高中数学解题方法系列：概率的热点题型及其解法
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧在高考数学中，概率与统计是一个重要的板块，它不仅考查学生的数学知识和技能，还培养学生的数据分析和推理能力。
对于很多同学来说，这部分内容既有一定的挑战性，又充满了得分的机会。
下面我们就来详细解析高考数学中概率与统计的常见题型以及相应的答题技巧。
一、概率题型1、古典概型古典概型是概率中最基础的题型之一。
它的特点是试验结果有限且等可能。
例如，从装有若干个红球和白球的袋子中摸球，计算摸到某种颜色球的概率。
答题技巧：首先，确定总的基本事件数和所求事件包含的基本事件数。
然后，利用古典概型的概率公式 P（A）＝所求事件包含的基本事件数÷总的基本事件数进行计算。
2、几何概型几何概型与古典概型不同，它的试验结果是无限的。
常见的有长度型、面积型、体积型几何概型。
比如，在一个区间内随机取一个数，求满足某个条件的概率。
答题技巧：对于几何概型，关键是要正确确定几何度量。
例如，长度型就计算长度，面积型就计算面积，体积型就计算体积。
然后，按照几何概型的概率公式 P（A）＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）进行求解。
3、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
题目中通常会给出一些条件，让我们计算在这些条件下的概率。
答题技巧：利用条件概率公式 P（A|B）＝ P（AB）÷P（B），先求出 P（AB）和 P（B），再计算条件概率。
4、相互独立事件与互斥事件相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响；互斥事件则是指两个事件不能同时发生。
答题技巧：对于相互独立事件，它们同时发生的概率用乘法计算，即 P（AB）＝ P（A）×P（B）；对于互斥事件，它们至少有一个发生的概率用加法计算，即 P（A∪B）＝ P（A）＋ P（B）。
二、统计题型1、抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。
概率论常见题型与解题方法归纳(1)高级版
概率论常见题型与解题方法归纳(1)高级版1.介绍本文档将归纳概率论中常见的题型和解题方法，旨在帮助读者更好地理解概率论并有效地解决相关题目。
2.题型分类概率论题目可以分为以下几类：2.1.单个事件概率计算题这类题目要求计算某个单个事件的概率，常见的方法有：列举法：将所有可能的情况列出，并计算出每种情况的概率，再求和得到结果。
组合计算法：根据问题条件，利用组合的概念计算概率。
2.2.多个事件概率计算题这类题目要求计算多个事件的概率，常见的方法有：相互独立事件：如果多个事件之间相互独立，即一个事件的发生不受其他事件的影响，则可以将各个事件的概率相乘得到最终结果。
互斥事件：如果多个事件之间互斥，即一个事件的发生排除其他事件的发生，则可以将各个事件的概率相加得到最终结果。
2.3.条件概率计算题这类题目要求计算给定某个条件下的概率，常见的方法有：条件概率公式：根据条件概率的定义计算给定条件下的概率。
贝叶斯公式：根据贝叶斯公式计算给定条件下的概率。
2.4.事件独立性判断题这类题目要求判断多个事件之间是否相互独立，常见的方法有：条件概率判断法：根据条件概率的定义判断事件之间的独立性。
互斥性判断法：根据事件互斥的定义判断事件之间的独立性。
3.解题方法在解题过程中，可以采用以下几种方法：3.1.符号化方法将问题中的各个事件和条件符号化，利用符号化的表示，可以更方便地进行计算和推导。
3.2.样本空间构建方法通过构建问题的样本空间，可以更清晰地理解问题，并针对样本空间进行计算和推导。
3.3.利用统计工具方法在解决复杂的概率问题时，可以利用统计工具（如计算机模拟、抽样等）来获取近似答案或验证推论。
4.总结本文档介绍了概率论中常见的题型和解题方法。
读者可以根据题目类型选择相应的解题方法，并结合符号化、样本空间构建和统计工具等方面进行解答。
希望本文档能够帮助读者更好地掌握概率论知识，提高解题能力。
高考概率的热点题型及其解法
2011年高考二轮专题7：高考概率的热点题型及其解法 概率的解答题已成为近几年高考中的必考考内容，难度中挡，主要涉及等可能事件，互斥事件，对立事件，独立事件的概率的求法，对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合，在今年的高考中，可能出现概率与数列、函数、不等式等有关内容的结合的综合题，下面就谈一谈概率与数列、函数、不等式等有关知识的交汇处命题的解题策略。
题型一：等可能事件概率、互斥事件概率、相互独立事件概率的综合。
例1：（2010天津18）.（本小题满分12分） 某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响。
（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。
另外2次未击中目标的概率； （Ⅲ理科）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列。
【解析】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。
