中学数学 专题十三 数系的扩充与复数的引入第三十三讲 复数的计算
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数系的扩充和复数的引入【要点梳理】要点一：复数的有关概念1.复数概念：形如()+a bi a b ∈R ，的数叫复数， 其中：a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，i 叫虚数单位（21=i -）. 表示：复数通常用字母z 表示.记作：()=+z a bi a b ∈R ，.要点诠释：（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.（2）复数=+z a bi 中，实部a 和虚部b 都是实数，这一点不容忽视，它列方程求复数的重要依据..（3）i 是－1的一个平方根，即方程12=x -的一个根. 方程12=x -有两个根，另一个根是i -；并且i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2.复数集概念：复数的全体组成的集合叫作复数集．表示：通常用大写字母C 表示．要点诠释：⊆⊆⊆⊆N Z Q R C ,其中N 表示自然数集,Z 表示整数集Q 表示有理数集,R 表示实数集.3.复数相等概念：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.表示：如果,,,a b c d R ∈，那么a c a bi c di b d=⎧+=+⇔⎨=⎩ 特别地，00a bi a b +=⇔==.要点诠释：（1）根据复数a +b i 与c+di 相等的定义，可知在a =c ，b =d 两式中，只要有一个不成立，那么就有a +b i≠c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）．（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.（3）复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简称为“复数问题实数化”．要点二：复数的分类表示：用集合表示如下图：要点三：复数的几何意义1. 复平面、实轴、虚轴：如图所示，复数z a bi =+（,a b R ∈）可用点(,)Z a b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.要点诠释：实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数集与复平面内点的对应关系按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是复数的一种几何意义.3.复数集与复平面中的向量的对应关系在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数.设复平面内的点(,)Z a b 表示复数z a bi =+（,a b R ∈），向量OZ 由点(,)Z a b 唯一确定；反过来，点(,)Z a b 也可以由向量OZ 唯一确定.复数集C 和复平面内的向量OZ 所成的集合是一一对应的，即复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 这是复数的另一种几何意义.4.复数的模 设OZ a bi =+u u u r （,a b R ∈），则向量OZ 的长度叫做复数z a bi =+的模，记作||a bi +.即22||||0z OZ a b ==+u u u r .要点诠释：①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小.②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x 轴对称，并且他们的模相等.【典型例题】类型一：复数的概念例1．请说出下面各复数的实部和虚部，有没有纯虚数？（1）23i +； （2）132i -； （3）1-3i ； （4）3-52i ； （5）π； （6）0.【思路点拨】将复数化为()+a bi a b ∈R ，的标准形式，实数为a ，虚部为b .当实部0a =，而虚部0b ≠时，该复数为纯虚数.【解析】（1）复数23i +的实部是2，虚部是3，不是纯虚数；（2）132i -=132i -+，其实部是－3，虚部是21，不是纯虚数； （3）1-3i 的实部是0，虚部是－31，是纯虚数；（4）2=-22i ，其实部是2-，虚部是-2，不是纯虚数； （5）π是实数，可写成+0i π⋅，其实部为π，虚部为0，不是纯虚数；（6）0是实数，可写出0+0i ⋅，其实部为0，虚部为0，不是纯虚数.【总结升华】准确理解复数的概念，明确实部、虚部的所指是关键.举一反三：【变式1】符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．(1)实部为－2的虚数；(2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数；(4)实部为－2的纯虚数．【答案】(1)存在且有无数个，如－2＋i 等；(2)存在且不唯一，如1－2i 等；(3)存在且唯一，即－2i ；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.【变式2】以2i 22i +的实部为虚部的新复数是________．【答案】2i -222i +的实部为-2，所以新复数为2－2i .【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题1】例2．当实数m 取何值时，复数22(34)(56)i,(m )z m m m m =--+--∈R ，表示：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.【思路点拨】根据复数z 为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的m 值.【解析】（1）当z 为实数时，要求虚部为0，即2560m m --=，6m =，解得或1m =-.（2）当z 表示虚数，要求虚部非0，即2560m m --≠，解得6m ≠且1m ≠-. （3）当z 表示纯虚数，要求实部为0，且虚部非0，即22340560m m m m ⎧--=⎪⎨--≠⎪⎩，解得4m =. 【总结升华】 复数包括实数和虚数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，合理利用复数是实数、虚数以及纯虚数的条件是解决本类题目的关键．举一反三：【变式1】 若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为_________.【答案】1-. 由复数z 为纯虚数，得21010x x ⎧-=⎨-≠⎩，解得1x =-．【变式2】已知复数22276(56)i (R)1a a z a a a a -+=+-+∈-，试求实数a 分别取什么值时，z 为： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数．【答案】（1）当z 为实数时，则225601a a a ⎧--=⎪⎨≠⎪⎩ ∴161a a a =-=⎧⎨≠±⎩或，故a =6， ∴当a =6时，z 为实数．（2）当z 为虚数时，则有225601a a a ⎧--≠⎪⎨≠⎪⎩，∴161a a a ≠-≠⎧⎨≠±⎩且， ∴a ≠±1且a ≠6，∴当a ∈（－∞，－1）∪（―1，1）∪（1，6）∪（6，+∞）时，z 为虚数．（3）当z 为纯虚数时，则有2225607601a a a a a ⎧--≠⎪⎨-+=⎪-⎩，∴166a a a ≠-≠⎧⎨=⎩且， ∴不存在实数a 使z 为纯虚数．【变式3】设复数22lg(22)(32)i z m m m m =--+++，m ∈R ，当m 为何值时，z 是：（1）实数； （2）z 是纯虚数．