2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题40抛物线(题型专练)含解析
2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题16函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用(题型专练)含解析
1．为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sinx的图象上所有的点()A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度【解析】由图象平移的规律“左加右减”，可知选A。
【答案】A2．若将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是()A.π8B.π4C.3π8D.3π4【答案】C3．为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图象，可以将函数y＝2cos3x的图象()A．向右平移π12个单位B．向右平移π4个单位C．向左平移π12个单位D．向左平移π4个单位【解析】因为y＝sin3x＋cos3x＝2cos3x－π4，所以将y＝2cos3x的图象向右平移π12个单位后可得到y＝2cos3x－π4的图象。
【答案】A4．将函数y＝3sin2x＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数()A．在区间π12，7π12上单调递减B．在区间π12，7π12上单调递增C．在区间－π6，π3上单调递减D ．在区间－π6，π3上单调递增【解析】由题可得平移后的函数为y ＝3sin 2x －π2＋π3＝3sin 2x －2π3，令2k π－π2≤２x －2π3≤２k π＋π2，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，故该函数在k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z)上单调递增，当k ＝0时，选项B满足条件，故选B 。
【答案】B5．将函数y ＝sin2x ＋cos2x 的图象向左平移π4个单位长度，所得图象对应的函数解析式可以是()A ．y ＝cos2x ＋s in2xB ．y ＝cos2x －sin2xC ．y ＝sin2x －cos2xD ．y ＝sin xcosx【答案】B6．函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin2x的图象，则只需将f(x)的图象()A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π3个长度单位C ．向右平移π6个长度单位D ．向左平移π3个长度单位【解析】由函数f(x)＝Asin(ωｘ＋φ)的图象可得A ＝1，根据T 4＝14·2πω＝7π12－π3，求得ω＝2，再根据五点法作图可得2×π3＋φ＝π，求得φ＝π3，∴f(x)＝sin 2x ＋π3＝sin2x ＋π6，故把f(x)的图象向右平移π6个长度单位，可得g(x)＝sin2x 的图象。
2019高中数学高考真题分类：考点42-抛物线
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考点42 抛物线一、选择题1. （2018·四川高考文科·Ｔ5）抛物线28y x =的焦点到直线0x =的距离是（ ）A. 2C. 1【解题指南】本题考查的是抛物线的基本几何性质,在求解时首先求得抛物线的焦点坐标,然后利用点到直线的距离公式进行求解即可.【解析】选D ，抛物线28y x =的焦点(2,0)到直线0x =的距离，根据点到直线的距离公式可得2012d -==，故选D. 2.（2018·北京高考理科·Ｔ7）直线l 过抛物线C:x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）A.43 B.2 C.83 D.3【解题指南】把所求面积转化为一个矩形面积减去一个积分值。
【解析】选C 。
l 的方程是1y =，所以求面积相当于一个矩形面积减去一个积分值：23220084242(|)4123x x S dx =-=-=⎰. 3.（2018·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ10）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点。
若||3||AF BF =，则l 的方程为（ ）A.1y x =-或1y x =-+B.1)y x =-或1)y x =-C.1)y x =-或1)y x =-D.(1)2y x =-或1)2y x =-- 【解题指南】设出A 、B 点的坐标，利用抛物线的定义表示出,AF BF ，再利用||3||AF BF =，确立l 的方程.【解析】选C. 抛物线y 2=4x 的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则因为|AF|=3|BF|，所以x 1+1=3（x 2+1），所以x 1=3x 2+2，因为|y 1|=3|y 2|，x 1=9x 2，所以x 1=3，x 2=13，当x 1=3时，2112y =，所以此时1y ==±若1y =则1(3,(,33A B -,此时AB k =此时直线方程为1)y x =-。
历年高三数学高考考点之抛物线必会题型及答案
历年高三数学高考考点之<抛物线>必会题型及答案体验高考1.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，4)C.(2，3) D.(2，4) 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，当直线l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条；当直线l 的斜率k 存在时，如图x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0·k ＝2， 由CM ⊥AB 得，k ·y 0－0x 0－5＝－1，y 0·k ＝5－x 0， 2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上， 将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12， ∴－23＜y 0＜23， ∵点M 在圆上，∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16， 又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4.故选D.2.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 答案 A解析 由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1，0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1. 3.(2016·四川)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.33B.23C.22D.1 答案 C 解析 如图，由题意可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0，显然，当y 0<0时，k OM <0；y 0>0时，k OM >0，要求k OM 的最大值，不妨设y 0>0.则OM →＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 26p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 20＝2p 2时等号成立.故选C.4.(2016·课标全国乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2B.4C.6D.8 答案 B解析 不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0，22)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5， 点A (x 0，22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0， ① 点A (x 0，22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2， ②点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5＝r 2， ③联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B.5.(2015·上海)抛物线y 2＝2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝______. 答案 2解析 根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点Q 运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离最小，所以有|PQ |min ＝p2＝1⇒p ＝2.高考必会题型题型一 抛物线的定义及其应用例1 已知P 为抛物线y 2＝6x 上一点，点P 到直线l ：3x －4y ＋26＝0的距离为d 1.(1)求d 1的最小值，并求此时点P 的坐标；(2)若点P 到抛物线的准线的距离为d 2，求d 1＋d 2的最小值. 解 (1)设P (y 206，y 0)，则d 1＝|12y 20－4y 0＋26|5＝110|(y 0－4)2＋36|，当y 0＝4时，(d 1)min ＝185，此时x 0＝y 206＝83，∴当P 点坐标为(83，4)时，(d 1)min ＝185.(2)设抛物线的焦点为F ， 则F (32，0)，且d 2＝|PF |，∴d 1＋d 2＝d 1＋|PF |，它的最小值为点F 到直线l 的距离|92＋26|5＝6110，∴(d 1＋d 2)min ＝6110.点评 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.变式训练1 (1)(2016·浙江)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则点M 到y 轴的距离是________.(2)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到Q (2，1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ) A.(14，1) B.(14，－1)C.(1，2) D.