同济大学线性代数课件 第二章
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《线性代数及其应用》(同济大学第2版) 第二章 2.1
a32
（3）
a11 a12 a13 1 0 0 a11 a13 a12
a21
a22
a23
0
0
1
a21
a23
a22
a31 a32 a33 0 1 0 a31 a33 a32
由此例可看出，初等矩阵左（右）乘一个矩阵的 结果是对这个矩阵作相应的初等行（列）变换。例
如在（2）式中，E(1,3(k))A 即为把 A 的第三行的
的 B 就变成了 A1B ，即为所求的 X 。
例 2.3 设
2 1 3 1 1
A
1
2
2
,
B
2
0
1 3 2 2 5
求矩阵 X ，使 AX B 。
解 由于 A 5 0 ，故 A 可逆， X A1B 。
2 1 3 1 1
1 2 2 2 0
A,
B
1
2 2
2
0
r 1r2
2
0 1 3 2
1 0 0 4 2
r1 r2 (2)r32
0
1
0
0
1
0 0 1 3 2
所以，
4
X
A1 B
0
3
2 1 。 2
例 2.4 已知矩阵 X 满足 2 X AX B ，求 X ，其中
1 1 0
1 1
A 1 2 1 , B 2
0
。
1 0 0
5 3
解 由 2 X AX B ，有 (2E A)X B
k 倍加到第一行上去。
二、初等矩阵的性质
性质 1. 由定理 2.1 给出。
定理 2.1 设 A 是一个 m n 矩阵，对 A 施行一次 初等行变换，相当于在 A 的左边乘一个相应的 m 阶
线性代数课件(完整版)同济大学
a11 a12 a13
a21 a22 a23
引进记号
a31 a32 a33
原则：横行竖列
主对角线 a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
副对角线 a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
p1 p2 L pn
4. 当 p1 p2 L是p偶n 排列时，对应的项取正号； 当 p1 p2 L是奇pn排列时，对应的项取负号.
思考题： 1 1成立吗？ 答：符号 1可以有两种理解： ✓若理解成绝对值，则 1 ；1 ✓若理解成一阶行列式，则 1 . 1
注意：当n = 1时，一阶行列式|a| = a，注意不要与 绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式 1 1 .
线性代数（第五版）
在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组.
但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等.
我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形. 在讨论这一类线性方程组时，我 们引入行列式这个计算工具.
例：写出四阶行列式中含有因子a11a的23 项.
解：a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 .
例：计算行列式
a11 0 0 0
0 D1 0
a22 0 0 a33
0 0
0 0 0 a44
0 0 0 a14
0 D2 0
0 a23 a32 0
0 0
a41 0 0 0
a11 a12 a13 a14
(a a a a )x a b b a
《线性代数》(同济第六版)课件
0 0 a33 a43
a14 a24 = a11a22a33a44 a34 a44
0 0 = a14a23a33a41 0 a44
a11 0 a21 a22 D4 = a32 a32 a41 a42
四个结论： (1) 对角行列式
a11 D= a22
= a11a22ann
ann
(2)Leabharlann a1nD= an1
规律：
1.三阶行列式共有6项，即3!项． 2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
p p
是1、2、3的某个排列.
4.当p1p2p3 是偶排列时，对应的项取正号； 当 p1p2p3 是奇排列时，对应的项取负号.
所以，三阶行列式可以写成
a11 a12 D = a21 a22 a31 a32
a13 a23 = a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
3
第一章 行列式
�
内容提要
§1 §2 §3 §4 §5
•行列式是线性代数 的一种工具！ •学习行列式主要就 是要能计算行列式 的值.
