“算两次”的思想方法及其在高中数学解题中的应用
算两次思想在高考解题中的应用
算两次思想在高考解题中的应用作者：雷亚庆
来源：《中学课程辅导·高考版》2018年第10期
波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来.”也就是将一个量“算两次”，从而建立相等关系，这就是算两次原理，又称福比尼原理.利用向量数量积推导两角差的余弦公式就是算两次思想的经典应用.它的本质实际就是从研究对象的不同表征去探索和发现，算两次思想在数学解题特别是高考解题中能发挥非常重要的作用，下举几例加以说明.
例1 （2018江苏高考第13题）.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为;;; .
分析：这是双变量最值问题，解决问题的关键是从已知条件中探寻a，b的等量关系，这时候面积算两次就要大显身手了.
“算两次”作为一种重要的数学解题方法，蕴涵着换一个角度看问题的转换思想.其实质是将同一个量从两个不同的角度計算两次，利用“殊途同归”获得的等量关系达到“出奇制胜”的目的.单墫教授编著的《算两次》中，将算两次原理形象地比喻成“三步舞曲”，即从两个方面考虑一
个适当量，“一方面……，另一方面……，综合起来可得……”，如果一个数学研究对象具有“双重身份”或“两面性”，也就是说既满足条件A又满足条件B，就可以考虑使用这种方法.。
高二联赛班秋季第7讲算两次
第7讲算两次7.1 组合问题知识点睛算两次，顾名思义就是对同一个量从两个不同角度进行计算，对分别计算出的结果进行比较，从而得到某个新的结论.实际上，数学研究中有很大比例的定理就是利用算两次的思想得来的.而在竞赛中也有很多问题用到了算两次的思想.其中，在组合中算两次的思想用到的最多，而在代数、几何等问题中算两次思想也有比较多的应用.一般地，如果直接对某个量进行计算，可能会得到一个等式；而从一个方向得到确切值，从另一个方向得到对这个量的估计，那么我们会得到一个不等式.在组合中，前者我们常会得到某个组合恒等式等，而后者，我们会得到一个组合不等式.整个步骤如同“三步舞曲”：一方面…，另一方面…，综合以上两方面可以得到….在组合中有一类子集问题，运用“算两次”思想来解决有固定的套路，也就是列表方法：我们列出一个方格表，首先从横向求和得到一个式子然后再先从纵向求和得到另一个式子，再对这两个式子进行比较.这种方法常被称为“富比尼原理”.经典精讲【例1】 25个人组成若干委员会，每个委员会5名成员，每两个委员会至多有1名公共成员.证明：委员会的个数不大于30.【例2】将一个三角形的三个顶点分别涂以红蓝黑三种颜色.在此三角形内取若干个点，将它分为若干个小三角形，将每个小三角形的顶点涂以红蓝黑三种颜色之一.证明：不论怎样涂，都有一个三角形，它的三个顶点颜色全不相同.【例3】在一张正方形纸片的内部给出了1985个点，现用M记这纸片的4个顶点与内部1985个点构成的集合，并按下述规则将这张纸剪成一些三角形：（1）每个三角形的三个顶点都是M中的点；（2）除顶点外，每个三角形中不再含有M中的点.问：可剪出多少个三角形，共需剪多少刀？（剪出一条边需要剪一刀）【例4】 将六阶完全图6K 的每条边染上红色或蓝色，证明图中必有两个同色三角形（这两个三角形的颜色不一定相同）.【例5】 设n 和k 是正整数，S 是平面上n 个点的集合，满足：（1） S 中任何三点不共线；（2） 对S 中的每一点P ，S 中存在k 个点与P 距离相等.求证：12k <+【例6】 设二次设12,,,n a a a …为1，2，…，n 的一个排列，k f 是集合{},i i k a a a i k <>元素的个数，而k g 是集合{},i i k a a a i k ><元素的个数（1,2,,k n =…），证明11n nk kk k f g===∑∑【例7】 设{}1,2,,,2N n n =≥…。
