(完整)专题：基本不等式常见题型归纳(教师版),推荐文档
基本不等式的比较几大题型(教师版)
基本不等式的比较几大题型(教师版)基本不等式是数学中的重要概念，它帮助我们比较数字大小关系并解决实际问题。
在这份文档中，我们将介绍基本不等式的比较几大题型，帮助教师更好地教授这一知识点。
1. 常见的不等式类型在教学中，我们常见到以下几种类型的不等式：- 单变量一次不等式：类似于 $ax + b < 0$ 或 $cx + d > 0$ 的形式。
- 单变量二次不等式：类似于 $ax^2 + bx + c < 0$ 或 $dx^2 + ex + f > 0$ 的形式。
- 双变量不等式：例如 $ax + by < c$ 或 $dx + ey > f$ 的形式。
针对每种类型的不等式，我们可以采用不同的解题方法和策略，下面将介绍其中的一些重点。
2. 单变量一次不等式的解法对于单变量一次不等式，我们可以通过以下步骤来解题：1. 将不等式转化成等式，确定不等式的基准点。
2. 根据基准点将数轴划分成不等式的区间。
3. 在每个区间内选择一个测试点，并判断测试点是大于还是小于基准点。
4. 根据测试点的结果确定每个区间的解集。
5. 将所有区间的解集合并得出最终解集。
通过这种方法，我们可以清晰地展示单变量一次不等式的解题过程，并帮助学生理解不等式的含义。
3. 单变量二次不等式的解法单变量二次不等式的解法也可以采用类似的步骤：1. 将不等式转化成等式，确定不等式的基准点。
2. 根据基准点将数轴划分成不等式的区间。
3. 在每个区间内选择一个测试点，并判断测试点是大于还是小于基准点。
4. 根据测试点的结果确定每个区间的解集。
5. 将所有区间的解集合并得出最终解集。
单变量二次不等式相对于一次不等式来说更加复杂，因此需要更多的练和理解。
4. 双变量不等式的解法对于双变量不等式，我们需要利用平面直角坐标系的图形来解题。
通过绘制不等式的图形，我们可以找到满足条件的区域。
常见的解题方法包括：- 绘制不等式的边界线，确定边界线上的点是否满足不等式。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式完整版(非常全面) 基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式1) 若 $a,b\in R$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$2) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$2、基本不等式一般形式（均值不等式）若 $a,b\in R^*$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$3、基本不等式的两个重要变形1) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$2) 若 $a,b\in R^*$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1) 若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）2) 若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）3) 若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）4) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$5) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{1}{a^2+b^2}\leq\frac{1}{2ab}\leq \frac{1}{a+b}$特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
6、柯西不等式1) 若 $a,b,c,d\in R$，则 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2$2) 若 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3\in R$，则$(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2$3) 设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 与 $b_1,b_2,\dots,b_n$ 是两组实数，则有$(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n)^2$二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设 $a,b$ 均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{1}{2}(a+b)^2$2、已知 $a,b,c$ 为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca$3、已知 $a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}$4、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$(1-a)(1-b)(1-c)\geq 8abc$5、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq\frac{9}{2(a+b+c)}$题型二：利用柯西不等式证明不等式1、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$2、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$3、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $abc=1$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c$4、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c$5、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq a+b+c$题型三：求最值1、已知 $a,b$ 均为正数，且 $a+b=1$，求 $ab$ 的最大值和最小值。
