2017年东莞市高中数学竞赛决赛试题(含答案)

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2017年全国高中数学联赛A卷试题和答案

2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ，Λ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21Λ是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21Λ互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.。

2017年全国高中数学联合竞赛一试和加试(A卷)试题及答案考点分析

2017年全国高中数学联合竞赛一试和加试(A 卷)试题及答案考点分析2017年全国高中数学联合竞赛一试卷〉参考答案及评分标准说明孑1.评阅试卷时*请依据本评分标淮.填空趣只设S 分和o 分两档1其他备题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.N 如果考生的解??方法和本解答不同+只要思路合理"步骤1E 确，在评卷时训参苇本评分标准适为划分档次评仆.解芥题中第9小题*分対--个栉次.第10. 11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次*一、填空题；本大题共*小题，每小題*分，共64分.设八龙)屣走文任H 上的噌数，对任意实^xfTf(x+3)f(x-4) = -l.又当0冬“V7时・/(x)=log 3(9-x)・则/X-100)的値为 ____________________________ ・答案；■齐比庄平面現角坐标系xQy 中.fffiEfC 的方程为芝■ +匚=1, F 为C 的上煉点，A 的右顶点.戶是(?上位丁第象限内的別点*则四边Jg OAPF 的面积的燧大值为 ”解：易知#(3,0), F(O,D.设尸的酸掠圧(3ws 罠JTB 抽叭，w九秤=孔加 V S s^r- = | ■ 3 ■sin 0 + | ■ I ■ 3 cos!〔中 y ： — arctan —.当（9 — arctanVTo 时.四边形OAPF iff | 积的fit 大備为卫■土*解：由篆件知，/U + 14） = ---------------- = f （x} t 所以./<x + 7）2.若实数工j 满足”F 4- 2 cosy = 1 .则x — cos y 的収值范围足i _______ 答案:H1,広+ 1].解：由 +.Y 1- 1 -2cos yG[-l > 故GX 时F 可以収？Th 由于扌U+1)'—1的恤域筍-h J5 + 1］，从而X-CGSJ 的耿值范围是［一匕J5 + 1］・si n （ 4 *} +4. 若一个三位数中任总两个相邻数码的差均不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是____________ ・答案：75. _解：考虑平稳数赢.若6 = 0,则。

2017年全国高中联赛一试(B卷)数学试题 Word版含答案

2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a中，2a3a 1201172017a a a a ++的值为 . 2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2x f x +是偶函数，则(1)f 的值为 .4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题（本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n = . （1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR的取值范围.试卷答案1.答案：89解：数列{}n a的公比为32a q a ==，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.解：设,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比较两边实虚部可得9101022a ab b +=⎧⎨=-+⎩，解得：1,2a b ==，故12z i =+，进而||z 3.答案：74- 解：由条件知，2(1)1((1)(1))(1)1f f f +=--+-=---，1(1)2(1)2f f +=-+，两式相加消去(1)f -，可知：12(1)32f +=-，即7(1)4f =-. 4.答案：解：由正弦定理知，sin 2sin a A c C ==，又2b ac =，于是::a b c =，从而由余弦定理得：222222cos 24b c a A bc +-===-. 5.答案：解：由条件知，EF 平行于BC ，因为正四面体ABCD 的各个面是全等的正三角形，故4AE AF EF ===，7AD AB AE BE ==+=.由余弦定理得，DE ===同理有DF =作等腰DEF ∆底边EF 上的高DH ，则122E H E F ==，故DH ==于是12DEF S EF DH ∆==6.答案：514解：注意K 中共有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为3984C =种，当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况：（1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，（2）三点是边长为4416⨯=种情况，（3的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(1,0)±，(0,1)±的各有一个，共有8种情况.综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为616830++=，进而所求概率为3058414=.7. 解：二次曲线方程可写成2221x y a a--=，显然必须0a ->，故二次曲线为双曲线，其标准2221()x a -=-，则2222()c a a a =+-=-，注意到焦距24c =，可知24a a -=，又0a <，所以a =. 8.答案：574 解：由条件知2017[]21000c ≤=，当1c =时，有1020b ≤≤，对于每个这样的正整数b ，由10201b a ≤≤知，相应的a 的个数为20210b -，从而这样的正整数组的个数为。