【答案】（1）要使z 是实数，则需22320220m m m m ⎧++=⎪⎨-->⎪⎩⇒m =―1或m =―2，所以当m =－1或m =－2时，z 是实数． （2）要使z 是纯虚数，则需222213320m m m m m ⎧--=⎪⇒=⎨++≠⎪⎩，所以m =3时，z 是纯虚数． 类型二：两个复数相等例3. 已知(21)(3)x i y y i -+=--，其中,x y R ∈，求x 与y .【思路点拨】利用复数相等的条件，列方程组，求解x y ，.【解析】根据复数相等的定义，得方程组⎩⎨⎧--==-)3(1,12y y x ，所以52x =，4y = 【总结升华】两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．举一反三：【变式1】已知，x y ∈R 且22712+=+x y xyi i -，求以x 为实部、以y 虚部的复数． 【答案】由题意知22712x y xy ⎧-=⎨=⎩，解得44x y =⎧⎨=⎩ 或 43x y =-⎧⎨=-⎩． 所以x+yi 的值为4+3i 或－4－3i ．【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题2】【变式2】,x y ∈R ，复数(32)5x y xi ++与复数(2)18y i -+相等，求x y ，.【答案】(2)1818(2)y i y i -+=--，所以321852x y x y+=⎧⎨=-⎩，解得212x y =-⎧⎨=⎩. 【变式3】已知集合M=｛（a +3）+（b 2-1）i,8｝,集合N=｛3i ，（a 2-1）+(b +2)i ｝同时满足：N≠⊂M ，M N ≠I Φ，求整数a ,b .【答案】 2(3)(1)3a b i i ++-=依题意得 ①或28(1)(2)a b i =-++ ②或223(1)1(2)a b i a b i ++-=-++ ③由①得a =-3,b =±2,经检验，a =-3,b =-2不合题意，舍去.∴a =-3，b =2由②得a =±3, b =-2.又a =-3,b =-2不合题意，∴a =3,b =-2; 由③得222231401230a a a ab b b b ⎧⎧+=---=⎪⎪⎨⎨-=+--=⎪⎪⎩⎩即,此方程组无整数解. 综合①②③得a =-3，b =2或a =3,b =-2.类型三、复数的几何意义例4. 在复平面内，若复数22(2)(32)＝－－＋－＋z m m m m i 对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线=y x 上，分别求实数m 的取值范围．【思路点拨】复数()+a bi a b ∈R ，在复平面内对应的点为()a b ，： =0a ⇔()a b ，在虚轴上；0,0a b <⎧⇔⎨>⎩()a b ，在第二象限；=a b ⇔()a b ，在=y x 上. 【解析】复数22(2)(32)＝－－＋－＋z m m m m i 在复平面内的对应点为()22(2)(32)－－－＋m m m m ，.(1)由题意得22－－=0m m ，解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得2220,320.－－－＋m m m m ⎧<⎪⎨>⎪⎩，解得12,2 1.m m m -<<⎧⎨><⎩或 ∴－1<m <1. (3)由已知得22232－－=－＋m m m m ，解得m ＝2.【总结升华】按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．举一反三：【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题3】【变式1】已知复数22(23)(43)z m m m m i =--+-+（m ∈R ）在复平面上对应的点为Z ，求实数m 取什么值时，点Z （1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）在第一象限.【答案】（1）点Z 在实轴上，即复数z 为实数，由2-43031m m m m +=⇒==或∴当31m m ==或时，点Z 在实轴上.（2）点Z 在虚轴上，即复数z 为纯虚数或0，故2230m m --=-13m m ⇒==或∴当-13m m ==或时，点Z 在虚轴上.3）点Z 在第一象限，即复数z 的实部虚部均大于0由22230430m m m m ⎧-->⎪⎨-+>⎪⎩ ，解得m ＜―1或m ＞3 ∴当m ＜―1或m ＞3时，点Z 在第一象限.【变式2】在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】∵22ππ<<，∴sin20>，cos20<，故相应的点在第四象限，选D.【变式3】 已知复数(2k 2－3k －2)+(k 2－k)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数k 的取值范围.【答案】∵复数对应的点在第二象限，∴⎪⎩⎪⎨⎧>-<--,0,023222k k k k 即⎪⎩⎪⎨⎧><<<-.10,221k k k 或解得：10122k k -<<<<或 例5. 在复平面内，O 是原点，向量OA u u u r 对应的复数是2+i ．（1）如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量OB uuu r 对应的复数；（2）如果（1）中点B 关于虚轴的对称点为点C ，求点C 对应的复数．【解析】（1）设所求向量OB uuu r 对应的复数z 1=x 1+y 1i （x 1，y 1∈R ），则点B 的坐标为（x 1，y 1）．由题意可知点A 的坐标为（2，1），根据对称性可知x 1=2，y 1=－1，故z 1=2－i ．（2）设所求点C 对应的复数为z 2=x 2+y 2i （x 2，y 2∈R ），则点C 的坐标为（x 2，y 2）．由对称性可知x 2=－2，y 2=－1，故z 2=－2－i ．【总结升华】 由复数的几何意义知，复数与复平面上的点建立起一一对应的关系，因而在解决复数的相关问题时，我们可以利用复平面上的点的一些数学关系来解决．举一反三：【变式】在复平面内，复数z 1=1+i 、z 2=2+3i 对应的点分别为A 、B ，O 为坐标原点，OP OA OB λ=+u u u r u u u r u u u r ．若点P 在第四象限内，则实数λ的取值范围是________．【答案】(12,13)OP λλ=++u u u r 由题意：120130λλ+>⎧⎨+<⎩，解得：1123λ-<<- 例6. 已知12z i =+，求z .【解析】z ==【总结升华】依据复数的模的定义，即可求得.举一反三：【变式1】若复数21(1)z a a i =-++(a R ∈)是纯虚数，则z = . 【答案】由210110a a a ⎧-=⇒=⎨+≠⎩, 所以z =2. 【变式2】已知z －|z|=－1+i ，求复数z ．【答案】方法一：设z=x+yi （x ，y ∈R ），由题意，得i 1i x y +=-+，即(i 1i x y +=-+．根据复数相等的定义，得11x y ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，∴z=i ．方法二：由已知可得z=(|z|－1)+i ，等式两边取模，得||z =两边平方，得|z|2=|z|2－2|z|+1+1⇒|z|=1．把|z|=1代入原方程，可得z=i ．。
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数的运算3.2.1复数的加法和减法b1高二12数学
复数的加法与减法 (1)相反数：a＋bi 的相反数为__－__a_－__b_i _； (2)复数的加法与减法 ①复数的加法与减法运算法则 两个复数相加(减)，就是把__实__部__与__实_部___、___虚__部__与_虚__部__分别相 加(减)． 即(a＋bi)＋(c＋di)＝___(a_＋__c_)＋__(_b_＋_d_)_i ； (a＋bi)－(c＋di)＝___(_a_－_c_)_＋_(_b_－__d_)i_．(其中 a，b，c，d∈R)