§6 §7
二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 行列式的概念. n 阶行列式的定义 对换（选学内容） 行列式的性质 行列式的性质及计算. 行列式按行（列）展开 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例2 计算行列式
1 2 -4 D = -2 2 1 -3 4 -2
解
按对角线法则，有
D = 1×2×( 2)+ 2×1×( 3)+ ( 4)×( 2)×4
a14 a24 = a11a22a33a44 a34 a44
0 0 = a14a23a33a41 0 a44
a11 0 a21 a22 D4 = a32 a32 a41 a42
四个结论： (1) 对角行列式
a11 D= a22
= a11a22ann
ann
(2)Leabharlann a1nD= an1
规律：
1.三阶行列式共有6项，即3!项． 2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
p p
是1、2、3的某个排列.
4.当p1p2p3 是偶排列时，对应的项取正号； 当 p1p2p3 是奇排列时，对应的项取负号.
所以，三阶行列式可以写成
a11 a12 D = a21 a22 a31 a32
a13 a23 = a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
3
第一章 行列式
�
内容提要
§1 §2 §3 §4 §5
•行列式是线性代数 的一种工具！ •学习行列式主要就 是要能计算行列式 的值.
§6 §7
二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 行列式的概念. n 阶行列式的定义 对换（选学内容） 行列式的性质 行列式的性质及计算. 行列式按行（列）展开 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例2 计算行列式
1 2 -4 D = -2 2 1 -3 4 -2
解
按对角线法则，有
D = 1×2×( 2)+ 2×1×( 3)+ ( 4)×( 2)×4
线性代数 同济大学第七版 ppt课件
7 6 2 1 4 2
D 0 3 5 0 3 5
1 4 2
7 6 2
特别地，当行列式中有两行（列）对应元素都相同时，行列式的值
··
为零。
因假设D中的第i 行和第j 行对应元素相同，交换第i 行和第j 行元 素（仍为D），即得DD，移项得 2D 0 ，于是 D 0 。
23
第二节 行列式的性质
在本书研究多元线性方程组的解，以及研究矩阵性质时也要用到行列 式，为此首先引入行列式的概念。
6
第一章 行列式
第一节 行列式的概念
主
第二节 行列式的性质
要 内
第三节 行列式按行（列）展开
容
第四节 行列式的计算举例
第五节 克莱姆法则
7
第一节 行列式的概念
一、行列式的概念 为了更好掌握行列式的定义，我们采用数学归纳法的方法讲解行列
a11 a12 a13 D a 21 a 22 a 23 表示，且规定： D a 1 1 A 1 1 a 1 2A 1 2 a 1 3 A 1 3
a31 a32 a33
其中：
A11111M11111a a3 22 2
a23 a33
A12112M12112
a21 a31
a23 a33
7 6 2
7 6 2
这相当于行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式 符号的外面。这一性质可以由行列式的定义和性质2得到。
25
第二节 行列式的性质
性质4 行列式中两行（列）对应元素都成比例，行列式值为零。
设第 j 行为第i 行的k 倍，由性质3，将 j 行提出公因子k ，即得第i 行 与第 j 行相同，于是行列式的值为零。
A13113M13113
同济大学出版社线性代数课件(完整版)
0 0
0 0 0 a44
0 0 0 a14
0 D2 0
0 a23 a32 0
0 0
a41 0 0 0
a11 a12 a13 a14
0 D3 0
a22 a23 a24 0 a33 a34
0 0 0 a44
a11 0 0 0
D4
a21 a32
a22 a32
0 a33
0 0
a41 a42 a43 a44
引进记号
a21 a22 a23
原则：行列式
主对角线 a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
副对角线 a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
(1) a a t( p1 p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
anpn
an1 an2 二、annn 阶行简列记式作的det定(a，ij 义)
1. n 阶行列式共有 n! 项．
其中a为ij 行列式D的(i, j)元
2. 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积．
b1 b2
求解公式为
请观察，此公式有何特点？
x1
x2
b1a22 a11a22 a11b2 a11a22
a12b2 a12a21 b1a21 a12a21
分母相同，由方程组的四个系数确定. 分子、分母都是四个数分成两对相乘再
相减而得.