（1）解：设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ~25,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率 22252240(2)133243P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （Ⅱ）解：设“第i 次射击击中目标”为事件(1,2,3,4,5)i A i =；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ,则 123451234512345()()()()P A P A A A A A P A A A A A P A A A A A =++ =3232321121123333333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=881（Ⅲ）解：由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6 312311(0)()327P P A A A ζ⎛⎫==== ⎪⎝⎭123123123(1)()()()P P A A A P A A A P A A A ζ==++ =222112112233333339⎛⎫⎛⎫⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1232124(2)()33327P P A A A ζ===⨯⨯= 123123(3)()()P P A A A P A A A ζ==+=2221118333327⎛⎫⎛⎫⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 123(6)()P P A A A ζ===328327⎛⎫= ⎪⎝⎭ 所以ξ的分布列是例2：（2010北京理数17） (本小题共13分)某同学参加3门课程的考试。
高中概率题型及解题方法
高中概率题型及解题方法概率是高中数学中重要且有趣的话题。
它涉及到事件发生的可能性，并通过数学方法计算概率值。
在高中学习中，学生经常会遇到各种概率题型。
本文将介绍一些常见的高中概率题型及解题方法。
1. 事件概率计算：在这种类型的题目中，我们需要计算某个特定事件发生的概率。
一般情况下，事件概率等于事件发生的次数除以总的可能次数。
解决这类问题时，关键是确定事件发生的次数和总的可能次数。
2. 独立事件概率计算：当我们面对多个独立事件时，我们可以将每个事件的概率相乘来得到它们同时发生的概率。
例如，投掷一枚硬币和掷一颗骰子是独立事件，我们可以计算得到同时出现正面和点数为3的概率。
3. 互斥事件概率计算：互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。
在这种情况下，我们可以计算每个事件发生的概率并将它们相加。
例如，抽一张扑克牌，获得红桃和黑桃的两个事件就是互斥事件，我们可以计算它们的概率并相加。
4. 条件概率计算：当我们已经知道某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率，我们可以使用条件概率来解决问题。
条件概率等于两个事件同时发生的概率除以已知条件发生的概率。
解题时，我们需要明确给出的条件和需要计算的事件。
5. 排列组合问题：在一些概率问题中，我们需要考虑对象的排列顺序或组合方式。
这涉及到排列和组合的概念。
排列是指对象的顺序，组合是指对象的选择，与顺序无关。
解决这类问题时，我们需要正确地使用排列和组合的公式。
高中概率题型多种多样，每个题目都有其独特的解题方法。
关键是理解概率的基本概念，掌握如何把问题转化为数学语言，并使用适当的公式和计算方法得出正确的答案。
通过反复的练习和理解，我们可以在高中学习中显著提高我们的概率问题解决能力。
高中数学解题方法系列：概率的热点题型及其解法
高中数学解题方法系列：概率的热点题型及其解法概率主要涉及等可能事件，互斥事件，对立事件，独立事件的概率的求法，对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合，在以后的高考中，可能出现概率与数列、函数、不等式等有关内容的结合的综合题，下面就谈一谈概率与数列、函数、不等式等有关知识的交汇处命题的解题策略。
题型一：等可能事件概率、互斥事件概率、相互独立事件概率的综合。
例1：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和43.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.(Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;(Ⅲ)假设某人连续2次未击中．．．目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?解：（1）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件A 为“4次均击中目标”，则()()426511381P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭（2）设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则()22323442131133448P B C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∙∙∙∙∙= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。
故()22123313145444441024P C C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+∙∙∙∙=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦例2：某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率.解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.（I）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为!324⋅C （从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有624=C 种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A 1，那么事件A 1的概率为P（A 1）=.943!3424=⋅C （II）解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A 2和A 3，则事件A 3的概率为P（A 3）=271334=，事件A 2的概率为P（A 2）=1－P（A 1）－P（A 3）=.2714271941=--解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为).!2(32414C C +⋅（先从3个景区任意选定2个，共有323=C 种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有!214⋅C 种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有24C 种不同选法）.所以P（A 2）=.27143)!2(342424=+⋅C C 例3：某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。
