垂直定义性质及点到直线距离
四年级数学上册《画垂线和点到直线的距离》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解垂线的概念，知道垂线与直线的关系，能够识别并画出垂线。
2.掌握点到直线的距离的概念，了解距离的度量方法，能够准确地计算出点到直线的距离。
3.学会使用直尺、圆规等工具，进行垂线与点到直线距离的作图。
4.能够运用垂线与点到直线距离的知识，解决实际生活中的问题，如测量距离、设计图形等。
4.培养学生团结协作、互帮互助的精神，使学生学会尊重他人，共同进步。
在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使每位学生都能在原有基础上得到提高。同时，教师还应注重培养学生的综合素质，将知识、技能、情感态度与价值观有机地结合起来，为学生的全面发展奠定基础。
二、学情分析
在本章节的教学中，学生已具备了一定的几何知识基础，如直线、线段、角度等基本概念，并掌握了基本的作图技能。在此基础上，学生对垂线和点到直线距离的学习将更加深入。然而，由于四年级学生的认知水平和空间想象力有限，他们对垂线的概念和点到直线距离的理解可能存在一定困难。此外，学生在解决实际问题时，可能难以将所学知识灵活运用。因此，在教学过程中，教师应关注以下几点：
4.引导学生总结学习方法，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的学习积极性，使学生乐于探究、善于思考。
2.培养学生的空间观念，让学生认识到数学在生活中的重要作用，提高学生的应用意识。
3.培养学生严谨、细致的学习态度，使学生养成良好的学习习惯。
-培养学生的空间想象能力和动手操作能力。
3.教学方法：
-采用直观演示法，通过动画和实物演示，帮助学生理解垂线的性质。
十二种方式推导点到直线的距离公式
十二种方式推导点到直线的距离公式推导点到直线的距离公式一般有以下十二种方式（之后每种方式的推导过程都会超过1200字）：
方式一：利用三角形相似性质
方式二：利用投影的性质
方式三：利用距离的定义
方式四：利用向量的性质
方式五：利用垂直性质
方式六：利用向量叉乘的几何意义
方式七：利用二次曲线的性质
方式八：利用点到线段的距离
方式九：利用对称性质
方式十：利用向量积的性质
方式十一：利用平行线的性质
方式十二：利用解析几何的方法
以下是第一种方式的推导过程，其他方式的推导过程可以通过再次提问获取：
方式一：利用三角形相似性质
1.假设直线L的方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。
2.过点P作直线L的垂线，设垂线与直线L的交点为垂足H。
3.点P到直线L的距离可以表示为PH的长度。
4.设PH的长度为d。
5.通过观察可以发现，三角形PHL与三角形P'HL'相似，其中P'是点(x0,-C/A)，L'是直线y=-C/A。
6.根据相似性质，可以得到PH与PL'之间的比值等于PHL与P'HL'之间的比值。
7.由于P'点的坐标已知，L'的方程也已知，可以计算出PHL与P'HL'之间的比值。
8.由此，可以求解出PH的长度，即点P到直线L的距离。
这是第一种方式的推导过程，其他方式的推导过程可以通过再次提问获取。
平面上两点间的距离和点到直线的距离公式
平面上两点间的距离和点到直线的距离公式平面几何是几何学中的一个重要分支，它研究了平面上点、直线、圆等的性质和相互关系。
在平面上，我们经常需要计算两点之间的距离以及点到直线的距离，这些计算方法在实际生活中有着很广泛的应用。
下面我们将分别介绍两点间的距离和点到直线的距离的计算公式。
首先，考虑两点间的距离。
假设平面上有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们想要计算这两个点之间的距离d。
根据勾股定理，我们知道两点之间的距离可以通过点与坐标轴的距离的平方和来计算，即：d=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]。
这个公式的理解非常直观，我们可以将两点之间的直线看作是直角三角形的斜边，而点与坐标轴的距离就是直角三角形的两个直角边的长度。
因此，我们可以通过计算两个直角边的长度，然后应用勾股定理来求解斜边的长度，即两点之间的距离。
接下来，我们来讨论点到直线的距离的计算方法。
给定平面上一条直线L和一点C(x0,y0)，我们想要计算点C到直线L的距离d。
为了方便计算，我们需要确定直线L的方程。
在平面几何中，常见的直线方程形式有一般式、斜截式和点斜式。