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法二：作出 z1、z2 对应的向量O→Z1、O→Z2，使O→Z1＋O→Z2＝O→Z， 因为|z1|＝|z2|＝1，又O→Z1、O→Z2 不共线(若O→Z1、O→Z2 共线，则|z1 ＋z2|＝2 或 0 与题设矛盾)， 所以平行四边形 OZ1ZZ2 为菱形． 又|z1＋z2|＝ 2， 所以∠Z1OZ2＝90°，即 OZ1ZZ2 为正方形， 故|z1－z2|＝ 2.1．算式中若出现字母，首先要确定其是否为实数，再确定复数 的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减． 2．不要错用复数减法的几何意义．如|z＋1＋2i|表示复数 z 对应 的点与(－1，－2)的距离，而不是与(1，2)的距离．
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内容 总结 (nèiróng)
第三章 数系的扩充与复数(fùshù)的引入。第三章 数系的扩充与复数(fùshù)的引入。－a－bi。(a＋ c)＋(b＋d)i。按ESC键退出全屏播放
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2-3.2.2复数代数形式的乘除运算课件新人教A版选修1-2
但 z1≠z2≠0.
_
_
(3)对．设 z＝a＋bi，z＝a－bi(b≠0，a∈R)，则 z－z
＝2bi 为纯虚数．(4)对．复数代数形式的运算要先乘除、
后加减． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
3．若
z＝1＋i 2i，则复数
_ z
等于(
)
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
_ 的常规思路为设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z＝a－bi，代入所
给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解.
1．复数代数形式的乘除运算 (1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式， 复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配 律． (2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除 法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭 复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．
第三章 数系的扩充与复数的引入
[知识提炼·梳理]
1．复数的乘法 (1)设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1·z2 ＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．
解析：(1)错．两个复数互为共轭复数是它们的模相
等的充分条件．(2)错．如 z1＝1，z2＝i，满足 z21＋z22＝0，
1＋2i （1＋2i）（－i） 解析：z＝ i ＝ i·（－i） ＝2－i，
所以 z 的共轭复数为 2＋i.
答案：D
类型 1 复数的乘法运算(自主研析)
[典例 1] (1)已知 x，y∈R，i 为虚数单位，且 xi－y
＝－1＋i，则(1＋i)x＋y 的值为( )
A．2
B．－2i
C．－4
高中数学第三章数系的扩充和复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算讲义
高中数学第三章数系的扩充和复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算讲义新人教A 版选修22123003111．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝□01(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i 2换成□02－1，并且把实部和虚部分别合并．2．复数的乘法运算律设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 3＝a 3＋b 3i ，有 交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1；结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)； 分配律：z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3. 3．共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为□03共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫□04共轭虚数． 4．复数除法的法则(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝□05ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i (c ＋d i≠0)． 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数．共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称． (2)实数的共轭复数是它本身，即z ＝z －⇔z ∈R . 利用这个性质，可以证明一个复数是实数． (3)z ·z －＝|z |2＝|z －|2∈R .z 与z －互为实数化因式．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( ) (2)若z 1，z 2∈C ，且z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( ) (3)两个共轭虚数的差为纯虚数．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(1)复数3i ＋1＝________.(2)复平面内，复数z ＝2i1＋i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于第________象限． (3)复数2－1i 的共轭复数是________．答案 (1)32－32i (2)四 (3)2－i探究1 复数的乘除运算例1 (1)复数3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i ＝( )A ．0B ．2C ．－2iD ．2i(2)若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)·i 的实部为________．[解析] (1)解法一：3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i ＝3＋2i2＋3i －3－2i 2－3i2－3i 2＋3i＝6＋13i －6－6＋13i ＋64＋9＝26i13＝2i.解法二：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝i 2－3i 2－3i －－i 2＋3i2＋3i＝i ＋i ＝2i.(2)(z 1－z 2)·i＝[(4＋29i)－(6＋9i)]·i＝(－2＋20i)·i＝－20－2i ， ∴(z 1－z 2)·i 的实部为－20. [答案] (1)D (2)－20 拓展提升(1)复数的乘法可以把i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．