高中数学解概率题的常用技巧和注意事项
高中数学解概率题的常用技巧和注意事项概率题是高中数学中的一个重要考点，也是让很多学生头疼的难题。
在解概率题时，我们需要掌握一些常用的技巧和注意事项，以提高解题的效率和准确性。
本文将介绍几个常见的概率题类型，并给出相应的解题技巧和注意事项。
一、排列组合型概率题在排列组合型概率题中，常常涉及到从一组元素中选取若干个元素进行排列或组合的情况。
例如：从10个不同的球中任意取3个，求其中有2个红球的概率是多少？解题技巧：1. 确定元素个数和要求的条件：在这个例子中，元素个数为10，要求有2个红球。
2. 计算总的可能性：从10个球中任意取3个的总共可能性为C(10,3)。
3. 计算满足条件的可能性：从10个球中选取2个红球的可能性为C(4,2)，再从剩下的6个球中选取1个非红球的可能性为C(6,1)。
4. 计算概率：满足条件的可能性除以总的可能性即为所求的概率。
注意事项：1. 在计算组合数时，要注意使用组合公式C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)。
2. 在计算概率时，要将满足条件的可能性除以总的可能性。
二、事件的互斥与独立性在概率题中，有时会涉及到多个事件的互斥或独立性。
例如：从一副扑克牌中任意抽取2张牌，求第一张是红心牌，第二张是黑桃牌的概率是多少？解题技巧：1. 确定事件的互斥与独立性：在这个例子中，第一张是红心牌与第二张是黑桃牌是两个独立的事件。
2. 计算第一张是红心牌的概率：红心牌有13张，总共有52张牌，所以第一张是红心牌的概率为13/52。
3. 计算第二张是黑桃牌的概率：黑桃牌有13张，总共有51张牌，所以第二张是黑桃牌的概率为13/51。
4. 计算概率：两个事件独立，所以将两个概率相乘即为所求的概率。
注意事项：1. 在判断事件的互斥与独立性时，要根据题目中给出的条件进行分析。
2. 在计算概率时，要注意将独立事件的概率相乘。
三、条件概率与贝叶斯定理在概率题中，有时会涉及到条件概率与贝叶斯定理。
高考数学概率大题技巧
高考数学概率大题技巧高考数学考试概率大题考查学生对概率基本概念及计算方法的掌握，需要学生通过题目的分析，灵活运用概率的基本概念，精细计算概率，从而回答问题。
以下将为大家介绍几个常见的概率大题及解题思路。
一、排列组合类型的概率题例如：已知有6本书，其中3本属于文学类，3本属于科技类。
现从这6本书中任选2本，请问这2本书属于同一类的概率是多少？解：首先我们可以看一下这道题的结构，它是一个从6本书中选2本的问题，只要明白这个，这道题的计算就容易了许多。
因此，我们可以利用组合的公式C(6,2) = 6!/[(6-2)!*2!] = 15求出选任意两本书的方案数。
然后再根据题意分别计算选两本文学类书或科技类书的方案数，分别是C(3,2) =3和C(3,2) =3。
于是，答案就是3+3/15 = 2/5。
二、条件概率型的概率题例如：有一批物品，其中有B型物品9件，C型物品5件。
从中随机取出一件物品，如果所取物品是B型，那么又将随机取出一件物品。
请问第二次所取物品是C型的概率是多少？解：首先，我们需要利用全概率公式，求出所取到的是B型物品的概率。
由于这题是前后两次随机事件，考查条件概率的概念，因此，可以分别用P(A) = 9/14 和P(B) = 5/14 来表示所取到的是B型或C型物品的概率。
然后，根据条件概率公式，我们得到P(B/C) = P(B∩C)/P(C)。
其中，P(C)是依据所取到的第一件物品的不同可能性写出的。
P(B∩C)则表示的是直接从所有的物品中随机取到一件B型，再从剩下的物品中随机取出一件C型的概率。
因此，我们可以将其分解成两个概率，即P(B)P(C/B)。
其中，P(C/B)表示条件指出第一件物品是B型的情况下，将第二次从C型物品中取到的概率。
最后，把所得的概率代入计算公式中，即可得到答案：P(B/C) = 9/14*5/9 = 5/14。
三、复合事件型的概率题例如：某小区的住户通过抽奖方式决定安排停车位，若抽中编号为0、1、2、3、4的号码牌各一张后，回收抽中的号码牌并重新抽奖，若抽到1号且抽到2的后一次，安排经过的停车位为1-2号，否则按顺序排列。
高中数学概率与统计的解题技巧
高中数学概率与统计的解题技巧概率与统计是高中数学中的一门重要的内容，它涉及到我们日常生活中的各种概率事件以及对数据的处理和分析。
在考试中，概率与统计题型常常出现，因此我们有必要掌握一些解题技巧，以提高我们的解题效率和准确性。
一、概率题型1. 确定概率事件的样本空间和事件集合在解概率题时，首先要明确概率事件的样本空间和事件集合。
样本空间是指所有可能结果的集合，事件集合则是样本空间中我们感兴趣的一部分。
例如，某次抛掷一枚骰子，样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}，事件集合可以是“出现奇数点数的情况”。
2. 利用排列组合计算概率在一些概率题中，需要计算某个事件发生的概率。
这时，我们可以利用排列组合的知识来计算。
例如，从一副扑克牌中随机抽取5张，求其中有2张红心的概率。
我们可以先计算红心牌的组合数，再计算剩下的两张牌的组合数，最后将两者相除即可得到概率。
3. 利用条件概率解题条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
在解题时，我们可以利用条件概率来计算某个事件的概率。
例如，某班有40名男生和60名女生，从中随机抽取一人，已知被抽到的是男生，求被抽到的是女生的概率。
我们可以利用条件概率公式P(B|A) = P(A∩B) / P(A) 来计算。