这里我们以一般式方程为例，一般式方程的形式为Ax+By+C=0，其中A、B和C是常数。
点到直线的距离的计算方法有多种，下面我们介绍其中的一种方法，即点到直线的投影方法。
我们可以将问题转化为求点C到直线L的垂直投影点D，然后计算点C到点D的距离d。
首先，我们可以利用点斜式确定直线L的斜率k。
假设直线L经过点P(x1, y1)，斜率为k，则直线L的点斜式方程为y - y1 = k(x - x1)。
进一步化简，我们得到直线L的一般式方程Ax + By + C = 0，其中A =-k，B = 1，C = kx1 - y1接下来，我们需要求点C到直线L的垂直投影点D(xd, yd)的坐标。
根据垂直投影的性质，我们知道点D在直线L上，且点CD垂直于直线L。
因此，点D与直线L的斜率之积为-1，即k * kd = -1、由此，我们可以得到点D的坐标：xd = (B^2 * x0 - A * B * y0 - A * C) / (A^2 + B^2)yd = (A * B * x0 - A * A * y0 - B * C) / (A^2 + B^2)最后，我们可以计算点C到点D的距离d，即：d = √[(x0 - xd)^2 + (y0 - yd)^2]这个公式可以通过将点C到点D的距离看作直角三角形的斜边来进行解释。
了解平行和垂直线的概念
了解平行和垂直线的概念平行线和垂直线是几何学中常见的概念。
它们在日常生活和数学中都具有重要的作用。
本文将详细介绍平行线和垂直线的定义、性质以及它们在几何学中的应用。
一、平行线的概念平行线是指在同一个平面内永不相交的直线。
更准确地说，平行线具有以下两个特点：1. 方向相同：平行线的方向是相同的，也就是说它们的斜率相等。
斜率是指直线上两点间的纵坐标差与横坐标差的比值，如果两条直线的斜率相等，那么它们就是平行线。
2. 距离相等：平行线之间的所有点到另一条平行线的距离是相等的。
平行线可以用符号“||”来表示。
例如，直线AB || 直线CD表示直线AB和直线CD是平行线。
二、垂直线的概念垂直线是指两条线段之间的夹角为90度的直线。
也就是说，如果两条直线相交时，它们的夹角为90度，那么它们就是垂直线。
与平行线不同，垂直线不具有方向性。
无论是从左向右还是从右向左，两条垂直线之间的夹角始终为90度。
垂直线可以用符号“⊥”来表示。
例如，直线EF ⊥直线GH表示直线EF和直线GH是垂直线。
三、平行线和垂直线的性质1. 平行线的性质：a. 平行线与平面内的其他直线没有公共点；b. 平行线它们之间的距离是相等的；c. 平行线的斜率是相等的；d. 平行线的夹角为0度。
2. 垂直线的性质：a. 垂直线与平面内的其他直线相交时，相交角度为90度；b. 垂直线的斜率不存在，因为其斜率是无穷大或无穷小。
四、平行线和垂直线的应用平行线和垂直线在几何学中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 平行四边形：平行线的性质与平行四边形有着密切联系。
平行线能够确定平行四边形的各个性质，如对角线等长、相对角相等等。
2. 切线与切线性质：在圆的几何中，切线与半径之间的关系也与平行线和垂直线有关。
切线与半径所形成的角等于直径所形成的角的一半。
3. 垂直平分线：垂直线不仅可以垂直于其他直线，还可以垂直平分线段。
垂直平分线是将一条线段分成两等分的线段。
两条直线的位置关系---垂直
两条直线的位置关系---垂直课型：新授课 教学目标：1.通过寻找相交线的活动，进一步认识互相垂直的直线；理解与垂直有关的直线、线段的性质及点到直线的距离的概念2.会用字母表示互相垂直的直线，能运用三角板或量角器过一点画一条直线的垂线；3. 经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力，抽象出互相垂直的直线的概念，进而体会数学模式的结构。
并启发其学习和研究数学的兴趣。
教学重点：垂线、垂直的概念和与垂直有关的直线、线段的性质。
教学难点：如何观察图案规律活动，抽象出互相垂直的直线的概念。
教学方法：师生思维对话、生与文本对话、生生思维对话，个别交流、集体评价。
教学手段：三角尺、量角器、纸张、班班通 教学过程：一、创设问题情境,研究垂直等有关概念：1.学生观察图7-5，教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边, 方格纸的横线和竖线……，你能找出相交的线吗？他们有什么特殊的位置关系？思考这些给大家什么印象?在学生回答之后,教师指出：“垂直”两个字对大家并不陌生，但是垂直的意义，垂线有什么性质，我们不一定都了解，这就是我们本节课要学习的内容。
