江苏省南通市2014届高三上学期期末考试数学试题
江苏省南通市2014届高三数学 Word版含答案
A BCD MNO（第14题图）2014年高考模拟试卷(2)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 .1．已知集合{}lg M x y x ==，{}21N x y x ==-，则M ∩N ＝ ． 2．复数(1i)i z =-(i 为虚数单位)的共轭复数为 ．3．已知函数22,0,(),0x x x f x ax bx x ⎧+≤=⎨+>⎩为奇函数，则a b += ．4．在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为 .5．如图是一个算法的程序框图，其输出的结果是 ．6．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，若()0,()232f f ππ==,则实数ω的最小值为 ．7．数列{}n a 满足11()2n n a a n *++=∈N ,112a =-,n S 是{}n a 的前n 项和,则2011S = .8．若()0,3m ∈，则直线(2)(3)30m x m y ++--=与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为 ．9．若中心在原点、焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线方程 为30x y +=，则此双曲线的离心率为 ．10．若不等式xy y x k29422≥+对一切正数x ，y 恒成立，则整数k 的最大值为 ．11．已知点,,,P A B C 是球O 表面上的四个点，且,,PA PB PC 两两成60角，1cm PA PB PC ===，则球的表面积为 2cm ．12．已知点G 、H 分别为ABC ∆的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），若46AC AB ==，，则HG BC ⋅的值为 ．13. 若关于x 的方程43210x ax ax ax ++++=有实数根，则实数a 的取值范围为 ．14. 如图，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MNBN取最小值时，CN = ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）设函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，函数()2y f x π=+为偶函数．（1）求()f x 的解析式；(第5题图)b ←2b Y 输出b 开始 a ←1,b ←1 a ≤3 a ←a +1结束 N（2）若α为锐角，3()2125f απ+=，求sin 2α的值．16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，060DAB ∠=，平面PCD ⊥底面ABCD ，E 是AB 的中点，G 为PA 上的一点．（1）求证：平面GDE ⊥平面PCD ；（2）若//PC 平面DGE ，求PGGA 的值．17.（本小题满分14分）近日我渔船编队在钓鱼岛附近点A 周围海域作业，在B 处的海监15船测得A 在其南偏东45方向上，测得渔政船310在其北偏东15方向上，且与B 的距离为43海里的C 处．某时刻，海监15船发现日本船向在点A 周围海域作业的我渔船编队靠近，上级指示渔政船310立刻全速前往点A 周围海域执法，海监15船原地监测．渔政船310走到B 正东方向D 处时，测得距离B 为42海里．若渔政船310以23海里/小时的速度航行，求其到达点A 所需的时间．18. (本小题满分16分)已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F 是椭圆C 的右焦点，M 为椭圆上一点，以M 为圆心，MF 为半径作圆M ．问点M 的横坐标在什么范围内取值时，圆M 与y 轴有两个交点?B C DAPA B C D E G（3）设圆M 与y 轴交于D 、E 两点，求弦长DE 的最大值．19.（本小题满分16分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有 “一阶比增函数”组成的集合记为A ，所有“二阶比增函数”组成的集合记为B . （1）设函数32()2(2)(1)(0,)f x ax a x a x x a R =--+->∈. ①求证：当0a =时，()f x A B ∈；②若()f x A ∈，且()f x B ∉，求实数a 的取值范围； （2）对定义在(0,)+∞上的函数()f x ，若()f x B ∈，且存在常数k ，使得(0,),()x f x k ∀∈+∞<，求证:()0f x <.20.（本小题满分16分）若数列{}n b 满足：对于N n *∈，都有2n n b b d +-=（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差数列．（1）若⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n 求准等差数列{}n c 的公差，并求{}n c 的前19项的和19T ；（2）设数列{}n a 满足：1a a =，对于N n *∈，都有12n n a a n ++=．①求证：{}n a为准等差数列，并求其通项公式；②设数列{}n a的前n项和为n S，试研究：是否存在实数a，使得数列{}n S有连续的两项都等于50?若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．．A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，2CD =，DE AB ⊥，垂足为E ，且E 是OB 的中点，求BC 的长．B ．（选修４－２：矩阵与变换） 已知矩阵2143A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，2246B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （1）求矩阵A 的逆矩阵；（2）求满足AX B =的二阶矩阵X ．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知曲线C 的参数方程为2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩，曲线D 的极坐标方程为sin()24πρθ+=-．（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程； （2）曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．D ．（选修４－５：不等式选讲）已知x ，y ，z 均为正数．求证：111yx z yzzx xy xy z++?+．22．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是35，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（1）求乙得分的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．23．设数集{}121,,,,n A x x x =-，其中120n x x x <<<<，2n ≥，向量集{}(,),,B a a x y x A y A ==∈∈.若12,a B a B ∀∈∃∈使得120a a ⋅=，则称A 具有性质P .（1）若1a >，数集{}1,1,A a =-，求证：数集A 具有性质P ； （2）若2b >，数集{}1,1,2,A b =-具有性质P ，求b 的值； （3）若数集{}121,,,,n A x x x =-（其中120n x x x <<<<，2n ≥）具有性质P ，11x =，2x q =(q 为常数，1q >)，求数列{}k x 的通项公式k x *(,)k N k n ∈≤.2014年高考模拟试卷(2)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1.(]0,1；2.1i -；3.0；4.50；5. 16；6.3；7. 502；8. 23；9. 10； 10. 3；11.32π； 12. 203-.解析：2211()()()()33HG BC AG AH BC AG BC AC AB AC AB AC AB ⋅=-⋅=⋅=+⋅-=-203=-．另解：注意到题中的ABC ∆形状不确定，因此可取特殊情形90ACB ∠=，则点H 即为点A ，由此可迅速得到答案 ； 13. [)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦； 14.512-. 二、解答题15. 解：（1）由题设：1,22T T ππ=∴=，22Tπω∴==，()2y f x π=+为偶函数，∴函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，s i n()1πϕ∴+=或sin()1πϕ+=-，0ϕπ<<，2πϕ∴=，()sin(2)cos22f x x x π∴=+=；（2）3()2125f απ+=，3cos()65πα∴+=，α为锐角，4sin()65πα∴+=24sin 2()2sin()cos()66625πππααα∴+=++=，27c o s 2()2c o s ()16625ππαα∴+=+-=-， 241732473sin 2sin[2()]()6325225250ππαα+∴=+-=⨯--⨯=．16． （1）证明：设菱形ABCD 的边长为1，E 是AB 的中点，060DAB ∠=，PG211312cos60424DE ∴=+-⨯=， 222DE AE AD ∴+=，DE AE ∴⊥，DE CD ∴⊥，平面PCD ⊥底面ABCD ，平面PCD 底面ABCD CD =，DE ABCD ⊂，DE ∴⊥平面PCD ，又DE GED ⊂平面,∴平面GDE ⊥平面PCD ；（2）解：连接AC ，交DE 于H ，连接GH ，则//PC 平面DGE ，,PC PAC ⊂平面平面PCA 平面GDE GH =，//PC GH∴，2PG CH DCGA HA AB∴===. 17. 解：由题设，43,42,75,45,120,BC BD CBD ABD ABC ==∠=∠=∠= 在CBD ∆中，由余弦定理得，483224342cos752(62)CD =+-⨯⨯=+，在CBD ∆中，由正弦定理得，42sin 752,sin sin sin 7522(62)BD CD C C =∴==+，,090,45,1B D B C C C A <∴<<∴=∴=， 在ABC ∆中，由正弦定理得，sin sin120BC ACA =， s i n 12043s i n 1206(62)s i n s i n 15BC AC A ∴===+∴渔政船310从C 处到达点A 所需的时间为6(62)23+小时．18.解：(1)椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ，2222121914a b a a b ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，即22223401914a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=；(2)易求得(1,0)F ．设00(,)M x y ，则2200143x y +=， 圆M 的方程为22220000()()(1)x x y y x y -+-=-+，令0x =，化简得2002210y y y x -+-=，20044(21)0y x ∆=-->……①．将22003(1)4x y =-代入①，得20038160x x +-<，解出0004442233x x x -<<≤≤∴-≤<，又-2，；(3)设1(0,)D y ，2(0,)E y ，其中12y y <．由(2)，得222210000046444(21)38163()33DE y y y x x x x =-=--=--+=-++，当043x =-时，DE 的最大值为833．19. （1）①证明：当0a =时，2()4(0)f x x x x =->，()41f x y x x ∴==-在(0,)+∞上为增函数，()f x A ∴∈； 2()14f x y x x==-在(0,)+∞上为增函数，()f x B ∴∈，()f x A B ∴∈；②解：32()2(2)(1)(0,)f x ax a x a x x a R =--+->∈，()f x B ∉，∴由①知0a ≠，()f x A ∈，2()2(2)(1)f x y ax a x a x∴==--+-在(0,)+∞上为增函数， 020a a a>⎧⎪∴-⎨≤⎪⎩，02a ∴<≤（*） ()f x B ∉，2()12(2)f x a y ax a x x-==+--在(0,)+∞上不是增函数，2()12(2)f x a y a x a x x-==+--在(0,)+∞上是增函数⇔12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，121212121()()()()0a a x x x x a f x f x x x ----=<， 结合（*）有12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，1210a x x a-->，01a ∴<≤结合（*）有2()12(2)f x a y a x a x x-==+--在(0,)+∞上不是增函数⇔12a <≤，∴实数a 的取值范围是12a <≤； （2）（用反证法）假设0(0,)x ∃∈+∞，0()0f x ≥，则：㈠若0()0f x >，记020()0f x m x =>， ()f x B ∈，2()f x y x∴=在(0,)+∞上为增函数， ∴当0x x >时，0220()()f x f x m x x >=，所以2()f x mx >， ∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与()f x k <矛盾；㈡若0()0f x =，则020()0f x x =，()f x B ∈，在(0,)+∞上为增函数，0x x ∴>时，0220()()0f x f x x x >=，即()0f x >，同㈠可得矛盾；()0f x ∴<.20. 解：（1）数列⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c nn 为奇数时，2[4(2)1](41)8n n c c n n +-=+---=，n 为偶数时，2[4(2)9](49)8n n c c n n +-=++-+=， ∴准等差数列{}n c 的公差为8，19(375)10(1781)983122T +⨯+⨯=+=； （2）①n a a n n 21=++ （*∈N n ）（i ）)1(221+=+++n a a n n （ii ）（ii ）-（i ）得22=-+n n a a （*∈N n ）． 所以，{}n a 为公差为2的准等差数列．当n 为偶数时，a n n a a n -=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2122，当n 为奇数时，解法一：12121-+=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-++=a n n a a n ；解法二：()[]11)1(2)1(21-+=----=--=-a n a n n a n a n n ；解法三：先求n 为奇数时的n a ，再用（i ）求n 为偶数时的n a 同样给分．⎩⎨⎧--+=∴为偶数） （为奇数）（n a n n a n a n ,,1②解：当n 为偶数时，()2212212222221222n n n n a n n n a S n =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=；当n 为奇数时，()2212121212221212121⨯⎪⎭⎫⎝⎛---+-⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++⋅=n n n a n n n a S n 21212-+=a n ． 当k 为偶数时，50212==k S k ，得10=k ．由题意，有10502192129=⇒=-+⨯=a a S ；或1050211121211-=⇒=-+⨯=a a S ． 所以，10±=a ．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 解：连接OD ，则OD DC ⊥．在Rt OED ∆中，1122OE OB OD ==，30ODE ∴∠=．在Rt ODC ∆中，30DCO ∴∠=，由2DC =，则23tan 303OB OD DC ===，243cos30332CD OC ===， 所以233BC OC OB =-=． B ．解：（1）2143A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，21det()243A -∴==-， ∴矩阵A 的逆矩阵131312222422122A --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦（2）AX B =，1X A B -∴=31221022460221⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． C. 解：（1）由2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩得 21,[1,1]x y x +=∈- （2）由sin()24πρθ+=-得曲线D 的普通方程为20x y ++=2201x y x y ++=⎧⎨+=⎩得230x x --=解得113[1,1]2x ±=∉-,故曲线C 与曲线D 无公共点.D. 证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()y yx x yzzxz xyz+=+ ，同理可得22,yz z x zx xy x xyyz y+? ， 当且仅当x y z ==时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111yx z yzzxxyxy z++?+． 22. 解：（1）设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15,0,15,30-．353101(15)12C P X C =-==； 21553105(0)12C C P X C ===；12553105(15)12C C P X C ===； 353101(30)12C P X C ===．乙得分的分布列如下：X15- 0 15 30P112 512 512 112155115(15)01530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯=．（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B .则 223332381()()()555125P A C =+=，511()12122P B =+=． 故甲乙两人至少有一人入选的概率4411031()1.1252125P P A B =-⋅=-⨯= 23. （1）证明：数集{}1,1,A a =-时，列表如下：1a (1,1)-- (1,1)- (1,)a - (1,1)-(1,1) (1,)a (,1)a - (,1)a (,)a a 2a(1,1)-(1,1)(,1)a(,)a a(1,1)-(,1)a -(1,)a(1,)a -(1,1)-由表知：12,a B a B ∀∈∃∈使得120a a ⋅=，∴数集A 具有性质P ；（2）选取1(,2)a b =，B 中与1a 垂直的元素必有形式(1,)t -，2b t ∴=，2b >，{}1,1,2,t A b ∈=-，2t ∴=，2(2)2b ∴==；（3）由（1）（2）猜测1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤. 记{}21,1,,,m m A x x =-，2,3,,m n =.先证明:若1m A +具有性质P ，则m A 也具有性质P .任取1(,),a s t s =、m t A ∈.当s 、t 中出现1-时,显然有2a 满足120a a ⋅=; 当1s ≠-且1t ≠-时，1s ≥、1t ≥.因为1m A +具有性质P ,所以有211111(,),,m a s t s t A +=∈，使得120a a ⋅=, 从而1s 和1t 中有一个是1-，不妨设11s =-.假设1t ∈1m A +且1t ∉m A ，则11m t x +=.由1(,)(1,)0m s t x +⋅-=， 得11m m s tx x ++=≥，与m s A ∈矛盾.1t ∴∈m A .从而m A 也具有性质P现用数学归纳法证明猜测: 1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤. ①当n =1和2时，结论显然成立;②假设n=m 时, {}21,1,,,m m A x x =-有性质P ，则1k k x q -=，1,2,,k m =； 当n=1m +时,若{}1211,1,,,,m m m A x x x ++=-有性质P ，则{}21,1,,,m m A x x =-也有性质P ，{}1111,1,,,,m m m A q q x -++∴=-. 取11(,)m a x q +=，并设2(,),a s t =满足120a a ⋅=，即10m x s qt ++=. 由此可得1s =-或1t =-. 若1t =-，则1m q x q s+=≤矛盾；1s ∴=-，1m x qt +=，又11m m x q -+>，{}1111,1,,,,m m m t A q q x -++∈=-，1q >1m t q -∴=，1m m x q +∴=.综合①②知，1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤.。
2014年江苏省南通市高三数学最后一卷