(1，－2) 答案 (1)9 (2)B解析 (1)抛物线y 2＝4x 的焦点F (1，0).准线为x ＝－1，由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线x ＝－1的距离也为10，故M 的横坐标满足x M ＋1＝10，解得x M ＝9，所以点M 到y 轴的距离为9.(2)抛物线y 2＝4x 焦点为F (1，0)，准线为x ＝－1， 作PQ 垂直于准线，垂足为M ，根据抛物线定义，|PQ |＋|PF |＝|PQ |＋|PM |，根据三角形两边之和大于第三边，直角三角形斜边大于直角边知：|PQ |＋|PM |的最小值是点Q 到抛物线准线x ＝－1的距离. 所以点P 纵坐标为－1，则横坐标为14，即(14，－1).题型二 抛物线的标准方程及几何性质例2 (2015·福建)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切.方法一 (1)解 由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上， 所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22). 由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1).由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1，0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223.所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 方法二 (1)解 同方法一.(2)证明 设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22). 由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1，0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0. 从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0.所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.点评 (1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p 的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.变式训练2 已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，其图象关于y 轴对称且经过点M (2，1). (1)求抛物线C 的方程；(2)若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求该等边三角形的面积；(3)过点M 作抛物线C 的两条弦MA ，MB ，设MA ，MB 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，当k 1＋k 2＝－2时，试证明直线AB 的斜率为定值，并求出该定值. 解 (1)设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)， 由点M (2，1)在抛物线C 上，得4＝2p ， 则p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设该等边三角形OPQ 的顶点P ，Q 在抛物线上， 且P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )， 则x 2P ＝4y P ，x 2Q ＝4y Q ，由|OP |＝|OQ |，得x 2P ＋y 2P ＝x 2Q ＋y 2Q ， 即(y P －y Q )(y P ＋y Q ＋4)＝0.又y P >0，y Q >0，则y P ＝y Q ，|x P |＝|x Q |， 即线段PQ 关于y 轴对称. ∴∠POy ＝30°，y P ＝3x P ， 代入x 2P ＝4y P ，得x P ＝43，∴该等边三角形边长为83，S △POQ ＝48 3. (3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，∴k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝14x 21－1x 1－2＋14x 22－1x 2－2＝14(x 1＋2＋x 2＋2)＝－2.∴x 1＋x 2＝－12，∴k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝14x 22－14x 21x 2－x 1＝14(x 1＋x 2)＝－3.题型三 直线和抛物线的位置关系例3 已知圆C 1的方程为x 2＋(y －2)2＝1，定直线l 的方程为y ＝－1.动圆C 与圆C 1外切，且与直线l 相切.(1)求动圆圆心C 的轨迹M 的方程；(2)直线l ′与轨迹M 相切于第一象限的点P ，过点P 作直线l ′的垂线恰好经过点A (0，6)，并交轨迹M 于异于点P 的点Q ，记S 为△POQ (O 为坐标原点)的面积，求S 的值. 解 (1)设动圆圆心C 的坐标为(x ，y )，动圆半径为R ， 则|CC 1|＝x 2＋(y －2)2＝R ＋1，且|y ＋1|＝R ， 可得x 2＋(y －2)2＝|y ＋1|＋1.由于圆C 1在直线l 的上方，所以动圆C 的圆心C 应该在直线l 的上方， ∴有y ＋1>0，x 2＋(y －2)2＝y ＋2，整理得x 2＝8y ，即为动圆圆心C 的轨迹M 的方程.(2)设点P 的坐标为(x 0，x 208)，则y ＝x 28，y ′＝14x ，k l ′＝x 04，k PQ ＝－4x 0，∴直线PQ 的方程为y ＝－4x 0x ＋6.又k PQ ＝x 208－6x 0，∴x 208－6x 0＝－4x 0，x 20＝16，∵点P 在第一象限，∴x 0＝4，点P 的坐标为(4，2)，直线PQ 的方程为y ＝－x ＋6.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋6，x 2＝8y ，得x 2＋8x －48＝0，解得x ＝－12或4，∴点Q 的坐标为(－12，18). ∴S ＝12|OA |·|x P －x Q |＝48.点评 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.变式训练3 (2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由. 解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )， 或M (－2a ，a )，N (2a ，a ).又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a(x －2a )， 即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a. 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意.高考题型精练1.如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线l ′于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A.y 2＝9x B.y 2＝6x C.y 2＝3x D.y 2＝3x 答案 C解析 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得： |BC |＝2a ，由定义得：|BD |＝a ， 故∠BCD ＝30°. 在直角三角形ACE 中，∵|AF |＝3，∴|AE |＝3，|AC |＝3＋3a ， ∴2|AE |＝|AC |，∴3＋3a ＝6， 从而得a ＝1，∵BD ∥FG ， ∴1p ＝23，求得p ＝32， 因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.2.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 、Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( ) A.2±3B.2＋3C.3±1D.3－1 答案 A解析 依题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2(y 1≠y 2).由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y 212p ＋p 2＝y 222p ＋p 2，∴y 21＝y 22，∴y 1＝－y 2.又|PQ |＝2，因此|y 1|＝|y 2|＝1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，y 1.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF |＝12p ＋p2＝2，由此解得p ＝2±3，故选A.3.设F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值是( ) A.6B.8C.9D.12 答案 D解析 由抛物线方程，得F (2，0)，准线方程为x ＝－2. 设A ，B ，C 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，则由抛物线的定义，知|FA |＋|FB |＋|FC |＝x 1＋2＋x 2＋2＋x 3＋2＝x 1＋x 2＋x 3＋6. 因为FA →＋FB →＋FC →＝0，所以(x 1－2＋x 2－2＋x 3－2，y 1＋y 2＋y 3)＝(0，0)， 则x 1－2＋x 2－2＋x 3－2＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝6， 所以|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝|FA |＋|FB |＋|FC | ＝x 1＋x 2＋x 3＋6＝12，故选D.4.已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，点M (－2，2)，过点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若∠AMB ＝90°，则k 等于( )A.2B.22C.12D.2 答案 D解析 抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2，0)，由题意可知直线AB 的斜率一定存在，所以设直线方程为y ＝k (x －2)，代入抛物线方程可得 k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1·x 2＝4， 所以y 1＋y 2＝8k，y 1·y 2＝－16， 因为∠AMB ＝90°，所以MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝16k 2－16k＋4＝0， 解得k ＝2，故选D.5.