(2)实数集中的乘法公式、幂的运算律，因式分解方法等在复数集中仍成立．【跟踪训练1】 计算：(1)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. 解 (1)原式＝－2＋3i 1＋2i ＝－2＋3i1－2i1＋2i 1－2i＝－2＋6＋3＋4i 12＋22＝45＋75i. (2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i. 探究2 共轭复数例2 z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋iD ．1－i[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，又z ＋z －＝2，即(a ＋b i)＋(a －b i)＝2，所以2a ＝2，解得a ＝1.又(z －z －)i ＝2，即[(a ＋b i)－(a －b i)]·i＝2，所以b i 2＝1，解得b ＝－1.所以z ＝1－i.[答案] D 拓展提升(1)复数的代数形式为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a 为实部、b 为虚部．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数就是z －＝a －b i(a ，b ∈R )．(2)对于复数的四则运算：加、减、乘运算按多项式运算法则计算，除法运算需把分母实数化来进行．【跟踪训练2】 已知复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b z －＝(a ＋2z )2. 解 因为z ＝1＋i ，所以az ＋2b z －＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i.因为a ，b 都是实数，所以由az ＋2b z －＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4a ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，b 1＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－4，b 2＝2.所以所求实数为a 1＝－2，b 1＝－1或a 2＝－4，b 2＝2. 探究3 复数i n的周期性运算 例3 计算：(1)2＋2i 1－i 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2020； (2)1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2019.[解] (1)2＋2i 1－i 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2020＝2＋2i －2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1010＝i(1＋i)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i 1010＝－1＋i ＋(－i)1010＝－1＋i －1＝－2＋i.(2)解法一：∵i n＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0，n ∈N *，∴1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2019＝1＋i ＋i 2＋(i 3＋i 4＋i 5＋i 6)＋(i 7＋i 8＋i 9＋i 10)＋…＋(i2015＋i2016＋i2017＋i2018)＋i2019＝1＋i ＋i 2＋i 3＝0.解法二：1＋i ＋i 2＋…＋i 2019＝1－i 20201－i ＝1－i 505×41－i ＝1－11－i＝0.拓展提升i n (n ∈N *)的性质根据复数乘法法则，容易得到i 的n 次幂的计算法则， 即n ∈N *时，i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，其中i 0＝1，i －n ＝1in (n ∈N *)．另外，i 4n＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i 4n ＋3＝0.【跟踪训练3】 (1)当z ＝－1－i 2时，z 100＋z 50＋1的值等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i (2)计算⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i的值为________．答案 (1)D (2)－1＋i解析 (1)∵z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－i 22＝－2i 2＝－i ，∴z 100＋z 50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1 ＝[(－i)2]25＋(－i)＋1＝－1－i ＋1＝－i.(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i226＋2＋3i 3＋2i3＋2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.1.复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化.2.共轭复数性质可以用来解决一些复数问题.3.复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化.1．复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i答案 A解析 i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.选A. 2．复数21－i等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 答案 A 解析21－i ＝21＋i 1－i 1＋i＝21＋i2＝1＋i ，∴选A. 3．(1＋i)2－2－i 2＋i ＝________.答案 －35＋145i解析 (1＋i)2－2－i 2＋i ＝2i －2－i25＝－35＋145i.4．(1－2i)(3＋4i)(－1＋i)＝________. 答案 －9＋13i解析 (1－2i)(3＋4i)(－1＋i)＝(11－2i)(－1＋i)＝－9＋13i.5．把复数z 的共轭复数记作z －，已知i·z －＝4＋3i ，求z z－.解 由i·z －＝4＋3i 得z －＝4＋3ii ＝3－4i ，所以z ＝3＋4i.所以z z－＝3＋4i 3－4i ＝3＋4i 23－4i 3＋4i ＝－7＋24i25.。
数系的扩充与复数的引入教师版
（A） （B） （C） （D）
【解题指南】用复数的运算法则实行计算.
【解析】选A.因为 ，所以
.
4.（2012·江西高考文科·Ｔ1）若复数z=1+i(i为虚数单位) 是z的共轭复数，则 + ²的虚部为（）
（A）0（B）-1（C）1（D）-2
【解题指南】先求得 ，然后化简 + ²，最终得到虚部.
[答案](1)A(2)C
例7：
(1)(2012·山西四校联考)设复数z的共轭复数为 ，若z＝1－i(i为虚数单位)，则 ＋z2的值为()
A．－3iB．－2i
C．iD．－i
解析：(1)依题意得 ＋z2＝ ＋(1－i)2＝ －2i＝i－2i＝－i.
拔高强化
1.（2012·天津高考理科·Ｔ1） 是虚数单位，复数 =（）
10.（2012·辽宁高考文科·Ｔ3）复数 ()
(A) (B) (C) (D)
【解题指南】复数代数形式的运算，将复数实行分母实数化.
【解析】选A. .