南通市2014届高三数学临门一脚数学I参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．． 1．已知集合A ={1，k -1}，B ={2，3}，且A ∩B ={2}，则实数k 的值为 ▲ ． 2．若复数z 满足i z =2(i 为虚数单位)，则z = ▲ ． 3．不等式组0,0,2x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤所表示的平面区域的面积为 ▲ ．4．函数y =sin 2x 的最小正周期为 ▲ ．5．若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A -BDA 1的体积为 ▲ ． 6．已知函数23,0,()1,0,x x f x x x ->⎧=⎨+⎩≤若f (x )=5，则x = ▲ ．7．设函数f (x )=log 2x (0<x <5)，则f (x )<1的概率为 ▲ ． 8．某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为 ▲ ．(第8题图)(第10题图)(第9题图)9法流程图．若输入A =3，B 则输出A ，B 的值分别▲ ．10．已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若(,)λμλμ=+∈R c a b ，则λμ+=▲ ．11．已知实数x ，y ，满足xy =1，且x >2y >0，则2242x y x y+-的最小值为 ▲ ．12．设t ∈R ，[t ]表示不超过t 的最大整数．则在平面直角坐标系xOy 中，满足[x ]2+[y ]2=13的点P (x ，y )所围成的图形的面积为 ▲ ．13．设函数f (x )满足f (x )=f (3x )，且当x ∈[1,3)时，f (x )=ln x ．若在区间[1,9)内，存在3个不同的实数x 1，x 2，x 3，使得312123()()()f x f x f x x x x ===t ，则实数t 的取值范围为 ▲ ． 14．设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1，a 54，a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指定区域内作答．．．．．．．．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，|AB AC -|=3，|BC BA -|=5，|CA CB -|=7． (1)求C 的大小；(2)设D 为AB 的中点，求CD 的长．(第15题图)BAC如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆上，四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，∠BAF =3π，M 为BD 的中点，平面ABCD ⊥平面ABEF ．求证：(1)BF ⊥平面DAF ； (2)ME ∥平面DAF ．17．（本小题满分14分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4．若凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设AB =2x ，BC =y ． (1)写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围； (2)求当x 取何值时，凹槽的强度T 最大．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b +=(a >b >0)过点(1，1)．(1)，求椭圆的方程；(2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．①已知命题：“直线PQ 恒与定圆C 相切”是真命题，试直接写出圆C 的方程；(不需要解答过程)②设①中的圆C 交y 轴的负半轴于M 点，二次函数y =x 2-m 的图象过点M ．点A ，B在该图象上，当A ，O ，B 三点共线时，求△MAB 的面积S 的最小值．(第17题图)图1图2(第16题图)设数列{a n }，a 1=1，1133n n n a a +=+．数列{b n }，13n n n b a -=．正数数列{d n }，2221111n n n d b b +=++．(1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)设数列{b n }，{d n }的前n 项和分别为B n ，D n ，求数列{b n D n +d n B n -b n d n }的前n 项和S n ．20．（本小题满分16分）设函数f (x )=ax 2+e x (a ∈R )有且仅有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)． (1)求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a 满足f (x 1)=231e x ?如存在，求f (x )的极大值；如不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请．选定其中两小题．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB =AC ，延长BC 到点D ，使得CD =AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F ，求证B ．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3． (1)求a ，b 的值；(2)求属于2λ的一个特征向量α．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）圆C 的参数方程为12cos ,2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，设P 是圆C 与x 轴正半轴的交点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程．D ．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知a 、b 、c 均为正实数，且a +b +c =1+的最大值．D(第21A 图)【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）(1)计算：2013320145C A +；(2)观察下面一组组合数等式：101C C n n n -=；2112C C n n n -=；3213C C n n n -=；…由以上规律，请写出第k (k ∈N *)个等式并证明．23．（本小题满分10分）设数列{a n }，{b n }满足a 1=b 1，且对任意正整数n ，{a n }中小于等于n 的项数恰为b n ； {b n }中小于等于n 的项数恰为a n ． (1)求a 1；(2)求数列{a n }的通项公式．南通市2014届高三数学临门一脚参考答案与评分建议数学I参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．． 1．已知集合A ={1，k -1}，B ={2，3}，且A ∩B ={2}，则实数k 的值为 ▲ ． 答案：3．2．若复数z 满足i z =2(i 为虚数单位)，则z = ▲ ． 答案：-2i ．3．不等式组0,0,2x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤所表示的平面区域的面积为 ▲ ．答案：2．4．函数y =sin 2x 的最小正周期为 ▲ ． 答案：π．5．若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A -BDA 1的体积为 ▲ ． 答案：16． 6．已知函数23,0,()1,0,x x f x x x ->⎧=⎨+⎩≤若f (x )=5，则x = ▲ ．答案：8或-2．7．设函数f (x )=log 2x (0<x <5)，则f (x )<1的概率为 ▲ ． 答案：25．(第10题图)(第9题图)8．某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为 ▲ ． 答案：1200．9．如图是一个算法流程图．若输入A =3，B =5，则输出A ，B 的值分别为 ▲ ．答案：5，3．10．已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若(,)λμλμ=+∈R c a b ，则λμ+=▲ ． 答案：53-．11．已知实数x ，y ，满足xy =1，且x >2y >0，则2242x y x y+-的最小值为 ▲ ．答案：4．12．设t ∈R ，[t ]表示不超过t 的最大整数．则在平面直角坐标系xOy 中，满足[x ]2+[y ]2=13的点P (x ，y )所围成的图形的面积为 ▲ ． 答案：8．13．设函数f (x )满足f (x )=f (3x )，且当x ∈[1,3)时，f (x )=ln x ．若在区间[1,9)内，存在3个不同的实数x 1，x 2，x 3，使得312123()()()f x f x f x x x x ===t ，则实数t 的取值范围为 ▲ ． 答案：ln 31(,)93e． 14．设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1，a 54，(第8题图)a k成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为▲ ．答案：92．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指定区域内作答．．．．．．．．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，在△ABC中，|AB AC-|=3，|BC BA-|=5，|CA CB-|=7．(1)求C的大小；(2)设D为AB的中点，求CD的长．解：(1)依题意BC=3，CA=5，AB=7．······························································1分由余弦定理，得222cos2CB CA ABCCB CA+-=⋅⋅=12-．·········································4分因0<C<π，··························································································6分故C=23π．··························································································8分(2)由余弦定理，得13cos14A=．·······························································11分在△ADC中，AD=72，CD2=AC2+AD2-2AC×AD×cos A=194，于是CD．··················································································14分16．（本小题满分14分）如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆上，四边形ABCD3π，M为BD的中点，平面ABCD⊥平面ABEF．求证：(1)BF⊥平面DAF；(2)ME∥平面DAF．(第15题图)B AC(第16题图)解：(1)因四边形ABCD 为矩形，故DA ⊥AB ．因平面ABCD ⊥平面ABEF ，且DA ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面ABEF =AB ， 故DA ⊥平面ABEF ． ············································································3分 因BF ⊂平面ABEF ，故DA ⊥BF ． ···························································4分 因AB 为直径，故BF ⊥AF ．因DA ，AF 为平面DAF 内的两条相交直线，故BF ⊥平面DAF ．·····················7分 (2)因∠BAF =3π，AB ∥EF ，故EF =12AB ．··················································8分 取DA 中点N ，连NF ，MN ，因M 为BD 的中点， 故MN ∥AB ，且MN =12AB ，于是四边形MNFE 为平行四边形， 所以ME ∥NF ．···················································································11分 因NF ⊂平面DAF ，ME ⊄平面DAF ，故ME ∥平面DAF ．·············································································14分注：第(2)问，亦可先证明ME ∥平面MOE ．17．（本小题满分14分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4．若凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设AB =2x ，BC =y ． (1)写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围； (2)求当x 取何值时，凹槽的强度T 最大．解：(1)易知半圆CmD 的半径为x ，故半圆CmD 的弧长为πx ． 所以，4=2x +2y +πx ，得4(2)2xy -+π=．····················································4分 依题意，知：0<x <y ，得404x <<+π．所以，4(2)2x y -+π=(404x <<+π)．·······················································7分 (第17题图)图1图2(2)依题意，T =AB S ⋅=212(2)2x xy x -π=238(43)x x -+π． ······························9分令2163(43)T x x '=-+π=0，得16912x =π+∈4(0,)4+π，另一解舍去．··············11分所以当16912x =π+，凹槽的强度最大．·····················································14分注：x 的范围写为404x <≤+π，不扣分．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b +=(a >b >0)过点(1，1)．(1)，求椭圆的方程； (2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．(2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．①已知命题：“直线PQ 恒与定圆C 相切”是真命题，试直接写出圆C 的方程；(不需要解答过程)②设①中的圆C 交y 轴的负半轴于M 点，二次函数y =x 2-m 的图象过点M ．点A ，B在该图象上，当A ，O ，B 三点共线时，求△MAB 的面积S 的最小值．解：(1)由e =，所以::a b c =．························································2分 设椭圆方程为222212x y b b +=，将(1，1)代入得221112b b+=，所以223,32b a ==，椭圆方程为222133x y +=．·············································5分(2)①221x y +=．··················································································9分 ②由题意，二次函数为y =x 2-1．······························································10分 设直线AB 的方程为y =kx ．由21y x y kx⎧=-⎨=⎩，消去y 得，210x kx --=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x k +=，121x x =-．······································12分所以212S OM x =⋅=． ·····························14分 当0k =时，△MAB 的面积S 的最小值为1． ·············································16分19．（本小题满分16分）设数列{a n }，a 1=1，1133n n n a a +=+．数列{b n }，13n n n b a -=．正数数列{d n }，2221111n n n d b b +=++．(1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)设数列{b n }，{d n }的前n 项和分别为B n ，D n ，求数列{b n D n +d n B n -b n d n }的前n 项和S n ．解：(1)由1133n n n a a +=+，得11331n n n n a a -+=+． 又13n n n b a -=，所以11n+n b b +=．·······························································3分 又b 1=a 1=1，所以数列{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列．·····················4分 (2)由(1)得1(1)1n b n n =+-⨯=，B n =(1)2n n +．·············································6分 因2221111n n n d b b +=++， 故222221121)111(1)(1)nn n d n n n n ++=++=+++（21[1](1)n n =++． 由d n >0，得11111(1)1n d n n n n =+=+-++．于是，111n D n n =+-+． ······································································10分 又当n ≥2时，b n D n +d n B n -b n d n =(B n -B n -1)D n +(D n -D n -1)B n -(B n -B n -1)(D n -D n -1)=B n D n -B n -1D n -1， 所以S n =(B n D n -B n -1D n -1)+(B n -1D n -1-B n -2D n -2)+…+(B 2D 2-B 1D 1)+B 1D 1=B n D n ．··········14分 因S 1=b 1D 1+d 1B 1-b 1d 1=B 1D 1也适合上式，故对于任意的n ∈N *，都有S n =B n D n ． 所以S n =B n D n =(1)2n n +⋅1(1)1n n +-+=321(2)2n n +． ···································16分20．（本小题满分16分）设函数f (x )=ax 2+e x (a ∈R )有且仅有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)． (1)求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a 满足f (x 1)=231e x ?如存在，求f (x )的极大值；如不存在，请说明理由．解：(1)()f x '=2ax +e x ．显然a ≠0，x 1，x 2是直线y =12a -与曲线y =g (x )=ex x两交点的横坐标．··············2分由()g x '=1e xx-=0，得x =1．列表： ·························································4分 此外注意到： 当x <0时，g (x )<0；当x ∈[0，1]及x ∈(1，+∞)时，g (x )的取值范围分别为[0，1e ]和(0，1e)．于是题设等价于0<12a -<1e ⇒a <e 2-，故实数a 的取值范围为(-∞，e2-)．········6分 (2)存在实数a 满足题设．证明如下： 由(1)知，0< x 1<1<x 2，1()f x '=2ax 1+1e x =0，故f (x 1)=121+e x ax =111e e 2x x x -=231e x ，故11231e 1e e 02x x x --=．····························8分 记R (x )=23e 1e e 2x xx --(0<x <1)，则()R x '=2e (1)1e 02xx x x --<， 于是，R (x )在(0，1)上单调递减． 又R (23)=0，故R (x )有唯一的零点x =23． 从而，满足f (x 1)=231e x 的x 1=23．所以，a=1231e 3e 24x x -=-．·····························12分 此时f (x )=2233e e 4x x -+，()f x '=233e e 2x x -+，又(0)f '>0，(1)f '<0，(2)f '>0，而x 1=23∈(0，1)，故当a =233e 4-时，f (x )极大=f (x 1)=232e 3．·······················································16分南通市2014届高三数学临门一脚数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请．选定其中两小题．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，⊙O 是三角形△ABC 的外接圆，AB =AC ，延长BC 到点D ，使得CD =AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F ，求证BE 平分∠ABC ．解：因CD =AC ，故∠D =∠CAD ．因AB =AC ，故∠ABC =∠ACB ． 因∠EBC =∠CAD ，故∠EBC =∠D ．因∠ABC =∠ABE +∠EBC ，∠ACB =∠D +∠CAD ．故∠ABE =∠EBC ，即BE 平分∠ABC ． ···················································10分B ．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3． (1)求a ，b 的值；(2)求属于2λ的一个特征向量α．解：(1)令2()()(4)(4)4014abf a b a a b λλλλλλλ--==--+=-+++=-，于是 1λ+2λ=a +4，1λ⋅2λ=4a +b ．解得a =1，b =2． ············································5分(2)设α=x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则A α=1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=24x y x y +⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦=3x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=33x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故23,43,x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩解得x =y ．于是，α=11⎡⎤⎢⎥⎣⎦．···············································10分D(第21A 题图)C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）圆C 的参数方程为12cos ,2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，设P 是圆C 与x 轴正半轴的交点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程．解：由题设知，圆心C ，(2,0)P ，∠CPO =60°，故过P 点的切线的倾斜角为30°． ····························································3分 设(,)M ρθ是过P 点的圆C 的切线上的任一点，则在△PMO 中， ∠MOP =θ，030OMP θ∠=-，0150OPM ∠=． 