已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A.12B.23C.34D.43答案 D解析 抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p 2，而点A (－2，3)在准线上，所以－p2＝－2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2，0).设切线方程为y －3＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 8y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)，①由于Δ＝1－4×k 8(2k ＋3)＝0，所以k ＝－2或k ＝12. 因为切点在第一象限，所以k ＝12. 将k ＝12代入①中，得y ＝8，再代入y 2＝8x 中得x ＝8， 所以点B 的坐标为(8，8)，所以直线BF 的斜率为86＝43. 6.已知A (x 1，y 1)是抛物线y 2＝8x 的一个动点，B (x 2，y 2)是圆(x －2)2＋y 2＝16上的一个动点，定点N (2，0)，若AB ∥x 轴，且x 1<x 2，则△NAB 的周长l 的取值范围是( )A.(6，10)B.(10，12)C.(8，12)D.(8，10)解析 抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F (2，0)，由抛物线定义可得|AF |＝x 1＋2，圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为(2，0)，半径为4，又定点N (2，0)，∴△NAB 的周长即为△FAB 的周长＝|AF |＋|AB |＋|BF |＝x 1＋2＋(x 2－x 1)＋4＝6＋x 2， 由抛物线y 2＝8x 及B (x 2，y 2)在圆(x －2)2＋y 2＝16上，∴x 2∈(2，6)，∴6＋x 2∈(8，12)，故选C.7.如图，从点M (x 0，4)发出的光线，沿平行于抛物线y 2＝8x 的对称轴方向射向此抛物线上的点P ，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q ，再经抛物线反射后射向直线l ：x －y －10＝0上的点N ，经直线反射后又回到点M ，则x 0＝________.答案 6解析 由题意得P (2，4)，F (2，0)⇒Q (2，－4)，因此N (6，－4)，因为QN ∥PM ，所以MN ⊥QN ，即x 0＝6.8.已知直线l 过点(0，2)，且与抛物线y 2＝4x 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则1y 1＋1y 2＝_____.答案 12解析 由题意可得直线的斜率存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入抛物线y 2＝4x 可得y 2－4k y ＋8k＝0， ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝8k ，∴1y 1＋1y 2＝y 1＋y 2y 1y 2＝12. 9.已知抛物线y 2＝4x 与经过该抛物线焦点的直线l 在第一象限的交点为A ，A 在y 轴和准线上的投影分别为点B ，C ，|AB ||BC |＝2，则直线l 的斜率为________.解析 设A (x 0，y 0)，则|AB |＝x 0，|BC |＝1，由|AB ||BC |＝x 01＝2，得x 0＝2，y 0＝4×2＝22， 又焦点F (1，0)，所以直线l 的斜率为k ＝222－1＝2 2. 10.已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________.答案 0或－8解析 因为点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以MN 的垂直平分线为y ＝x ＋m ，所以直线MN 的斜率为－1.设线段MN 的中点为P (x 0，x 0＋m )，直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，则x 0＋m ＝－x 0＋b ，所以b ＝2x 0＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋b ，x 2－y 23＝1得2x 2＋2bx －b 2－3＝0， 所以x M ＋x N ＝－b ，所以x 0＝－b 2，所以b ＝m2， 所以P (－m 4，34m ). 因为MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，所以916m 2＝－92m ，解得m ＝0或m ＝－8. 11.(2016·课标全国丙)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. (1)证明 由题意知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)解 设过AB 的直线为l ，l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)，设满足条件的AB 的中点为E (x ，y ).当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1).而a ＋b 2＝y ， 所以y 2＝x －1(x ≠1).当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1，0)满足y 2＝x －1.所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.12.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p 2，0). 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p 2，代入y 2＝2px ， 得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2. 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24. (2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24. 因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ， 代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p (定值). (3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |.所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.。
2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题10导数的概念及运算(题型专练)含解析
1．已知函数y ＝x ln x ，则这个函数在点x ＝1处的切线方程是( )A ．y ＝2x －2B ．y ＝2x ＋2C ．y ＝x －1D ．y ＝x ＋1 【解析】∵y ′＝ln x ＋1，∴x ＝1时，y ′|x ＝1＝1， ∵x ＝1时，y ＝0，∴切线方程为y ＝x －1. 【答案】C2．函数f (x )＝e xcos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( ) A.π4B ．0C.3π4D ．1 【解析】由f ′(x )＝e x(cos x －sin x )，则在点(0，f (0))处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝1，故倾斜角为π4，选A.【答案】A3．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0【答案】B4．若曲线f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为( ) A ．(－1,2) B ．(1，－3) C ．(1,0) D ．(1,5)【解析】设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝4x 3－1，所以f ′(x 0)＝4x 30－1＝3，即x 0＝1.把x 0＝1代入函数f (x )＝x 4－x 得y 0＝0，所以点P 的坐标为(1,0)．【答案】C5．若点P 是函数y ＝e x －e －x－3x (－12≤x ≤12)图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )A.5π6B.3π4 C.π4 D.π6【解析】由导数的几何意义，k ＝y ′＝e x＋e －x－3≥2e x ·e －x－3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立．即tan α≥－1，α∈[0，π)．又∵tan α<0，所以α的最小值为3π4，故选B.【答案】B6．已知函数f (x )＝－13x 3＋2x 2＋2x ，若存在满足0≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[6，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[5,6]【解析】f ′(x )＝－x 2＋4x ＋2＝－(x －2)2＋6，因为x 0∈[0,3]，所以f ′(x 0)∈[2,6]，又因为切线与直线x ＋my －10＝0垂直，所以切线的斜率为m ，所以m 的取值范围是[2,6]．【答案】C7．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( )A ．－12B.12C ．－22 D.22【答案】B8．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4【解析】由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.【答案】B9．若P 为曲线y ＝ln x 上一动点，Q 为直线y ＝x ＋1上一动点，则|PQ |min ＝( ) A ．0 B.22C. 2 D ．2【答案】C10．过点(1，－1)且与曲线y ＝x 3－2x 相切的切线方程为( ) A ． x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0 B ．x －y －2＝0 C ．x －y ＋2＝0D ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0【解析】令f (x )＝x 3－2x ，当(1，－1)为切点时，切线的斜率为f ′(1)＝1，所以切线方程为y ＝x －2. 当(1，－1)不是切点时，设切点为(x 0，x 30－2x 0)，可得切线方程为y －x 30＋2x 0＝(3x 20－2)(x －x 0)，又该切线过点(1，－1)，可得x 0＝－12，故切线方程为5x ＋4y ＝1.【答案】A11．函数f (x )＝e xcos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( ) A.π4B ．0 C.3π4D ．1【解析】f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ，所以f ′(0)＝e 0cos0－e 0sin0＝1，所以倾斜角为π4。