2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)

5.正三棱锥P-ABC 中，AB=1，AP=2，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中，2a，3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2xf x +是偶函数，则(1)f 的值为 .4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题（本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|xxa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY.四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a的公比为32a q a ==，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案解：设,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比较两边实虚部可得9101022a a b b +=⎧⎨=-+⎩，解得：1,2a b ==，故12z i =+，进而||z =3.答案：74-。

2017年全国高中联合竞赛竞赛一试(A卷)数学试题含答案

2017年全国数学联合竞赛一试（A 卷）试题一、填空题：本大题共8小题,每小题8分，共64分.1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅→+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=,则)100(-f 的值为________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是________。

3。

在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110922=+y x ，F 为C 的上焦点,A 为C 的右顶点,P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为________。

4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是________。

5.正三棱锥ABC P -中，21==AP AB ，,过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________。

6.在平面直角坐标系xOy 中，点集(){}1,0,1,,-==y x y x K ，在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为________。

7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点。

若ABC A ∆=∠，π3的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为________。

8.设两个严格递增的正整数数列{}n a ，{}n b 满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12,n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为________。

二、解答题（本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9。

设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b 。

10。

设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求()⎪⎭⎫⎝⎛++++5353321321x x x x x x 的最小值和最大值。

东莞市高中数学竞赛决赛试题与答案

20XX 年东莞市高中数学竞赛决赛试题一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．） 1．从集合｛1，3，6，8｝中任取两个数相乘，积是偶数的概率是A ．56B ．23C ．12D ．132．若α是第四象限角，且2cos2sin212cos2sinαααα-=-，则2α是 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角3. 已知点O A B 、、不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且22+OP OA BA =，则A ．点P 不在直线AB 上 B ．点P 在线段AB 上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 在线段AB 的反向延长线上 4．设+∈R n m ,，若直线04)1()1(=-+++y n x m 与圆4)2()2(22=-+-y x 相切，则m n +的取值范围是A .]31,0(+B .),31[+∞+C . ),222[+∞+D .]222,0(+5. 已知正方体C 1的棱长为C 1的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C 2，以C 2的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C 3，则凸多面体C 3的棱长为A ．18B ．29C ．9D ．266. 已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(3)()f x f x +=-,且在区间]23,0[上是增函数,若方程m x f =)()0(<m 在区间[]6,6-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++=A ．6-B ． 6C ．8-D ．8 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．）7．已知1ln ,0()1,0x xf x x x⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，则不等式()1f x >-的解集为 ▲ .8．随机抽查某中学高二年级100名学生的视力情况，发现学生的视力全部介于4.3至5.2.现将这些数据分成9组，得其频率分布直方图如下.又知前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，则视力在4.6到5.0之间的学生有 ▲ 人.9．