二元线性方程组
《线性代数》(同济第六版)课件
例3
求解方程
1 1 1 2 3 x = 0. 4 9 x2
解
方程左端
D = 3x2 + 4x +18 9x 2x2 12
= x2 5x + 6, 由 x2 5x+ 6 = 0 得
x = 2或 x = 3.
§2
全排列及其逆序数
引例 解
百位
用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
=
p1p2p3
( 1)
p t( p1
2 3
p ) 1p1 2p
a a a32
3
p
其中
p1p2p3
表示对1、2、3的所有排列求和.
二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.
二、n 阶行列式的定义
a11 a21 D= a12 a22 a1n a2n =
1) (
a11 a21 D= an1
0
a22
an2 ann
思考题：用定义计算行列式 0 1 D = 0 0 1 0 0 3 2 1 3 1 1 2 2 1
解：用树图分析
3 2
（2134）= 1 2 （2143）= 2 2 （2413）= 3 （2431）= 4
p
当 p1p2 pn是奇排列时，对应的项取负号.
思考题： 1= 1成立吗？ 答：符号 1 可以有两种理解： �若理解成绝对值，则 1 = + 1；
�若理解成一阶行列式，则 1= 1. 注意：当n = 1时，一阶行列式|a| = a，注意不要与
绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式 1= 1.
原则：横行竖列
线性代数同济第五版课件2-2
一般地，我们有
上页 下页
１、定义
B 设 A a ij 是一个m s 矩阵， b ij 是一个 s n 矩阵，那末规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积 是一个m n 矩阵 C c ij ，其中
c ij a i 1 b 1 j a i 2 b 2 j a is b sj a ik b kj
上页
下页
２、矩阵乘法的运算规律
1 AB C A BC ; 2 A B C AB AC ,
B C A BA CA ;
3 AB A B A B （其中 为数）;
4 AE EA A ;
a 11 b 12 a 12 b 22 a 13 b 32 a 21 b 12 a 22 b 22 a 23 b 32
a 11 b 11 a 12 b 21 a 13 b 31 a b a b a b 22 21 23 31 21 11
22
2 2 2 2 32 3
4 4 . 6
上页
下页
a 11 2 b1 b 2 b 3 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 b1 a 23 b 2 a 33 b 3
k 1
s
i 1 , 2 , m ; j 1 , 2 , , n ,
并把此乘积记作
C AB .
上页
下页
例１
2 C 1 4 2 2 2 2 3 4 6 2 2
16 32 ? 16 2 2 8
线性代数(同济第五版)第一、二章复习提纲PPT课件
列的逆序数决定.
-
7
第四节 对 换
一、 对换的定义 二、 对换与排列奇偶性的关系
-
8
小结：
1. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性．
2.行列式的三种表示方法
D 1 ta p 1 1 a p 2 2 a p n n
D 1 ta 1 p 1 a 2 p 2 a n np
2.k 1akA ik j Dij 0,当 ij;
n
D,当 ij,
k1aik A jkDij 0,当 ij;
其中ij 10,,当 当iijj， .
-
13
第七节 克拉默法则
一、克拉默法则 二、相关定理
-
14
克拉默法则:
如果线性方程组 ( n 个未知变量、 n 个方程）
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23 a1a 12a 233 a1a 22a 331 a1a 32a 132
a 31 a 32 a 33
a1a 12a 332 a1a 22a 133 a1a 32a 23,1
-
3
第二节 全排列及其逆序数
一、概念的引入 二、全排列及其逆序数
-
4
小结：
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
b1 b2
an1 an2 ann bn
对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.