2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题44二项式定理(题型专练)含解析
1．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 【答案】C【解析】只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可，而含x 2项的系数为C 26＝15，故选C 。
2.⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20【答案】A3．若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2 B.54 C ．1 D.24【答案】C【解析】T k ＋1＝C k 7(2x )7－k ⎝⎛⎭⎫a x k ＝C k 727－k a k x 7－2k ，令7－2k ＝－3，得k ＝5，即T 5＋1＝C 5722a 5x －3＝84x －3，解得a ＝1，选C 。
4．若n ∈N *且n 为奇数，则6n ＋C 1n 6n －1＋C 2n 6n －2＋…＋C n －1n6－1被8除所得的余数是( ) A ．0 B ．2 C ．5 D ．3 【答案】C【解析】∵6n ＋C 1n 6n －1＋C 2n 6n －2＋…＋C n －1n 6－1＝7n －2＝(8－1)n －2＝8n －C 1n 8n －1＋…＋C n －1n 8－3，∴余数为5。
5．若(1－2x )2009＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2009x 2009(x ∈R)， 则a 12＋a 222＋…＋a 200922009的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－2 【答案】C6．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( ) A ．45 B ．60 C ．120 D ．210 【答案】C【解析】由题意知f (3,0)＝C 36C 04，f (2,1)＝C 26C 14，f (1,2)＝C 16C 24，f (0,3)＝C 06C 34，因此f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝120，选C 。
2019年江苏高考总复习-附加题40分专题系列-专题04- 抛物线与轨迹方程
专题10--抛物线与轨迹方程一、基础练习二、知识梳理1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线．曲线既可以看成符合某种条件的点的集合，又可以看成满足某种条件的动点运动的轨迹，因此，此类问题有时也叫做轨迹问题．2．求曲线的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用表示曲线上的任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合：；（3）用坐标表示条件，列出方程f（x，y）＝0；（4）化方程f（x，y）＝0的最简形式；（5）证明化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以忽略不写，如有特殊情况，可以适当地加以说明．3．求轨迹方程的常用方法（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F（x，y）＝0；（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程———先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；（4）相关点法：动点P（x，y）随另一动点Q（x0，y0）的变化而变化，并且Q（x0，y0）又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将点Q（x0，y0）代入已知曲线得要求的轨迹方程；（5）参数法：当动点P（x，y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．三、例题精讲类型一直接法求轨迹方程直接法求动点的轨迹方程的一般步骤（1）建系———建立适当的坐标系；（2）设点———设轨迹上的任一点P（x，y）；（3）列式———列出动点P所满足的关系式；（4）代换———选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简；1．平面上有三个点A （-2，y ），B （0，2y），C （x ，y ），若BC AB ⊥，则动点C 的轨迹方程是 ．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F （1，0），点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上运动，点N 为坐标平面内的动点，且满足0.=PF PM ，0=+PN PM（1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）设Q 是直线l ：x =-1上任意一点，过点Q 作轨迹C 的两条切线QS ，QT ，切点分别为S ，T ，设QS ，QT 的斜率分别为k 1，k 2，直线QF 的斜率为k 0，求证k 1+k 2=2k 03．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （－1，1），P 是动点，且△POA 的三边所在直线的斜率满足PA OA OP k k k =+． （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）与Q 是轨迹C 上异于点P 的一点，且OA PQ λ=，直线OP 与QA 交于点M ，请问：是否存在点P ，使得△PQA 和△P AM 的面积满足S △PQA ＝2S △P AM ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．定义法是利用圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，直接写出所求的动点的轨迹方程，求解时要根据题设中的条件，或利用平面几何知识等去分析，找到解题思路．利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．1．若△ABC 的顶点A （－5，0）、B （5，0），△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是 ．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：12322=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l 1过点F 1且垂直于椭圆的长轴，动直线l 2垂直于直线l 1，垂足为点P ，线段PF 2的垂直平分线与直线l 2的交点M 的轨迹为曲线C 2． （1）求曲线C 2的方程；（2）已知点Q 是曲线C 2上的一点，点F 是曲线C 2的焦点，以QF 为直径的圆与y 轴交于点A （0，2），求点Q 的坐标．类型三 相关点法求轨迹方程相关点法求轨迹方程的基本步骤如下：（1）设点：设被动点坐标为（x ，y ），主动点坐标为（x 1，y 1）； （2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎨⎧==),(),(11y x g y y x f x（3）代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．1．设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |（m ＞0，且m ≠1）．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（2）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H ．是否存在m ，使得对任意的k ＞0，都有PQ △PH ？ 若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．1、【苏州市2018届高三第一学期期末调研.23题】在平面直角坐标系xOy 中，已知两点M (1，－3)，N (5，1)．若点C 的坐标满足OC →＝tOM →＋(1－t )ON →(t ∈R )，且点C 的轨迹与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点． （1）求证：OA ⊥OB ；（2）在x 轴上是否存在一点P (m ，0)，使得过点P 任作一条抛物线的弦，并以该弦为直径的圆都过原点？若存在，求出m 的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．四、巩固训练1．【苏州市2017届高三9月调研.23题】已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，点(1,2)R 在抛物线C 上． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点Q （1,1）作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A ，B ．若直线AR ,BR 分别交直线:22l y x =+于M ,N 两点，求线段MN 最小时直线AB 的方程．2．【扬州、淮安、南通等七市2017-2018学年度高三第三次调研.23题】在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，直线l 过点F 与抛物线相交于A B ，两点（点A 在第一象限）．