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为 ▲ . 10．给出下列四个命题：（1）如果平面α与平面β相交，那么平面α内所有的直线都与平面β相交；（2）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β；（3）如果平面α⊥平面β，那么平面α内与它们的交线不垂直的直线与平面β也不垂直；（4）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β．其中真命题．．．的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号） 11．若动点00(,)M x y 在直线20x y --=上运动，且满足2200(2)(2)x y -++≤8，则2200x y +的取值范围是 ▲ ．12．设函数()1121++⎪⎭⎫⎝⎛=x x x f x，0A 为坐标原点，n A 为函数()x f y =图象上横坐标为n （n∈N *）的点，向量∑=-=nk k k n A A a 11，向量)0,1(=i，设n θ为向量n a 与向量i 的夹角，满足15tan 3nk k θ=<∑的最大整数n 是 ▲ ．答题卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）题号123456视力答案二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7． 8． 9． 10． 11． 12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）已知函数2()2sincos 222x x xf x =-+．（1）求函数()f x 的单调减区间；（2）该函数的图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的变换得到?（3）已知2π,63πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且6()5f α=，求()6f πα-的值．14.（本小题满分12分）菱形ABCD 中，)2,1(A ，)0,6(=AB ，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P .（1）若向量)7,3(=AD ，求点C 的坐标；（2）当点D 运动时，求点P 的轨迹.15．（本题满分13分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ABE 为等腰三角形，AE ＝BE ，平面ABCD ⊥平面ABE ，点F 在CE 上，且BF ⊥平面ACE. （1）判断平面ADE 与平面BCE 是否垂直，并说明理由；（2）求点D 到平面ACE 的距离.ABCDEF16．（本题满分13分）如图，某化工集团在一条河流的上、下游分别建有甲、乙两家化工厂，其中甲厂每天向河道内排放污水2万m3，每天流过甲厂的河水流量是500万m3（含甲厂排放的污水）；乙厂每天向河道内排放污水1.4万m3，每天流过乙厂的河水流量是700万m3（含乙厂排放的污水）.由于两厂之间有一条支流的作用，使得甲厂排放的污水在流到乙厂时，有20%可自然净化.假设工厂排放的污水能迅速与河水混合，且甲厂上游及支流均无污水排放.根据环保部门的要求，整个河流中污水含量不能超过0.2%，为此，甲、乙两个工厂都必须各自处理一部分污水.（1）设甲、乙两个化工厂每天各自处理的污水分别为x、y万m3，试根据环保部门的要求写出x、y所满足的所有条件；（2）已知甲厂处理污水的成本是1200元/万m3，乙厂处理污水的成本是1000元/万m3，在满足环保部门要求的条件下，甲、乙两个化工厂每天应分别各自处理污水多少万m3，才能使这两个工厂处理污水的总费用最小？最小总费用是多少元？17．（本题满分14分）已知),,(42)(2R c b a c bx ax x f ∈++=.（1）当0≠a 时，若函数)(x f 的图象与直线x y ±=均无公共点，求证：;4142>-b ac （2）43,4==c b 时，对于给定的负数8-≤a ，记使不等式5|)(|≤x f 成立的x 的最大值为)(a M .问a 为何值时，)(a M 最大，并求出这个最大的)(a M ，证明你的结论.18．（本题满分14分）已知数列{}n x 和{}n y 的通项公式分别为n n x a =和()1,n y a n b n N +=++∈. （1）当3,5a b ==时，记2n n c x =，若k c 是{}n y 中的第m 项(,)k m N +∈，试问：1k c +是数列{}n y 中的第几项？请说明理由．（2）对给定自然数2a ≥，试问是否存在{}1,2b ∈，使得数列{}n x 和{}n y 有公共项？若存在，求出b 的值及相应的公共项组成的数列{}n z ，若不存在，请说明理由．20XX 年东莞市高中数学竞赛决赛参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7．),0()1,(e --∞ 8． 78 9．1210．（3）（4） 11． [2，8] 12． 3 三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）解：（1）2()sin 2sin )2x f x x =+-sin x x =π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． …………………2分令πππππk x k 223322+≤+≤+，Z k ∈．得ππππk x k 26726+≤≤+，Z k ∈． ()f x ∴的单调减区间为]267,26[ππππk k ++，Z k ∈． …………………5分（2）先把函数)(sin R x x y ∈=的图象向左平移3π个单位，就得到函数))(3sin(R x x y ∈+=π的图象；再把其纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，就得到π2sin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭)(R x ∈的图象．…………7分（3）由56)(=αf 得：π62sin(),35α+=即π3sin(),35α+= …………………8分因为2π,63πα⎛⎫∈⎪⎝⎭,所以π()(,)32παπ+∈. 从而π4cos()35α+==- (10)分于是()2sin[()]2[sin()cos cos()sin ]6363636f πππππππαααα-=+-=+-+5433]21542353[2+=⨯+⨯=. …………………12分14.（本小题满分12分）解：（1）菱形ABCD 中，)7,9()0,6()7,3(=+=+=AB AD AC ，且)2,1(A ，所以)9,10(C .