2018-2019学年人教A版必修四3.2简单的三角恒等变换(1)学案

3.2 简单的三角恒等变换（1）（学案）
一、学习目标
1.灵活运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换.
2.体会三角恒等变换的工具性作用，掌握变换的思想和方法，提高推理和运算能力．
二、自主学习
1.温故知新
两角和与差的正弦()sin αβ±= 两角和与差的余弦()cos αβ±= 两角和与差的正切()tan αβ±=
二倍角公式sin 2α=
cos 2α= tan 2α=
三、合作探究
例1. 已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ
2
.
【思路探究】 解答本题先求cos θ，而后确定θ
2的范围，最后应用半角公式化简．
【自主解答】 ∵sin θ＝45，5π2<θ<3π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－3
5
.
由cos θ＝2cos 2θ2－1得cos 2θ2＝1＋cos θ2＝1
5.
∵5π4<θ2<32π.∴cos θ
2
＝－1＋cos θ2＝－5
5
. tan θ2＝sin
θ2cos θ2＝2cos θ2sin θ
22cos
2θ2
＝sin θ
1＋cos θ＝2. 归纳总结 1．若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论．
2．由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤 (1)先化简所求的式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手)．
例2. 求证
x －sin x 1＋sin x ＋cos x ＝cos x 1＋sin x －sin x
1＋cos x
.
【思路探究】 解答本题可先将右边两个分式用升幂公式变形，再通分逐步向左边的式子变换．
【自主解答】 右边＝
cos 2x 2－sin 2
x
2x 2＋cos x 2
2－2sin x 2cos x 22cos 2x 2＝cos x 2－sin x 2sin x 2＋cos x 2－sin
x
2
cos
x 2
＝cos 2x 2－sin 2x 2－2sin x 2cos
x 2
cos x 2x 2＋cos
x 2
＝
x －sin x 2sin x 2cos x 2＋2cos 2x 2
＝x －sin x
1＋sin x ＋cos x ＝左边．
∴原等式成立．
归纳总结 1．恒等式的证明，包括无条件的恒等式和有条件的恒等式两种．
(1)无条件的恒等式证明，常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因)，证明的形式有化繁为简、
左右归一、变更论证等．
(2)有条件的恒等式证明，常常先观察条件式及欲证式中左、右两边三角函数的区别与联系，灵活使用条件，变形得证．
2．进行恒等变形时，既要注意分析角之间的差异，寻求角的变换方法，还要观察三角
函数的结构特征，寻求化同名(化弦或化切)的方法，明确变形的目的．
四、学以致用
1.已知sin θ＝－45，且π<θ<32π，求cos θ2和tan θ
2.
2.求证 tan(α＋π4)＋tan(α－π
4
)＝2tan 2α.
五、自主小测
1．tan 15°＋1
tan 15°
等于( )
A ．2
B ．2＋ 3
C ．4 D.43
3
2．若3sin α＋cos α＝0，则
1
cos 2
α＋sin 2α
的值为( )
A.103
B.53
C.2
3 D ．－2 3．函数f (x )＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期是( ) A.π
4 B.π
2
C ．π
D ．2π 4．已知θ是第三象限角，若sin 4 θ＋cos 4 θ＝5
9
，那么sin 2θ等于( )
A.223 B ．－223 C.23 D ．－23
5．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )
A.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12， ∈
B.⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π
12， ∈ C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6， ∈ D.⎣
⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π
3， ∈ 6．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝
1＋cos(A ＋B )，则C 的值为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
7．函数f (x )＝sin 2(x ＋π4)－sin 2(x －π
4)的最小正周期是________．
8．函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．
参考答案
1．C
2．A [∵3sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－1
3，
∴1
cos 2α＋sin 2α＝sin 2
α＋cos 2
αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2
α＋11＋2tan α
＝－13
2
＋11＋
－
13＝
103
.] 3．B [f (x )＝sin 4x ＋1－sin 2x ＝sin 4x －sin 2x ＋1＝－sin 2x (1－sin 2x )＋1 ＝1－sin 2x cos 2x ＝1－14sin 22x ＝1－14×1－cos 4x 2＝18cos 4x ＋78∴T ＝2π4＝π
2
.]
4．A [∵sin 4 θ＋cos 4 θ＝(sin 2 θ＋cos 2 θ)2－2sin 2 θcos 2 θ＝1－12sin 2 2θ＝59，∴sin 2 2θ＝8
9.
∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0，∴sin 2θ>0.∴sin 2θ＝22
3
.]
5．C [f (x )＝3sin ωx ＋cos ωt ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π
6.因为函数y ＝f (x )的图象与y ＝2的两个相邻交点的距离为π，故函数y ＝f (x )的周期为π.所以2π
ω＝π，即ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.令2 π－π2≤2x ＋π6≤2 π＋π2得2 π－2π3≤2x ≤2 π＋π3，即 π－π3≤x ≤ π＋π
6
( ∈ )．] 6．C [∵m ·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，
∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝3sin C ＋cos C ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π
6＋C ＝1. ∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋C ＝12，∴π6＋C ＝56π或π6＋C ＝π6(舍去)，∴C ＝2
3π.] 7．π
解析 f (x )＝sin 2(x ＋π4)－sin 2(x －π4)＝cos 2(π4－x )－sin 2(x －π
4)
＝cos 2(x －π4)－sin 2(x －π4)＝cos(2x －π
2)＝sin 2x .∴T ＝π.
8．1－ 2
解析 ∵y ＝2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin(2x ＋π
4)，∴y min ＝1－ 2.。