（1）若直线l 的方程为4233y x =-，求直线OA 的斜率；（2）已知点C 在直线x p =-上，△ABC 是边长为23p +的正三角形，求抛物线的方程．3．【南通市、泰州市2017届高三一模.23题】在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(1)M m ，到焦点F 的距离为2． （1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直 线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求△EAB 面积的最小值．y = f (x )yOxF AB PE4．【苏北四市2018届高三第一次调研.23题】 在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线2:4C y x 于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）若直线1l 与曲线E 相切于点(,)Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ．当线段AB 的长度最小时，求s 的值．5．【2011湖北高考21题】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN =ON =1，MN=3．当栓子D 在滑槽AB 内做往复运动时，N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求曲线C 的方程；（2）设动直线l 与两定直线l 1：x -2y=0和l 2：x +2y =0分别交于P ，Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．图1 图26．【2017如东、前黄、栟茶、马塘四校联考.22】在平面直角坐标系xOy 中，已知定点A(0,-8)， M 、N 分别是x 轴、y 轴上的点，点P 在直线MN上，满足0=+NP NM ，0.=MN AM ． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）设F 是P 点轨迹的焦点，C ，D 为P 点轨迹在第一象限内的任意两点，直线FC 、FD 的斜率分别为k 1、k 2，且满足k 1+k 2=0，求证：直线CD 过定点．7．【苏北三市2017届高三第三次调研.22题】在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)F ，直线1x =-与动直线y n =的交点为M ，线段MF 的中垂线与动直线y n =的交点为P ．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过动点M 作曲线E 的两条切线，切点分别为A ，B ，求证：AM B ∠的大小为定值．8．如图，抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F ，抛物线上一定点Q (1,2)． （1）求抛物线C 的方程及准线l 的方程．（2）过焦点F 的直线(不经过Q 点)与抛物线交于A ，B 两点，与准线l 交于点M ，记QA ，QB ，QM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3成立，若存在λ，M P O F x y求出λ的值；若不存在，说明理由．参考答案一、基础练习二、知识梳理三、例题精讲 题组一1、答案：x y 82=解析：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--⎪⎭⎫ ⎝⎛=2,2,22,0y y y AB ，()⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2,2,0,y x y y x BC ∵BC AB ⊥，0.=BC AB∴02,2,2=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x y ，即x y 82= 2、解答：（1）设点N （x ，y ），M （a ，0），P （0，b ）． ∵0=+PN PM 可知，∴点P 是MN 的中点，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+b y xa 2002，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=2y b x a∴点M （-x ，0），P (0，2y） ∴)2,(y x PM --=，)2,1(y PF -=∵0.=PF PM ，∴042=+-y x ，即x y 42=∴动点N 的轨迹C 的方程为x y 42=（2）证明：设点Q （-1，t ），由于过点Q 的直线y -t =k （x +1）与轨迹C ：x y 42=相切，联立方程⎩⎨⎧+=-=)1(42x k t y x y ，整理得0)()2(22222=++-++t k x kt k x k 则0)(4)2(42222=+--+=∆t k k kt k 化简得012=-+tk k由题意得k 1,k 2是关于k 的方程012=-+tk k 的两个字根，23、【解】：（1）设点P （x ，y ）为所求轨迹上的任意一点， 则由PA OA OP k k k =+，得1111+-=-+x y x y ， 整理得轨迹C 的方程为2x y =（0≠x 且1≠x ）． （2）设，由可知直线PQ△OA ， 则，故，即，由O 、M 、P 三点共线可知，与共线，△， 由（1）知， 故， 同理，由与共线，△，即，由（△）知，故，将代入上式得，整理得， 由得，由，得到， 因为PQ △OA ，所以， 由，得， △P 的坐标为（1，1） 题组二1、【答案】：)3(116922>=-x y x2、【解】：（1）易得直线l 1：x ＝－1，F 2（1，0）， 因为点M 是线段PF 2的垂直平分线与直线l 2的交点， 所以|MP |＝|MF 2|，即点M 到直线l 1：x ＝－1的距离等于到定点F 2（1，0）的距离，由抛物线的定义可得点M 的轨迹是以直线l 1：x ＝－1 为准线，点F 2（1，0）为焦点的抛物线，方程为y 2＝4x ．（2）设 Q （x ，y ），易知F （1，0）， 因为以QF 为直径的圆过点A （0，2）， 所以AF △AQ ，即0.=AQ AF ，易求得AF ＝（1，－2），AQ ＝（x ，y －2）， 则x －2（y －2）＝0，结合y 2＝4x ， 解得x ＝4，y ＝4，即Q （4，4）． 题组三1、【解】：（1）如图1，设M （x ，y ），A （x 0，y 0） △|DM |=m |DA |， △x =x 0，|y |=m |y 0|△x 0=x ，|y 0|= |y |....................................△ △点A 在圆上运动，△12020=+y x ....................................△△代入△即得所求曲线C 的方程为)1,0(1222≠>=+m m my x△m △（0，1）△（1，+∞），△0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（ 21m --，0）， （ 21m -，0） m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（ 0，12--m ）， （（ 0，12-m ）（2）如图2、3，△x 1△（0，1），设P （x 1，y 1），H （x 2，y 2），则Q （x 2，y 2），N （0，y 1），△P ，H 两点在椭圆C 上，△⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222222221212my x m m y x m△-△可得221212121))(())((m x x x x y y y y -=+-+-△△Q ，N ，H 三点共线， △k QN =k QH ， △2121112x x y y x y ++= △k PQ k PH =2)()(2211211m x x x y y y -=--△PQ △PH ，△k PQ ·k PH =-1△122-=-m△m ＞0，△2=m故存在2=m ，使得在其对应的椭圆1222=+y x 上，对任意k ＞0，都有PQ △PH题组四1. （1）证明：由OC →＝tOM →＋(1－t)ON →(t ∈R )可知，点C 的轨迹是M ，N 两点所在的直线，所以点C 的轨迹方程为y ＋3＝1－（－3）4(x －1)，即y ＝x －4.(2分) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，y 2＝4x ，化简整理，得x 2－12x ＋16＝0 设C 的轨迹与抛物线y 2＝4x 的交点坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16，y 1y 2＝(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝－16. 因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝16－16＝0， 所以OA ⊥OB（2）解：假设存在这样的点P ，并设A ′B ′是过抛物线的弦，其方程为x ＝ny ＋m ，A ′(x 3，y 3)，B ′(x 4，y 4)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4ny －4m ＝0 此时y 3＋y 4＝4n ，y 3y 4＝－4m ，所以k OA ′k OB ＝y 3x 3·y 4x 4＝y 3y 234·y 4y 244＝16y 3y 4＝－4m＝－1，所以m ＝4(定值)，故存在这样的点P (4，0)满足题意． 设A′B′的中点为T(x ，y )，即y ＝12(y 3＋y 4)＝2n ，x ＝12(x 3＋x 4)＝12(ny 3＋4＋ny 4＋4)＝n2(y 3＋y 4)＋4＝2n 2＋4，消去n ，得y 2＝2x －8.即m 的值为4，圆心的轨迹方程为y 2＝2x －8.四、巩固训练1、【解】：（1）将(1,2)R 代入抛物线中，可得2p =，所以抛物线方程为24y x =…3分 （2）设AB 所在直线方程为(1)1(0)x m y m =-+≠，1122(,),(,)A x y B x y 与抛物线联立241y xx my m ⎧=⎨=-+⎩得： 244(1)0y my m -+-=，所以12124,4(1)y y m y y m +==-设AR ：1(1)2y k x =-+，由1(1)222y k x y x =-+⎧⎨=+⎩得112M k x k =-，而11121112241214y y k y x y --===-+-可得12M x y =-，同理22N x y =-所以|||M N MN x x =-= 令1(0)m t t -=≠，则1m t =+所以|||M N MN x x =-= 此时1m =-，AB 所在直线方程为：20x y +-=2、【解】由题意，焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0在直线l 上，所以43×p 2－23＝0，解得p ＝1. 