(完整版)一种转化思想----算两次
一种转化思想 ————算两次湖北省武汉市蔡甸区第二中学 朱本韬算两次是一种常用的数学方法，也称作富比尼原理。
它体现了数学的转化思想，方程思想。
波利亚在《数学的发现》一文中就曾经说过：“为了得到一个方程,我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来。
新编人教版高中教材例题习题中多次使用“算两次”的方法解决问题，同时，在每年全国各省市的高考压轴题或摸拟题中也是常见的方法.一 “算两次”在教材中 例１ 《必修４》（人教版）第二章“两角和与差的余弦公式”的证明 证明：如图1,在直角坐标系xOy 中,以Ox 为始边分别作角α、β ，其终边分别与单位圆交于P 1(cos α，sin α),P 2(cos β，sin β），则∠P 1OP 2＝α－β,由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以只需证明0≤α－β＜π的情况,设向量α＝−→−1OP ＝（cos α，sin α），b =−−→−OP2＝（cos β，sin β），则一方面有a ·b ＝｜α|·｜β｜ cos （α－β)＝cos (α－β）,另一方面,用向量数量积的坐标表示，又有a ·b ＝cos α cos β＋sin α sin β.综上可得cos （α－β)＝cos α cos β＋sin α sin β，证毕 在该公式的证明过程中，用平面向量数量积的两种运算方法,把α·β分别表示为α·β＝|α｜·|β｜ cos θ与α·β＝x 1x 2＋y 1y 2，建立方程关系，从而证明了该公式,这里用到的数学方法就是算两次原理.例２ 《必修５》(人教版）第二章“等差数列前n 项和的公式"的推导。
解:一方面,Ｓn ＝α1+α2+α3+…＋αn ＝α１＋（α１＋d)＋（α２＋２d ）＋…＋［α１＋（n －１）d] ①另一方面，Ｓn ＝αn ＋αn-1＋αn-2＋…＋α１＝αn ＋(αn －d ）＋( αn －2d ）＋…＋［αn －(n －1)d ］ ② ①＋②得：２Ｓn ＝（α１＋αn ）＋(α１＋αn ）＋…＋(α１＋αn ）＝n(α１＋αn ) 由此得到等差数列{αn ｝的前n 项和公式：Ｓn ＝2)a n(a n 1+ 在该公式推导中,结合等差数列的通项公式及其推论性质，将Sn 进行两种不同的表示,然后倒序相加.人教版高中数学新教材中多次出现用算两次的方法解决问题，如《必修2》中用等积法证明了点到直线的距离公式等。
“算两次”方法在高中数学中的应用
“算两次”方法在高中数学中的应用在高中数学中，"算两次"方法是一种常用的解题方法，可以帮助学生更快更准确地解决一些复杂的数学问题。
这种方法通过将原问题拆分成两个或多个较简单的问题来逐步解决，最终得出最终的答案。
下面将介绍"算两次"方法在高中数学中的具体应用。
1.代数方程式的解法"算两次"方法在解代数方程式时非常常见。
对于一些复杂的方程式，可以通过"算两次"的方法将其拆解为较为简单的方程式逐步解决。
例如，对于含有分式的方程式，可以先用分式的通分法化简，再解出方程的结果。
这样可以避免一次性解决整个复杂的方程式，提高解题效率。
2.几何图形的计算在几何学中，"算两次"方法也常常被应用。
比如，在计算三角形的面积时，可以将三角形划分成更小的形状，分别计算每个小形状的面积，再将结果相加得到三角形的总面积。
这样可以更直观地理解整个计算过程，提高计算准确性。
3.概率和统计的问题"算两次"方法也可以在概率和统计问题中有所应用。