11.（2012·陕西高考文科·Ｔ4）与（2012·陕西高考理科·Ｔ3）相同
设 R,i是虚数单位,则“ ”是“复数 为纯虚数”的()
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(1)(2012·山东高考)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为()
A．3＋5iB．3－5i
C．－3＋5iD．－3－5i
(2)(2011·重庆高考)复数 ＝()
A．－ － iB．－ ＋ i
C. － iD. ＋ i
[自主解答](1)z＝ ＝ ＝ ＝3＋5i.
(2) ＝ ＝
＝ ＝ ＝ － i.
【解析】选A.因为 ，所以 ， ，
专题十三 数系的扩充与复数的引入第三十三讲 复数的计算答案
专题十三 数系的扩充与复数的引入第三十三讲 复数的计算答案部分1．D 【解析】11i 1i 11i 1i (1i)(1i)222++===+--+，其共轭复数为11i 22-，对应的点为11(,)22-，故选D ． 2．C 【解析】因为21i (1i)2i=2i i 2i i 1i (1i)(1i)--=++=-+=++-z ，所以|z |1=，故选C ． 3．D 【解析】()i 23i 32i +=-+，故选D ．4．D 【解析】2(1i)(2i)2i 2i i 3i +-=-+-=+．故选D ．5．B 【解析】因为22(1i)1i 1i (1i)(1i)+==+--+，所以复数21i-的共轭复数为1i -．故选B ． 6．C 【解析】由2(1)2i i +=为纯虚数知选C ．7．B 【解析】由复数的运算法则，2(1i)(2i)123i i 13i ++=⨯++=+，选B ．8．C 【解析】∵i(2i)12i z =-+=--，∴复数z 在复平面内对应的点(1,2)Z --，位于第三象限，选C ．9．A 【解析】由i 1i z =+，得1i 1i iz +==-，22(1i)2i z =-=-，选A ． 10．B 【解析】(1i)(i)(1)(1)i z a a a =-+=++-，因为对应的点在第二象限，∴1010a a +<⎧⎨->⎩，解得1a <-，故选B. 11．A 【解析】因为(12i)(i)a ++=(2)(21)i a a -++，由已知的221a a -=+，解得3a =-．故选A ．12．C 【解析】由i 3i z +=-得，32z i =-，所以32z i =+，故选C ．13．D 【解析】43||55z i z ==-，故选D ． 14．A 【解析】由题意知1z i zi ，21(1)1(1)(1)i i z i i i i ，所以|z |1．15．A 【解析】∵23z i ，所以23z i ． 16．B 【解析】由题意22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B ．17．A 【解析】2(1)1,1z i i i i i z i =-=-+=+=-．18．C 【解析】32222i i i i i i i i ． 19．A 【解析】i i i i -=⋅=⨯31514607,选 B.20．D 【解析】由题意得，i ii i i z --=+-=+-=1121)1(2，故选D ．21．B 【解析】i i z ++=11=1122i +，∴||2z ==． 22．D 【解析】32(1)(1)i i +-=13322122i i i i i i-+--+==----． 23．A 【解析】22z i =-+，∴12z z =(2)(2)5i i +-+=-．24．B 【解析】131i i+=-12i -+． 25．D 【解析】由已知得2,1a b ==，∴22(2)34a bi i i +=+=+（）． 26．D 【解析】由(34)25i z +=得2525(34)(34)3425i z i i -===-+，选D ． 27．C 【解析】1(1)(1)(1)2z i i z i i i i i i++⋅=+⋅-=--++= 28．C 【解析】∵(32)z i i =-=23i +，∴23z i =-．29．A 【解析】73472525134343425i i i i i i i i .30．B 【解析】实部为-2，虚部为1的复数为-2 +1，所对应的点位于复平面的第二象限，选B ．31．D 【解析】由题知z =|43|34i i +-=4)(34)(34)i i i +-+=3455i +，故z 的虚部为45，故选D ． 32．A 【解析】()()()2122211112i i i i z i i i i +-+====-+--+33．D 【解析】()()325z i --=，得535,52z i z i i=+=+=-- 34．A 【解析】设z a bi =+，则z a bi =-，由22z zi z ⋅+=得，()()()222222a bi a bi i a b i a bi +-+=++=+i z b a a +=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==+⇒111222b b a 22,所以选A 35．C 【解析】2442i z i i+==-对应的点的坐标是()4,2-,故选C ． 36．C 【解析】由{4}M N ⋂=知，4zi =，所以4z i =-．37．D 【解析】211i z i i==++，1z i ∴=-。
2023版高考数学一轮总复习专题检测13数系的扩充与复数的引入
专题十三 数系的扩充与复数的引入一、选择题1.(2022届T8联考,2)已知z=2i1−i -1+2i,则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B 因为z=2i(1+i)(1-i)(1+i)-1+2i=i-1-1+2i=-2+3i,所以复数z 在复平面内对应的点Z(-2,3)位于第二象限,故选B.2.(2022届河南安阳月考,2)已知复数z=2+i+(1-i)x 是纯虚数,则实数x 的值为( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1答案 A ∵z=(2+x)+(1-x)i 是纯虚数,∴{2+x =0,1−x ≠0⇒x=-2,故选A.3.(2022届西南四省名校联考,2)已知复数z=21+i 3,则x 的虚部为( )A.-1B.-iC.1D.-2i 答案 A ∵z=21−i=2(1+i)2=1+i,∴x =1-i,则x 的虚部为-1.故选A.4.(2022届安徽八校联考,2)在复平面内,复数1−i 2i对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案 C1−i2i =-12-12i,对应点为(-12,-12),在第三象限,故选C. 5.