基本不等式题型归纳

基本不等式题型归纳
【重点知识梳理】
1．基本不等式：2a b ab +≤ （1）基本不等式成立的条件：0a >，0b >．
（2）等号成立的条件：当且仅当a b =时，等号成立．
2．几个重要的不等式：（1）222a b ab +≥（,a b R ∈）； （2）
2b a a b +≥（0ab >）； （3）2(
)2a b ab +≤（,a b R ∈）； （4）2222()()a b a b +≥+（,a b R ∈）． 3．算术平均数与几何平均数
设0a >，0b >，则,a b 的算术平均数为
2
a b +，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知0a >，0b >，则
（1）如果积ab 是定值p ，那么当且仅当a b =时，a b +有最小值是2p ．（简记：积定和最小） （2）如果和a b +是定值p ，那么当且仅当a b =时，ab 有最大值是2
4
p ．（简记：和定积最大） 题型一览
1、已知0a >，0b >，且41a b +=，则ab 的最大值为_______，则
1ab
的最小值为_______； 2、已知21x y +=，则24x y +的最小值为_______ 3、设03x <<，则函数4(52)y x x =-的最大值为_______
4、若0x >，则4x x +
的最小值为_______；若0x <，则4x x +的最大值为_______ 5、若2x > ，则12x x +-的最小值为_______；若2x < ，则12
x x +-的最大值为_______ 若函数1()(2)2f x x x x =+
>-在 x a =处有最小值，则a =_______ 6、已知,a b R +∈，且22a b +=，则
12a b +（2a b b a +）的最小值为_______，此时,a b 的值分别是_______ 7、已知0x >，0y >，2
12x y
+=（22x y xy +=或220x y xy +-=），则2x y +的最小值为_______
8、已知0,0a b >>，如果不等式
212m a b a b
+≥+恒成立，那么m 的最大值等于_______ 9、几个分式的变形： （1）若0x >，则函数21x y x
+=的最小值是_______ （2）已知 0t >，则函数241t t y t
-+= 的最小值为_______ （3）函数2+5+15=(0)2
x x y x x ≥+的最小值为_______ 分析：变形得22515(2)2922
x x x x y x x ++++++==+
+9(2)1172x x =+++≥=+， 当且仅当9(2)2
x x +=+，即1x =时取等号， 故函数2515(0)2x x y x x ++=≥+的最小值为7 （4）已知0b a >>，2ab =，则22
a b a b
+-的取值范围是_______ 解：2222()2()444()[()]4a b a b ab a b a b b a a b a b a b a b b a
+-+-+===-+=--+≤------ （5）设22()4
x f x x =+（0x >）， 则()f x 的最大值为_______； （6）已知0,0a b >>，则22
22
32a ab b a ab b ++++的最小值是_______ （7）已知,a b 都是负实数，则2a b a b a b
+++的最小值是_______
10、（1）已知非负实数,x y 满足1x y +=，则11
x y +++的最小值为_______ 分析：因为 1x y +=，所以 113x y +++=，即1[(1)(1)]13x y +++=，
因为非负实数,x y ，所以 10,10x y +>+>，
所以 11111()[(1)(1)]11113
x y x y x y +=+⋅+++++++
1
14(1)[14]311y x x y ++=+++++119[5(54)3333
≥+=+== 当且仅当14(1)11y x x y ++=++，即12(1)y x +=+，0,1x y ==时取等号，所以 1411
x y +++的最小值为3 （2）已知实数,x y 满足102x y x y >>+=
，且，则213x y x y ++-的最小值为_______
1[(3)()]2
x y x y x y =+=++-，则(3)()1x y x y ++-= 21212()3
()[(3)()]3()3333x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y
-++=+++-=++≥++-+-+-【法二】令x y t -=，3x y s +=（0,0t s >>）
121212()()3()3t s s t x y s t s t s t
+=+=++=++≥+-
11、（1）已知,x y 均为正实数，且3xy x y =++，则xy 的最小值为_______
解：因为,x y 均为正实数，所以x y +≥3xy x y =++可化为3xy ≥，即
1)0≥3,9,xy ≥≥故当且仅当x y =时，xy 取得最小值9
（2）已知,x y 均为正实数，39x y xy ++=，则3x y +的最小值为_______
解：因为,x y 均为正实数，所以211393333()332x y x y xy x y x y x y +=++=++
⋅≤++⋅， 12、（1）若正实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是_______
解：由221x y xy ++=，得21()x y xy =+-， 2
2
()()114x y x y xy ++=+≤+，
解得33x y -≤+≤，x y ∴+得最大值为3
（2）设,x y 为实数，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是_______ 解：由2241x y xy ++=得2222314(2)3(2)22
x y xy x y xy x y x y =++=+-=+-⋅⋅ 2223251(2)()(2)228
x y x y x y +≥+-⋅=+
则2x y ≤+≤13、若,(0,2]x y ∈且2xy =，使不等式(2)(2)(4)a x y x y +≥--恒成立，则实数a 的取值范围为
A ．12a ≤
B ．2a ≤
C ．2a ≥
D ．12
a ≥ 分析：由,(0,2]x y ∈，2xy =， 得()1022(2)(4)102222x y x y a x y x y x y -+--≥
==-+++．
又24x y +≥=由，∴12
a ≥，选D ． 14、 若0,0a
b >> ，且4a b += ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A ．112ab >
B ．111a b
+≤ C
2≥ D ．228a b +≥ 分析：因为0a >，0b >
利用基本不等式有2a b ≤+=≤，当且仅当a b =时等号成立，C
2得，
114ab ≥，A 错；222()21688a b a b ab +=+-≥-=，当且仅当a b =时，等号成立，D 正确；11414
a b a b ab ++=≥=，当且仅当a b =时等号成立，B 错；综上可知，选D ． 15、设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当
xy z 取得最大值时，212x y z +-的最大值为 A ．0 B ．1 C ．
94 D ．3 答案：由22340x xy y z -+-=得2234z x xy y =-+，
则22114343xy xy x y z x xy y y x ==≤=-++-，当且仅当2x y =时等号成立，此时22z y = 222122122111(2)122x y z y y y y y y y
+-=+-=-=-≤． 16、（2013天津理14）设2a b +=，0b >，则当a =_____时，
1||2||a a b +取得最小值． 解：因为2a b +=，所以1=2
a b + 1||||||22||2||4||4||a b
a a a
b a a b a b a a b ++=+=+
++14||4||
a a a a ≥+=， 当0a >时，5+1=4||4a a ，1||52||4
a a
b +≥；
当0a <时，3+1=4||4a a ，1||32||4a a b +≥，当且仅当2b a =时等号成立． 因为0b >，所以原式取最小值时2b a =-.
又2a b +=，所以2a =-时，原式取得最小值．。