例如，在计算复杂事件发生的概率时，可以通过将事件拆解为几个较为简单的事件，分别计算每个事件的概率，再结合起来得到最终的概率。
这种方法可以降低解决概率问题的难度，提高解题效率。
4.数列的求和在数列中，"算两次"方法也可以得到应用。
对于一些复杂的数列，可以通过将数列分解为多个简单的部分，分别计算每个部分的和，再将结果相加得到整个数列的和。
这种方法可以帮助学生更清晰地理解数列的求和过程，提高计算的准确性。
5.函数的运算在函数的运算中，"算两次"方法也是非常常见的。
对于复杂的函数关系，可以通过将函数分解为多个简单的部分，分别进行计算，再将结果组合起来得到最终的函数关系。
这种方法可以帮助学生更深入地理解函数的性质，提高解题的效率。
总的来说，"算两次"方法在高中数学中有着广泛的应用。
_算两次_的思想方法_解决数学问题的一把金钥匙
a ∈ V， 记 a 的象为 f （ a ） ． 若映射 f： 于映射 f： V→V， V→V 满足： 对所有 a， b ∈ V 及任意实数 λ ， μ 都有 f（ λa + μb） = λf（ a） + μf （ b ） ， 则 f 称为平面 M 上的 线性变换． 现有下列命题： a， b ∈V， ①设 f 是平面 M 上的线性变换， 则 f（ a + b） = f（ a） + f（ b） ； ②若 e 是平面 M 上的单位向量， 对 a ∈ V， 设 f （ a ） = a + e， 则 f 是平面 M 上的线性变换； ③对 a ∈ V ， 设 f（ a ） = － a， 则 f 是平面 M 上的 线性变换； a ∈ V， ④设 f 是平面 M 上的线性变换， 则对任 意实数 k 均有 f（ ka） = kf（ a） ． 其中的真命题是 的编号） ． （ 写出所有真命题
个方面的估计， 缩小得到式 （ 3 ） ， 放大得到式 （ 4 ） ， 综合得到关于 a 的不等式 3 归谬 在解决某些存在型探索性问题 （ 或反证法证 明命题） 时， 首先假设满足条件 （ 或假设结论不成 考虑某个量的性质， 从 2 个不同的角度， 也会 立） ， 得到 2 个不同的关系， 而这 2 个关系是互相矛盾 的， 从而说明不存在（ 或假设错误） ． 例6 已知函数 f（ x） = 1 2 x + （ a － 3 ） x + lnx． 2 3 ＞ 1． a
第2 期
： “算两次” 郑日锋 的思想方法
· 23·
立， ③是具有性质 P 的映射． 因此， 具有性质 P 的映射的序号为①， ③． 上述例题是在新定义下， 考查学生的逻 辑推理能力． 一般需要肯定一个结论就要通过演绎 点评 推理的方法证明其正确性， 在数学的推理中， 我们 大量使用的就是这种演绎推理； 而要否定一个结 论， 只要能举出一个反例就可． 演绎推理是推理证 明的主要途径， 而“三段论 ” 是演绎推理的一种重 要的推理形式， 在高考中以证明题出现的频率较 高． 5 精题集萃 1 ． 观察下列等式 1 = 1， 2 + 3 + 4 = 9， 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 ， 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 49 ， … ． 照此规律， 第 n 个等式为 2 ． 在平面几何里， 有勾股定理： 设 △ABC 的 2 2 2 2 AC 互相垂直， 条边 AB ， 则 AB + AC = BC ； 拓展到 空间， 类比平面几何的勾股定理， 研究三棱锥的侧 面面积与底面面积间的关系， 可以得出的正确结论 BCD 的 3 个侧面 ABC ， ACD， ADB 两 是： 设三棱锥 A． 两相互垂直， 则 3 ． 设等差数列 ｛ a n ｝ 的前 n 项和为 S n ， 则 S4 ， S8 － S4 ， S12 － S8 ， S16 － S12 成等差数列． 类比以上结 论有： 设 等 比 数 列 ｛ b n ｝ 的 前 n 项 积 为 T n ， 则 T4 ， T16 ， ， 成等比数列． T12 4 ． 设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合， 对