(2022届安徽六安质检,2)设复数z 的共轭复数为x ,若2z+x =32+2i,则z=( ) A.-1+2i B.1+2i C.1-2i D.12+2i答案 D 设z=a+bi(a,b∈R),则x =a-bi,所以2z+x =2a+2bi+a-bi=3a+bi=32+2i,故{3x =32,x =2,解得a=12,故z=12+2i,故选D. 6.(2022届朝阳期中,3)设m∈R,则“m=2”是“复数z=(m+2i)(1+i)为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C z=(m+2i)(1+i)=(m-2)+(m+2)i,由z 为纯虚数,得{x -2=0,x +2≠0,即m=2,即必要性成立;当m=2时,z=(2+2i)(1+i)=4i,为纯虚数,即充分性成立.故选C.7.(2022届北京一零一中学统考二,2)在复平面内,已知复数z 对应的点与复数1+i 对应的点关于实轴对称,则xi =( )A.1+iB.-1+iC.-1-iD.1-i 答案 C 由题意得z=1-i,从而x i =1−ii=-1-i.故选C.8.(2022届长沙长郡中学第一次月考,2)设复数z 满足z=2i-1+i ,则|z|=( ) A.1 B.√2 C.12 D.√22答案 B 因为z=2i-1+i =2i(i +1)(i -1)(i +1)=1-i,所以|z|=√2.故选B.9.(2022届湖北九师联盟10月质检,2)已知复数z=2−i1+i ,则下列说法正确的是( ) A.z 的模为√102B.z 的虚部为-32i C.z 的共轭复数为-12-32iD.z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限 答案 A z=2−i 1+i =(2-i)(1-i)(1+i)(1-i)=1−3i 2=12-32i,所以z 的模为√(12)2+(-32)2=√102,故A 中说法正确;z 的虚部为-32,故B 中说法错误;z 的共轭复数为12+32i,故C 中说法错误;z 的共轭复数在复平面内对应的点为(12,32),在第一象限,故D 中说法错误.故选A.10.(2022届江苏如皋中学月考,5)已知复数z 满足|z-1|=|z-i|,则在复平面上z 对应的点的轨迹为( ) A.直线 B.线段 C.圆 D.等腰三角形答案 A 设复数z=x+yi(x,y∈R),根据复数的几何意义知:|z-1|表示复平面内的点Z(x,y)与点A(1,0)的距离,|z-i|表示复平面内的点Z(x,y)与点B(0,1)的距离,因为|z-1|=|z-i|,即点Z(x,y)到A,B 两点间的距离相等,所以点Z(x,y)在线段AB 的垂直平分线上,所以在复平面上z 对应的点的轨迹为直线.故选A.11.(2022届安徽安庆月考,2)设复数z 满足(1-i)z=4i(i 是虚数单位),则|z|=( ) A.1 B.√2 C.2 D.2√2答案 D ∵(1-i)z=4i(i 是虚数单位),∴(1+i)(1-i)z=4i(1+i),化简得z=2i-2,则|z|=√(-2)2+22=2√2,故选D.12.(2022届江西吉安月考,1)已知i 为虚数单位,则|1+i 3|等于( ) A.2 B.1 C.0 D.√2答案 D ∵1+i 3=1-i,∴|1+i 3|=√12+(−1)2=√2.故选D.13.(2022届山西长治质检,2)若复数z 满足zi=2+i(i 是虚数单位),则复数z 的虚部为( ) A.2i B.-2i C.2 D.-2 答案 D 由zi=2+i,得z=2+i i=-i(2+i)-i 2=1-2i,∴z 的虚部是-2.故选D.14.(2022届福建泉州科技中学月考,4)若z=1+i,则(x x )2020+(x x)2021的虚部为( )A.iB.-iC.1D.-1答案 D 因为z=1+i,所以x x =1+i 1−i =(1+i)(1+i)(1-i)(1+i)=i,x x =1−i 1+i =(1-i)(1-i)(1+i)(1-i)=-i,所以(x x )2020+(x x )2021=i 2020+(-i)2021=1-i,故其虚部为-1.15.(2022届昆明质检,2)设复数z 满足(1+i)z=m-i(m∈R),若z 为纯虚数,则m=( ) A.-1 B.1 C.2 D.-2 答案 B z=x -i 1+i=x -1-(x +1)i 2,若z 为纯虚数,则m-1=0且-(m+1)≠0,故m=1,故选B.16.(2022届广西调研,2)已知复数z=(1+i)(2-i),则z 的共轭复数x 为( ) A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i 答案 C ∵z=(1+i)(2-i)=2-i+2i-i 2=3+i,∴x =3-i.故选C.17.(2022届吉林名校期中,6)设z 是纯虚数,若1−ix +2是实数,则x =( ) A.-2i B.-i C.i D.2i答案 D ∵z 是纯虚数,∴设z=ai(a∈R,a≠0), ∵1−i2+x =(1-i)(2-x i)(2+x i)(2-x i)=2−x +(−2−x )i4+x 2是实数,∴-2-a=0,解得a=-2,∴z=-2i,∴x =2i.故选D.18.(2022届山西名校联盟调研,2)复数z=(√3-i)(1+i)2,则|z|=( ) A.4√2 B.4 C.2√3 D.2√2答案 B ∵z=(√3-i)(1+i)2=(√3-i)(2i)=2+2√3i,∴|z|=√22+(2√3)2=4.故选B.二、填空题19.(2022届北京十二中10月月考,11)已知复数z=2+i i(i 是虚数单位),则|z|= .答案 √5 解析 z=2+i i=(2+i)(-i)i·(-i)=1-2i,∴|z|=√12+(-2)2=√5.20.(2022届北京一七一中学10月月考,11)复数(1+i 1−i )2= . 答案 -1 解析 ∵1+i1−i =(1+i)2(1-i)(1+i)=2i2=i,∴(1+i 1−i )2=i 2=-1.21.(2022届北京师大附中期中,11)如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B 对应的复数分别是z 1,z 2,则z 1+z 2= .答案 2解析 由题意知,z 1=i,z 2=2-i,则z 1+z 2=2.22.(2021上海,1,4分)已知z 1=1+i,z 2=2+3i,则z 1+z 2= . 答案 3+4i解析 z 1+z 2=(1+2)+(1+3)i=3+4i.。
数系的扩充与复数的引入 课件
3x＋2y
－y
i
i ，求实数x，y的值．
分析 理解运算的定义，利用运算的定义转化为两个复
数相等求解．
解 由运算的定义知，
3x＋2y
－y
1i ＝(3x＋2y)＋yi，
∴(x＋y)＋(x＋3)i＝(3x＋2y)＋yi.