二、统计题型1. 数据的收集与整理在统计题中，首先要进行数据的收集与整理。
收集数据时要注意数据的来源和真实性，整理数据时要将其按照一定的规则进行分类和排序，以便后续的分析和计算。
2. 利用频率表解题频率表是指将数据按照一定的规则进行分类，并统计每个类别的频数。
在解题时，我们可以利用频率表来计算频率、相对频率、累积频率等。
例如，某班级的学生身高数据如下：150-160cm：5人160-170cm：12人170-180cm：8人我们可以根据频率表计算出每个身高区间的频率，以及累积频率。
3. 利用直方图解题直方图是一种用矩形表示数据频数的图形。
在解题时，我们可以利用直方图来分析数据的分布情况、比较不同类别的频数、判断数据的集中趋势等。
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高中数学解题方法系列：概率的热点题型及其解法概率主要涉及等可能事件，互斥事件，对立事件，独立事件的概率的求法，对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合，在以后的高考中，可能出现概率与数列、函数、不等式等有关内容的结合的综合题，下面就谈一谈概率与数列、函数、不等式等有关知识的交汇处命题的解题策略。
题型一：等可能事件概率、互斥事件概率、相互独立事件概率的综合。
例1：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和43.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.(Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;(Ⅲ)假设某人连续2次未击中．．．目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?解：（1）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件A 为“4次均击中目标”，则()()426511381P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭（2）设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则()22323442131133448P B C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∙∙∙∙∙= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。
故()22123313145444441024P C C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+∙∙∙∙=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦例2：某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率.解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.（I）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为!324⋅C （从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有624=C 种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A 1，那么事件A 1的概率为P（A 1）=.943!3424=⋅C （II）解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A 2和A 3，则事件A 3的概率为P（A 3）=271334=，事件A 2的概率为P（A 2）=1－P（A 1）－P（A 3）=.2714271941=--解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为).!2(32414C C +⋅（先从3个景区任意选定2个，共有323=C 种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有!214⋅C 种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有24C 种不同选法）.所以P（A 2）=.27143)!2(342424=+⋅C C 例3：某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。
（结果保留三位小数）解：记“甲理论考核合格”为事件1A ；“乙理论考核合格”为事件2A ；“丙理论考核合格”为事件3A ；记i A 为i A 的对立事件，1,2,3i =；记“甲实验考核合格”为事件1B ；“乙实验考核合格”为事件2B ；“丙实验考核合格”为事件3B ；（Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C ，记C 为C 的对立事件解法1：()()123123123123P C P A A A A A A A A A A A A =+++()()()()123123123123P A A A P A A P A A A P A A A =+++0.90.80.30.90.20.70.10.80.70.90.80.7=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.902=解法2：()()1P C P C =-()1231231231231P A A A A A A A A A A A A =-+++()()()()1231231231231P A A A P A A A P A A A P A A A ⎡⎤=-+++⎣⎦()10.10.20.30.90.20.30.10.80.30.10.20.7=-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10.098=-0.902=所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902（Ⅱ）记“三人该课程考核都合格”为事件D()()()()112233P D P A B A B A B =⋅⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦()()()112233P A B P A B P A B =⋅⋅⋅⋅⋅()()()()()()112233P A P B P A P B P A P B =⋅⋅⋅⋅⋅0.90.80.80.80.70.9=⨯⨯⨯⨯⨯0.254016=0.254≈所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254题型二：概率与排列组合、等差数列、等比数列的综合。