“算两次”的思想方法——解决数学问题的一把金钥匙
●郑 日锋
美 国数学教育家波利亚说“ 为了得 到一个方 程， 我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出 来” 即将一个量“ ， 算两次” 从而建立相等关系， ， 这
就是算两次原理 ， 又称富 比尼 （ ． ｕｉ ） Ｇ Ｆｂ ｉ原理． ｎ 单
要 的推理形 式， 在高考 中以证 明题 出现的频率较
高． ５ 精题 集 萃 １观察 下列等 式 ．
１ ＝１，
③对 ａ Ｖ 设厂 ａ ∈ ， （ ）＝一 ， 是平 面 上的 ａ 则厂
线 性 变换 ；
④设， 是平面 Ｍ上的线性变换 ， Ｖ 则对任 ａ ， Ｅ 意实数 ｋ 均有 ｋ ） ｋ ａ ． ａ ＝ｆ ） （
— —
①③④
１＋ ２
．
』４ 』８
，— — ，
成等 比数 列．
』 １ ２
Ｓ ｎ １ ＋ ｓ ｎ ｌ ｌ ￣２
４ 设 是已知平面 上所 有向量的集 合 ， ． 对
５ ・ —ｆ
＜ｉ ｓ ｎ
“ 算 两 次 ＂ 的 思 想 方 法
— —
解决数学 问题 的一把金钥匙
１ １ ３
通常的列方程其实就是一种“ 算两次”２ ． 个方 面考虑 的是同一个量 ， 因此结果相等 ， 这就产生了 方程（ 等式） 许多数学公式 的推导可以运用“ ． 算两 次” 思想 ， 如两角和的余弦公式的向量方法证明．
例 １ 如 图 １ ，在
Ｃ
Ｄ
ｌ
Ｂ
≤ １ 一了 ≤ 了 ，
Ａ ）＝ ｆ ａ ｂ ， 厂 为平 面 上 的 ｏ＋ ａ （ ）＋ ）则 称
辑推理能力． 一般需要肯定一个结论就要通过演绎 推理的方法证 明其正确性 ， 在数学 的推理 中， 我们 大量使用的就是这种 演绎推理 ； 而要 否定 一个结 论， 只要 能举 出一 个 反 例就 可． 绎 推 理是 推 理 证 演
“算两次”的思想方法及其在高中数学解题中的应用-2019年文档
“算两次”的思想方法及其在高中数学解题中的应用“算两次”是一种重要的数学方法，又称为富比尼（G。
Fubini）原理。
它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次，从而建立等量关系。
如立体几何中求距离常用的等体积法，就是利用三棱锥可换底的特点，两次计算体积建立等式求高（即距离）。
又如在解析几何中求某些动点轨迹，常根据动点满足的两个条件列出等式。
“算两次”常用于解各类数学竞赛题。
而在高中数学解题教学中“算两次”的方法虽有应用但不受重视，没有从思想的高度予以认识。
甚至解题教学中很少提到“算两次”的概念。
“算两次”的解题形式，单?教授将其比喻成“三步舞曲”，即从两个方面考虑一个适当量，“一方面……，另一方面……，综合起来可得……”。
如果两个方面都是精确的结果，综合起来得到一个等式；如果至少有一个方面采用了估计，那么综合起来得到一个不等式。
“算两次”不仅体现了从两个方面去计算的解题方法，还蕴涵着换一个角度看问题的转换思想。
向学生介绍“算两次”的解题应用，能有效地培养学生思维的发散性，使学生体会到数学知识的内在联系及统一性。
它应当成为学生进行再发现、再创造活动的探索方式。
本文介绍算两次原理在高中数学解题中的应用情况，以期引起大家的重视。
