数字信号第3讲

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2011-1-16
例1-2-3 已知 x(n) = αnu(n)
(0 < α < 1) , h(n) = u(n),求卷积
∞
y(n) = x(n) ∗ h(n)。
y(n) = x(n) ∗ h(n) = ∑αmu(m)u(n − m)
m=−∞
注意： 注意： 定上下限
= ∑ x(m)δ(n − m)
m=−∞
∞
对于线性移不变系统
x (n )
y (n) h(n )
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时不变 均匀性 可加性 输出
δ(n − m) → h(n − m)
x(m)δ(n − m) → x(m)h(n − m)
x(n) = ∑ x(m)δ(n − m)
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解：移变性 1、 先移位， x(n-n0) 、 先移位， 再变换， 再变换， T[x(n-n0)]=4x(n-n0)+6 2、 先变换， 、 先变换， y(n)=4x(n)+6 再移位， 再移位， y(n-n0)=4x(n-n0)+6 则有 T[x(n-n0)]=y(n-n0) 因此系统是非线性 非线性移不 因此系统是非线性移不 系统。 变系统。
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系统和h2(n)系统级联，设 系统级联， 例1-2-2：在图中，h1(n)系统和 ：在图中， 系统和 系统级联
x(n) = u(n) h (n) = δ(n) − δ(n − 4) 1 h2 (n) = anu(n)
求系统的输出y(n) 求系统的输出
x(n)
m(n) h1(n)
a <1
h2(n)
y(n)
解：先求第一级的输出m(n)，再求 先求第一级的输出 ，再求y(n) m ( n) = x( n) ∗ h1 ( n)
= u( n) ∗ [δ( n) − δ( n − 4)] = u( n) ∗ δ( n) − u( n) ∗ δ( n − 4) = u( n) − u( n − 4) = R4 ( n)
移不变性： 移不变性：
x(n) → y(n)， x(n − N) → y(n − N)
整个序列右移 N位
说明：系统对输入信号的运算关系不随时间变化。 说明：系统对输入信号的运算关系不随时间变化。
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线性移不变 例1-2-1：判别以下系统是否为线性移不变系统 ：判别以下系统是否为线性移不变系统 y(n)=T[x(n)]=4x(n)+6 解：线性 1、先变换，设 、先变换， y1(n)=4x1(n)+6， ， y2(n)=4x2(n)+6 再相加， 再相加， y(n)=y1(n)+y2(n) =4x1(n)+6+4x2(n)+6 =4[x1(n)+x2(n)]+12 2、先相加，x1(n)+x2(n) 、先相加， 再变换， 再变换， y(n)=4[x1(n)+x2(n)]+6 不满足可加性
这里主要利用了卷积的第4个性质。 这里主要利用了卷积的第 个性质。 个性质
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2011-1-16
卷积计算
x(n) ∗ h(n) = ∑ x(m)h(n − m)
m=−∞
∞
m范围由 x(n), h(n) 范围共同决定。 范围共同决定。
离散卷积过程：序列倒置→移位→相乘→ 离散卷积过程：序列倒置→移位→相乘→取和 1.解析式法 解析式法 2.图解法 图解法 3.对位相乘求和法 对位相乘求和法 4.序列排列法 序列排列法
u(•) : m ≥ 0, m ≤ n
n
即：≤ m ≤ n, n ≥ 0 0
1− αn+1 y(n) = ∑αm ⋅ u(n) = u(n) m=0 1− α 1 当n →∞时 y(n) = 1− α
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使用对位相乘求和法 例1-2-4使用对位相乘求和法求卷积 使用对位相乘求和法求卷积
n< 0
h(n) = 0
或 h(n) = h(n)u(n)
稳定系统：输入有界，输出必有界的系统。 稳定系统：输入有界，输出必有界的系统。 稳定性的充要条件： 稳定性的充要条件： ∑ h(n) = P < ∞ 性的充要条件
n=−∞ ∞
单位取样响应绝对和为有限值（绝对可和）收敛。 单位取样响应绝对和为有限值（绝对可和）收敛。