2.教师出示相交线的模型，演示模型，学生观察思考：固定木条a ，转动木条，当b 的位置变化时，a 、b 所成的角a 是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时，a 、b 所成的四个角有什么特殊关系?bb a教师在组织学生交流中，应学生明白：当b 的位置变化时，角a 从锐角变为钝角，其中∠a 是直角是特殊情况，其特殊之处还在于：当∠a 是直角时，它的邻补角，对顶角都是直角，即a 、b 所成的四个角都是直角，都相等。
3.师生共同给出垂直定义及垂直的表示法：垂直的定义：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
其中的一条直线叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足。
如图（2）中，直线AB 、CD 相交于点O ，∠BOC ＝90°，此时我们就说直线AB 与CD 互相垂直，记作：AB ⊥CD 或CD ⊥AB 。
专题5-3 垂线(知识讲解)
专题5.3 垂 线（知识讲解）【学习目标】1. 理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；2. 理解并运用“垂线段最短”解决实际问题；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.【要点梳理】1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．特别说明：(1)记法：直线a 与b 垂直，记作：；直线AB 和CD 垂直于点O ，记作：AB⊥CD 于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD ⊥AB ．2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．特别说明：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．a b ⊥90AOC ∠=°判定性质3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．特别说明：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．特别说明：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、垂线定义的理解1．【答案】130°或50°【分析】作图分析，若两个角的边互相垂直，那么这两个角必相等或互补，可据此解答．解：如图∵β的两边与α的两边分别垂直，∵α+β=180°故β=130°，在上述情况下，若反向延长∵β的一边，那么∵β的补角的两边也与∵α的两边互相垂直，故此时∵β=50；综上可知：∵β=50°或130°，故正确答案为：【点拨】本题考核知识点：四边形内角和. 解题关键点：根据题意画出图形，分析边垂直的2种可能情况.举一反三：【变式1】如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE为直角，∠AOE=60°，则∠BOD=__________°．【答案】150解：试题分析：首先根据直角定义可得∵COE=90°，再根据角的和差关系可得∵AOC=∵COE+∵AOE=90°+60°=150°，根据对顶角相等可得∵BOD=∵AOC=150°．【变式2】如图，直线AB，CD相交于点O，OE∠AB，O为垂足，∠EOD=30°，则∠AOC=_______【答案】60°【分析】首先根据OE∵AB，可得∵EOB＝90°，然后根据∵EOD＝30°，求出∵BOD的度数，再根据对顶角相等，即可判断出∵AOC的度数是多少．解：∵OE∵AB，∵∵EOB＝90°．∵∵EOD＝30°，∵∵BOD＝90°﹣30°＝60°．∵∵AOC＝∵BOD，∵∵AOC＝60°．故答案为60°．【点拨】（1）此题主要考查了垂线的性质和应用，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）此题还考查了对顶角的特征和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：对顶角相等．类型二、画垂线2．如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点．