一、算两次与解析几何例1椭圆以正方形ABCD的对角顶点A、C为焦点，且经过各边的中点，求椭圆的离心率。
评注如何建立关于a、c的关系式从而求出e呢？在这里线段AM具有双重身份，可有两种表达形式，正是表达的多样性使得“算两次”有了用武之地。
在很多与图形有关的题目中只要细心寻找诸如AM这样的量，“算两次”就有了一展身手的机会。
二、算两次与向量评注本题解决的关键是从两个角度来考虑向量AP。
一个角度顺其自然（题目已知），一个角度曲径通幽（隐藏的结论）。
教学过程中教师有必要总结提炼出这里的数学方法――算两次，使学生对问题的解决能力得到进一步提升。
三、算两次与导数评注题中分别利用导数的几何意义和斜率的坐标公式得到切线的斜率k的两种算法，建立方程使问题得以解决。
基于教材,挖掘“算两次”的思想方法——解析算两次在三角函数应
基于教材，挖掘“算两次”的思想方法
———解析算两次在三角函数应用中的三策略
卢风平 何 威 （江苏省张家港外国语学校 ２１５６００）
１ 问题提出：让“算两次”方法接地气 数学离 不 开 解 题，解 题 过 程 中 若 能 找 到 解 决
取最小值．连结 犃犆 交犅犇 于犈，犆（２ｃｏｓ３０°，２＋
２ｓｉｎ３０°），即犆（槡３，３），直线犅犇 的方程为狓 ＋２狔
（Ａ）１ ２
（Ｂ）槡３
（Ｃ）槡２３
（Ｄ）槡３
４
＝４，直 线 犃犆 的 方 程 为 狓 ＋ ２狔 ＝６ ＋ 槡３，
解 如图１２所示，由２．２
（ ） 犉 ０，６＋２槡３
＝槡４３，选
Ｄ．
４ 结束语
在 坐 标 系 视 角 下 ，平 面 向 量 基 本 定 理 中 ，坐 标
（λ１，λ２）确定了点犘 的位置．通过研究关于λ１，λ２ 的 方 程 对 应 的 直 线 、不 等 式 对 应 的 平 面 区 域 ，利 用 几何直观，可获得当λ１ ＋λ２ 为 定 值 时 求 向 量犗犘→ 的模的取值范围、当λ１ ＋λ２ 为 变 量 时 求λ１ ＋λ２ 最 值 的 方 法 ，大 大 提 高 了 解 题 速 度 和 精 准 度 ．
首 先 ，我 们 来 看 必 修 ４ 中 诱 导 公 式 的 推 导 ．古 希腊数学家毕达哥拉斯认为平面图形中最完美的 对 称 图 形 是 圆 ，圆 形 充 分 展 现 了 数 学 的 简 洁 美 、对 称美，同 时 也 具 有 广 泛 的 应 用 价 值．如 图 １，推 导 过程的本质是从坐标与三角函数的定义两个角度 表示出点 犘，犃，犅，犆，从而建立等式关系，得到一 系列诱导公式．这是“算两次”在三 角函数中的 一 次 精 彩 的 应 用 ，选 取 的 “坐 标 ”与 “角 ”是 三 角 问 题 中常用的切入口．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
“算两次”的思想方法及其在高中数学解题中的应用
作者：陈祖灵
来源：《理科考试研究·高中》2013年第07期
“算两次”是一种重要的数学方法，又称为富比尼（G。
Fubini）原理。
它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次，从而建立等量关系。
如立体几何中求距离常用的等体积法，就是利用三棱锥可换底的特点，两次计算体积建立等式求高（即距离）。
又如在解析几何中求某些动点轨迹，常根据动点满足的两个条件列出等式。
“算两次”常用于解各类数学竞赛题。
而在高中数学解题教学中“算两次”的方法虽有应用但不受重视，没有从思想的高度予以认识。
甚至解题教学中很少提到“算两次”的概念。
“算两次”的解题形式，单墫教授将其比喻成“三步舞曲”，即从两个方面考虑一个适当量，“一方面……，另一方面……，综合起来可得……”。