所以抛物线的方程为 y 2＝2x.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x －23，y 2＝2x消去x 得 2y 2－3y －2＝0， 所以y ＝2或y ＝－12.因为点A 在第一象限， 所以点A 的坐标为(2，2)， 所以直线OA 的斜率为1.(3分)（2）依题意，直线l 的斜率存在，且不为零．设直线l 的方程为 y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(－p ，y 3)，AB 的中点为M(x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2消去y 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋14k 2p 2＝0，Δ＝4p 2＋4k 2p 2>0，x 1.2＝（k 2p ＋2p ）±Δ2k 2， 所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＋2p k 2＝2p ＋3，即2pk 2＝3 MC ＝（x 0＋p ）2＋（y 0－y 3）2＝1＋1k 2|x 0＋p|.因为x 0＝x 1＋x 22＝k 2p ＋2p 2k 2＝12p ＋pk 2， 所以MC ＝1＋1k 2⎝⎛⎭⎫32p ＋p k 2，将1k 2＝32p 代入，得MC ＝1＋32p ⎝⎛⎭⎫32p ＋32.(8分)因为△ABC 是边长为2p ＋3的正三角形，所以MC ＝32(2p ＋3)， 所以1＋32p ⎝⎛⎭⎫32p ＋32＝32(2p ＋3)，解得p ＝3，所以抛物线的方程为y 2＝23x.(10分)3．【解】（1）抛物线22(0)x py p =>的准线方程为2py =-， 因为(1)M m ，，由抛物线定义，知 12p MF =+， 所以122p+=，即2p =， 所以抛物线的方程为24x y =y = f (x )yOxF AB PE（2）因为214y x =，所以12y x '=． 设点2()04t E t t ≠，，，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-． 令0y =，则2t x =，即点(0)2tP ，． 因为(0)2t P ，，(01)F ，，所以直线PF 的方程为2()2ty x t =--，即20x ty t +-=． 则点2()4tE t ，到直线PF的距离为d ==． 联立方程2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，，消元，得2222(216)0t y t y t -++=． 因为2242(216)464(4)0t t t ∆=+-=+>，所以1y2y =， 所以221212222164(4)1122t t AB y y y y t t ++=+++=++=+=． 所以△EAB的面积为3222214(4)1(4)22t t S t t++=⨯=⨯． 不妨设322(4)()x g x x +=(0)x >，则12222(4)()(24)x g x x x +'=-．因为(0x ∈时，()0g x '<，所以()g x在(0上单调递减；)x ∈+∞上，()0g x '>，所以()g x在)+∞上单调递增．所以当x =32min4)()g x ==所以△EAB的面积的最小值为4、【解】（1）因为抛物线C 的方程为24y x =，所以F 的坐标为(1,0)，设(,)M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴， 所以圆M 的半径为n ，点P 2(,2)n n ，则直线PF 的方程为2121y x n n -=-，即22(1)(1)0n x y n ---=，n =，又,0m n ≠，所以22211m n n --=+，即210n m -+=，所以E 的方程为2=1y x -(0)y ≠（2）设2(1,)+Q t t ， 1(0,)A y ，2(0,)B y ，由（1）知，点Q 处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0>t ，由'y ，所以121AQ t y k t -==+，221BQ t y k t -==-+ 所以1122=-t y t，3223=+y t t ， 所以33151|23|2(0)2222t AB t t t t t t t =+-+=++>． 令351()222f t t t t=++，0t >，则42222511251()6222t t f t t t t +-'=+-=，由()0f t '>得t >，由()0f t '<得0t <<所以()f t 在区间单调递减，在)+∞单调递增，所以当t 时，()f t 取得极小值也是最小值，即AB 取得最小值此时21s t =+=． 5、【解】（I ）设点D (t ,0)(|t|≤2)，N (x 0,y 0)，M (x ,y )，依题意，=2，且||=||=1，所以(t-x ,-y )=2(x 0-t ,y 0)，且即，且t (t-2x 0)=0.由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0， 于是t =2x 0，故x 0=，y 0=-，代入+=1，可得+=1,即所求的曲线C 的方程为+=1.（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x =4或x =-4，都有S △OPQ =×4×4=8.（2）当直线l的斜率存在时，设直线l:y=kx+m(k≠±)，由消去y，可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4.①又由可得P(,)；同理可得Q(,).由原点O到直线PQ的距离为d=和|PQ|=|x P-x Q|，可得S△OPQ=|PQ|·d= |m||x P-x Q|=·|m||+|=||....................②将①代入②得，S△OPQ=||=8.当k2>时，S△OPQ=8()=8(1+)>8;当0≤k2<时，S△OPQ=8()=8(-1+).因0≤k2<，则0<1-4k2≤1，≥2，所以S△OPQ=8(-1+)≥8，当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时，S△OPQ的最小值为8.综合可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.6、【解】（1）设P点坐标为(x,y)，M点坐标为(a,0)，N点坐标为(0,b).由0MN.=AM=+NPNM，0得2,2,80,x a y b a b =-⎧⎪=⎨⎪-+=⎩消去a ，b 得x 2=4y . 故动点P 的轨迹方程为x 2=4y .（2）证明：设C ,D 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则21x =4y 1，22x =4y 2，两式相减得21x -22x =4(y 1-y 2)， 所以k CD =1212y y x x --=124x x +，由（1）可知F 的坐标为(0,1)，则k 1=111y x -，k 2=221y x -，由k 1+k 2=0得x 1y 2+x 2y 1=x 1+x 2.所以x 1·224x +x 2·214x =x 1+x 2，化简得x 1x 2=4(显然x 1+x 2≠0). 直线CD 的方程为y -y 1=124x x +(x -x 1). 令x =0，得y =y 1-21124x x x +=2111244y x x x --=-124x x =-1 所以直线CD 过定点(0,-1)7、【解】（1）因为直线y n =与垂直，所以MP 为点到直线的距离．连结，因为为线段的中垂线与直线的交点，所以MP PF =． 所以点的轨迹是抛物线．……………………………………………………2分 焦点为，准线为．所以曲线E 的方程为． ………………………………………………5分 （2）由题意，过点的切线斜率存在，设切线方程为，联立2,4,y kx k n y x =++⎧⎨=⎩ 得， 所以1164(44)0k k n ∆=-+=，即（*），……………………8分 因为2240n ∆=+>，所以方程（*）存在两个不等实根，设为，因为121k k ⋅=-，所以，为定值． ……………………………10分8．【解】：（1）把Q (1,2)代入y 2＝2px ，得2p ＝4， 所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线l 的方程：x ＝－1. （2）由条件可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0. 由抛物线准线l ：x ＝－1，可知M (－1，－2k )． 又Q (1,2)，所以k 3＝2＋2k1＋1＝k ＋1，即k 3＝k ＋1.把直线AB 的方程y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，并整理，可得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 21x =-P 1x =-PF P MF y n =P (1,0)F 1x =-24y x =(1,)M n -(1)y n k x -=+24440ky y k n -++=210k kn +-=12,k k 90AMB ∠=︒＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，知 x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1.又Q (1,2)，则k 1＝2－y 11－x 1，k 2＝2－y 21－x 2.因为A ，F ，B 共线，所以k AF ＝k BF ＝k ， 即y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝2－y 11－x 1＋2－y 21－x 2＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－2x 1＋x 2－2x 1x 2－x 1＋x 2＋1＝2k －22k 2＋4k 2－21－2k 2＋4k2＋1＝2k ＋2，即k 1＋k 2＝2k ＋2.又k 3＝k ＋1，可得k 1＋k 2＝2k 3.即存在常数λ＝2，使得k 1＋k 2＝λk 3成立．。
2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题34直线及其方程(题型专练)含解析
1．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0(a ∈R)的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎦⎤π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 【答案】B 【解析】斜率k ＝－1a 2＋1，故k ∈[－1,0)，由正切函数图象知倾斜角α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π。