…4分（2）设),(y x P ，则)2,7()0,6()2,1(--=---=-=y x y x AB AP BP . …………………5分又因为点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ，即点P 是ABC ∆的重心，从而有MP MC 3=,所以11133()3222AC AM MC AB MP AB AP AB AP AB =+=+=+-=- 3(1,2)(6,0)(39,36)x y x y =---=-- …………………7分菱形ABCD 的对角线互相垂直，所以AC BP ⊥，即 0)63,93()2,7(=--⋅--y x y x ，亦即0)63)(2()93()7(=--+-⋅-y y x x ，整理得：4)2()5(22=-+-y x （2≠y ）， …………………11分故P 点的轨迹是以)2,5(为圆心，2为半径的圆，除去与2=y 的交点. …………………12分15．（本题满分13分）解：（1）平面ADE与平面BCE垂直. …………………1分证明如下：因为BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE. …………………3分因为平面ABCD⊥平面ABE，且ABCD是正方形，BC⊥AB，平面ABCD∩平面ABE＝AB，所以BC⊥平面ABE，从而BC⊥AE. …………………6分于是AE⊥平面BCE，故平面ADE⊥平面BCE. ………………7分（2）连结BD交AC与点M，则点M是BD的中点，所以点D与点B到平面ACE的距离相等.…………………8分因为BF⊥平面ACE，所以BF为点B到平面ACE的距离. …9分因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE.又AE＝BE，所以△AEB是等腰直角三角形.…………………10分因为AB＝2，所以BE＝2sin45︒=…………………11分在Rt△CBE中，CE=3BC BEBFCE⨯===故点D到平面ACE的距离是332. …………………13分16．（本题满分13分）解：（1）据题意，x、y所满足的所有条件是()20.25001000.8(2) 1.40.2700100020 1.4xx yxy-⎧≤⎪⎪-+-⎪≤⎨⎪≤≤⎪⎪≤≤⎩，…………………4分即A BCDEFA BCDEFMG⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+4.1021854y x y x . …………………5分（2）设甲、乙两厂处理污水的总费用为z 元，则目标函数z ＝1200x ＋1000y ＝200(6x ＋5y ).…………7分作可行域，如图. ……………10分平移直线l ：6x ＋5y=0，当直线经过点A (1，0.8)时，z 取最大值，此时z ＝1200×1＋1000×0.8＝2000（元）. ……………12分故甲、乙两厂每天应分别处理1万m3、0.8万m3污水，才能使两厂处理污水的总费用最小，且最小总费用是2000元. …………………13分17．（本题满分14分）解：(1)由),,(42)(2R c b a c bx ax x f ∈++=与直线x y ±=均无公共点（0≠a ），可知xc bx ax ±=++422无解， ………………1分由04)12(2=+++c x b ax 无解，得：016)12(2<-+=∆ac b ，整理得：b b ac +>-4142 (1) ………………3分由04)12(2=+-+c x b ax 无解，得：016)12(2<--=∆ac b ，整理得：b b ac ->-4142 (2) ………………5分由(1),(2)得:4142>-b ac . ………………6分 (2)由43,4==c b ，所以38)(2++=x ax x f ………………7分因为aa f 163)4(-=-, 由8-≤a 得，5163)4(≤-=-aa f ………………9分所以()5f x ≤恒成立，故不等式5|)(|≤x f 成立的x 的最大值也就是不等式()5f x ≥-成立的x 的最大值，…………10分因此)(a M 为方程5382-=++x ax 的较大根，即aaa M 2424)(---=（8-≤a ） ………………11分当8-≤a 时，()M a ==a 的增函数， ………………13分所以，当8a =-时，)(a M 取得最大值，其最大值为251)(+=a M . ………………14分18．（本题满分14分）解：（1）由条件可得3n n x =，45n y n =+，根据题意知，23n n c =． …………………1分由kc 为数列{}n y 中的第m 项，则有2345k m =+， …………………2分那么2(1)213939(45)36454(910)5k k k c m m m ++==⨯=⨯+=+=++，…………………4分因910m *+∈N ,所以1k c +是数列{}n y 中的第910m +项． …………………5分（2）设在区间[1,2]上存在实数b 使得数列{}n x 和{}n y 有公共项，即存在正整数s ，t 使(1)sa a tb =++，∴1+-=a ba t s ，因自然数2a ≥,s ，t 为正整数，∴sa b -能被1a +整除． …………………6分①当1s =时，1s a bt a -=<+1a a *∉+N ． ②当2s n = (n *∈N )时，若1b =，2222111[1()()()]111()s n nn a b a a a a a a a a ----==-=-+-+-++-++--2422(1)[1]n a a a a -*=-+++∈N ，即s a b-能被1a +整除， …………………8分此时数列{}n x 和{}n y 有公共项组成的数列{}n z ，通项公式为2n n z a =(n *∈N )；若2b =，显然，222111111s n n a b a a a a a a *---==-∉++++N ，即sa b -不能被1a +整除． ………………9分 ③当21s n =+(n *∈N )时,2()11n sb a a a b a t a a --==++， …………………10分若2a >，则2n b a a*-∉N ，又a 与1a +互质，故此时2()1n ba a a t a *-=∉+N ． ………………11分若2a =，要2n ba a*-∈N ，则要2b =，此时221n n ba a a-=-， …………………12分由②知，21n a -能被1a +整除，故2()1n ba a a t a *-=∈+N ，即s a b -能被1a +整除．当且仅当2b a ==时，ba S -能被1a +整除． …………………13分此时数列{}n x 和{}n y 有公共项组成的数列{}n z ，通项公式为212n n z +=(n *∈N ).综上所述，存在{1,2}b ∈，使得数列{}n x 和{}n y 有公共项组成的数列{}n z ，且当1b =时,数列2nn z a =(n *∈N )；当2b a ==时,数列212n n z +=(n *∈N ). ……………14分。