（1）过点P画AB的垂线段PE．（2）过点P画CD的垂线，与AB相交于F点．（3）说明线段PE，PO，FO三者的大小关系，其依据是什么？【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）PE＜PO＜FO，其依据是“垂线段最短”【分析】前两问尺规作图见详解,第（3）问中利用垂线段最短即可解题.解：（1）（2）如图所示．（3）在直角∵FPO中,PO＜FO,在直角∵PEO中,PE＜PO,∵PE＜PO＜FO，其依据是“垂线段最短”．【点拨】本题考查了尺规作图和垂线段的性质,属于简单题,熟悉尺规作图的方法和步骤,垂线段的性质是解题关键.举一反三：【变式1】如图：点C是∠AOB的边OB上的一点，按下列要求画图并回答问题．（1）过C点画OB的垂线，交OA于点D；（2）过C 点画OA 的垂线，垂足为E ；（3）比较线段CE ，OD ，CD 的大小（请直接写出结论）；（4）请写出第（3）小题图中与∠AOB 互余的角（不增添其它字母）．【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）CE ＜CD ＜OD ；（4）与∵AOB 互余的角是∵OCE与∵ODC【分析】(1)作DC∵OB 即可；(2)作CE∵OA 即可；(3)根据垂线段最短及直角三角形的斜边大于任一直角边即可得出结论；(4)根据两角互余的定义即可得出结论．解：解：(1)、(2)如图所示；(3)∵CE∵OA ，∵CE ＜CD.∵∵OCD 中OD 是斜边，CD 是直角边，∵CD ＜OD ，∵CE ＜CD ＜OD ；(4) ∵CE∵OA ，∵∵AOB+∵OCE=90°．∵CD∵OB ，∵∵AOB+∵ODC=90°，∵与∵AOB 互余的角是∵OCE 与∵ODC ．【点拨】本题考查的是作图-基本作图，熟知垂线的作法是解答此题的关键．【变式2】如图，90AOB ∠=︒，在AOB ∠的内部有一条射线OC .（1）画射线.OD OC ⊥（2）写出此时AOD ∠与BOC ∠的数量关系，并说明理由.【答案】（1）作图见解析（2）（1）AOD BOC ∠=∠或180AOD BOC ∠+∠=︒【解析】试题分析：（1）根据基本作图—做已知直线的垂线即可；（2）通过图形判断即可.试题解析：（1）画图，如下图（2）AOD BOC ∠=∠或180AOD BOC ∠+∠=︒类型三、垂线段最短3．如图所示，在∠ABC 中，AC=5，BC=6，BC 边上高AD=4，若点P 在边AC 上（不含端点）移动，求BP 最短时的值．【答案】245【分析】根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP 垂直于AC 时，BP 的长最小，利用面积法即可求出此时BP 的长．解：根据垂线段最短可知，当BP ∵AC 时，BP 最短．∵S ∵ABC 12=⨯BC ×AD 12=⨯AC ×BP ，∵6×4=5BP ，∵PB 245=，即BP 最短时的值为：245． 【点拨】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是解答本题的关键．【变式1】如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．(1)在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是______________．(2)在直线MN上取一点D，使线段AD＋BD最短．依据是______________________．【答案】垂线段最短两点之间，线段最短【分析】(1)过A作AC∵MN，AC最短；(2)连接AB交MN于D，这时线段AD+BD最短．解：(1)过A作AC∵MN，根据垂线段最短，故答案为垂线段最短；(2)连接AB交MN于D，根据是两点之间线段最短，故答案为两点之间线段最短．【点拨】本题主要考查了垂线段的性质和线段的性质，关键是掌握垂线段最短；两点之间线段最短．【变式2】火车站，码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示铁路与河流．(1)从火车站到码头怎样走最近？(2)从码头到铁路怎样走最近？请画图并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】(1)从火车站到码头的距离是点到点的距离，即两点间的距离，依据两点之间线段最短解答即可；(2)从码头到铁路的距离是点到直线的距离，依据垂线段最短解答即可．(1)沿AB走，两点之间线段最短；(2)沿BD走，垂线段最短.