2．设A (－2,3)、B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 有交点，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－43，52 C.⎣⎡⎦⎤－52，43 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞【答案】D3．如图，在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是( )B D【答案】C【解析】当a ＞0时，直线y ＝ax 的倾斜角为锐角，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距为a ＞0，A 、B 、C 、D 都不成立；当a ＝0时，直线y ＝ax 的倾斜角为0°，A 、B 、C 、D 都不成立；当a ＜0时，直线y ＝ax 的倾斜角为钝角，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距为a ＜0，只有C 成立。
4．直线l 1：3x －y ＋1＝0，直线l 2过点(1,0)，且它的倾斜角是l 1的倾斜角的2倍，则直线l 2的方程为( )A ．y ＝6x ＋1B ．y ＝6(x －1)C ．y ＝34(x －1)D ．y ＝－34(x －1)【答案】D【解析】由tan α＝3可求出直线l 2的斜率 k ＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34， 再由l 2过点(1,0)即可求得直线方程。
5．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( ) A ．1 B ．2 C ．－12 D ．2或－12【答案】D【解析】当2m 2＋m －3≠0时，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12。
专题40 抛物线(教学案) 2019年高考数学(文科)热点题型和提分技巧 Word版含解析
1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)。
2．理解数形结合的思想。
3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用。
热点题型一抛物线的定义及标准方程例1、(1)已知点M(3,2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，点P在该抛物线上移动，当|PM|＋|PF|取最小值时，点P的坐标为________。
(2)已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不确定【解析】(1)如下图，由定义知|PF|＝|PE|，故|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PE|≥|ME|≥|MN|＝31 2。
显然，只有当点P在由点M向准线所作的垂线上时，距离之和最小，此时点P的坐标为(2,2)。
(2)如图所示，设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线为l，则|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，【提分秘籍】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性。
2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题。
【举一反三】从抛物线x2＝4y上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF 的面积为________。
【答案】10热点题型三直线与抛物线的位置关系例3．（2018年浙江卷）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足P A，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△P AB面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）设，，．因为，的中点在抛物线上，所以，为方程即的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知所以，．因此，的面积．因为，所以．因此，面积的取值范围是．3. （2018年浙江卷）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足P A，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△P AB面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）设，，．因为，的中点在抛物线上，所以，为方程即的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于轴．（Ⅱ）直线MH与C除H以外没有其它公共点.理由如下：直线MH 的方程为x t p t y 2=-，即.代入px y 22=得，解得t y y 221==，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.4.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．（Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则.所以FQ AR ∥.5.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）如图，设抛物线的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |-1.（I ）求p 的值； （II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.【答案】（I ）2p =；（II ）.【解析】 （Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x=–1的距离，由抛物线的定义得12p =，即p=2. （Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线的方程为，可设.因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF: x=sy+1，(0)s ≠，由241y x x sy ⎧=⎨=+⎩， 消去x 得， 故124y y =-，所以，212(,)B t t-. 又直线AB 的斜率为221t t -，故直线FN 的斜率为212t t--. 从而得直线FN:，直线BN:2y t =-.所以.设M(m ，0)，由A ，M ，N 三点共线得， 于是2221t m t =-. 所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意.。
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1．若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝6x C ．y 2＝8x D ．y 2＝10x 【答案】C【解析】由题意可知p >0，因为抛物线y 2＝2px ，所以其准线方程为x ＝－p2，因为点P (2，y 0)到其准线的距离为4，所以|－p2－2|＝4，所以p ＝4，故抛物线方程为y 2＝8x 。
故选C 。
2．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5。
所以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x 【答案】C3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P ，Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( )A ．2±3B ．2＋ 3 C.3±1 D.3－1 【答案】A【解析】F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设P ⎝⎛⎭⎫y 212p ，y 1，Q ⎝⎛⎭⎫y 222p ，y 2(y 1≠y 2)。
由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y 212p ＋p 2＝y222p ＋p 2，所以y 21＝y 22，又y 1≠y 2，所以y 1＝－y 2，所以|PQ |＝2|y 1|＝2，|y 1|＝1，所以|PF |＝12p ＋p 2＝2，解得p ＝2±3。
4．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k 的值为( )A.13B.23 C.223 D.23 【答案】C【解析】5．直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为3，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】D【解析】设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l 0，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C 是AB 的中点，其坐标为(x C ，y C )，分别过点A ，B 作直线l 0的垂线，垂足分别为M ，N ，由抛物线的定义得|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |＝x A ＋1＋x B ＋1＝x A ＋x B ＋2＝2x C ＋2＝8。
6．如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 恰好是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为( )A. 2 B ．2 C.2＋1 D.2－1 【答案】C【解析】由题意，因为两条曲线交点的连线过点F ， 所以两条曲线的一个交点为⎝⎛⎭⎫p 2，p ， 代入双曲线方程得p 24a 2－p 2b 2＝1，又p2＝c ， 所以c 2a 2－4×c 2b2＝1，化简得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，所以e 4－6e 2＋1＝0， 所以e 2＝3＋22＝(1＋2)2， 所以e ＝2＋1， 故选C 。