2017年全国高中数学联合竞赛竞赛一试（A卷）答案

2017年全国高中数学联合竞赛竞赛一试（A卷）答案
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《(2016)高中数学奥林匹克竞赛全真试题:全国联赛卷》
详解版，南秀全主编，湖北教育出版社，2015
《(2016)高中数学奥林匹克竞赛全真试题:全国联赛卷(详解版)》全面反映了近几年中、小学数理化竞赛的题型，及所考查的知识点和解题方法，从而可以看出未来竞赛命题的走向和原则。

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2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(A卷)

2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)R e()R e(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.感恩和爱是亲姐妹。

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1 AB

y-122C

2017年东莞市高中数学竞赛决赛试题一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．） 1．从集合｛1，3，6，8｝中任取两个数相乘，积是偶数的概率是（）

A．12 B．23 C．34 D．56 2．如图，函数fx的图象为折线ACB，则不等式2log1fxx≥的解集是（） A．|10xx≤ B．|11xx≤≤ C．|11xx≤ D．|12xx≤

3．设函数()ln(1)ln(1)fxxx，则()fx是（） A. 奇函数，且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数 C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数 D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数 4．已知点(4,0),(0,6)AB，若点P是圆22(1)(1)1xy上一动点，则PAPB的最小值是（） A. 1 B.2 C.3 D.4 5．已知1()bxfxxa，其中,ab为常数，且1ab.若()fx与1()fx之积为一个常数，则这个常数的值为（） A．1 B．12 C．13 D．14 6．若正四面体PABC的外接球体积为36，则该正四面体的体积为（） A．8 B．82 C．83 D．9 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．） 7．已知直线3430xy与直线6140xmy平行，则它们之间的距离是 ▲ . 8．设集合},56|{},,1|||{2RxxxxBRxaxxA，若BA，则实数a的取值范围是

▲ . 0

x60x

0yx

-第9题 2

B D C

第10题

A 9．下图是函数)0)(sin()(xxf图像的一部分，则的值为 ▲ . 10．如图，在△ABC中，3AB，2AC，7BC，点D在边BC上，BAD45°，则tanCAD的值为 ▲ .