基本不等式题型及常用方法总结
基本不等式题型及常用方法总结基本不等式题型包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式和有理不等式等。
1. 一元一次不等式：- 解法1：通过移项和化简来求解，确保不等号方向的正确性。
- 解法2：将不等式转化为等价的集合表示，再通过集合的交、并运算求解。
2. 一元二次不等式：- 解法1：将不等式化为一元二次函数的图像，通过观察图像求解或者利用函数的性质来求解。
- 解法2：通过移项和配方法将不等式转化为二次函数的标准形式，再判断二次函数图像的位置与不等号关系来求解。
3. 绝对值不等式：- 解法1：将绝对值不等式分段求解，分别讨论绝对值内部是正数还是负数的情况。
- 解法2：通过绝对值的定义和不等式的性质，将绝对值不等式转化为两个简单的不等式来求解。
4. 有理不等式：- 解法1：将有理不等式化为分式的形式，然后通过分式的性质来求解。
- 解法2：通过变量的替换来将有理不等式转化为一元二次不等式或者一元一次不等式，再利用对应的方法来求解。
常用方法总结：1. 对于一元一次不等式和一元二次不等式，常用的方法是移项和化简、画函数图像和利用函数的性质来求解。
2. 对于绝对值不等式，常用的方法是分段求解和利用绝对值的性质来求解。
3. 对于有理不等式，常用的方法是化为分式形式和利用分式的性质来求解。
4. 在求解不等式的过程中，经常需要进行合并同类项、开方、取倒数、乘除等基本运算，需要注意运算法则和符号的变化。
5. 在不等式的求解过程中，需要注意不等式两边的平方值是否相等，以及是否存在不等式的等价变换等。
同时，在进行运算过程中，需要根据不等式的符号关系来选择合适的方式。
(完整版)高中数学基本不等式题型总结
专题 基本不等式【一】基础知识基本不等式：)0,0a b a b +≥>>（1）基本不等式成立的条件： ；（2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号.2.几个重要的不等式（1）；（2）；()24a b ab +≤(),a b R ∈)+0,0a b a b ≥>>【二】例题分析【模块1】“1”的巧妙替换【例1】已知，且，则的最小值为 .0,0x y >>34x y +=41x y+【变式1】已知，且，则的最小值为 .0,0x y >>34x y +=4x x y+【变式2】（2013年天津）设， 则的最小值为 .2,0a b b +=>1||2||a a b+【例2】（2012河西）已知正实数满足，则的最小值为 . ,a b 211a b +=2a b +【变式】已知正实数满足，则的最小值为 . ,a b 211a b+=2a b ab ++【例3】已知，且，则的最小值为 .0,0x y >>280x y xy +-=x y +【例4】已知正数满足，则的最小值为 .,x y 21x y +=8x y xy+【例5】已知，若不等式总能成立，则实数的最大值为 . 0,0a b >>212m a b a b+≥+m【例6】（2013年天津市第二次六校联考）与圆相交于两点，()1,0by a b +=≠221x y +=,A B 为坐标原点，且△为直角三角形，则的最小值为 . O AOB 2212a b +【例7】（2012年南开二模）若直线始终平分圆的周长，()2200,0ax by a b -+=>>222410x y x y ++-+=则的最小值为 . 11a b+【例8】设分别为具有公共焦点的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足12,e e 12,F F P ，则的最小值为120PF PF ⋅= 22214e e +【例9】已知，则的最小值是（ ）0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=11x y+A ．6B ．5C ．D ．3+【例10】已知函数，若，且，则的最小值为 .()4141x x f x -=+120,0x x >>()()121f x f x +=()12f x x +【模块二】“和”与“积”混合型【例1】（2012年天津）设,若直线与轴相交于点A,与y 轴相交于B ，且与圆,m n R ∈:10l mx ny +-=x l 相交所得弦的长为，为坐标原点，则面积的最小值为 .224x y +=2O AOB ∆【例2】设，，若，，则的最大值为_______.,x y R ∈1,1a b >>2x y a b ==28a b +=11x y+【例3】若实数满足，则的最大值为 .,x y 221x y xy ++=x y +【例4】（2013年南开一模）已知正实数满足，则的最小值为 .,a b 21a b ab ++=a b +【例5】设，若直线与圆相切，则的取值范围是,m n R ∈()()1120m x n y +++-=()()22111x y -+-=m n +（ ）（A ） （B ）1⎡+⎣(),11⎡-∞⋃+∞⎣（C ） （D ）22⎡-+⎣(),22⎡-∞-⋃++∞⎣【例6】已知，且成等比数列，则的最小值为 . 1,1x y >>11ln ,,ln 44x y xy 【例7】（2015天津）已知 则当的值为 时取得最大值.0,0,8,a b ab >>=a ()22log log 2a b ⋅【例8】（2011年天津）已知，则的最小值为 .22log log 1a b +≥39a b +【例9】下列说法正确的是（ ）A ．函数的最小值为x x y 2+=B ．函数的最小值为)0(sin 2sin π<<+=x x x yC ．函数的最小值为x x y 2+=D ．函数的最小值为x x y lg 2lg +=【例10】设的最小值是（）,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则A ．10B ．C ．．。