由正弦定理得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠，于是002sin150sin(30)ρθ=-， 即0cos(60)1 ρθ+=（或0sin(30)1ρθ-=）即为所求切线的极坐标方程．·········10分D ．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a 、b 、c 均为正实数，且a +b +c =1+的最大值．解：因 a 、b 、c ＞0，故+)2 111++)2≤((a +1)+(b +1)+(c +1))(1+1+1)=12，························································3分+≤，==a =b =c =13时，取“=”．．··········································10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）(1)计算：2013320145C A +；(2)观察下面一组组合数等式：101C C n n n -=；2112C C n n n -=；3213C C n n n -=；…由以上规律，请写出第k (k ∈N *)个等式并证明．解：(1)原式=2074．·····················································································5分(2)等式为：11C C k k n n k n --=，k ∈N *． ····························································7分证明：C k n k =!!()!kn k n k -=(1)!(1)!((1)(1))!n n k n k -----=11C k n n --．·······························10分23．（本小题满分10分）数列{a n }，{b n }满足a 1=b 1，且对任意正整数n ，{a n }中小于等于n 的项数恰为b n ； {b n }中小于等于n 的项数恰为a n ． (1)求a 1；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)首先，容易得到一个简单事实：{a n }与{b n }均为不减数列且a n ∈N ，b n ∈N ． 若a 1=b 1=0，故{a n }中小于等于1的项至少有一项，从而b 1≥1，这与b 1=0矛盾． 若a 1=b 1≥2，则{a n }中没有小于或等于1的项，从而b 1=0，这与b 1≥2矛盾． 所以，a 1=1．························································································4分 (2)假设当n =k 时，a k =b k =k ，k ∈N *．若a k +1≥k +2，因{a n }为不减数列，故{a n }中小于等于k +1的项只有k 项， 于是b k +1=k ，此时{b n }中小于等于k 的项至少有k +1项(b 1，b 2，…，b k ，b k +1)， 从而a k ≥k +1，这与假设a k =k 矛盾．若a k +1=k ，则{a n }中小于等于k 的项至少有k +1项(a 1，a 2，…，a k ，a k +1)， 于是b k ≥k +1，这与假设b k =k 矛盾． 所以，a k +1=k +1．所以，当n =k +1时，猜想也成立．综上，由(1)，(2)可知，a n =b n =n 对一切正整数n 恒成立．所以，a n =n ，即为所求的通项公式．························································10分。
南通市2014届高三数学最后一卷参考答案与评分建议
(第10题图)(第9题图) 南通市2014届高三数学参考答案与评分建议 数学I参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．． 1．已知集合A ={1，k -1}，B ={2，3}，且A ∩B ={2}，则实数k 的值为 ▲ ．答案：3． 2．若复数z 满足i z =2(i 为虚数单位)，则z = ▲ ．答案：-2i ． 3．不等式组0,0,2x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤所表示的平面区域的面积为 ▲ ．答案：2．4．函数y =sin 2x 的最小正周期为 ▲ ．答案：π．5．若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A -BDA 1的体积为 ▲ ．答案：16．6．已知函数23,0,()1,0,x x f x x x ->⎧=⎨+⎩≤若f (x )=5，则x = ▲ ．答案：8或-2．7．设函数f (x )=log 2x (0<x <5)，则f (x )<1的概率为 ▲ ．答案：25． 8．某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为 答案：1200．9．如图是一个算法流程图．若输入A =3，B =5，则输出A ，B 的值分别为▲ ．答案：5，3．10．已知向量a ，b ，c在正方形网格中的位(第8题图)(,)λμλμ=+∈R c a b ，则λμ+= ▲ ．答案：53-．11．已知实数x ，y ，满足xy =1，且x >2y >0，则2242x y x y +-的最小值为 ▲ ．答案：4．12．设t ∈R ，[t ]表示不超过t 的最大整数．则在平面直角坐标系xOy 中，满足[x ]2+[y ]2=13的点P (x ，y )所围成的图形的面积为 ▲ ．答案：8．13．设函数f (x )满足f (x )=f (3x )，且当x ∈[1,3)时，f (x )=ln x ．若在区间[1,9)内，存在3个不同的实数x 1，x 2，x 3，使得312123()()()f x f x f x x x x ===t ，则实数t 的取值范围为 答案：ln31(,)93e． 14．设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1，a 54，a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为 ▲ ．答案：92．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指定区域内作答．．．．．．．．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，|AB AC -|=3，|BC BA -|=5，|CA CB -|=7． (1)求C 的大小；(2)设D 为AB 的中点，求CD 的长．解：(1)依题意BC =3，CA =5，AB =7．······························1分 由余弦定理，得222cos 2CB CA AB C CB CA+-=⋅⋅=12-． ····················4分因0<C <π，···············6分 故C =23π．·······················8分(2)由余弦定理，得13cos 14A =．··············11分 在△ADC 中，AD =72，CD 2=AC 2+AD 2-2AC ×AD ×cos A =194，于是CD．·· 14分16．（本小题满分14分）如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆上，四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，∠BAF =3π，M 为BD 的中点，平面ABCD ⊥平面ABEF ．求证：(1)BF ⊥平面DAF ； (2)ME ∥平面DAF ．(第15题图)BAC解：(1)因四边形ABCD 为矩形，故DA ⊥AB ．因平面ABCD ⊥平面ABEF ，且DA ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面ABEF =AB ， 故DA ⊥平面ABEF ． ·············3分，因BF ⊂平面ABEF ，故DA ⊥BF ． ··········4分 因AB 为直径，故BF ⊥AF ．因DA ，AF 为平面DAF 内的两条相交直线，故BF ⊥平面DAF ．·····················7分 (2)因∠BAF =3π，AB ∥EF ，故EF =12AB ．··················································8分 取DA 中点N ，连NF ，MN ，因M 为BD 的中点， 故MN ∥AB ，且MN =12AB ，于是四边形MNFE 为平行四边形，所以ME ∥NF ．··· 1分 因NF ⊂平面DAF ，ME ⊄平面DAF ，故ME ∥平面DAF ．·····14分注：第(2)问，亦可先证明ME ∥平面MOE ．17．（本小题满分14分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4．若凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设AB =2x ，BC =y ． (1)写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围； (2)求当x 取何值时，凹槽的强度T 最大．解：(1)易知半圆CmD 的半径为x ，故半圆CmD 的弧长为πx ． 所以，4=2x +2y +πx ，得4(2)2xy -+π=．····················································4分 依题意，知：0<x <y ，得404x <<+π． 所以，4(2)2x y -+π=(404x <<+π)．·······················································7分 (2)依题意，T =AB S ⋅=212(2)2x xy x -π=238(43)x x -+π． ······························9分令2163(43)T x x '=-+π=0，得16912x =π+∈4(0,)4+π，另一解舍去．··············11分(第17题图)图1图2所以当16912x =π+，凹槽的强度最大．·····················································14分注：x 的范围写为404x <≤+π，不扣分． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(a >b >0)过点(1，1)．(1)，求椭圆的方程； (2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．(2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．①已知命题：“直线PQ 恒与定圆C 相切”是真命题，试直接写出圆C 的方程；(不需要解答过程)②设①中的圆C 交y 轴的负半轴于M 点，二次函数y =x 2-m 的图象过点M ．点A ，B在该图象上，当A ，O ，B 三点共线时，求△MAB 的面积S 的最小值．解：(1)由e =，所以::a b c =．························································2分 设椭圆方程为222212x y b b+=，将(1，1)代入得221112b b +=，所以223,32b a ==，椭圆方程为222133x y +=．··················5分 (2)①221x y +=．··················································································9分 ②由题意，二次函数为y =x 2-1．········· 10分 设直线AB 的方程为y =kx ．由21y x y kx⎧=-⎨=⎩，消去y 得，210x kx --=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x k +=，121x x =-．······································12分所以2112S OM x x =⋅-= ·····························14分 当0k =时，△MAB 的面积S 的最小值为1． ··········16分19．（本小题满分16分）设数列{a n }，a 1=1，1133n n n a a +=+．数列{b n }，13n n n b a -=．正数数列{d n }，2221111n n n d b b +=++． (1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)设数列{b n }，{d n }的前n 项和分别为B n ，D n ，求数列{b n D n +d n B n -b n d n }的前n 项和S n ．解：(1)由1133n n n a a +=+，得11331n n n n a a -+=+． 又13n n n b a -=，所以11n+n b b +=．·······························································3分 又b 1=a 1=1，所以数列{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列．·····················4分 (2)由(1)得1(1)1n b n n =+-⨯=，B n =(1)2n n +．·············································6分 因2221111n n n d b b +=++， 故222221121)111(1)(1)nn n d n n n n ++=++=+++（21[1](1)n n =++． 由d n >0，得11111(1)1n d n n n n =+=+-++．于是，111n D n n =+-+． ·································10分 又当n ≥2时，b n D n +d n B n -b n d n =(B n -B n -1)D n +(D n -D n -1)B n -(B n -B n -1)(D n -D n -1)=B n D n -B n -1D n -1， 所以S n =(B n D n -B n -1D n -1)+(B n -1D n -1-B n -2D n -2)+…+(B 2D 2-B 1D 1)+B 1D 1=B n D n ．··········14分 因S 1=b 1D 1+d 1B 1-b 1d 1=B 1D 1也适合上式，故对于任意的n ∈N *，都有S n =B n D n ． 所以S n =B n D n =(1)2n n +⋅1(1)1n n +-+=321(2)2n n +． ···············16分 20．（本小题满分16分）设函数f (x )=ax 2+e x (a ∈R )有且仅有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)． (1)求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a 满足f (x 1)=231e x ?如存在，求f (x )的极大值；如不存在，请说明理由． 解：(1)()f x '=2ax +e x ．显然a ≠0，x 1，x 2是直线y =12a-与曲线y =g (x )=e x x两交点的横坐标．··············2分由()g x '=1ex x-=0，得x =1．列表：·························································4分 此外注意到： 当x <0时，g (x )<0；当x ∈[0，1]及x ∈(1，+∞)时，g (x )的取值范围分别为[0，1e ]和(0，1e )．于是题设等价于0<12a -<1e⇒a <e 2-，故实数a 的取值范围为(-∞，e2-)．········6分(2)存在实数a 满足题设．证明如下： 由(1)知，0< x 1<1<x 2，1()f x '=2ax 1+1e x =0，故f (x 1)=121+e x ax =111e e 2x x x -=231e x ，故11231e 1e e 02x x x --=．····························8分 记R (x )=23e 1e e 2x x x --(0<x <1)，则()R x '=2e (1)1e 02x x x x --<，于是，R (x )在(0，1)上单调递减． 又R (23)=0，故R (x )有唯一的零点x =23． 从而，满足f (x 1)=231e x 的x 1=23．所以，a=1231e 3e 24x x -=-．·····························12分 此时f (x )=2233e e 4x x -+，()f x '=233e e 2x x -+，又(0)f '>0，(1)f '<0，(2)f '>0，而x 1=23∈(0，1)， 故当a =233e 4-时，f (x )极大=f (x 1)=232e 3．·······················································16分南通市2014届高三数学临门一脚数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请．选定其中两小题．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，⊙O 是三角形△ABC 的外接圆，AB =AC ，延长BC 到点D ，使得CD =AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F ，求证BE 平分∠ABC ．解：因CD =AC ，故∠D =∠CAD ．因AB =AC ，故∠ABC =∠ACB ． 因∠EBC =∠CAD ，故∠EBC =∠D ．因∠ABC =∠ABE +∠EBC ，∠ACB =∠D +∠CAD ．故∠ABE =∠EBC ，即BE 平分∠ABC ． ···················································10分B ．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3． (1)求a ，b 的值；(2)求属于2λ的一个特征向量α．解：(1)令2()()(4)(4)4014abf a b a a b λλλλλλλ--==--+=-+++=-，于是 1λ+2λ=a +4，1λ⋅2λ=4a +b ．解得a =1，b =2． ············································5分(2)设α=x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则A α=1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=24x y x y +⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦=3x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=33x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故23,43,x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩解得x =y ．于是，α=11⎡⎤⎢⎥⎣⎦．···············································10分(第21A 题图)C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）圆C 的参数方程为12cos ,2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，设P 是圆C 与x 轴正半轴的交点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程．解：由题设知，圆心(1C ，(2,0)P ，∠CPO =60°，故过P 点的切线的倾斜角为30°． ····························································3分 设(,)M ρθ是过P 点的圆C 的切线上的任一点，则在△PMO 中， ∠MOP =θ，030OMP θ∠=-，0150OPM ∠=． 由正弦定理得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠，于是002sin150sin(30)ρθ=-， 即0cos(60)1 ρθ+=（或0sin(30)1ρθ-=）即为所求切线的极坐标方程．·········10分D ．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a 、b 、c 均为正实数，且a +b +c =1解：因 a 、b 、c ＞0，故 2 111++)2≤((a +1)+(b +1)+(c +1))(1+1+1)=12，························································3分，a =b =c =13时，取“=”．··········································10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）(1)计算：2013320145C A +；(2)观察下面一组组合数等式：101C C n n n -=；2112C C n n n -=；3213C C n n n -=；…由以上规律，请写出第k (k ∈N *)个等式并证明．解：(1)原式=2074．·····················································································5分(2)等式为：11C C k k n n k n --=，k ∈N *． ····························································7分证明：C k n k =!!()!kn k n k -=(1)!(1)!((1)(1))!n n k n k -----=11C k n n --．·······························10分23．（本小题满分10分）数列{a n }，{b n }满足a 1=b 1，且对任意正整数n ，{a n }中小于等于n 的项数恰为b n ； {b n }中小于等于n 的项数恰为a n ． (1)求a 1；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)首先，容易得到一个简单事实：{a n }与{b n }均为不减数列且a n ∈N ，b n ∈N ． 若a 1=b 1=0，故{a n }中小于等于1的项至少有一项，从而b 1≥1，这与b 1=0矛盾． 若a 1=b 1≥2，则{a n }中没有小于或等于1的项，从而b 1=0，这与b 1≥2矛盾． 所以，a 1=1．························································································4分 (2)假设当n =k 时，a k =b k =k ，k ∈N *．若a k +1≥k +2，因{a n }为不减数列，故{a n }中小于等于k +1的项只有k 项， 于是b k +1=k ，此时{b n }中小于等于k 的项至少有k +1项(b 1，b 2，…，b k ，b k +1)， 从而a k ≥k +1，这与假设a k =k 矛盾．若a k +1=k ，则{a n }中小于等于k 的项至少有k +1项(a 1，a 2，…，a k ，a k +1)， 于是b k ≥k +1，这与假设b k =k 矛盾． 所以，a k +1=k +1．所以，当n =k +1时，猜想也成立．综上，由(1)，(2)可知，a n =b n =n 对一切正整数n 恒成立．所以，a n =n ，即为所求的通项公式．························································10分。
