2018届高考数学二轮14数列及数列的应用3专题卷(全国通用)

数列及数列的应用03
27.已知各项均为正数的等差数列{}n a 中，21249a a ∙=，则7a 的最小值为（ ） A.7 B. 8 C. 9 D. 10
28.在等差数列{}n a 中，0>n a ，且301021=+++a a a ，则65a a ⋅的最大值是 A ．3 B ．6 C ．9 D ．36 【答案】C
【解析】在等差数列中，121030a a a +++= ，得1105()30a a +=，即
110566a a a a +=+=，由56a a +≥，所以6≥，即569a a ≤，当且仅当56a a =时取等号，所以56a a 的最大值为9，选C.
29.已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于 A.16 B.8 C.22 D.4 【答案】D
【解析】由222112(2)n n n a a a n +-=+≥可知数列2{}n a 是等差数列，且以211a =为首
项，公差2221413d a a =-=-=，所以数列的通项公式为2
13(1)32n a n n =+-=-，所以2
6362=16a =⨯-，即64a =。

选D.
30.在圆x y x 522=+内，过点（
25，2
3
）有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项1a ，最大弦长为n a ，若公差为d∈[61，3
1
]，那么n 的取值集
合为
A. {4,5,6,7}
B. {4,5,6}
C. {3,4,5,6}
D. { 3.4.5,6,7} 【答案】A
【解析】圆的标准方程为22525()24x y -+=，所以圆心为5(,0)2，半径5
2
r =，则
最大的弦为直径，即5n a =，当圆心到弦的距离为32时，即点（25，2
3
）为垂足
时，弦长最小为4，即14a =，所以由1(1)n a a n d =+-得，1541
111
n a a d n n n --===
---，因为1163d ≤≤，所以111613
n ≤≤-，
即316n ≤-≤，所以47n ≤≤，即4,5,6,7n =，选A.
31.已知方程x 2﹣9x+2a =0和x 2﹣6x+2b =0分别存在两个不等实根，其中这四个根组成一个公比为2的等比数列，则a+b=（ ）
A .3 B. 4 C. 5 D . 6 【答案】D
【解析】设方程x 2﹣9x+2a =0的两根为x 1，x 4，方程x 2﹣6x+2b =0的两根为x 2，x 3，则x 1x 4=2a ，x 1+x 4=9，x 2x 3=2b ，x 2+x 3=6
∵四个根组成一个公比为2的等比数列，∴x 1=1，x 2=2，x 3=4，x 4=8， ∴2a =8，2b =8，∴a=b=3 ∴a+b=6 故选D ．
32.数列{n a } 中，
1(1)21n
n n a a n ++-=-，则数列{n a }前12项和等于（ ） A ．76 B ．78 C ． 80 D ．82
32.设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若11m m a a a +-<<-(m ∈N *,且2m ≥)，则必定有( )
A. 0m S >，且10m S +<
B. 0m S <，且10m S +>
C. 0m S >，且10m S +>
D. 0m S <，且10m S +<
【答案】C
【解析】由题意，得：11111
+0
0m m m m a a a a a a a ++>⎧-<<-⇔⎨+<⎩。

显然，易得102m m a a S m +=
⋅>，111(1)02
m m a a
S m +++=⋅+< 33.数列{}n a 满足111,n n a a r a r +==⋅+（*,n r ∈∈N R 且0r ≠），则“1r =”是“数列{}n a 成等差数列”的
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C.充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】
A
【解析】若1r =，则11n n a a +=+，即11n n a a +-=，所以数列{}n a 成等差数列。

若数
列
{}
n a 成等差数列，设公差为d ，则
111()()n n n n n n a a r a r r a r r a a +---=⋅+-⋅+=-，即d dr =，若0d ≠，则1r =，若0d =，则111n n a a a +=== ，即12r r r =+=，此时1
2
r =。

所以1r =是数列{}n a 成等差数列的充分不必要条件，选A.
34.无穷数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5, 的首项是1，随后两项都是2，接下来3项
都是3，再接下来4项都是4，…，以此类推.记该数列为{}n a ，若120n a -=，
21n a =，则n = ．
【答案】211
【解析】将1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5, 分组成{}{}{}{}{}1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,, 。

第1组有1个数，第2组有2个数，以此类推... 显然120n a -=在第20组，21n a =在第21组。

易知，前20组共
(120)
202102
+⋅=个数. 所以，211n =。

35.下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是___________. 【答案】
(1)
2
n n + 【解析】12341,3,6,10a a a a ====，所以2132432,3,4a a a a a a -=-=-=，
1n n a a n --=，等式两边同时累加得123n a a n -=+++ ，即
(1)122n n n a n +=+++=
，所以第n 个图形中小正方形的个数是(1)
2
n n +
36.设等差数列{}n a 满足：222222333636
45sin cos cos cos sin sin 1sin()
a a a a a a a a -+-=+，公差
(1,0)d ∈-. 若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是( )
A. 74,6
3ππ⎛⎫
⎪⎝⎭ B. 43,3
2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭ C. 74,6
3ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ D. 43,3
2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ 【答案】B 【解析】先化简：
22222233633645223636453636453636(sin sin sin )(cos cos cos )=1
sin()
(sin cos )(cos sin )=1
sin()sin()sin()
=
1
sin()
sin()136
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a d a a d π
---=+-=++-=+⇒-=⎫⇒=-⎬
-=-⎭
又当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，即：
91910110180430,090
32a a d a a a a a d ππ=+>⎧><⇔⇒<<
⎨=+<⎩
37.数列{}n a 满足12,a =且对任意的*
,N m n ∈，都有n m
n
m a a a +=，则3_____;a ={}n a 的
前n 项和n S =_____.。