【点拨】本题考查了线段的性质、垂线段的性质，根据具体的问题正确判断出是点到点的距离还是点到线的距离是解答问题的关键．类型四、点到直线的距离4．如图，已知直线AB及直线AB外一点P，按下列要求完成画图和解答：（1）连接PA，PB，用量角器画出∠APB的平分线PC，交AB于点C；（2）过点P作PD∠AB于点D；（3）用刻度尺取AB中点E，连接PE；（4）根据图形回答：点P到直线AB的距离是线段的长度．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）PD．解：试题分析：(1)、用量角器量出∵APB的度数，然后求出一半的度数得出答案；(2)、根据垂线的作法得出答案；(3)、用刻度尺量出AB的长度，然后找出中点，从而得出答案；(4)、点到直线的距离是指点到直线垂线段的长度．解：(1)、如图所示；(2)、如图所示；(3)、如图所示；(4)、PD ．举一反三：【变式1】 如图,AC BC ⊥9,AC =12,BC =15AB =.（1）试说出点A 到直线BC 的距离；点B 到直线AC 的距离；（2）点C 到直线AB 的距离是多少？【答案】（1）点A 到直线BC 的距离、点B 到直线AC 的距离分别是9，12；（2）365【分析】根据点到直线的距离即为垂线段的距离，求解即可.解：（1）∵,AC BC ⊥9,AC =12BC =，∵点A 到直线BC 的距离、点B 到直线AC 的距离分别是9，12.（2）设点C 到直线AB 的距离为h ， ABC 的面积为1122BC AC AB h ⋅=⋅，∵15129h =⨯， ∵365h =.∵点C 到直线AB 的距离为365.【点拨】此题主要考查对垂线段的理解，熟练掌握，即可解题.【变式2】如图，∠ABC 中，∠A+∠B=900.∠根据要求画图：∠过点C 画直线MN∠AB∠过点C画AB的垂线，交AB于点D．∠请在∠的基础上回答下列问题：∠已知∠B+∠DCB=900，则∠A与∠DCB的大小关系为__________，理由是__________.∠图中线段_________的长度表示点A到直线CD的距离.【答案】（1）作图见解析（2）∵ ；∵A=∵DCB；同角的余角相等；∵AD解：试题分析：（1）根据题意画出MN∵AB，CD∵AB于D；（2）∵根据同角的余角相等可判断∵A=∵DCB；∵根据点到直线的距离的定义求解．试题解析：解：（1）∵如图，MN为所求；∵如图，CD为所求；（2）∵∵∵B+∵DCB=90°，∵B+∵A=90°，∵∵A=∵DCB；∵线段AD长度表示点A到直线CD的距离．故答案为∵A=∵DCB，同角的余角相等；AD．。
三角形中垂线定理
三角形中垂线定理三角形中垂线定理是三角形的重要性质之一，它描述了三角形中垂线的特性。
垂线是从一个点到另一条直线上的垂直线段，它与该直线交于一个垂足。
三角形中垂线定理指出：三角形的三条垂线交于一个点，且该点到三个顶点的距离相等。
让我们来看一下垂线的定义和性质。
在平面几何中，垂线是指从一个点到另一条直线上的垂直线段。
垂线的特点是与直线交于一个垂足，并且与直线垂直。
垂线可以用于解决很多几何问题，特别是在三角形中。
在一个三角形中，每条边都可以画出一条垂线。
根据三角形中垂线定理，这三条垂线交于一个点，我们称之为垂心。
垂心是三角形内部的一个特殊点，它到三个顶点的距离相等。
三角形中垂心的性质有很多，下面我们来详细讨论一下。
第一个性质是垂心到三个顶点的距离相等。
也就是说，垂心到三个顶点的线段长度相等。
这可以通过垂心的定义和垂线的性质得出。
第二个性质是垂心到三条边的距离乘积相等。
也就是说，垂心到三条边的距离之积等于垂心到三个顶点的距离之积。
这个性质可以通过相似三角形和垂线的性质证明。
第三个性质是垂心到三条边的距离之和最小。
也就是说，垂心到三条边的距离之和是最小的。
这个性质可以通过三角不等式和垂线的性质证明。
第四个性质是垂心到三个顶点的线段与三条边的交点分别在一条直线上。
也就是说，垂心到三个顶点的线段与三条边的交点分别在一条直线上。
这个性质可以通过共线性和垂线的性质证明。
三角形中垂线定理的应用非常广泛。
它可以用于解决各种与三角形有关的问题。
例如，可以利用垂心的性质来确定三角形的形状、大小和位置关系，计算三角形的面积和周长，以及解决一些几何问题。
除了垂心，三角形还有两个与垂心相关的特殊点，它们分别是重心和外心。
重心是三角形三条中线的交点，它到三个顶点的距离相等。
外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。
总结起来，三角形中垂线定理是三角形的重要性质之一，它描述了三角形中垂线的特性。