完整版)基本不等式知识点和基本题型
完整版)基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)^2/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a^2+b^2)(1+1)≥(a+b)^2二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)^2/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a^2/(b-c)^2+b^2/(c-a)^2+c^2/(a-b)^2≥23.已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a^3+b^3≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a^2+b^2)/(a+b)+(b^2+c^2)/(b+c)+(c^2+a^2)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)²/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/2≤(a+b)²/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a²+b²)(1+1)≥(a+b)²二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)²/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a²/(b-c)²+b²/(c-a)²+c²/(a-b)²≥23.已知a+b+c=1，求证：a²+b²+c²+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a³+b³≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a²+b²)/(a+b)+(b²+c²)/(b+c)+(c²+a²)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9选修4-5：不等式选讲1.设a,b,c均为正数，且a+b+c=1，证明：Ⅰ) ab+bc+ca≤1/3；Ⅱ) a^2b+b^2c+c^2a≥1/9.2.已知a≥b>0，求证：2a-b≥2ab-b^2.3.求下列函数的值域：1) y=3x+2；2) y=x(4-x)；3) y=x+(x>2)；4) y=x+(x<2)。
《基本不等式》知识点及题型总结
基本不等式 一、考点、热点回顾 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )； 若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D )．(2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )； 若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D )．(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ；不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D .二、典型例题例1、设0a b ，则下列不等式中正确的是（ ）A ．a ＜b ＜＜ B. a ＜＜＜bC ．a ＜＜b ＜ D ．＜a ＜＜b变式训练1、已知等比数列的各项均为正数，公比0＜q ＜1，设392a a P +=，Q =，则a 3，a 9，P 与Q 的大小关系是（ ）A ．a 3＞P ＞Q ＞a 9 B. a 3＞Q ＞P ＞a 9C ．a 9＞P ＞a 3＞QD ．P ＞Q ＞a 3＞a 9考点二、利用基本不等式求最值例2、(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________． （3）设a ＞0，b ＞0，且21a b +=，则11a b+的最小值为 。
基本不等式常见题型归纳汇总
基本不等式常见题型归纳汇总与求值相关的数学问题和与不等式相关的数学问题是高中数学中大的两个考察方向，而基本不等式作为不等式问题的重要组成部分，贯穿高中数学中圆锥曲线、数列、函数、三角函数等多个知识点，所有掌握基本不等式的基本题型，对解决与基本不等式相关的问题显得尤为重要。
现笔者对基本不等式常出现的题型予以总结，以供师生参考。
主要知识题型一基于简单变换的基本不等式问题此类题型以求和的取值范围转化为积为定值求解，求积的取值范围问题转化为和为定值求解为突破口，借助构造思想，构造为可以使用基本不等式的形式；常见的构造变换方法有凑项变换、拆项变换、系数变换、平方变换、常量代换、三角代换等。
题目思路点拨以上8题借助常见的转换形式，往和为定值或者积为定值的方向转化即可。
解析变式提升思路点拨借助常见的转换形式，往常见基本不等式相关形式转化即可。
注意基本不等式“一正二定三相等”条件的限制。
题目思路点拨解析变式提升思路点拨分离参量，然后分子分母同除，再借助分离变换即可。
题型二基于ax+by+cxy=d类型的构造此类题型常常以和以及积的等式形式出现，然后求和或者积的取值范围，题型切入口为将等式转化为不等式，常见的解题思路有构造法、判别式法、化法，变量代换、整体代换等。