-
21
二、矩阵的定义
由 mn个数 a i j i 1 , 2 , ,m ; j 1 , 2 , ,n
排成的 m行 n列的数表
a11 a12 a1n
0 1
-
7
第四节 对 换
一、 对换的定义 二、 对换与排列奇偶性的关系
-
8
小结：
1. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性．
2.行列式的三种表示方法
D 1 ta p 1 1 a p 2 2 a p n n
D 1 ta 1 p 1 a 2 p 2 a n np
2.k 1akA ik j Dij 0,当 ij;
n
D,当 ij,
k1aik A jkDij 0,当 ij;
其中ij 10,,当 当iijj， .
-
13
第七节 克拉默法则
一、克拉默法则 二、相关定理
-
14
克拉默法则:
如果线性方程组 ( n 个未知变量、 n 个方程）
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23 a1a 12a 233 a1a 22a 331 a1a 32a 132
a 31 a 32 a 33
a1a 12a 332 a1a 22a 133 a1a 32a 23,1
-
3
第二节 全排列及其逆序数
一、概念的引入 二、全排列及其逆序数
-
4
小结：
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
b1 b2
an1 an2 ann bn
对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.
-
21
二、矩阵的定义
由 mn个数 a i j i 1 , 2 , ,m ; j 1 , 2 , ,n
排成的 m行 n列的数表
a11 a12 a1n
0 1
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16
矩阵加法满足的运算规律:
1 交换律：A B B A. 2 结合律： A B C A B C . 3 A O A 4 A A O .
17
二、数与矩阵相乘
定义3 数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
24
a1
a2
b1 a n n n
b2
bn nn
a1b1
a2b2
an bn nn
25
注意：1. 矩阵乘法不满足交换律
但 BC
27
an y1 a11x1 a12 x2 a11nxn a11 12 y2 a21x1 a22x2 a2 nnx a21 a22 2 n A a x a ym am11 1 am1 x2 amn xn amn 2 m
列矩阵(Column Matrix): 只有一列的矩阵
a1 a2 A , 称为列矩阵(或列向量) a n
7
方阵(Square Matrix): 行数与列数都等于n 的矩阵， 称为 n 阶方阵(或 n 阶矩阵), 记作An
3 4 2 6 3 0 1 2 是 3 阶方阵. 3
3
a11 a21 记作 A a m1
a12 a22 am 2
a1 n a2 n 简记为 A aij 或 Amn amn
m n
其中数 a ij 称为 Amn j ) 元素。
矩阵相加与数乘矩阵运算合起来,又称为矩阵的 线性运算.
20
三、矩阵与矩阵相乘 定义4 设 A (aij ) 是一个 m×s 矩阵， B (bij ) 是 一个 s×n 矩阵，那末规定矩阵 A与矩阵 B 的乘积是一个 m×n 矩阵 C (cij )，其中
c i j a i1b1 j a i 2 b2 j a i s bs j a i k bk j
4
同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等。 矩阵相等： 设矩阵A与B是同型矩阵，
A (aij ) , B (bij ) 若 aij bij ( i, j 1, 2,, n)
则称矩阵 A与 B相等，记作 A B.
x 0 1 8 3 1 z x 3, y 2, z 8 0 2 4 y 4
14
注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时， 才能进行加法运算.
12 3 5 1 8 9 1 9 0 6 5 4 3 6 8 3 2 1 12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4 . 3 3 6 2 81 6 8 9
23
1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 3 1 1 1 3 3 3 1 2 3 1 1 1 1 2 1 2 3 1 1 1 1 2 3 1 1 1 3
5
一些特殊的矩阵
零矩阵(Zero Matrix): 元素全为零的矩阵称为零矩阵， m n零矩阵记作 Omn 或 O.
注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.
6
行矩阵(Row Matrix): 只有一行的矩阵
A a1 , a2 ,, an , 称为行矩阵(或行向量).