江苏省南通市2014届高三数学第一次调研测试试题苏教版
南通市2014届高三第一次调研测试数学Ⅰ参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，则UA = ▲ ．【答案】{3，5}．2． 已知复数1z 13i =+，2z 3i =+(i 为虚数单位)．在复平面内，12z z -对应的点在第 ▲ 象限．【答案】二．3． 命题：“x ∃∈R ，0x ≤”的否定是 ▲ ．【答案】x ∀∈R ，||0x >．4． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =上横坐标为1的点到其焦点的距离为 ▲ ．【答案】3．5． 设实数x ，y 满足0 0 3 24 x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≥，≥，，，则32z x y =+的最大值是 ▲ ． 【答案】7．6． 如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是 ▲ ．【答案】32-．7． 抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为 ▲ （填甲或乙）．【答案】乙．8． 已知正三棱锥的侧棱长为1．现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 ▲ ． 【答案】25．9． 将函数()()sin 2f x x ϕ=+()0ϕ<<π的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则ϕ等于 ▲ ．（第6题）【答案】π3．10．等比数列{a n }的首项为2，公比为3，前n 项和为S n ．若log 3［12a n (S 4m +1)］=9，则1n +4m的最小值是 ▲ ． 【答案】52．11．若向量()cos sin αα=，a ，()cos sin ββ=，b ，且2+⋅≤a b a b ，则cos()αβ-的值是 ▲ ． 【答案】1．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+是曲线ln y a x =的切线，则当a ＞0时，实数b 的最小值是 ▲ ． 【答案】1-．13．已知集合M ={(,)|3x y x -≤y ≤1}x -，N ={|P PA,(1,0),(1,0)}A B -，则表示M ∩N 的图形面积等于 ▲ ．【答案】43π+14．若函数2()2014(0)f x ax x a =++>对任意实数t ，在闭区间[1 1]t t -+，上总存在两实数1x 、2x ，使得12|()()|f x f x -≥8成立，则实数a 的最小值为 ▲ ．【答案】8．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，1AB BC ⊥，且1AA AB =． （1）求证：AB ∥平面11D DCC ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC ．（1）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AB ⊄平面11D DCC ， CD ⊂平面11D DCC ，所以//AB 平面11D DCC ． ……………………………………………………………………6分 （2）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形11A ABB 为平行四边形，又1AA AB =，故四边形11A ABB 为菱形．A 1B 1C 1CDD 1（第15题）从而11AB A B ⊥．…………………………………………………………………………… 9分 又1AB BC ⊥，而1A BBC B =，1 A B ，BC ⊂平面1A BC ， 所以1AB ⊥平面1A BC ． ………………………………………………………………… 14分16．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长，且c =－3b cos A ，tan C =34．（1）求tan B 的值；（2）若2c =，求△ABC 的面积．（1）解：由正弦定理，得 sin 3sin cos C B A =-，………………………………………………2分即sin()3sin cos A B B A +=-． 所以sin cos cos sin 3sin cos A B A B B A +=-． 从而sin cos 4sin cos A B B A =-．因为cos cos 0A B ≠，所以tan 4tan A B =-．……………………………………………………4分又tan tan tan tan()tan tan 1A B C A B A B +=-+=-，由（1）知，23tan 344tan 1B B =+， 解得1tan 2B =．………………………………………………………………………………6分（2）解：由（1），得sin A =sin B =，3sin 5C =． ………………………………10分由正弦定理，得sin sin 35c A a C ===．……………………………………………12分所以△ABC的面积为114sin 2223ac B ==． ………………………………14分17．(本小题满分14分)已知a 为实常数，y =f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x <0时，f (x )=2x －a 3x2+1．（1）求函数f (x )的单调区间；（2）若f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，求a 的取值范围．（1）解：由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f (x )在区间(－∞，0)的单调性即可．f ′(x )＝2＋2a3x3，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ． …………………………………………………2分①当a ≤0时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(－∞，0)是单调递增． ………………………4分②当a ＞0时，x ∈(－∞，－a )，f ′(x )＞0，所以f (x )在区间(－∞，－a )是单调递增．x ∈(－a ，0)，f ′(x )＜0，所以f (x )在区间(－a ，0)是单调减．………………………6分综上所述：当a ≤0时，f (x )单调增区间为(－∞，0)，(0，+∞)；当a ＞0时，f (x )单调增区间为(－∞，－a )，(a ，+∞)，单调减区间为(－a ，0)，(0，a )．…………………… 7分（2）解：因为f (x )为奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－(－2 x －a 3x 2＋1)＝2x ＋ a 3x2－1． (9)分①当a ＜0时，要使f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，即2x ＋ a 3x2≥a 对一切x ＞0成立．而当x ＝－a2＞0时，有－a +4a ≥a ，所以a ≥0，则与a ＜0矛盾．所以a ＜0不成立．.................................................................................11分 ②当a ＝0时，f (x )＝2x －1＞－1=a －1对一切x ＞0成立，故a ＝0满足题设要求． (12)分③当a ＞0时，由(1)可知f (x )在(0，a )是减函数，在(a ，+∞)是增函数．所以f min (x )=f (a )＝3a －1＞a －1，所以a ＞0时也满足题设要求． (13)分综上所述，a 的取值范围是[0,)+∞．…………………………………………………… 14分18．(本小题满分16分)如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为EF 的中点，其所在圆O 的半径为4 dm （圆心O 在弓形EMF 内），∠EOF =23π．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD (不计损耗)， AD∥EF ，且点A 、D 在EF 上，设∠AOD =2θ．（1）求矩形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式； （2）当矩形铁片ABCD 的面积最大时，求cos θ的值．（1）解：设矩形铁片的面积为S ，AOM θ∠=．当03θπ<<时（如图①），4cos 2AB θ=+，24sin AD θ=⨯，()()()4cos 224sin 16sin 2cos 1S ABAD θθθθ=⨯=+⨯=+．…………………………… 3分当32θππ<≤时（如图②），24cos AB θ=⨯，24sin AD θ=⨯， 故64sin cos 32sin2S AB AD θθθ=⨯==．（第18题）②①综上得，矩形铁片的面积S 关于θ的函数关系式为()16sin 2cos 1 0 332sin 2 .32S θθθθθπ⎧+<<⎪=⎨ππ⎪<⎩，，，≤……………………………………………………… 7分 （2）解：当03θπ<<时，求导，得 ()()()216cos 2cos 1sin 2sin 164cos cos 2S θθθθθθ'=++-=+-⎡⎤⎣⎦．令0S '=，得cos θ=…………………………………………………………… 10分记区间(0 )3π，0θ（唯一存在）．列表：又当32θππ<≤时，32sin2S θ=在[ )32ππ，上的单调减函数， 所以当0θθ=即cos θ时，矩形的面积最大．………………………………… 16分19．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>过点(1，又椭圆内接四边形ABCD (点A 、B 、C 、D 在椭圆上)的对角线AC ，BD 相交于点1(1 )4P ，，且2AP PC =，2BP PD =．（1）求椭圆的方程；（2）求直线AB 的斜率．（1）解：依题意，22222 1314. c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得224 1.a b ⎧⎪⎨⎪⎩=，=所求椭圆的方程为2214x y +=． ………………………………………………………… 6分 （2）解：设()11 A x y ，，则221114x y +=．由2AP PC =，得()1133428x y C --，．…………………………………………………… 8分 （第19题）代入椭圆方程2214x y +=，得()()21213342148x y --+=．整理，得221111319()04216x y x y +-+-=，………………………………………………… 10分即1118x y +=-． ③ …………………………………………… 12分 设()22 B x y ，，同理可得2218x y +=-． ④ …………………………………………… 14分 ③-④，得21211y y x x -=--，即直线AB 的斜率为21211y y k x x -==--． …………………… 16分 20．(本小题满分16分)已知等差数列{a n }、等比数列{b n }满足a 1+a 2＝a 3，b 1b 2＝b 3，且a 3，a 2+ b 1，a 1+ b 2成等差数列，a 1，a 2，b 2成等比数列．（1）求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n }和数列{b n }中取项：第1次从数列{a n }中取a 1， 第2次从数列{b n }中取b 1，b 2， 第3次从数列{a n }中取a 2，a 3，a 4， 第4次从数列{b n }中取b 3，b 4，b 5，b 6， ……第2n －1次从数列{a n }中继续依次取2n －1个项， 第2n 次从数列{b n }中继续依次取2n 个项， ……由此构造数列{c n }：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12，…，记数列{c n }的前n 和为S n ．求满足S n ＜22014的最大正整数n ． （1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，依题意，得1112111111112111()2 () (2)()2[() ()(). a a d a d b b q b q a d a b q a d b a d a b q ++=+⎧⎪=⎪⎨+++=++⎪⎪+=⎩，，]，解得a 1=d =1，b 1=q =2．故a n =n ，b n =2n．…………………………………………………………………………… 6分（2）解：将a 1，b 1，b 2记为第1组，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6记为第2组，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12记为第3组，……以此类推，则第n 组中，有2n －1项选取于数列{a n }，有2 n 项选取于数列{b n }，前n 组共有n 2项选取于数列{a n }，有n 2＋n 项选取于数列{b n }，记它们的总和为P n ，并且有()22211222nn n n n P +++=+-． ………… 11分222014207120144545(451)222202P +-=+-->，2220141981334444(441)22(21)202P +-=---<．当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22012）时，（第21—A 题）222014201345(451)22202n S +-=--+<．………………………………………………… 13分当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22013)时，22201445(451)2202n S +-=-+>．可得到符合20142n S <的最大的n =452＋2012=4037．…………………………………… 16分数学Ⅱ（附加题）参考答案与评分标准21．【选做题】A ． 选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N ，且BN =2AM ． 求证：AB 2=AC ．证明：如图，在△ABC 中，因为CM 是∠ACM 的平分线，所以 AC AM BC BM=，① …………………………… 3分又因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的割线， 所以BM BA BN BC ⋅=⋅，即 BA BN BC BM=，…………………………………… 6分 又BN =2AM ，所以2 BA AM BC BM=，②…………………………… 8分 由①②，得AB 2=AC ． ……………………… 10分B ． 选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）设二阶矩阵A ，B 满足11234-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，()11001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦BA ，求1-B ． 解：设1a b c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，因为()111---=BA A B ，………………………………………………… 2分 所以10120134a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即21 20 340 341 a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，，…………………………………………… 6分 解得2 1 3 21 2a b c d =-⎧⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪=-⎪⎩，，，，所以1213122--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦B ．…………………………………………………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）在极坐标系中，已知曲线C ：2sin =ρθ，过极点O 的直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，AB =，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为0θθ=(ρ∈R )，() 0A 0，，()10 B ρθ，， …………………………………2分则1|0|AB =-=ρ0|2sin |θ．………………………………………………………………… 5分又AB0sin =θ …………………………………………………………… 7分解得03π=θ+2k π或03π=-θ+2k π，k ∈Z ．所以直线l 的方程为3π=θ或32π=θ (ρ∈R )． (10)分D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）已知x ，y ，z 均为正数，求证：111yx z yz zx xy x y z++++≥．证明：因为x ，y ，z 均为正数，所以()12y yx x yz zx z x y z++≥≥．……………………………… 4分同理可得2yz xy zx x+≥，2x z yz xy y +≥． ………………………………………………… 7分当且仅当x =y =z 均时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边左，右两边分别相加，并除以2，得111yx z yz zx xy x y z ++++≥．…………………………………………………………… 10分【必做题】 22．（本小题满分10分）如图，设1P ，2P ，…，6P 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一 个三角形，记该三角形的面积为随机变量S ． （1）求S =的概率；（2）求S 的分布列及数学期望()E S ．解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有36C种不同选法，其中S =的为有一个角是 30的直角三角形（如△145P P P ），共6212⨯=种，所以(361235C P S ===． ………………… 3分（2）S．S =的为顶角是120的等腰三角形（如△123P P P ），共6种，所以(366310C P S ==． …………………………………………………… 5分S =的为等边三角形（如△135P P P ），共2种，所以(362110C P S ==．…… 7分4（第22题）(361235C P S ==，故S 的分 又由（1）知布列为所以331()10510E S =++=．……………………………………… 10分23．（本小题满分10分）已知1，2，…，n 满足下列性质T 的排列1a ，2a ，…，n a 的个数为()f n （n ≥2，且n ∈N *）． 性质T ：排列1a ，2a ，…，n a 中有且只有一个1i i a a +>（i ∈{1，2，…，1n -}）．（1）求(3)f ；（2）求()f n ． 解：（1）当3n =时，1，2，3的所有排列有(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)， (3，1，2)，(3，2，1)，其中满足仅存在一个i ∈{1，2，3}，使得1i i a a +>的排列有 (1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，所以(3)4f =．………………………………………………………………………… 3分 （2）在1，2，…，n 的所有排列1(a ，2a ，…，)n a 中，若(11)i a n i n =-≤≤，从1n -个数1，2，3，…，1n -中选1i -个数按从小到大的顺序 排列为1a ，2a ，…，1i a -，其余按从小到大的顺序排列在余下位置，于是满足题意的排列个数为11C i n --．……………………………………………………………………… 6分若n a n =，则满足题意的排列个数为(1)f n -．……………………………………… 8分 综上，()f n =(1)f n -+1111Cn i n i ---=∑1(1)21n f n -=-+-．从而()33212()(3)(3)2112n n f n n f n --=--+=---． ……………………………… 10分。
江苏省南通市2014届高三第二次调研测试数学试卷
