直线的交点坐标与距离公式

直线的交点坐标与距离公式【学习目标】1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标.2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离. 【要点梳理】【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离381525 知识要点1】 要点一：直线的交点求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解即可.若有111222A B C A B C ==，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有111222A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行；若有1122A BA B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.要点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 要点二：过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有,x y 以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．过两直线的交点的直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=交点的直线方程为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到2220A x B y C ++=，因此它不能表示直线2l ．要点三：两点间的距离公式两点111222()()P x y P x y ，，，间的距离公式为12PP =要点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.要点四：点到直线的距离公式点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为d =要点诠释：（1）点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为直线上所有的点到已知点P 的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.要点五：两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线10Ax By C ++=与直线20Ax By C ++=的距离为d =要点诠释：(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；(2)利用两条平行直线间的距离公式2221||BA C C d +-=时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x ，y 的系数分别是相同的，才能使用此公式.【典型例题】类型一、判断两直线的位置关系例1．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标：（1）5420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩；（2）26301132x y y x -+=⎧⎪⎨=+⎪⎩；（3）2601132x y y x -=⎧⎪⎨=+⎪⎩．【答案】（1）1014,33⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）重合；（3）平行． 【解析】（1）解方程组5420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩得该方程组有唯一解103143x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以两直线相交，且交点坐标为1014,33⎛⎫-⎪⎝⎭． （2）解方程组2630 1132x y y x -+=⎧⎪⎨=+⎪⎩①② ②×6得2x －6y+3=0，因此①和②可以化成同一个方程，即方程组有无数组解，所以两直线重合．（3）解方程组260 1132x y y x -=⎧⎪⎨=+⎪⎩①② ②×6－①得3=0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，所以两直线平行．【总结升华】判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． 举一反三：【变式1】判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：（1）l1：2x+y+3=0，l2：x―2y―1=0；（2）l1：x+y+2=0，l2：2x+2y+3=0；（3）l1：x―y+1=0；l2：2x―2y+2=0．【答案】（1）直线l1与l2相交，交点坐标为（―1，―1）．（2）直线l1与l2无公共点，即l1∥l2．（3）两直线重合．类型二、过两条直线交点的直线系方程例2．求经过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y―1=0平行的直线方程．【答案】15x+5y+16=0【解析】可先求出交点坐标，再根据点斜式求出所要求的直线方程；也可利用直线系（平行系或过定点系）求直线方程．解法一：设所求的直线为l，由方程组233020x yx y--=⎧⎨++=⎩得3575xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∵直线l和直线3x+y―1=0平行，∴直线l的斜率k=―3．