∵x，y为实数，由复数相等，
得xx＋ ＋y3＝＝3yx. ＋2y， 解得xy＝＝－2. 1， ∴x＝－的概念． (1)复数与复数集 形如__________的数叫做复数，其中i叫做__________， 全体复数所成的集合叫做__________，用字母__________表 示.
(2)复数的代数形式 复数通常用z表示，z＝__________叫做复数的代数形 式，其中a叫做复数z的__________，b叫做复数z的 __________． 2．复数的分类． (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当__________时，z为 实数．当__________时，z为虚数，当__________时，z为纯 虚数．
答案 (1)1或2 (2)－12
题型三 复数相等的充要条件的应用 例3 若实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，求x，y的 值． 分析 由实部、虚部分别对应相等，列出关于x，y的方 程组，解方程组得解．
解 由(1＋i)x＋(1－i)y＝2，得 (x＋y)＋(x－y)i＝2， 依复数相等的充要条件有
(3)数集扩充后有 实数b＝0
复数z虚数纯非虚纯数虚数a＝0，b≠0 2．复数的代数形式 复数a＋bi(a，b∈R)中应注意以下几点： (1)a，b∈R必须注明，否则不是代数形式.
(2)z是实数⇔b＝0. (3)z为纯虚数⇔z＝bi(b≠0，b∈R)． (4)z为虚数⇔z＝a＋bi(b≠0，b∈R)． (5)z为复数⇔z＝a＋bi(a，b∈R)． 3．两个复数相等的充要条件 若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R) 则z1＝z2⇔c＝a，且b＝d.
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专题十三 数系的扩充与复数的引入第三十三讲 复数的计算2019年1.（2019全国II 文2）设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．–1+2iC ．1–2iD ．–1–2i2.（2019北京文2）已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（A（B （C ）3（D ）53.（2019江苏2）已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 .4.（2019全国1文1）设3i12iz -=+，则z =A ．2B CD ．15.（2019天津文9）i 是虚数单位，则的值51ii-+的值为__________. 6.（2019浙江11）复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =___________. 7.(2019全国III 文2）若(1i)2i z +=，则z = A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i2010-2018年一、选择题1．(2018北京)在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(2018全国卷Ⅰ)设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1D 3．(2018全国卷Ⅱ)()i 23i += A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+4．(2018全国卷Ⅲ)(1i)(2i)+-= A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +5．(2018浙江)复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --6．（2017新课标Ⅰ）下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．2i(1i)+ B ．2i (1i)- C ．2(1i)+ D ．i(1i)+ 7．（2017新课标Ⅱ）(1)(2)i i ++=A ．1i -B ．13i +C ．3i +D ．33i + 8．（2017新课标Ⅲ）复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．（2017山东）已知i 是虚数单位，若复数z 满足i 1i z =+，则2z =A ．-2iB ．2iC ．-2D ．210．（2017北京）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是A ．(,1)-∞B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞11．（2016年全国I 卷）设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=A ．−3B ．−2C ．2D ．3 12．（2016年全国II 卷）设复数z 满足i 3i z +=-，则z =A ．12i -+B ．12i -C ．32i +D ．32i - 13．（2016年全国III 卷）若43i z =+，则||zz = A ．1B ．1-C ．43i 55+ D ．43i 55- 14．（2015新课标1）设复数z 满足11zi z+=-，则||z =A ．1BCD ．2 15．（2015广东）若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z =A ．23i -B ．23i +C ．32i +D ．32i - 16．（2015安徽）设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 17．（2015山东）若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i - B ．1i + C ．1i -- D ．1i -+ 18．（2015四川）设i 是虚数单位，则复数32i i-= A ．i - B ．3i - C ．i D ．3i 19．（2015湖北）i 为虚数单位，607i的共轭复数为A ．iB ．i -C ．1D ．1-20．（2015湖南）已知()211i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z = A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 21．（2014新课标1）设i iz ++=11，则=||z A ．21B ． 22C ． 23D ． 222．（2014新课标1）32(1)(1)i i +-=A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i --23．（2014新课标2）设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =A ．5-B ．5C ．4i -+D ．4i -- 24．（2014新课标2）131ii+=- A ．12i + B ．12i -+ C ．1-2i D ．1-2i -25．（2014山东）已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a A ．i 45- B ．i 45+ C ．i 43- D ．i 43+ 26．（2014广东）已知复数z 满足(34)25i z +=，则z =A ． 34i -+B ．34i --C ．34i +D ．34i - 27．（2014安徽）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数。