南通市2014届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 已知集合{}{}31A x x x x =<-≥，则A =R ð ▲ ．【答案】{}13x x -<≤．2． 某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为 ▲ ． 【答案】18．3． 复数i 1iz =-（其中i 为虚数单位）的模为▲ ． ．4．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的 方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则 该样本中产品的最大编号为 ▲ ． 【答案】76．5． 根据如图所示的伪代码，最后输出的a 的值为 ▲ ．【答案】48．6． 若12log 11a a <-，则a 的取值范围是 ▲ ．【答案】()4+∞，．7． 若函数32()fx x ax bx =++为奇函数，其图象的一条切线方程为3y x =-，则b 的值为 ▲ ． 【答案】3-．8. 设l ，m 表示直线，m 是平面α内的任意一条直线．则“l m ⊥”是“l α⊥”成立的▲条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）（第5题）【答案】充要．9． 在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：222x y +=（0x ≥）上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是 ▲ ．10y +--=．10．在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝8，BC ＝20，则AB AC ⋅的值为 ▲ ． 【答案】－36．11．设x ，y ，z 是实数，9x ，12y ，15z 成等比数列，且1x ，1y ，1z成等差数列，则x z z x +的值是 ▲ ． 【答案】3415．12．设π6是函数()()sin 2f x x ϕ=+的一个零点，则函数()f x 在区间()02π，内所有极值点之和为▲ ． 【答案】14π313． 若不等式(mx －1)［3m 2－( x + 1)m －1］≥0对任意(0)m ∈+∞，恒成立，则实数x 的值为 ▲ ． 【答案】114．设实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2 ≤c ≤1，则a ＋b ＋c 的最小值为 ▲ ． 【答案】12-．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，已知916AB AC AB BC ⋅=⋅=-，．求： （1）AB 的值； （2）sin()sin A B C-的值．PABCDE （第16题）【解】（1）（方法1）因为916AB AC AB BC ⋅=⋅=-，， …………………………… 4分所以91625AB AC AB BC ⋅-⋅=+=，即()25AB AC CB +=， 亦即225AB =，故5AB =． …………………………… 7分（方法2）设A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ， 则由条件得cos 9cos 16bc A ac B ==，． …………………………… 3分两式相加得(cos cos )91625c b A a B +=+=，即225c =，故5AB c ==． ……………… 7分（方法3）设A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ， 则由条件得cos 9cos 16bc A ac B ==，． …………………………… 3分由余弦定理得()()2222221191622b c a c a b +-=+-=，，两式相加得225c =，故5AB c ==． …………………………… 7分（2）sin()sin cos cos sin sin sin A B A B A BC C--=………………………… 10分 由正弦定理得s i n ()c o sc o s s i n A B a B bA C c --=22cos cos 169725ac B bc A c c --===． ………… 14分16．（本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥平面P AD ， PD ＝AD ，AB ＝2DC ，E 是PB 的中点．求证：（1）CE ∥平面P AD ；（2）平面PBC ⊥平面P AB ．【证】（1）（方法1）取P A 的中点F ，连EF ，DF ．…… 2分 因为E 是PB 的中点，所以EF // AB ，且12EF AB =．PABCDE（第16题）FM 因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以EF ∥CD ，……………… 4分 EF CD =，于是四边形DCEF 是平行四边形，从而CE ∥DF ，而CE ⊄平面P AD ，DF ⊂平面P AD ， 故CE ∥平面P AD ． …………………… 7分 （方法2）取AB 的中点M ，连EM ，CM ． ……………… 2分 因为E 是PB 的中点，所以EM // P A ．因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以CM // AD ．……………… 4分 因为EM ⊄平面P AD ，PA ⊂平面P AD ， 所以EM ∥平面P AD ．同理，CM ∥平面P AD ． 因为EMCM M =，EM CM ⊂，平面CEM ，所以平面CEM ∥平面P AD ．而CE ⊂平面P AD ，故CE ∥平面P AD ．……………………… 7分（2）（接（1）中方法1）因为PD ＝AD ，且F 是P A 的中点，所以DF PA ⊥． 因为AB ⊥平面P AD ，DF ⊂平面P AD ，所以DF AB ⊥． ……………………… 10分因为CE ∥DF ，所以CE PA ⊥，CE AB ⊥． 因为PA AB ⊂，平面P AB ，PAAB A =，所以CE ⊥平面P AB ．因为CE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面P AB ． ………………………… 14分17．（本小题满分14分）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为161048154102x xy x x ⎧-⎪-=⎨⎪-<⎩，≤≤，，≤． 若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天?（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a （14a ≤≤）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）． 【解】（1）因为一次喷洒4个单位的净化剂， 所以浓度644048()4202410x x f x y x x ⎧-⎪-==⎨⎪-<⎩，≤≤，，≤．则当04x ≤≤时，由64448x--≥，解得0x ≥，所以此时04x ≤≤．…………………… 3分当410x <≤时，由2024x -≥解得8x ≤，所以此时48x <≤．综合得08x ≤≤，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天． …………… 7分（2）设从第一次喷洒起，经x （610x ≤≤）天， 浓度()1161616()25110(14)428(6)1414a a g x x a x a x a x x x ⎡⎤=-+-=-+-=-+--⎢⎥----⎣⎦．…… 10分 因为14[48]x -∈，，而14a ≤≤，所以[48]，，故当且仅当14x -=时，y有最小值为4a --.令44a --≥，解得244a -≤，所以a的最小值为24 1.6-≈．……… 14分18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 1：1(0)x y a b ab+=>>所围成的封闭图形的面积为C 1上的点到原点O．以曲线C 1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C 2．（1）求椭圆C 2的标准方程；（2）设AB 是过椭圆C 2中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上的点（与O 不重合）．①若MO ＝2OA ，当点A 在椭圆C 2上运动时，求点M 的轨迹方程； ②若M 是l 与椭圆C 2的交点，求△AMB 的面积的最小值．【解】（1）由题意得2ab ⎧=⎪= 又0a b >>，解得28a =，21b =．因此所求椭圆的标准方程为2218x y +=． ………………………… 4分 （2）①设()M x y ，，()A m n ，，则由题设知：2OM OA =，0OA OM ⋅=．即22224()0x y m n mx ny ⎧+=+⎨+=⎩，，解得22221414m y n x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，． ………………………8分 因为点()A m n ，在椭圆C 2上，所以2218m n +=， 即()()222182y x +=，亦即221432x y +=．所以点M 的轨迹方程为221432x y +=． ………………………10分 ②（方法1）设()M x y ，，则()(0)A y x λλλλ-∈≠R ，，， 因为点A 在椭圆C 2上，所以222(8)8y x λ+=，即22288y x λ+= （i ）又2288x y += （ii ）（i ）+（ii ）得()2228119x y λ+=+， ………………………13分所以()228116||()||99AMB S OM OA x y λλλ∆=⋅=+=+≥.当且仅当1λ=±（即1AB k =±）时，()min 169AMB S ∆=. ………………………16分（方法2）假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为y ＝kx (k ≠0)．解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+， 所以22222222888(1)181818A Ak k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k +==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．…………… 12分（解法1）由于22214AMBS AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+222264(1)(18)(+8)k k k +=+ ()2222264(1)18+82k k k +++≥222264(1)2568181(1)4k k +==+， 当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝±1时等号成立，此时△AMB 面积的最小值是S △AMB ＝169． ……………15分当k ＝0，S △AMB 116129=⨯=>；当k 不存在时，S △AMB 116229=⨯=>．综上所述，△AMB 面积的最小值为169． ……………16分（解法2）因为22222211118(1)8(1)18+8k k OA OM k k +=++++22218+898(1)8k k k ++==+， 又22112OA OM OA OM +⋅≥，于是169OA OM ⋅≥， 当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝±1时等号成立．（后同方法1）19．(本小题满分16分)设数列{a n }的首项不为零，前n 项和为S n ，且对任意的r ，t ∈N *，都有()2r t SrS t=．（1）求数列{a n }的通项公式（用a 1表示）；（2）设a 1=1，b 1=3，()1*2n n b b S n n -=∈N ≥，，求证：数列{}3log n b 为等比数列； （3）在（2）的条件下，求121nk n k k b T b -==-∑． 【解】（1）因为110a S =≠，令1t =，r n =，则()2r t SrS t=，得21nS n S =，即21n S a n =．… 2分当2n ≥时，11(21)n n n a S S a n -=-=-，且当1n =时，此式也成立． 故数列{a n }的通项公式为1(21)n a a n =-． …………… 5分（2）当11a =时，由（1）知1(21)21n a a n n =-=-，S n ＝n 2．依题意，2n ≥时，121n n b n b S b --==， ……… 7分于是233131log log 2log (2)n n n b b b n n --==∈N ≥，，且31log 1b =，故数列{}3log n b 是首项为1，公比为2的等比数列． …………… 10分（3）由（2）得113log 122n n n b --=⨯=，所以12*3()n n b n -=∈N ． ……… 12分于是()()()22121222212222231131113131313+131k k k k k k k k k b b --------+-===------． ……… 15分所以()211122222111112313131k k n nnk n k k k b T b ----====-=-----∑∑． ……… 16分20．(本小题满分16分)设函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ，其图象与x 轴交于1(0)A x ，，2(0)B x ，两点，且x 1＜x 2．（1）求a 的取值范围； （2）证明：0f '<（()f x '为函数()f x 的导函数）； （3）设点C 在函数()y f x =的图象上，且△ABCt =，求(1)(1)a t --的值．【解】（1）()e x f x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>，则函数()f x 是单调增函数，这与题设矛盾．……………………… 2分所以0a >，令()0f x '=，则ln x a =．当ln x a <时，()0f x '<，()f x 是单调减函数；ln x a >时，()0f x '>，()f x 是单调增函数；于是当ln x a=时，()f x 取得极小值． ……………………… 4分因为函数()e ()x f x ax a a =-+∈R 的图象与x 轴交于两点1(0)A x ，，2(0)B x ，(x 1＜x 2)， 所以(ln )(2ln )0f a a a =-<，即2e a >．. 此时，存在1ln (1)e 0a f <=>，；存在33ln ln (3ln )3ln a a f a a a a a >=-+，3230a a a >-+>，又由()f x 在(ln )a -∞，及(ln )a +∞，上的单调性及曲线在R 上不间断，可知2e a >为所求取值范围. ……………………………… 6分（2）因为1212e 0e 0xx ax a ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，， 两式相减得2121e e x x a x x -=-．记21(0)2x x s s -=>，则()121221212221e e e e 2(e e )22x x x x x x s sx x f s x x s ++-+-'⎡⎤=-=--⎣⎦-，…………… 8分设()2(e e )s s g s s -=--，则()2(e e )0s s g s -'=-+<，所以()g s 是单调减函数， 则有()(0)0g s g <=，而122e02x x s+>，所以()1202x x f +'<． 又()e x f x a '=-是单调增函数，且122x x +>所以0f '<． ………………………………………… 11分（3）依题意有e 0i x i ax a -+=，则(1)e 0i x i a x -=>⇒112i x i >=（，）．于是122e x x +=，在等腰三角形ABC 中，显然C = 90°，…………………… 13分所以12012()2x x x x x +=∈，，即00()0y f x =<， 由直角三角形斜边的中线性质，可知2102x x y -=-， 所以21002x x y -+=，即1221212e ()022x x x xa x x a +--+++=，所以2112()022x x a x x a --+++=，即2112(1)(1)[(1)(1)]022x x a x x ----+-+=．因为110x -≠，则()2211111110212x x x a x ----++=-，t =，所以221(1)(1)022a at t t -++-=， …………………………………… 15分即211a t =+-，所以(1)(1) 2.a t --= …………………………………… 16分南通市2014届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）（第21—A 题）21A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O在A 点处的切线于点P ．求证：△P AE ∽△BDE ．【证明】因为P A 是圆O 在点A 处的切线，所以∠P AB ＝∠ACB ． 因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠P AE ＝∠P AB ＝∠ACB ＝∠BDE ．又∠PEA ＝∠BED ，故△P AE ∽△BDE ．…………………… 10分21B ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵M 有特征值1λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦e ，且M 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦．求矩阵M ．【解】设ab cd ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，则由 1 111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11a b c d -=⎧⎨-=-⎩，． 再由1311⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ab c d ，得31a b c d +=⎧⎨+=⎩．，联立以上方程组解得a ＝2，b ＝1，c ＝0，d ＝1，故2101⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ．……………………… 10分21C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，设动点P ，Q 都在曲线C ：12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ 的中点M 与定点A (1，0)间的距离为d ，求d 的取值范围．【解】由题设可知P ( 1 + 2cos α，2sin α )，Q ( 1 + 2cos2α，sin2α )，………………………… 2分于是PQ的中点M ()1cos cos 2sin sin 2αααα+++，． ………………………… 4分从而ABCDD 1A 1B 1C 1E（第22题）()()2222cos cos 2sin sin 222cos d MA ααααα==+++=+ ………………………… 6分因为0＜α＜2π，所以－1≤cos α＜1， ………………………… 8分于是0≤d 2＜4，故d 的取值范围是[)02，． ………………………… 10分21D ．选修4—5：不等式选讲已知：2a x ∈≥，R ．求证：|1|||x a x a -++-≥3． 证明：因为|m|+|n|≥|m －n|， 所以|1|||1(x a x a x a x a a -++--+---≥||=|．………………………………………… 8分又a ≥2，故21|a -|≥3． 所以|1||x ax a-++-≥．…………………………………………………………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，112AD AA AB ==，点E 是棱AB 上一点．且AE EB λ=．（1）证明：11D E A D ⊥；（2）若二面角D 1—EC —D 的大小为π4，求λ的值．【证】（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴， DD 1为z 轴建立空间直角坐标系． 不妨设AD =AA 1＝1，AB ＝2，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，A 1(1，0，1)，B 1(1，2，1)，C 1(0，2，1)，D 1(0，0，1)．因为AEEB ＝λ，所以()2101E λλ+，，，于是()112111D E A D λλ=-=+，，，(－1，0，－1)．所以()11211(101)01D E A D λλ⋅=-⋅--=+，，，，．故D 1E ⊥A 1D ． ……… 5分（2）因为D 1D ⊥平面ABCD ，所以平面DEC 的法向量为n 1＝(0，0，1)． 又()21201CE λλ=+，-，，1CD =(0，－2，1)．设平面D 1CE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则n 2·()2201CE x y λλ=+-=+，n 2·120CD y z =-+=，所以向量n 2的一个解为()22121λλ-+，，．因为二面角D 1—EC —D 的大小为π4，则1212|||⋅=n n|n n ．解得λ=±233－1．又因E 是棱AB 上的一点，所以λ＞0，故所求的λ值为233－1． (10)分23.（本小题满分10分）设数列{a n }共有n （3n n ∈N ≥，）项，且11n a a ==，对每个i (1≤i ≤1n -，i ∈N )，均有{}11122i i a a +∈，，． （1）当3n =时，写出满足条件的所有数列{a n }（不必写出过程）； （2）当8n =时，求满足条件的数列{a n }的个数． 【解】（1）当3n =时，131a a ==． 因为{}211122a a ∈，，，{}321122a a ∈，，，即{}21122a ∈，，，{}211122a ∈，，， 所以212a =或21a =或22a =．故此时满足条件的数列{a n }共有3个：1112，，； 1，1，1； 1，2，1． ……… 3分（2）令b i ＝a i +1a i(1≤i ≤7)，则对每个符合条件的数列{a n }，满足条件：77181111i i i i i a a b a a +=====∏∏，且b i ∈{}1122，， (1≤i ≤7)．反之，由符合上述条件的7项数列{b n }可唯一确定一个符合条件的8项数列{a n }．………7分记符合条件的数列{b n }的个数为N ．显然，b i (1≤i ≤7)中有k 个2；从而有k 个12，7－2k 个1．当k 给定时，{b n }的取法有77C C k kk -种，易得k 的可能值只有0，1，2，3，故1122337675741C C C C C C 393N =+++=．因此，符合条件的数列{a n }的个数为393． ……… 10分。
江苏省南通市2014届高三数学学科基地密卷(5) Word版含答案