∴根据点斜式有73355y x⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=---⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即所求直线方程为15x+5y+16=0．解法二：∵直线l过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点，∴设直线l的方程为2x―3y―3+λ(x+y+2)=0，即(λ+2)x+(λ―3)y+2λ―3=0．∵直线l与直线3x+y－1=0平行，∴2323311λλλ+--=≠-，解得112λ=．从而所求直线方程为15x+5y+16=0．【总结升华】直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧，应注意掌握和应用．举一反三：【变式1】求证：无论m取什么实数，直线(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．证法一：对于方程(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0，令m=0，得x―3y―11=0；令m=1，得x+4y+10=0．解方程组31104100x yx y--=⎧⎨++=⎩，得两直线的交点为（2，―3）．将点（2，―3）代入已知直线方程左边，得(2m―1)×2+(m+3)×(―3)―(m―11)=4m―2―3m―9―m+11=0．这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点（2，―3）．证法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x+y―1)m+(―x+3y+11)=0．由于m取值的任意性，有2103110x yx y+-=⎧⎨-++=⎩，解得23xy=⎧⎨=-⎩．所以所给的直线不论m取什么实数，都经过一个定点（2，―3）．类型三、对称问题例3．（2016秋 北京期中）求点A （3，―2）关于直线l ：2x ―y ―1=0的对称点A ＇的坐标． 【思路点拨】设点A ＇的坐标为（m ，n ），求得A ＇A 的中点B 的坐标并代入直线l 的方程得到①，再由线段A ＇A 和直线l 垂直，斜率之积等于―1得到②，解①②求得m ，n 的值，即得点A ＇的坐标．【答案】134(,)55-【解析】设点A （3，―2）关于直线l ：2x ―y ―1=0的对称点A ＇的坐标为（m ，n ）， 则线段A ＇A 的中点32(,)22m n B +-， 由题意得B 在直线l ：2x ―y ―1=0上，故3221022m n +-⨯--= ① 再由线段A ＇A 和直线l 垂直，斜率之积等于―1得22131n m +⨯=-- ②，解①②所成的方程组可得：134,55m n =-=， 故点A ＇的坐标为134(,)55-． 【总结升华】本题考查求一个点关于直线的对称点的坐标的方法，注意利用垂直及中点在轴上两个条件．例4．求直线x ―y ―2=0关于直线l ：3x ―y+3=0对称的直线方程． 【答案】7x+y+22=0【解析】 解法一：由20330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得交点59,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，取直线x ―y ―2=0上一点A （0，―2），设点A 关于直线l ：3x ―y+3=0的对称点为A ＇（x 0，y 0）， 则根据'1AA l k k ⋅=-，且线段AA ＇的中点在直线l ：3x ―y+3=0上，有00002310232022y x x y +⎧⨯=-⎪-⎪⎨-⎪⨯-+=⎪⎩，解得0031x y =-⎧⎨=-⎩． 故所求直线过点59,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭与（―3，―1）． ∴所求直线方程为95722x x ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭． 即7x+y+22=0．解法二：设P （x ，y ）为所求直线上任意一点，P 关于直线l ：3x ―y+3=0的对称点P ＇（x ＇，y ＇）．根据PP ＇⊥l 且线段PP ＇的中点在直线l 上，可得'31'''33022y yx x x x y y -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪⋅-+=⎪⎩，解得8618'10686'10x y x x y y -+-⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩．又∵P ＇（x ＇，y ＇）在直线x ―y ―2=0上， ∴8618686201010x y x y -+-++--=，即7x+y+22=0．故所求直线方程为7x+y+22=0．【总结升华】 轴对称问题一般利用这两种方法求解，其中解法二是求轨迹方程的常用方法，称为代入法．举一反三： 【变式1】（1）求点P （x 0，y 0）关于直线x ―y+C=0的对称点坐标；（2）求直线l 1：Ax+By+C=0关于直线l 2：x+y ―3=0的对称直线l 3的方程． 【答案】（1）（y 0―C ，x 0+C ）；（2）Bx+Ay ―3A ―3B ―C=0．【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离381525 要点（二）中的例1】 【变式2】l 过点M(-2,1)，且与点A(-1,2)，B(3,0)的距离相等，求直线l 的方程．