若,1i z +=则zi z i+⋅=A ．2-B ．2i -C ．2D ．2i 28．（2014福建）复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于A ．23i --B ．23i -+C ．23i -D ．23i + 29．（2014天津）i 是虚数单位，复数734ii+=+A ．1i -B ．1i -+C ．17312525i + D ．172577i -+ 30．（2014重庆）实部为2-，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的A ．第一象限B ．第二象限C ． 第三象限D ．第四象限 31．（2013新课标1）若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为A ．－4B ．－45C ．4D ．4532．（2013新课标2）设复数z 满足()12i z i -=，则z =A ．1i -+B ．1i --C ．1i +D ．1i -33．（2013山东）复数z 满足()()325z i --= (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为A ．2+iB ．2-iC ． 5+iD ．5-i34．（2013安徽）设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若22z zi z ⋅+=，则z =A ．1+iB ．1i -C ．1+i -D ．1-i -35．（2013广东）若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是A ．()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,236．（2013江西）已知集合{}1,2,M zi =，i 为虚数单位，{}3,4N =，{4}M N ⋂=，则复数z =A ．-2iB ．2iC ．-4iD ．4i 37．（2013湖北）在复平面内，复数21iz i=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于 A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 38．（2013北京）在复平面内，复数(2)i i -对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 39．如图在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是xA ． AB ．BC ．CD ．D 40．（2013辽宁）复数的11z i =-模为 A ．12BC D ．241．（2012新课标）复数z ＝32ii-++的共轭复数是 A ．2i + B ．2i - C ．1i -+ D ．1i -- 42．（2012北京）在复平面内，复数103ii+对应的点坐标为（ ） A ．（1,3） B ．（3,1） C ．(1,3-） D ．31-（，） 43．（2012广东）设i 为虚数单位，则复数56ii-= A ． 65i + B ．65i - C ．65i -+ D ．65i -- 44．（2012辽宁）复数2-=2+iiA ．34-55iB ．34+55iC ．41-5iD ．31+5i45．（2012湖南）复数(1)z i i =+（i 为虚数单位）的共轭复数是A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i + 46．（2012天津）i 是虚数单位，复数73ii-+= A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i -- 47．（2012浙江）已知i 是虚数单位，则31ii+=- A ．12i - B ．2i - C ．2i + D ．12i +48．（2012江西）若复数1z i =+(i 为虚数单位)z 是z 的共轭复数 ， 则22z z +的虚部为A ．0B ．－1C ．1D ．－249．（2012山东）若复数z 满足()i i z 7112+=-（i 为虚数单位），则z 为(A)i 53+ (B) i 53- (C) i 53+- (D) i 53-- 50．（2012陕西）设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数ba i+为纯虚数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 51．（2011山东）复数z =22ii-+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限52．（2011安徽）设 i 是虚数单位，复数aii1+2-为纯虚数，则实数a 为 A ．2 B ．-2 C ．1-2 D ．1253．(2011新课标)复数212ii+-的共轭复数是A ．35i - B ．35i C ．i - D ．i 54．（2011湖南）若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则A ．1,1a b ==B ．1,1a b =-=C ．1,1a b =-=-D ．1,1a b ==- 55．（2011广东）设复数z 满足(1+i )z =2，其中i 为虚数单位，则z =A ．1+iB ．1-iC ．2+2iD ．2-2i 56．（2011辽宁）i 为虚数单位，=+++7531111i i i i A ．0 B ．2i C ．i 2- D ．4i57．（2011福建）i 是虚数单位，若集合S=}{1.0.1-，则A ．i S ∈B ．2i S ∈ C ． 3i S ∈ D ．2S i∈ 58．（2011浙江）把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1,(1)z i z z =++⋅则=A ．3－iB ．3+iC ．1+3iD ．359．（2010新课标）已知复数z =z 是z 的共轭复数，则z z ⋅= A.14 B.12C.1D.260．(2010安徽)i=A ．1412- B ．1412+ C ．126i + D ．126- 二、填空题61．(2018天津)i 是虚数单位，复数67i12i+=+ ． 62．(2018上海)已知复数z 满足(1i)17i z +=-（i 是虚数单位），则||z = ． 63．(2018江苏)若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ． 64．（2017天津）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 ． 65．（2017浙江）已知a ，b ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ，ab = ． 66．（2017江苏）已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是______． 67．（2015天津）i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 ．68．（2015重庆）设复数(,R)a bi a b +∈，则()()a bi a bi +-＝ ． 69．(2014江苏)已知复数2(52)z i =+ (i 为虚数单位)，则z 的实部为 ． 70．（2014浙江）已知i 是虚数单位，计算21(1)ii -+＝________．71．（2014北京）复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________．72．（2014湖南）复数23ii+（i 为虚数单位）的实部等于_________． 73．（2013重庆）已知复数512iz i=+（i 是虚数单位），则_________z = 74．（2013天津）已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a + i )(1 + i ) = bi ，则a + bi = ． 75．（2012湖北）若31bii+-=a bi +（,a b 为实数，i 为虚数单位），则a b +=____________.76．（2011江苏）设复数ｚ满足i-=+（i是虚数单位），则z的(+)1zi23实部是___．1、数论是人类知识最古老的一个分支，然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的真理是密切相连的。