如果两个方面都是精确的结果，综合起来得到一个等式；如果至少有一个方面采用了估计，那么综合起来得到一个不等式。
“算两次”不仅体现了从两个方面去计算的解题方法，还蕴涵着换一个角度看问题的转换思想。
向学生介绍“算两次”的解题应用，能有效地培养学生思维的发散性，使学生体会到数学知识的内在联系及统一性。
它应当成为学生进行再发现、再创造活动的探索方式。
本文介绍算两次原理在高中数学解题中的应用情况，以期引起大家的重视。
一、算两次与解析几何
例1 椭圆以正方形ABCD的对角顶点A、C为焦点，且经过各边的中点，求椭圆的离心率。
评注如何建立关于a、c的关系式从而求出e呢？在这里线段AM具有双重身份，可有两种表达形式，正是表达的多样性使得“算两次”有了用武之地。
在很多与图形有关的题目中只要细心寻找诸如AM这样的量，“算两次”就有了一展身手的机会。
二、算两次与向量
评注本题解决的关键是从两个角度来考虑向量AP。
一个角度顺其自然（题目已知），一个角度曲径通幽（隐藏的结论）。
教学过程中教师有必要总结提炼出这里的数学方法——算两次，使学生对问题的解决能力得到进一步提升。
三、算两次与导数
评注题中分别利用导数的几何意义和斜率的坐标公式得到切线的斜率k的两种算法，建立方程使问题得以解决。
数学中一些公式、定义有多种表达形式，正是这些公式、定义表达的多样性，使得公式、定义的应用具有很强的灵活性。
而“算两次”正是灵活运用、理解公式和定义的一种重要手法。
小议曲线的切线方程费小林 03，
曲线的切线方程是高考必考的一个重要的知识点。
但是，我在教学过程中发现学生求曲线的切线方程时，对曲线的切线的概念理解不透彻，产生漏解和错解的现象。
我们在初中平面几何中学过圆的切线，它的定义是：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切。
此时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。
圆是一种特殊的曲线。
它的切线的定义并不适用于一般的曲线。
而曲线的切线是通过逼近的方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线。
它适用于各种曲线。
这种定义才真正反映了切线的直观本质。
一般曲线的切线不象圆的切线，它可以与曲线有两个公共点。
而圆的切线与圆只有唯一的公共点。
如果对曲线的定义理解不够准确，解题时容易产生错解和漏解的现象。
为此我根据自己的教学心得谈谈曲线切线方程的求法。
一、求曲线上某点处的切线方程
例1 曲线y=2x2+1在点P（-1，3）处的切线方程是
点评求曲线上某一点处的切线方程时，先根据导数的几何意义求出切线斜率，再用点斜式写出直线方程即可。
二、求过曲线上某一点的切线方程
例2 求过点（1，-1）的曲线y=x3-2x的切线方程。
三、求过曲线外的一点的曲线的切线方程
例3 求过点P（3，5），且与曲线y=x2相切的直线方程。
四、算两次与证明定理
例4 在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C所对的边，证明：csinB=bsinC。
简证过点A作AD⊥BC，垂足为D，向量AB、AC在向量AD上的正射影数量，无论
∠C是锐角、钝角还是直角，得到的两个数量都是相等的。
评注对于一些等量关系不太明显的定理证明，“算两次”思想帮助我们找到了隐藏的等量关系，巧妙地、无中生有地建立了等式。
算两次可用来证明高中数学中的一些定理如正弦定理、余弦定理、两角和与差的正、余弦公式等。
五、算两次与数列
解题教学中教师要充分挖掘问题的内涵，整合知识，提炼思想方法。
只要我们能从思想方法的高度培养学生算两次的解题意识，就能提高学生分析问题、解决问题的能力。