【答案】1y = 20x y += 【解析】法一：直线l 过AB 的中点（1，1），所以l 的方程为1y =． 直线//l AB ，则设l 的方程为1(2)y k x -=+ 则12k =-，所以l 的方程为：20x y += 法二：由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为1(2)y k x -=+，则A 、B 两点到直线l 的距离=解得：10,2k k ==-所以l 的方程为：1y =和20x y +=类型四、两点间的距离 例5．已知点A （1，2），B （3，4），C （5，0），求证：△ABC 是等腰三角形． 【解析】 先分别求出三边之长，再比较三边的长短，最后下结论．∵||AB ==||AC ==||BC ==∴|AC|=|BC|．又∵A 、B 、C 三点不共线，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】 利用两点间距离公式即可求出两点间的线段的长度，进而可解决相关问题，在运用两点间距离公式时只需将两点坐标代入公式即可．举一反三：【变式1】以点A （―3，0），B （3，―2），C （―1，2）为顶点的三角形是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．以上都不是 【答案】C【解析】22(33)236440210=--+=+==AB ，22(13)(22)16163242=--+--=+==BC ，22(13)2822=-++==AC ，∵222AC BC AB +=，∴△ABC 为直角三角形． 故选：C ． 例6．已知直线l 过点P （3，1），且被两平行直线l 1：x+y+1=0，l 2：x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程．【答案】y=1或x=3【解析】 设直线l 与直线l 1、l 2分别交于点A （x 1，y 1）、B （x 2、y 2），则11221060x y x y ++=⎧⎨++=⎩，两方程相减，得(x 1―x 2)+(y 1―y 2)=5， ①由已知及两点间距离公式，得(x 1―x 2)2+(y 1―y 2)2=25， ②由①②解得121250x x y y -=⎧⎨-=⎩或121205x x y y -=⎧⎨-=⎩，又点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在直线l 上，因此直线l 的斜率为0或不存在，又直线l 过点P （3，1），所以直线l 的方程为y=1或x=3．【总结升华】 从交点坐标入手，采用“设而不求”“整体代入”或“整体消元”的思想方法优化了解题过程．这种解题思想方法在解析几何中经常用到，是需要掌握的技能．另外，灵活运用图形中的几何性质，如对称，线段中垂线的性质等，同样是很重要的．举一反三：【变式1】如图，直线l 上有两点A 、B ，A 点和B 点的横坐标分别为x 1，x 2，直线l 方程为y=kx+b ，求A 、B 两点的距离．【答案】2222121||(1)()1||AB k x x k x x =+-=+-类型五、点到直线的距离例7． 在△ABC 中，A （3，3），B （2，―2），C （―7，1），求∠A 的平分线AD 所在直线的方程． 【答案】y x =【解析】 设M （x ，y ）为∠A 的平分线AD 上的任意一点，由已知可求得AC 边所在直线的方程为x ―5y+12=0，AB 所在直线的方程为5x ―y ―12=0．由角平分线的性质得2626=，∴x ―5y+12=5x ―y ―12或x ―5y+12=y ―5x+12，即y=―x+6或y=x ． 但结合图形（如图），可知k AC ＜k AD ＜k AB ，即155AD k <<， ∴y=－x+6不合题意，故舍去．故所求∠A 的平分线AD 所在直线的方程为y=x ．【总结升华】 本例利用角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等这一性质，创设了运用点到直线的距离公式的条件，从而得到角的平分线上任意一点的坐标（x ，y ）所满足的方程，化简即得到所求的直线方程．由此可见，灵活运用点到直线的距离公式的关键在于创设出点到直线的距离这一条件．举一反三：【变式1】求点P 0（―1，2）到下列直线的距离： （1）2x+y ―10=0；（2）x+y=2；（3）y ―1=0．【答案】（1）2）2（3）1【解析】（1）根据点到直线的距离公式得d ===（2）直线方程可化为x+y ―2=0，所以d ==（3）因为直线y ―1=0平行于x 轴，所以d=|2―1|=1． 类型六、两平行直线间的距离例8．已知直线1l ：ax +y +2=0（a ∈R ），（1）若直线1l 的倾斜角为120°，求实数a 的值； （2）若直线1l 在x 轴上的截距为2，求实数a 的值；（3）若直线1l 与直线2l ：2x －y +1=0平行，求两平行线之间的距离．【思路点拨】（1）由题意可得tan120°=－a ，解方程可得；（2）令y =0，解得x 即直线1l 在x 轴上的截距，可得关于a 的方程，解方程可得；（3）由直线的平行关系可得a 值，代入两平行线之间的距离公式计算可得．【解析】（1）由题意可得tan120°=－a ，解得=a（2）令y =0，可得2=-x a ，即直线1l 在x 轴上的截距为22-=a，解得a =－1； （3）∵直线1l 与直线2l ：2x －y +1=0平行， ∴a =－2，∴直线1l 的方程可化为2x ―y ―2=0=举一反三：【变式1】直线l 1过点A （0，1），l 2过点B （5，0），如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1、l 2的方程．【答案】12:12550:125600l x y l x y -+=⎧⎨--=⎩或12:0:5l x l x =⎧⎨=⎩．。