题目思路点拨将等式转化为不等式，找出可以利用的不等量关系即可。
解析题目思路点拨将等式转化为不等式，找出可以利用的不等量关系即可。
解析变式提升思路点拨借助构造与变形转化为不等式或者单变量函数关系式，然后利用构造法、判别式法、化法，变量代换、整体代换等方法求解即可。
题目思路点拨把题目中等式进行变形，变量代换后整体代入运用基本不等式求解。
解析题型三基于复杂变换类型的构造此类题型常常题设复杂，需要向基本不等式方向变换多次或者多次运用基本不等式，考察的角度为学生综合处理问题能力以及对不等式的熟练程度。
能够掌握这类题型需要建立在掌握题型一、题型二的基础上，解题的中心思路还是往和为定值或者积为定值的方向转化。
(完整版)专题：基本不等式常见题型归纳(教师版)
g专题函数常见题型归纳三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b 时取等号．ab （3）a ，b ∈R ，≤()2，当且仅当a ＝b 时取等号．a 2＋b 22a ＋b2上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2(或ab ≤()2)，当且仅当ab a ＋b2a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知且1，，b a ，则的最小值为 .7log 3log 2=+a b b a 112-+b a 【解析】∵且∴，解得1，，b a 7log 3log 2=+a b b a 32log 7log a a b b+=或，∵∴，即．1log 2a b =log 3a b =1，，b a 1log 2a b =2a b =2111111a ab a +=-++--．13≥=练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为．解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么y x y x -+22=y x xy y x -+-2)(2=（x －y ）+y x -4≥2y x y x -⋅-4)(=4，当且仅当（x －y ）=yx -4，即x=3+1，y=3－1时等号成立，故y x y x -+22的最小值为4．2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数满足,x y，则的最小值为．133(02xy x x+=<<313x y+-3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知，且，则0,0,2a b c>>>2a b+=的最小值为.2ac c cb ab+-+【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x，y为正实数，则＋4x4x＋y 的最大值为．yx＋y解析：由于＋==4x4x＋yyx＋y))(4()4()(4yxyxyxyyxx+++++22225484yxyxyxyx++++=1+=1+≤1+=，22543yxyxxy++345x yy x⋅++5423+⋅xyyx43当且仅当4=，即y=2x时等号成立．yxxy【典例3】若正数、满足,则的最小值为__________.a b3ab a b=++a b+解析：由,得,解得,a b R+∈223(),()4()1202a bab a b a b a b+=++≤+-+-≥(当且仅当且,即时,取等号).6a b+≥a b=3ab a b=++3a b==变式：1.若,且满足,则的最大值为_________.,a b R+∈22a b a b+=+a b+解析：因为,所以由,,a b R+∈22222()2a ba b a b a b a b++=+⇒+=+≥2()a b+-,解得(当且仅当且,即时,取等号). 2()0a b+≤02a b<+≤a b=22a b a b+=+1a b==2.设，，则的最小值为_______ 4,0>>yx822=++xyyx yx2+3.设，，则的最大值为_________Ryx∈,1422=++xyyx yx+210524.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数，满a b 足，则的最小值为195a b+=-ab【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数满足，则yx,1=+yx的最小值为 1124+++y x 练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数满足，则y x ,111=+yx 的最小值为 .1914-+-y yx x 解析：对于正数x ，y ，由于+=1，则知x>1，y>1，那么x 1y1+=（+）（1+1－－）=（+）（+）≥（14-x x 14-y y 14-x x 14-y y x 1y 114-x x 14-y y x x 1-yy 1-+）2=25，当且仅当·=·时等号成x x x x 114-⋅-y y y y 114-⋅-14-x x y y 1-14-y y x x 1-立．2.（2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数,x y 满足22x y +=，则8x yxy+的最小值为 ．解析：8181828145922x y x y x y xy y x y x y x ⎛⎫++⎛⎫=+=+⋅=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当82x yy x=时，取等号．故答案为：9．3．（南通市2015届高三第一次调研测试·12）已知函数的图像经过点(0)xy a b b =+>，如下图所示，则的最小值为 .(1,3)P 411a b+-解析：由题可得a+b=3，且a>1，那么+=（a －1+b ）（+）=（4+14-a b 12114-a b 121++1）≥（2+5）=，当且仅当=时等号成立．