（第4题图） 2014年高考模拟试卷(5)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 .1.设全集U ={1，2，3，4，5}，若U A =ð{1，2，4}，则集合A = ．2.已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的模是 ．3.已知曲线4(0)y x x=>的一条切线斜率为1-，则切点的横坐标为 ．4.右图是某算法的流程图，则输出的T 的值为 ．5.已知甲、乙、丙三人在3天中值班，每人值1天，那么甲在乙前面值班的概率为 ．6.为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下表：根据以上数表绘制相应的频率分布直方图时，落在[10.95 11.15)，范围内的矩形的高应为 ．7.已知0x >，0y >，且2520x y +=，则lg lg x y +的最大值为 ．8.要得到函数()3sin 2y x π=-3的图象，只需将函数3sin 2y x =的图象向右至少平移 个单位．9.设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0 )+∞，上是单调减函数，且2(3)f x x -(2)f +0>，则实数x 的取值范围是 ．10.在锐角三角形ABC 中，3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3ta n C 的值为 ．11.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：23100x y +-=与圆C ：22()()13x a y b -+-=切于点(P 2，2)，则a b +的值构成的集合是 ．12.如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， 则四棱锥1A AEFD -的体积为 ．BACD 1B1A1C D （第12题图）E F13．已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，2=b ，则⋅a c 的值为 ．14．已知数列{}n a 满足1234n n n a a a ++=+*()n ∈N ．设*( n n n a b n a λλμμ-=∈-N , , 为均不等于2的且互不相等的常数，若数列{}n b 为等比数列，则λμ的值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）已知△ABC 为锐角三角形，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b ac ac--cos sin C A =sin cos C A -．（1）求角A 的大小；（2）设关于角B 的函数()22()2cos sin sin cos f B B B B B π=+-+6，求()f B 的值域．16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为棱1A A ，1C C 的中点，AC ⊥BE ，点F 在棱AB 上，且4AB AF =． （1）求证：1BC C D ⊥；（2）试在线段BE 上确定一点M ，使得1//C D 平面BFM ，并给出证明．（第16题图）1AA B C1C1B F E MD17.（本小题满分14分）如图，在半径为30 cm 的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD （点A ，B 在直径上，点C ，D 在半圆周上），并将其卷成一个以AD 为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？18. (本小题满分16分) 在平面直角坐标系xOy ，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(1，其左右焦点分别为1F ，2F．（1）求椭圆E 的方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ． ①求证：OP OM ⋅为定值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问直线MQ 是否过定点，并说明理由．19.（本小题满分16分）已知函数()()()f x x x a x b =--，其中0a b <<．（1）设函数()y f x =在点() ()A s f s ，，() ()B t f t ，处取得极值，且s t <．求证： ①0s a t b <<<<；②线段AB 的中点C 在曲线()y f x =上；（2）若a b +<问：过原点且与曲线()y f x =相切的两条直线是否垂直，并说明理由．20.（本小题满分16分） 已知数列{}n a 满足：11a =，11n a +=n ∈*N ，其前n 项和为n S ．（1）求证：①数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；②对任意的正整数n，都有n S >（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足：212211683n n n n T Tn n a a ++=+--．试确定1b 的值，使得数列{}n b 为等差数列．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，C ，D 是直径为AB 的半圆上的两点，AC 与BD交于点E ，点F 在弦BD 上，且△ACD ∽△BCF ，证明：△ABC ∽△DFC ．B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知矩阵A 的逆矩阵110102-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A ．若1114()102-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦AB ，求矩阵B ．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）如图，在极坐标系中，求以点)Cπ，为圆心，12为半径的圆的极坐标方程．D ．（选修４－５：不等式选讲） 设{}222min b h a a b=+，，其中a ，b 均为正实数，证明：h 1≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，B（第21题A）xO（第21—C 题）记所得数字分别为x ，y ．设ξ为随机变量，若x y 为整数，则0ξ=；若x y为小于1的分数，则1ξ=-；若x y为大于1的分数，则1ξ=．（1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．23．设i 为虚数单位，n 为正整数．（1）证明：(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+；（2）结合等式“[][]1(cos isin )(1cos )isin n nx x x x ++=++”证明：121C cos C cos2C cos nn n n x x nx +++⋅⋅⋅+2c o s c o s 22n n x nx =．2014年高考模拟试卷(5)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1. {3，5}；2. 3. 2；4. 120 ；5. 12； 6. 1.45； 7.1； 8.6π； 9.（1，2）；10. 79.依题意，3tan 4A =，[]311343tan tan ()319143B A A B +=--==-⨯，则313493tan 3tan()379313149C A B +=-+=-⨯=-⨯ ； 11. {1-，9}．依题意，22(2)(2)13a b -+-=，且2322b a -=-，联立方程组解得22 23a b -=⎧⎨-=⎩，或22 23a b -=-⎧⎨-=-⎩，，即4 5a b =⎧⎨=⎩，或0 1a b =⎧⎨=-⎩，，从而9a b +=或1a b +=-； 12. 9.连接DE ，易得11A AED A FED V V --=，又1111A AED E A AD A AD V V S AB --∆==⋅111111119662A ADD ABCD A C D S AB V -=⋅==，所以19A AEFD V -=； 13. 45.易得1123tan tan()1 11123C A B +=-+==-⨯-，sin sin sin A B C =从而2 ====由得，a c ac 45⋅=则 a c ； 14. 3-.11123342223234n n n n n n n n n a a a b a a a λλλλλμμμμμ++++⎡⎤--+⎢⎥---===⎢⎥-+--⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦，因为数列{}nb 为等比数列，所以342λλλ--=-，342μμμ--=-，且公比为22λμ--，故λμ, 为方程342x x x --=-的两不等实根，从而3λμ=-． 二、解答题15. 解：（1）由222b a c --cos sin C A =得，222cos a c b B +-=()1sin cos 2cos sin C C A A =-1sin sin cos cos 2sin cos C A C A A A -=⋅()cos sin 2A C A-+=cos sin 2BA =， 因为△ABC 为锐角三角形，所以cos 0B ≠，从而sin 21A =，又()0 A ∈π，，故A π=4； （2）()22()2cos sin sin cos f B B B B B π=+-+6)12cos cos cos22BB B B =++2cos cos cos2B B B B =++1cos22cos22B B B +=++)11sin 222B B =+()1232B π=++，由0B B π⎧<<⎪2⎨3ππ⎪0<-<⎩42，得，B ππ<<42，从而542633B ππ<+<π，故()1sin 232B π<+<，所以0()f B <<()f B的值域为(0．16．证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中， 1C C ⊥平面ABC ，又AC ，BC ⊂平面ABC ，所以1C C ⊥AC ，1C C ⊥BC ，又AC ⊥BE ， 1BE C C E =，1 BE C C ⊂，平面11BCC B ，所以AC ⊥平面11BCC B ，又BC ⊂平面11BCC B ，所以AC ⊥BC ，而1AC C C C =，1 A C C C⊂，平面11ACC A ， 所以BC ⊥平面11ACC A ， 又1C D ⊂平面11ACC A ，所以1BC C D ⊥； （2）当4BE ME =时，1//C D ⊥平面BFM ，下证之：连结AE ，FM ，在△ABE 中，由4AB AF =，4BE M E =得，//AE MF ，又在平面11ACC A 中，易得1//AE C D ， 所以1//MF C D ， 又1C D ⊄平面BFM ， M F ⊂平面BFM ，所以1//C D ⊥平面BFM ．17.解：（1）如图，设圆心为O ，连结OC ，设BC =x ，法一 易得BC =(0 30)x ∈，， 所以矩形ABCD 的面积为()2S x =（第16题图）1AA B C 1C 1BE M D= 22900x x +-≤900=（2cm ）（当且仅当22900x x=-，x =cm ）时等号成立）此时BC =cm ； 法二 设COB θ∠=，()0 θπ∈2，； 则30sin BC θ=，30cos OB θ=， 所以矩形ABCD 的面积为()230sin 30cos 900sin 2S θθθθ=⨯⨯=，当sin 21θ=，即θπ=4时，max ()900S θ=（2cm ），此时BC =cm ； （2）设圆柱的底面半径为r ，体积为V ，由2AB r =π得，r ，所以()231900V r x x x =π=-，其中(0 30)x ∈，， 由()2190030V x '=-=π得x =此时，()31900V x x =-π在(0，上单调递增，在()上单调递减，故当x =cm 3cm ，答：（1）当截取的矩形铁皮的一边BC 为cm 为时，圆柱体罐子的侧面积最大．（2）当截取的矩形铁皮的一边BC 为cm 为时，圆柱体罐子的体积最大．18. 解：（1）易得223121 a b c ⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=；（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， ①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+，代入椭圆22142x y +=得，()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+，所以()()2220000022220000284888 (2 )48888y y y y OP OM y y y y y ----⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪++++⎝⎭，，， ②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下： 依题意，02020008822828PB y y k y y y +==----+（）， 由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即0yy x =，所以直线MQ 过定点(0 0)O ，． 19. 解：（1）①依题意，s ，t ()s t <为方程2()32()0f x x a b x ab '=-++=的两个实根，而(0)0f ab '=>，()()0f a a a b '=-<，()()0f b b b a '=-<，故()0f x '=在区间(0 )a ，和( )a b ，内各有一个实根， 所以0s a t b <<<<； ②由①得，2()3a b s t ++=，3ab st =，因为()()3342()()()()()()273f s f t s t a b s tab s t a b ab a b +=+-++++=-+++， ()()321()()23273s t a b f f a b ab a b ++==-+++，所以()()f s f t +=()22s t f +，即证线段AB 的中点C 在曲线()y f x =上；（2）过原点且与曲线()y f x =相切的两条直线不垂直，理由如下： 设过曲线()y f x =上一点()00 P x y ，的切线方程为：20000 32()()y y xa b x a bx x ⎡⎤-=-++-⎣⎦， 因为切线过原点，所以2000032()y x x a b x ab ⎡⎤=-++⎣⎦， 又0000()()y x x a x b =--，所以200032()x x a b x ab ⎡⎤-++=⎣⎦000()()x x a x b --，解得00x =，或02a b x +=，当00x =时，切线的斜率为ab ；当02a b x +=时，切线的斜率为2()4a b ab +-； 因为0a b <<，且a b +< 所以两条切线斜率之积为：ab ⋅22222()1()()()2(1)1144a b ab ab ab a b ab ab ab ⎡⎤+-=-+>-=---⎢⎥⎣⎦≥， 所以过原点且与曲线()y f x =相切的两条直线不垂直．20.证明：（1）①因为11n a +=所以221114n na a +-=，故数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为4的等差数列； ②由①得211(1)4nn a =+-，又易得0n a >，故n a ，因为n a =>，所以n S >+⋅⋅⋅=（2）由212211683n nn n T T n n a a ++=+--得，1(43)(41)(43)(41)n n n T n T n n +-=++-+， 即114143n n T Tn n +-=+-， 所以数列43n T n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1b 为首项，1为公差的等差数列，从而1143n Tb n n =+--，令2n =，3得，2145b b =+，31413b b =+，若{}n b 为等差数列，则2132b b b =+，所以()111245413b b b +=++，解得11b =，此时，243n T n n =-，87n b n =-恰为等差数列，所以，当11b =时，数列{}n b 为等差数列．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 证明：因为△ACD ∽△BCF ，所以∠ACD =∠BCF ， 故∠ACD ACF +∠=∠BCF ACF +∠，即∠DCF =∠BCE ，又∠BDC =∠BAC ，所以△ABC ∽△B ．解：因为1()-=AB 11--B A ，所以1-B 11014110022⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， B （第21题A ）解得1-=B 11201⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由逆矩阵公式得，B 11201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． C. 解：如图，设圆上任意一点( )P ρθ，，连结PO ，PC ，OC ， 在△POC中，由余弦定理得()212cos 4ρθπ+--=4，整理得()27cos 04ρθπ--+=4，故所求圆的极坐标方程为()27cos 04ρθπ--+=4．D. 证明：依题意h a ≤，222bh a b +≤，由不等式的性质，两式相乘得2222ab h a b+≤， 因为222a b ab +≥，所以22221ab h a b+≤≤（当且仅当a b =时等号成立），即证． 22.解：（1）依题意，数对（x ，y ）共有16种，其中使x y为整数的有以下8种：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），所以81(0)162P ξ===；（2）随机变量ξ的所有取值为1-，0，1，1ξ=-有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），故63(1)168P ξ=-==；1ξ=有以下2种：（3，2），（4，3）， 故21(1)168P ξ===；所以ξ3111()1018284E ξ=-⨯+⨯+⨯=-，答：ξ的数学期望为14-．23.证明：（1）①当1n =时，cos isin cos isin x x x x +=+，即证； ②假设当n k =时，(cos isin )cos isin k x x kx kx +=+成立， 则当1n k =+时，()1(cos isin )cos isin (cos isin )k x x kx kx x x ++=++ ()()c o s c o s s i ns i ns i n c o s s i n c o sik x x k x x k x x x k x =-++ ()()c o s 1i s i n 1k x k x =+++， 故命题对1n k =+时也成立，由①②得，(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+； （2）由（1）知，[]1(cos isin )C (cos isin )C (cos isin )nn nrrr nn r r x x x x rx rx ==++=+=+∑∑，其实部为121C cos C cos2C cos nn n n x x nx +++⋅⋅⋅+；[](1c o s )i s i n nx x ++=()()22c o s 2i s i n c o s 2c o s c o s i s i n2222nnnnx x x x x x +=+()2c o s c o s i s i n n n xnx nx =+， 其实部为2cos cos 22n n x nx ，根据两个复数相等，其实部也相等可得：121C cos C cos2C cos nn n n x x nx +++⋅⋅⋅+2c o sc o s 22n n x nx =．。
数学_2014-2015学年江苏省南通市某校高三(上)调研数学试卷(文科)(一)(含答案)
2014-2015学年江苏省南通市某校高三（上）调研数学试卷（文科）（一）一、填空题1. 已知集合A ={1, 3, m +1}，B ={1, m}，A ∪B =A ，则m =________．2. 已知a →=(3, 3)，b →=(1, −1)，若(a →+λb →)⊥(a →−b →)，则实数λ=________．3. 圆锥的母线长为3，侧面展开图的中心角为2π3，那么它的表面积为________．4. 函数函数y =x a 2−2a−3是偶函数，且在(0, +∞)上是减函数，则整数a 的取值为________．5. 若命题“∃x ∈R ，使得x 2+4x +m <0”是假命题，则实数m 的取值范围是________．6. 已知数列{a n }为等差数列，且a 1+a 4+a 7=12，则S 7=________．7. 若实数x ，y 满足{y ≥2x −2y ≥−x +1y ≤x +1，则z =2x +y 的最小值为________．8. 已知函数f(x)=2sin(ωx +π6)(ω>0)，函数f(x)的图象与x 轴两个相邻交点的距离为π，则f(x)的单调递增区间是________．9. 曲线y =x 3+mx +c 在点P(1, n)处的切线方程为y =2x +1，其中m ，n ，c ∈R ，则m +n +c 的值为________．10. 将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，则折起后形成的三棱锥D −ABC 的体积是________．11. 已知f(x)=log 4(x −2)，若实数m ，n 满足f(m)+f(2n)=1，则m +n 的最小值是________．12. 已知|OA →|=4，|OB →|=2，OA →与OB →的夹角为120∘，点P 为线段AB 上得一点，且BP →=3PA →，则OP →⋅AB →=________．13. 已知数列{a n }满足：a n +a n+1=2n +1(n ∈N ∗)，且a 1=3，则a 2014=________．14. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=|x −a 2|+|x −3a 2|−4a 2．若对任意x ∈R ，f(x)≤f(x +2)，则实数a 的取值范围为________．二、解答题15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边为a ，b ，c ．（1）若sin(A +π6)=2cosA ，求A 的值． （2）若cosA =13，b =3c ，求sinC 的值．16. 如图，在三棱锥P−ABC中，BC⊥平面PAB．已知PA=AB，D，E分别为PB，BC的中点．（1）求证：AD⊥平面PBC；（2）若点F在线段AC上，且满足AD // 平面PEF，求AF的值．FC17. 已知关于x的不等式(ax−1)(x+1)>0．（1）若此不等式的解集为{x|−1<x<−1}，求实数a的值；2（2）若a∈R，解这个关于x的不等式．18. 已知数列a n的前n项和S n:a n+3S n=1，b n+10=3log1a n(n∈N∗)4（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：数列{b n}是等差数列；（3）若c n=a n⋅b n，则是否存在正整数k，使c k，c k+1，c k+2重新排列后成等比数列，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．19. 某公司为了公司周年庆典，先将公司门前广场进行装饰，广场上有一垂直于地面的墙面AB高8+8√3，一个垂直于地面的可移动柱子CD高为8m，现用灯带对它们进行如下装饰（如图）：设柱子CD与墙面AB相距8m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面的F处，再讲灯带拉直依次固定在D处、B处、E处，形成一个三角形型的灯带（图中虚线所示）设∠EFB=θ，灯带总长为y（单位：m）（1）求y关于θ的函数表达式及θ的取值范围；（2）当BE多长时，所用灯带总长最短？20. 已知函数f(x)=xlnx．（1）求函数y=f(x)的单调区间；（2）是否存在正数x1，x2，且|x1−x2|≥1，使得f(x1)=f(x2)．若存在，求出x1，x2的值；若不存在，说明理由．2014-2015学年江苏省南通市某校高三（上）调研数学试卷（文科）（一）答案1. 32. 93. 4π4. 15. [4, +∞)6. 287. 18. [−2π3+2kπ, π3+2kπ]，k∈Z9. 510. √21211. 3+2√212. −1313. 201214. [−√22, √2 2]15. 解：（1）若sin(A+π6)=2cosA，即sinA⋅√32+cosA⋅12=2cosA，变形可得sinA⋅√32=32cosA，即sinA=√3cosA，则tanA=√3，则A=π3；（2）cosA=b 2+c2−a22bc=10c2−a26c2=13，∴ 8c2=a2，∴ a=2√2c，∴ 2√2sinC=sinA=√1−cos2A=2√23，∴ sinC=13．16. 解：（1）∵ BC⊥平面PAB，AD⊂平面PAB，∴ BC⊥AD．∵ PA=AB，D是PB的中点，∴ AD⊥PB∵ PB、BC是平面PBC内的相交直线，∴ AD平面PBC；（2）连结DC，交PE于点G，连结FG、DE∵ AD // 平面PEF，AD⊂平面ADC，平面ADC∩平面PEF=FG，∴ AD // FG．∵ D、E分别是PB、BC的中点，∴ DE为△BPC的中位线，因此，△DEG∽△CPG，可得DGGC =DEPC=12，∴ AFFC =DGGC=12，即AFFC的值为12．