第七章 应力状态与强度理论

P107例8-6 例
P109例8-8 例 y
σ"
D
σ'
p p l
p x
p A O B
σ'
p D x
1、纵向应力
∑X =0 ′(πD δ ) = p × πD 2 4 σ
pD σ′ = 4δ
σ'
y
2、环向应力：
∑Y = 0
z O
σ"
p D
σ"
σ ′′(l × 2δ ) = p × Dl
σ1
内表面
[σ ]＝
σb
最大切应力理论（第三强度理论） 最大切应力理论（第三强度理论） ： 认为材料的屈服主要是由最大切应力引起的。不论材料处 于何种应力状态，只要最大切应力达到材料单向拉伸屈服时的 极限切应力，材料即发生屈服破坏。
τ max σ 3
2
，
τ max =
σs
2
G
1 σ x − µ (σ y +σ z ) E 1 ε y = σ y − µ (σ z +σ x ) E 1 ε z = σ z − µ (σ x +σ y ) E
ε x=
[
]
] ]
上式称为广义胡克定律
主应力 --- 主应变关系
1 [σ 1 − µ (σ 2 +σ 3 )] E 1 ε 2 = [σ 2 − µ (σ 3 +σ 1 )] E
四种强度理论强度条件的统一形式
σ xd ≤ [σ ]
{σ b ,σ 0.2 ,σ s } [σ ] =
n
四种强度理论的相当应力： 四种强度理论的相当应力： 相当应力

σ xd1 = σ 1
σ xd2 = σ 1 − µ (σ 2 + σ 3 )
σ xd3 = σ 1 − σ 3
1、屈服条件： σ 1 − σ 3 = σ s 2、强度条件： σ 1 − σ 3 ≤ [σ ]
[σ ] =
σs
n
3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。
形状改变比能理论（第四强度理论） 形状改变比能理论（第四强度理论） ： 认为材料的屈服主要是由畸变 畸变能引起的。不论材料处于何 畸变 种应力状态，只要畸变能密度达到材料单向拉伸屈服时的畸变 能密度，材料即发生屈服破坏。
[σ ]＝
σb
n
3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。例如，脆材 二向、三向受拉；拉压应力状态下，最大压应力值小于最大拉应 力值或超过不多。
最大拉应变理论（第二强度理论）： 最大拉应变理论（第二强度理论） 认为材料的断裂主要是由最大拉应变引起的。不论材料处于 何种应力状态，只要最大拉应变达到材料单向拉伸断裂时的极限 应变，材料即发生断裂破坏。
0
求图示单元体的主应力及主平面， 例 求图示单元体的主应力及主平面，在单元体上画出主 平面和主应力。 平面和主应力。 解： σ x = 40MPa, σ y = 60 MPa, τ x = −20MPa
2 σ max 40 + 60 40 − 60 2 = ± + (−20) σ min 2 2
− 2τ x − 2τ tan 2α 0 = = = −∞ σ x −σ y 0 ∴ 2α 0 = −90 o , α 0 = −45o
铸铁圆轴扭转破坏现象分析
Me Me
σ1
y
σ3
x
τ
450
二、平面应力分析的图解法
σy σx
y O x
τx
σ x +σ y σ x −σ y σ α = 2 + 2 cos 2α − τ x sin 2α τ = σ x − σ y sin 2α + τ cos 2α x α 2
§8–3 三向应力圆及最大切应力 1、三向应力圆
τ
σ2 σ1 σ3
σ
σ3
σ2
σ1
τ
y
τ max
D
σ2 σ1 σ3
x
σ
σ3
σ2
σ1
z
图a 图b
弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应 力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。 整个单元体内的最大切应力为：
τ max=
σ1−σ3
2
§8–4 广义胡克定律 广义胡 一、单向拉伸应力状态下，应力--应变关系（胡克定律） 单向拉伸应力状态下，应力--应变关系（胡克定律） --应变关系 y
例分析圆轴扭转时的应力状态。
τy
C M y x C
解： 确定危险点并画其原 始单元体
τx
σ x =σ y = 0
τ
x
T = τ = W p
求极值应力
τ
σ x −σ y 2 2 σ max σ x + σ y = ±（ ）+τ x 2 2 σ min