12
线性变换与矩阵之间的对应关系. 恒 等 变 换
y1 y 2 yn
y1 x1 , y x , 2 2 yn x n
1 0 0 0 1 0 单 位 阵 0 0 1
22
例：
4 2 4 2 1 2 3 6 2 2 2 2
16 32 8 16 22
1 0 1 2 1 4 2 11 1 2 3 1 0 1 1 1 3 0 1 2 0 1 24 23 0 2 1 3 34
29
方阵的幂：
若 A是 n 阶方阵， 则 Ak 为A的 k 次幂，即
A A A A
k k个
并且 Al Ak Al k ,
A
l k
Al k .
k
AB Ak B k . 但当 AB BA 时,
30
方阵的多项式：
( x ) ak x k ak 1 x k 1 a1 x a0
y ( y1 , y2 , , ym )
x ( x1 , x2 ,, xn )
y Ax
28
矩阵乘法满足的运算规律：
1 结合律 : AB C A BC ; 2 分配律 : A B C AB AC , B C A BA CA; 3 AB AB AB 4 AE EA A;
8
对角阵(Diagonal Matrix):
主对角线以外的元素都为零的方阵。
1 diag (1 , 2 , n )
2
n
9
数量矩阵(Scalar Matrix):
主对角元素全为非零常数 k，其余元素全为零的 方阵 。
15
负矩阵： 设 A (a i j ),
a11 a21 A a m1 a12 a22 am 1 a1 n a2 n aij amn
称为矩阵 A的负矩阵。
A B A ( B)
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
1 1 1 AB 1 1 1 1 0 1 AC 1 1 0
AB AC , A O
1 2 n
13
1 x1 2 x2 n xn
§2 矩阵的基本运算
一、 矩阵的加法
定义2 设有两个 m n 矩阵 A (aij ), B (bij ), 那末矩阵 A与B 的和记作A+B，规定为
a11 b11 a21 b21 A B a b m1 m1 a12 b12 a22 b22 am 2 bm 2 a1 n b1 n a2 n b2 n amn bmn
1 1 1 1 设 A 1 1 B 1 1 A 左乘 B
B 右乘 A
1 1 1 1 0 0 AB 1 1 1 1 0 0
第二章 矩阵及其运算
1
§1 矩 阵
2 x1 x 2 x 3 x 4 x1 x 2 2 x 3 x 4 4 x1 6 x 2 2 x 3 2 x 4 3 x1 6 x 2 9 x 3 7 x 4 2 4 4 9
2 1 1 1 1 1 2 1 4 6 2 2 3 6 9 7
a11 a 21 A A a m1
a12 a 22
a1n a2 n
a m1
. a mn
18
3 3 1 2 3 3 1 3 2 3 1 0 1 3 1 3 0 3 (1) 0 1 1 3 0 3 1 3 1
i j
1 i j 0 i j
11
例3： y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn y2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn ym am1 x1 am 2 x2 amn xn 从变量 x1 , x2 , xn 到变量 y1 , y 2 , y m 的线性变换. 其中 aij 为常数. A (aij )mn 称为系数矩阵
2 4 4 9
线性方程组与矩阵的对应关系
2
定义1 由 m n 个数 a ij (i 1,2, , m; j 1,2, , n)
排成的m行n列的数表，
a11 a21 am 1 a12 a22 a1n a2 n
am 2 amn
称为m行n列矩阵. 简称m n矩阵.
2 1 2 1 1 1 BA 1 1 1 1 2 2
AB BA.
26
注意：2. 矩阵乘法不满足消去律
1 1 设 A 1 1 1 1 0 0 B 1 1 C 0 0
(i 1,2,m; j 1,2,, n)
k 1 s
并把此乘积记作 C = AB
21
4 1 2 313 5 1 4 2 5 3 6 32 6 31
4 5 6 1 2 4 5 6 13 8 10 12 12 15 18 3 33 31
3 6 9 3 0 3 0 3 3
19
数乘矩阵满足的运算规律：
设 A,B为m×n 矩阵，, 为数
1 A A; 2 A A A; 3 A B A B .
4 1 A A 1 A
k kE n k nn