例4：将1，2，3，…，9，这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（）A 、156B 、170C 、1336D 、1420解析：共有339633280C C A ∙=种分组的方法，三组的平均值可能是456，357，258，348，267，且各有一种分组的方法，所求的概率为5128056=，故选A 例5：从原点出发的某质点M ，按照向量(1,0)=a 移动的概率为53，按照向量(2,0)=b 移动的概率为52，设可到达点)0,(n 的概率为n P ．（Ⅰ）求概率1P 、2P ；（Ⅱ）求2+n P 与n P 、1+n P 的关系并证明数列{}12++-n n P P 是等比数列；（Ⅲ）求n P ．解(Ⅰ)M 点到达点)0,1(的概率为531=P ；M 点到达点)0,2(的事件由两个互斥事件组成：①A=“M 点先按向量)0,1(=a 到达点)0,1(，再按向量(1,0)=a 到达点)0,2(”，此时253()(=A P ；②B=“M 点先按向量(2,0)=b 移动直接到达点)0,2(”，此时52)(=B P 。
=2P +)(A P =)(B P 2)53(52+2519=(Ⅱ)M 点到达点)0,2(+n 的事件由两个互斥事件组成：①=+2n A “从点)0,1(+n 按向量(1,0)=a 移动到达点)0,2(+n ”，此时1253)(++=n n P A P ；②=+2n B “从点)0,(n 按向量)0,2(=b 移动到达点)0,2(+n ”，此时n n P B P 52)(2=+。
n n n P P P 525312+=∴++，即=-++12n n P P )(521n n P P --+∴数列{}12++-n n P P 是以25412=-P P 为首项，公比为52-的等比数列。
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知=-++12n n P P n n )52()52(2542-=--=-+n n P P 1152(--n =--1n n P P 252(--n ……=-12P P 2)52(-n n P P 52()52()52(321-++-+-=-111)52(7272])52(1[72521]52(1[52----+-=---=+---=n n n 11)52(723511)52(727253---+=-+-=∴n n n P 例6：设事件A 发生的概率为p ，若在A 发生的条件下发生B 的概率为'p ，则事件,A B 同时发生的概率为'p p ∙根据这一事实解答下列问题：一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0，1，2，3…，100，共101站，一枚棋子开始在第0站（即01p =）由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若出现正面，则棋子向前跳动一站，若出现反面则向前跳动两站；直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束。
已知硬币出现正、反两面的概率相等，设棋子在跳跃的过程中经过第n 站的概率为n p 。
（1）求123,,P P P （2）（2）设1(1100)n n n a P P n -=-≤≤，求证数列｛n a ｝是等比数列。
（3）求玩游戏获胜的概率。
解析：（1）012311113113151,,,2222422428P P P P =∴==⨯+==+⨯= （2）棋子跳到第n 站，必须是从第1n -站或第2n -站跳来的(2100)n ≤≤，所以12112111,()222n n n n n n n P P P P P P P -----=+∴-=--，11(2100),2n n a a n -∴=-≤≤且11012a P P =-=-，故｛n a ｝是以公比为12-，首项为12-的等比数列。
（30由（2）知1239910219998()()()a a a a P P P P P P ++++=-+-++- =2999910011121()()())22232P -+-++-⇒=- ，所以获胜的概率为9910021(132P =-例7：质点A 位于数轴0x =处，质点B 位于2x =处。
这两个质点每隔1秒就向左或向右移动1个单位，设向左移动的概率为13，向右移动的概率为23。
（Ⅰ）求3秒后，质点A 位于点1x =处的概率；（Ⅱ）求2秒后，质点,A B 同时在点2x =处的概率；（Ⅲ）假若质点C 在0,1x x ==两处之间移动，并满足：当质点C 在0x =处时，1秒后必移到1x =处；当质点C 在1x =处，1秒后分别以12的概率停留在1x =处或移动到0x =处，今质点C 在1x =处，求8秒后质点C 在1x =处的概率。
解析：（1）3秒后，质点A 到1x =处，必须经过两次向右，一次向左移动；223214((339P C ∴==（2）2秒后，质点,A B 同时在点2x =处，必须质点A 两次向右，且质点B 一次向左，一次向右；故12222116333381P C =⨯⨯⨯⨯=（3）设第n 秒后，质点C 在1x =处的概率为n x ，质点C 在0x =处的概率为n y 依题意知：112n n n x x y +=+，由1,n n x y +=得11111,32(32)()22n n n n x x x x ++=-∴-=--所以｛32n x -｝是首项为111323222x -=⨯-=-，公比为12-的等比数列。