17. 解：（1）∵ 不等式(ax−1)(x+1)>0的解集为{x|−1<x<−12}，∴ 方程(ax−1)(x+1)=0的两根是−1，−12；∴ −12a−1=0，∴ a=−2；（2）∵ (ax−1)(x+1)>0，∴ a<0时，不等式可化为(x−1a)(x+1)<0；若a<−1，则1a >−1，解得−1<x<1a；若a=−1，则1a=−1，解得不等式为⌀；若−1<a<0，则1a <−1，解得1a<x<−1；a=0时，不等式为−(x+1)>0，解得x<−1；当a>0时，不等式为(x−1a)(x+1)>0，∵ 1a >−1，∴ 解不等式得x<−1或x>1a；综上，a<−1时，不等式的解集为{x|−1<x<1a}；a=−1时，不等式的解集为⌀；−1<a<0时，不等式的解集为{x|1a<x<−1}；a=0时，不等式的解集为{x|x<−1}；当a>0时，不等式的解集为{x|x<−1, 或x>1a}．18. 解：（1）∵ a n+3S n=1，∴ a n+1+3S n+1=1，两式相减得a n+1−a n+3(S n+1−S n)=0a n+1−a n+3a n+1=0，则a n+1=14a n，则数列{a n }是公比q =14的等比数列， 当n =1时，a 1+3S 1=1，解得a 1=14， 则a n =14⋅(14)n−1=(14)n ．（2）∵ b n +10=3log 14a n =3n ， ∴ b n =3n −10，则b n −b n−1=3，则数列{b n }是等差数列，公差d =3，首项b 1=−7．（3）∵ b n =3n −10，c n =a n ⋅b n ，∴ c n =(3n −10)•(14)n ，则c k =(3k −10)•(14)k ， c k+1=(3k −7)•(14)k+1，c k+2=(3k −4)•(14)k+2， 若存在正整数k ，使c k ，c k+1，c k+2重新排列后成等比数列，则满足c k+12=c k c k+2，即[(3k −7)⋅(14)k+1]2=(3k −10)•(14)k )(3k −4)•(14)k+2，即(3k −7)2•(14)2k+2=(3k −10)⋅(3k −4)•(14)2k+2，则(3k −7)2=(3k −10)⋅(3k −4)，展开得49=40，方程不成立，即k 不存在． 19. 解：（1）过C 点作CM ⊥BE ，垂足为E ．在Rt △CME 与Rt △CFD 中，CE =CM cosθ，EM =CMtanθ，CF =CD sinθ，FD =CD tanθ， ∴ y =CE +CF +BF +BE =8cosθ+8sinθ+8+8tanθ+8+8tanθ=8(1+sinθcosθ+cosθ+1sinθ)+16 =8(sinθ+cosθ+1)sinθcosθ+16．在△CEM 中，0<tanθ≤√3，∴ θ∈(0,π3]．（2）设sinθ+cosθ=t=√2sin(θ+π4)，∵ θ∈(0,π3]，∴ (θ+π4)∈(π4，7π12)．∴ sin(θ+π4)∈(√22，1]，∴ t∈(1,√2]．∴ t2=1+2sinθcosθ，∴ sinθcosθ=t2−12．∴ y=8(t+1)t2−12+16=16t−1+16，∵ t∈(1,√2]，∴ 1t−1≥√2−1=√2+1．∴ y≥16(√2+1)+16=32+16√2，当t=√2时，θ=π4，此时EM=CM=8，∴ BE=16<8+8√3．20. 解：（1）∵ f(x)=xlnx，定义域为(0, +∞)，∴ f′(x)=lnx+1，∴ 由f′(x)>0得，x>1e ，由f′(x)<0得，0<x<1e，∴ f(x)=xlnx的单调递增区间是(1e , +∞)，单调递减区间是(0, 1e)．（2）不存在．假设存在正数x1，x2，且|x1−x2|≥1，使得f(x1)=f(x2)，不妨令x1<x2，则由f(x1)= f(x2)得，x1lnx1=x2lnx2，即x2lnx2−x1lnx1=0，∴ x2(lnx2−lnx1)<0，即ln x2x1<0，∴ x2x1<1，即x2<x1，这与|x1−x2|≥1相矛盾，故不存在正数x1，x2，且|x1−x2|≥1，使得f(x1)=f(x2)．。
江苏省南通市第一中学2014-2015学年高三上学期10月阶段测试(月考) 数学(理) Word版含解析(苏教版)
2014—2015学年度第一学期江苏省南通第一中学高三阶段考试数学试题注意事项：本试卷分试题和答卷两部分，共160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(∁U A )∩B ＝ ▲ ． 2． 命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是 ▲ ． 3．函数()f x =的定义域是 ▲ ．4． 若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则a 、b 、c 的大小关系为 ▲ ．（从大到小排列） 5． 函数y ＝x e x 的最小值是 ▲ ．6． 已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝ ▲ ． 7． 已知命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋1＜0成立”为真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 8．已知函数()f x =的值域是[)0+∞，则实数m 的取值范围是 ▲ ．9． 已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝ ▲ ．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域R 上的递减函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为 ▲ ．12．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx )，x ＞0，－1x，x ＜0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为 ▲ ．13．将一个长宽分别是a ，b (0<b <a )的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ab的取值范围是 ▲ ．14．设a ＞0，函数2(),()ln a f x x g x x x x=+=-，若对任意的x 1，x 2∈[1,e ]，都有12()()f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题14分）已知集合A ＝{y |y ＝2x －1,0＜x ≤1}，B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋3)]＜0}．分别根据下列条件，求实数a 的取值范围． (1)A ∩B ＝A ；(2)A ∩B ≠∅. 16．（本小题14分）已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－k x 是单调函数，求k 的取值范围．17．A,B 两地相距S 千米，要将A 地所产汽油运往B 地．已知甲、乙二型运油车行驶S 千米的耗油量（不妨设空载时，满载时相同）分别为各自满载油量的11,1514，且甲型车的满载油量是乙型车的56，今拟在A,B 之间设一运油中转站C ，由从A 出发，往返于A,C 之间的甲型车将A 处的汽油运至C 处，再由从C 出发，往返于C,B 之间的乙型车将C 处收到的汽油运至B 处．若C 处收到的汽油应一次性运走，且各辆车的往返耗油从各自所载汽油中扣除，问C 地设在何处，可使运油率最大？此时，甲、乙二型汽车应如何配备？（运油率精确到1%，运油率=B 处收到的汽油A 处运出的汽油×100%） 18．（本小题16分）已知定义域为R 的函数()122x x af x b+-+=+是奇函数，（1）求,a b 的值；( 2) 判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.19．（本小题16分）已知函数()2f x x x a x =-+．（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）求所有的实数a ，使得对任意[1,2]x ∈时，函数()f x 的图象恒在函数()21g x x =+图象的下方；（3）若存在[4,4]a ∈-，使得关于x 的方程()()f x t f a =有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．20．（本小题16分）已知函数f (x )＝sin x －x cos x 的导函数为f ′(x )． (1)求证：f (x )在(0，π)上为增函数；(2)若存在x ∈(0，π)，使得f ′(x )＞12x 2＋λx 成立，求实数λ的取值范围；(3)设F (x )＝f ′(x )＋2cos x ，曲线y ＝F (x )上存在不同的三点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， x 1＜x 2＜x 3，且x 1，x 2，x 3∈(0，π)，比较直线AB 的斜率与直线BC 的斜率的大小，并证明．_____________________________________________________________________________________命题、校对、制卷： 吴勇贫 审核：吴勇贫江苏省南通第一中学2015届高三阶段考试理科数学答案1. 解析 由集合的运算，可得(∁U A )∩B ＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．答案 {6,8}2．解析 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”． 答案 若x ＋y 不是偶数，则x 、y 不都是偶数 3． {0}∪[1,+∞)；4． 解析 30.6＞1，log 30.2＜0,0＜0.63＜1，所以a ＞c ＞b .答案 a ＞c ＞b5． 解析 y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，令y ′＝0，则x ＝－1，因为x ＜－1时，y ′＜0，x ＞－1时，y ′＞0，所以x ＝－1时，y min ＝－1e .答案 －1e6．答案0,1，－12；7． 解析 “∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋1＜0”是真命题，即不等式x 2＋2ax ＋1＜0有解，∴Δ＝(2a )2－4＞0，得a 2＞1，即a ＞1或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)8．[][)0,19,+∞，试题分析：由题意得：函数2(3)1y mx m x =+-+的值域包含[)0,+∞， 当m ＝0时，31[0,),y x =-+∈⊃+∞R 满足题意；当0m ≠时，要满足值域包含[)0,+∞，需使得0,0.m >∆≥即9m ≥或01m <≤， 综合得：实数m 的取值范围是[][)0,19,+∞.9．解析 ∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4，①∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin(－x )＋4， 即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4，② ①＋②得f (x )＋f (－x )＝8，③又∵lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)， ∴f (lg(log 210))＝f (－lg(lg 2))＝5，又由③式知f (－lg(lg 2))＋f (lg(lg 2))＝8， ∴5＋f (lg(lg 2))＝8，∴f (lg(lg 2))＝3. 答案 310．解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，(1－3a )×7＋10a ≥a 0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，7－11a ≥1，解得13<a ≤611.答案 ⎝⎛⎦⎤13，61111．解析 当x ∈(0,1)时，cos x >0，f (x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1，π2时，cos x >0，f (x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，4时，cos x <0，f (x )<0，当x ∈(－1,0)时，cos x ＞0，f (x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，－1时，cos x ＞0，f (x )＜0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－4，－π2时，cos x ＜0，f (x )＜0. 故不等式f (x )cos x <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π2<x <－1，或1<x <π2. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π2＜x ＜－1，或1＜x ＜π212．解析 函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－[－f (x )]＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，作出x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |的图象，并利用周期性作出函数f (x )在[－5,5]上的图象，在同一坐标系内再作出g (x )在[－5,5]上的图象，由图象可知，函数f (x )与g (x )的图象有9个交点，所以函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为9.答案 913．解析 设切去正方形的边长为x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，b 2，则该长方体外接球的半径为r 2＝14[(a －2x )2＋(b －2x )2＋x 2]＝14[9x 2－4(a ＋b )x ＋a 2＋b 2]，在x ∈⎝⎛⎭⎫0，b 2存在最小值时，必有0<2(a ＋b )9<b 2，解得a b <54，又0<b <a ⇒a b >1，故ab 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，54. 14．答案)+∞．15．解 因为集合A 是函数y ＝2x －1(0＜x ≤1)的值域，所以A ＝(－1,1]，B ＝(a ，a ＋3)．…………………………4分(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ＋3＞1，即－2＜a ≤－1，故当A ∩B ＝A 时，a 的取值范围是(－2，－1]．……………………7分 (2)当A ∩B ＝∅时，结合数轴知，a ≥1或a ＋3≤－1，即a ≥1或a ≤－4. …………12分 故当A ∩B ≠∅时，a 的取值范围是(－4,1). …………………14分16．解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1，……………………2分 ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，(a －1)2≤0.………………4分 ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1， ………………6分∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0. ………………8分(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－k x ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，………………12分解得k ≤－2或k ≥6. ………………14分 故k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞). 17．解：设AC ＝l （千米），0＜l ＜S ，则CB ＝S －l （千米），设甲型车满车载油量为a 吨，则乙型车满车载油量为65a 吨．…………2分一辆甲型车往返一次，C 地收到的汽油为12(1)15la S -⋅吨，一辆乙型车往返一次，B 地收到的汽油为1212()(1)[1]1514l S l a S S--⋅⨯-⋅吨．………6分故运油率21(1)(1)261157(1)()1577l S l a l l S S y a S S--⋅⨯-⋅==-⋅+⋅ 2216()105357l l S S =-+⋅+． …………8分 当1335242()105l S =-=-时，y 有最大值，max 24387%280y =≈． …………10分 此时一辆甲型车运到C 处的汽油量为910a 吨，设甲、乙二型车各x 、y 辆，则有96105a x a y ⋅=⋅，所以43x y =． …………12分答：C 地设在靠近B 地的四分之一处，可使运油率最大，此时甲、乙二型车数量之比为4:3．………………………………………………14分18．解：（1）()(),f x f x -=-112222x x x x a ab b--++-+-∴=++，()()()()112222x x x x b a b a -+-∴+-=+-,42222222x x x x ab b a a b --∴-+⋅-⋅=⋅-⋅4201222ab a b ab a b-=⎧=⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩. 4分 （2）因为()11212xf x =-++，所以()y f x =是单调递减的.证明：设12,x x <()()()()211212221212x x x x f x f x --=++,因为12,x x <所以21220,x x ->从而()()12f x f x >，所以()y f x =在R 上是单调递减的. 10分（3）()()2222,f t f t k -<--又()f x 是奇函数，∴()()2222,f t f k t -<-又()f x 是减函数，∴2222t k t ->-，即232,k t <-∴ 2.k <- 16分19．解：（1）22(2),,()2(2),,x a x x a f x x x a x x a x x a ⎧+-⎪=-+=⎨-++<⎪⎩≥由()f x 在R 上是增函数，则2,22,2a a a a -⎧-⎪⎪⎨+⎪⎪⎩≥≤即22a -≤≤，则a 范围为22a -≤≤；…4分 （2）由题意得对任意的实数[1,2]x ∈，()()f x g x <恒成立，即1x x a -<，当[1,2]x ∈恒成立，即1x a x -<，11x a x x-<-<，11x a x x x -<<+，故只要1x a x-<且1a x x <+在[1,2]x ∈上恒成立即可，在[1,2]x ∈时，只要1x x -的最大值小于a 且1x x+的最小值大于a 即可，而当[1,2]x ∈时，21110x x x '⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，1x x -为增函数，max 132x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；当[1,2]x ∈时，21110x x x '⎛⎫+=-> ⎪⎝⎭，1x x +为增函数，min 12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以322a <<；（3）当22a -≤≤时，()f x 在R 上是增函数，则关于x 的方程()()f x t f a =不可能有三个不等的实数根； 则当(2,4]a ∈时，由22(2),,()(2),x a x x a f x x a x x a⎧+-⎪=⎨-++<⎪⎩≥得x a ≥时，2()(2)f x x a x =+-对称轴22a x a -=<，则()f x 在[,)x a ∈+∞为增函数，此时()f x 的值域为[(),)[2,)f a a +∞=+∞，x a <时，2()(2)f x x a x =-++对称轴22a x a +=<，则()f x 在2,2a x +⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦为增函数，此时()f x 的值域为2(2),4a ⎛⎤+-∞ ⎥⎝⎦， ()f x 在2,2a x a +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭为减函数，此时()f x 的值域为2(2)2,4a a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦；由存在(2,4]a ∈，方程()()2f x t f a ta ==有三个不相等的实根，则2(2)22,4a ta a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即存在(2,4]a ∈，使得2(2)1,8a t a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭即可，令2(2)14()488a g a a a a +⎛⎫==++⎪⎝⎭， 只要使()max ()t g a <即可，而()g a 在(2,4]a ∈上是增函数，()max 9()(4)8g a g ==， 故实数t 的取值范围为91,8⎛⎫ ⎪⎝⎭； 同理可求当[4,2)a ∈--时，t 的取值范围为91,8⎛⎫⎪⎝⎭；综上所述，实数t 的取值范围为91,8⎛⎫⎪⎝⎭．20．解 (1)证明：f′(x )＝x sin x ，当x ∈(0，π)时，sin x ＞0，所以f′(x )＞0恒成立，所以f (x ) 在(0，π)上单调递增．………………………………4分(2)因为f′(x )＞12x 2＋λx ，所以x sin x ＞12x 2＋λx ．当0＜x ＜π时，λ＜sin x －12x ． ………………………………6分设φ(x )＝sin x －12x ，x ∈(0，π)，则φ′(x )＝cos x －12．当0＜x ＜π3时，φ′(x )＞0；当π3＜x ＜π时，φ′(x )＜0．于是φ (x )在(0，π3)上单调递增，在 (π3，π)上单调递减，…………………………8分所以当0＜x ＜π时，φ(x )max ＝g (π3)＝32－π6因此λ＜32－π6． ………………………………10分(3)由题意知只要判断F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1的大小．首先证明：F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F′(x 2)．由于x 2＜x 3，因此只要证：F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F′(x 2)．………………………………12分 设函数G (x )＝F (x )－F (x 2)－(x －x 2) F′(x 2)( x 2＜x ＜π)，因为F ′(x )＝x cos x －sin x ＝－f (x )，所以G′(x )＝F′(x )－F′(x 2)＝f (x 2)－f (x )， 由（1）知f (x )在(0，π)上为增函数，所以G′(x )＜0． 则G (x )在(x 2，π)上单调递减，又x ＞x 2，故G (x )＜G (x 2)＝0．而x 2＜x 3＜π，则G (x 3)＜0，即F (x 3)－F (x 2)－(x 3－x 2) F′(x 2)＜0，即F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F′(x 2)．从而F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F′(x 2)得证． ………………………………14分同理可以证明：F′(x 2)＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1．因此有F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1，即直线AB 的斜率大于直线BC 的斜率．……………16分。