=± τ
2 x
= ±τ
σ 1 =τ ;σ 2 = 0 ;σ 3 = − τ
pD σ ′′ = 2δ
σ 1 = σ ′′ =
pD 2δ
σ2
外表面
pD σ2 =σ′= 4δ
pD pD σ1 = ,σ 2 = ,σ 3 = 0 2δ 4δ 4 × 10 6 × 1 . 5 pD σ xd 3 = σ 1 − σ 3 = = 100 MPa < [σ ] = 2δ 2 × 0 . 030
σ
x
—
y
直角坐标系中， τ 直角坐标系中，应力圆具有
σ
+σ 2
,0 )
2
—圆心必在 σ 坐标轴上 圆心必在
σ x −σ y 2
2 +τ x
（3）应力圆圆周上任一点的纵、横坐标，分别代表 ）应力圆圆周上任一点的纵、横坐标， 切应力， 单元体中某一相应斜截面上的 正应力和 切应力，因此应 力圆圆周上所有各点的坐标就表达了一点的应力状态。 力圆圆周上所有各点的坐标就表达了一点的应力状态。
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
sin 2α 0 + τ x cos 2α 0 ] = 0
π 2τ x α0 ， α 0 ± tan 2 α 0 = − σ x −σ y 2 由上式求出相差 90 o的两个角度，从而确定两个互相垂直的平面， 分别作用着最大、最小正应力。
τ α =0 ∴极值正应力就是主应力 ！
2 + 2
cos 2α − τ x sin 2α
τx
σα σx
α
同理：
n
τα =
∑ Ft = 0
σ x −σ y
2 sin 2α + τ x cos 2α
σy
τx t
α τα
2.主应力、 2.主应力、主平面 主应力
σα =
dσ α 令: dα
α =α 0
σ x +σ y
= − 2[
2 σ x −σ y
最大拉应力理论（第一强度理论） 最大拉应力理论（第一强度理论） 认为材料的断裂主要是由最大拉应力引起的。不论材料处于 何种应力状态，只要最大拉应力达到材料单向拉伸断裂时的极限 应力，材料即发生断裂破坏。 1、断裂条件： σ 1 = σ b ; (σ 1 > 0) 2、强度条件： 1 ≤ [σ ] ; (σ 1 > 0) σ
τ
τ max τ min
0
σ min
A(σx ,τx) C B(σy ,τy)
y
2α 0 F D
σ
σ x +σ
2
σ x −σ
2
y
σ max
最大切应力
τmax σx −σy 2 2 σ max − σ min =± （ ）+τ x = ± τmin 2 2
最大、最小切应力作用面与主平面的夹角为450。
2 2 2 1、屈服条件： 1 (σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) = σ s 2
[
]
2、强度条件： 1 (σ − σ )2 + (σ − σ )2 + (σ − σ )2 ≤ [σ 1 2 2 3 3 1
[ 2
]
]
3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。对大多数塑性金 属材料来说，畸变能理论比最大切应力理论更符合试验结果。
σb 1 ε1u = ε 1 = [σ 1 − µ (σ 2 + σ 3 )] ， E E 1、断裂条件：σ 1 − µ (σ 2 + σ 3 ) = σ b
2、强度条件： σ 1 − µ (σ 2 + σ 3 ) ≤ [σ ]
ε 1 = ε 1u ; (ε 1 > 0)
n 3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。例如，某 些脆材在二向拉－压应力状态下，且压应力值大于拉应力值 时。砖、石、水泥预制件压缩时。
2
2 +τ x
2
皆为已知量， 上式中 σ x , σ y ,τ x 皆为已知量，故此方程是以 σ α 和 τ α 为变量的圆周方程，这一圆称为应力圆（或莫尔圆），由 为变量的圆周方程，这一圆称为应力圆（或莫尔圆），由 ）， 德国工程师Otto Mohr提出。 提出。 德国工程师 提出 由公式可见， 由公式可见，在 以下特征： 以下特征： （1）圆心坐标为 ( （2）半径为
ε1=
1 ε 3 = [σ 3 − µ (σ 2 +σ 1 )] E
γ xy = 0 , γ yz = 0 , γ zx = 0
P104 例8-5
§8–5 强度理论 一、引子： 引子： 1、简单应力状态是根据试验现象和试验结果建立强度条件。