11．一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为112，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为80，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为156，则该梯形的周长为 ▲ . 12．已知00(,)xy是直线21xyk+-与圆22223xykk++-的公共点，则当00xy取最小值时，实数k的值等于 ▲ . 三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）

已知向量13(,)22a，(2cos,2sin)b，0π．（1）若a∥b，求角的大小；（2）若abb，求sin的值．

14.（本小题满分12分）如图，ABC为一直角三角形草坪，其中90,2CBC米，4AB米，为了增大草坪的面积，现对草坪周围重新规划，进行改造建设，设计将其扩大为一个等边三角形DEF，其中DE过点B，DF过点A，EF过点C．求三角形DEF面积2S的最大值．

第14题 3 O A

B D C x

（第17题）

15．（本题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥CD，

,PAADMQ、分别是PDBC、的中点．

（1）求证：//MQ平面PAB；（2）若ANPC，垂足为N，求证：PD平面AMN．

16．（本题满分14分）已知正实数ba,满足122ba，且333)1(1bamba，求m的最小值．

17．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知点(3,4)A，(9,0)B，C,D分别为线段OA,OB上的动点，且满足ACBD．（1）若4AC，求直线CD的方程；（2）证明：△OCD的外接圆恒过定点（异于原点O）．

(第15题) QMABC

PN 4 18．（本题满分14分）设函数1fxxkxk，3gxxk，其中k是实数，且0k．求关于x

的方程fxxgx实根的个数． 5 2017年东莞市高中数学竞赛决赛试题

参考答案及评分标准一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C A C A C

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．） 7．2 8．06aa或 9．6

10．23 11．16213 12．422 三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）

解：(1) 因为//ab，所以132sin2cos22，

即sin3cos，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以tan3，又0π，所以2π3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 (2)因为abb，所以22()abb，化简得220aab，

又13(,)22a，(2cos,2sin)b，则21a，cos3sinab，所以13sincos2，则π1sin()064，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分又0π，π15cos()64，所以ππππππsin[()]sin()coscos()sin66i66n6s61538 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 14.（本小题满分12分） 6

解：在三角形DBA中，设,(0,120)DBA，则sin(120)sin60DBAB，解得8sin(120)3DB，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分三角形CBE中，有sinsin60EBCB，解得4sin3EB，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分则等边三角形的边长为844sin(120)sin(2sin3cos)333，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以边长的最大值为473，

所以面积2S的最大值为2347283()433．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 15．（本题满分12分）证明：（1）取PA的中点E，连结ME，BE，

因为M是PD的中点，所以MEAD，12MEAD，

又因为Q是BC中点，所以12BQBC，因为四边形ABCD是平行四边形；所以BCAD ∥，所以BQME ∥, 所以四边形MQBE是平行四边形，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以MQBE．因为BE平面PAB，MQ平面PAB，所以MQ平面PAB．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）因为PA平面ABCD,CD平面ABCD, 所以PACD，又因为ACCD,PAACA, PA平面PAC，AC平面PAC，

所以CD平面PAC，又AN平面PAC，所以ANCD．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分又ANPC，PCCDC，PC平面PCD，CD平面PCD，所以AN平面PCD，又PD平面PCD，

PABD

（第15题） 7

所以ANPD，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分又PAAD，M是PD中点，所以AMPD，又AMANA，AM平面AMN，AN平面AMN，所以PD平面AMN .．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 16．（本题满分14分）解：令cos,sinab，02，则

322333)1sin(cos1)sinsincos)(cossin(cos)1sin(cos1sincos

m．．．．．．．．．．5分

令sincosx，则]2,1()4sin(2x，且21sincos2x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

于是21)1(23)1(22)1(22)1(232)1(1)211(223332xxxxxxxxxxxxm ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

因为函数21)1(23)(xxf在]2,1(上单调递减，所以)1()2(fmf．

因此，m的最小值为2423)2(f．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 17．（本题满分14分）

（1）因为(3,4)A，所以22(3)45OA，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

又因为4AC，所以1OC，所以34(,)55C，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分由4BD，得(5,0)D，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以直线CD的斜率40153755，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分所以直线CD的方程为1(5)7yx，即750xy．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）设(3,4)(01)Cmmm≤，则5OCm．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分则55ACOAOCm，因为ACBD，所以5+4ODOBBDm，