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2014届南通市高三数学期末考试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 复数i z =（其中i 是虚数单位）的虚部为 ． 2. 某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数.则这7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为 . 3. 函数()221()4x xf x -=的值域为 ．4.分别在集合A ={1，2，3，4}和集合B ={5，6，7，8}中各取一个数相乘，则积为偶数的概率为 ．5. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为0x =，则双曲线C 的离心率为 . 6． 如图是计算101121k k =-∑的值的一个流程图，则常数a 的取值范围是 ．7. 函数y =()πsin 23x -的图象可由函数y = sin x 的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数y = sin x 的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的．现给出下列四个变换：A. 图象上所有点向右平移π个单位；B. 图象上所有点向右平移π3个单位；C. 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；D. 图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）.请按顺序写出两次变换的代表字母： .（只要填写一组）8. 记max{a ，b }为a 和b 两数中的较大数．设函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，则“()f x 和()g x 都是偶函数”是“函数{}()max ()()F x f x g x =，为偶函数”的 条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”和“既不充分也不必要”中选填一个）9. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：2248190x y x y +--+=关于直线l ：250x y +-=对称的圆C 2的方程为 ．10. 给出以下三个关于x 的不等式：①2430x x -+<，②311x >+，③2220x m x m ++<．若③的解集非空，且满足③的x 至少满足①和②中的一个，则m 的取值范围是 ．6 7 8 5 5 6 3 4 0 1EADCF P东北11. 设π02βα<<<，且113cos cos()714ααβ=-=，，则tan β的值为 ．12. 设平面向量a，b 满足3-a b a ·b 的最小值为 ．13. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线22491x y+=上的点到原点O 的最短距离为 ． 14. 设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2()1f x x =-；已知函数lg ||0()10x x g x x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩，，，． 则函数()f x 和()g x 的图象在区间[]510-，内公共点的个数为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．设向量a (cos sin )αα=，，b (cos sin )ββ=，，其中0πβα<<<．（1）若⊥a b ，求+a 的值；（2）设向量c (0=，且a + b = c ，求αβ，的值．16．如图，在三棱锥P —ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，60BAC ∠= ，E ，F 分别是AP ，AC 的中点，点D 在棱AB 上，且AD AC =． 求证：（1）//EF 平面PBC ；（2）平面DEF ⊥平面P AC ．17．如图，港口A 在港口O 的正东120海里处，小岛B 在港口O 的北偏东60 的方向，且在港口A 北偏西30 的方向上．一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏东30 的OD 方向以20海里/小时的速度驶离港口O ．一艘给养快艇从港口A 以60海里/小时的速度驶向小岛B ，在B 岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船．已知两船同时出发，补给装船时间为1小时．（1）求给养快艇从港口A 到小岛B 的航行时间； （2）给养快艇驶离港口A 后，最少经过多少时间能和科考船相遇？C18．设公差不为零的等差数列{}n a 的各项均为整数，S n 为其前n 项和，且满足2371574a a S a =-=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试求所有的正整数m ，使得+12m m ma a a +为数列{}n a 中的项．19. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短半轴长为2，椭圆C上1． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且π2AOB ∠=．①求证：原点O 到直线AB 的距离为定值； ②求AB 的最小值．20．设函数()2ln f x a x bx =-，其图象在点()()22P f ，处切线的斜率为3-．（1）求函数()f x 的单调区间（用只含有b 的式子表示）；（2）当2a =时，令()()g x f x kx =-，设1x ，2x ()12x x <是函数()0g x =的两个根，0x 是1x ，2x 的等差中项，求证：0()0g'x <（()g'x 为函数()g x 的导函数）．21A. 如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ．若DA = DC ，求证：AB = 2 BC ．21B. 已知矩阵A 的逆矩阵A ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-212143411，求矩阵A 的特征值．21C. 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数）的左焦点，且与直线423x t y t=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，（t 为参数）平行的直线的普通方程．【填空题答案】1. 22. 723. (]04，4. 345. 26. (]1921，7. BD （DA ）8. 充分不必要9. 221x y += 10.[)10-， 11.12. 513. 16- 14. 1515.【解】（1）因为a (cos sin )αα=，，b (cos sin )ββ=，，所以11==，a b ． ……2分因为⊥a b ，所以a ·b = 0．……………………………4分于是22234+=++⋅=a a b b，故2+=a ． …………6分（2）因为a + b ()(cos cos sin sin 0αβαβ=++=，，所以cos cos 0sin sin αβαβ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，…………………………8分由此得()cos cos παβ=-，由0πβ<<，得0ππβ<-<，又0πα<<，故παβ=-． ………………………………10分代入sin sin αβ+=，得sin sin αβ=．…………………12分而0πβα<<<，所以2ππ33αβ==，．…………………14分16. 【证】（1）在△P AC 中，因为E ，F 分别是AP ，AC 的中点，所以EF // PC ．………2分 又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ， 所以//EF 平面PBC ．………………5分（2）连结CD ．因为60BAC ∠= ，AD AC =，所以△ACD 为正三角形． 因为F 是AC 的中点，所以DF AC ⊥．…………………7分因为平面P AC ⊥平面ABC ，DF ⊂平面ABC ，平面P AC I 平面ABC AC =， 所以DF ⊥平面P AC ． ……………………11分因为DF ⊂平面DEF ，所以平面DEF ⊥平面P AC ．…………………………14分 17.【解】（1）由题意知，在△OAB 中，OA =120，3060AOB OAB ∠=∠=o o ，． 于是60AB =，而快艇的速度为60海里/小时，所以快艇从港口A 到小岛B 的航行时间为1小时． ………………………………5分（2）由（1）知，给养快艇从港口A 驶离2小时后，从小岛B 出发与科考船汇合． 为使航行的时间最少，快艇从小岛B 驶离后必须按直线方向航行，设t 小时后恰与科考船在C 处相遇．…………………………………………………………………7分 在△OAB中，可计算得OB =而在△OCB 中，6020(2)30BC t OC t BOC ==+∠=o ，，，………………………9分 由余弦定理，得2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅⋅∠，即([]222(60)20(2)220(2)t t t =++-⨯+亦即285130t t +-=，解得1t =或13t =-（舍去）．……………………………12分故23t +=．即给养快艇驶离港口A 后，最少经过3小时能和科考船相遇？…14分 18.【解】（1）因为{}n a 是等差数列，且77S =，而17747()72a a S a +==，于是41a =．…2分 设{}n a 的公差为d ，则由23154a a a =-得(12)(1)5134d d d --=--， 化简得282790d d -+=，即(3)(83)0d d --=，解得3d =或38d =，但若38d =，由41a =知不满足“数列{}n a 的各项均为整数”，故3d =．………5分于是4(4)311n a a n d n =+-=-．……………………………………………………7分 （2）因为+12(3)(6)189m m m m m m m ma a a a a a a a +++==++，3113(4)1n a n n =-=-+， ……10分 所以要使+12m m m a a a +为数列{}n a 中的项，18ma 必须是3的倍数， 于是m a 在1236±±±±，，，中取值，但由于1m a -是3的倍数，所以1m a =或2m a =-．由1m a =得4m =；由2m a =-得3m =． …………………………………………13分 当4m =时，+1213471m m m a a a a +⨯==；当3m =时，+123142m m m a aa a +⨯==-． 所以所求m 的值为3和4．…………………………………………………………16分 另解：因为2+12(38)(35)(311)9(311)18311311m m m a a m m m m a m m +---+-+==-- 1823332323113(4)1m m m m ⨯⨯=-+=-+--+，所以要使+12m m m a a a +为数列{}n a 中的项，2333(4)1m ⨯⨯-+必须是3的倍数， 于是3(4)1m -+只能取1或2-．（后略）19.【解】（1）由题意，可设椭圆C 的方程为22221(0)y x a b a b+=>>，焦距为2c ，离心率为e ． 于是2b =．设椭圆的右焦点为F ，椭圆上点P 到右准线距离为d ， 则AFe AF e d d=⇒=⋅，于是当d 最小即P 为右顶点时，PF 取得最小值，所以1a c -．……………………………………………………………………3分因为2221221a c a b b c a b c ⎧⎧-==⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪==+⎩⎩，，，， 所以椭圆方程为22154x y +=．………………………………………………………5分（2）①设原点O 到直线AB 的距离为h ，则由题设及面积公式知OA OB h AB ⋅=．当直线OA 的斜率不存在或斜率为0时，2OA OB ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2OB OA ⎧=⎪⎨=⎪⎩．于是d ．………………………………………………………………7分 当直线OA 的斜率k 存在且不为0时，则22222115454x y xk x y kx⎧⎪+=⇒+=⎨⎪=⎩，， 解得2222211154A A x k k y k ⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎪⎩，． 同理222221115411154BB x k k y k ⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎪⎩，．………………………………………9分 在Rt △OAB 中，22222222OA OB OA OB h AB OA OB⋅⋅==+， 则222222222222222111111115544545411111k k k OA OB k h OA OB OA OB k k k k+++++==+=+=+⋅++++ ()()221111454511945201k k +++==+=+，所以h =．综上，原点O 到直线AB．……………………………………11分另解：()()()()()()222222222222222222111111111554411111111155441115544k kk k OA OB k k h OA OB k k k k k kk k ++⋅++++⋅===+++++++++++222212999920201020k k k k ++==++，所以h =．②因为h 为定值，于是求AB 的最小值即求OA OB ⋅的最小值．22OA OB⋅()()()()2222222211121114111120400554204k k k k kk k k ++++=⋅=++++，令221t k k=+，则2t ≥， 于是22OA OB ⋅=()220401202011412041204120400t t t t t ++=⋅=-+++， …………………14分 因为2t ≥，所以()22116002018181OA OB ⋅⋅-=≥，当且仅当2t =，即1k =±，OA OB ⋅取得最小值409，因而min 409AB == 所以AB．…………………………………………………………16分 20. 【解】（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，．()2a f x bx x '=-，则()2432af b '=-=-，即86a b =-． 于是()()2286bx b f x x-+-'=．……………………………………………………2分①当0b =时，()60f x x-'=<，()f x 在()0+∞，上是单调减函数； ②当0b <时，令()0f x '=，得x =， 所以()f x在(0上是单调减函数，在)+∞上是单调增函数； ③当0b >时，若304b <≤，则()0f x '<恒成立，()f x 在()0+∞，上单调减函数；若34b >，令()0f x '=，得x =，所以()f x在(0上单调增函数，在)+∞上单调减函数； 综上，若0b <，()f x的单调减区间为(0，单调增区间为)+∞； 若304b ≤≤，()f x 的单调减区间为()0+∞，；若34b >，()f x的单调增区间为(0，单调减区间为)+∞．……………………………………8分（2）因为286a a b ==-，，所以1b =，即()22ln g x x x kx =--．因为()g x 的两零点为1x ，2x ，则211122222ln 02ln 0x x kx x x kx ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，， 相减得：()()()221212122ln ln 0x x x x k x x -----=， 因为 12x x ≠，所以()()1212122ln ln x x k x x x x -=-+-，于是()()1200012122ln ln 242x x g'x x k x x x x x -=--=-+- ()()()112211212121212221222ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤=--=-⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦．……………………………………14分令()1201x t t x =∈，，，()()214ln 2ln 11t t t t t t ϕ-=-=--++，则()()()()222141011t 't t t t t ϕ--=-=<++，则()t ϕ在()01，上单调递减，则()()10t ϕϕ>=，又1220x x <-，则()00g'x <．命题得证．………………16分C附加题：21A. 如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ．若DA = DC ，求证：AB = 2 BC ． 【证】连结OD ，BD ，因为AB 是圆O 的直径，所以902ADB AB OB ∠==o，．因为DC 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=o ．因为AD = DC ，所以A C ∠=∠．于是△ADB ≅△CDO ，从而AB = CO ，即2OB = OB + BC ，得OB = BC ．故AB = 2 BC ．……………………………………10分21B. 已知矩阵A 的逆矩阵A ⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-212143411，求矩阵A 的特征值． 【解】因为A 1-A =E ，所以A =(A 1-)1-．因为A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-212143411，所以A =(A 1-)1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1232． …………………………………5分 于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)1232----=λλ= λ2－3λ－4， ………………………8分令f (λ) = 0，解得A 的特征值λ1 = －1，λ2 =4 ．………………………………………10分21C. 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数）的左焦点，且与直线423x t y t=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，（t 为参数）平行的直线的普通方程．【解】椭圆的普通方程：221259x y +=，左焦点(40)F -，………………………………………3分直线的普通方程：220x y -+=. …………………………………………………………6分 设过焦点(40)F -，且与直线220x y -+=平行的直线为20x y λ-+= 将(40)F -，代入20x y λ-+=， 4.λ=所求直线的普通方程为240x y -+=．…………………………………………………10分 21D. 已知实数x ，y 满足：| x + y |31<，1|2|6x y -<，求证：| y |518<．【证】3|||3|2()(2)2|||2|y y x y x y x y x y ==+--++-≤．…………………………………5分 由题设知| x + y |31<，1|2|6x y -<， 从而1153||2366y ⨯+=≤．故| y |518<．…………………………………………………10分22．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点，设随机变量ξ是这两点间的距离．（1）求概率(P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ )．【解】（1）从正方体的8个顶点中任取不同2点，共有28C 28=种．因为正方体的棱长为1 正方体每个面上均有两条对角线，所以共有2612⨯=条．因此(123287P ξ===． ……………………………………………3分（2）随机变量ξ的取值共有1正方体的棱长为1，而正方体共有12条棱，于是()1231P ξ===．………………………5分从而(()(331111P P P ξξξ==-=-==--=． …………………………………7分所以随机变量ξ的分布列是…………………………………………………………………8分因此331()1777E ξ=⨯． …………………………………………10分23．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x =，F 为其焦点，点E 的坐标为(2，0)，设M为抛物线C 上异于顶点的动点，直线MF 交抛物线C 于另一点N ，链接ME ，NE 并延长分别交 抛物线C 与点P ，Q ．（1）当MN ⊥Ox 时，求直线PQ 与x 轴的交点坐标；（2）当直线MN ，PQ 的斜率存在且分别记为k 1，k 2时，求证：122k k =． 【解】（1）抛物线C ：24y x =的焦点F (1，0) ．当MN ⊥Ox 时，直线MN 的方程为 1x =．将1x =代入抛物线方程24y x =，得2y =±．不妨设(12)M ，，(12)N -，， 则直线ME 的方程为2+4y x =-，由2244y x y x =-+⎧⎨=⎩，解得1x =或4x =，于是得(44)P -，． 同理得(44)Q ，，所以直线PQ 的方程为4x =．故直线PQ 与x 轴的交点坐标(4，0)．………………………………………………4分（2）设直线MN 的方程为1x my =+，并设11223344()()()()M x y N x y P x y Q x y ，，，，，，，．由2214404x my y my y x=+⎧--=⎨=⎩，得， 于是124y y =-①，从而221212144y y x x =⋅=②． 设直线MP 的方程为2x t y =+，由2224804x t y y my y x=+⎧--=⎨=⎩，得， 所以138y y =-③，134x x =④．同理248y y =-⑤，244x x =⑥．由①②③④⑤⑥，得323241412424y y x x y y x x ====，，，．4312122143121222114422y y y y y y k k x x x x x x ---===⋅=---， 即122k k =．…………………………………………………………………………10分。