b a 1-14-a b 21141-⋅-a b b a29b a 1-14-a b4．（江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试·12）己知a ，b 为正数，且直线60ax by +-=与直线 2(3)50x b y +-+=互相平行，则2a+3b 的最小值为________．【解析】由于直线ax+by －6=0与直线2x+（b －3）y+5=0互相平行，则有2a=3-b b ，即3a+2b=ab ，那么2a+3b=（2a+3b ）·ab b a 23+=（2a+3b ）（b 3+a 2）=b a 6+ab6+13≥2a b b a 66⋅+13=25，当且仅当b a 6=ab6，即a=b 时等号成立．5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，＋＝.若x ＋2y 的最小值为64，则ax 2by 12a b ＝________.答案：64；(考查基本不等式的应用).6.已知正实数满足，则的最大值为．,a b ()()12122a b b b a a +=++ab 答案：2【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知，，则的14ab =,(0,1)a b ∈1211ab+--最小值为 ．解析：由得 ，14ab =14a b=2221211424122711411451451a b b b b b b b b b b b +---+--=+==+---+--+-令 则当且仅当71b t -=2271494911141845142718427b t b b t t t t-+=+=-≥+-+--+-+- 等号成立．t =g a练习1．（江苏省扬州市2015届高三上学期期末·12）设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x2＋y 2的最小值是 ．解析：由x 2＋2xy －1＝0可得y=，那么x 2＋y 2=x 2＋=x 2+－≥2212x x-222(1)4x x -54214x 12－，当且仅当x 2=，即x 4=时等号成立． 121254214x 152．（苏州市2014届高三调研测试·13）已知正实数x ，y 满足，则x + y 的最小值为．解析：∵正实数x ，y 满足xy+2x+y=4，∴（0＜x ＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3，当且仅当d n ar e时取等号．∴x+y 的最小值为．故答案为：．3．（南通市2014届高三第三次调研测试·9）已知正实数满足，则,x y (1)(1)16x y -+=的最小值为．x y +解析：∵正实数x ，y 满足（x ﹣1）（y+1）=16，∴，∴x+y=1116++=y x ，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y 的最小值为()8116121116=+⋅+≥+++y y y y 8．故答案为：8．4.（扬州市2017届高三上学期期中）若，且，则使得取2,0>>b a 3=+b a 214-+b a 得最小值的实数=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题函数常见题型归纳三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．（2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b 时取等号．ab （3）a ，b ∈R ，≤()2，当且仅当a ＝b 时取等号．a 2＋b 22a ＋b2上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2(或ab ≤()2)，当且仅当ab a ＋b2a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知且1，，b a ，则的最小值为 .7log 3log 2=+a b b a 112-+b a 【解析】∵且∴，解得1，，b a 7log 3log 2=+a b b a 32log 7log a a b b+=或，∵∴，即．1log 2a b =log 3a b =1，，b a 1log 2a b =2a b =2111111a ab a +=-++--．13≥=练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为．解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么y x y x -+22=y x xy y x -+-2)(2=（x －y ）+y x -4≥2y x y x -⋅-4)(=4，当且仅当（x －y ）=yx -4，即x=3+1，y=3－1时等号成立，故y x y x -+22的最小值为4．2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数满足,x y，则的最小值为 ．133(02xy x x +=<<313x y +-3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知，且，则0,0,2a b c >>>2a b +=的最小值为 .2ac c c b ab +-+【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x ，y 为正实数，则＋4x4x ＋y 的最大值为 ．yx ＋y 解析：由于＋==4x 4x ＋y yx ＋y ))(4()4()(4y x y x y x y y x x +++++22225484yxy x y xy x ++++=1+=1+≤1+=，22543y xy x xy ++345x y y x ⋅++5423+⋅xy y x 43当且仅当4=，即y=2x 时等号成立．