2017-2018版高中数学第三章函数的应用3.3幂函数学案苏教版必修1

3.3 幂函数学习目标 1.理解幂函数的概念.2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．知识点一 幂函数的概念思考 y ＝1x，y ＝x ，y ＝x 2三个函数有什么共同特征？梳理 一般地，我们把形如____________的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 知识点二 五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1定义域 值域奇偶性单调性 增在[0，＋∞) 上____，在(－∞，0] 上____在(0，＋∞) 上___， 在(－∞，0)上____知识点三 一般幂函数的图象特征思考 类比y ＝x 3的图象和性质，研究y ＝x 5的图象与性质．梳理 一般幂函数特征(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点________．(2)α>0时，幂函数的图象通过________，并且在区间[0，＋∞)上是单调______函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象________；当0<α<1时，幂函数的图象____________． (3)当________时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是单调减函数． (4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．(5)在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从____到____的顺序排列．类型一 幂函数的概念 例1 已知y ＝(m 2＋2m －2)22m x-＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．反思与感悟 幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x ，指数为一常数这三个条件，才是幂函数．如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 24都不是幂函数．跟踪训练1 在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数为________．类型二 幂函数的图象及应用例2 若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(2，14)在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )． 引申探究若对于例2中的f (x )，g (x )，定义h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x ≤g x ，gx ，f x >g x ，试画出h (x )的图象．反思与感悟 注意本题中对f (x )＞g (x )，f (x )＝g (x )的几何解释．这种几何解释帮助我们从图形角度解读不等式方程，是以后常用的方法．跟踪训练2 幂函数y ＝x α(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连结AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA .那么αβ等于________．类型三 幂函数性质的综合应用 命题角度1 比较大小例3 设a ＝232()3，b ＝132()3，c ＝232()5，则a ，b ，c 的大小关系是________．反思与感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3与⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3与25(0.3).命题角度2 幂函数性质的综合应用 例4 已知幂函数y ＝x3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足3(1)m a -＋<3(32)m a -－的a 的取值范围．反思与感悟 幂函数y ＝x α中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值．跟踪训练4 已知幂函数f (x )＝21mmx + (m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于________．2．已知幂函数f (x )的图象经过点(2，22)，则f (4)的值等于________． 3．设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为________．4．下列是y ＝23x 的图象的是________．(填序号)5．以下结论正确的是________．①当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线； ②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大； ④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．1．幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准．2．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)当α＞0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；当α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：当α＞1时，曲线下凸；当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＜0时，曲线下凸．3．在具体应用时，不一定是y ＝x α，α＝－1，12，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质．答案精析问题导学 知识点一思考 底数为x ，指数为常数． 梳理 y ＝x α知识点二2．R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 增 减 增 增 减 减 知识点三思考 y ＝x 3与y ＝x 5的定义域、值域、单调性、奇偶性完全相同．只不过当0<x <1时，x 5＝x 3·x 2<x 3，当x >1时，x 5＝x 3·x 2>x 3，结合两函数性质，可得图象如下：梳理 (1)(1,1) (2)原点 增 下凸 上凸 (3)α<0 小 大 题型探究例1 解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3或1，n ＝32，所以m ＝－3或1，n ＝32.跟踪训练1 y ＝1x2解析 因为y ＝1x2＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常数函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1), 所以常数函数y ＝1不是幂函数．例2 解 设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以，将点(2，2)代入f (x )＝x α中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f (x )＝x 2.同理可求得g (x )＝x －2.在同一坐标系里作出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x －2的图象(如图所示)，观察图象可得： (1)当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )． 引申探究解 h (x )的图象如图所示：跟踪训练2 1解析 由条件知，M (13，23)，N (23，13)，∴13＝(23)α，23＝(13)β， ∴(13)αβ＝[(13)β]α＝(23)α＝13， ∴αβ＝1. 例3 b >a >c解析 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x在R 上为单调减函数，∴232()3<132()3，即a <b ；∵f (x )＝23x 在(0，＋∞)上为单调增函数，∴232()3>232()5，即a >c .∴b >a >c .跟踪训练3 解 (1)∵0<0.3<1， ∴y ＝x 0.3在(0，＋∞)上为单调增函数． 又25>13，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3>⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3. (2)∵y ＝x －1在(－∞，0)上是单调减函数， 又－23<－35，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1. (3)∵y ＝x 0.3在(0，＋∞)上为单调增函数， ∴由25>0.3，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3>0.30.3.①又y ＝0.3x在(－∞，＋∞)上为单调减函数， ∴0.30.3>25(0.3).②由①②知⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3>25(0.3).例4 解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0， 解得m <3.又因为m ∈N *，所以m ＝1,2. 因为函数的图象关于y 轴对称， 所以3m －9为偶数，故m ＝1. 则原不等式可化为13(1)a -＋<13(32)a -－.因为y ＝13x-在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a . 解得23<a <32或a <－1.故a 的取值范围是{a |a <－1或23<a <32}．跟踪训练4 解 (1)∵m ∈N *， ∴m 2＋m ＝m ×(m ＋1)为偶数． 令m 2＋m ＝2k ，k ∈N *，则f (x )＝2kx ，∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f (x )为单调增函数． (2)∵2＝122＝212m m+，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)，∴f (x )＝12x ，由(1)知f (x )在定义域[0，＋∞)上为单调增函数， ∴f (2－a )>f (a －1)等价于2－a >a －1≥0，解得1≤a <32. 当堂训练1.322.123.1,34.②5.④。