垂线是从一个点到另一条直线上的垂直线段，它与该直线交于一个垂足。
垂直和平行线的性质和判定
垂直和平行线的性质和判定垂直和平行线是几何学中常用的概念，它们具有独特的性质和判定条件。
本文将介绍垂直和平行线的一些基本性质，并探讨如何判定两条线是否垂直或平行。
一、垂直线的性质和判定垂直线是指两条直线相互交于一点，且交角为90度的线段。
垂直线的性质如下：1. 垂直线与平面上的任意一条直线相交，所成的角都是90度。
根据这个性质，我们可以通过观察两条线段的交角来判断它们是否垂直。
如果两条线段交角为90度，则它们是垂直线。
2. 垂直线的斜率乘积为-1。
斜率是直线的一个重要属性，可以用斜率来判断两条直线是否垂直。
对于两条直线，如果它们的斜率乘积等于-1，则说明它们是垂直线。
3. 垂直线上的点到另一条直线的距离最短。
这是垂直线的特殊性质之一，垂直线上的任意一点到另一条直线的距离都是最短的。
二、平行线的性质和判定平行线是指在同一个平面内，没有相交点，且永远保持相同的距离的直线。
平行线的性质如下：1. 平行线的斜率相等。
这是判断两条线是否平行的最常用方法。
对于两条直线，如果它们的斜率相等，则说明它们是平行线。
2. 平行线上的对应角相等。
如果两条平行线被一条横截线相交，那么对应角也是相等的。
这是平行线性质中的重要定理之一。
3. 平行线上的任意两点到另一条直线的距离相等。
这是平行线的另一个重要特性，平行线上的任意两点到另一条直线的距离都是相等的。
三、垂直和平行线的判定方法1. 通过斜率判定通过比较两条线的斜率可以判断它们的关系。
如果两条线的斜率乘积为-1，则它们是垂直线；如果两条线的斜率相等且不为无穷大，则它们是平行线。
2. 通过角度关系判定如果两条直线相交的角度为90度，则它们是垂直线。
如果两条直线被一条横截线相交，且对应角相等，则它们是平行线。
3. 通过距离判定如果两条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等，则说明它们是平行线。
如果垂直线上的任意一点到另一条直线的距离最短，则说明它们是垂直线。
综上所述，垂直和平行线具有各自独特的性质和判定条件。
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垂
直
看一看、想一想
跳远是常见的 田径比赛和测试项 目，您一定有过亲 身体验吧！想一想， 在测量跳远成绩时， 皮尺与起跳线(踏板) 有何关系？
想一想
想一想，什么叫做两条直线互相垂直？
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找一找，图中哪些线段互相垂直？
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•您能用三角尺在白纸上画两条互相垂直的直线吗？
做一做
想想看，本节课都学了哪些内容？
垂直定义； 垂线的多种画法； 垂直的表示方法； 垂直的基本性质； 点到直线的距离。
作业
习题4.6:1-3； 试一试.
•您能用量角器在白纸上画两条互相垂直的直线吗？
做一做
•您能用直尺在方格纸上画两条互相垂直的直线吗？ 想一想，有几种画法？
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垂直的表示
如果直线AB与直线CD垂直， 那么可记作：AB⊥CD； C l m B
如果用l,m表示这两条直线， 那么直线l与直线m垂直， 可记作：l⊥m。
A D
O
我们把互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。 （如图中的O点）
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
点到直线的距离
如图，过点A作l的垂线，垂足为B点。 线段AB 的长度叫做点A到直线l的距离。
A.
.
B
l
想一想，跳远成绩是如何测定的？
做一做
根据图示能折出互相垂直的线，您不妨试试看！
(1)
(2)
(3)
(4)
折叠演示
巩固练习
P101随堂练习:1，2.
请注意噢，图中表示垂直的方法！
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想一想
想一想，互相垂直的两条直线形成的四个角有什么特征？ 为什么？ C
？？
A
？ ？
D
O
B
想一想Байду номын сангаас
在下列两个图中，分别过点A作l的垂线，您能作出 来吗？每个图中您能作几条？ A l l
.
. A
从中，您得到了什么结论？不妨说说看！