A ． f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1）
C. f （0）＋f （2）≥2f （1）
D. f （0）＋f （2）>2f （1）
2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120).12800080
y x x x =-+<≤ 已知甲、乙两地相距100千米。
（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（17.5）
（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ (当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25.h =)
例2.(1)已知函数2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+是否存在实数,m 使得()y f x =的图象
与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。
(7,156ln 3).-．
练习1.设函数f (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，求实数a 的取值范围．（－∞，1]．
2.设函数())()cos 0f x ϕϕπ=+<<。
若()()/f x f x +是奇函数，则ϕ=_____。
6
π
3.设函数)(3x x a y -=的递减区间为)3
3,33(-，则a 的取值范围是 ．0>a 例3. 已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为076=+-y x .（1）求函数)(x f y =的解析式；（2）求函数)(x f y =的
单调区间. .233)(23+--=x x x x f (,1)
-∞,),21(+∞+增)21,21(+-减
练:1.设3=x 是函数()()
()234,x f x x ax b e a x R -=++<-∈的一个极值点.求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()x f 的单调区间．减（－∞，3）（―a ―1，＋∞）增（3，―a ―1）
2.已知f(x)=1011n n n n a x a x a x a --++++ 其中n 是正整数，则f ′（0）等于（ ）
A ．a 0n ！
B ．a 0
C ．a n-1
D ．0
3.已知函数f (x )＝ln x ，g(x )＝2
1ax 2＋b x ，a ≠0.若b ＝2，且h (x )＝f (x )－g(x )存在单调递减区间，则a 的取值范围 （－1，0）∪（0，+∞）.
4.已知函数b
x ax x f +-=26)(的图象在点M （－1，f (x )）处的切线方程为x +2y+5=0. （Ⅰ）求函数y=f (x )的解析式；（Ⅱ）求函数y=f (x )的单调区间.
226().(,3);(33
x f x x -=-∞-++∞-++减增
5.已知函数()θθcos 16
3cos 3423+-=x x x f ，其中θ,R x ∈为参数，且πθ20≤≤． （1）当时0cos =θ，判断函数()x f 是否有极值；
（2）要使函数()x f 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()x f 在区间()a a ,12-内都是增函数，求实数a 的取值范围．
解:（1）无极值；（2）311(
,)(,)6226ππππ ；（3）4(,0][8
-∞
例4.请您设计一个帐篷。
它下部的形状是高为1m 的正六
棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右
图所示）。
试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离
为多少时，帐篷的体积最大？
OO 1为2m 时，帐篷的体积最大，最大体积为3163m
练1．已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ ）
A ．21<<-a
B ．63<<-a
C ．63>-<a a 或
D ．21>-<a a 或 2．点P 在曲线y=x 3－x 上移动，设点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ）
A ．5[0,][
,)26πππ⋃ B ．3[,)4ππ C ．3[0,)[,)24πππ⋃ D ． [0，34
π] 3．已知函数2)7215()14(31)(223+--+--=x m m x m x x f 在（－∞，+∞）上是增函数， 则m 的取值范围是
（ ）
A ．m ＜－4或m ＞－2
B ．－4＜m ＜－2
C ．2＜m ＜4
D ．m ＜2或m ＞4 4.已知函数()2472x f x x
-=-，[]01x ∈，（1）求()f x 的单调区间和值域； （2）设1a ≥，函数()[]22
3201g x x a x a x =--∈，，，若对于任意[]101x ∈，，总存在[]001x ∈，，使得()()01g x f x =成立，求a 的取值范围．
解:102⎛⎫ ⎪⎝⎭，减112⎛⎫ ⎪⎝⎭，增,值域为[]43--，;312
a ≤≤。