y x xy【典例3】若正数、满足,则的最小值为__________.a b 3ab a b =++a b +解析：由,得,解得,a b R +∈223(),()4()1202a b ab a b a b a b +=++≤+-+-≥(当且仅当且,即时,取等号).6a b +≥a b =3ab a b =++3a b ==变式：1.若,且满足,则的最大值为_________.,a b R +∈22a b a b +=+a b +解析：因为,所以由,,a b R +∈22222()2a b a b a b a b a b ++=+⇒+=+≥2()a b +-,解得(当且仅当且,即时,取等号).2()0a b +≤02a b <+≤a b =22a b a b +=+1a b ==2.设，，则的最小值为_______ 40,0>>y x 822=++xy y x y x 2+3.设，，则的最大值为_________R y x ∈,1422=++xy y x y x +210524.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数，满a b 足，则的最小值为 195a b+=-ab 【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数满足，则y x ,1=+y x的最小值为 1124+++y x 练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数满足，则y x ,111=+yx 的最小值为 .1914-+-y yx x 解析：对于正数x ，y ，由于+=1，则知x>1，y>1，那么x 1y1+=（+）（1+1－－）=（+）（+）≥（14-x x 14-y y 14-x x 14-y y x 1y 114-x x 14-y y x x 1-yy 1-+）2=25，当且仅当·=·时等号成x x x x 114-⋅-y y y y 114-⋅-14-x x y y 1-14-y y x x 1-立．2.（2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数,x y 满足22x y +=，则8x yxy+的最小值为 ．解析：8181828145922x y x y x y xy y x y x y x ⎛⎫++⎛⎫=+=+⋅=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当82x yy x=时，取等号．故答案为：9．3．（南通市2015届高三第一次调研测试·12）已知函数的图像经过点(0)xy a b b =+>，如下图所示，则的最小值为 .(1,3)P 411a b+-解析：由题可得a+b=3，且a>1，那么+=（a －1+b ）（+）=（4+14-a b 12114-a b 121++1）≥（2+5）=，当且仅当=时等号成立．b a 1-14-a b 21141-⋅-a b b a 29b a 1-14-a b4．（江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试·12）己知a ，b 为正数，且直线60ax by +-=与直线2(3)50x b y +-+=互相平行，则2a+3b 的最小值为________．【解析】由于直线ax+by －6=0与直线2x+（b －3）y+5=0互相平行，则有2a =3-b b ，即3a+2b=ab ，那么2a+3b=（2a+3b ）·ab b a 23+=（2a+3b ）（b 3+a 2）=b a 6+ab6+13≥2a b b a 66⋅+13=25，当且仅当b a 6=ab6，即a=b 时等号成立．5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，＋＝.若x ＋2y 的最小值为64，则ax 2by 12a b ＝________.答案：64；(考查基本不等式的应用).6.已知正实数满足，则的最大值为．,a b ()()12122a b b b a a +=++ab 答案：2【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知，，则的14ab =,(0,1)a b ∈1211ab+--最小值为 ．解析：由得 ，14ab =14a b=2221211424122711411451451a b b b b b b b b b bb +---+--=+==+---+--+-令 则当且仅当71b t -=227149*********5142718427b t b bt t t t-+=+=-≥+-+--+-+- 等号成立．t =练习1．（江苏省扬州市2015届高三上学期期末·12）设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是 ．解析：由x 2＋2xy －1＝0可得y=，那么x 2＋y 2=x 2＋=x 2+－≥2212x x -222(1)4x x -54214x 12－，当且仅当x 2=，即x 4=时等号成立． 121254214x 152．（苏州市2014届高三调研测试·13）已知正实数x ，y 满足，则x + y 的最小值为．解析：∵正实数x ，y 满足xy+2x+y=4，∴（0＜x ＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3，当且仅当时取等号．∴x+y 的最小值为．故答案为：．3．（南通市2014届高三第三次调研测试·9）已知正实数满足，则,x y (1)(1)16x y -+=的最小值为．x y +解析：∵正实数x ，y 满足（x ﹣1）（y+1）=16，∴，∴x+y=1116++=y x ，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y 的最小值为()8116121116=+⋅+≥+++y y y y 8．故答案为：8．4.（扬州市2017届高三上学期期中）若，且，则使得取2,0>>b a 3=+b a 214-+b a 得最小值的实数=。