7．若动圆的圆心在抛物线y ＝112x 2上，且与直线y ＋3＝0相切，则此圆恒过定点( )A ．(0,2)B ．(0，－3)C ．(0,3)D ．(0,6) 【答案】C【解析】直线y ＋3＝0是抛物线x 2＝12y 的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y ＝－3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)．8．已知点M 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是(2,2)，则p 的值为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】设M (x ，y )，则由题意，得x ＋p 22＝2，y 2＝2，则x ＝4－p2，y ＝4.又点M 在抛物线C 上，所以42＝2p ⎝⎛⎭⎫4－p2，解得p ＝4，故选D. 9．已知点P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆C ：(x ＋2)2＋(y －4)2＝1上的一个动点，则x 0＋|PQ |的最小值为( )A ．25－1B ．2 5C ．3D ．4【答案】C10．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A ⎝⎛⎭⎫12，2，其准线与x 轴交于点B ，直线AB 与抛物线的另一个交点为M ，若MB →＝λAB →，则实数λ为( )A ．13B ．12C ．3D ．2【答案】D【解析】把点A ⎝⎛⎭⎫12，2代入抛物线方程，得2＝2p ×12，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，则B (－1,0)．设M ⎝⎛⎭⎫y 2M 4，y M ，则AB →＝⎝⎛⎭⎫－32，－2，MB →＝⎝⎛⎭⎫－1－y 2M 4，－y M . 由MB →＝λAB →，得⎩⎪⎨⎪⎧－1－y 2M 4＝－32λ，－y M ＝－2λ，解得λ＝2或λ＝1(舍去)，故选D.11．已知直线l ：y ＝kx ＋t 与圆：x 2＋(y ＋1)2＝1相切，且与抛物线C ：x 2＝4y 交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是________________．【答案】t >0或t <－312．设抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F .若抛物线C 上点P 的横坐标为2，则|PF |＝________. 【答案】52【解析】由题意知p ＝1，点P 的横坐标x P ＝2，则由抛物线的定义， 得|PF |＝x P ＋p 2＝2＋12＝52.13．已知点P (2,1)，若抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好是以P 为中点，则弦AB 所在直线方程是________．【答案】2x －y －3＝0【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2，且y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得2(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，且x 1≠x 2，则直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，又弦AB 过点P ，则所求直线方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.14．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2－x 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝__________.【答案】23【解析】y 2＝2px 的准线为x ＝－p2.由于△ABF 为等边三角形．因此不妨设A ⎝⎛⎭⎫－p 2，p 3，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－p3.又点A ，B 在双曲线y 2－x 2＝1，从而p 23－p 24＝1，所以p ＝2 3.15．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (a ，－2)到焦点的距离为3，则抛物线的方程是________。
【答案】x 2＝－4y【解析】由题意可设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，抛物线上的点P (a ，－2)到焦点的距离即为点P 到准线y ＝p 2的距离，所以p2＋2＝3，解得p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝－4y 。
16．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点。
若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________。
【答案】【1，＋∞)17．已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△F AB 为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是________。
【答案】(5，＋∞)【解析】抛物线焦点F (1,0)，由题意0<a <1，且∠AFB ＝90°并被x 轴平分，所以点(－1,2)在双曲线上，得1a 2－4b 2＝1，即b 2＝4a 21－a 2＝c 2－a 2，即c 2＝4a 21－a 2＋a 2＝5a 2－a 41－a 2，所以e 2＝c 2a 2＝5－a 21－a 2＝1＋41－a 2， 因为0<a <1，所以e 2>5，故e >5。
18．已知曲线C 上的动点P (x ，y )满足到点F (0,1)的距离比到直线l ：y ＝－2的距离小1。
(1)求曲线C 的方程；(2)动点E 在直线l 上，过点E 分别作曲线C 的切线EA ，EB ，切点为A ，B 。
直线AB 是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由。
【解析】(1)因为动点P (x ，y )满足到点F (0,1)的距离比到直线l ：y ＝－2的距离小1，所以动点P (x ，y )满足到点F (0,1)的距离与直线l ′：y ＝－1的距离相等。
所以曲线C 是以F (0,1)为焦点，y ＝－1为准线的抛物线，所以曲线C 的方程是：x 2＝4y 。
(2)设E (a ，－2)，切点为⎝⎛⎭⎫x 0，x 24， 由x 2＝4y 得y ＝x 24，所以y ′＝x 2，所以x 02＝x 204＋2x 0－a ，解得：x 0＝a ±a 2＋8，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2＋8，a ＋a 2＋824， B ⎝⎛⎭⎪⎫a －a 2＋8，a －a 2＋824，化简直线AB 方程得：y －2＝a2x ，所以直线AB 恒过定点(0,2)。
19．已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线过点P (2,1)。
(1)求抛物线的标准方程。
(2)过点P 作直线l 与抛物线有且只有一个公共点，求直线l 的方程。
(3)过点Q (1,1)作直线交抛物线于A ，B 两点，使得Q 恰好平分线段AB ，求直线AB 的方程。
【解析】(1)设抛物线的标准方程为x 2＝2py ，把点P (2,1)代入可得4＝2p ，所以p ＝2，故所求的抛物线的标准方程为x 2＝4y 。
x 2－4k ′x ＋4k ′－4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ′＝2，所以k ′＝12，所以AB 的方程为y －1＝12(x －1)，即x －2y ＋1＝0。
20．已知抛物线C ：y 2＝2px 的焦点坐标为F (1,0)，过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，直线AO ，BO 分别与直线m ：x ＝－2相交于M ，N 两点。
(1)求抛物线C 的方程。
(2)证明△ABO 与△MNO 的面积之比为定值。
21.如图8-7-2所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A 、B 两点．图8-7-2(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．【解析】 (1)由已知得抛物线的焦点为F (1,0)．因为线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得22．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A ，B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12.(1)求抛物线的方程； 学……科网(2)当以|AB |为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程. 【解析】 (1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px 中， 得y 2－2pmy ＋4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p2＝4，因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝4＋4p ＝12，可得p ＝2，则抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知y 2＝4x ，p ＝2，可知y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8. 设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4.① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝＋m 2m 2－.②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝±3， 所以直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.23．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若AF →＝2 FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值.。