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性质 1．交换律 ．
x(n) ∗ h(n) = h(n) ∗ x(n)
2．结合律 ． [ x(n) ∗ h1(n)]∗ h2 (n) = x(n) ∗[h1(n) ∗ h2 (n)] 3．分配律 ．
x(n) ∗[h1(n) + h2 (n)] = x(n) ∗ h (n) + x(n) ∗ h2 (n) 1
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解： 最高位对齐
x1 (n)
x2 (n)
:
:
↑ n=0
4
3
↑ n=0
2
2
1
1
对应相乘
×
:
3
同列相加
y(n)
+
↑ n=0
4 8 6 12 9 6
↑ n=0
3 4 3
2 2
4
1
12 17 16 10
1
17 16 10 1} 所以 y(n) = {12， ， ， ， 4，
已知x1(n) = { 4 , 3, 2, 1} x2 (n) = { 3 , 2, 1} ， ，
↑ n=0
求：y(n) = x1(n) ∗ x2 (n)
两序列右对齐（最高位） 两序列右对齐（最高位） 逐个样值对应相乘但不进位
↑ n=0
同列乘积值相加（注意 的点） 同列乘积值相加（注意n=0的点） 的点
因此 如果 y( n) ≤ B ∑ h( k )k =−∞ ∞Fra bibliotekn =−∞
∑
∞
h( n) < ∞
则
y( n) < ∞
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用反证法证明必要性。 用反证法证明必要性。 如果
n =−∞
∑
∞
h( n) = ∞
总可以找到一个或若干个有界的输入引起无界的输出， 总可以找到一个或若干个有界的输入引起无界的输出，如 h∗ ( −n) , h( n) ≠ 0 x ( n) = h( − n) 0 , h( n) = 0 y( n) =
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§1.2 时域离散系统 一．离散时间系统 一个离散系统是将输入序列 x(n)变换成输出序列 y(n) 的一种运算。 表示变换， 的一种运算。以T[ · ]表示变换，则有 y(n) = T[x(n)] 其模型如下： 其模型如下：
x(n)
T[·]
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再求第二级的输出y(n) 再求第二级的输出
y( n) = m ( n) ∗ h2 ( n) = R4 ( n) ∗ a n u( n) = a n u( n) ∗ [δ( n) + δ( n − 1) + δ( n − 2) + δ( n − 3)] = a n u( n) + a n−1u( n − 1) + a n−2 u( n − 2) + a n−3 u( n − 3)
§1.1 时域离散信号 §1.2 时域离散系统 §1.3 时域离散系统的输入输出描述法 §1.4 模拟信号数字处理方法变换
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§1.2 时域离散系统 • 线性移不变系统 • 系统卷积分析 • 系统的因果性和稳定性 • 系统的时域输入输出关系表示
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例1-2-5
h(n) = anu(n)
(1)讨论因果性： 因为是单边序列， 即n < 0时，h(n) = 0 讨论因果性： 因为是单边序列， 讨论因果性 所以系统是因果的。 所以系统是因果的。 (2)讨论稳定性： 讨论稳定性： 讨论稳定性
4个元素
5个元素 8 个元素
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x(n)： 0 ≤ n ≤ 3
h(n)： 0 ≤ n ≤ 4 y(n)： 0 ≤ n ≤ 7
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四．因果性、稳定性 因果性、 因果系统：输出变化不领先于输入变化的系统。 因果系统：输出变化不领先于输入变化的系统。 对于线性移不变系统是因果系统的充要条件： 对于线性移不变系统是因果系统的充要条件： 因果系统的充要条件
4． x(n) ∗ δ(n) = x(n) ．
x(n − n0 ) = x(n) ∗δ(n − n0 )
不存在微分、积分性质。 不存在微分、积分性质。
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