a 5.设实数x 、y 满足x ＋2xy －1＝0，则x ＋y 的取值范围是_________26.已知，且，，求的最大值为______R z y x ∈,,1=++z y x 3222=++z y x xyz 【题型四】换元法【典例6】（南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试·13）已知函数f (x )＝ax 2＋x －b (a ，b 均为正数)，不等式f (x )＞0的解集记为P ，集合Q ＝{x |－2－t ＜x ＜－2＋t }．若对于任意正数t ，P ∩Q ≠ ，则－的最大值是1a 1b ．【解析】由题意可知任意正数t ，集合Q ＝{x |－2－t ＜x ＜－2＋t }，构成的集合的交集t Q 为，即，，令{}2-()2420,42f a b b a -=--==-21111324242a a b a a a a--=-=--，，当且仅当，等号成32a u -=211999144104182410u a b u u u u-==≤=++++1u =±立，或（舍）∵故．则－的最大值是．1,a =13a =0,b >12a >1a 1b 122．（2016年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州高考数学一模试卷·14）已知正数a ，b ，c 满足b+c ≥a ，则+的最小值为 ．解法一：∵正数a ，b ，c 满足b+c ≥a ，∴+≥+=（+）+﹣=+﹣≥﹣当且仅当=时取等号．故答案为：﹣解法二：由得，令，，则，a cb ≥+1b ac c +≥b x c =ay c=1x y +≥，所以1b c x c a bx y+=+++，当且()11111112121221222b c x x x c a b x y x x +=+≥+=++-≥=-++++仅当时等号成立．故．x =b ac c b ++12-练习1．（江苏省南京市2016届高三第三次模拟·14）若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则222522x yx xy y --+的最大值为．解析：由2x 2＋xy －y 2＝1可得，()()21x y x y -+=，令2x y t -=，则1x y t+=，113x t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，123y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，代入222522x y x xy y --+得2211t t t t-+，令1t m t-=，则2222111222t m m t m m t m t m -=≤=≤++++，当且仅当m =时取等号，故222522x y x xy y --+．2．设,x y 是正实数,且1x y +=,则2221x y x y +++的最小值是____.解:设2x s +=,1y t +=,则4s t +=,所以2221x y x y +++=22(2)(1)41(4)(2)s t s t s t s t--+=-++-+ 4141()(6(2s t s t s t=+++-=+-.因为41141149()(5)444t s s t s t s t s t +=++=++≥ 所以221214x y x y +≥++. 3..若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则的最大值为．x －2y5x 2－2xy ＋2y 2244．（江苏省苏、锡、常、镇2016届高三数学教学情况调查数学试题（一）·14）若实数满足，则当取得最大值时，的值为 5 .解析：当时，取最大值8，，取得最大值，解得，故.【题型五】判别式法【典例7】南通市2015届高三第三次调研测试14．已知正实数x ，y 满足，则xy 的取值范围为 ．24310x y x y+++=【解析】设，则，代入得：，由，解得，即xy 的取值范围为.练习1.（泰州市2016届高三第一次模拟·13）若正实数满足，则的最大值为．【解析】令，则，因此，当时，，因此的最大值为2.设，，则的最大值为________R y x ∈,1322=++xy y x y x +21120变式1．（江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题·14）在平面直角坐标系中，设点，，，，若不等式xOy (1 0)A ，(0 1)B ，( )C a b ，( )D c d ，对任意实数都成立，则实2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r≥a b c d ，，，数的最大值是．m 解析：由题意得：，22()()(2)()a c b d m ac bd mbc -+--++≥2222++()a cb d m ac bd bc +++≥对任意实数都成立，因此2222()+(+)a mc a c b d mbd mbc -+--≥0a ，即对任2222()4(+)mc c b d mbd mbc ∆=-+--≤02222444()()d mbd c b mbc mc -++--≥0意实数都成立，即，d 222221(4)44(444)mb c b mbc m c ∆=-⨯+--≥0对任意实数都成立，即22222(4)44m b mbc c m c -+-+≤0b，222222240,(4)(4)(4)m mc m c m c -<∆=---+≤04212160,m m -+≥，即，实数26m ≤-11m -≤≤m 1-【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、分离参数法、换主元法．判别式法：将所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。